Dorian Diplom Alb

Studim i Sistemeve te Thjeshta me Ferkim

ne Kuadrin e

Mekanikes Kuantike

Puna e Diplomes

paraqitur ne

Departamentin e Fizikes Teorike

Universiteti i Tiranes

nga Dorian Kcira

udheheqes Prof. H. D. Dahmen

Universiteti i Siegen, Gjermani

Prill 2007

Pasqyra e Lendes

1 Hyrje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Oshilatori Harmonik me Shuarje me Hamiltonian Johermitian . . . . . 32.1 Arsyeja e Zgjedhjes se nje Hamiltoniani Johermitian . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Oshilatori Harmonik me Frekuence Komplekse . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Zhvillimi Kohor i nje Gjendjeje Stacionare . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Zhvillimi i nje Gjendjeje Koherente Kuazi-Klasike . . . . . . . . . . . 52.2.3 Konkluzione per Oshilatorin me Shuarje . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Nje Forme Konkrete per Termin Detyrues . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Veprimi i Operatorit WS mbi Boshllekun (Vakuumin) . . . . . . . . . 11

2.3.2.1 Zhvillimi i Boshllekut per Kohe te Medha . . . . . . . . . . . 122.3.2.2 Zhvillimi i Boshllekut ne Rezonance . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2.3 Rezonanca ne Kohe te Medha . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Veprimi mbi nje Gjendje Jobaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3.1 Gjendja Stacionare per Kohe te Medha . . . . . . . . . . . . 192.3.3.2 Dy Raste Speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3.3 Studimi i Rezonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 Veprimi i WS mbi nje Gjendje Kuazi-Klasike . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4.1 Rasti pa Operatore te Zhdukjes te Bozoneve . . . . . . . . . 242.3.4.2 Vlerat Mesatare te Koordinates, Impulsit dhe Energjise . . . 242.3.4.3 Funksioni Valor ne Paraqitjen Koordinative . . . . . . . . . . 26

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Oshilatori Harmonik i Detyruar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1 Oshilatori Harmonik i Detyruar ne Paraqitjen e Heisenberg-ut . . . . . . . . . 32

4 Modeli i Dyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1 Kuantizimi i nje Oshilatori Harmonik Klasik me Shuarje . . . . . . . . . . . . 384.2 Zhvillimi Kohor per Hamiltonianin me Shuarje H0 +H1 . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Ekuacioni Diferencial per Operatorin e Zhvillimit . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Zgjidhja e Ekuacionit Diferencial per Operatorin e Zhvillimit me

anen e Faktorizimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3 Zhvillimi i Gjendjes Baze se Sistemit te Paperturbuar . . . . . . . . . 434.2.4 Konkluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

i

Pasqyra e Lendes ii

4.3 Shtimi i nje”Force te Jashtme Detyruese“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Zhvillimi Kohor i Vakuumit per Hamiltonianin me Term Detyrues Hnew . . . 474.4.1 Rasti i Termit Detyrues Hermitian. Forma Konkrete e Tij . . . . . . . 484.4.2 Probabilitetet e Kalimit ne nje Gjendje te Cfaredoshme Perfundimtare 494.4.3 Studimi i Problemit per Kohe te Medha . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.4 Studimi i Hollesishem i Probabilitetit per te Mbetur ne Gjendjen Baze 524.4.5 Konkluzione mbi Modelin e Dyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A Disa Formula te Rendesishme te Algjebres se Operatoreve . . . . . . . 56A.1 Formula Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.1.1 Formula e Glauber-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.2 Teoreme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.3 Teoreme 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.4 Lema Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B Teorema per Operatoret e Lindjes dhe Zhdukjes se Bozoneve . . . . . 61B.1 Teoreme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.2 Teoreme 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

C Funksionet e Green-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

D Referenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1. Hyrje

Problemi i Oshilatorit Harmonik me shuarje eshte nje problem i ezauruar ne kuadrin emekanikes klasike. Por nje trajtim i plote kuantik i tij nuk eshte dhene akoma. Ne pergjithesitrajtimi i sistemeve disipative me metodat e mekanikes kuantike nuk eshte aq i thjeshte.Veshtiresi paraqet fakti qe nuk eshte gjithmone e mundur te kuantizohen keto sisteme. Ngaana tjeter, relacionet kanonike te komutimit nuk ruhen per shkak te termave shuares. Porne vitet e fundit ide me rendesi jane zhvilluar ne kete drejtim [14, 15, 16, 17].

Ne artikullin [14] theksohet se ne parim nuk ka vend per sistemet disipative ne meka-niken kuantike sepse formalizmi i saj bazohet ne ruajtjen e probabiliteteve dhe se duhetfutur ndonje lloj formalizmi i pergjithesuar per te pershkruar sistemet me shuarje. Prandajne kete pune kemi perdorur dy metoda te ndryshme per trajtimin e oshilatorit harmonikme ferkim.

Ne modelin e pare kemi zgjedhur nje Hamiltonian johermitian te ngjashem me ate te oshi-latorit harmonik linear por me nje frekuence komplekse ne vend te asaj reale. Pjesa imag-jinare e kesaj frekuence lot rolin e koeficientit te shuarjes. Ne studiojme se si zhvillohenne kohe gjendjet stacionare.

Per te shqyrtuar se sa e shpjegon ky sistem situaten klasike kemi studiuar gjithashtusjelljen e gjendjeve koherente kuazi-klasike te oshilatorit harmonik nen keto kushte. Atojane gjendje kuantum-mekanike qe japin nje pershkrim te realitetit te afert me ate te meka-nikes klasike.

Pastaj vazhdojme me studimin e pergjigjes se sistemit ndaj nje termi detyrues te jashtemne Hamiltonian. Nqs termi detyrues nuk permban operatore anihilimi, atehere gjithmone sis-temi arrin ekuilibrin pas nje faze kalimtare fillestare.

Megjithe mosruajtjen e probabilitetit modeli i pare shpjegon shume veti te oshilatoritharmonik me shuarje dhe te oshilatorit harmonik te detyruar dhe me ferkim.

Modeli i dyte bazohet ne punen e G. Vitiello, E. Celeghini, M. Rasetti, Y. N. Srivastava,A. Iorio dhe A. Widom. Modeli konsiston ne kuantizimin e nje oshilatori harmonik klasikme shuarje duke dyfishuar dimensionet e hapesires se tij fazore. Gradet e reja te lirise keshtute futura losin rolin e gradeve te lirise te rezervuarit termik dhe lejojne te nxirret ekuacionii i oshilatorit me shuarje nga nje parim variacional. Ne kete menyre kemi nje Hamiltonianqe pershkruan nje sistem te plote, rezervuarin termik dhe bashkeveprimin e sistemit me te.Edhe ketu, ashtu si ne sistemin e pare, i shtohet Hamiltonianit nje term detyrues dhe behetnje studim i hollesishem i probabiliteteve te kalimit.

Sic theksohet ne [14] ,”. . . zhvillimi kohor nxjerr jashte hapesires Hilbertiane te gjend-

jeve . . . ”. Ne studimin tone ne kemi gjetur qe edhe ne rastin kur sistemi i nenshtrohetveprimit te nje termi detyrues ai e le perseri hapesiren e gjendjeve te Hilbert-it.

1

2

Shumica e ploteve ne kete pune jane prodhuar nga programe te shkruara ne gjuhen eprogramimit FORTRAN dhe te integruara ne programin INTERQUANTA (the InteractivePicture of Quantum Mechanics) te zhvilluar nga S. Brandt dhe H. D. Dahmen. Programetjane ekzekutuar ne nje IBM RISC System/6000 nen sistemin e shfrytezimit AIX version 3.2.Disa grafike jane prodhuar nga Mathematica (VAX/VMS) Version 1.2 dhe nga Maple VRelease 3 per X Windows.

Diploma eshte shtypur me sistemin LATEX te pergatitjes se dokumenteve te bazuarne programin TEX Version 3.141. Edhe grafiket jane perfshire ne dokumentin e shkruar meane te LATEX.

Kjo pune eshte zhvilluar ne Universitetin e Siegen-it nen drejtimin dhe bashkepuniminshume te rendesishem te profesor H. D. Dahmen. I shpreh atij mirenjohjen time te thelle pergjitha sugjerimet dhe idete shume te vlefshme qe bene te mundur kryerjen dhe perfeksionimine kesaj pune.

I jam shume mirenjohes Erion Gjonaj dhe Anli Shundit per asistencen dhe komentetshume ndihmese. Falenderime te vecanta kam per Tilo Stroh per gatishmerine dhe duriminne pergjigjen e gjitha pyetjeve te mia si edhe per verejtjet dhe sugjerimet e tij.

Ndihme shume te madhe per shkruarjen e versionit shqip te diplomes me ane te LATEXdha Anli Shundi. Pa ndihmen e tij kjo do kishte qene shume e veshtire.

Dorian KciraDhjetor 1995

2. Oshilatori Harmonik me Shuarje me Hamiltonian

Johermitian

2.1 Arsyeja e Zgjedhjes se nje Hamiltoniani Johermitian

Problemi i sistemeve me ferkim ne mekaniken kuantike eshte akoma mjaft i diskutuar ne lite-raturen shkencore. Parimisht, detajet e atyre gradeve te lirise qe ne te cilat perhapet energjiae nje sistemi te dhene duhen njohur dhe duhen marre parasysh. Futja e konceptit te ferkimitne kuadrin e mekanikes Hamiltoniane, e cila qendron ne baze te mekanikes kuantike, nukeshte e mundur.

Per thjeshtesi le te konsiderojme nje oshilator harmonik njedimensional me frekuenceΩ.Disipacioni i energjise eshte i mundur vetem nqs ekziston nje sistem tjeter i gradeve te li-rise te ciftuara me oshilatorin, i quajtur zakonisht rezervuari termik. Ne nje situate fizikeku fillimisht oshilatori eshte ne gjendjen e eksituar | ϕi > dhe sistemi i gradeve te tjerate lirise eshte ne gjendjen baze | Φ0 >, sistemi i te dyve bashke ndodhet ne gjendjen produkt

| Ψ(0) >= | ϕi > | Φ0 > .

Ciftimi mes oshilatorit dhe rezervuarit termike transformon kete gjendje fillestare ne gjend-jen korreluar

| Ψ(t) >=∑

m,n

amn(t) · | ϕn > | Φm > ,∑

m,n

|amn(t)|2 = 1 ,

qe eshte superpozim i te gjitha gjendjeve produkt | ϕn > | Φm > te keteve vetjake | ϕn >te oshilatorit harmonik dhe atyre | Φm > te rezervuarit termik. Meqe rezervuari nuk mbetetne gjendjen baze | Φ0 >, sistemi nuk trajtohet dot si oshilator me nje grimce sepse transferimienergjise nga gjendja | ϕi > | Φ0 > drejt gjendjeve | ϕn > | Φm > shoqerohet me transferimprobabiliteti. Me kalimin e kohes, gjendja fillestare perfshihet ne gjendjen | Ψ(t) > me pro-babilitet |an0(t)|2 < 1.

Ashtu si ne modelin optik, do ta shqyrtojme kete humbje probabiliteti ne nje menyre te th-jeshte duke i shtuar Hamiltonianit te oshilatorit harmonik te paperturbuar

H0 = hΩA+A

termin johermitianHI = −ihγA+A .

Ai lehteson njekohesisht humbjen e energjise dhe ate te probabilitetit.

3

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuence Komplekse 4

Si hap te pare konsiderojme oshilatorin e thjeshte harmonik me shuarje dhe tre-gojme qe Hamiltoniani i zgjedhur jep nje pershkrim te kenaqshem te situates klasike.Ne kete rast sistemi vetem humbet energji. Ka nje transferim te energjise ne grade te tjera li-rie te cilat ne nuk i konsiderojme. Pastaj vazhdojme me tej duke i shtuar nje term tjeter qe doe quajme

”termi detyrues“. Ky term detyrues eshte korresponduesi i nje force te jashtme

ne rastin klasik. Dmth ne shqyrtojme nje Oshilator Harmonik te Detyruar me Ferkim ngapikepamja e mekanikes kuantike.

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuence Komplekse

Hamiltoniani qe shqyrtojme ne pjesen e pare te modelit tone ka formen

H = h(Ω − iγ) ·A+A , (2.2.1)

ku A dhe A+ jane perkatesisht operatoret e krijimit dhe zhdukjes dhe kenaqin relacionin e za-konshem te komutimit [A+, A] = 1. Ky Hamiltonian eshte formalisht i ngjashem me Hamilto-nianin e oshilatorit harmonik linear te lireHlho = hΩ ·A+A, por ne vend te frekuences vetjake reale Ω te oshilatorit te lire ketueshte vendosur frekuenca komplekse (Ω − iγ) . Sic do e shohim me poshte, pjesa imagji-nare γ lot rolin e koeficientit te shuarjes.

2.2.1 Zhvillimi Kohor i nje Gjendjeje Stacionare

Nisemi nga Hamiltoniani i dhene ne (2.2.1) dhe studiojme zhvillimin e nje gjendjeje stacio-nare | n > ku n = 0, 1, 2, . . . . Keto gjendje jane gjendje vetjake te Hamiltonianit pa shuarjehΩ ·A+A. Para se te studiojme zhvillimin kohor, shqyrtojme operatorin perkates te ketijzhvillimi. Ai percaktohet nga ekuacioni

ih · d

dtW = H ·W = h(Ω − iγ)A+A ·W .

Ky ekuacion diferencial ka zgjidhjen e thjeshte

W = e−i

hHt = exp

[−i(Ω − iγ)t ·A+A

].

Tani le te llogarisim veprimin e W mbi gjendjen stacionare | n >. Cdo gjendje stacionare| n > eshte ket vetjak i operatorit A+A me vlere vetjake n. Keshtu ajo do te jete gjithashtueigenket i W me vlere vetjake e−i(Ω−iγ)nt. Veprimi i W mbi kete gjendje ka atehere formene nje ekuacioni eigenketesh dhe eigenvlerash

W | n > = e−i(Ω−iγ)tA+A| n > =

= e−i(Ω−iγ)t·n| n > = e−nγt · e−inΩt| n > .

(2.2.2)

Barazimi i mesiperm tregon se, nqs fillimisht sistemi eshte ne gjendjen stacionare | n >, aido te vazhdoje te qendroje ne kete gjendje. Amplituda e probabilitetit do te

”modulohet“

nga termi me varesi kohore e−nγt · e−inΩt. Humbja e probabilitetit rrjedh padyshim ngafakti qe ne po merremi me nje Hamiltonian qe eshte johermitian. Nje e vecante e barazimit


(2.2.2) eshte qe, ne rastin e gjendjes baze, funksioni modulues eshte thjesht operatori njesi1 , pra

W | 0 >= | 0 > .

Gjendja baze eshte e qendrueshme ndaj veprimit te operatorit te zhvillimit W . Ne rastin enje gjendjeje fillestare stacionare | n > (n 6= 0) situata ndryshon. Sic e pame edhe me lart,ne rastin e ketyre gjendjeve probabiliteti lekundet (oshilon) ne kohe me frekuence n ·Ω (kuΩ eshte frekuenca vetjake e oshilatorit pa shuarje). Njekohesisht probabiliteti tenton drejtzeros per shkak te termit te shuarjes e−nγt. Verejme gjithashtu qe per cdo gjendje koeficientiγ lot rolin e koeficientit te shuarjes sepse percakton shpejtesine e zvogelimit te probabilitetitne kohe. Sa me i madh te jete numri kuantik n aq me e forte eshte shuarja (dhe aq me epaqendrueshme eshte gjendja). Koeficienti qe shumezon ketin | n > eshte

Cn = exp (−nγt) · exp (−inΩt) ,

dhe probabiliteti qe sistemi te jete ne gjendjen n (po qe se ai ishte fillimisht ne kete gjendje)eshte

Pn,n = |Cn|2 = exp [−2nγt] .

Gjithe keto karakteristika tregohen ne figuren 2.1 ne faqen 6. Ne dy kolonat e para tregohetpjesa reale e amplitudes se probabilitetit (ose, me sakte, e koeficienteve te probabilitetit).Kurse ne kolonen e trete dhe te katert paraqitet varesia kohore e probabiliteteve perkatese.Ne kolonat teke kemi rastin e sistemit pa shuarje, kurse ne ato cifte sistemin me shuarje.Ne rradhen e pare te figurave shihet qe gjendja baze eshte e qendrueshme. Per sa i takongjendjeve te tjera, verejme qe me rritjen e numrit kuantik n gjendjet lekunden me frekuencame te larta dhe synojne me shpejt drejt zeros. Sistemi me γ = 0 eshte i qendrueshem kurseai me shuarje jo. Gjendjet shuhen dhe shuarja eshte me e forte per gjendje me te larta. Evetmja gjendje e qendrueshme ne rastin me shuarje eshte gjendja baze.

2.2.2 Zhvillimi i nje Gjendjeje Koherente Kuazi-Klasike

Tani do te studiojme zhvillimin kohor te nje gjendjeje koherente kuazi-klasike | α > nen

ndikimin e operatorit te zhvillimit W = e−i

hHt. Dime qe kjo gjendje kuazi-klasike merret

nga veprimi i operatorit unitar D(α) 1 mbi gjendjen baze

| α >= D(α) · | 0 > , D(α) = eαa+−α∗a .

Nga barazimi i mesiperm marrim

W | α > = e−i

hHt| α >= e−

i

hHt · exp [αA+ − α∗A]| 0 >

=[

e−i

hHt · exp [αA+ − α∗A] · e i

hHt]

· e− i

hHt| 0 > . (2.2.3)

| 0 > eshte eigenket i A+A me vlere vetjake 0. Kemi atehere

e−i

hHt| 0 >= e−i(Ω−iγ)t·A+A| 0 >= | 0 > .

Le te perdorim barazimin2

1Ky operator njihet me emrin Displacement Operator2Shtojca A.


Fig. 2.1. Koeficientet e probabilitetit Cn dhe vete probabiliteti Pn,n ne rastin e nje gjendjejestacionare. Per numra kuantike te medhenj koeficientet lekunden me shpesh dheshkojne me shpejt drejt zeros. E njejta ndodh me probabilitetet. Ne kolonen e pare dhete trete nuk ka shuarje, dhe rrjedhimisht nuk ka

”humbje“ te probabilitetit.


exA+A · f(A,A+) · e−xA+A = f(Ae−x , A+ex) , (2.2.4)

si edhe formulen Baker-Campbell-Hausdorff 3

eC+D = eC · eD · e− 12[C,D] , (2.2.5)

e cila vlen nqs C dhe D komutojne te dyja me komutatorin e tyre. Ne rastin tone kjo eshte evertete sepse si A edhe A+ e plotesojne kete kusht. Nga (2.2.3), [A+, A] = 1, (2.2.4), (2.2.5)dhe nga zberthimi ne seri Taylor-i i eksponencialit marrim si vijon.

e−i

hHt| α >= e−

12|α|2 ·

[

| 0 > +

∞∑

n=1

αn

√n!

