Download Makalah Advanced math thinking dan Habit of mind

1

ADVANCED MATHEMATICAL THINKING DANHABIT OF MIND MAHASISWA

Utari SumarmoBahan Ajar Matakuliah Kajian dan Isu Pendidikan Matematika

Pascasarjana UPI dan STKIP Siliwangi Bandung

A. PendahuluanPada dasarnya, kemampuan berpikir matematik lanjut (advanced

mathematical thinking) disingkat AMT dan kebiasaan berpikir (habits of mind)disingkat HOM adalah kemampuan dan disposisi esensial yang perlu dimiliki olehdan dikembangkan pada mahasiswa yang belajar matematika. Rasional yangmendukung pernyataan di atas di antaranya adalah kemampuan matematik dankebiasaan berpikir di atas sangat diperlukan mahasiswa dalam menyelesaikan tugas-tugas perkuliahan matematika tingkat perguruan tinggi khususnya mata kuliahmatematika lanjut. Pemilikan kemampuan AMT dan HOM yang memadai akanmendukung pembentukan pribadi yang cerdas, kritis, kreatif, berempati kepadaorang lain, mampu bekerja sama, percaya diri, tangguh dan tanggap akanperubahan, serta bertanggung jawab. Pernyataan tersebut menyiratkan bahwaindividu dengan penguasaan matematika yang baik berkontribusi bagi keberhasilanbelajar individu di tempat pendidikannya dan dalam kehidupannya. Selain itu,pemilikan kemampuan dan disposisi tersebut juga sesuai dengan visi program studimatematika dalam upaya mewujudkan program studi yang unggul dan terkemukasehingga lulusannya mampu bersaing dan secara bersamaan mampu bekerja samamenghadapi tantangan global yang semakin ketat.

Pengertian istilah advanced mathematical thinking (AMT) dapat tertukardengan istilah berpikir matematik tingkat tinggi (higher order mathematicalthinking yang disingkat HOMT). Ditinjau dari segi proses yang berlangsung, dalambeberapa kondisi proses HOMT juga dijumpai pada proses AMT misalnyakeduanya memuat proses kognitif yang tidak sederhana, namun sebaliknya terdapatproses AMT yang tidak berlangsung dalam proses HOMT. Sebagai ilutrasi, AMTdilawankan dengan berpikir matematik elementer (elementary mathematicalthinking) sedangkan HOMT dilawankan dengan berpikir matematik tingkat rendah(low order mathematical thinking) atau LOMT. Proses perpindahan dari elementerke AMT memuat transisi dari melukiskan ke mendefinisikan, dari meyakinkan kemembuktikan secara logik. Proses transisi tersebut tidak terjadi pada transisi dariLOMT ke HOMT, karena yang berlangsung dalam transisi kedua adalah prosessederhana yang algoritmik atau prosedural ke proses menyadari tindakan yangdilaksanakan atau dari pencapaian pengetahuan hafalan ke pengetahuan yangbermakna. Beberapa proses yang tergolong dalam AMT di antaranya adalah: prosesrepresentasi, proses abstraksi, hubungan representasi dan abstraksi, kreativitasmatematis (mathematical creativity), dan bukti matematis (mathematical proof).

Dreyfus (Tall, Ed. 1991) membahas AMT sebagai: a) proses representasi,pengalihan dari representasi ke translasi; b) proses generalisasi, sintesis, danabstraksi; dan c) hubungan antara representasi dan abstraksi. Kemudian Ervynck(Tall, Ed. 1991) menguraikan secara mendalam mengenai kreativitas matematikyang meliputi: a) tahap-tahap perkembangan kreativitas matematik, dan b) definisitentatif, unsur-unsur, karakteristik, motif, hasil, dan kekeliruan dalam kreativitasmatematik. Hanna (Tall, Ed. 1991) menjelaskan tentang bukti matematik yang

2

meliputi: a) penekanan bukti formal, b) pandangan terhadap matematika, c) faktor-faktor dalam bukti yang diterima, dan penalaran yang hati-hati. Memperhatikantuntutan kognitif yang termuat dalam AMT maka perancangan pembelajaran untukAMT adalah merupakan suatu keniscayaan dilaksanakan oleh dosen.

Agar individu berkeinginan melaksanakan AMT dan mencapaikemampuan AMT yang memadai, maka pendekatan pembelajaran hendaknyamemungkinkan mahasiswa dapat mengembangkan disposisi yang kuat dan perilakucerdas dalam belajar matematika. Costa (Costa, Ed., 2001) menamakan disposisiyang kuat dan perilaku cerdas dengan istilah kebiasaan berfikir (habits of mind). Iamengidentifikasi enambelas kebiasaan berfikir, ketika individu merespons masalahsecara cerdas yaitu: 1) bertahan atau pantang menyerah, 2) mengatur kata hati, 3)mendengarkan pendapat orang lain dengan rasa empati, 4) berfikir luwes, 5)berfikir metakognitif, 6) berusaha bekerja teliti dan tepat, 7) bertanya danmengajukan masalah secara efektif, 8) Memanfaatkan pengalaman lama untukmembentuk pengetahuan baru, 9) berfikir dan berkomunikasi secara jelas dan tepat,10) memanfaatkan indera, 11) mencipta, berkayal, dan berinovasi, 12) bersemangatdalam merespons, 13) berani bertanggung jawab dan menghadapi resiko, 14)humoris, 15) berfikir saling bergantungan, dan 16) belajar berkelanjutan. Selain ke-16 kebiasaan berpikir di atas, atribut HOM dapat pula disesuaikan dengankarakteristik tugas AMT antara lain tekun, bertanya dan mengajukan masalahsecara efektif, menerapkan pengetahuan yang telah dimiliki ke dalam situasi baru,mengumpulkan data melalui semua indera, berpikir dan berkomunikasi secara jelasdan tepat.

Pada hakekatnya, dalam pendekatan pembelajaran apapun, NCTM (Webbdan Coxford, Eds, 1993) menyatakan bahwa dosen perlu mempertimbangkanbeberapa hal penting antara lain: memilih tugas matematik yang tepat, mendorongberlangsungnya belajar bermakna (meaningful learning), mengatur diskursus(discourse), dan berpartisipasi aktif dalam pembelajaran sehingga tercipta suasanabelajar yang kondusif.

Berkaitan dengan pembelajaran, sudah sejak lama, Polya (1973)mengemukakan pentingnya peran dosen dalam mengembangkan kemampuanberfikir mahasiswa yang dilukiskannya dalam pernyataan: “peran dosen tidakhanya memberikan informasi saja tetapi juga menempatkan diri sesuai kondisimahasiswa, dan memahami apa yang terjadi dalam benak mahasiswa yangkemudian memfasilitasi mahasiswa belajar menemukan pengetahuannya danmengembangkan kemampuan berpikir mahasiswa”. Pendapat Polya, pada dasarnyamelukiskan pembelajaran yang berpandangan konstrukvisme yang mempunyai ciri-ciri antara lain: (1) mahasiswa terlibat aktif dalam belajar, (2) informasi dikaitkandengan pengetahuan yang telah dimiliki sehingga membentuk skemata baru, danpemahaman terhadap informasi baru menjadi bermakna dan lebih kompleks; (3)orientasi pembelajaran adalah investigasi dan penemuan.

B. Telaah pustaka1. Berpikir Matematik Lanjut (Advanced Mathematical Thinking)

Beberapa proses yang tergolong dalam Advanced Mathematical Thinkingdisingkat AMT di antaranya adalah: proses representasi, proses abstraksi, hubunganrepresentasi dan abstraksi; kreativitas matematis (mathematical creativity); dan buktimatematis (mathematical proof).

3

1.a. Representasi dan Abstraksi MatematikPengertian istilah advanced mathematical thinking (AMT) kadang-kadang

tertukar dengan istilah berpikir matematik tingkat tinggi (higher order mathematicalthinking yang disingkat HOMT). Ditinjau dari segi proses yang berlangsung, dalambeberapa kondisi proses HOMT juga dijumpai pada proses AMT misalnya keduanyamemuat proses kognitif yang tidak sederhana. Namun sebaliknya terdapat proses AMTyang tidak berlangsung dalam proses HOMT, misalnya . Sebagai ilutrasi, AMTdilawankan dengan berpikir matematik elementer (elementary mathematical thinking)sedangkan HOMT dilawankan dengan berpikir matematik tingkat rendah (low ordermathematical thinking).

Pengembangan kemampuan AMT lebih ditekankan untuk mahasiswa, namundalam beberapa kasus proses AMT telah diperkenalkan pada siswa sekolah menengah.Sebagai contoh pada penyelesaian masalah open-ended, dan prosedur entry-attack-andreview dalam investigasi matematik telah dilakukan siswa pada sekolah menengah.Mason (1982 dalam Tall (Ed.) 1991) mengemukakan bahwa terdapat tiga levelverivikasi dalam berpikir matematik lanjut yaitu: meyakinkan diri sendiri (conviceyourself), meyakinkan teman (convice a friend), dan meyakinkan lawan (convice anenemy). Meyakinkan diri sendiri memuat idea mengapa suatu pernyataan bernilaibenar. Dalam proses meyakinkan teman memerlukan suatu argumen yang terorganisasisecara koheren. Kemudian pada proses menyakinkan lawan, suatu argumen harusdianalisis dan diperhalus sehingga siap untuk dikritisi. Mungkin dapat dihipotesiskanbahwa berpikir matematik pada tiap level memuat tahap-tahap entry-attack-and reviewtermasuk jastifikasi matematik. Pada berpikir matematik elementer (EMT) tidakmemuat proses abstraksi formal dan tidak memuat precising phase. Tall (Tall, Ed.1991) membedakan antara EMT dan AMT terletak pada proses matematik yangberlangsung. Perpindahan dari EMT ke AMT memuat transisi dari “melukiskan” ke“mendefinisikan”, dan dari “meyakinkan” ke “membuktikan secara logik”. Prosestransisi tersebut tidak terjadi pada transisi dari LOMT ke HOMT, karena yangberlangsung dalam transisi kedua adalah proses sederhana yang algoritmik atauprosedural ke proses menyadari tindakan yang dilaksanakan atau dari pencapaianpengetahuan hapalan ke pengetahuan yang bermakna. Beberapa proses yang tergolongdalam AMT di antaranya adalah: proses representasi, proses abstraksi, hubunganrepresentasi dan abstraksi, kreativitas matematis (mathematical creativity), dan buktimatematis (mathematical proof).

