DR. AHMAD SABRI UNIVERSITAS GUNADARMA dengan …nurma.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/72939/...Dengan kata lain, vektor solusi merupakan kombinasi linier dari vektor 𝑣1= −1

Solusi SistemPersamaan Linier denganMetode Matriks

DR. AHMAD SABRI

UNIVERSITASGUNADARMA

Sistem Persamaan LinierBentuk Umum:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

SPL disebut homogen jika𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0, dan non homogen jikasekurang-kurangnya terdapat sebuah 𝑏𝑖 tidaksama dengan nol.

Contoh:

1. 2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 1−𝑥1 + 4𝑥3 = 5

2𝑥2 − 7𝑥3 = 2

2. 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 = 0𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 0−2𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 0

𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥4 = 0𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0

DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 2

Matriks yang diperluas (augmented) Matriks yang diperluas memiliki entri yang berasal dari koefisien dan ruas kanan dari SPL

Matriks yang diperluas dari SPL adalah:

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2⋮ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

Matriks yang diperluas dari kedua contoh SPL pada slide sebelumnya:

1. 2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 1−𝑥1 + 4𝑥3 = 5

2𝑥2 − 7𝑥3 = 2

2. 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 = 0𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 0

−2𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 0𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥4 = 0𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0

2 3 −1 1−1 0 4 50 2 −7 2

1 3 5 1 01 −5 2 0 00 −2 −2 −1 01 3 0 1 01 −2 −1 1 0


Metode untuk menyelesaikan SPL:

1. Eliminasi Gauss: dengan melakukan operasi baris elementer sampai tercapai matriks eselonbaris, kemudian dilakukan substitusi balik

2. Eliminasi Gauss-Jordan: dengan melakukan operasi baris elementer sampai tercapai matrikseselon baris terreduksi, dan diperoleh solusi.

3. Metode invers matriks

4. Aturan Cramer

Metode no. 3 dan 4 khusus untuk SPL n persamaan dengan n variabel


Metode Eliminasi Gauss-JordanTemukanlah solusi dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan:

𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 92𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 13𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 = 0

Bentuklah matriks koefisien yang diperluas, kemudian lakukan serangkaian operasi baris elementersehingga terbentuk matriks eselon baris.

b2-2b1 b3-3b1

½b2 b3-3b2 -2b3


i. Untuk metode Gauss, lanjutkan dengan substitusi balik, dimulai dari persamaan paling bawah.

sehingga diperoleh 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3

ii. Untuk metode Gauss-Jordan, lanjutkan operasi baris elementer sampai diperoleh matrikseselon baris terreduksi:

Dari matriks terakhir, diperoleh 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3

𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 9𝑥2 −

7

2𝑥3 = −17

2

𝑥3 = 3

b1-b2

𝑏1 −112𝑏3

𝑏2 +72𝑏3

𝑥3 = 3𝑥2 −

7

23 = −17

2, 𝑥2 = 2

𝑥1 + 2 + 2 3 = 9, 𝑥1 = 1

Substitusibalik


Menyelesaikan SPL n variabel denganm persamaan, m < nJika SPL konsisten, maka SPL di mana m < n memiliki tak hingga kemungkinan solusi.

Contoh: Tentukan solusi dari SPL berikut:

+


Dengan metode Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris terreduksi berikut:

Berdasarkan matriks EBT, diperoleh persamaan

⋯

matriks yang diperluas matriks eselon baris terreduksi


Dengan memisahkan variabel utama (yaitu variabel yang diwakili oleh 1 utama pada matriksEBT), diperoleh persamaan:

𝑥1 = −3𝑥2 − 4𝑥4 − 2𝑥5

𝑥3 = −2𝑥4

𝑥6 =1

3

Dalam hal ini, 𝑥1, 𝑥3, 𝑥5 adalah variabel dependen, dan 𝑥2, 𝑥4 dan 𝑥5 nya adalah variabelindependen. Oleh karena itu nilai-nilai untuk 𝑥2, 𝑥4 dan 𝑥5 ditentukan secara bebas.

Misalkan 𝑥2 = 𝑟, 𝑥4 = 𝑠, 𝑥5 = 𝑡, maka diperoleh 𝑥1 = −3𝑟 − 4𝑠 − 2𝑡, 𝑥2 = −2𝑠, 𝑥6 =1

3.

Karena r, s, dan t adalah sebarang bilangan riil, maka SPL tersebut memiliki tak terbataskemungkinan himpunan solusi.


