dosier algebra Ing. Llanosvirtual.usalesiana.edu.bo/web/contenido/dossier/12014/2899.pdf · 1 UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA CONTADURÍA PÚBLICA Y SISTEMAS DOSSIER GESTIÓN I –

1

UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

CONTADURÍA PÚBLICA Y SISTEMAS

DOSSIER

GESTIÓN I – 2014

ALGEBRA

PRIMER SEMESTRE

Ing. Claudia Llanos Vidaurre

2

CONTENIDO

• CONTENIDOS MÍNIMOS OFICIALES

� Expresiones Algebraicas � Lógica matemática � Teoría de Conjuntos � Técnicas de Conteo � Relaciones y Funciones � Sistemas de Ecuaciones y Matrices � Determinantes � Programación lineal

3

LOGICA MATEMATICA

Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) p → q ⇔ q’ → p’

q’ → p’ ⇔ ( q’ )’ ∨ p’ ( Definición ) ⇔ q ∨ p’ ( Doble Negación ) ⇔ p’ ∨ q ( Conmutatividad ) ⇔ p → q ( Definición )

2 ) ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’ ( p → q )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ( Definición )

⇔ ( p’ )’ ∧ q’ ( De Morgan ) ⇔ p ∧ q’ ( Doble Negación )

3 ) p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’ p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p → F ( Complemento )

⇔ p’ ∨ F ( Definición ) ⇔ p’ ( Identidad )

4 ) ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p ( q ∨ q’ ) → p ⇔ ( q ∨ q’ )’∨ p ( Definición )

⇔ V’ ∨ p ( Complemento ) ⇔ F ∨ p ( Complemento ) ⇔ p ( Identidad )

5 ) ( p ∧ q ) → r ⇔ p → ( q → r ) ( p ∧ q ) → r ⇔ ( p ∧ q )’ ∨ r ( Definición )

⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ( De Morgan ) ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ( Asociatividad ) ⇔ p → ( q → r ) ( Definición )

6 ) p → ( q → r ) ⇔ q → ( p → r ) p → ( q → r ) ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ( Definición )

⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( q’ ∨ p’ ) ∨ r ( Conmutatividad ) ⇔ q’ ∨ ( p’ ∨ r ) ( Asociatividad ) ⇔ q → ( p → r ) ( Definición )

7 ) ( p → q ) ↔ p ⇔ p ∧ q ( p → q ) ↔ p ⇔ ( ( p → q ) → p ) ∧ ( p → ( p → q ) ) ( Definición )

⇔ ( ( p → q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p → q ) ) ( Definición ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( Definición ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( De Morgan ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( Absorción ) ⇔ p ∧ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ( Asociatividad ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ q ) ( Idempotencia ) ⇔ ( p ∧ p’ ) ∨ ( p ∧ q ) ( Distributividad ) ⇔ F ∨ ( p ∧ q ) ( Complemento ) ⇔ p ∧ q ( Identidad )

4

8 ) ( p → q ) ↔ q ⇔ p ∨ q ( p → q ) ↔ q ⇔ ( ( p → q ) → q ) ∧ ( q → ( p → q ) ) ( Definición )

⇔ ( ( p → q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p → q ) ) ( Definición ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( Definición ) ⇔ ( ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( De Morgan ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ( Doble Negación ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ( Conmutatividad ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( q’ ∨ q ) ∨ p’ ) ( Asociatividad ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( V ∨ p’ ) ( Complemento ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ V ( Identidad ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ( Identidad ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) ( Distributividad ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ V ( Complemento ) ⇔ p ∨ q ( Identidad )

9 ) p ↔ q ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ ) p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ( Definición )

⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) ( Definición ) ⇔ ( p’ ∧ ( q’ ∨ p ) ) ∨ ( q ∧ ( q’ ∨ p ) ) ( Distributividad ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ p ) ) ∨ ( ( q ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ) ( Distributividad ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ F ) ∨ ( F ∨ ( q ∧ p ) ) ( Complemento ) ⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ( Identidad ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ ) ( Conmutatividad )

10 ) p’ ↔ q’ ⇔ p ↔ q p’ ↔ q’ ⇔ ( p’ → q’ ) ∧ ( q’ → p’ ) ( Definición )