· e−niΩt · e−nγt| n >]

Nqs shkruajme zberthimin e gjendjes kuazi-klasike ne bazen e gjendjeve stacionare te oshi-latorit harmonik

| α >= e−α2/2∞∑

n=0

αn

√n!| n > ,

shihet qe

e−i

hHt| α >= | α′ > , ku α′ = α · e−iΩt · e−γt . (2.2.6)

Si rezultat, kemi ne cdo moment t perseri nje gjendje koherente, por parametri i saj shuhetne kohe. Vlera mesatare e energjise ne nje gjendje koherente jepet

< E >= hΩ · |α′|2 = E0 · exp (−2γt) (2.2.7)

Probabiliteti i gjetjes se sistemit ne kohen t ne nje gjendje te caktuar | n > ka formen

P0(t) = | < 0 |e− i

hHt| α > |2 = e−|α|2

Pn(t) = | < n |e− i

hHt| α > |2 =

|α|2n

n!· e−|α|2e−2nγt .

Kemi nje shperndarje probabiliteti mes gjendjeve | n > te ngjashme me shperndarjen ePoisson-it. Diferenca me shperndarjen e Poisson-it qendron ne faktorin e−2nγt. Probabilitetiper gjetjen e sistemit ne | n > (me perjashtim te | 0 >) konvergjon ne zero per kohe te medha.Kurse probabiliteti per | 0 > eshte gjithmone konstant. Grafiku perkates gjendet ne fi-guren 2.2 ne faqen 8. Shperndarja e probabilitetit eshte e ngjashme me shperndarjen ePoisson-it. Maksimumi i probabilitetit lekundet mes gjendjeve n dhe, ne limitin e kohevete medha, tenton drejt gjendjes baze. Ne te njejtin limit amplituda e maksimumit bie ne zero.

2.2.3 Konkluzione per Oshilatorin me Shuarje

1. Per formen (2.2.1) te Hamiltonianit, kemi nje proces shuarje nen te cilin cdo gjendje| n > me n 6= 0 eshte e paqendrueshme. Me kalimin e kohes, probabiliteti per ta gjetursistemin ne nje gjendje te tille gjithmone zhduket.

2. Vetem gjendja baze eshte e qendrueshme sepse probabiliteti i saj nuk bie si ai i gjend-jeve te tjera por mbetet konstant gjate gjithe kohes.

3Shtojca A.


Fig. 2.2. Varesia kohore e probabiliteteve te gjetjes se sistemit ne nje gjendje | n > pernje gjendje fillestare koherente | α >. Probabiliteti i cdo gjendjeje tenton drejt zeros mekalimin e kohes me perjashtim te boshllekut | 0 >. Rrjedhimisht maksimumi i probabilitetitper kete shperndarje te Poisson-it shkon drejt gjendjes me n = 0 per kohe te medha.

3. (a) Edhe gjendja koherente | α > eshte e paqendrueshme nen veprimin e shuarjes.Parametri α oshilon ne kohe ne menyre te ngjashme me lekundjet e oshilatoritklasik me ferkim.

(b) Per kohe te medha gjendja koherente reduktohet ne gjendjen baze. Dmth vleratmesatare te energjise, impulsit dhe koordinates konvergjojne te gjitha ne zero.

4. (a) Energjia i transmetohet gradeve te tjera te lirise dhe pikerisht atyre te mjedisitrrethues. Energjia e transmetuar mund te jete termike, rrezatim elektromagnetik,etj. Kjo varet nga rasti konkret.

(b) E njejta mund te pohohet per probabilitetin. Ai gjithashtu i transmetohet gradevete tjera te lirise se bashku me energjine.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 9

Kjo sjellje e sistemit i pergjigjet sjelljes se oshilatorit klasik me shuarje. Edhe ne rastinklasik sistemi fillimisht oshilon dhe pastaj reduktohet ne gjendjen baze me kalimin e kohes.Kjo ndodh pavaresisht nga kushtet fillestare ne te cilat sistemi ndodhet. Energjia fillestaree oshilatorit klasik (psh. energjia mekanike) transformohet ne forma te tjera energjie (psh.energji termike), pra i transmetohet gradeve te tjera te lirise. Transmetimi i energjise dhe iprobabilitetit shkaktohet nga proceset e shuarjes.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues

Marrim ne shqyrtim rastin e nje Hamiltoniani me nje”term detyrues te jashtem“. Forma e

pergjithshme qe do te zgjedhim per Hamiltonianin eshte

H = h(Ω − iγ) · A+A+ f1(t) ·A+ + f∗2 (t) ·A = H0 +HI

H0 = h(Ω − iγ) · A+A

HI = f1(t) · A+ + f∗2 (t) · A (2.3.1)

H0 eshte Hamiltoniani i percaktuar nga (2.2.1) ne seksionin paraardhes. KurseHI eshte pjesae Hamiltonianit qe i korrespondon termit detyrues. Kjo pjese eshte (ne pergjithesi) joher-mitiane. Ekuacioni diferencial per operatorin e zhvillimit shkruhet

ih · d

dtWS = H ·WS , (2.3.2)

ku WS eshte operatori i zhvillimit i Schrodinger-it4. Per zgjidhjen e ketij ekuacioni na duhette bejme zevendesimin

WS = W0 ·W , (2.3.3)

ku vete W0 percaktohet nga relacioni

ih · d

dtW0 = H0 ·W0 ,

pra,

W0 = exp (− i

hH0t) = exp [−(iΩ + γ)t ·A+A] .

Nga vendosja e ketij zevendesimi ne (2.3.2) dhe me pak algjeber te thjeshte ekuacioni perW del

ih · d

dtW = H1 ·W , ku H1 = W−1

0 HI W0 . (2.3.4)

Duke perdorurHI nga (2.3.1) dhe (2.2.4) marrim perH1 nje shprehje ne varesi te operatoreveA dhe A+

H1 = f1(t) · e(iΩ+γ)t · A+ + f∗2 (t) · e−(iΩ+γ)t · A .

Nqs konsiderojme edhe (2.3.4), ekuacioni per W transformohet ne

ih · d

dtW =

[

f1(t) · e(iΩ+γ)t · A+ + f∗2 (t) · e−(iΩ+γ)t · A

]

·W .

4Indeksi S ne WS qendron pikerisht per Schrodinger.


Per zgjidhjen e ketij ekuacioni faktorizojme W ne W1 dhe W2 si me poshte

W = W1 · W2 . (2.3.5)

W1 nga ana e vet percaktohet prej ekuacionit

ih · d

dtW1 = f1(t) · e(iΩ+γ)t ·A+ · W1 ,

me zgjidhjen

W1 = exp

[

− i

h

∫ t

0

f1(t′) · e(iΩ+γ)t′ dt′ · A+

]

. (2.3.6)

Me zevendesimin e (2.3.6) ne (2.3.5) dhe me transformime te ngjashme me rastin e (2.3.3)gjejme per W2 ekuacionin diferencial

ihd

dtW2 =

[

W−11 ·

(

f∗2 (t) · e−(iΩ+γ)tA

)

·W1

]

· W2 .

Pasi llogarisim W−11 · A ·W1 me metoda te zakonshme5, zgjidhim ekuacionin per W2 duke

bere nje zevendesim te trete W2 = W2 ·W3. Pas ketij zevendesimi te fundit dhe pas mani-pulimesh te ngjashme me me siper kemi perfundimisht

WS = W0 ·W1 ·W2 ·W3 , (2.3.7)

ku shprehjet per faktoret jane

W0 = exp [−(iΩ + γ)t ·A+A] ,

W1 = exp

[(

− i

h

∫ t

0

f1(t′) · e(iΩ+γ)t′ dt′

)

· A+

]

= exp[b1(t) ·A+

],

W2 = exp

− 1

h2 ·[∫ t

0

f∗2 (t′) · e−(iΩ+γ)t′ · F1(t

′) dt′]

= W2(t) ,

W3 = exp

[(

− i

h·∫ t

0

f∗2 (t′) · e−(iΩ+γ)t′ dt′

)

·A]

= exp [b3(t) ·A] ,

F1 = F1(t) =

∫ t

0

f1(t′) · e(iΩ+γ)t′ dt′ .

(2.3.8)

Gjetem keshtu formen e WS per cfaredo forme te funksioneve f1(t) dhe f2(t) qe percak-tojne termin detyrues.

2.3.1 Nje Forme Konkrete per Termin Detyrues

Dy funksionet e lartpermendura f1 dhe f2 do t’i zgjedhim konkretisht si me poshte

f1(t) = f10 · e−iωt , f2(t) = f20 · e−iωt .

5Shtojca A.


Madhesite f10, f20 dhe ω jane konstante reale. Dy konstantet f10 dhe f20 perbejne amplitudate dy funksioneve lekundese. Kurse konstantja ω perben frekuencen e oshilimit te seicilitfunksion. Kjo quhet Frekuenca e Termit Detyrues. Sikur amplitudat e dy funksioneve te ishinte njejta (dmth f10 = f20) atehere termi detyrues do ishte hermitian sepse

f∗1 (t) = f10 · e+iωt = f20 · e+iωt = f2(t) .

Ne rast te kundert (nqs f10 6= f20) termi detyrues nuk do ishte me i tille. Tani duhen bere llo-garite per formen konkrete te funksioneve kohore F1(t),W2(t), b1(t) dhe b3(t). Per kete duhetzevendesuar forma konkrete e f1(t) dhe e f2(t) ne (2.3.8). Mbasi integrojme dhe i gru-pojme faktoret se bashku marrim

F1(t) =f10

(ω −Ω)2 + γ2· [i(ω −Ω) + γ] ·

[

ei(ω−Ω)t+γt − 1]

,

dhe|W2|2 = exp [2 ·Re(V2)] ,

ku

V2(t) = − 1

h2 · f10f20[(ω −Ω)2 + γ2]

· [γ + i(ω −Ω)] ·

·[

t+

[ei(ω−Ω)t−γt − 1

]· [γ + i(ω −Ω)]

(ω −Ω)2 + γ2

]

,

Re(V2) = − 1

h2 · f10f20[(ω −Ω)2 + γ2]2

·γt[(ω −Ω)2 + γ2] + [γ2 − (ω −Ω)2]·

·[e−γt · cos (ω −Ω)t− 1] − 2γ · (ω −Ω) · e−γt · sin (ω −Ω)t

,

b1(t) =f10/h

(ω −Ω)2 + γ2·[

(ω −Ω) ·(eγt · cos (ω −Ω)t− 1

)

−γ · eγt · sin (ω −Ω)t]

+i ·[−γ ·

(eγt · cos (ω −Ω)t− 1

)− (ω −Ω) · eγt · sin (ω −Ω)t

],

b3(t) =f20

(ω −Ω)2 + γ2·[−(ω −Ω) ·

(e−γt · cos (ω −Ω)t − 1

)

−γ · e−γt · sin (ω −Ω)t]

+i ·[−(ω −Ω) · e−γt · sin (ω −Ω)t+ γ ·

(e−γt · cos (ω −Ω)t− 1

)].

Keto formula percaktojne plotesisht formen e operatorit te zhvillimit WS te perkufizuarne seksionin e mesiperm.

2.3.2 Veprimi i Operatorit WS mbi Boshllekun (Vakuumin)

Si rrjedhoje e veprimit te operatorit te zhvillimit marrim varesine kohore per ketet e oshi-latorit harmonik. Mbas kesaj mund te bejme zberthimin e kesaj gjendjeje te re ne bazene gjithe vektoreve vetjake te operatorit A+A. Me ne fund mund te llogarisim probabilite-tet e kalimeve ne cdo cast t si katrori i vleres absolute (modulit) te ketyre koeficienteve(qe jane ne pergjithesi madhesi komplekse).


Per te kryer sa u tha me siper, perdorim formulat (2.3.7) dhe (2.3.8) si edhe formulate meparshme mbi formen konkrete te termit detyrues. Dallojme dy raste. Se pari, rastin eveprimit teWS mbi boshllekun (vakuumin). Se dyti, rastin e nje gjendjeje tjeter te ndryshmenga boshlleku.

Nga barazimi (2.3.7) mbi formen si produkt te WS , zhvillimi ne kohe i vakuumit eshte

| 0(t) >= WS | 0 >= W0 ·W1 ·W2 ·W3| 0 > .

Kemi veprimin e njepasnjeshem te kater operatoreve W3, W2, W1 dhe W0 mbi ketetqe dalin nga veprimi i paraardhesit. W3 nuk prodhon asnje efekt sepse | 0 > perben nje ketvetjak te A me eigenvlere zero. Po ashtu W2 nuk ndikon sepse eshte nje c-numer (numerkonstant). Veprimi i W1 mbi gjendjen baze llogaritet duke zberthyer ne seri Taylor-i ndajA+ dhe duke shfrytezuar formulen per veprimin e operatorit te krijimit mbi vakuumin

(A+)n | 0 >=√n! · | n > .

Pastaj mbetet te shihet veprimi i W0 mbi ketet | n >. Kjo nuk eshte e veshtire me qene seato jane kete vetjake te A+A dhe me qene se W0 eshte funksion i tij. Pas gjithe ketyreqe thame kemi

WS | 0 >=∞∑

n=0

bn1√n!

· e−(iΩ+γ)t·n · | n > .

Po te rikujtojme relacionin e normalizimit6, probabiliteti i kalimit nga gjendja fillestare | 0 >ne gjendjen perfundimtare | n > del

P0,n = | < n |WS | 0 > |2 = |W2(t)|2 ·(|b1|2)n

n!· exp [−2γn · t] . (2.3.9)

Ne kete pike do te ndajme tre raste limite te kesaj formule.

2.3.2.1 Zhvillimi i Boshllekut per Kohe te Medha Le te studiojme si ndryshon for-mula (2.3.9) pas kohesh mjaft te medha, pra do gjejme limitet per t→ ∞. Sipas formulesper b1(t) katrori i modulit te b1 eshte

|b1|2 =(f10/h)

2

(ω −Ω)2 + γ2·[(

eγt cos (ω −Ω)t− 1)2

+(eγt sin (ω −Ω)t

)2]

.

Tani nxjerrim ne dukje faktorin e perbashket eγt. Shihet qe madhesia 1/eγt eshte gjithmone epaperfillshme per t→ ∞, qofte per ω = Ω, qofte per ω 6= Ω. Perdorim formulen e njohursin2(x) + cos2(x) = 1 dhe atehere

|b1|2 −→t→∞

(f10/h)2 · e2γt

(ω −Ω)2 + γ2.

Nga limiti i formules per formen e V2(t) del qe

Re(V2) −→t→∞

− f10 · f20[(ω −Ω)2 + γ2]

· γt ,

6Formula e (orto)normalizimit per ketet vetjake te oshilatorit harmonik te lire eshte < i | j >= δi,j sepseata formojne nje baze te ortonormuar vektoresh.


dmth

|W2|2 −→t→∞

exp

[ −2 · f10f20(ω − Ω)2 + γ2

· γt]

.

Zevendesojme gjitha keto ne (2.3.9). Gjejme ne kete menyre limitin ne kohe te medha te pro-babiliteteve te ngacmimit nga gjendja baze

P inf0,n −→

t→∞

1

n!· (f10/h)

2n

[(ω −Ω)2 + γ2]n · exp

[ −2 · f10f20(ω −Ω)2 + γ2

· γt]

. (2.3.10)

Duke veshtruar kete formule mund te pohojme sa me poshte

1. Kur mungojne operatoret e krijimit ne termin detyrues probabilitetet gjithnje zhdukenne kohe f10 = 0 ⇒ P inf

0,n = 0.

2. Ne mungese te operatoreve te zhdukjes probabilitetet gjithmone stabilizohen ne nje vlere kons-tante, f20 = 0 ⇒ P inf=konst.

0,n .

3. Kur te dy operatoret kane te njejten shenje cdo probabilitet shkon ne zero perkohe mjaft te gjate f10 · f20 > 0 ⇒ P inf

0,n = 0.

4. Per koeficiente me shenja te kunderta gjithcka divergjonf10 · f20 < 0 ⇒ P inf

0,n = ∞.

Ne rastin f20 = 0 kemi ne menyre eksplicite

P inf0,n =

1

n!·(

(f10/h)2

(ω −Ω)2 + γ2

)n

. (2.3.11)

Sic shihet, ne kete rast termi detyrues nuk permban operatore zhdukjeje. Disa nga vecantesite eketij stabilizimi te probabilitetit tregohen ne figuren 2.3 ne faqen 15. Ne figure paraqiten trekolona me numer kuantik qe rritet nga e majta ne te djathte. Frekuenca ω e termit detyruesrritet ne drejtimin nga lart per poshte. Rritja e diferences se ω me frekuencen vetjake Ωshkakton zvogelimin e vlerave te probabilitetit. P inf

0,n stabilizohet ne vlera me te medha perω afer vleres se Ω. Probabiliteti i gjendjes baze mbetet perhere konstant (ne cdo kohe t),kurse probabiliteti i nje gjendjeje me n 6= 0 se pari oshilon me kohen dhe me tej fiksohetne vleren P inf

0,n.Ne figuren 2.4 ne faqen 16 trajtohet rasti kur termi detyrues eshte konstant (frekuenca

e tij eshte 0). Ne rreshtin e pare tregohet gjendja baze, e cila”nuk e ndjen“ nje term

te tille. Ndersa ne rreshtin e dyte pasqyrohet gjendja me n = 1. Ketu dallohet qarte se siprobabilitetet fillimisht lekunden pastaj

”qetesohen“ ne vlera fikse.

Ne (2.3.11) kemi shperndarje te Poisson-it ne formen xn

n! ku x = (f10/h)2

(ω−Ω)2+γ2 . Karakte-

ristike e kesaj shperndarjeje eshte fakti qe ajo nuk eshte e normuar. Ne fakt∑∞

n=0xn

n! = ex.Madhesia e anasjellte e−x do ishte faktori normues per probabilitetet e mesiperme. Sic ekemi pohuar edhe me pare, jonormimi vjen nga qenia e Hamiltonianit johermitian.

2.3.2.2 Zhvillimi i Boshllekut ne Rezonance Qe te studiojme rastin e rezonances apli-kojme kushtin ω = Ω tek formulat e perdorura per limitet ne seksionin e meparshem. Mekete rruge gjejme


|b1|2(ω = Ω) =f210

h2γ2·[eγt − 1

]2

Re(V2)(ω = Ω) = −f10f20γ2

·[e−γt + γt− 1

]

|W2|2(ω = Ω) = exp

[

−2 · f10f20γ2

·(e−γt + γt− 1

)]

.