SPL HomogenUntuk SPL homogen berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut:

1. SPL tersebut HANYA memiliki solusi trivial, atau

2. SPL tersebut memiliki solusi trivial DAN tak terhingga banyaknya himpunan solusi nontrivial

Teorema

Sistem persamaan linier homogen dengan jumlah variabel lebih banyak daripadajumlah persamaan selalu memiliki tak hingga banyaknya himpunan solusi


Contoh:

Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperolehmatriks eselon baris :

1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0

Sehingga diperoleh:

Dengan memisahkan variabel utama:

𝑥1 = −𝑥2 − 𝑥5𝑥3 = −𝑥5𝑥4 = 0

Diperoleh solusi:

𝑥1 = −𝑠 − 𝑡; 𝑥2 = 𝑠; 𝑥3 = −𝑡; 𝑥4 = 0; 𝑥5 = 𝑡


Ruang pemecahanSecara vektor, 𝑥1 = −𝑠 − 𝑡; 𝑥2 = 𝑠; 𝑥3 = −𝑡; 𝑥4 = 0; 𝑥5 = 𝑡 dapat ditulis sebagai:𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5

=

−𝑠 − 𝑡𝑠−𝑡0𝑡

=

−𝑠𝑠000

+

−𝑡0−𝑡0𝑡

= 𝑠

−11000

+ 𝑡

−10−101

Dengan kata lain, vektor solusi merupakan kombinasi linier dari vektor 𝑣1 =

−11000

dan 𝑣2 =

−10−101

.

Vektor-vektor 𝑣1dan 𝑣2 merentang sebuah ruang vektor yang disebut ruang pemecahan.

Karena 𝑣1dan 𝑣2 bebas linier, maka 𝑣1dan 𝑣2membentuk basis dari ruang pemecahan.


Penyelesaian SPL dengan invers matriks

(Teorema ini hanya berlaku untuk SPL npersamaan n variabel dan konsisten)

Contoh: Temukan solusi SPL berikut denganmetode invers matriks:

SPL tersebut dapat ditulis sebagai 𝐴𝑋 = 𝐵 di mana:

𝐴 =1 2 32 5 31 0 8

, 𝑋 =

𝑥1𝑥2𝑥3

, 𝐵 =5317

Dengan menggunakan metode yang telahdipelajari, dapat ditemukan bahwa

𝐴−1 =−40 16 913 −5 −35 −2 −1

sehingga

𝑋 = 𝐴−1𝐵 =−40 16 913 −5 −35 −2 −1

5317

=1−12

Teorema

Jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang invertibel,maka untuk setiap matriks B yang berukuran𝑛 × 1, sistem persamaan 𝐴𝑋 = 𝐵 mempunyaipersis satu pemecahan, yaitu 𝑋 = 𝐴−1𝐵


Penyelesaian SPL dengan Aturan CramerTeorema

Aturan Cramer. Jika 𝐴𝑋 = 𝐵 adalah SPL n persamaan n variabel di mana det(𝐴) ≠ 0, maka SPL tersebutmemiliki pemecahan yang unik (tunggal), yang diberikan oleh:

𝑥𝑖 =det(𝐴𝑖)

det(𝐴), untuk 𝑖 = 1,2,⋯ , 𝑛

di mana 𝐴𝑖 adalah matriks yang didapatkan dengan mengganti entri-entri pada kolom ke i dengan entri-entri pada vektor

𝐵 =

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛


Contoh: Carilah solusi SPL berikut dengan aturan Cramer

Jawab:

𝐴 =1 0 2−3 4 6−1 −2 3

, 𝐴1 =6 0 230 4 68 −2 3

, 𝐴2 =1 6 2−3 30 6−1 8 3

, 𝐴3 =1 0 6−3 4 30−1 −2 8

det 𝐴 = −44, det 𝐴1 = −40, det 𝐴2 = 72, det 𝐴3 = 152.

𝑥1 =det(𝐴1)

det(𝐴)=

−40

44= −

10

11, 𝑥2 =

det(𝐴2)

det(𝐴)=

72

44=

18

11, 𝑥3 =

det(𝐴3)

det(𝐴)=

152

44=

38

11


𝑥1 + 2𝑥3 = 6

−3𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 30

−𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 8

DR. AHMAD SABRI UNIVERSITAS GUNADARMA dengan …nurma.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/72939/...Dengan kata lain, vektor solusi merupakan kombinasi linier dari vektor 𝑣1= −1

Documents