Bahasan yang mendalam mengenai AMT dikemukakan oleh Dreyfus (Tall,Ed. 1991). Uraian berikut, merupakan kajian terhadap penjelasannya. Ia menguraikanAMT secara luas sebagai proses yang meliputi: a) proses yang termuat dalam prosesrepresentasi yaitu: proses representasi dan proses pengalihan dari representasi ketranslasi; b) proses yang termuat dalam abstraksi yaitu: menggeneralisasi, mensintesa,dan mengabstraksi; dan c) hubungan antara representasi dan abstraksi. Representasimempunyai fungsi yang amat penting bahkan merupakan sentral dalam belajar danberpikir matematik. Merepresentasikan suatu konsep matematika diartikan sebagaimenghasilkan suatu contoh (instance), contoh khusus (specimen), gambaran (image)dari konsep matematika tadi. Namun definisi tersebut belum mencukupi karena belummenjelaskan apakah contoh yang dihasilkan bersifat simbolik atau mental. Suaturepresentasi simbolik (symbolic representation) baik secara lisan maupun tertulisbertujuan memudahkan membuat komunikasi tentang konsep tersebut. Sebaliknya,suatu representasi mental menunjukkan skemata internal yang digunakan seorangindividu untuk berinteraksi dengan dunis luar. Representasi mental dilaksanakan di

4

dalam otak manusia dan tidak tampak oleh mata, namun dapat diidentifikasi melaluipenjelasan individu dalam bentuk lisan atau tulisan terhadap objek matematikatertentu.

Ketika kita memberikan suatu simbol untuk suatu idea matematik tertentu,maka simbol tersebut memiliki makna khusus mewakili idea yang bersangkutan.Misalnya simbol Sn menunjukkan suatu grup simetrik berderajat n, dapat jugamenunjukkan rumus jumlah n suku pertama suatu deret. Representasi dapat dalambentuk representasi simbol (symbolic representation) atau representasi mental (mentalrepresentation).Representasi simbol misalnya, dalam proses pembuktian limit suatu fungsi ditulisl i m f(x) = L dikenalkan bilangan kecil positif disimbolkan dengan ε dan δ.x cContoh lainnya misalnya dalam merepresentasikan konsep luas daerah yang dibatasioleh kurva f, sumbu X, garis x = a dan x = b disimbolkan dengan . .

Setiap mahasiswa yang belajar kalkulus akan paham makna dari simbol tersebut.Contoh proses representasi mental, terlukis ketika individu merumuskan,

mendefinisikan, mengilustrasikan atau memberi contoh atau non-contoh suatu konsepmatematika. Representasi mental seorang mahasiswa sangat mungkin berbeda denganrepresentasi mental mahasiswa lainnya, bahkan seorang mahasiswa dapat menyusunrepresentasi mental suatu konsep dalam bentuk yang beragam. Sebagai contoh,representasi mental dari konsep fungsi, dapat berbentuk grafik, formula aljabar,diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan tabel nilai. Agar individu berhasildalam belajar matematika dengan lebih baik maka diharapkan ia memiliki representasimental yang baik (kaya), yaitu yang dapat membuat beragam bentuk representasi yangmemuat banyak kaitan aspek tentang konsep tadi. Misalnya, dari masing-masingbentuk representasi mental konsep fungsi di atas, ia dapat memberikan definisi,ilustrasi atau contoh atau non-contoh konsep fungsi tadi. Sebaliknya, bila ia hanyamemberikan bentuk-bentuk rerpesentasi suatu konsep yang terbatas dan hanya memuatsedikit kaitan tentang konsep itu maka dikatakan ia memiliki representasi mental yangburuk.

Komponen lain dari representasi adalah memodelkan yang diartikan sebagaimenemukan representasi matematik dari suatu situasi matematik, objek atau proses.Dalam kasus tertentu, proses merepresentasi beranalogi dengan proses memodelkan,namun keduanya tidak sama. Dalam memodelkan situasi yang disajikan dapat bersifatphisik dan modelnya bersifat matematik; sedangkan pada proses merepresentasi,objeknya adalah struktur matematik dan modelnya adalah struktur mental. Dengandemikian representasi mental berelasi dengan model matematik; dan model matematikberelasi dengan sistem phisik.

Berkenaan dengan abstraksi, tiga proses yang termuat dalam abstraksi adalah:menggeneralisasi, mensintesa, dan mengabstrasi. Proses menggeneralisasi merupakanproses menarik kesimpulan umum berdasarkan data atau proses yang teramati. Sebagaiilustrasi, mencari turunan pertama dari f(x) = x, dengan menggunakan definisi turunanfungsi diperoleh f’(x) = l i m = l i m = 1. Dengan cara yang

h 0 h 0Dengan cara yang sama atau analogi turunan pertama di atas akan diperoleh turunanpertama f(x)= x2 yaitu f’(x2) = 2x, f’(x3) = 3 x2 dan seterusnya. Dengan mengamatisifat-sifat pada proses menurunkan di atas, maka secara induktif akan diperolehgeneralisasi atau konjektur f’(xn)= n xn – 1. Selanjutnya untuk membuktikan kebenaran

hxfhxf )()(

h

xhx )(

b

adxxf )(

5

dari generalisasi atau konjektur tadi maka harus dilakukan dengan pembuktian yangdeduktif.

Proses mensintesa adalah proses mengkombinasikan atau menyususn bagian-bagian sedemikian sehingga membentuk sesuatu keseluruhan, kesatuan atau entitas.Keseluruhan tersebut bukan sekadar jumlah bagian-bagiannya, namun lebih dari itukarena dalam proses tersebut berlangsung juga proses mengkaitkan bagian-bagianyang saling lepas menjadi suatu entitas yang saling berelasi. Sebagai contoh, dalamaljabar, siswa belajar beberapa konsep yang saling terpisah misalnya fungsi polinom,titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat, turunan fungsi, ekstrim fungsi,fungsi turun dan naik, dan sebagainya. Kemudian pengetahuan yang saling lepastersebut digabungkan untuk memperoleh grafik fungsi yang cermat. Prosesmenggabungkan bagian-bagian yang saling lepas tadi menjadi satu kesatuan yaitugrafik fungsi f dinamakan sintesa. Proses mengabstraksi memuat proses generalisasidan sintesa yang mendalam dan lebih kompleks, karena proses mengabstrasi lebihbersifat konstruktif, membangun struktur mental dari struktur matematik, misalnyasifat-sifat dan relasi antar objek matematik.

Merepresentasi dan mengabstraksi adalah proses yang saling melengkapi satudengan lainnya. Pada satu kasus, suatu konsep sering diabstraksi dari beberaparepresentasi, di lain kasus suatu representasi merupakan representasi dari beberapakonsep yang abstrak. Memperhatikan hubungan yang saling melengkapi antaramengabstraksi dan merepresentasi, dan antara representasi matematik dan representasimental, hendaknya proses belajar dilaksanakan melalui empat tahap berturut-turutmenggunakan: representasi tunggal, representasi paralel, menyusun kaitan antarrepresentasi paralel, dan mengintegrasikan representasi dan mengalihkan merekasecara fleksibel. Penggunaan beberapa representasi membantu mahasiswa membuattransisi dari pemahaman konkrit yang terbatas menjadi pemahaman yang lebih abstrakdan fleksibel.

Proses merepresentasi dan mengabstraksi yang telah diuraikan di atas,merupakan proses penting dalam AMT. Beberapa proses penting lain yang mendahuluiberlangsungnya proses merepresentasi dan mengabstraksi adalah: menemukan(discovering), berintuisi (intuiting), memeriksa (checking), membuktikan (proving),mendefinisikan (defining) dan lainnya. Berikut ini disajikan beberapa contohmerepresentasi dan mengabsraksi matematik.a) Kemampuan representasi matematik meliputi: kemampuan memberikan contoh

(specimen, example) dan non-contoh, gambaran atau ilustrasi (image);menerjemahkan pernyataan atau masalah matematik ke dalam bentuk lainnya(switching representation atau translating); kemampuan membuat modelmatematik dari objek atau proses matematik.

a.1) Kemampuan memberikan contoh dan non-contohKonsep fungsi

Definisi fungsi: Fungsi f dari hinpunan A ke himpunan B adalah relasi yangmemasangkan tiap satu anggota A dengan satu dan hanya satuanggota di B

Contoh:

1) {(1,3), (2,3), (3,5), (4,1)}2) f(x) = x2 + 1 Df = (- ∞, +∞)3) x2 + y2 = 4 Df = (- 2, +2) Rf = (0, +2)

6

4) Y

O 1 2 3 4 X

Contoh bukan fungsi5) {(1,3), (3,3), (1,5), (4,1)}6) x2 + y2 = 4 Df = (0, +2) Rf = (-2, +2)

7) Y

XO a b c

a.2) Contoh representasi: kemampuan memberikan gambaran atau ilustrasi(image);

1) Dalam Kalkulus Ia) Pengertian limit kiri dan limit kanan suatu fungsi, serta limit fungsi di satu titikb) Pengertian fungsi kontinu, fungsi diskontinu, fungsi diskontinu yang dapat

dihapuskan dan fungsi diskontinu yang dapat dihapuskan

a) Andaikan diketahui suatu fungsi f = . Tentukan nilai-nilai f jikanilai x makin dekat ke -1 dari arah bilangan yang lebih kecil dari -1;Tentukan nilai-nilai f jika nilai x makin dekat ke -1 dari arah bilangan yang lebihbesar dari -1;

f(x) =

x -2 -1,5 -1,1 -1,01 -1 -0,99 - 0,9 -0,5 0

y Tdk

terdef

Bila dihitung untuk x makin dekat ke -1 (dari bilangan yang kecil dari -1ditulis x -1- ) maka nilai f makin dekat ke -5 dari bilangan yang kecil dari -5.Dikatakan limit f kiri untuk x -1- adalah -5 dan ditulis

