Thursday, December 4, 2008Mengenal Dot dan Cross Product. Posted
by hendry_dext Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa
terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross vektor?
Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal?
Bagaimanakah contoh soalnya?
Silakan baca lanjutannya.. ^^
=========================================================================Bagian
ISekilas Tentang Vektor
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk
vektor, bisa berupa overline variable (misalnya: atau ) bisa juga
dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya
titik dimulai dari pangkal A ke titik B).Vektor dapat ditulis dalam
bentuk matriks kolom.Misalnya: =>Vektor dalam bentuk matriks
kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur
transpos matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk .
Simbol T berarti *tranpos*.
Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan
vektor-vektor satuan.Sebagai contoh: = 3 + 5. (Bentuk ini adalah
bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor
satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)Di sini adalah vektor ,
sedangkan adalah vektor .
Operasi vektor bisa berupa:1. Penjumlahan (dan pengurangan):
tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai2. Perkalian
dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor
awal)3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).
Contoh Soal 1: Jika = dan = , maka berapakah + ?Jawab: + = + =
=
Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8, maka berapakah 2?Jawab: 2 = 2(2
+ 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor.
Lihat penjelasan awal).
Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 -, dan = 3 + , dan = -2 +5, dan = 2 -
+ 2, maka berapakah ?Jawab: = 2(6 -5 -) - (3 + ) + 2(-2 +5) =
12-10-2-3--4+10_________= 5 - 3Atau dapat juga ditulis = .
Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras.
(perhatikan simbol untuk panjang vektor)..Contoh soal 4: jika = ,
berapakah panjang .Jawab: Panjang vektor = = = .
Contoh soal 5: Jika = +3+5+7+9 + 11. Tentukan panjang vektor
!
Jawab: = =
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang
vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol .Contoh
Soal 6: = . Apakah vektor adalah vektor satuan?Jawab: = = 1. Maka
adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)
Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan
vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .Jawab:
Tentukan panjang vektor = = = Syarat sejajar dan searah, vektor itu
harus dikalikan konstanta yang positif.= c. ... (i)Syarat ini juga
dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:= c. Panjang vektor satuan
adalah 1. Jadi:1 = c. Maka, c = = .Subtitusikan nilai c ini di
persamaan awal, maka didapat:= = = .
Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di
contoh soal nomor 3)?Jawab:Soal ini identik dengan soal nomor 7
(hanya beda kata-kata).Di soal ini, kita mencoba memakai rumus
vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.=
Jadi, = = = .
Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O,
bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.Misalnya: = =>
Contoh soal 9: Jika = , sedangkan = . Tentukan vektor
!Jawab:Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:= = =
Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu
berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan
berada di dimensi 3 atau di . Jika vektor itu terletak di bidang,
maka vektor itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada?
Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..
Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini
bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan
seterusnya...??Tidak!! Cross Product hanya berlaku di . Namun, dot
bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product
di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada).
Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan
saja yach.. ^^
=========================================================================Bagian
IIDot Product
Dot () Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan
menghasilkan skalar, yang didefinisikan dalam rumus:= . . adalah
sudut yang dibentuk oleh kedua vektor dan .Mengapa hasilnya
skalar?Masing-masing unsur dari , , dan adalah skalar. Jadi, juga
skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan
memperjelas. ^^)
Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?Justru itulah
masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya,
untuk mengalikan vektor dan , maka akan ada tiga unsur yang
berperan, yaitu panjang , panjang , dan sudut yang dibentuk
keduanya (). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^
Apa arti dari hasil perkalian itu?Kalo ngak *diolah* lebih
lanjut, hasil dari . . sesungguhnya tidak memiliki arti. . . hanya
kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran
apapun (bagi saya). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi
agar dapat diaplikasikan. ^^
Contoh soal 10:Diketahui di dimensi 3 (), terdapat vektor dan .=
.Didapat bahwa, ternyata: ( ) = Tentukan besar sudut yang dibentuk
antara dan !Jawab:( ) = . . . = . = 1= 1= Jadi, =
Contoh Soal 11:Jika = 4, berapakah ?Jawab:= . (kita tahu bahwa
vektor dan itu sudutnya 00)= = 16
Karakteristik Dot ProductDi sini kita akan bermain-main dengan
vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (), jadi
akan ada 3 vektor basis di sini yaitu , , dan .= , =, dan =Sesuai
dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai
berikut.=||.||. = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah
00)=||.||. = 1=||.||. = 1Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di
bawah.=||.||. = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 900)=||.||. =
0=||.||. = 0=||.||. = 0=||.||. = 0=||.||. = 0Sifat yang dimiliki
dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama..