⇔ ( ( p’ )’ ∨ q’ ) ∧ ( ( q’ )’ ∨ p’ ) ( Definición ) ⇔ ( p ∨ q’ ) ∧ ( q ∨ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( q’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ q ) ( Conmutatividad ) ⇔ ( q → p ) ∧ ( p → q ) ( Definición ) ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ( Conmutatividad ) ⇔ p ↔ q ( Definición )

11 ) ( p ↔ q )’ ⇔ p’ ↔ q ( p ↔ q )’ ⇔ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) )’ ( Definición )

⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ ( q’ ∨ p )’ ( De Morgan ) ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ ( ( q’ )’ ∧ p’ ) ( De Morgan ) ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ) ( Distributividad ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) )∧( ( p ∨ p’ ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ( Distributividad ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ V ) ∧ ( V ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ( Complemento ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ( Identidad ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( p’ → q ) ∧ ( q → p’ ) ( Definición ) ⇔ p’ ↔ q ( Definición )

12 ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∧ r ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( p’ ∨ r ) ( Definición )

⇔ p’ ∨ ( q ∧ r ) ( Distributividad ) ⇔ p → ( q ∧ r ) ( Definición )

5

13 ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∨ r ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ ( p’ ∨ r ) ( Definición )

⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∨ p’ ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ∨ r ( Conmutatividad ) ⇔ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ r ( Idempotencia ) ⇔ p’ ∨ ( q ∨ r ) ( Asociatividad ) ⇔ p → ( q ∨ r ) ( Definición )

14 ) ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p ∨ q ) → r ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p’ ∨ r ) ∧ ( q’ ∨ r ) ( Definición )

⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ r ( Distributividad ) ⇔ ( p ∨ q )’ ∨ r ( De Morgan ) ⇔ ( p ∨ q ) → r ( Definición )

INFERENCIA LÓGICA 1.4 Demostraciones

¿Que es una demostración?

Podemos mencionar tres definiciones:

· Demostración de un principio o teoría.

· Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.

· La que se basta así misma para establecer la verdad de una proposición o tesis.

Métodos deductivos de demostración.

Según el sistema aristotélico, el método deductivo “Es un proceso que parte de un

conocimiento general, y arriba a uno particular”, la aplicación del método deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS.

Ejemplo:

“Todos las campechanas son bellas”, (Este es el conocimiento general) “Marta Colomina es campechana” ∴∴∴∴ “Marta Colomina es bella”

Un silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, de la cuales la última se deduce

de las otras dos de la forma << si (premisa mayor) y (premisa menor) entonces (conclusión)>>.

6

Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una hipótesis general se llega a una conclusión particular, también es de hacer notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa. En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en “AXIOMAS”.

Por ejemplo, dos axiomas serían:

1. “El todo es mayor que la parte”.

2. “Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si”.

El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de IGUAL. El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea invalido, generalmente en matemáticas la deducción es un proceso concatenado del tipo "si A entonces B, si B entonces

C, si C entonces D..." hasta llegar a una conclusión. Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA, la práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante, constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias…

Demostración por el método directo.

“Consiste en obtener una conclusión mediante una secuencia de proposiciones encadenadas

por reglas de deducción o de inferencia”.

Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número de proposiciones es elevado, la tabla puede ser

excesivamente larga), este método para probar que se da la implicación lógica. Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:

p → q Que podemos analizar como “si se cumple p entonces se cumple q”, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

Un axioma es una verdad que se acepta por sí sola o por definición, en otras palabras, es

una proposición inicial la cual se asume como verdadera.

En general todos aquellos antecedentes que podemos utilizar para demostrar una

proposición constituyen la hipótesis, la proposición a demostrar constituye la tesis.

Un teorema es una proposición matemática que afirma una verdad demostrable.

7

Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación de causa y efecto, en la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es que, “va

a llover”. Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable, así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la cual si se cumple la premisa p entonces se puede decir que se cumplirá la consecuencia “q”, a este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica “p” entonces su consecuencia tampoco se verificará.

¬p → ¬q Supóngase que p → q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p.