1

432

x

xx

1

)4)(1(

1

432

x

xx

x

xx

l i m f = -5x -1-

7

Kalau x makin dekat ke -1 (dari bilangan yang besar dari -1 ditulis x -1+ ) makanilai f makin dekat ke -5 dari bilangan yang besar dari -5. Dikatakan limit f kananuntuk x -1+ adalah -5 dan ditulis

Kondisi seperti di atas, di mana limit kiri f sama dengan limit kanan f dikatakan fmempunyai limit sama dengan 5 untuk x dekat ke -1. Keadaan ini ditulis ataudipresentasikan dengan

Kalau didefinisikan f(-1) = -5, dari kondisi di atas disimpulkanl i m f = l i m f = l i m f = l i m f = f (-1) = -5.x -1- x -1+ x -1

Keadaan tersebut dikatakan f kontinu di x = -1

Dengan cara serupa dapat dilustrasikan konsep-konsep lain misalnya fungsidiskontinu, fungsi diskontinu yang dapat dihapuskan dan fungsi yang diskontinu yangtidak dapat dihapuskan. Berdasarkan ilustrasi yang bersangkutan maka dapatditurunkan definisi fungsi diskontinu, fungsi diskontinu yang dapat dihapuskan danfungsi yang diskontinu yang tidak dapat dihapuskan di satu titik.

a.3) Menerjemahkan pernyataan atau masalah matematik ke dalam bentuklainnya (switching representation atau translating)

Tentukan model matematika persamaan garis singgung di titik x = c pada fungsi fdengan rumus f(x)Penyelesaian:Gradien garis singgung di x = c terhadap fungsi f sama dengan f’(c),Persamaan garis singgung di x = c terhadap f adalah garis melalui x = c pada f dandengan gradien f’(c). Jadi model matematika garis singgung melalui x = c terhadap fadalah y – f(c) = f’(c) (x – c)

b) Kemampuan abstraksi matematik (mathematical abstraction) meliputi:menggeneralisasi, mensintesa, dan membuat ringkasan

b.1.) Menggeneralisasi

Contoh mengeneralisasi dalam proses menurunkan fungsiMisal diberikan f(x) = x, Tentukan f’(x).Dengan menggunakan definisi turunan fungsi f’(x)=

diperoleh f’(x) = l i m = l i m = 1.h 0 h 0

Misal diberikan f(x) = x2. Tentukan f’(x).Dengan menggunakan definisi turunan fungsi f’(x)= l i m

h 0diperoleh f’(x) = l i m = l i m = l i m 2x = 2x.

h 0 h 0 h 0Dengan cara serupa (analogi) akan diperoleh f’(x2) = 2x, f’(x3) = 3 x2 dan seterusnya.Dengan mengamati sifat-sifat pada proses menurunkan di atas, maka secara induktif

hxfhxf )()(

h

xhx )(

l i m f = -5x -1

l i m f = -5x -1+

hh

h

xfhxf )()(

h

xhx 22)(

hhxh 22

8

akan diperoleh generalisasi atau konjektur f’(xn)= n xn–1. Selanjutnya untukmembuktikan kebenaran dari generalisasi atau konjektur tadi maka harus dilakukandengan pembuktian yang deduktif.

Bukti:Misal diketahui fungsi f dengan f(x) = xn. Dengan menggunakan definisi turunanfungsi f’(x)= l i m , diperoleh

h 0f’(x) = l i m = l i m

h 0 h 0= l i m = l im (nxn-1+ n (n-1) xn-2h+ ...+h n-1) = nxn-1

h 0 h 0= l im (nxn-1+ n (n-1) xn-2h+ ...+hn-1) = nxn-1 (keterangan: mulai suku kedua dan

h 0suku-suku berikutnya memuat faktor h dan untuk h 0 maka suku-suku tersebutmenuju 0)Jadi f’(x) = nxn-1 (terbukti)

b.3 Contoh mensintesaProses mensintesa adalah proses mengkombinasikan atau menyusun bagian-

bagian sedemikian sehingga membentuk sesuatu keseluruhan, kesatuan atau entitas.Keseluruhan tersebut bukan sekadar jumlah bagian-bagiannya, namun lebih dari itukarena dalam proses tersebut berlangsung juga proses mengkaitkan bagian-bagianyang saling lepas menjadi suatu entitas yang saling berelasi. Sebagai contoh, dalammenggambar grafik suatu fungsi perlu dicari dulu titik esensial pada grafik antara lain,titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat, turunan fungsi: ekstrim fungsi,fungsi turun dan naik, kurva cekung ke atas, cekung ke bawah dan titik yang dapatsaling lepas satu dengan yang lainnya. Kemudian pengetahuan yang saling lepastersebut digabungkan untuk memperoleh grafik fungsi yang cermat. Prosesmenggabungkan bagian-bagian yang saling lepas tadi menjadi satu kesatuan yaitugrafik fungsi f merupakan contoh sintesa dalam menggambar grafik suatu fungsi.

Contoh lain proses mensintesa adalah memeriksa sifat kekontinuan fungsi disatu titik. Misal diketahui fungsi f dengan aturan sebagai berikut.

Periksalah kekontinuan f pada titik-titik perubahan selang dan tuliskan jeniskekontinuan fungsi pada titik yang bersangkutan.

Penyelesaian:Untuk memeriksa kekontinuan suatu fungsi pada suatu titik, akan diperiksapersyaratan atau sifat kontinu suatu fungsi di satu titik dengan menggunakn definisifungsi kontinu di satu titik.Definisi: f kontinu di x = c jika dan hanya jika1) f terdefinisi di x = c artinya f(c) ada dan terhingga2) l i m f(x) = l i m f(x) = f(c)

xc- x c+

hxfhxf )()(

hxhx nn )(

hxhhxnnhnxx nnnnn )..........)1(( 221

hhhxnnhnx nnn )..........)1(( 221

4 xjika2

4 x2jika7x-

2jika0

2 x2-jika1 x

f(x)

2

x

9

Titik-titik perubahan selang adalah titik x = 2, dan x = 4Akan diperiksa kekontinuan f di x = 21) f(2) = 02) l i m f(x) = l i m (x2 + 1) = 5

x2- x2-

3) l i m f(x) = l i m (-x+ 7) = 5x2+ x2+

Dari 1), 2), dan 3) diperoleh l i m f(x) = l i m f(x) = f(c) f(2) = 0xc- x c+

Jadi f diskontinu di x = 2 dan menjadi kontinu jika didefinisikan f(2) = 5.Kondisi tersebut dikatakan f diskontinu yang dapat dihapuskan di x = 2Akan diperiksa kekontinuan f di x = 44) f(4) = 25) l i m f(x) = l i m ((-x+ 7) = 3

x4- x4-

6) l i m f(x) = l i m 2 = 2x4+ x4+

Dari 1), 2), dan 3) diperoleh l i m f(x) l i m f(x) f(4) = 2x4- x 4+

Jadi f diskontinu di x = 2 dan tidak dapat menjadi kontinu karenal i m f(x) l i m f(x) . Kondisi seperti ini dinamakan f diskontinu di x =4 yang tidakx4- x 4+

dapat dihapuskan.Andaikan diminta menggambar grafik f, maka tugas tersebut adalah merupakan

contoh proses mensintesa lainnya. Dalam proses sintesa ini, hasil pemeriksaan sintesasebelumnya menjadi informasi penting dalam proses menggambar grafik f. Titik-titikesensial lainnya adalah titik potong f dengan sumbu X yaitu (2,0); titik potong fdengan sumbu Y, yaitu (0,1).

Proses mengabstraksi memuat proses generalisasi dan sintesa yang mendalamdan lebih kompleks, karena proses mengabstrasi lebih bersifat konstruktif, membangunstruktur mental dari struktur matematik, misalnya sifat-sifat dan relasi antar objekmatematik.

10

c) Menghubungkan representasi dan abstraksiMerepresentasi dan mengabstraksi adalah proses yang saling melengkapi satu

dengan lainnya. Pada satu kasus, suatu konsep sering diabstraksi dari beberaparepresentasi, di lain kasus suatu representasi merupakan representasi dari beberapakonsep yang abstrak. Memperhatikan hubungan yang saling melengkapi antaramengabstraksi dan merepresentasi, dan antara representasi matematik danrepresentasi mental, hendaknya proses belajar dilaksanakan melalui empat tahapberturut-turut menggunakan: representasi tunggal, representasi paralel, menyusunkaitan antar representasi paralel, dan mengintegrasikan representasi dan mengalihkanmereka secara fleksibel. Penggunaan beberapa representasi membantu mahasiswamembuat transisi dari pemahaman konkrit yang terbatas menjadi pemahaman yanglebih abstrak dan fleksibel.

Proses merepresentasi dan mengabstraksi yang telah diuraikan di atas,merupakan proses penting dalam AMT. Beberapa proses penting lain yangmendahului berlangsungnya proses merepresentasi dan mengabstraksi adalah:menemukan (discovering), berintuisi (intuiting), memeriksa (checking),membuktikan (proving), mendefinisikan (defining) dan lainnya.