^^)
Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan
tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat penguraian di bawah.= ++= ++=
(++)(++)= +++====+++====++= ()+ ()+()+++++()+()+()+====()+()+()=
++
Contoh Soal 12:Jika = dan = , berapa sudut yang dibentuk oleh
kedua vektor itu?Jawab:= (-1)(4)+(2)()+(3)(-1) = . . -6 = . . -6 =
15,5403 (menggunakan kalkulator)= - 0,386= 112,710 (menggunakan
kalkulator)
Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut
dengan rumus:=
Proyeksi VektorDi contoh soal di atas, dot product dapat
digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor
dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor
proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.
Misalkan diberikan vektor dan . adalah proyeksi vektor ke , maka
dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor dan
tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya lebih mudah
dipahami).
Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor .Sesuai
dengan aturan trigonometri: = ... (i)Sesuai dengan operasi dot
vektor: = ... (ii)Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita
dapatkan rumus untuk = = Karena dan berhimpit, maka dapat kita
simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari
.= Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di
atas menjadi:= = Substitusikan nilai , maka didapat:= (vektor
proyeksi dari ke )Untuk mencari vektor proyeksi dari ke , maka kita
tinggal ganti simbol:= (vektor proyeksi dari ke )
Contoh Soal 13:Di dimensi 2 (), terdapat 2 buah vektor, yaitu
dan .= = Tentukan (proyeksi pada ) dan (proyeksi pada )!
Jawab:Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut ( dan
dianggap sebagai vektor posisi)
Vektor proyeksi dari ke = = = = .Vektor proyeksi dari ke = = = =
.
Contoh Soal 14:Diketahui vektor dan bukan (vektor yang
panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut.= 2 = .Sudut yang dibentuk
dan adalah . Tentukan !
Jawab:Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya
kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa
memulai dari apa yang ditanyakan. selalu berhubungan dengan , maka
inilah hal yang pertama kali kita lakukan.= Substitusi nilai = 2 :=
2 . = 2 ... (i)
Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah . Supaya lebih
mudah, maka sebaiknya kita kalikan vektor dengan dirinya sendiri.=
+ 6 ( ) + 9 ( )= + 6 ( ) + 9Karena = (diketahui di soal), maka
persamaan tersebut menjadi:= + 6 ( ) + 96 ( ) = 9= ...
(ii)Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:= 2 =
=========================================================================Bagian
IIICross ProductKita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam
perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak
pada yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol,
sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross
product?
Cross () Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang
akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu
di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus:= . . . di sini
adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus
dengan vektor .Apa hasil dari cross product itu?Hasil dari cross
product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor .
Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor
satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian
karakteristik cross product.
Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka
unsur dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi:= . . Di sini,
kita tahu bahwa . . adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata
kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor!
^^
Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot
Product tidak?Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika
dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja
tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor
yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu,
jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor
satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat
dinamis).
Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika
didefinisikan sebagai ini saja: . . karena bisa diaplikasikan dalam
mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu
sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai
keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan
keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur pada cross
vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah
900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat
memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal
(tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada
dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan
(sebagai contoh) supaya tidak sama.
Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?Untuk
membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling
tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4
vektor yang saling tegak lurus?
Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan
karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil
yang dipakai hanyalah sebatas , karena tidak dapat digunakan di
dimensi 2.
Karakteristik Cross ProductDi dimensi 3 terdapat 3 vektor basis
sebagai berikut.= , =, dan =Vektor yang tegak lurus ada 2 arah
(berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan
aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten**
dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya
jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil
yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini
boleh saja dilakukan).
Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik
sebagai berikut.= (karena sudutnya 00)====-----==----==
Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat
komutatif..