(2.3.12)

Probabilitetet e kalimit ne rastin e rezonances jane atehere

P res0,n =

1

n!· f2n

10

(hγ)2n·[1 − e−γt

]2n · exp

[

−2 · f10f20γ2

·(e−γt + γt− 1

)]

;

per kohe te vogla ky probabilitet eshte

P res0,n(t → 0) =

1

n!·(f10h

)2n

· t2n .

Per kohe te vogla kemi nje shperndarje probabilitetesh si xn

n! . Parametri i shperndarjes xeshte perpjestimor me kohen.

2.3.2.3 Rezonanca ne Kohe te Medha Ky rast del nga formulat e rastit te kohevete medha duke marre ω = Ω ose nga formulat e rastit te rezonances duke marre t→ ∞. Meseicilen menyre kemi

P res,inf0,n =

1

n!·(f10hγ

)2n

· exp

[

−2 · f10f20γ

· t]

. (2.3.13)

Nga kjo formule dhe nga (2.3.10) shihet qe ne rastin f20 = 0 probabilitetet limite ne kohe jane

P inf0,n =

1

n!· (f10/h)

2n

[(ω −Ω)2 + γ2]n , P res,inf

0,n =1

n!·(f10/h

γ

)2n

.

Pra eshte i vertete mosbarazimiP inf

0,n ≤ P res,inf0,n . (2.3.14)

Matematikisht kjo vjen ngaqe (ω −Ω)2 eshte madhesi pozitive (me sakte jonega-

tive) ne cdo rast (zero kemi vetem ne rezonance). Te dy probabilitetet P res,inf0,n dhe P inf

0,n

kane shperndarje Poisson-i te panormuar ndermjet gjendjeve | n >. Fizikisht shpjegimii kesaj karakteristike eshte si me poshte. Kur Ω = ω jemi ne piken e rezonances dhene kete pike termi i jashtem fut me teper probabilitet ne sistem ne krahasim me rastete tjera.

Mjaft qarte shihet kjo vecori ne figuren 2.5 ne faqen 17. Aty tregohet probabiliteti ingacmimit ne rezonance dhe ne Ω − ω = 1. Ne te dy rastet kemi stabilizim probabiliteti porne te parin vlerat e stabilizuara jane shume me te medha sesa ne te dytin. Kjo eshte pikerishtajo qe presim te ndodhe sepse dihet qe ne rezonance termi detyrues ndikon me fort mbi sis-temin duke i dhene atij me shume energji pra edhe probabilitet. Ne figuren 2.6 jepen grafikete P inf

0,n dhe P res,inf0,n per vlera te ndryshme te n. Kjo figure eshte nje prove e vertetesise se mos-

barazimit (2.3.14). Barazim kemi vetem ne rastin n = 0, ku te dyja madhesite jane njesi,dhe per numra kuantike te medhenj, ku te dyja jane praktikisht zero.


Fig. 2.3. Zhvillimi i vakuumit ne rastin pa operatore zhdukjeje ne termin detyrues.Gjithmone ka stabilizim. Numri kuantik n rritet nga majtas-djathtas, kurse diferenca ω −Ω

nga lart-poshte. Grafiket nuk jane shume te sakte ne zonen e koheve te vogla. Kjo vjensepse ne interesohemi kryesisht ne ate cfare ndodh per kohe te medha.


Fig.2.4. Plotet eprobabiliteteve pergjendje fillestarebaze. Termi dety-rues eshte konstant(ω = 0) dhe nuk perm-ban operatore zhduk-jeje. Ne grafikun lartverejme qe gjendjabaze eshte eqendrueshme, dote thote qe per| 0 > probabiliteti mbe-tet i pandryshueshem.Kurse ne gjendjenme n = 1 probabilitetifillon nga 0, oshi-lon dhe stabilizohetne nje vlere jozero perkohe te medha.


Fig.2.5. Krahasimi irezonances dhe jorezo-nances per kohe te me-dha duke u nisurnga nje gjendje baze.Ne pjesen e sipermepasqyrohet pika e rezo-nances (ω = 1 = Ω) pernumer kuantik n = 1.Ndersa poshte trajto-het rasti ω = 2 (perseriper n = 1). Ne rezo-nance termi detyruesfut me shume proba-bilitet ne sistem sene rastin e frekuencavete tjera. Sidoqofte,ne asnje rast probabi-litetet nuk shuhen porstabilizohen ne vlerakonstante jozero.


0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10 12 14n

Fig. 2.6. Shperndarja e Poisson-it per P inf0,n dhe P inf,res

0,n . Te dyja shperndarjet kane formen xn

n!

me parametra perkates xinf = 1.1 dhe xinf,res = 2. Vlerat e P inf,res0,n

jane gjithmone me te medha(jo me te vogla) sesa ato te P inf

0,n. Dy madhesite jane te barabarta vetem ne gjendjen | 0 >

(P inf,res0,0

= P inf0,0 = 1) dhe per numra kuantike te medhenj (P inf,res

0,∞= P inf

0,∞ = 0).

2.3.3 Veprimi mbi nje Gjendje Jobaze

Na duhet te gjejme paraqitjen eksplicite te evolucionit kohor te nje gjendjeje stacionare menumer kuantik k te ndryshem nga zero

WS | k >= W0 ·W1 ·W2 ·W3 | k > .

Me veprime algjebrike te aferta me ato me lart perfundimi del

< n |WS | k >= W2(t) ·√k! · n! · e−(iΩ+γ)nt · T2(k, n, t) (2.3.15)

dhe

Pk,n = | < n |WS | k > |2

= |W2(t)|2 · exp [−2γn · t] · k! · n! · |T2(n, k, t)|2 , (2.3.16)

ku

T2 =

k∑

l=0

bn−k+l1 · bl3

(n− k + l)! · l! · (k − l)!per: n ≥ k

n∑

m=0

bm1 · bk−n+m3

m! · (k − n+m)! · (n−m)!per: n < k .

(2.3.17)


Rikujtojme se b1 dhe b3 jane funksione te kohes. Formula (2.3.16) eshte formula e perg-jithshme per probabilitetin e kalimit nga nje gjendje fillestare | k > ne gjendjen perfundim-tare | n >. Po te vendosim k = 0 ne (2.3.17) atehere T2 = bn1/n!. Nga zevendesimi ne (2.3.16)rigjejme (2.3.9) per probabilitetin e ngacmimit nga gjendja baze.

2.3.3.1 Gjendja Stacionare per Kohe te Medha Duhet studiuar (2.3.16) per t te medha.Dime se si sillet |W2|2 per t→ ∞, keshtu qe duhet gjetur sjellja e |T2(k, n, t)| ne kete limit.Per kete fillimisht shkruajme

b1 −→t→∞

(f10/h) · eγt

(ω −Ω)2 + γ2· (ω −Ω) · cos (ω −Ω)t− γ · sin (ω −Ω)t

−i · [γ · cos (ω −Ω)t+ (ω −Ω) · sin (ω −Ω)t]

|b1|2 −→t→∞

(f10/h)2 · e2γt

(ω −Ω)2 + γ2→ ∞

b3 −→t→∞

f20(ω −Ω)2 + γ2

· [(ω −Ω) − i · γ] = konstante

|b3|2 −→t→∞

(f20)2

(ω −Ω)2 + γ2= konstante .

Me e pershtatshme eshte ndarja ne dy raste. I pari eshte n ≥ k. Ne kete rast

|T2| =

∣∣∣∣∣

k∑

l=0

bn−k+l1 · bl3

(n− k + l)! · l! · (k − l)!

∣∣∣∣∣≤ |b1|n ·

k∑

l=0

|b1|l−k · |b3|l(n− k + l)! · l! · (k − l)!

Me siper u shfrytezuan vetite e vleres absolute. Dime qe per t→ ∞ b1 ≫ 1. Por l − k < 0.Atehere

|T2(k, n, t)| ≤ |b1|n ·k∑

l=0

|b3|l(n− k + l)! · l! · (k − l)!

.

Verejme qe shuma ne krahun e djathte te barazimit eshte konstante ne kohe. Ne menyre te ng-jashme per rastin n < k shkruajme

|T2(n, k, t)| ≤ |b1|n ·n∑

m=0

|b3|k−n+m

m! · (k − n+m)! · (n−m)!.

Edhe shuma ne anen e djathte te ketij barazimi eshte po ashtu konstante. Ne pergjithesi,per probabilitetin ne limitin e koheve te medha ka vend mosbarazimi

P infk,n ≤ P inf

k,0 × konst. .

Konstantja varet nga fakti nese gjendja perfundimtare eshte me e larte apo me e ulet sesaajo fillestare. Praktikisht konstantja varet nga k dhe n.


2.3.3.2 Dy Raste Speciale Ne kete nenseksion do studiojme dy raste te vecanta. Ne rradhe te pare shqyr-tojme se c’ndodh kur f10 = 0. Nga formulat mbi formen konkrete te termit detyrues kemi

|W2|2 = 1

b1(t) = 0 ,

nga ku T2 del

T2(n, k, t) =

0 per: n ≥ k

bk−n3

(k − n)! · (n)!per: n < k .

Per kohet te medha b3 nuk varet me nga koha. Prandaj probabiliteti i ngacmimit per ketokohe eshte

P infk,n(f10 = 0) =

0 per: n ≥ k

konstante(n, k)× e−2γnt per: n < k .

Sic shihet ne rastin kur f10 = 0 nuk ka kalime (per asnje kohe t) ne gjendje me te larta sesaajo fillestare | k >. Te vetmet gjendje qe eksitohen jane ato me numra kuantike n < k. Ngaana tjeter edhe keto eksitime zhduken per kohe mjaft te medha. Te vetmet kalime qe mbetenjane ata drejt gjendjes | n = 0 >. Dmth pas njefare kohe sistemi do rikthehet ne gjendjenbaze.

P infk,n(f20 = 0) =

konstante(n, k)× e−2γkt per: n ≥ k

0 per: n < k .

Ne rastin tjeter (f20 = 0) nuk ka kalime ne gjendje me te uleta se ajo fillestare, dmthekzistojne vetem kalimet me n ≥ k. Probabiliteti i ketyre kalimeve oshilon me kohen dhepastaj shuhet. I vetmi rast kur kalimet nuk shuhen eshte ai i kalimeve nga gjendja | k = 0 >.Kete rast e kemi studiuar me siper.

Grafiket per keto dy raste speciale jepen ne figurat 2.7 e 2.8 perkatesisht ne faqet 22 e23. Ne figuren 2.7 konsiderohet rasti f10 = 0. Madhesia P2,n eshte plotuar ndaj kohes per ωdhe n te ndryshme. Frekuenca ω rritet nga djathtas-majtas, kurse numri n nga lart-poshte.Ne rreshtin e fundit ku n = 3 > k = 2 probabiliteti eshte perhere zero pra nuk ka aspakkalime ne keto gjendje. Ne rreshtin ku n = 2 = k ka kalime, por ato nuk stabilizohen dot.Te vetmet stabilizime ndodhin ne rradhen e pare, qe perfaqeson gjendjen baze. Probabilitetete stabilizuara me te medha kemi per ω afer frekuences vetjake Ω.

Ndersa ne figuren 2.8 paraqitet grafiku i Pk,n me gjendje finale fikse n = 2 dhe pergjendje fillestare k dhe frekuenca te termit detyrues te ndryshme. Ne asnjerin nga rastet nukeshte perfshire pika e rezonances. Ne kete pike karakteristikat e grafikut jane te ngjashmepor vlerat e probabilitetit shume te medha. Sikur te plotonim edhe rezonancen diferencatme rastet e tjera do ishin te medha. Per kete shkak nuk e kemi paraqitur rezonancen ne ketografike.


2.3.3.3 Studimi i Rezonances Ne piken e rezonances mund te shkruhet

bres1 =−if10/h

γ·(eγt − 1

)

bres3 =if20γ

·(e−γt − 1

)

bres1 · bres3 =f10f20hγ2

·(eγt − 1

)·(e−γt − 1

)=f10f20hγ2

· (2 − 2 cosh(γt)) .

Nga keto barazime shihet qe bres1 · bres3 ka vlera reale. Le te shfrytezojme edhe |W2|2 nga(2.3.12). Per n ≥ k formula e T2 del

T res2 = in−k ·

k∑

l=0

[

− f10

hγ · (eγt − 1)]n−k+l

·[

f20

γ · (e−γt − 1)]l

(n− k + l)! · l! · (k − l)!.

Ne menyre analoge per n > k

T res2 = ik−n ·

n∑

m=0

[

− f10

hγ · (eγt − 1)]m

·[

f20

γ · (e−γt − 1)]k−n+m

m! · (k − n+m)! · (n−m)!.

Formula per vete probabilitetin eshte atehere

P resk,n = k! · n! · exp

[

−2 · f10f20hγ2

·(e−γt + γt− 1

)]

· e−2nγt · |T res2 |2 ,

ku T res2 merret nga formulat me siper ne perputhje me faktin nese n ≥ k apo n < k. Ne rastin

e vecante te koheve te vogla (t→ 0) madhesia T2 eshte (afersisht) nje polinom i fuqise n+ ki variablit γt (ka nganjehere edhe faktorin shumezues i por kjo nuk lot asnje rol sepse neinteresohemi me teper per modulin sesa per vleren komplekse). Kurse per kohe te medha T2

eshte polinom i shkalles n i variablit eγt.

2.3.4 Veprimi i WS mbi nje Gjendje Kuazi-Klasike

Qe te gjejme veprimin e operatorit te zhvillimit kohor WS mbi nje gjendje koherente kuazi-klasike perdorim zberthimin e kesaj gjendjeje ne bazen qe formohet nga gjendjet stacionarete oshilatorit harmonik

| α >= e−|α|2

2

∞∑

k=0

αk

√k!| k > .

Si pasoje koeficienti i kalimit nga kjo gjendje koherente ne nje gjendje stacionare | n > eshte

< n |WS | α >= e−|α|2

2

∞∑

k=0

αk

√k!< n |WS | k > .

Po te marrim < n |WS | k > nga (2.3.15) atehere kemi


Fig. 2.7. Grafiket per term detyrues pa operatore te krijimit te bozoneve. Rasti igjendjes fillestare me numer kuantik k = 2. Vetem kalimet nga n ne 0 kane probabiliteteqe stabilizohen. Kurse te tjerat shkojne te gjitha drejt zeros. Nuk ka kalime ne gjendjeme te larta sesa ajo fillestare.


Fig. 2.8. Grafike per term detyrues pa operatore zhdukjeje. Gjendje finale e fiksuar n = 2.Mungojne kalimet ne gjendje me numer fillestar k me te madh se ai perfundimtar n (plotetne dy rreshtat e fundit). Kalimet qe stabilizohen jane vetem ato nga gjendja baze. Te gjithangacmimet e tjera bien ne zero.


< n |WS | α >= e−|α|2

2 ·√n! · e−(iΩ+γ)nt

∞∑

k=0

αk · T2(k, n, t) , (2.3.18)

dhe probabilitetin e kalimit

Pα,n(t) = n! · e−|α|2 · e−2nγt ·∣∣∣∣∣

∞∑

k=0

αk · T2(k, n, t)

∣∣∣∣∣

2

.

Kjo eshte formula me e pergjithshme per probabilitetin e kalimit nga nje gjendje fillestarekuazi-koherente me parameter α ne gjendjen stacionare me numer kuantik n.

2.3.4.1 Rasti pa Operatore te Zhdukjes te Bozoneve Ne kete rast special b3 ≡ 0.Rrjedhimisht, prej (2.3.17) gjejme

T2(n, k, t) =

bn−k1

(n− k)! · k! par : n ≥ k

0 par : n < k .

Nga (2.3.18) kemi

< n |WS | α > = e−|α|2

2 ·√n! · e−(iΩ+γ)nt

n∑

k=0

αk

k!· bn−k

1

(n− k)!

=e−

|α|2

2

√n!

· e−(iΩ+γ)nt ·n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!· αk · bn−k

1

=e−

|α|2

2

√n!

· e−(iΩ+γ)nt · (α+ b1)n

.

Me ne fund formula e Pα,n ne kete rast eshte

Pα,n(f20 = 0) =e−|α|2

n!· e−2γnt · |α+ b1|2n

Ne limitin t→ ∞ formula merr formen

P infα,n(f20 = 0) =

e−|α|2

n!·[

(f10/h)2

(ω −Ω)2 + γ2

]n

.

Per gjendjen fillestare kuazi-klasike verejme menjehere qe asnjeri prej probabiliteteve nukeshte identikisht zero. Te gjitha probabilitetet stabilizohen.

2.3.4.2 Vlerat Mesatare te Koordinates, Impulsit dhe Energjise Ne kete seksiondo te supozojme gjithmone se f20 = 0. Me kete kusht kemi gjetur qe koeficienti qe shumezon| n > ne zberthimin e zhvillimit kohor te | α > ne kohen t eshte


Fig. 2.9. Procesi istabilizimit perfrekuenca dhegjendje perfundim-tare te ndryshmene rastin e nje gjend-jeje fillestare kohe-rente | α > perf20 = 0. Ka stabili-zim ne cdo numerkuantik perfundim-tar n. Per diferencarritese te frekuencaveme frekuencen vet-jake Ω dhe per numrakuantike qe rritenprobabilitetet e sta-bilizuara kane vlerame te medha.


< n |WS | α >=e−|α2|/2

√n!

· e−(iΩ+γ)nt · [α+ b1(t)]n . (2.3.19)

Dmth, me perafersine e nje faktori normues, zhvillimi kohor i nje gjendjeje koherenteeshte perseri nje gjendje koherente por me parametrin e ri exp [−(iΩ + γ)t] · [α+ b1(t)].Per kohe te medha ky parameter eshte

α′inf =

f10h

· [(ω −Ω) − iγ]

(ω −Ω)2 + γ2· e−iωt (2.3.20)

Nga ana tjeter vlerat mesatare te operatorit te koordinates dhe impulsit ne nje gjendjekoherente jane proporcionale perkatesisht me pjesen reale dhe ate imagjinare te parametritte kesaj gjendjeje koherente. Pra ka gjithashtu nje oshilim te vlerave mesatare te koordinatesdhe impulsit.

Kurse vlera mesatare e energjise ne nje gjendje koherente | β > jepet

< E >β= hΩ

[

|β|2 +1

2

]

.