Supóngase una implicación de la forma. (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧...∧ pn) → q

En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2,......,pn. Se escribe el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que “q” es verdadera. Observe que expresar (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧...∧ pn) → q es lo mismo que expresarla de la siguiente manera:

p1

p2 .

.

.

pn

∴∴∴∴ q

Diremos que la proposición “q” se infiere de las proposiciones p1, p2, . . . , pn

Reglas de inferencia

Presentamos a continuación, una tabla con las reglas de inferencia más usuales y las tautologías con las que están relacionadas en el lenguaje de las proposiciones.

Regla Forma tautológica Nombre p ∴ ∴ ∴ ∴ p ∨ q

p → (p ∨ q) Adición

p ∧ q ∴∴∴∴ p

(p ∧ q) → p Simplificación

[p ∧ (p → q)] → q Modus ponens

Una inferencia es un proceso guiado con el que se concluye una proposición de otras.

8

p p → q ∴ ∴ ∴ ∴ q p → q ¬q ∴∴∴∴ ¬p

[ (p → q) ∧ q] → ¬p Modus Tollens

p → q q → r ∴∴∴∴ p → r

[(p → q ) ∧ ( q → r )] → (p → r) Silogismo hipotético

p ∨ q ¬p ∴∴∴∴ q

[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo disyuntivo

p → q r → s p ∨ r ∴∴∴∴ q ∨ s

[(p → q) ∧ ( r → s ) ∧ ( p ∨ r )] → (q ∨ s)

Dilema constructivo

p → q r → s ¬q ∨ ¬s ∴∴∴∴ ¬p ∨ ¬r

[(p → q) ∧ ( r → s ) ∧ (¬q ∨ ¬s )] → (¬p ∨ ¬r)

Dilema destructivo

¬p → C ∴ ∴ ∴ ∴ p

(¬p → C) → p Contradicción

p ∧ q p → (p → r) ∴ ∴ ∴ ∴ r

[(p ∧ q) → (p → (p → r))] → r Demostración condicional

p → r q → r ∴ ∴ ∴ ∴ (p ∨ q) → r

[(p → r) ∧ ( q → r )] → [(p ∨ q) → r] Demostración por casos

Circuitos

Encuentra la proposición y simplifica

1.-

-p -q

p q

P -p q -r

-q

Respuesta: p ^ -q

9

2.- p q

p r q p

p r -q

r -p

TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjuntos

Definición de Conjuntos

1) Enumerando A = { 1,3,5,7 } 2) Por Propiedades A = { x | x es impar } = { x | (x mod 2)=1 } 3) Intervalos A = [ 1,5 ] = { 1,2,3,4,5 }

A = ( 1,5 ) = { 2,3,4 } Conjuntos especiales

Ø Conjunto Vacío U Conjunto Universal Conjunto Números Enteros Positivos 1,2,3,... Conjunto Números Naturales 0,1,2,3,... Conjunto Números Enteros ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

Respuesta: r ^ -q

10

Conjunto Números Racionales (Razones de enteros, i.e. quebrados) p/q donde p ∈ y q ∈ Conjunto Números Irracionales √2, ¶, e, 0, -1, ¾, ...

Cardinalidad

Operador de

Cardinalidad long(A): Numero de elementos del conjunto A A=[1,5],

long(A)=5 Finito Número de elementos es finito A=[1,5] Infinito Número indefinido de elementos A = { x | x es par

} Contable Sus elementos son enumerables

(puede ser infinito). No Contable Dado cualquier pareja de elementos

siempre existirá un elemento intermedio entre ambos.

Operaciones para Conjuntos

Unión A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B } Intersección A ∩ B = { x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B } Diferencia

(Complemento

Relativo) A - B = A \ B = { x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∉ B } Equivalencia: B - A = B ∩ Ac

Complemento Ac = ~A = ¬A = = U - A = { x ∈ U | x ∉ A } Diferencia

Simétrica A ⊕ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) = (A - B) ∪ (B - A) = { (x∈A ∨ x∈B) ∧ ~(x∈A ∧ x∈B) } = { x∈(A∪B) ∧ x∉(A∩B) }

Subconjunto A ⊂ B = { Para todo x∈A también x∈B } = ∀x( x∈A → x∈B) }

11

Unión /

Intersección

Múltiple ∪ Ai = { i∈I | x∈Ai } i∈ I

Conjunto

Potencia ℘℘℘℘(A) = El conjunto de todos los subconjuntos de A

Si A tiene n elementos, entonces ℘℘℘℘(A) tiene 2n subconjuntos.