2. Kemampuan kreativitas matematik (mathematical creativity)Istilah kreativitas merupakan suatu phenomena yang kompleks dan sukar

didefinisikan secara ketat dan direpresentasikan melalui pendekatan yang berbedaoleh para pakar (Alvino dalam Cotton, 1991, Coleman dan Hammen dalamYudha,2004, Ervynck dalam Tall, Ed. 1991, Meissner, 2000 dalam Yushau, 2009, Munandar,1987, 1992, Musbikin, 2006, Semiawan, 1984, Standler, 1998). Rhodes(Munandar,1987), Munandar (1992), dan Supriadi (1994) mendefinisikan kreativitasdengan menganalisis empat dimensinya yang dikenal dengan istilah “the Four P's ofCreativity, atau “empat P dari kreativitas” yaitu Person, Product, Process, dan PressPertama, kreativitas sebagai person mengilustrasikan individu dengan fikiran atauekspresinya yang unik. Kedua kreativitas sebagai produk merupakan kreasi yang asli,baru, dan bermakna. Ketiga, kreativitas sebagai proses merefleksikan kemahiran dalamberfikir yang meliputi: kemahiran (fluency), fleksibilitas (flexibility), originalitas(originality), dan elaborasi ( ellaboration). Yang terakhir, kreativitas sebagai pressadalah kondisi internal atau eksternal yang mendorong munculnya berfikir kreatif.Serupa dengan definisi kreativitas sebagai proses di atas, Fisher (1990) dan Alvino(Cotton, 1991) menyatakan bahwa berpikir kreatif adalah berbagai cara melihat ataumelakukan sesuatu diklasifikasikan dalam empat komponen yaitu (1) kelancaran(fluency) membuat berbagai ide; (2) kelenturan (flexibility) kelihaian memandang kedepan dengan mudah); (3) keaslian (originality) menyusun sesuatu yang baru; dan (4)elaborasi (elaboration) membangun sesuatu dari ide-ide lainnya.

Selanjutnya, Munandar (1999, 2004), merinci ciri-ciri keempat komponenberpikir kreatif sebagai berikut. Ciri-ciri fluency meliputi: a) Mencetuskan banyak ide,banyak jawaban, banyak penyelesaian masalah, banyak pertanyaan dengan lancar; b)Memberikan banyak cara atau saran untuk melakukan berbagai hal; c) Selalumemikirkan lebih dari satu jawaban. Ciri-ciri flexibility adalah: a) Menghasilkangagasan, jawaban, atau pertanyaan yang bervariasi, dapat melihat suatu masalah darisudut pandang yang berbeda-beda; b) Mencari banyak alternatif atau arah yangberbeda-beda; c) Mampu mengubah cara pendekatan atau cara pemikiran. Ciri-cirioriginality meliputi: a) Mampu melahirkan ungkapan yang baru dan unik; b)Memikirkan cara yang tidak lazim untuk mengungkapkan diri; c) Mampu membuatkombinasi-kombinasi yang tidak lazim dari bagian-bagian atau unsur-unsur. Ciri-

11

ciri elaboration meliputi: a) Mampu memperkaya dan mengembangkan suatu gagasanatau produk; b) Menambah atau merinci detil-detil dari suatu obyek, gagasan, atausituasi sehingga menjadi lebih menarik.

Yudha (2004) mengemukakan lima tahap berpikir kreatif yang meliputi: a)Orientasi masalah: merumuskan masalah dan mengidentifikasi aspek-aspek masalahtersebut; b) preparasi: mengumpulkan informasi yang relevan dengan masalah, c)inkubasi: ketika proses pemecahan masalah menemui jalan buntu, biarkan pikiranberistirahat sebentar; d) iluminasi: mencari ilham dan insight untuk memecahkanmasalah; e) verifikasi: menguji dan menilai secara kritis solusi yang diajukan. Dalamhal cara yang diajukan tidak dapat memecahkan masalah, pemikir sebaiknya kembalimenjalani kelima tahap itu, untuk mencari ilham baru yang lebih tepat.

Berkenaan dengan kreativitas matematik, Ervynck (Tall, Ed. 1991)mengemukakan bahwa proses kreatif matematik berlangsung tidak dalam kondisi yangkosong, namun berlangsung dalam suatu konteks dan berhubungan denganpengetahuan sebelumnya. Kemudian ia menguraikan secara mendalam mengenaikreativitas matematik yang meliputi: tahap-tahap perkembangan kreativitas matematik,dan definisi tentatif, unsur-unsur, karakteristik, motif, hasil, dan kekeliruan dalamkreativitas matematik. Perkembangan kreativitas matematik melalui tiga tahap sebagaiberikut.a) Tahap 0: tahap teknis awal.

Tahap ini belum merupakan kegiatan kreatif, dan hanya menerapan rumus atauprosedur matematik secara teknis atau prosedural tanpa menyadari teori yangmendasarinya;

b) Tahap 1: Kegiatan algoritmik.Tahap ini lebih tinggi dari tahap tenis, namun belum bersifat kreatif. Kegiatan pada

tahap ini hanya mengikuti prosedur melaksanakan operasi matematik: menghitung,memanipulasi, dan menyelesaikan. Misalnya, kegiatan komputasi matematikmenggunakan program komputer dalam menyelesaikan persamaan diferensialadalah tergolong kegiatan algoritmik.

c) Tahap 2: Kreatif, konseptual, konstruktif kegiatan.Tahap inilah yang sesungguhnya bersifat kreatif, non-algoritimik, dan kompleks.Kegiatan pada tahap ini bersifat divergen, memuat pilihan misalnya memilih konseptertentu yang akan didefinisikan, dijelaskan atau dibuktikan.

Selanjutnya Ervynck (Tall, Ed. 1991) mengemukakan kreativitas dalam AMTmemuat kemampuan memformulasi suatu definisi yang bermutu (fluency),memformulasi idea dasar suatu konteks ke dalam konteks matematik (flexibility),mengkreasi objek-objek matematik yang baru dan menemukan hubungan timbal-balikantar objek-objek itu (originality), menyelesaikan masalah atau mengembangkanstruktur berpikir, menjabarkan logico-deductive yang asing, dan menyesuaikan konsepyang digenerasi dan diintegrasikan menjadi konsep matematik inti yang penting(elaboration). Beberapa langkah dalam kegiatan kreativitas matematik adalah: a)memahami matematika secara mendalam, b) melakukan intuisi terhadap strukturmatematika, c) berimajinasi dan berinspirasi, d) mengubah hasil yang diperoleh kedalam bentuk struktur deduktif formal. Daya yang dihasilkan dari kegiatan kreativitasmatematik di antaranya adalah: pemahaman yang mendalam, intuisi untuk menyusunkonjektur, pengertian yang dalam, dan generalisasi dari proses dan data yang diperolehsebelumnya.

Berkenaan dengan matematika, Puccio dan Murdock (Costa, ed., 2001)mengemukakan berpikir kreatif memuat aspek keterampilan kognitif, afektif, dan

12

metakognitif. Keterampilan kognitif tersebut antara lain kemampuan: mengidentifikasimasalah dan peluang (elaboration), menyusun pertanyaan yang baik dan berbeda(flexibility), mengidentifikasi data yang relevan dan yang tidak relevan, masalah danpeluang yang produktif (elaboration); menghasilkan banyak idea (fluency), idea yangberbeda (flexibility), dan produk atau idea yang baru (originality), memeriksa danmenilai hubungan antara pilihan dan alternatif (elaboration), mengubah pola pikir dankebiasaan lama dan menyusun hubungan baru (originality), memperluas, danmemperbaharui rencana atau idea (elaboration). Sedang dalam aspek kemampuanmetakognitif, kegiatan yang termuat dalam berfikir kreatif antara lain: merancangstrategi, menetapkan tujuan dan keputusan, mempredikasi berdasarkan data yang tidaklengkap, memahami kekreatifan dan sesuatu yang tidak dipahami orang lain,mendiagnosa informasi yang tidak lengkap, membuat pertimbangan multipel,mengatur emosi, dan memajukan elaborasi solusi masalah dan rencana.

Silver (1997) dan Sriraman (2004) mendefinisikan kreativitas matematiksebagai kemampuan pemecahan masalah dan berfikir matematik secara deduktif danlogik. Krutetskii (Sriraman, 2004) mendefinisikan kreativitas sebagai kemampuanmengabstraksi suatu generalisasi konten matematika. Kemudian, Briggs dan Davis(2008) menyarankan paradigma baru tentang kreativitas matematik sebagai berikut:matematika tidak selalu menyajikan produk baru, karena menghasilkan solusi darisuatu masalah baru juga merupakan produk kreatif bagi seseorang. Pengembangankreativitas mendukung siswa mencapai hasil belajar yang lebih baik, dan mengurangirasa kecemasan siswa terhadap matematika. Untuk memfasilitasi tumbuhnyakreativitas matematik, disarankan agar menciptakan suasana lingkungan yang aktif,mendorong mahasiswa mengobservasi secara aktif, memiliki pengalaman kreatifmatematik, mendorong mahasiswa menyusun koneksi matematik, mengajukanpertanyaan, dan merefleksi proses matematik secara lisan dan tulisan. Serupa denganpendapat pakar lainnya, Balka (Mann, 2005) menyatakan bahwa kemampuan berpikirkreatif matematis adalah kemampuan berpikir konvergen dan berpikir divergen, yangmeliputi: a) kemampuan memformulasi hipotesis matematika yang difokuskan padasebab dan akibat dari suatu situasi masalah matematis (fluency), b) kemampuanmenentukan pola-pola yang ada dalam situasi-situasi masalah matematis (elaboration);c) kemampuan memecahkan kebuntuan pikiran dengan mengajukan solusi-solusi barudari masalah-masalah matematis (originality); d) kemampuan mengemukakan ide-idematematika yang tidak biasa dan dapat mengevaluasi konsekuensi-konsekuensi yangditimbulkannya (originality); e) kemampuan mengidentifikasi informasi yang hilangdari masalah yang diberikan, dan f) kemampuan merinci masalah umum ke dalamsub-sub masalah yang lebih spesifik (elaboration).

Contoh Butir tes berfikir kreatif matematik untuk mahasiswa (Nurlaelah, 2009)

Berikan sebuah contoh grup G dan sub-grup asli H sehingga G isomorphik dengan H.Kemudian tunjukkan bahwa jawabanmu memenuhi persyaratan yang diperlukan.

3. Kemampuan melaksanakan membuktikanKemampuan melaksanakan pembuktian matematik meliputi kemampuan

membaca bukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti.