Per kohe te medha katrori i modulit i parametrit te zhvillimit kohor te gjendjes koherenteeshte proporcional me |b1 · exp (γt)|2. Me llogaritje direkte mund te tregohet qe kjo madhesieshte konstante ne limitin e koheve te medha. Per kohe te medha, kemi ruajtje te vleravemesatare te energjise. Me fjale te tjera, ka shkembim energjie me rezervuarin rrethues, porenergjia totale e humbur ne nje periode eshte numerikisht e barabarte me energjine qe termidetyrues i jep sistemit gjate periodes. Per kohe te vogla kjo nuk eshte e vertete. Per ketokohe nuk ka akoma lekundje te stabilizuara. Sapo energjia te balancohet ne menyren epershkruar me siper, kemi lekundje te detyruara, te stabilizuara pikerisht si ne rastin klasik.

2.3.4.3 Funksioni Valor ne Paraqitjen Koordinative Funksioni valor Ψα(x, t) i gjend-jes koherente | α > ne paraqitjen koordinative (ose x-paraqitjen) gjendet me rrugen emeposhtme. Fillimisht shkruajme

Ψα(x, t) =< x |WS | α >=

∞∑

n=0

< x | n >< n |WS | α > .

Koeficientet < n |WS | α > mund t’i marrim nga (2.3.19). Kurse funksionet valore per gjend-jet stacionare te oshilatorit harmonik jepen nga barazimi7

< x | n >=1√

2n · n!·(µΩ

hπ

)1/4

· exp

[

−µΩ2h

x2

]

·Hn

(√

µΩ

hx

)

,

ku Hn(x) jane polinomet e Hermite-it. Duke shfrytezuar formulen mbi funksionin gjenerueste polinomeve te Hermite-it8 gjejme qe funksioni valor i gjendjes koherente ne momentin tne x-paraqitjen eshte

7Eugen Merzbacher,Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, N.Y. 1970.

8

∞∑

n=0

zn

n!·Hn(x) = e2xz−z2

Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, N.Y. 1972.

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Pare 27

Ψα(x, t) = exp

[

−µΩ2h

x2

]

·(µΩ

πh

) 14

· e−|α2|/2 · exp

[

2

√

µΩ

hxz − z2

]

, (2.3.21)

ku

z = z(t) =1√2· exp [−(iΩ + γ)t] · [α+ b1(t)] .

Katrori i modulit te funksionit valor te dhene ne (2.3.21) jep probabilitetin e shperndarjessi funksion te koordinates x dhe te kohes t.

Grafiket e ketij probabiliteti jepen ne figuren 2.10 ne faqen 28. Ne grafikun e sipermparaqitet gjendja koherente me α = 0. Praktikisht siper kemi rastin e nje gjendje fillestarebaze. Kurse ne grafikun e poshtem gjejme nje gjendje fillestare koherente me parameterα = 0.5 + i · 0.8. Ne te dy rastet ka nje interval kohe ku mungon stabilizimi i lekundjeve. Kyka te beje me diskutimin qe beme mbi balancimin e energjise. Konkretisht, per kohe te vo-gla nuk ka ekuiliber mes energjise se humbur dhe asaj qe merret nga termi detyrues. Mekalimin e kohes lekundjet stabilizohen ne seicilin nga grafiket. Dmth tani vlera mesatare eenergjise ne nje periode ruhet. Kjo dukuri eshte krejt e ngjashme me rastin klasik. Edhene rastin klasik ka nje faze fillestare kalimtare dhe pastaj lekundjet stabilizohen

Ky proces ka edhe nje tjeter vecori interesante. Pjesa e parametrit te gjendjes koherentene kohen t qe permban parametrin e gjendjes fillestare α zhduket sepse shumezohet ngafaktori e−γt. Lekundjet nuk ruajne informacion nga gjendja koherente fillestare. Forma etyre varet vetem nga forma e termit detyrues dhe karakteristikat e oshilatorit.

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Pare

Pjesa e pare e ketij kapitulli kishte te bente me oshilatorin harmonik me shuarje me fre-kuence komplekse (Ω − iγ). Sic e pame nga formulat si edhe nga grafiket e ndryshem, modeliishte i suksesshem ne shpjegimin e mjaft vetive me rendesi te oshilatorit harmonik klasikme ferkim.

• Cfaredo qofte konfigurimi fillestar i sistemit, ai gjithmone reduktohet ne gjendjen baze.Aty vlerat e koordinates, impulsit dhe energjise jane zero.

Ne rastin klasik te nje penduli qe lekundet dhe ka ferkim pozicioni perfundimtareshte gjithnje ai me i ulet. Ne kete pozicion vlera e impulsit (shpejtesise) eshte zero.Edhe vlerat e koordinates dhe energjise jane zero me afersine e nje termi konstant.

Si ne rastin klasik edhe ne rastin e modelit tone, per cfaredo kushtesh fillestare sistemirikthehet ne pozicionin (gjendjen) baze.

• Ekuacioni i levizjes i nje oshilatori klasik me shuarje eshte

x+ 2γ1x+Ω21x = 0 . (2.4.1)

Masa e reduktuar e sistemit eshte supozuar 1 (por kjo eshte thjesht ceshtje njesish). Ωeshte frekuenca vetjake e oshilatorit dhe 2γ1 koeficienti i proporcionalitetit mes forcesse ferkimit dhe shpejtesise. Ne rastin e lekundjeve pa shuarje te forta (Ω > γ1)

x(t) = exp (−γ1t) · [c1 exp (+iΩ2t) + c2 exp (−iΩ2t)] ,


Fig. 2.10. Evolimi ne kohe i gjendjes koherente | α > ne x-paraqitjen per term detyruespa oshilatore anihilimi. Ne grafikun e siperm parametri i gjendjes koherente fillestareeshte α = 0, dmth nisemi nga gjendja baze. Ne te dy rastet ka nje faze kalimtare dhe pastajlekundjet stabilizohen.


Fig. 2.11. Rasti i veprimit te nje termi detyrues konstant (ω = 0) mbi gjendjen fillestarebaze (parametri i gjendjes koherente eshte α = 0). Ne dy grafiket termi detyrues ka shenjate kunderta. Si rezultat, gjendja perfundimtare eshte ne esence e njejta por zhvendosjandaj pikes x = 0 ndodh ne ane te kunderta. Kjo ka mjaft ngjashmeri me ate qe ndodhne rastin klasik.


Fig. 2.12. Reduktimi i nje gjendjeje fillestare koherente | α > ne gjendjen baze si rezultat ishuarjes. Termi detyrues mungon krejt (f10 = 0). Kjo i pergjigjet rastit klasik te shuarjevete dobeta per nje oshilator linear harmonik me shuarje.

ku Ω22 = Ω2

1 − (γ1)2. Ne esence sistemi lekundet me frekuence Ω2 por amplituda e

lekundjeve bie eksponencialisht drejt zeros. Vlerat e energjise se plote ndryshojne sikatrori i amplitudes. Dmth E = E0·exp (−2γ1t). Kjo formule eshte e njejte me formulen(2.2.7) ne faqen 7 per vlerat mesatare te energjise ne nje gjendje koherente. Koeficientii shuarjes qe kemi zgjedhur ne modelin tone kryen te njejtin funksion si koeficienti ishuarjes klasik. Nga formula (2.2.6) ne faqen 7 shihet qe parametri i gjendjes kohe-rente lekundet me frekuence Ω. Kjo ndodh edhe ne rastin klasik me shuarje te dobet.Ne kete rast gjithashtu lekundjet e oshilatorit klasik me shuarje kane (afersisht) fre-kuencen Ω1 (Ω1 ≫ γ1).

Ne pjesen e dyte te kapitullit i shtuam Hamiltonianit nje term detyrues linear ne ope-ratoret e krijimit dhe zhdukjes se bozoneve. Me sa arritem te zbulojme gjate studimit tone,rasti me interesant eshte ai kur termi detyrues nuk permban operatore te zhdukjes se bo-zoneve por vetem operatore te krijimit te tyre. Vetem ne kete rast ne arritem te shohimkarakteristika mjaft te ngjashme me oshilatorin klasik te detyruar dhe me ferkim.

Me lart diskutuam rastin e nje sistemi me friksion qe pershkruhet nga Hamiltonianinje oshilatori harmonik me frekuence komplekse. Ky tip Hamiltoniani eshte i tille qe energjiae sistemit peson shuarje. Prandaj na duhet nje

”force“ e jashtme qe t’i jape sistemit energji

(dhe njekohesisht probabilitet). Kete ben pikerisht termi jone detyrues. Ai krijon”pjeseza“


(bozone) energjie dhe kompenson humbjet e energjise dhe probabilitetit qe shkaktohen ngashuarja.

Per termin detyrues te diskutuar me lart ne zbuluam karakteristikat kryesore te meposhtme.

• Nqs nisemi nga nje gjendje koherente kuazi-klasike, atehere ka gjithmone stabilizimte vlerave te probabilitetit.

• Per kohe te medha rigjejme nje gjendje koherente.

• Parametri i gjendjes se re koherente lekundet ne kohe me frekuence te njejte meate te termit detyrues dhe ka nje diference faze me lekundjet e termit detyrues.Te gjitha keto mund te nxirren nga ekuacioni (2.3.20). Ne ate ekuacion e−iωt kanje faktor shumezues qe eshte nje madhesi komplekse e pavarur nga koha.

• Edhe vlerat mesatare te energjise, impulsit dhe koordinates lekunden ne kohe.

Nga keto karakteristika dhe nga gjithe grafiket e perdorur ne kete kapitull arrijme ne kon-kluzionin se ky model jep nje shpjegim te mire te Oshilatorit Harmonik te Detyruar me Shuarje.

3. Oshilatori Harmonik i Detyruar

3.1 Oshilatori Harmonik i Detyruar ne Paraqitjen e Heisenberg-ut

Ky kapitull mbeshtetet kryesisht ne studimin e oshilatorit harmonik te detyruar ne [8].Oshilatori harmonik njedimensional ka nje Hamiltonian te formes

H =p2

2µ+

1

2µΩ2 · x2 ,

ku p dhe x jane operatoret e impulsit dhe te koordinates. Keta operatore kenaqin relacionine komutimit [x, p] = ih dhe kane spektra te vazhduar ne gjithe intervalin (−∞ , ∞). Me µeshte shenuar masa e reduktuar e sistemit. I shkruar me anen e operatoreve te zhdukjes(anihilimit) dhe krijimit, Hamiltoniani merr formen e njohur H = hΩ(a+a+ 1

2 ). Ekuacionii levizjes per operatorin a shkruhet

ih · da(t)

dt= [a(t), H ] = hΩ ·

[a(t)a+(t)a(t) − a+(t)a(t)a(t)

].

Duke perdorur relacionin e komutimit [a, a+] = 1, marrim

da(t)

dt= −iΩ · a(t) . (3.1.1)

Ekuacionet e levizjes per operatoret jane zakonisht te veshtira per t’u zgjidhur ne menyre te drejtperdrejte.Kjo vjen sepse shpesh operatoret nuk komutojne dhe ekuacionet nuk integrohen dot. Pran-daj kerkohet nje paraqitje ku keto ekuacione per operatoret kthehen ne sisteme te za-konshme ekuacionesh lineare diferenciale dhe integrale. Sidoqofte, ne rastin konkret, ne anene majte te ekuacionit figuron vetem nje operator (qe komuton me vetvehten) dhe mund te sh-kruajme menjehere

a(t) = a(0) · e−iΩt . (3.1.2)

Ne menyre te ngjashmea+(t) = a+(0) · eiΩt . (3.1.3)

Vlerat fillestare, a(0) dhe a+(0), jane cdo dy operatore qe jane te konjuguar komplekse te njeritjetrit dhe qe i binden (3.1.1). Ne shume zbatime eshte e deshirueshme te shqyrtohen efek-tet dinamike qe rezultojne nga shtimi i nje force te jashtme qe varet nga koha. Prandaj posupozojme nje Hamiltonian te formes

H =p2

2µ+

1

2µΩ2 · x2 − x · F (t) , (3.1.4)

32

3.1 Oshilatori Harmonik i Detyruar ne Paraqitjen e Heisenberg-ut 33

ku F (t) eshte nje funksion real (dmth me vlera nga bashkesia e numrave reale) i kohes. Kjoforme e Hamiltonianit mund te pergjithesohet pa

”shpenzime“ te tjera duke shtuar nje term

qe varet nga shpejtesia

H =p2

2µ+

1

2µΩ2 · x2 − x · F (t) − p ·G(t) , (3.1.5)

ku G(t) eshte po ashtu nje funksion kohor real. Duke zevendesuar perseri x dhe p ne funksionte a dhe a+, Hamiltoniani mund te sillet ne formen

H = hΩ ·(

a+a+1

2

)

+ f(t) · a+ f∗(t) · a+ ,

ku kemi perkufizuar

f(t) = −√

h

2µΩ· F (t) + i ·

√

hµΩ

2·G(t) . (3.1.6)

Sic shihet, f(t) eshte, ne pergjithesi, nje funksion kohor me vlera komplekse. Le te supo-zojme se para kohes t1 kemi nje oshilator harmonik te paperturbuar dhe se ne kete momentsistemi perturbohet nga nje ngacmim qe zgjat deri ne momentin t2. Pastaj kemi perserinje oshilator harmonik te lire. Dmth kemi nje ngacmim qe zgjat vetem gjate intervalit(t1, t2).

Ne do ta studiojme sistemin ne paraqitjen e Heisenberg-ut1, ne te cilen operatoret inenshtrohen transformimesh unitare kur kalojme nga gjendja e lekundjeve te lira para t1ne ate pas t2. Duke marre parasysh (3.1.2) dhe (3.1.3), relacioni i komutimit mes a dhe a+

ne cdo cast t eshte

[a(t), a+(t)

]= 1 ,

kurse ekuacioni diferencial i levizjes per a(t) shkruhet

ih · da(t)

dt= [a(t), H(t)] = hΩ · a(t) + f∗(t)

ose, ne nje forme ekuivalente,

da(t)

dt+ iΩ · a(t) = − i

h· f∗(t) . (3.1.7)

1Ne pjese te tjera kemi perdorur kryesisht paraqitjen e Schrodinger-it, ku operatoret merren si te fiksuarne kohe (pervec rastit kur ata varen ne menyre eksplicite nga koha) kurse vektoret e gjendjes ndryshojne,duke iu bindur ekuacionit te Schrodinger-it

ihd

dt| ψ(t) >= H(t) · | ψ(t) > .

Kurse ne paraqitjen e Heisenberg-ut vektoret e gjendjes mbahen te fiksuar dhe observablatndryshojne ne kohe. Keto ndryshime kohore i binden ekuacionit diferencial te levizjes

ihdO

dt= [O,H] + ih

∂O

∂t.


Ky eshte nje ekuacion diferencial johomogjen dhe mund te zgjidhet me metoda standarte.Ketu do te perdorim metoden e funksioneve te Green-it2. Funksionet e Green-it jane nje me-tode shume e perdorshme ne fizike. Ato kane nje seri aplikimesh. Nje funksion Green-i ipershtatshem per ekuacionin (3.1.7) eshte zgjidhja e ekuacionit

dG(t− t′)

dt+ iΩ ·G(t− t′) = δ(t− t′) . (3.1.8)

Me kete funksion nje zgjidhje e vecante e (3.1.7) do jete

a(t) = − i

h

∫ +∞

−∞

G(t− t′) · f∗(t′) dt′ .

Prova qe kjo eshte me te vertete nje zgjidhje e (3.1.7) mund te behet me zevendesim direkt.Sipas (3.1.8) per t 6= t′ funksioni i Green-it do jete proporcional me e−iΩ·(t−t′), kurse pert = t′ ka nje mosvazhdueshmeri. Le ta integrojme (3.1.8) mbi nje interval qe perfshin t′

te formes (t′ − ε, t′ + ε). Ne kete menyre nxjerrim kushtin

limε→ 0

[G(+ε) −G(−ε)] = 1 .

Ne rastin tone jane te leverdisshme dy funksionet e Green-it

GR(t− t′) = θ(t− t′) · e−iΩ(t−t′)

dheGA(t− t′) = −θ(t′ − t) · e−iΩ(t−t′)

ku θ eshte funksioni shkalle 3. Dy indekset”R“ dhe

”A“ jane shkurtim i

”Retarted“ (i vonuar)

dhe”Advanced“ (i perparuar) dhe dallojne njerin funksion nga tjetri. Tani le te shenojme me

ain(t) dhe aout(t) zgjidhjet e ekuacionit homogjen

da(t)

dt+ iΩ · a(t) = 0 ,

qe perputhen me zgjidhjet e ekuacionit johomogjen (3.1.8) perkatesisht per t < t1 dhe t > t2.Pra ain(t) eshte operatori i zhdukjes se bozoneve te oshilatorit te lire perpara ngacmimitdhe aout(t) pas tij. Dime qe nje zgjidhje e pergjithshme e ekuacionit diferencial johomogjenmerret duke i shtuar zgjidhjes se pergjithshme te ekuacionit homogjen perkates nje zgjidhjete vecante te vete ekuacionit johomogjen. Me marreveshjet e bera, zgjidhja e pergjithshmee (3.1.8) shkruhet

a(t) = ain(t) − i

h

∫ +∞

−∞

GR(t− t′) · f∗(t′) dt′

= ain(t) − i

h

∫ t

−∞

e−iΩ(t−t′) · f∗(t′) dt′

(3.1.9)

2Shtojca B3Lidhja mes δ-funksionit dhe formes konkrete te funksionit shkalle jepet nga

θ(t) =

∫ t

−∞

δ(t′) dt′ =

0 per t < 0

1 per t > 0


ose, ne nje forme tjeter,

a(t) = aout(t) −i

h

∫ +∞

−∞

GA(t− t′) · f∗(t′) dt′

= aout(t) +i

h

∫ +∞

t

e−iΩ(t−t′) · f∗(t′) dt′ .

(3.1.10)

Per nxjerrjen e ketyre relacioneve kemi perdorur vetite e funksionit shkalle. Meqenese (3.1.9)dhe (3.1.10) jane te dy zgjidhje te pergjithshme te (3.1.8), atehere duke barazuar anet edjathta te tyre marrim lidhjen e meposhtme

aout = ain − i

h

∫ +∞

−∞

e−iΩ(t−t′) · f∗(t′) dt′ .

Kemi

aout = ain − i

h· g∗(Ω) , (3.1.11)

ku

g(Ω) =

∫ +∞

−∞

e−iΩt′ · f(t′) dt′ (3.1.12)

eshte transformimi Fourier i”forces“ f(t).

Tani le te kerkojme nje operator unitar S qe shnderron ain ne aout

aout = S+ · ain · S . (3.1.13)

Ky operator siguron nje lidhje mes pershkrimit te sistemit para t1 dhe atij pas t2. KurseHamiltoniani ndryshon nga

Hin = hΩ ·(

a+in ain +

1

2

)

ne

Hout = hΩ ·(

a+outaout +

1

2

)

.