Ej: A={0,1}, luego ℘℘℘℘(A)={Ø, {0},{1},{0,1}}. Nota:

℘℘℘℘(Ø)={Ø}

Formalmente: long(℘℘℘℘(A)) = 2long(A) Producto

Cartesiano A × B = { <a,b> | a∈A ∧ b∈B } donde: <a,b> denota un par ordenado, i.e. tupla-2.

Relaciones entre Conjuntos

Conjunto Propio A ∩ B = A ∪ B Conjunto Impropio (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) Conjuntos Disjuntos A ∩ B = ∅

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

•••• Conmutativas A ∪ B ≡ B ∪ A A ∩ B ≡ B ∩ A •••• Asociativas (A ∪ B) ∪ C ≡ A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C ≡ A ∩ (B

∩ C) •••• Distributivas A ∪ (B ∩ C) ≡ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) ≡ (A ∩

B) ∪ (A ∩ C) •••• Neutros A ∩ U ≡ A A ∪ ∅ ≡ A •••• Propiedades negación A ∪ Ac ≡ U A ∩ Ac ≡ ∅ •••• Idempotentes A ∪ A ≡ A A ∩ A ≡ A •••• Absorbentes A ∪ U ≡ U A ∩ ∅ ≡ ∅

12

•••• Doble negación (DN) (Ac)c ≡ A •••• Leyes de De Morgan (LM) (A ∪ B)c ≡ Ac ∩ Bc (A ∩ B)c ≡ Ac ∪ Bc •••• Simplificativas A ∪ (A ∩ B) ≡ A A ∩ (A ∪ B) ≡ A

ANÁLISIS COMBINATORIO

Métodos combinatorios

Técnicas básicas Sea S un conjunto finito no vacío. Se designar por | S | al cardinal de S, es decir, el número de elementos de S. En particular | CV | = 0 (CV es el conjunto vacío). Principio de Adición Sean A1, A2, ... , An conjuntos finitos tales que Ai INT Aj = CV (INT es la intersección) para cada i # j, donde i, j pertenecen a {1, 2, ... , n}, entonces: | A1 U A2 U ... U An | = | A1 | + | A2 | + ... + | An | En el lanzamiento de dos dados ¿De cuántas formas se pueden obtener un siete o un ocho?

• Obtener un siete = A = { (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1) }

• Obtener un ocho = B = { (2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2) }

• | A U B | = | A | + | B | = 6 + 5 = 11 El experimento de lanzar una moneda al aire tres veces ¿De cuántas formas se puede obtener una, dos o tres caras?

• Una cara = A = { (C, +, +) , (+, C, +) , (+, +, C) }

• Dos caras = B = { (+, C, C) , (C, +, C) , (C, C, +) }

• Tres caras = C = { (C, C, C) }

• | A U B U C | = | A | + | B | + | C | = 3 + 3 + 1 = 7 Principio de Multiplicación Sea A1, A2, ... , An una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces: | A1 x A2 x ... x An | = | A1 | · | A2 | · ... · | An | Formación de placas de matrícula ¿Cuántas placas de matrícula pueden formarse con cuatro letras (en un alfabeto de 26 letras) seguidas de tres números?

13

• Cuatro letras = A = B = C = D = 26

• Tres dígitos = E = F = G = 10

• | A x B x C x D x E x F x G | = | A |·| B |·| C |·| D |·| E |·| F |·| G | = 26·26·26·26·10·10·10 = 456976000

Se dispone de una baraja de 40 cartas Se extraen 4 cartas por dos procedimientos: a) sin devolución de la carta extraída b) con devolución en cada extracción.