3.1 Kemampuan Membaca BuktiBerkaitan dengan kemampuan membaca bukti, Sumarmo (2004) menyatakan

bahwa seorang pembaca dikatakan memahami teks matematika misalnya sajian bukti

13

matematika, apabila ia dapat mengemukakan gagasan matematika yang termuatdalam teks tersebut secara lisan atau tulisan dengan bahasanya sendiri. Dengandemikian, ia tidak hanya sekedar melafalkan uraian suatu bukti, melainkanmengemukakan makna yang terkandung di dalam bukti matematik yangbersangkutan. Ditinjau dari segi tujuan, keterampilan membaca bukti matematikamerupakan satu bentuk kemampuan komunikasi matematik dan mempunyai peransentral dalam belajar matematika. Secara umum, melalui membaca mahasiswamengkonstruksi makna matematik (Siegel, Borasi, Ponzi, Sanrige, dan Smith dalamSumarmo, 2004) sehingga mahasiswa belajar matematika bermakna secara aktif.Istilah membaca diartikan sebagai serangkaian keterampilan untuk menyusun intisariinformasi dari suatu teks. Mengacu pada “transactional theory of reading”,Rosenblatt (Sumarmo, 2004) mengemukakan bahwa selama kegiatan membaca,pembaca membentuk dan dibentuk secara aktif oleh teks. Ini berarti bahwa pembacatidak hanya sekadar melafalkan sajian tertulis saja, tetapi dengan menggunakanpengetahuannya, minatnya, nilainya, dan perasaannya pembaca mengembangkanmakna yang termuat dalam teks yang bersangkutan. Seorang pembaca dikatakanmemahami teks yang dibacanya secara bermakna apabila ia dapat mengemukakanidea dalam teks matematika tersebut secara benar dalam bahasanya sendiri.Kemampuan mengemukakan idea matematik dari suatu teks matematika dalambentuk lisan atau tulisan merupakan bagian penting dari standar komunikasimatematik. Keterampilan membaca teks matematik siswa dapat diestimasi melaluikemampuan mereka menyampaikan secara lisan, menuliskan kembali, dan ataumenilai kebenaran idea matematik yang termuat dalam teks atau sajian denganbahasanya sendiri.

Ditinjau dari tujuannya, terdapat empat jenis membaca (Moesono, 2002,dalam Sumarmo, 2004) sebagai berikut.

1) Literal reading, yaitu membaca dengan tujuan untuk memperoleh informasi untukpemahaman lebih lanjut.

2) Interpretatif reading yaitu membaca dengan tujuan untuk menarik kesimpulan dariisi teks baik yang tersurat maupun yang tersirat.

3) Critical reading yaitu membaca dengan tujuan untuk mengevaluasi isi teks,membandingkan gagasan yang terdapat dalam teks, dan membuat kesimpulanhasil bandingannya. Kemampuan membaca jenis ini memerlukan kemampuanliteral reading dan interpretative reading.

4) Creative reading yaitu membaca dengan tujuan untuk mampu menyusun gagasanbaru, pandangan baru, pendekatan baru berdasarkan imajinasi terhadap isi teksyang dibaca. Kemampuan membaca jenis ini memerlukan kemampuan literalreading, interpretative reading. dan critical reading.

Ditinjau caranya, membaca dapat diklasifikasikan dalam membaca cepat(efisien), membaca pemahaman (memindai), dan membaca ekstensif. Ada dua jenismembaca cepat yaitu membaca skimming, dan membaca scanning (Moesono, 2002,dalam Sumarmo, 2004). Membaca skimming dilakukan bila pembaca inginmemperoleh informasi yang lebih banyak dalam waktu yang singkat. Pembaca tidakperlu membaca keseluruhan teks, namun hanya memilih gagasan penting saja, sedangfakta dan detail lainnya dibaikan. Membaca scanning dilakukan bila pembaca inginmemperoleh informasi atau data tertentu, pembaca langsung menuju sasaran danbagian lain dilompati. Dihubungkan dengan tjuannya, kedua jenis membaca ini,tergolong pada lateral reading. Dalam membaca memindai, pembaca mencermati tekslebih seksama untuk memperoleh pemahaman yang mendalam. Sedang dalammembaca ekstensif, selain mencermati teks secara lebih seksama, pembaca

14

mengkaitkan pula dengan gagasan lain di luar teks. Ditinjau dari tujuannya, membacamemindai tergolong pada interpretative dan creative reading, sedang membacaekstensif tergolong pada creative reading.

Contoh Butir Tes Membaca Bukti (Kusnandi, 2009)Bacalah argumen berikut dengan teliti.

Misalkan a dan b adalah bilangan bulat sehingga ppb (a, b) = 1, maka ppb (2a + b, a +2b) = 1 or 3” (catatan: ppb adalah pembagi persekutuan terbesar)Bukti pernyataan di atas adalah sebagai berikut:Misalkan ppb (2a + b, a + 2b) = d, jadi berdasarkan definisi ppb maka d | (2a + b)dan d |(a +2b). Ekspresi ini menghasilkan d | 3a dan d | 3b. Kemudian berdasarkandefinisi alternatif ditemukan bahwa d | ppb (3a, 3b) atau d | 3 ppb (a, b). Tetapi ppb(a, b) = 1, jadi d | 3. Karena d > 0 maka nilai d adalah 1 atau 3. Jadi, ppb (2a +b, a + 2b) = 1 atau 3.

Dengan menggunakan argumen yang serupa, selesaikanlah soal ini. Jika a danb adalah bilangan asli sehingga ppb (a, b) = 1, tentukan nilai ppb (2a + 3b, 3a + 2b)

3.2. Kemampuan mengkonstruksi buktiKemampuan mengkonstruksi bukti adalah kemampuan menyusun suatu bukti

pernyataan matematik berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema, serta menuliskannyadalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian langsung atau tak langsung).Kemampuan ini meliputi: kemampuan mengidentifikasi premis beserta implikasinyadan kondisi yang mendukung; kemampuan mengorganisasikan dan memanipulasifakta untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan; kemampuan membuat koneksiantara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan.

Hanna (Tall, Ed. 1991) menjelaskan tentang bukti matematis yang meliputi: a)penekanan bukti formal, b) pandangan terhadap matematika, c) faktor-faktor dalambukti yang diterima, dan penalaran yang hati-hati. Beberapa pakar menawarkanmetode pembuktian untuk meningkatkan kemampuan membaca dan mengkonstruksibukti suatu pernyataan matematik. Tall (1991) mengajukan konsep bukti generiksebagai cara untuk meningkatkan pemahaman membaca bukti suatu pernyataan.Kemudian, Leron (Tall, 1991) menawarkan bukti terstruktur dengan menggabungkanmetode penyajian formal dan informal ke dalam suatu pembuktian, yang bukanbertujuan untuk meyakinkan, tetapi untuk membantu pembaca dalam meningkatkanpemahamannya terhadap gagasan di belakang bukti itu. Reiss dan Renkl (2002)mengajukan konsep contoh-jawab huristik dengan langkah-langkah huristik: 1)mengeksplorasi situasi masalah, 2) membuat konjektur, 3) mengumpulkan informasiuntuk memeriksa konjektur, (4) membuktikan konjektur, (5) memeriksa kembali.Pakar lainnya, Uhlig (2003) mengemukakan pendekatan pembuktian denganserangkaian deduksi Definition-Lemma-Proof-Theorema-Proof-Corollary, melaluiserangkaian pertanyaan eksploratif: What happens if ? Why does it happen ? How dodifferent cases occur ? What is true here ? yang disingkat dengan nama WWHW.Metode pembuktian lain dikemukakan oleh Krummheuer (dalam Hoyles &Kuhemann, 2003) untuk menganalisis argumentasi, seperti pada Gambar 1 di bawahini. Dalam pembuktian matematika, pernyataan-pernyataan matematika membentukargumentasi, yang data sebagai premis-premis dan warrant yang terdiri dari definisiatau teorema. Diagram skematik di atas merupakan model untuk membantu membacabukti suatu pernyataan matematika, kemudian dengan modifikasi digunakan untukmengkonstruksi bukti matematika.

15

Sebagai contoh, dalam pernyataan “jika p maka q” atau “p q” , padalah premis dan q adalah konklusi. Berdasarkan diagram skematik dariKrummheuer, p adalah data dan q adalah conclusion. Seorang mahasiswadikatakan dapat membaca bukti pernyataan matematika berbentuk p q apabila ia:dapat mengidentifikasi apa yang menjadi data apa yang menjadi conclusion daripernyataan itu; dapat menyatakan keterkaitan di antara data, dan antara data dengankonklusi dengan menunjukkan suatu warrant; dapat membuat dugaan mengenaikonsep kunci yang menjembatani antara data dan konklusi; dapat mengevaluasiaturan-aturan penarikan kesimpulan dari fakta-fakta yang diberikan atau yangdiperoleh secara kritis; dan dapat mengekspresikan ide serta proses matematika baiksecara lisan maupun tulisan.

Diagram skematik Krummheuer dapat juga digunakan untuk mengembangkansuatu model strategi pembuktian matematika secara informal. Konklusi di dalamskematik itu, baik sebagai target-conclussion maupun claim perantara yangdilakukan di atas menggunakan penarikan kesimpulan secara deduktif. Argumentasidengan cara seperti ini dinamakan argumentasi deduktif. Namun dalam kasustertentu, warrant yang menjamin untuk menghasilkan suatu konklusi dari data yangada belum terpikirkan Salah satu cara untuk memunculkan gagasan ke arah claimperantara adalah dengan cara abduktif. Abduksi adalah suatu penarikan kesimpulanyang dimulai dari fakta yang diamati berupa claim, dan suatu aturan yang diberikan,membawa pada suatu kondisi yang harus dimiliki. Langkah abduktif dapat disajikandengan cara sebagai berikut:

BA B Premis yang lebih memungkinkan adalah A di mana B adalah fakta

yang diamati (sebagai claim), dan A B adalah suatu aturan (sebagai warrant).Argumentasi dengan cara seperti ini dinamakan argumentasi abduktif.