Sekarang kita coba mengoperasikan = ++= ++= (++)(++)=
()+()+()+=====()+()+() +=====()+()+()=
.+.+()+=====()+.+.+=====.+()+= ( )( )+( )(Supaya dapat lebih mudah
dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan)= (gunakan
cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3)
Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan .
Contoh Soal 15:Di , terdapat vektor dan .= dan = . Tentukan dan
.Jawab:= = = (Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara
Sarrus biasa..)= = = dapat kita lihat bahwa: = -().
Contoh Soal 16:Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang
tegak lurus dengan vektor dan vektor !Jawab:Kita sudah menemukan 2
vektor yang tegak lurus, yaitu: , dan .Berikutnya, kita tinggal
menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita
hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita
mau.Misalnya:Kalikan dengan , maka hasilnya: ==> ini contoh yg
ke-3Kalikan dengan 3, maka hasilnya: ==> ini contoh ke-4Kalikan
dengan 2, maka hasilnya ==> ini contoh ke-5Tentunya, akan ada
banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan dengan konstanta
apapun... ^^
Contoh Soal 17:Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
(0,1,2) dan terdapat vektor dan di bidang itu!
Jawab:Pertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkannya di soal
nomor 15)Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor
normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau
karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal
mengikuti rumus persamaan bidang berikut:pers. bidang: Kita sudah
mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu
.Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka,
persamaan bidangnya menjadi:
Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan
nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi:
pers. bidang:
Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!Jawab:
Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita
mencari vektor dan . (Boleh mencari yang lain).= = = = Sekarang
kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya?
Ya, menggunakan cross product!!= = =
Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan
bidang:
Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10
Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.
Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah
kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua
titik akan menghasilkan hasil yang sama.Di sini, kita masukkan
titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.
pers bidang: (Contoh Soal lainnya akan menyusul)
=====================================================================Bagian
IVSifat-Sifat Khusus Cross ProductKita sudah tahu bahwa cross dan
dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika
sudutnya 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat
yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):1.
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah
menjadi=====>.2. =====> Bagian ini belum sempat aku coba
untuk membuktikannya. Bisakah kalian=====> membantu saya
membuktikannya?
=====================================================================Sekian
materi mengenai dot dan cross product yang terbilang gampang.. Ini
materi sekolah SMA, sekaligus materi kuliah di semester awal. Maaf
kalau terlalu cepat, karena ini diambil dari berpuluh-puluh halaman
dari sebuah buku dan diringkas menjadi 1 halaman web...Sumber:
Matriks dan Transformasi Linear (Wikaria Gazali, sekaligus sebagai
dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara. ^^). Penerbit: Graha
Ilmu.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Hasil penjumlahan ataupun
hasil pengurangan dari dua vektor atau lebih disebut resultan
vektor. Untuk mencari resultan beberapa vektor, yang bekerja pada
suatu bidang, dapat digunakan tiga metode, antara lain metode jajar
genjang, metode segitiga dan metode poligon.Metode Jajar Genjang1.
Lukislah vektor F1 dan F2 dengan titik tangkap berimpit di titik
O
2. Buatlah jajar genjang dengan sisi-sisi vektor F1 dan F2
3. Diagonal jajar genjang merupakan resultan atau hasil
penggabungan vektor F1 dan vektor F2
4. Sudut menunjukkan arah resultan kedua vektor terhadap vektor
F1Metode Segitiga1. Lukislah vektor F1 dengan titik tangkap di
titik O
2. Lukislah vektor F2 dengan titik tangkap di ujung vektor
F1
3. Sudut menunjukkan arah resultan kedua vektor terhadap arah
vektor F1Metode PoligonJika ada tiga vektor atau lebih, anda tidak
mungkin menjumlahkan vektor-vektor tersebut dengan metode jajar
genjang atau metode segitiga. Oleh karena itu harus digunakan
metode segibanyak (poligon). Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah
gambar berikut
Pada gambar di samping terdapat tiga buah vektor yang akan
dicari resultannya. Adapun resultan ketiga vektor tersebut seperti
tampak pada gambar berikut
Berikut adalah tahap-tahap dalam menentukan resultan vektor
mengguanakan metode poligon1. Lukislah vektor F1 dengan titik
tangkap di O2. Lukislah vektor F2 dengan titik tangkap di ujung
vektor F13. Lukislah vektor F3 dengan titik tangkap di ujung vektor
F24. Hubungkan titik tangkap di O dengan ujung vektor F3. Lukis
garis penghubung antara titik tangkap O dan ujung vektor F3. Garis
penghubung ini merupakan resultan vektor F1, F2, dan F3Menggambar
Pengurangan VektorSelisih antara dua buah vektor F1 dan F2 (ditulis
R = F1-F2) sama saja dengan menentukan jumlah antara vektor F1 dan
vektor -F2 atau R = F1 + (-F2). Oleh karena itu, tiga metode dalam
penjumlahan vektor yang telah dipelajari sebelumnya juga berlaku
untuk selisih vektor. Untuk melukiskan R = F1-F2, mula=mula
lukislah vektor F1, kemudian lukis juga vektor -F2 yang didapat
dengan caramembalikkan arah F2 sehinggga -F2 berlawanan arah dengan
vektor F2.