Operatoret a+inain dhe a+

outaout kane vlera vetjake n = 0, 1, 2, . . . . Operatoret perkateste ketyre vlerave i shenojme me | n >in dhe | n >out. Nga ekuacioni (3.1.13) nxjerrim qe vek-toret vetjake lidhen nepermjet relacionit unitar ne formen

| n >out= S+| n >in . (3.1.14)

Dime qe per cdo numer kompleks α eshte i vertete identiteti4

e−αa++α∗a · a · e+αa+−α∗a = a+ α (3.1.15)

Duke krahasuar (3.1.11), (3.1.13) dhe identitetin e mesiperm, shohim qe transformimi unitarper te cilin po kerkojme eshte

4Ky identitet mund te nxirret nga teoremat mbi operatoret e krijimit dhe zhdukjes se bozoneve ne Sh-tojcen A.


S = exp(αa+ − α∗a

).

ose

S = exp

[

− i

hg∗(Ω) · a+

in − i

hg(Ω) · ain

]

. (3.1.16)

Veme re qe

∫ +∞

−∞

[f(t)ain(t) + f∗(t)a+

in(t)]

dt =

∫ +∞

−∞

[f(t)e−iΩtain + f∗(t)eiΩta+

in

]dt

= g(Ω) · ain + g∗(Ω) · a+in .

Mund ta shprehim S ne formen

S = exp

[

− i

h

∫ +∞

−∞

(f(t) · ain(t) + f∗(t) · a+

in(t))

dt

]

.

Operatori S percakton te gjithe informacionin fizik mbi sistemin pas kohes t2 po qe senjohim gjendjen para kohes t1.

Do te bejme supozimin se fillimisht sistemi ndodhet ne gjendjen baze te Hamiltonianit Hin.Ne kete menyre energjia e sistemit perpara bashkeveprimit eshte nje minimum. Ne paraqitjene Heisenberg-ut (ne te cilen po punojme) vektoret e gjendjes nuk ndryshojne me kohen dhesistemi mbetet ne gjendjen fillestare | 0 >in. Rendesi fizike ka amplituda e probabilitetitper gjetjen e sistemit ne nje nga gjendjet vetjake te Hout. Sipas (3.1.14) kjo amplitude, ecila tregon gjasat qe forca ngacmuese te shkaktoje kalime te qendrueshme (permanente)ne nje gjendje te eksituar me numer kuantik n, jepet

out< n | 0 >in= out< n |S| 0 >out= in< n |S| 0 >in . (3.1.17)

Qe te vleresojme S| 0 > do te shfrytezojme formulen5

S| 0 >= eαa+−α∗a| 0 >=

= e−|α|2

2 · eαa+ · e−α∗a| 0 >= e−|α|2

2 · eαa+ | 0 >

Do te thote

< n |S| 0 >= e−|α|2

2 · < n |eαa+ | 0 >= e−|α|2

2 · αn

√n!

. (3.1.18)

Ne kalimin e fundit u perdor relacioni i ortonormimit per vektoret vetjake te oshilato-rit harmonik. Nqs zbatojme (3.1.18) ne (3.1.17) dhe perdorim formen eksplicite (3.1.16),atehere marrim probabilitetin e gjetjes se sistemit ne gjendjen | n >out (gjendja e n-te eHout), me kushtin qe per t < t1 ai ishte ne gjendjen | 0 >in (gjendja baze e Hin)

Pn(Ω) = | out< n | 0 >in |2 = exp

(

−|g(Ω)|2h2

)

· 1

n!·∣∣∣∣

g(Ω)

h

∣∣∣∣

2n

. (3.1.19)

Kjo eshte nje shperndarje Poisson-i. Vlera e pritjes per numrin kuantik pas bashkeveprimiteshte

5Shtojca B


in< 0 |a+outaout| 0 >in=

|g(Ω)|2h2 . (3.1.20)

Po te zbatojme (3.1.13) mbi gjendjen | 0 >in= S| 0 >out shohim qe

aout| 0 >in= α| 0 >in .

Kjo do te thote qe | 0 >in eshte eigenket i aout me vlere vetjake α = − i

h· g∗(Ω). Rrjedhimisht

in< 0 |a+outaout| 0 >in= in< 0 |a+

out| 0 >in · in< 0 |aout| 0 >in .

Vetia e mesiperme e faktorizimit deshmon mungesen e korrelimit kuantik mes ketyre gjend-jeve te vecanta. Relacionet (3.1.18) dhe (3.1.19) tregojne se keto jane gjendje koherentekuazi-klasike dhe se operatori S(α) nuk eshte gje tjeter vecse operatori i zhvendosjes D(α),i cili shnderron gjendjen baze | 0 > ne gjendjen kuazi-klasike | α >.

4. Modeli i Dyte

4.1 Kuantizimi i nje Oshilatori Harmonik Klasik me Shuarje

Ne mekaniken klasike oshilatori harmonik me shuarje ka ne pergjithesi ekuacion diferencialte levizjes te formes

m · x+ γ · x+ κ · x = 0 , (4.1.1)

ku me γ eshte shenuar koeficienti i shuarjes dhe me κ koeficienti i forces elastike (ne rastine elektronit ne atom kjo do ishte nje force elektrostatike). Kurse m eshte masa e trupit osepjesezes. Le te bejme kuantizimin e ketij oshilatori klasik.

Ne nje shikim te pare mund te pohohej se ky sistem eshte i izoluar, pra nuk bashkevepronme sisteme te tjera. Kjo sepse ne ekuacionin e tij te levizjes figuron vetem nje grade lirie.Ne kete rast do te thonim se, si rezultat i shuarjeve, energjia

”humbet“. Ne realitet ka

nje perhapje te energjise ne mjedisin qe rrethon oshilatorin dhe vete oshilatori bashkevepronme kete mjedis. Ky bashkeveprim duhet marre parasysh. Prandaj duhen futur ne loje edhegrade te tjera lirie me qellim qe te marrim nje paraqitje sa me te plote te situates.

Nje perpjekje ne kete drejtim e studiuar intensivisht kohet e fundit ne literaturen sh-kencore [14, 15, 16, 17] konsiston ne dyfishimin e dimensioneve te hapesires fazore. Edheper kuantizimin e sistemit te pershkruar nga (4.1.1) se pari na duhet te dyfishojme di-mensionet e hapesires se tij fazore, dmth na duhet te shtojme nje tjeter grade lirie y. Sh-kruajme atehere Lagranzhianin me dy koordinata

L = m · xy +γ

2· (xy − xy) − κ · xy . (4.1.2)

Nga mekanika klasike, ekuacionet e Lagrange-it per nje system me Lagranzhian L = L(qi, qi)(i eshte indeksi qe numeron koordinatat dhe shpejtesite) jane

d

dt

(∂L∂qi

)

− ∂L∂qi

= 0 ; i = 1, n .

Ne rastin tone Lagranzhiani L varet vetem nga dy koordinatat x dhe y dhe rrjedhimisht kady ekuacione perkatese te Lagrange-it. Nqs variojme sipas y marrim ekuacionin (4.1.1)

d

dt

(∂L

∂y

)

− ∂L

∂y= 0 ⇒ m · x+ γ · x+ κ · x = 0 , (4.1.3)

Ne kete ekuacion figuron vetem x-i. Kurse duke variacioni behet sipas qi = x rezultatieshte nje ekuacion per koordinaten y

38

4.1 Kuantizimi i nje Oshilatori Harmonik Klasik me Shuarje 39

d

dt

(∂L

∂x

)

− ∂L

∂x= 0 ⇒ m · y − γ · y + κ · y = 0 . (4.1.4)

Ne mekaniken klasike kjo metode e futjes se ekuacioneve shtese ne menyre qe te nxirrenekuacionet e levizjes nga nje parim variacional eshte provuar qe heret [18] .

E vetmja diference formale mes ketij ekuacioni dhe atij (4.1.1) qendron ne shenjenperpara γ. Po qe se bejme kalimin t→ −t ne (4.1.1), atehere i vetmi term qe do te ndryshonteshenje do ishte γ · x sepse κ nuk varet nga koha. Derivati i dyte x eshte invariant ndajpermbysjes se kohes. Kjo do te thote qe ekuacioni (4.1.4) eshte i permbysuri (reversi)ne kohe i (4.1.1). Koordinata y mund te mendohet se pershkruan shkallen efektive te li-rise te rezervuarit termik me te cilin eshte ciftuar oshilatori jone. Energjia qe

”shuhet“ nuk

humbet, por i shkon ketij rezervuari termik. Pritet qe sistemi te shfaqe veti karakteristikeper shkak te shenjes negative te γ ne ekuacionin per y(t).

Momentet kanonike px dhe py gjenden si derivate te pjesshem te Lagranzhianit L ndajx dhe y perkatesisht

px ≡ ∂L

∂x= m · y − 1

2γ · y ; py ≡ ∂L

∂y= m · x+

1

2γ · x . (4.1.5)

Menyra me e lehte per te kuantizuar eshte gjetja e korresponduesit kuantum mekanik te Ha-miltonianit klasik. Nga mekanika klasike dime qe Hamiltoniani i sistemit tone eshte meperkufizim1

H ≡∑

i

piqi − L = px · x+ py · y − L .

Hamiltoniani eshte funksion i koordinatave dhe impulseve (dhe jo i shpejtesive). Shprehimx dhe y ne varesi te px dhe py ne (4.1.5) dhe marrim

H =1

m· pxpy +

γ

2m· (ypy − xpx) +

(

κ− γ2

4m

)

· xy .

Nje ndryshim me rendesi mes rastit klasik dhe atij kuantum mekanik qendron ne faktinse ne rastin e mekanikes klasike kemi madhesi qe komutojne, kurse ne rastin e mekanikeskuantike jo gjithmone. Prandaj, ne kete pike kuantizimi kanonik kryhet duke futur relacionete komutimit mes operatoreve [x, px] = ih = [y, py] dhe [x, y] = 0 = [px, py].

Ne rastin e oshilatorit harmonik njedimensional perdorim operatoret e krijimit dhezhdukjes se bozoneve si nje mjet matematikisht i leverdisshem dhe si nje menyre e persh-tatshme per pershkrimin e situates fizike. Ketu i perdorim perseri keta operatore, por doperkufizojme dy cifte sepse sistemi ka dy dimensione. Cdo koordinate i veme ne korrespon-dence nje cift operatoresh krijimi dhe zhdukjeje te perkufizuar njelloj si ne rastin e oshilatoritnjedimensional

1Herbert Goldstein, Klassische Mechanik, Wiesbaden 1985.

4.1 Kuantizimi i nje Oshilatori Harmonik Klasik me Shuarje 40

α ≡√

1

2hΩ·(px√m

− i√mΩ · x

)

α+ ≡√

1

2hΩ·(px√m

+ i√mΩ · x

)

β ≡√

1

2hΩ·(py√m

− i√mΩ · y

)

β+ ≡√

1

2hΩ·(py√m

+ i√mΩ · y

)

Keto dy cifte operatoresh komutojne me njeri tjetrin sepse x dhe y komutojne, dmth seicilicift vepron ne nje hapesire te ndryshme. Nga ana tjeter, relacionet e komutimit brendacifteve jane identike me ato per operatoret e krijimit dhe zhdukjes te oshilatorit te lire. MeΩ eshte shenuar frekuenca e perbashket e dy oshilatoreve klasike te pershkruar nga (4.1.1)dhe (4.1.4). Ne varesi te shuarjes γ dhe koeficientit κ kjo madhesi shprehet

Ω2 ≡ 1

m·(

κ− γ2

4m

)

=κ− Γ 2

m.

Me Γ = γ/2m eshte shenuar konstantja e shuarjes per variablin klasik2 x. Do te supo-zojme kudo se Ω eshte reale, dmth se κ ≥ γ2/4m. Kjo i pergjigjet rastit klasik kur nuk kambishuarje (shuarje te forta).

Shprehja e Hamiltonianit ne varesi te ketyre operatoreve te lindjes dhe zhdukjes eshte

H = hΩ ·(α+β + αβ+

)− ihγ

4m·[(

α2 − α+2)

−(

β2 − β+2)]

.

Ky quhet edhe Hamiltoniani i Feshbach-Tikochinsky-t. Ne vend te α dhe β fusim dy opera-tore A dhe B me ane te transformimeve kanonike lineare

A =1√2· (α+ β) dhe B =

1√2· (α− β) . (4.1.6)

E thene ndryshe, bejme njefare”rrotullimi“ te operatoreve te krijimit dhe zhdukjes.

Ne menyre me eksplicite, po qe se flasim me gjuhen e koordinatave dhe impulseve, kjodo te thote qe kalojme ne koordinatat e rrotulluara

X =1√2· (x+ y) dhe Y =

1√2· (x− y) , (4.1.7)

dhe momentet perkatese PX dhe PY . Duke perdorur transformimet inverse te (4.1.6) dheduke zevendesuar Hamiltoniani transformohet ne

H = H0 +HI , ku

H0 = hΩ ·(A+A−B+B

)dhe HI = ihΓ ·

(A+B+ −AB

).

(4.1.8)

A dhe B jane po ashtu operatore te krijimit dhe zhukjes se bozoneve sepse i binden te njejtarelacioneve komutimi si α dhe β. Keto relacione provohen me llogaritje te drejtperdrejte.

2Ne pjese te tjera kemi supozuar per oshilatorin harmonik klasik nje ekuacion te formes x+ 2γx+ kx = 0.Ne modelin e tanishem Γ eshte e njejte me γ ne kete ekuacion.

4.2 Zhvillimi Kohor per Hamiltonianin me Shuarje H0 + H1 41

Kemi kaluar keshtu ne nje tjeter paraqitje te situates ku kemi prape dy oshilatore.Gjendjet e njerit nga oshilatoret jane ketet vetjake te operatorit A+A. Kurse ato te tjetritjane ketet vetjake te B+B. Dy oshilatoret bashkeveprojne njeri me tjetrin. Hamiltoniani Hqe pershkruan sistemin e dy oshilatoreve perbehet nga dy pjese. Pjesa e pare H0 pershkruandy operatoret si te ndare. Kurse pjesa e dyte pershkruan bashkeveprimin (ciftimin) mestyre.

Gjendjet e gjeneruara nga operatori i krijimit B+ perfaqesojne rezervuarin ku”rrjedh“

energjia e oshilatorit me shuarje. B-oshilatori perben rezervuarin termik te ciftuar me A-oshilatorin. Duhet theksuar se si Hamiltoniani H0 edhe ai HI jane hermitiane. Prova perkete merret duke shfrytezuar relacionet kanonike te komutimit per A,A+ dhe B,B+.

4.2 Zhvillimi Kohor per Hamiltonianin me Shuarje H0 + H1

4.2.1 Ekuacioni Diferencial per Operatorin e Zhvillimit

Duke riperdorur relacionet e komutimit per A,B,A+ dhe B+, gjejme qe[H0, HI ] = 0. Nenhapesirat e H0 lihen te pandryshuara nga veprimi i HI dhe anasjelltas.Ketin vetjak te perbashket te A+A dhe B+B e shenojme me | nA nB >. Ekuacionet eeigenvlerave dhe eigenketeve per keto operatore kane formen

A+A| nA nB > = nA · | nA nB >

B+B| nA nB > = nB · | nA nB > . (4.2.1)

Per thjeshtesi shenimesh do ta shenojme gjendjen baze (vakuumin) me

| 0 >≡ | 0 0 >≡ | nA = 0 nB = 0 > .

Per zhvillimin kohor te vakuumit ne cdo moment t perdorim shenimin | 0(t) >. Tani lete studiojme zhvillimin e vakuumit per Hamiltonianin H te dhene ne (4.1.8). Me qene sedime qe

| 0(t) >= exp

(

− ith·H)

| 0 >= exp

(

−it · H0 +HI

h

)

| 0 >

dhe me qene seH0 eHI komutojne, mund ta shkruajme eksponencialin si prodhim eksponen-cialesh dhe, pas kesaj, te shkembejme vendet e tyre (sepse edhe eksponencialet komutojne).Pra

| 0(t) >= exp

(

− ith·HI

)

| 0 > .

Kemi perdorur barazimin eit

hH0 | 0 >= 1| 0 > qe rrjedh nga H0| 0 >= 0 · | 0 >. Nga ky re-

lacion shihet qe ne shprehjen per zhvillimin kohor te vakuumit figuron vetem pjesa HI eHamiltonianit dhe jo pjesa H0. Konkluzionin eshte qe zhvillimi kohor i vakuumit kontrollohetvetem nga HI .

Shenojme me WI operatorin e zhvillimit kohor respektiv te HI . Ky operator zhvillimipercaktohet nga ekuacioni

ihd

dtWI = HIWI or WI = exp

(

− i

hHI · t

)

.


Te perpiqemi te gjejme formen konkrete te WI . Po te marrim H0 nga barazimet (4.1.8)ekuacioni per WI shnderrohet ne

d

dtWI = Γ ·

(A+B+ −AB

)WI . (4.2.2)

4.2.2 Zgjidhja e Ekuacionit Diferencial per Operatorin e Zhvillimit me anen eFaktorizimit

Eksponenciali i HI ne (4.2.1) nuk perdoret dot ashtu sic eshte per llogaritjen e elemen-teve matricore sepse operatoret A+B+ dhe AB nuk komutojne. Prandaj do te perdorimnje metode alternative qe shpjegohet me poshte.

Se pari, shkruajme WI si prodhim dy operatoresh. Faktori i majte zgjidhetne nje menyre te pershtatshme (shih me tej), kurse i dyti nga ana e vet shkruhet si prodhimdy operatoresh te tjere. Ky faktorizim kryhet ne menyre te tille qe faktoret, kur zbatohenmbi nje gjendje | kA kB >, ose te jene operatore diagonale ose te jene shume e nje operatorinjesi me nje operator nilpotent

WI = W1 · W2

W1 = exp[Γ · f(t) · A+B+

].

Sic u tha me lart, WI u shpreh si prodhim ku operatori i pare W1 eshte percaktuarne nje menyre qe do tregohet e leverdisshme (f(t) nuk eshte percaktuar akoma). Ekuacioninrespektiv per W2 e gjejme duke zevendesuar formen e W1 ne (4.2.2). Do te kemi

d

dtW2 = Γ ·

[(

1 − f(t))

·A+B+ +W−1 (−AB)W1

]

.