Argumentasi pembuktian yang dilakukan dengan mengkombina-sikan keduaargumentasi seperti pada pembuktian teorema 1 di atas dinamakan argumentasiabduktif-deduktif. Dengan demikian, langkah-langkah membuktikan pernyataan A B dengan abduktif-deduktif dapat disajikan sebagai berikut

B AC B A C Premis yang lebih memungkinkan adalah C C

Data Conclusion

Warrant

Backing

Since

On account of

Gambar1 Skematik untuk Menganalisis Argumentasi(Sumber: Krummheuer , dalam Hoyles & Kuhemann, 2003, dalam Kusnandi,

2010)

Because So

16

di mana C adalah konsep kunci yang menjembatani antara fakta A dankesimpulan B

Model-model argumentasi dalam pembuktian matematika di atas, bukanmodel penulisan bukti matematika, tetapi hanya merupakan suatu model untukmenjembatani pemahaman terhadap suatu pernyataan matematika, dan langkah-langkah pembuktian pernyataan tersebut. Pedemonte (2003) berhasilmengidentifikasi dua jenis struktur argumentasi yaitu struktur argumentasi abduktifdan struktur argumentasi deduktif. Kedua argumentasi di atas dijadikan alat untukmemunculkan gagasan utama dari pembuktian suatu pernyataan.

Dalam pembuktian matematika, ungkapan dosen dan mahasiswa mendorongterjadinya interaksi di antara mahasiswa dan dosen dalam suatu diskusi transaktif danfasilitatif. Dalam diskusi transaktif peserta diskusi melaksanakan penalaran transaktif(transactive reasoning), yaitu mengkritik, menjelaskan, mengklarifikasi danmengelaborasi suatu gagasan (Berkowitz dalam Blanton dkk, 2003). Ungkapan yangbersifat fasilitatif merupakan ungkapan dosen dalam bentuk menyatakan kembaliatau menegaskan pernyataan yang diajukan mahasiswa (Blanton dkk, 2003).Beberapa kemampuan dalam melakukan diskusi transaktif meliputi: menyampaikansuatu pernyataan yang bersifat transaktif (transactive statements), mengajukanpertanyaan yang bersifat transaktif (transactive questions), dan merespon secaratransaktif dari pertanyaan yang bersifat transaktif (transactive responds) (Kruger danTomessello, dalam Russell, 2005).

Contoh Butir tes menyusun bukti matematik (Maya, 2011)

Misalkan R adalah Ring komutatif dengan elemen satuan, dan misalkan Iadalah Ideal dari R. Buktikan R/I adalah Integral Domain jika dan hanya jika I adalahIdeal Prima

Contoh Butir tes menyusun bukti matematik (Kusnandi, 2010)Observe this statement carefully.Suppose a, b, c, d, n1 and n2 are whole numbers If ab cd (mod n1) and b d(mod n2) then a c (mod n) in which n = gcd (n1, n2) with n and b are relativelyprime”. (note: gcd is the greatest common divisor)i) Write all premises of the statement above and its implication.ii) Write the conclusion of the statement and then by using definition and or theorem

that you know for determining a condition in oder to find the conclusion.

2. Kebiasaan Berfikir (Habits of Mind)

Mencermati maksud yang terkandung dalam Tujuan Pendidikan Nasional, visimatematika dan tujuan pembelajaran matematika, selain aspek kognitif maka dalamindividu yang belajar matematika harus memiliki kebiasaan berpikir dan sikap positifseperti: menjadi manusia yang beriman dan bertaqwa kepada Tuhan Yang Maha Esa,berahlak mulia, sehat, berilmu, cakap, kreatif, mandiri dan menjadi warga negara yangdemokratis serta bertanggung jawab, memiliki sikap menghargai kegunaan matematikadalam kehidupan, sikap rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajarimatematika, serta sikap ulet dan percaya diri

Apabila kebiasaan berpikir dan sikap positif seperti di atas berlangsungsecara berkelanjutan, maka secara akumulatif akan tumbuh disposisi (disposition)

17

terhadap bidang studinya yaitu keinginan, kesadaran, kecenderungan dan dedikasiyang kuat pada diri mahasiswa untuk berpikir dan berbuat .dengan cara yang positifMerujuk pendapat Polking (1998), disposisi terhadap suatu bidang studi menunjukikan(1) rasa percaya diri dalam menggunakan bidang studi yang bersangkutanmemecahkan masalah, memberi alasan dan mengkomunikasikan gagasan, (2)fleksibilitas dalam menyelidiki gagasan dan berusaha mencari metoda alternatif dalammemecahkan masalah; (3) tekun mengerjakan tugas; (4) minat, rasa ingin tahu(curiosity), dan dayatemu dalam melakukan tugas mereka sendiri; (6) menilai aplikasibidang studi yang bersangkutan ke situasi lain dan pengalaman sehari-hari; (7)apresiasi (appreciation) peran bidang studi yang bersangkutan dalam kultur dan nilai.

Hampir serupa dengan pendapat Polking (1998), dalam bidang matematikaStandard 10 (NCTM, 2000) mengemukakan bahwa disposisi matematikmenunjukkan: rasa percaya diri, ekspektasi dan metakognisi, gairah dan perhatianserius dalam belajar matematika, kegigihan dalam menghadapi dan menyelesaikanmasalah, rasa ingin tahu yang tinggi, serta kemampuan berbagi pendapat dengan oranglain. Berkenaan dengan aspek afektif, Munandar (1987) and Supriadi (1994)mengidentifikasi orang yang kreatif adalah mereka yang memiliki rasa keingintahunanyang tinggi, kaya akan idea, imajinatif, percaya diri, non-konformis, bertahanmencapai keinginannya, bekerja keras, optimistik, sensitif terhadap masalah, berfikirpositif, memiliki rasa kemampuan diri, berorientasi pada masa datang, menyukaimasalah yang kompleks dan menantang. Pakar lainnya, Puccio dan Murdock (Costa,ed., 2001) mengemukakan keterampilan afektif yang termuat dalam berpikir kreatifantara lain: merasakan adanya masalah dan peluang, toleran terhadap ketidakpastian,memahami lingkungan dan kekreatifan orang lain, bersifat terbuka, berani mengambilresiko,membangun rasa percaya diri, mengontrol diri, rasa ingin tahu, menyatakan danmerespons perasaan dan emosi, dan mengantisipasi sesuatu yang tidak diketahui.

Selain disposisi seperti yang telah diuraikan di atas, dalam upaya meresponsdan mencari solusi masalah yang kompleks diperlukan disposisi yang kuat danperilaku cerdas. Costa (Costa, Ed., 2001) menamakan disposisi yang kuat dan perilakucerdas dengan istilah kebiasaan berfikir (habits of mind). Ia mengidentifikasienambelas kebiasaan berfikir, ketika individu merespons masalah secara cerdas.Keenam belas kebiasaan tersebut adalah sebagai berikut.1) Bertahan atau pantang menyerah, Ketika menghadapi masalah yang kompleks,

berusaha menganalisa masalah, kemudian mengembangkan sistem, struktur, ataustrategi untuk memecahkan masalah tersebut. Ketika gagal menerapkan suatustrategi, segera dapat mencari alternatif solusi lainnya. Individu yang tidakmemiliki sifat bertahan, ketika menghadapi masalah, mudah frustrasi, merasatidak berdaya, dan tidak mampu menyelesaikan masalah tadi.

2) Mengatur kata hati. Individu yang dapat mengatur kata hatinya akan berpikirreflektif dan dapat menyelesaikan masalah secara berhati-hati. Ia akan berpikirsebelum bertindak, menyusun rencana kegiatan, berusaha memahami petunjuk,dan merancang strategi untuk mencapai tujuan, mempertimbangkan beragamalternatif dan konsekuensinya sebelum ia bertindak, mengumpulkan informasiyang relevan, dan mendengarkan pandangan alternatif lainnya.

3) Mendengarkan pendapat orang lain dengan rasa empati. Kebiasaan memahamiorang lain dan berempati merupakan satu bentuk perilaku yang cerdas. Pendengaryang baik bukan berarti bahwa ia selalu harus setuju dengan pendapat orang laintetapi ia mencoba memahami pendapat orang lain.

18

4) Berfikir luwes. Individu yang berfikir luwes dan reflektif tetap menunjukkan rasapercaya diri, namun ia bersifat terbuka dan mampu mengubah pandangannyaketika memperoleh informasi tambahan.

5) Berfikir metakognitif yang berarti berfikir apa yang sedang difikirkan. Individuyang berfikir metakognitif memahami apa yang diterahui dan yang tidakdiketahuinya, memperkirakan secara komparatif, menilai kesiapan kegiatan yangberagam, dan memonitor fikirannya, persepsinya, keputusannya dan perilakunya.

6) Berusaha bekerja teliti dan tepat. Individu dengan karakteristik ini akan menghargaipekerjaan orang lain, bekerja teliti, berusaha mencapai standar yang tinggi, danbelajar berkelanjutan. Ia mereviu dan berusaha memperbaiki semua yangdikerjakannya untuk memperoleh hasil yang tepat.

7) Bertanya dan mengajukan masalah secara efektif. Misalnya, meminta datapendukung, penjelasan, dan atau informasi terhadap kesimpulan yang dibuat.

8) Memanfaatkan pengalaman lama untuk membentuk pengetahuan baru, Misalnyamelakukan analogi dan berusaha mengaitkan pengalaman lama terhadap kasusserupa yang dihadapi

9) Berfikir dan berkomunikasi secara jelas dan tepat. Misalnya, berkomunikasi danmendefinisikan istilah dengan hati-hati, menggunakan bahasa yang tepat, namayang benar, menghindar generalisasi yang berlebihan, dan distorsi.

10) Memanfaatkan indera dalam mengumpulkan dan mengolah data. Misalnya, denganmemanfaatkan indera yang tajam seseorang dapar berfikir intuitif danmemperkirakan solusi sebelum tugas diselesaikan secara analitik.

11) Mencipta, berkayal, dan berinovasi. Misalnya, memandang solusi masalah darisudut pandang yang berbeda, termotivasi dari dalam dan bekerja karena merasaada tantangan yang menarik dan bukan karena ada hadiah

12) Bersemangat dalam merespons. Misalnya, bekerja dengan penuh semangat, tidakhanya mengungkapkan rasa saya mampu tetapi juga saya senang melakukannya.