• 1ª carta = A , 2ª carta = B , 3ª carta = C , 4ª carta = D

• a) | A x B x C x D | = | A |·| B |·| C |·| D | = 40 · 39 · 38 · 37 = 2193360

• b) | A x B x C x D | = | A |·| B |·| C |·| D | = 40 · 40 · 40 · 40 = 2560000 Formación de números ¿Cuántos números naturales distintos existen entre 5000 y 10000 y tienen todas sus cifras diferentes?

• 1º dígito (5...9) = A , 2º dígito (0...9) = B , 3º dígito (0...9) = C , 4º dígito (0...9) = D

• | A x B x C x D | = | A |·| B |·| C |·| D | = 5 · 9 · 8 · 7 = 2520 Principio de Distribución Sean m, n y p números naturales. Si se distribuyen np + m objetos en n cajas entonces alguna caja deberá contener al menos p + 1 objetos.

ELEMENTOS COMBINATORIOS Permutaciones Cualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos al mismo tiempo). Se designa por: P( n ) = n! = n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 2 · 1 Formaciones con personas ¿De cuántas maneras puede organizarse un grupo de 7 personas: a) en una fila de 7 asientos? b) alrededor de una mesa redonda?

• a) P( 7 ) = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

• b) P( 7 - 1 ) = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Permutaciones con repetición Con frecuencia deseamos encontrar el número de permutaciones de objetos, algunos de los cuales son iguales. La fórmula general es (r es el número de elementos repetidos):

14

PR( n ) = n! / n1! · n2! · ... · nr! Permutaciones con letras ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra "radar"?

• Repeticiones: r = 2 , a = 2

• PR( 5 ) = 5! / 2! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 2 · 1 · 2 · 1 = 120 / 4 = 30 Permutaciones con banderas ¿Cuántas señales de 6 banderas pueden formarse con 4 banderas rojas y 2 azules? Repeticiones: rojas = 4 , azules = 2 PR( 6 ) = 6! / 4! · 2! = 6·5·4·3·2·1 / 4·3·2·1·2·1 = 720 / 48 = 15 Variaciones Sea un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural (r <= n). Una variación de orden r es una lista ordenada de n elementos distintos tomados de r en r. Su fórmula es: V( n, r ) = n! / (n - r)! Variaciones con bolas Una urna contiene 8 bolas. Encontrar el número de muestras ordenadas de magnitud 3. V( 8, 3 ) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = 8·7·6·5·4·3·2·1 / 5·4·3·2·1 = 40320 / 120 = 496 Variaciones con números ¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 6, 7 y 9? V( 6, 3 ) = 6! / (6 - 3)! = 6! / 3! = 6·5·4·3·2·1 / 3·2·1 = 720 / 6 = 120 Variaciones con repetición Sea un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural (r <= n). Una variación con repeticiones de orden r es una lista ordenada de n elementos tomados de r en r. Su fórmula es: VR( n, r ) = n^r Los catorce en las quinielas En el juego de las quinielas, ¿cuál es el número mínimo de columnas que han de rellenarse para acertar con seguridad los catorce signos? VR( 3, 14 ) = 3^14 = 4728969 Formaciones de palabras En un alfabeto formado por las letras (a, b, c, d), ¿cuántas palabras distintas de diez letras pueden formarse? VR( 4, 10) = 4^10 = 1048576

15

Combinaciones Sea un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural (r <= n). Una combinación de orden r es una lista de elementos distintos, donde el orden no se tiene en cuenta. Se formula: C( n, r ) = n! / r! . (n - r)! El juego del póker ¿Cuántas manos de póker distintas (5 cartas) pueden formarse con una baraja de 52 cartas? C( 52, 5 ) = 52! / 5!·47! = 52·51·50·49·48 / 5·4·3·2·1 = 311875200 / 120 = 2598960 Comité de personas ¿De cuántas maneras puede formarse un comité que consta de 3 hombres y 2 mujeres, a partir de 7 hombres y 5 mujeres?