Vleresimi i W−1 (−AB) behet me ndihmen e zberthimit ne seri fuqish te eksponencialitdhe me studimin e relacioneve te komutimit te cdo fuqije me operatorin (−AB). Zberthimine fuqi jep

W−1 (−AB) = e−Γf(t)·A+B+

(−AB) =

∞∑

n=0

(−Γf(t))n

n!·(A+B+

)n · (−AB) .

Formula e pergjithshme e komutimit mes (A+B+)n

dhe (−AB) gjendet me metoden e in-duksionit matematik. Shqyrtojme ne fillim relacionet per rendet e uleta pastaj bejme perg-jithesimin dhe proven. Nga njohja e komutimit mes A e B marrim

A+B+ (−AB) = (−AB)A+B+ +A+A+B+B + 1

(A+B+

)2(−AB) = (−AB)

(A+B+

)2+ 2

(A+A+B+B − 1

) (A+B+

)

(A+B+

)n(−AB) = (−AB)

(A+B+

)n+ n

(A+A+B+B + 1

)·

·(A+B+

)n−1 − n · (n− 1)(A+B+

)n−1.

Ekuacionin per W2 tranformohet ne ekuacionin diferencial te njevlefshem


d

dtW2 = ΓF (t) · W2 , ku

F (t) =(

1 − f(t) − Γ 2f2(t))

·A+B+ −AB − Γf(t) ·(A+A+B+B + 1

)

Na duhet qe disi t’i”mbledhim“ ose

”vecojme“ gjithe termat qe permbajne A+B+ ne ope-

ratorin e pare W1. Duhet zgjedhur f(t) e tille qe te zhduken keto terma nga ekuacionii mesiperm. Na duhet 1 − f(t) − Γ 2f2(t) = 0. Ky eshte nje ekuacion diferencial i renditte pare qe zgjidhet lehte duke ndare variablat. Nga zgjidhja e tij gjejme f(t) dhe W1. Atajane

f(t) =1

Γtanh (Γt) , W1 = exp

[tanh (Γt) · A+B+

]. (4.2.3)

Ne kete menyre nuk ka terma A+B+ ne operatorin W2. Tani do vazhdojme zevendesimin eoperatorit te fundit me dy te tjere. Zevendesimi dhe ekuacioni diferencial qe merret jepenne formulat e meposhtme.

W2 = W2 ·W3

W2 = exp[−Γg(t) ·

(A+A+B+B + 1

)]

d

dtW3 = Γ ·

[g − tanh (Γt)] ·

(A+A+B+B + 1

)+W−1

2 (−AB)W2

·W3

Gjate llogaritjeve me lart jane shfrytezuar rezultatet e teoremave Teoreme 1dhe Teoreme 2 te Shtojces A dhe fakti qe A dhe B komutojne (sepse ve-projne ne hapesira te ndryshme). Tani termi qe do te

”lihet jashte“ eshte

(A+A+B+B + 1). Ekuacionin perW3 mund te zgjidhet me ne fund pa nevojen e zevendesi-meve te metejshme. Forma e operatorit eshte

W2 = exp[− ln [cosh (Γt)] ·

(A+A+B+B + 1

)]

W3 = exp [− tanh (Γt) ·AB] .(4.2.4)

Si konkluzion te rezultateve te mesiperme themi qe operatori WI shprehet ne formen eproduktit

WI = exp[Γt ·

(A+B+ −AB

)]= W1 ·W2 ·W3 ,

ku W1 jepet ne (4.2.3) kurse W2 dhe W3 ne (4.2.4).

4.2.3 Zhvillimi i Gjendjes Baze se Sistemit te Paperturbuar

Sic pohuam me siper, | 0(t) >= WI | 0 >. Por | 0 > eshte vektor vetjak i A dhe B me vlere vet-jake zero, pra ai eshte edhe vektor vetjak i W3 me vlere vetjake e0 = 1. Veprimi i W3 ele atehere | 0 > te pandryshuar. Meqe | 0 > eshte po ashtu eigenket i A+A dhe B+B mevlera respektive nA dhe nB, atehere

| 0(t) >=1

cosh (Γt)· exp

[tanh (Γt) ·A+B+

]| 0 > . (4.2.5)


Dime qeHI eshte hermitian. Kjo implikon qeWI = ei

hHI t eshte unitar. Duke marre parasysh

kete fakt ose duke bere llogaritjet direkte ne (4.2.5) del qe < 0(t) | 0(t) >= 1 . Ky perbenligjin e ruajtjes se probabilitetit.

Jemi gjithashtu te interesuar per probabilitetine gjetjes se sistemit ne gjendjen baze | 0 > ne kohen t. Ky probabilitet eshte sa katrorii ket-prodhimit < 0 | 0(t) >. Prodhimi i fundit llogaritet lehte nga (4.2.5) sepse dime qe

< 0 |etanh (Γt)A+B+

=< 0 |. Probabiliteti perkates del

|< 0 | 0(t) >|2 =1

cosh 2(Γt).

Per kohe mjaft te medha ky probabilitet eshte proporcional me madhesine exp (−2Γt) limitii se ciles eshte zero. Fakti i mesiperm shpreh mosqendrueshmerine (instabilitetin) e ketit| 0 > nen veprimin e operatorit WI . Po te zberthejme potencialin ne formulen (4.2.5) ne seriTaylor-i marrim3

| 0(t) >=1

cosh (Γt)·

∞∑

l=0

[tanh (Γt)]l · | l l > .

Nga kjo forme e | 0(t) > dallohet qarte qe koeficienti qe qendron para ketit stacionar| kA kB > eshte

< kA kB | 0(t) >=[tanh (Γt)]

kA

cosh (Γt)· δkA,kB

. (4.2.6)

Katrori i ketij koeficienti jep probabilitetin e gjetjes se oshilatorit ne gjendjen me numrakuantike kA e kB ne castin t. Faktori δkA,kB

ne krahun e djathte te (4.2.6) tregon qe koefi-cientet jane jozero vetem per kA = kB. Keshtu vetem gjendjet diagonale eksitohen.

Duke rikujtuar qe | tanh (Γt)|2 ≤ 1 (per cdo kohe t) dhe duke perdorur formulen pershumen e serise se pafundme gjeometrike4 mund te llogarisim shumen

∞∑

kA=0

∞∑

kB=0

|< kA kB | 0(t) >|2 = 1 . (4.2.7)

Kjo eshte nje prove tjeter e ligjit te ruajtjes se probabilitetit. Nga ana tjeter, cdo term|< kA kB | 0(t) >|2 shkon drejt zeros sepse vete madhesia |< kA kB | 0(t) >| shkon ne zeroper t→ ∞. Vetia karakteristike e serise (4.2.7) eshte qe cdo term konvergjon ne zero, kurseshuma mbetet gjithmone 1.

Te gjitha keto karakteristika ilustrohen ne figuren 4.1. Me qene se vetem gjendjet dia-gonale eksitohen, vetem madhesite | < k k | 0(t) > |2 per k = 0, 1, 2, 3, 4 jane paraqitur.Probabiliteti i gjendjes baze fillon nga njeshi dhe bie ne zero. Gjithe probabilitetet e tjerate rasteve k 6= 0 fillojne nga zeroja, kane nje maksimum dhe bien perseri. Maksimumi i pro-babilitetit per gjendjet jobaze zhvendoset drejt kohesh me te medha per k me te medha.

Transformimet e zhvillimit kohor per operatoret e operatoreve te krijimit dhe zhdukjesse bozoneve jane

3Shiko edhe formulen(A+B+

)l | 0 0 >=√l! · l! · | l l >= l! · | l l > .

4Kjo seri ka formen 1 + x+ x2 + x3 + . . . =∑

∞

n=0xn = 1

1−x, per |x| < 1 .


1 2 3 4 5 6t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 4.1. Probabilitetet e ngacmi-mit per nje gjendje fillestarebaze ne rastin e nje Ha-miltoniani me shuarje. Vetemprobabilitetet e gjendjeve diago-nale jane jozero, prandaj vetemato konsiderohen. Nga lart-posh-te jane plotuar | < k k | 0(t) > |2per k = 0, 1, 2, 3, 4. Per k qe rritenprobabilitetet behen me te vogla,por maksimumi i tyre zhvendosetdrejt kohesh me te medha. Larttregohet shuma e gjithe probabi-liteteve per elementet diagonale.Ajo mbetet gjithmone konstantedhe e barabarte me nje.

α(t) = e−i t

hHI · α · ei t

hHI = α cosh (Γt) − α+ sinh (Γt)

β(t) = e−i t

hHI · β · ei t

hHI = β cosh (Γt) + β+ sinh (Γt)

(4.2.8)

Relacionet e komutimit ne kohen t dalin atehere

[α(t), α+(t)] = 1 = [β(t), β+(t)] dhe [α(t), β(t)] = 0 .

Barazimet (4.2.8) jane transformime kanonike qe ruajne relacionet e komutimit per α, β dhete konjuguarat hermitiane te tyre. E njejta gje mund te pohohet edhe per A(t) dhe B(t).

4.2.4 Konkluzione

1. Hamiltoniani i sistemit eshte hermitian pra operatori WI eshte unitar dhe (rrjedhi-misht) ne cdo moment kohe probabiliteti i pergjithshem eshte 1. Kjo perputhet meligjin e ruajtjes se probabilitetit total.

2. Vakuumi sistemit te paperturbuar (dmth gjendja baze | 0 >) eshte i paqendrueshemndaj veprimit te operatorit te zhvillimit WI . Paqendrueshmeria do te thote qe kjo

4.3 Shtimi i nje”Force te Jashtme Detyruese“ 46

gjendje zhduket me kalimin e kohes, pra probabiliteti qe sistemi te jete aty shkon drejtzeros.

3. I njejti pohim vlen per cdo gjendje tjeter | kA kB > (k2A + k2

B 6= 0).

4. Vetem gjendjet diagonale eksitohen. Probabiliteti per gjetjen e sistemit ne nje gjendjejodiagonale eshte identikisht zero ne cdo kohe t.

5. Me kalimin e kohes probabiliteti shperndahet ne nje numer gjithnje e me te madhgjendjesh (diagonale). Ne cdo gjendje te vecante ai behet perhere e me i vogel, porprobabiliteti shume mbetet gjithnje konstant (dhe njesi).

Paqendrueshmeria e vakuumit (dhe e cdo gjendjeje tjeter Fock-u | kA kB >) kunderveprimit te WI eshte nje karakteristike shume e vecante e ketij modeli. Prandaj le te sh-trojme pyetjen e meposhtme. A eshte gjendja | 0 0 > gjendja baze e ketij Hamiltoniani? Osemund te shkojme me tej. A eshte kjo nje gjendje vetjake e ketij Hamiltoniani? Sic do ta shohim,pergjigja ndaj te dyja ketyre pyetjeve eshte negative.

Dime qe [H0, HI ] = 0 dhe se | 0 0 > eshte ket vetjak i H0. Por H0 = hΩ(A+A−B+B)dhe prandaj gjitha vlerat vetjake te saj jane te pafundesisht te degjeneruara. Me konkre-tisht, ne rastin e vleres vetjake zero vektoret vetjake jane gjithe vektoret e formes | l l >ku l mund te jete cdo numer natyror. Gjendja jone baze | 0 0 > eshte nje element i kesajnenhapesire pafundesisht te degjeneruar korrespondente te vleres zero. Meqe H0 dhe HI kjodo thote qe nenhapesira lihet e pandryshuar nga veprimi i HI . Por kjo nuk do thote aspakse keta jane eigenkete te HI . Ky pohim mund te kontrollohet edhe ne nje menyre tjeter. Pote shqyrtojme veprimin e HI mbi | l l > gjejme

HI | l l >= ihΓ · [(l + 1) · | l+ 1; l + 1 > −l · δl,0 · | l − 1; l− 1 >]

Qe ketu eshte e qarte qe | l l > nuk eshte vektor vetjak i HI (as edhe ne rastin l = 0).

4.3 Shtimi i nje”Force te Jashtme Detyruese“

Ne seksionet paraardhese u morem me rastin e oshilatorit harmonik me shuarje. Ketu dote studiojme efektet e shtimit ne Hamiltonian te nje termi qe i korrespondon nga ana fizikenje force te jashtme vepruese mbi sistemin. Termi jone detyrues ka formen

Hdriving = f(t) · x+ g(t) · px .

Forca e jashtme e mesiperme varet si nga pozicioni x edhe nga shpejtesia (ose impulsi) px.Madhesite f(t) dhe g(t) jane funksione te kohes. Ata kane pergjithesisht vlera kompleksedhe formen e tyre do ta percaktojme me tutje. Per Hamiltonianin qe perdorem deri tanido fusim shenimin Hold. Kurse per Hamiltonianin qe perfshin edhe termin detyrues Hnew.Ne forme te permbledhur kjo shkruhet

Hold = H0 +HI , Hnew = Hold +Hdriving

Gjeja e pare qe duhet bere eshte”perkthimi“ i Hamiltonianit Hdriving ne varesi te opera-

toreve A,B,A+ dhe B+. Kjo behet me ane te zevendesimesh te anasjellta ne formulat perperkufizimin e cifteve α,β dhe A,B. Atehere

4.4 Zhvillimi Kohor i Vakuumit per Hamiltonianin me Term Detyrues Hnew 47

Hdriving = f ′(t) ·(A+ +B+ −A−B

)+ g′(t) ·

(A+ +B+ +A+B

),

ku f ′(t) =−if(t)

2√mΩ

dhe g′(t) =g(t)

√mΩ

2.

Ketu f ′(t) dhe g′(t) nuk varen vetem nga forma qe do zgjedhim per f(t) dhe g(t), por edhenga frekuenca vetjake Ω e sistemit te dy oshilatoreve. Funksionet e reja mund te kene vlerakomplekse edhe sikur te vjetrat te mos kene. Operatori i zhvillimit jepet nga ekuacionidiferencial per operatoret e zhvillimit ne paraqitjen e Heisenberg.

ih · d

dtW = HnewW ⇒ W = exp

(

−i thHnew

)

.

Per gjetjen e zgjidhjes se ekuacionit diferencial per kete operator zhvillimi perdoret enjejta metode si ne rastin e ekuacionit (4.2.2) ne faqen 42. Operatori ne fjale shprehetsi prodhim operatoresh te tjere forma e te cileve, me perjashtim te te fundit, perkufizohetne menyre te pershtatshme. Operatori i fundit merret si zgjidhje e nje ekuacioni te th-jeshte diferencial. Ne rastin tone konkret tranformimet e operatoreve jane bere duke pasurparasysh dy teoremat e Shtojces A mbi operatoret e krijimit dhe zhdukjes se bozoneve.Shprehja qe marrim per W eshte

W = W0 ·WI ·WII

W0 = e−itH0 = exp[−itΩ

(A+A−B+B

)]

WI = e−i t

hHI = exp

[Γt(A+B+ −AB

)]

WII = W6 · e−iΦA+ ·A+ · e−iΦA·A · e−iΦ

B+ ·B+ · e−iΦB ·B

W6 = W6(t) = exp

(

−∫ t

0

ϕAΦA+ dt−∫ t

0

ϕBΦB+ dt

)

.

(4.3.1)

Funksionet ϕi = ϕi(t) per i = A,A+, B,B+ percaktohen nga barazimet e meposhtme

ϕA+ =(f ′(t) · e−Γt + g′(t) · e+Γt

)· e+itΩ ; ϕB+ = ϕA+ · e−2itΩ

ϕA =(−f ′(t) · e−Γt + g′(t) · e+Γt

)· e−itΩ ; ϕB = ϕA · e−2itΩ .

jepet si Φi =∫ t

0ϕi(t) dt.

4.4 Zhvillimi Kohor i Vakuumit per Hamiltonianin me Term

Detyrues Hnew

Ketu na duhet te gjejme transformimin e gjendjes | 0 0 > nga operatori i zhvillimit W idhene ne (4.3.1). Meqe A dhe A+ komutojne me B dhe B+, marrim formulen

| 0(t) >= W | 0 0 >= W6 ·W0 ·WI · e−iΦA+ ·A+ · e−iΦ

B+ ·B+ | 0 0 > . (4.4.1)


Per gjetjen e normes se ketit | 0(t) > konjugojme se pari (4.4.1) dhe pastaj gjejme produktinme vete (4.4.1). Shihet qeW0 dheWI jane te dy unitare dhe kjo do thote qe prodhimi i seicilesme te konjuguarin perkates jep operatorin njesi. Me tej ne shprehjen per < 0(t) | 0(t) >mbetet eksponenciali qe permban A+, B+,B, dhe A. Duke zbatuar dy here formulen eGlauber do marrim

< 0(t) | 0(t) >= |W6|2 · exp[

|ΦA+ |2 + |ΦB+ |2]

Me arsyetime dhe transformime te ngjashme

< 0(t) | 0 >=W ∗

6

cosh (Γt)· exp [tanh (Γt)Φ∗

A+ · Φ∗B+ ]

P0(0, 0) = |< 0(t) | 0 >|2 ,

(4.4.2)

ku P0(0, 0) eshte probabiliteti per gjetjen e sistemit ne gjendjen | 0 > ne momentin t.

4.4.1 Rasti i Termit Detyrues Hermitian. Forma Konkrete e Tij

Ne modelin e pare u trajtua rasti i nje oshilatori me nje Hamiltonian johermitian. Atje utrajtua gjithashtu rasti i nje termi te jashtem johermitian. Ne rastin e tanishem te modelitte dyte Hamiltoniani vete eshte hermitian. Ne kalkulimet e mesiperme kishim nje termte jashtemHdriving = f(t) · x+ g(t) · p . Deri ne kete pike nuk kemi bere asnje supozim mbiformen e funksioneve f(t) dhe g(t). Te gjitha formulat e gjetura deri tani nuk i nenshtrohenasnje kufizimi. Termi i jashtem me interesant ne rastin tone eshte ai hermitian dhe ne dote zgjedhim nje term te tille. Dime qe operatoret x dhe p jane hermitiane (ata i pergjigjenmadhesish fizike te matshme). Po supozuam se f(t) dhe g(t) jane reale atehere termi ijashtem eshte qartesisht hermitian. Duke futur kete supozim dhe duke kontrolluar formulatme lart kemi

Φ∗A = ΦA+ ; Φ∗

B = ΦB+

|W6|2 = exp[

− |ΦA+ |2 − |ΦB+ |2] . (4.4.3)

Norma e evolucionit kohor te ketit te gjendjes baze ne kete rast eshte< 0(t) | 0(t) >= 1. Kjo eshte pikerisht ajo cfare ne presim te ndodhe sepse Hamiltonianijone (perfshire edhe termin detyrues) eshte hermitian pra operatori i zhvillimit eshte unitar.Ne gjitha cfare vijojne do te vazhdojme te supozojme se termi detyrues eshte hermitian,dmth se vlejne barazimet (4.4.3).