13) Berani bertanggung jawab dan menghadapi resiko. Individu yang memilikikarakteristik tersebut, tidak takut gagal, dan dapat menerima ketidakpastiankarena berdasarkan pengalaman sebelumnya resiko sudah diperkirakan.

14) Humoris. Individu yang humoris memandang situasi yang dihadapi sebagaisesuatu yang penting, dan memberikan apresiasi ke pada orang lain.

15).Berfikir saling bergantungan. Manusia sebagai mahluk sosial selaluberberhubungan dengan manusia lainnya,. saling membutuhan satu dengan yanglainnya, saling memberi dan menerima, dan lebih berpandangan kekitaan daripada keakuan.

16)Belajar berkelanjutan. Sejalan dengan pandangan belajar sepanjang hayat, manusiaakan belajar berkelanjutan, mencari sesuatu yang baru dan lebih baik, berusahameningkatkan diri, dan memandang masalah, situasi, tekanan, konflik, danlingkungan sebagai peluang yang baik dalam belajar.

Berikut ini disajikan dua contoh butir skala habits of mind (HOM), yaitu skaladengan respons dalam derajat kesetujuan dan respons dalam derajat frekuensi. Butirskala dengan respons derajat kesetujuan disusun dalam bentuk pernyataan;sedangkan butir skala dengan renpons derajat frekuensi disusun dalam bentukkegiatan, perasaan, atau pendapat.

19

Contoh butir skala HOM dalam respons derajat kesetujuan.Petunjuk: Tulislah respons anda terhadap pernyataan berikut dengan

membubuhkan tanda cek (V) pada kolom yang sesuai dengan pendapat anda.SS: sangat setuju N: netral TS: tidak setuju

S: setuju STS: sangat tidak setujuTabel 1

Contoh Butir Skala Habits of Mind

No. Pernyataan SS S N TS STS1. Saya mencari alternatif lain ketika gagal

menyelesaikan soal matematik (+)2. Ketika menghadapi masalah matematika saya

bertanya: Cocokkah strategi ini untuk masalahmatematik yang dihadapi? (+)

3. Memandang berkhayal dalam matematikamemboroskan waktu (-)

4. Saya bosan mendengarkan penjelasanmatematika yang sulit (+)

5. Saya merasa nyaman berdiskusi matematika dilingkungan teman baru (+)

6. Belajar berfikir matematik adalah tugas yangmenyulitkan siswa (-)

7. Kritikan menghambat saya untuk maju (-)

Tabel 2Contoh Butir Skala Habits of Mind

Keterangan Ss Sering sekali Kd : Kadang-kadangSr Sering Jr : Jarang Js : Jarang sekali

No. Kegiatan, perasaan, atau pendapat Ss Sr Kd Jr Js1. Mudah frustasi ketika menghadapi

kegagalan menyelesai-kan masalahmatematik (-)

2. Bertanya pada diri sendiri: Cocokkahstrategi ini untuk masalah matematik yangdihadapi? (+)

3. Memandang berkhayal dalam matematikamemboroskan waktu (-)

4. Sabar mendengarkan uraian matematikayang sulit (+)

5. Merasa nyaman berdiskusi di lingkunganteman yang pandai matematika (+)

6. Memandang belajar berfikir matematikadalah tugas anak usia sekolah (-)

7. Memandang kritikan sebagai hambatanuntuk maju (-)

4. Beberapa Studi tentang AMTBeberapa studi (Arnawa, 2006, Fahinu, 2008, Kusnandi, 2009, Maya, 2010,

Raman, 2003, Tucker, 1999, Weber, 2002, Yerizon, 2011) menerapkan beragampendekatan pembelajaran dan melaporkan pencapaian kemampuan AdvancedMathematical Thinking (AMT) dan kesulitan mahasiswa dalam melaksanakan AMT.

20

Beberapa kesulitan mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti di antaranya: a) kurangmemahami definisi atau menyatakan definisi; b) keterbatasan pemahaman intuitifterhadap konsep; c) pemahaman konsep mahasiswa tidak cukup untuk melakukanbukti; d) sulit menggeneralisasi dan menggunakan contoh sendiri; e) tidak menguasaidefinisi untuk memperoleh struktur bukti bukti secara keseluruhan; f) tidakmemahami penggunaan bahasa matematik dan notasinya; g) sulit memulaimembuktikan (Moore 1994, dalam Arnawa 2006, dan Maya, 2010); h) pada tingkatperguruan tinggi, sebagian mahasiswa dapat memahami bukti yang diberikandosennya di kelas, tetapi mereka tidak dapat menyusun bukti sendiri (Barnard, 2000dalam Kusnandi 2009). Kesulitan ini disebabkan oleh ketidakmampuan mahasiswadalam menelusuri suatu pernyataan matematika secara lebih jauh; i) kadang-kadangmahasiswa memahami dan dapat menerapkan fakta, namun mereka tidak dapatmengkonstruksi bukti yang valid karena kurang menguasai pengetahuan strategikuntuk memilih inferensi yang diturunkan data yang tersedia (Weber, 2002, dalamKusnandi, 2010). Pada studi lain, untuk mengkonstruksi bukti, Tucker (1999, dalamKusnandi, 2010) menyarankan hendaknya dosen memilih topik yang memberipeluang mahasiswa melakukan pembuktian.

Dalam studinya Raman (2003) mengidentifikasi tiga idea penting dalampembuktian yaitu: a) idea heuristik, seperti data empiris, visuliasasi suatu gambarhanya untuk memahami hasil suatu bukti; b) idea prosedural yang digunakan dalammembuktikan berdasarkan manipulasi logik dan formal untuk sampai pada buktiformal; c) idea kunci, yang muncul dalam bukti formal berderdasarkan rumus yangrelevan; idea ini tidak hanya untuk meyakinkan kebernaran pernyataan tetapi jugauntuk menunjukkan pemahaman pada tiap langkah pembuktian. Selain laporan tentangkesulitan yang dialami mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti, beberapa studi(Arnawa, 2006, Kusnandi, 2009, Maya, 2010, Yerizon, 2011) melaporkan bahwadalam mencapai kemampuan membaca bukti dan menyusun bukti mahasiswa yangmemperoleh pembelajaran dengan modifikasi teori APOS, modifikasi metode Mooremencapai nilai yang lebih baik dari kemampuan mahasiswa yang memperolehpembelajaran biasa. Selain dipengaruhi oleh pembelajaran, kemampuan membaca danmengkontruksi bukti mahasiswa juga dipengaruhi oleh kualitas pengetahuan awalmatematika mereka. Makin tinggi pengetahuan awal matematika mahasiswa makintinggi juga kemampuan mahasiswa dalam membaca dan mengkonstruksi bukti.

Berkenaan dengan kreativitas matematik, Dwiyanto (2009) dan Nurlaelah (2010)melaporkan bahwa mahasiswa yang memperoleh pembelajaran berbasis masalah danberbasis teori APOS mencapai kreativitas matematik yang lebih baik dari mahasiswayang memperoleh pembelajaran biasa. Temuan lainnya, di antara tugas-tugaskreativitas matematik, tugas flesibilitas merupakan tugas yang lebih sukardibandingkan dengan tugas komponen lainnya. Dalam hal aspek non-kognitif,mahasiswa dalam kelas pembelajaran modifikasi APOS (Nurlaelah, 2010), modifikasimetode Moore (Maya, 2011), pembelajaran berbasis masalah (Dwiyanto, 2009) danpembelajaran generatif (Fahinu, 2009) menunjukkan disposisi matematik mahasiswayang lebih baik dibandingkan diposisi mahasiswa pada kelas konvensional. Mahasiswapada kelas eksperimen menunjukkan lebih siap dan aktif belajar dan lebih mampubekerja mandiri dalam menyelesaikan tugas matematiknya.

21

Alternatif Pustaka yang Dapat DirujukAlibert, D. & Thomas, M. (1991). Research on Mathematical Proof. Dalam Tall, D

(ed.). Advanced Mathematical Thinking. The Netherlands: Kluwer AcademicPublishers.

Arnawa (2006). Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Mahasiswa dalam AljabarAbstrak Melalui Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS. (Disertasi). Bandung:Universitas Pendidikan Indonesia.

Asiala, M. et al. (1990). A Framework for Reseach and Curriculum Development inUndergraduate Mathematics Education. Reseach in Collegiate MathematicsEducation II, CBMS Issue in Mathematics Education, 6, 1 – 32.

Baker, D. & Campbell, C. (2004). Fostering The Development of MathematicalThinking: Observations from A Proofs Course. Dalam Primus: Problem,Resources, and Issues in Mathematics Undergraduates Studies.[Online].Tersedia:http://findarticles.com/p/articles/mi_qa3997/is_200412/ai_n9467980 [13Februari 2007]

Barnard, T. (2000). Why Are Proofs Difficult? Dalam The Mathematical Gazette[Online], Vol. 84, No. 501 (Nov., 2000), pp. 415-422. Tersedia:http://www.jstor.org [13 Februari 2007]

Baron, J. B. dan Sternberg, R.J. (Editor), (1987) Teaching Thinking Skill. New York:W.H. Freeman and Company

Berman, S. (2001) “Thinking in context: Teaching for Open-mindeness and CriticalUnderstanding” dalam A. L. Costa,. (Ed.) (2001). Developing Minds. AResource Book for Teaching Thinking. 3 rd Edidition. Assosiation forSupervision and Curriculum Development. Virginia USA

Blanton, M.L., Stylianou, D.A. & David, M.M. (2003). The nature of scaffolding inundergraduate students’ transition to mathematical proof. In the proceedings ofthe 27th Annual meeting for the International Group for the Psychology ofMathematical Education. (vol. 2, pp. 113-120), Honolulu, Hawaii: University ofHawaii.