Berikut adalah simulasi terkait dengan penjumlahan dan
pengurangan vektor. Untuk melihat simulasi, tekanlah tombol yang
sudah tersedia.Resultan Vektor Untuk menentukan besar resultan
vektor, dapat digunakan metode grafis dan metode analisis seperti
berikut.Metode GrafisMenentikan resultan vektor secara grafis dapat
dilakukan dengan metode jajar genjang, metode segitiga, dan metode
poligon. Dengan menggunakan perbandingan skala dan besar sudut yang
tepat, pengukuran panjang resultan vektor dapat dilakukan dengan
menggunakan mistar, sedangkan besar sudut dapat dihitung
menggunakan busur derjat. Aturan menentukan besar dan arah resultan
vektor dengan metode grafis.1. Arah acuan vektor ditentukan
berdasarkan arah sumbu x positif. Sudut vektor bernilai positif
diukur berlawanan arah putaran jarum jam dan bernilai negatif
diukur searah putaran jarum jam2. Panjang vektor dilukiskan
menggunakan skala panjang yang sesuai. Misalnya untuk vektor gaya
yang besarnya 10 N dilukiskan dengan panjang 1 cm, sehingga untuk
vektor gaya 20 N harus dilukis dengan panjang 2 cm. Adapun sudut
arah vektor dapat diukur dengan busur derajat.3. Vektor resultan
dapat dilukiskan dengan metode jajar genjang, metode segitiga, atau
metode poligon.4. Panjang resultan vektor diukur dengan mistar dan
arah vektor resultan terhadap sumbu x positifDalam menghitung
jumlah dua vektor mengguanakan metode grafis, terdapat beberapa
kelemahan, yaitu timbulnya kesalahan sistematis. Untuk menghindari
kesalahan tersebut, digunakan metode analisis, yaitu dengan
menggunakan rumus cosinus. Secara matematis, untuk mendapatkan
resultan dua buah vektor secara akurat, dapat digunakan persamaan
sebagai berikut. Dengan menggunakan rumus cosinus, misalnya dalam
segitiga OAC akan diperoleh
Oleh karena OC = R, OA = F1, dan AC = F2, maka persamaan
tersebut akan menjadi
Menentukan Arah Resultan VektorUntuk menentukan arah resultan
vektor, terhadap salah satu vektor penyusunnya, dapat digunakan
persamaan sisnus. Perhatikanlah gambar
Perkalian Vektor Perkalian Titik (Dot Product)Perkalian titik
dua buah vektor merupakan perkalian skalar dari dua vektor
tersebut. Hal ini disebabkan karena hasil kali titik dari dua buah
vektor menghasilkan bilangan skalar . Hasil perkalian titik dari
dua buah vektor A dan B misalnya kita sebut C dapat dinyatakan
dengan suatu persamaan berikut
Berikut adalah simulasi perkalian titik dua buah vektor
Perkalian Silang (Cross Product)Perkalian silang dari dua buah
vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, sehingga perkalian
silang dua buah vektor juga disebut dengan perkalian vektor. Hasil
perkalian silang vektor A dan vektor B (dibaca A cross B)
menghasilkan vektor C. Vektor C yang dihasilkan ini selalu tegak
lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor BC = A X
BAdapun arah vektor C akan mengikuti aturan putaran skrup, seperti
tampak pada gambar berikut
Berikut adalah simulasi perkalian silang dua buah vektor