• A = Hombres = C( 7, 3 ) = 7! / 4! · 3! = 210 / 6 = 35

• B = Mujeres = C( 5, 2 ) = 5! / 3! · 2! = 20 / 2 = 10

• | A x B | = | A | ú | B | = 35 · 10 = 350 Combinaciones con repetición Sea un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural. Una combinación con repetición de orden r es una lista ordenada de n elementos en donde los elementos pueden ser iguales. Su fórmula es: CR( n, r ) = C( n + r - 1, r ) Distribución de objetos ¿De cuántas formas se pueden distribuir 10 canicas azules en 5 bolsas distintas? CR( 5, 10 ) = C( 5 + 10 - 1, 10 ) = C( 14, 10 ) = 87178291000 / 87091200 = 1001 Suma de dígitos ¿Cuántos números hay en el conjunto {1, 2, ..., 1000 } que tengan la propiedad de que la suma de sus dígitos sea 5? CR( 3, 5 ) = C( 3 + 5 - 1, 5 ) = C( 7, 5 ) = 5040 / 240 = 21 Resumen del empleo de elementos combinatorios Se eligen r objetos de un Número de selecciones Número de selecciones conjunto de n ordenadas no ordenadas ========================================================= No están permitidas las repeticiones V(n,r) = n!/(n-r)! C(n,r) = n!/(n-r)!·r!

16

Están permitidas las repeticiones VR(n,r) = n^r CR(n,r) = C(n+r-1,r) Se considera la expresión (x + y)^n . Su desarrollo puede obtenerse mediante la fórmula: (x + y)^n = Sumatorio de r ( 0 ... n ) en C( n, r ) · x^n-r · y^r Desarrollo de un binomio Calcúlese el coeficiente de x^6 en el desarrollo de (x - 3)^11. C( 11, 6 ) · x^6 · (-3)^5 = 462 · x^6 · (-243) = -112266x^6 Fórmula de Pascal Si n y r son enteros tales que 1 <= r <= n - 1, entonces: C( n, r ) = C( n - 1, r ) + C( n - 1, r - 1 ) La fórmula de Pascal da un método para el cálculo de los coeficientes binómicos, dado el valor inicial C( n, 0 ) = C( n, n ) = 1, para todo n >= 0. Los coeficientes de sucesivas potencias (x + y)^n se pueden distribuir en una figura que se conoce como triángulo de Pascal, en el cual se tiene: • El primer y el último elemento de cada fila es 1. • Cualquier otro número del tri ngulo se puede obtener sumando los dos números que

aparecen encima de él. Fórmula de Leibnitz Se aplica a los coeficientes del tipo multinómicos: (x1 + x2 + ... + xk)^n = n! / n1! · n2! · ... · nk! Cálculo de un coeficiente Calcúlese el coeficiente del término a^3b^2c^4 del desarrollo de (a + b + c + d)^9. 9! / 3!·2!·4!·0! = 9·8·7·6·5 / 3·2·1·2·1·1 = 15120 / 12 = 1260 EJERCICIOS 1. Cuántos números de cinco cifras se pueden formar utilizando los dígitos 123567 y 9 con la condición de que:

• Todas las cifras sean distintas • Todas las cifras sean iguales • El número obtenido sea múltiplo de 4 • El número obtenido sea capicúa • El número obtenido sea par y capicúa

2. De una caja que contiene 122 bolillos numerados de 1 a 122, se extraen 5. Cuántos posibles resultados hay si:

17

• Los bolillos se extraen uno a la vez. • Los bolillos se extraen todos juntos

3. De cuántas maneras se pueden ubicar 22 bolitas indistinguibles en 59 cajas numeradas

con la condición de que cada caja debe contener a lo sumo una bolita. 4. Suponga que existen 10 caminos desde oz, hasta la tierra del centro, y 5 caminos

desde la tierra del centro a la isla de la fantasía.

a) De cuantas maneras diferentes se puede ir de oz a la isla de la fantasía pasando por la tierra del centro.

b) Cuántas rutas del tipo oz del centro isla de la fantasía, tierra del centro, oz hay?, si se exige que no se repita el camino de oz a la isla de la fantasía en el viaje de regreso

5. Se tiene número enteros del 5 al 200 ambos inclusive

a) cuántos números hay b) Cuántos números impares hay c) Cuántos son mayores que 72 d) Cuántos contienen el dígito 7