Briggs, M & Davis, S. (2008). Creative Teaching Mathematics ( In Early Years &Primary Classroom). London: Routledge Taylor & Francis Group

Brochlet, N. (2007). Cognitive Computer Tools in the Teaching and Learning ofUndergraduate Calculus. International Journal for the Scholarship of Teachingand Learning. Tersedia: Online. [Juli 2009]. http://www.Georgiasouthern,edu/ijsotl

Costa, A.L. “Habits of Mind” dalam A. L. Costa (Ed.) (2001). Developing Minds. AResource Book for Teaching Thinking. 3 rd Edidition. Assosiation forSupervision and Curriculum Development. Virginia USA

Costa, A.L dan Garmston, R.J. ‘Five Human Passion: The Origin of EffectiveThinking” dalam A. L. Costa,. (Ed.) (2001). Developing Minds. A ResourceBook for Teaching Thinking. 3 rd Edidition. Assosiation for Supervision andCurriculum Development. Virginia USA

Cotton, K. (1991). Teaching Thinking Skills. [Online]. Tersedia: http://www.nwrel.Org/Sc Pd/Sirs/6/Cu11.html. [30 April 2006].

Dubinsky, E & Leron, U. (1994). Learning Abstract Algebra with ISETL. New York:Springer-Verlag.

Dwiyanto. (2007). Pengaruh Pembelajaran Berbasis Masalah Berbantuan Komputerterhadap Pencapaian Kemampuan Pemecahan Masalah dan Berfikir Kreatif.

22

Disertasi pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidakdipublikasikan.

Ervynck, G. (1991).“Mathematical Creativity”. Dalam D.Tall (ed.). AdvancedMathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Fahinu (2007). Meningkatkan Kemampuan Berfikir Kritis dan Kemandirian BelajarMatematika pada Mahasiswa melalui pembelajaran Generatif. Disertasi padaSekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasikan.

Gie, T.L (2003). Melejit dengan Kreatif. Jakarta: GEMA INSANIHadas, N., Hershkowitz, R., & Schwarz, B. (2000). The Role of Contradiction and

Uncertainty in Promoting the Need to Prove in Dynamic GeometryEnvironments. Educational Studies in Mathematics 44: 127-150.

Hanna, G. (1983). Rigorous Proof in Mathematics Education, OISE Press, Toronto.Hanna, G. & Jahnke, H.N. (1993). Proof and Application. Dalam Educational Studies

in Mathematics [Online], Vol. 24, pp. 421-438. Tersedia: http://www.jstor.org [6 Maret 2007]

__________________________ (1996). Proof and Proving. Dalam A.J. Bishop et.al.(Eds). International Handbook of Mathematics Education. Netherland: KluwerAcademic Publishers.

Hanna, G. & Barbeau, E. Proof in Mathematics. [Online]. Tersedia:http://www.math.utoronto.ca/barbeau/hannajoint.pdf [25 April 2007]

Hersh, R. (1993). Proving is Convincing and Explaining. Dalam Educational Studiesin Mathematics [Online], Vol. 24, No. 4, Aspects of Proof. (1993), pp. 389-399.Tersedia: http://www.jstor.org [20 Februari 2007]

Hassoubah, Z.I. (2004). Developing Creative & Critical Thinking Skills. Cara berpikirKreatif & Kritis. Bandung: Nuansa Leron, U & Dubinsky, E. (1995). “AnAbstract Algebra Story”. American Mathematical Monthly. 102(3), 227-242.

Holton, D. (2001). The Teaching and Learning of Mathematics at Level University. AnICMI Study. Dordrecth : Kluwer Academic Publisher.

Hoyles, C. dan Kuchemann, D. (2002). Students’ understanding of logical implication.Educational Studies in Mathematics 51, 193-223.

Kusnandi (2008). Pembelajaran Matematika dengan Strategi Abduktif-Deduktif untukMenumbuhkembangkan Kemampuan Membuktikan pada Mahasiswa. Disertasipada Sekolah Pascasarjana UPI. Dipublikasikan pada International Journal ofEducation, UPI, 2011.(lengkapi laporannya)

Maya, R. (2006). Pembelajaran dengan Pendekatan Kombinasi Langsung-TidakLangsung untuk Mengembangkan Kemampuan Berpikir Matematik Siswa SMA.Tesis pada Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidakdipublikasikan.

Maya, R. (2011). Pengaruh Pembelajaran dengan Metode Moore Termodifikasiterhadap pencapaian kemampuan Pemahaman dan Pembuktian MatematikMahasiswa. Disertasi pada Sekolah Pascasarjana UPI. Dipublikasikan padaInternational Journal of Mathematics Education, INDOMS, 2012.

Meissner,H. (2006). Creativity and Mathematics Education[Online]. Tersedia:www. math.ecnu.cn/earcome3/sym1/ sym104.pdf . [2 Februari 2007]

Moore, R.C. (1994). Making the transition to Formal Proof. Educational Studies inMathematics, 27: 249-266.

Munandar, U. (1977). Creativity and Education. Disertasi Doktor. Fakultas Psikologi-UI. Jakarta : Tidak diterbitkan

23

Nurlaelah, E. dan Usdiyana, D. (2003).”Inovasi Pembelajaran Struktur Aljabar Idengan Menggunakan Program ISETL Berdasarkan Teori APOS”. HibahPembelajaran DUE-LIKE. UPI: Tidak Diterbitkan.

Nurlaelah, E. (2009). Mengembangkan Daya dan Kreativitas Matematik MahasiswaCalon Guru melalui Pembelajaran Berbasis Teori APOS. Disertasi pada SekolahPascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, dipublikasi pada InternationalJournal of Education. UPI. 2011 (lengkapi)

Pasaribu, I.L, dkk. (1986). Didaktik dan Metodik. Bandung: Tarsito.Papu, J (2001). Menumbuhkan Kreativitas di Tempat Kerja [Online]. Tersedia:

http://www.e-psikologi.com/ manajemen/ kreativitas.htm. [27 Mei 2006].Pedemonte, B. (2003). What kind of proof can be constructed following an abductive

argumentation. Proceeding of the third Conference of the European Society forResearch in Mathematics Education.

Polking J. (1998). Response To NCTM's Round 4 Questions [Online] Inhttp://www.ams.org/government/argrpt4.html.

Raman, M. (2003). Key Ideas: What are They and Hao Can They Help us UnderstandHaow People View Proof : Education Studies in Mathematics 52: 319 – 325.

Russell III, H.A. (2005). Transactive Discourse During Assesment Conversation onScience Learning. Disertasi: Georgia State University.

Selden, J., Selden, A. & McKee, K. (2009). Improving Advanced Students’ ProvingAbilities. [Online]. Tersedia: http://tsg.icme11.org/document/get/729 [21 Mei2009]

Semiawan, C. (1985). Pendekatan Keterampilan Proses (Bagaimana MengaktifkanSiswa Belajar). Jakarta: PT. Gramedia.

Silver, E. A. (1997). Fostering Creativity through Instruction Rich in MathematicalProblem Solving and Problem Posing. [On Line]. In :http://www.fz-karlsruhe.de/fiz/publication/zdm973a3.pdf. [5 November 2005]

Solow, D. (1982). How to read and do proof. An introduction to mathematical thoughtprocess. John Wiley & Sons, Inc.

Sriraman, B (2004). ”The Characteristics of mathematicsal Creativity”. TheMathematics Educator Journal . Vol 14 No. 1. 19 – 34.

Starko, A.J. (1995). Creativity in The Classroom. (Schools of Courious Delight). USA:Longman Publisher.

Maya, R. (2005) Mengembangkan Kemampuan Berfikir Matematik Tingkat TinggiSiswa SMA melalui Pembelajaran Langsung dan Tak Langsung Tesis padaPascasarjana UPI, tidak dipublikasikan

Sumarni, E. (2006). Mengembangkan Kemampuan Berfikir Matematik Tingkat TinggiSiswa SMP melalui Pembelajaran Langsung dan Tak Langsung. Tesis padaPascasarjana UPI, tidak dipublikasikan

Sumarmo, U. (2003). Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika Pada SiswaSekolah Menengah. Disampaikan pada Seminar Nasional Pendidikan MIPA diFPMIPA UPI.

Supriadi, D. (2000). Perkembangan Kreativitas dan Peranan Faktor-FaktorLingkungan. Makalah: Tidak diterbitkan

Suryadi, D. (2005). Penggunaan variasi pendekatan pembelajaran langsung dan taklangsung dalam rangka meningkatkan kemampuan berfikir matematik tingkattinggi Siswa SLTP. Disertasi pda Sekolah Pascasarjana, Universitas PendidikanIndonesia.

24

Suryadi, D. (2011). Didactical Design Research (DDR) dalam PengembanganPembelajaran Matematika. Makalah disampaikan dalam Seminar Nasional diUNS, Surakarta, November 2011.

Tall, D. (1991). Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer AcademicPublishers.

Tall, D. (1999). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For Allor For Some? [Online]. Tersedia:http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1999j-proof-chicago.pdf [20Juni 2007]

Tall, D. (1998). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For Allor Some ? Conference of the University of Chicago School Mathematics Project.

Tucker, T.W. (1999). On the Role of Proof in Calculuc Courses Contemporary Issuesin Mathematics Education MSRI. Vol. 36.

Uhlig, F. (2003). The Role of Proof in Comprehending and teaching Elementary linearAlgebra. Educational Studies in Mathematics.

Weber, K. (2001). Student Difficulty in Constructing Proofs: The Need for StrategicKnowledge. Dalam Educational Studies in Mathematics [Online], Volume 48:101-119. Tersedia: http://www.jstor.org [6 Maret 2007]

__________ (2003). Students’ Difficulties with Proof. [Online]. Tersedia:http://www.maa.org/t_and_l/rs_8.html [7 Februari 2007]

Williams, G. (2002). “Identifying Tasks that Promote Creative Thinking inMathematics: A Tool” . Mathematical Education Research Group of AustraliaConference. Aukland New Zealand, July , 2002

Yerizon, (2011). Peningkatan Kemampuan Pembuktian dan Kemandirian BelajarMatematik Mahasiswa melalui Pendekatan M-APOS. Disertasi pada SekolahPascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia, tidak dipublikasi

Yudha,A.S. (2004). Berpikir Kreatif Pecahkan Masalah. Bandung: Kompas CyberMedia

.