Ne varesi te operatoreve α dhe α+ termin e jashtem e zgjedhim

Hdriving =√

2 · A0 · e−iωt · α+√

2 · B0 · eiωt · α+ ,

ku A0 dhe B0 jane konstante reale. Parapelqejme kete forme per termin detyrues sepse keshtuai varet nga nje frekuence e vetme ω. Kjo varesi mund te ndihmoje edhe per gjetjen, mendihmen e serive Fourier, te madhesive te duhura per cdo tip funksioni. Per term te jashtemhermitian na duhen A0 dhe B0 te barabarta sepse nga kjo del qe H+

driving = Hdriving.Ne kete rast te vecante

A0 = B0 ; f(t) = 2A0 ·√mω · sin (ωt) ; g(t) =

2A0√mω

· cos (ωt) . (4.4.4)


Dy funksionet f(t) dhe g(t) jane funksione harmonike te kohes seicili me frekuence ω, porme koeficiente te ndryshem shumezues.

Pavaresisht nga rruga ne te cilen e percaktojme formen e mesiperme te termit detyrues,nen supozimin (4.4.4) funksionet ϕi jane

ϕA+ = 2A0 ·[cos (ωt) · eΓt + i sin (ωt) · e−Γt

]· e+itΩ , ϕB+ = ϕA+ · e−2itΩ

ϕA = 2A0 ·[cos (ωt) · eΓt − i sin (ωt) · e−Γt

]· e−itΩ , ϕB = ϕA · e−2itΩ

Ne interesohemi kryesisht per dy funksionet ΦA+ dhe ΦB+ sepse ata qendrojne ne sh-prehjen e probabiliteteve. Me kushtet (4.4.4) keta dy funksione jane

ΦA+(ω,Ω, Γ ) = +A0 · −T (−ω,+Ω,−Γ ) + T (+ω,+Ω,−Γ )+T (−ω,+Ω,+Γ ) + T (+ω,+Ω,+Γ )

ΦB+(ω,Ω, Γ ) = +A0 · −T (−ω,−Ω,−Γ ) + T (+ω,−Ω,−Γ )+T (−ω,−Ω,+Γ ) + T (+ω,−Ω,+Γ )

T (ω,Ω, Γ ) = exp

(i(ω +Ω)t+ Γt

i(ω +Ω) + Γ

)

(4.4.5)

4.4.2 Probabilitetet e Kalimit ne nje Gjendje te Cfaredoshme Perfundimtare

Per gjetjen e koeficienteve te kalimit dhe te probabiliteteve perkatese ne rastin e gjendjesfillestare baze do gjejme nje forme me eksplicite te | 0(t) > duke u nisur nga shprehja (4.4.1).Pas zberthimit ne seri fuqish dhe pas zbatimit te formulave te shtojces mbi algjebren eoperatoreve, ajo qe marrim eshte

< kA kB | 0(t) > = W6 · Λ ·√kA!kB !

[cosh (Γt)]kA+kB+1

· e−itΩ(kA−kB)

· exp [+ΦA+ΦB+ tanh (Γt)] ,

ku

Λ =

min (kA,kB)∑

l=0

(−iΦA+)kA−l

(kA − l)!· (−iΦB+)kB−l

(kB − l)!·[tanh (Γt) cosh 2(Γt)

]l

l!.

Per kA = kB = 0 rimarrim (sic eshte e pritshme) te konjuguarin hermitian te barazimitte pare ne (4.4.2). Formula e mesiperme eshte formula e pergjithshme per llogaritjen ekoeficienteve te kalimit. Probabilitetet e kalimit llogariten si katroret e moduleve te ketyrekoeficienteve. Forma e tyre eshte

P0(kA, kB) = P0(0, 0) · kA!kB !

[cosh (Γt)]2(kA+kB)

· |Λ|2 (4.4.6)

Indeksi”0“ ne P0(kA, kB) vendoset per te treguar faktin qe nisemi nga gjendja baze. P0(0, 0)

jepet ne (4.4.2).Nen kushtin e te qenit hermitian per Hamiltonianin, nga (4.4.2),(4.4.3) dhe (4.4.6)

rigjejme ligjin e ruajtjes se probabilitetit te plote


Fig.4.2. Grafiku iP0(0, 1) dhe ai iP0(0, 2) kundrejt ko-hes dhe frekuencesω se termit dety-rues. Jane para-qitur vetem vlerate vogla te fre-kuences ω. Seiciliniset nga zero, kanje maksimumdhe bie perseridrejt zeros.


Fig.4.3. Plotet perfrekuenca te lartaω. Perseri perkohe temedha probabilite-tet bien drejt zeros.Nje tjeter karakte-ristike interesanteeshte se probabili-teti per frekuencate larta biegjithashtu ne zero.


∞∑

kA=0

∞∑

kB=0

P0(kA, kB) = < 0(t) | 0(t) > = 1 .

Ne figurat 4.2 dhe 4.3 jane plotuar disa nga probabilitetet P0(kA, kB). Grafiketjane bere ne varesi te frekuences se termit detyrues dhe kohes. Ne figuren 4.2 gjejme P0(0, 1)dhe P0(0, 2) vetem per frekuenca te vogla ω. Kurse grafiket e P0(0, 2) dhe P0(0, 3) per ωte medha jane paraqitur ne figuren 4.3. Ne te gjithe grafiket (ne te dy figurat) gjejme disangjashmeri. Meqe po konsiderohen vetem gjendje te ndryshme prej asaj baze, te gjitha pro-babilitetet nisin nga zero ne momentin e pare te kohes. Pastaj me rritjen e kohes rritenedhe probabilitetet, kane nje maksimum dhe bien perseri. Per kohe shume te medha atazhduken te gjithe (behen zero). Ka edhe nje vecori shume interesante ne figuren 4.3. Perfrekuenca te larta ω probabilitetet i afrohen po ashtu ne zero. Kjo vjen padyshim si sh-kak i inercise. Dmth sistemi i

”reziston“ ndryshimeve shume te shpejta te termit detyrues.

Kete karakteristike e takojme edhe ne rastin klasik.

4.4.3 Studimi i Problemit per Kohe te Medha

Ketu do te merremi me studimin e sjelljes se sistemit ne limitin e kohevete medha. Ne kete limit, nga (4.4.5) shihet qe ΦA+ = ΦB+ = 3t. Duke marreP0(0, 0) nga (4.4.2) llogarisim qe

P0(0, 0) → 4 · e−2Γt → 0 per t→ ∞

Me kalkulime te ngjashme gjejme qe per cdo cift numrash kA, kB nga bashkesia 0, 1, 2, 3, . . .mund te shkruhet

P0(kA, kB) → 0 per t→ ∞Nga shqyrtimi i dy rasteve te mesiperme limite mund te pohojme si me poshte. Edhe ne rastinkur marrim parasysh nje term detyrues gjendjet stacionare | kA kB > jane te paqendrueshme ndajveprimit te operatorit te zhvillimit per kete rast. Kjo karakteristike mund te vrojtohet ne seicilinnga grafiket e perdorur per modelin e dyte.

4.4.4 Studimi i Hollesishem i Probabilitetit per te Mbetur ne Gjendjen Baze

Ne kete seksion do konsiderohet me me hollesi probabiliteti P0(0, 0). Ky perben probabili-tetin qe, duke u nisur nga nje gjendje fillestare baze, sistemi te mbese ne kete gjendje. Perkohe te medha ky probabilitet asimptotik ka formen

Pas =expA2

0 · Scosh 2(Γt)

,

ku

S = S(ω) = −16ω2

[(ω +Ω)2 + Γ 2] · [(ω −Ω)2 + Γ 2].

Funksioni S(ω) ka minimum per frekuencen e termit detyrues

ω0 =√

Ω2 + Γ 2


Fig. 4.4. Grafiku i probabilitetit per te mbetur ne gjendjen baze ne rastin e frekuencavete vogla. Shihet qarte qe ky probabilitet ka minimum per ω0 ≃ Ω ne cdo moment kohe t.Ekziston edhe nje maksimum i probabilitetit per frekuenca prane vleres se koeficientitte shuarjes Γ = 0.2.

Meqenese Pas eshte funksion monoton i S, atehere edhe ai ka nje minimum per ω0. Per vlerate vogla te koeficientit te shuarjeve Γ ky minimum gjendet afersisht tek frekuenca vetjake eoshilatorit Ω. Ne e nxorem qe funksioni ka minimum vetem per rastin e koheve te medha.Sic do e shohim me poshte, probabiliteti ka minimum ne piken ω0 ne cdo moment kohe t.

Karakteristikat e Pas tregohen ne grafiket e figurave 4.4 dhe 4.5. Aty paraqitet Pas perfrekuenca perkatesisht te vogla dhe te medha te termit detyrues. Ne 4.4 konfirmohet faktiqe probabiliteti per te mbetur ne gjendjen baze ka minimum prane pikes se rezonances,dmth prane frekuences Ω te oshilatorit. Verejme gjithashtu qe ka nje maksimum te ketijprobabiliteti per frekuenca rreth vleres se koeficientit te shuarjeve Γ . Kurse ne figuren 4.5shihet qe per frekuenca te larta probabiliteti behet konstant ndaj vete frekuences.

Le te quajme probabilitet eksitimi Pexc probabilitetin qe sistemi ta leje gjendjen baze.Meqe probabiliteti i plote eshte 1, atehere probabiliteti i eksitimit jepet

Pexc = 1 − Pas

Pexc eshte plotesi i Pas prandaj ai ka nje maksimum ne piken ω0. Me fjale te tjera, sistemika nje maksimum probabiliteti qe te ngacmohet prane pikes se rezonances. Kjo karakteris-tike ndeshet edhe ne rastin klasik.


Fig. 4.5. Probabiliteti per sistemin qe te mbese ne gjendjen baze edhe per frekuenca te larta.Ky probabilitet bie drejt zeros per kohe te medha dhe eshte konstant ndaj frekuences perfrekuenca te larta. Ne t = 0 probabiliteti nuk varet aspak nga frekuenca. Kurse per t > 0probabiliteti fillimisht rritet pastaj fiksohet (sipas drejtimit te rritjes se ω).

4.4.5 Konkluzione mbi Modelin e Dyte

Ne studimin e modelit te dyte jemi mbeshtetur ne studimet mbi sistemet disipa-tive. Ne i shtuam Hamiltonianit te Feshman-Tikochinsky-t nje term detyrues te formesHdriving = f(t) · x+ g(t) · p. Me tej, duke perdorur metoden e faktorizimit, gjetemnje forme te pershtatshme te operatorit te zhvillimit kohor. Nga veprimi i ketij operatori mbigjendjet stacionare, morem probabilitetet e kalimit. Konkluzionet ne te cilat kemi arriturjane renditur me poshte.

1. Edhe zhvillimi kohor per Hamiltonianin me term detyrues te nxjerr nga hapesira egjendjeve e Hilbert-it.


2. Megjithese gjendja baze eshte e paqendrueshme ndaj evolucionit kohor, duhet thek-suar se ajo nuk eshte gjendja baze e krejt Hamiltonianit (qofte edhe pa term detyrues).Keti | 0 0 > ben pjese ne nenhapesiren pafundesisht te degjeneruar perkatese te vleres0 te operatorit (Hamiltonianit) H0 = hΩ · (A+A+B+B). Vektoret vetjake te Hamil-tonianit H0 +HI jepen si mbivendosje e nje numri te pafundem ketesh | kA kB >.

3. Kur flasim per A-operatorin dhe B-operatorin ne nuk pershkruajmene fakt oshilatoret e dhene nga ekuacionet (4.1.3) dhe (4.1.4). Me saktesisht me ketooperatore pershkruajme oshilatoret e koordinatave X dhe Y te futura me relacionet(4.1.7). Ekuacionet e levizjes ne keto koordinata shkruhen

mX + γY + κX = 0 and mY + γX + κY = 0 .

Modeli i trajtuar keshtu ka nje te mete per sa i perket instabilitetit. Por ai ka disakarakteristika qe i ngjasojne mjaft atyre te rastit klasik te nje oshilatori te detyruar.

Ne mendojme se ia vlen te vazhdohet studimi i ketij modeli nga nje kendveshtrimipak me i ndryshem, duke marre parasysh edhe rezultatet e ketij studimi. Mendojme sepike interesante per studim te metejshem eshte futja e nje termi tjeter detyrues te formesF (t) ·X +G(t) · PX .

A. Disa Formula te Rendesishme te Algjebres

se Operatoreve

A.1 Formula Baker-Campbell-Hausdorff

Kjo eshte nje formule e pergjithshme mbi produktin e eksponencialeve te dy operatoreveqe nuk komutojne. Vertetesia e kesaj formule nuk varet nga ndonje supozim mbi komutatorine ketyre dy operatoreve, dmth ajo eshte e vertete per cdo cift operatoresh A e B. Formame e njohur e kesaj formule eshte

eA · eB = eη(A,B) , (A.1.1)

ku

η(A,B) ≡∑

m≥1

(−1)m−1

m×

×pi+qi≥1∑

pi,qi

[

p1

︷︸︸︷

A · · ·Aq1

︷︸︸︷

B · · ·Bp2

︷︸︸︷

A · · ·Aq2

︷︸︸︷

B · · ·B · · ·pm

︷︸︸︷

A · · ·Aqm

︷︸︸︷

B · · ·B][∑

j(pj + qj)]

p1!q1!p2!q2! · · · pm!qm!.

(A.1.2)

Komutatori i shumefishte i perdorur me siper perkufizohet

[CDE . . . J ] ≡ [. . . [[C,D], . . . , J ] , (A.1.3)

ku [C,D] eshte komutatori i njohur CD −DC mes operatoreve C dhe D.Ne nje forme me eksplicite, termat e pare te shprehjes η(A,B) jane

η(A,B) = A+B +1

2· [A,B] +

1

12· [[A,B], B] +

1

12· [[B,A], A] + · · · . (A.1.4)

Kjo formule eshte mjaft e veshtire per t’u provuar. Megjithate, ne nenseksionin e meposhtem,provohet nje rast i vecante i kesaj formule.

A.1.1 Formula e Glauber-it

Relacioni qe duam te nxjerrim eshte

eA · eB = eA+B · e 12[A,B] . (A.1.5)

56

A.1 Formula Baker-Campbell-Hausdorff 57

Kjo formule eshte e vertete per dy operatore A dhe B qe komutojne seicili me komutatorine tyre te perbashket [A,B] dhe eshte nje rast i vecante i formules se mesiperme Baker-Campbell-Hausdorff. Konditat e para qe veme jane

[A, [A,B]] = 0 (A.1.6)

dhe[B, [A,B]] = 0 . (A.1.7)

Per A dhe B te cfaredoshme formula e Glauber-it (A.1.5) ne pergjithesi nuk vlen. Sidoqofte,kushtet (A.1.6) dhe (A.1.7) nuk jane edhe aq kufizuese sa mund te duket. Ne fakt, ne me-kaniken kuantike ka mjaft raste operatoresh komutatori i te cileve eshte nje numer konstant(c-numer), me te cilin komutojne te dy operatoret. Te tille jane psh operatori i koordinatesdhe ai i impulsit perkates, ose operatoret e krijimit dhe zhdukjes se bozoneve, etj.

Per te provuar relacionin (A.1.5) veprojme si vijon. Ne fillim perkufizojme operatorinF (t) me ane te shprehjes

F (t) = eAt · eBt , (A.1.8)

pra F (t) eshte funksion i variablit real t. Po qe se derivojme F (t) ndaj t marrim

dF

dt= A · eAt · eBt + eAt ·B · eBt =

(A+ eAt ·Be−At

)· F (t) . (A.1.9)

Me lart u perdor fakti qe e−A · eA jep operatorin njesi. Le te llogarisim tani eAt ·B. Perkete zberthejme eksponencialin eAt sipas fuqive te A

eAt · B =

∞∑

n=0

tn

n!An · B . (A.1.10)

Per llogaritjen e An · B perdorim metoden e induksionit te plote matematik si vijon. Pertermat e rendeve te uleta duke kryer komutime te thjeshta shohim qe

A · B = B ·A + [A,B]A2 · B = B ·A2 + [A,B] ·AA3 · B = B ·A3 + [A,B] ·A2

A4 · B = B ·A4 + [A,B] ·A3

. . . .

(A.1.11)

Nqs supozojme qeAn ·B = B ·An + [A,B] ·An−1 , (A.1.12)

atehere duke perdorur relacionin e pare ne (A.1.11), kemi

An+1 · B = B · An+1 + [A,B] · An . (A.1.13)

Kjo provon qe formula (A.1.12) vlen per cdo n. Duke perdorur (A.1.12) ne (A.1.10) domarrim

eAt ·B = B · eAt + t[A,B] · eAt . (A.1.14)

Rrjedhimisht, nga (A.1.9)

dF

dt= (A+B + t[A,B]) · F (t) . (A.1.15)

A.2 Teoreme 1 58

Operatoret A+B dhe [A,B] komutojne nga hipoteza. Prandaj mund te integrojme ekua-cionin diferencial (A.1.15) si nje ekuacion diferencial normal funksionesh, dhe t’i konside-rojme operatoret A+B dhe [A,B] sikur te ishin numra. Kjo jep

F (t) = F (0) · exp

(A+B)t+1

2[A,B]t2

. (A.1.16)

Duke marre t = 0 ne (A.1.8) shohim qe konstantja F (0) = 1 dhe atehere

F (t) = exp

(A+B)t+1

2[A,B]t2

. (A.1.17)

Relacioni (A.1.17) eshte i vertete per cdo t. Per t = 1 marrim relacionin (A.1.5) qe donim

te provonim. Nqs shumezojme relacionin (A.1.5) ane per ane me e−12[A,B] nga e majta,

fitojme formen e njevlefshme

eA+B = eA · eB · e− 12[A,B] . (A.1.18)

Po te kembejme formalisht B me A ne (A.1.18) marrim

eB+A = eB · eA · e− 12[B,A] = eB · eA · e 1

2[A,B] . (A.1.19)

Algjebra jone eshte komutative ndaj mbledhjes se operatoreve, dmth mund te sh-kruajme eB+A = eA+B. Atehere nga (A.1.18) dhe (A.1.19)

eA · eB = eB · eA · e[A,B] . (A.1.20)

Kjo eshte nje tjeter forme e njevlefshme e (A.1.5) dhe (A.1.18). Ajo eshte e vertete perte njejtat kushte (A.1.6) dhe (A.1.7). Ne rastin e operatoreve te lindjes dhe zhdukjes se bo-zoneve, ku [a, a+] = 1, relacioni (A.1.20) shkruhet

ea · ea+

= ea+ · ea · e1 = e · ea+ · ea , (A.1.21)

kurse (A.1.5) dhe (A.1.18)

ea+a+

= e · ea · ea+

= e−1 · ea+ · ea . (A.1.22)

A.2 Teoreme 1

Nqs A dhe B jane dy operatore qe nuk komutojne dhe ξ eshte nje numer kompleks,atehere per cdo numer te plote n kemi

eξA ·Bn · e−ξA =(eξA ·B · e−ξA

)n(A.2.1)

dheeξA · F (B) · e−ξA = F

(eξA ·B · e−ξA

). (A.2.2)

Vertetim:

Per n = 1 (A.2.1) eshte nje identitet. Ne dime qe eξA · e−ξA = 1. Duke nderfutur operatorin

A.3 Teoreme 2 59

njesi 1 mes cdo cifti operatoresh B e shkruajme shprehjen ne anen e majte te (A.2.1) sinje produkt n faktoresh

eξA · Bn · e−ξA =

n-faktore︷︸︸︷

eξA · B · e−ξA︸︷︷︸

1

·eξA · B · · · eξA · B · e−ξA︸︷︷︸

n

=(eξA · B · e−ξA

)n(A.2.3)

Pra, formula (A.2.1) u provua. Per te provuar (A.2.2) marrim zberthimin ne seri fuqishte F (B)

F (B) =∑

n

cnBn . (A.2.4)

Pastaj, duke perdorur (A.2.1), kemi

eξA · F (B) · e−ξA =∑

n

cneξA · Bn · e−ξA =∑

n

cn(eξA · B · e−ξA

)n. (A.2.5)

Shprehja e fundit eshte pikerisht zberthimi ne seri fuqish i F(eξA ·B · e−ξA

), nga ku provohet

edhe (A.2.2).