RELACIONES Y FUNCIONESRELACIONES Y FUNCIONESRELACIONES Y FUNCIONESRELACIONES Y FUNCIONES Sean A y B conjuntos. Una relación de A a B es cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R. Formalmente: aRb = { <a,b>∈R | a∈A ∧ b∈B ∧ R⊆A×B } Ejemplo: Sean

P = { x ∈ | x es primo ∧ x<12 } = { 1, 3, 5, 7, 11 } I = { x ∈ | x es impar ∧ x<10 } = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Por lo tanto:

P × I = { <1,1>, <1,3>, <1,5>, ... , <11,9>, }

Sea:

R ∈ P × I R = { <1,1>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <11,9> }

Gráficamente:

18

P

1 3 5 7

11

<1,1> <1,3> <1,5> <1,7> <1,9> <3,1> <3,3> <3,5> <3,7> <3,9> <5,1> <5,3> <5,5> <5,7> <5,9> <7,1> <7,3> <7,5> <7,7> <7,9> <11,1> <11,3> <11,5> <11,7> <11,9>

Grafo:

Relaciones Especiales

E Relación de Equivalencia { < x,x > ∈ R }

R-1 Relación Inversa { < b,a > | < a,b > ∈ R }

Propiedades para Relaciones Sea R ∈ S × S

Reflexiva Para toda x∈ S, existe xRx E ∈ R Irreflexiva Para toda x∈ S, no existe xRx E ∩ R = ∅

I Matriz: 1 3 5 7 9

19

Simétrica Para toda xRy, existe yRx E ∈ R Asimétrica Para cada xRy, no existe yRx E ∩ R = ∅ Antisimétrica Para cada xRy, no existe yRx, pero

si xRx E ∈ R Transitiva Siempre que exista xRy, y yRz,

existe xRz E ∈ R La relación de equivalencia E es reflexiva, simétrica y transitiva.

Funciones

Sean X, Y conjuntos. Una función f de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada f(x) existe un solo elemento y � Y.

Finalmente:

< x,y > ∈ f "La función f es una relación de X a Y". f(x) = y "f mapea de X a Y". f: X → Y "f transforma X en Y",

donde: X es el dominio y Y es la imagen. Existe una correspondencia uno-a-uno en f(x)=y, cuando para toda x∈ X existe una y∈ Y , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad. Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función inversa,

f-1(y) = x si y solo si f(x) = y

20

TEORÍA DE MATRICES Y DETERMINANTES

Ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.

Teoría de matrices

Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo (véase Álgebra). Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:

En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de corchetes, se pueden utilizar también dos rectas paralelas a cada lado. Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es -1. Una fila o columna genérica se denomina línea.

El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33, … forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M3 anterior,

21

es la matriz traspuesta de M3.

La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera, aunque se podrían tomar elementos de cualquier otro cuerpo o anillo. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz identidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz identidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que Im se escribe simplemente I.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente

El conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa de la adición. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m × n y B = (bjk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m × p, y cik está dado por

es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

22

Determinantes. Ejercicios y problemas

1. Demost rar, s i n desarrol l ar, que l os s igu ientes determinantes va len cero:

2 . Sabiendo que |A|=5, ca l cula l os ot ros determinantes.

3 . Demost rar que l os s i guientes determinantes son múl t i pl os de 5 y 4 respect i vamente, si n desarro l l ar l os

4 . Demost rar, s i n desarrol l ar, que el s i gu iente determinante es múl t i p l o de 15:

23

5. Demuést rese l as i gualdades que se i ndi can, s in neces i dad de desarro l l ar l os determinantes:

6 . Reso lver l as s i guientes ecuaciones s i n desarro l l ar l os determinantes .

7 . Apl i cando l as propiedades de l os determinantes , cal cular:

8 . Pasando a determinantes t r i angu lares , ca lcular el va lor de:

9 . Cal cular l os determinantes de Vandermonde:

24

10. Hal l ar l a matr i z i nversa de:

11. Para qué val ores de x l a matr i z no admi te matri z i nversa?

12. Cal cular e l rango de las si gui entes matr i ces:

13. Reso lver l as s i guientes ecuaci ones matr i c ia l es:

1A · X = B

2 X · A + B = C