A.3 Teoreme 2

Ne nje menyre te ngjashme me te mesipermen, mund te provohet qe, nqs A dhe B jane dyoperatore qe nuk komutojne dhe A−1 ekziston, atehere

A · F (B) ·A−1 = F(A · B · A−1

). (A.3.1)

A.4 Lema Hausdorff

Per dy operatore jokomutues A e B dhe nje parameter ξ eshte i vertete relacioni

eξA ·B · e−ξA = B + ξ · [A,B] +ξ2

2!· [A, [A,B]] +

ξ3

3!· [A, [A, [A,B]]] + . . . (A.4.1)

Vertetim:

Le te jete f(ξ) = eξA · B · e−ξA, f(0) = B. Zberthimi ne seri Lorain-i i f(ξ) jep

f(ξ) = f(0) + ξ · df

dξ

∣∣∣∣ξ=0

+ξ2

2!· d2f

dξ2

∣∣∣∣ξ=0

+ξ3

3!· d3f

dξ3

∣∣∣∣ξ=0

+ · · · . (A.4.2)

Tani mbetet te provojme se derivatet ne formulen e mesiperme jane te barabarte me komu-tatoret respektive te (A.4.1). Per derivatin e rendit te pare, nga forma e f(ξ) kemi

df

dξ= [A, f(ξ)] ⇒ df

dξ

∣∣∣∣ξ=0

= [A, f(0)] = [A,B] . (A.4.3)

Kurse per derivatin e rendit te dyte

A.4 Lema Hausdorff 60

d2f

dξ2=

d

dξ[A, f(ξ)] = [A,

df(ξ)

dξ] ⇒

d2f

dξ2

∣∣∣∣ξ=0

= [A, [A,B]] .

(A.4.4)

Tashme mjafton te vertetojme qednf(ξ)

dξn= [A,

dn−1f(ξ)

dξn−1]. Kjo vertetohet lehte me metoden

e induksionit matematik. Nqs e supozojme pohimin te vertete per n, atehere per n+ 1marrim

dn+1f(ξ)

dξn+1=

d

dξ

(dnf(ξ)

dξn

)

=d

dξ

(

[A,dn−1f(ξ)

dξn−1]

)

= [A,dnf(ξ)

dξn] . (A.4.5)

Vertetesia e kesaj formule rekurente sjell edhe vertetesine e lemes (A.4.1).

B. Teorema per Operatoret e Lindjes dhe Zhdukjes

se Bozoneve

B.1 Teoreme 3

Per cdo numer kompleks x vlen relacioni

exa · f(a, a+) · e−xa = f(a, a+ + x)

e−xa+ · f(a, a+) · exa+

= f(a+ x, a+) .

(B.1.1)

ku a dhe a+ jane operatoret e krijimit dhe zhdukjes (anihilimit), kurse f(a, a+)eshte nje funksion i tyre. Nje rast i vecante i formules merret per f(a, a+) = a+ osef(a, a+) = a

exa · a+ · e−xa = a+ + x

e−xa+ · a · exa+

= a+ x

(B.1.2)

Vertetim:

Vertetimi behet duke zberthyer ne seri, duke marre parasysh qe exa · e−xa = 1 dhe dukeperdorur (A.2.2).

B.2 Teoreme 4

Nje tjeter formule e rendesishme qe lidhet me a dhe a+ eshte

exa+a · f(a, a+) · e−xa+a = f(a · e−x, a+ · ex

). (B.2.1)

Si raste te vecanta kemi

exa+a · a · e−xa+a = a · e−x

exa+a · a+ · e−xa+a = a · ex .

(B.2.2)

Vertetim:

Fillimisht le te vertetojme (B.2.2). Per kete perkufizojme funksionin e variablit kompleks

F (x) = exa+a · a · e−xa+a, F (0) = a. Pastaj derivojme

61

B.2 Teoreme 4 62

dF

dx= exa+a · [a+a, a] · e−xa+a = −exa+a · a · e−xa+a = −F (x) . (B.2.3)

PordF

dx= −F (x) ⇒ F (x) = F (0) · e−x = a · e−x . (B.2.4)

Nga relacioni i fundit del edhe relacioni pare i (B.2.2). I dyti provohet njelloj. Per vertetimine (B.2.3) shkruajme zberthimin ne seri

f(a, a+) =∑

n,m

cn,m · am · (a+)n , (B.2.5)

nga ku

exa+a · f(a, a+) · e−xa+a =

=∑

n,m

cn,m ·[

exa+a · am · e−xa+a]

·[

exa+a · (a+)n · e−xa+a]

.(B.2.6)

Gjate transformimit perdorem edhe vetine exa+a · e−xa+a = 1. Duke perdorur (A.2.1) sh-kruajme

exa+a · f(a, a+) · e−xa+a =

=∑

n,m

cn,m ·[

exa+a · a · e−xa+a]m

·[

exa+a · a+ · e−xa+a]n

.(B.2.7)

Kjo shprehje eshte zberthimi ne seri i f(exa+a · a · e−xa+a, exa+a · a+ · e−xa+a) dhe, rrjedhi-misht (B.2.1) u provua.

C. Funksionet e Green-it

Shqyrtojme ne fillim ekuacionin stacionar te Schrodinger-it

− h2

2m∇2ψ + V ψ = Eψ . (C.0.1)

Ky ekuacion mund te shkruhet ne formen me te permbledhur

(∇2 + k2)ψ = Q , (C.0.2)

ku me k dhe Q jane shenuar madhesite

k ≡√

2mE

h; Q ≡ 2m

h2 · V ψ . (C.0.3)

Shprehja e fundit ka formen e nje ekuacioni Helmoltz-i, por vete madhesia Q varet ngaψ. Pra ky eshte nje ekuacion johomogjen ku termi johomogjen eshte Q. Tani le te stu-diojme nje ekuacion Helmoltz-i me nje burim (term johomogjen) ne formen e nje δ-funksioni,pra

(∇2 + k2) G(r) = δ3(r) , (C.0.4)

ku G(r) eshte funksioni qe e zgjidh kete ekuacion1. Supozojme gjithashtu qe mund tagjejme kete funksion G(r). Atehere ψ mund te shprehet si integral ne formen

ψ(r) =

∫

G(r − r0) ·Q(r0) d3r0 . (C.0.5)

Me zevendesim direkt, tregohet lehte se kjo shprehje per ψ(r) kenaq ekuacionin eSchrodinger-it te formes (C.0.1)

(∇2 + k2)ψ(r) =

∫[(∇2 + k2)G(r − r0)

]Q(r0) d3r0

=

∫

δ3(r − r0)Q(r0) d3r0 = Q(r) . (C.0.6)

Funksioni G(r) quhet Funksioni i Green-it per ekuacionin e Helmoltz-it.Me ne pergjithesi, funksionet e Green-it jane funksione qe per nje ekuacion diferencial te cak-tuar perfaqesojne pergjigjen ndaj nje δ-burimi (burim ne formen e nje δ-funksioni). Tani na

1Te gjitha madhesite vektoriale ne kete shtojce jane shkruar me fontin bold.

63

64

duhet te zgjidhim ekuacionin (C.0.4) ne menyre qe te gjejme formen konkrete per funksionine Green-it G(r). Menyra me e mire per kete eshte perdorimi i nje transformimi Fourier. Kytransformim e kthen ekuacionin diferencial ne nje ekuacion algjebrik. Konkretisht kemi

G(r) =1

(2π)3/2

∫

eis·rg(s) d3s . (C.0.7)

Duke vepruar mbi kete ekuacion me operatorin (∇2 + k2) marrim

(∇2 + k2)G(r) =1

(2π)3/2

∫[(∇2 + k2)eisr

]g(s) d3s . (C.0.8)

Me llogaritje direkte gjejme2

∇2eisr = −s2 · eisr . (C.0.9)

Ketu rikujtojme formulen e Plancherel-it per transformimin e anasjellte Fourier, e cila pohonqe nqs.

f(x) =1√2π

·∫ +∞

−∞

F (k) · eikx dk , (C.0.10)

atehere

F (k) =1√2π

·∫ +∞

−∞

f(x) · e−ikx dx (C.0.11)

dhe anasjelltas. Nqs. me ∆(k) shenojme transformimin Fourier te δ(x), atehere shihetqe ∆(k) = 1/

√2π. Nga zevendesimi i ketij rezultati ne (C.0.10) marrim nje shprehje

shume te perdorshme mbi formen e δ-funksionit

δ(x) =1

2π

∫

eikx dk . (C.0.12)

Ne rastin tre-dimensional kjo shprehje ka formen

δ3(r) =1

(2π)3·∫

eisr d3s . (C.0.13)

Duke zevendesuar (C.0.8), (C.0.9) dhe (C.0.13) ne (C.0.4) marrim

1

(2π)3/2

∫

(−s2 + k2)eisrg(s) d3s =1

(2π)3/2

∫

eisr d3s . (C.0.14)

Qe ketu eshte e qarte qe

g(s) =1

(2π)3/2(k2 − s2). (C.0.15)

Duke zevendesuar kete shprehje per g(s) ne (C.0.7), gjejme

G(r) =1

(2π)3/2

∫

eisr 1

(k2 − s2)d3s . (C.0.16)

2Kjo behet me lehte po qe se ∇ mendohet formalisht si derivat i pjesshem ndaj rrezevektorit r

∇ =∂

∂r

65

Per sa i takon integrimit sipas s, r eshte e fiksuar. Prandaj le te zgjedhim koordinatat sferike(s, θ, φ) me aksin polar sipas r. Do te kemi s · r = s · r · cos θ. Integrimi sipas φ jep 2π. Kurseintegrimi sipas θ jep

∫ π

0

exp (isr cos θ) · sin θ dθ = −[eisr cos θ

isr

]π

0

=2 sin (sr)

sr. (C.0.17)

Pra mbetemi vetem me integralin sipas r-ve

G(r) =2

(2π)2r

∫ ∞

0

s sin (sr)

k2 − s2ds =

1

4π2r

∫ +∞

−∞

s sin (sr)

k2 − s2ds . (C.0.18)

Per te kryer kete integrim perdorim shenimet me eksponenciale, pra

G(r) =i

8π2r

∫ +∞

−∞

seisr ds

(s− k)(s+ k)−∫ +∞

−∞

se−isr ds

(s− k)(s+ k)

=i

8π2r(I1 − I2) .

(C.0.19)

Ne seicilin nga integralet e shprehjes me siper integrandi ka pole ne pikat s = ±k. Pervleresimin e ketyre lloj integraleve perdorim formulen integrale te Cauchy-se3

∮f(z)

(z − z0)dz = 2πi · f(z0) , (C.0.20)

ne rastin kur pika z0 ndodhet brenda konturit te mbyllur te integrimit. Ne rast te kundert(dmth. kur pika z0 ndodhet jashte konturit te mbyllur te integrimit) integrali eshte zero.Pra fillimisht na duhet te gjejme nje rruge per shmangjen e poleve. Konkretisht, do zg-jedhim qe polin ne s = −k ta shmangim nga siper kurse ate ne s = k, nga poshte. Ne faktrruga per shmangjen e poleve mund te zgjidhet ne nje pafundesi menyrash dhe kjo pasqy-rohet ne formen konkrete te funksioneve te Green-it. Pastaj duhet ta mbyllim konturinne njefare menyre qe te kemi integral sipas nje konturi te mbyllur dhe te perdorim for-mulen e lartpermendur. Pjesa qe mbyll konturin duhet te zgjidhet e tille qe kontributi isaj ne integralin e pergjithshem te jete zero. Ne rastin e integralit te pare I1 zgjedhimnje gjysemrrethi me rreze te pafundme qe mbyllet nga siper. Keshtu s-ja ka nje pjese imag-jinare shume te madhe dhe termi eisr shkon ne zero. Me kete zgjedhje, konturi i formuarperfshin vetem vecanesine ne s = +k dhe

I1 =

∮ [se−isr

s+ k

]

· 1

s− kds = 2πi

[se−isr

s+ k

]

s=k

= iπeikr . (C.0.21)

Bejme tani te njejten gje per I2, por tani e mbyllim konturin nga poshte dhe, rrjedhimisht,fitojme nje shenje negative sepse integrimi kryhet ne kahe orare

I2 =

∮ [se−isr

s− k

]

· 1

s+ kds = −2πi

[se−isr

s− k

]

s=−k

= −iπeikr . (C.0.22)

Integrali per G(r) jep pastaj

G(r) =i

8π2r·[(iπeikr

)−(−iπeikr

)]=

eikr

4πr. (C.0.23)

66

Fig.C.1. Menyrat e shmangjes se poleve per llogaritjen e integraleve I1 (majtas) dhe I2

(djathtas). Ne rastin e pare konturi perfshin vetem polin ne +k, kurse ne te dytin vetemate ne −k.

- -- -- -b

−kb

+kb

−kb

+k

-

6

Im(s)

Re(s)

Kjo eshte nje zgjidhje e vecante e ekuacionit te Helmoltz-it (C.0.4). Prova mund te behetedhe me zevendesim direkt4. Zgjidhja e pergjithshme merret duke i shtuar kesaj zgjidhjejete vecante te ekuacionit johomogjen te Helmoltz-it zgjidhjen e pergjithshme G0(r) te ekua-cionit homogjen perkates

(∇2 + k2)G0(r) = 0 . (C.0.24)

Prandaj zgjidhja e pergjithshm e (C.0.5) ka formen

ψ(r) = ψ0(r) −m

2πh2

∫eik|r−r0|

|r − r0|· V (r0) · ψ(r0) d3r0 . (C.0.25)

3J.H.Curtiss, Introduction to the functions of a complex variable. N.Y. 1978

4Per kete duhet pasur parasysh qe ∇2(1

r) = −4πδ3(r) .

67

Me ψ0 kemi shenuar zgjidhjen e pergjithshme te ekuacionit te Schrodinger-it per pjesezen elire

(∇2 + k2)ψ0(r) = 0 . (C.0.26)

Ekuacioni (C.0.25) eshte nje forme ekuivalente e ekuacionit te Schrodinger-it. Nuk duhette genjehemi nga forma dhe te mendojme se kjo perben nje zgjidhje eksplicite e ekuacionitte Schrodinger-it. Ne integrandin ne anen e djathte te ekuacionit ka nje ψ. Per kete shkak kyekuacion quhet forma integrale e ekuacionit te Schrodinger-it. Megjithate kjo forme integraleeshte nganjehere shume e vlefshme ne mjaft probleme fizike.

Ne kapitullin mbi oshilatorin harmonik te detyruar kemi perdorur funksione te Green-itqe jane zgjidhje te nje ekuacioni me derivate ndaj kohes dhe jo ndaj r. Por kjo eshte vetemnje ceshtje marreveshjeje.

D. Referenca

[1] Milton Abramowitz and Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions. DoverPublications, Inc., New York. 1970

[2] J.H.Curtiss, Introduction to the functions of a complex variable. New York 1978

[3] George Afken, Mathematical methods for physicists. Academic Press Inc., New York,San Francisco, London. 1970

[4] A.P. Prudnikov, Yu.A. Brychkov, O.I. Marichev, Integrals & Series. Goldon and BreachScience Publishers. New York, London, Paris, Tokyo, Melbourne. 1983

[5] C. Cohen Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics. Volume 1 and Volume 2,John Wiley & Sons, Inc., New York, London, Sydney, Toronto. 1977

[6] Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics. Second Edition, John Wiley & Sons, NewYork, Chichester, Brisbane, Toronto. 1970

[7] N. K. Bajaj, The Physics of Waves and Oscillations. McGraw-Hill, New Delhi, NewYork, Tokyo. 1988

[8] A. Galindo P. Pascual, Quantum Mechanics I and II. Springer Verlag, Berlin, Heidel-berg, New York, London. 1990

[9] Kastriot Islami, Mekanika Kuantike. Vellimi 1 dhe 2, Tirane

[10] Siegmund Brandt and Hans D. Dahmen, Quantum Mechanics on the Personal Compu-

ter. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo. 1989

[11] Siegmund Brandt and Hans D. Dahmen, Picture Book of Quantum Mechanics. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, London,Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona,Budapest. 1994

[12] Erion Gjonaj, Wave Packet Motion and Speed of the Signal in the Resonance Frequency

Region of Dispersive Media , Puna e Diplomes 1993

[13] Emiliano Papa, Shape of Refracted Wave Packet on Dispersive Media and two Distri-

bution Functions Related with it, Puna e Diplomes 1994

[14] Giuseppe Vitiello, Quantum Dissipation and Coherence. Invited talk at the workshopon Quantum-like models and coherent effects, Erice, Sicily, 13-20 June 1994

68

Referenca 69

[15] E. Celeghini, M. Rasetti, G. Vitiello, Quantum Dissipation. Annals of Physics 215,156-170(1992)

[16] A. Iorio and G. Vitiello, Quantum Dissipation and Quantum Groups. Annals of Physics241,496-506(1995)

[17] Y. N. Srivastava, G. Vitiello, A. Widom, Quantum Dissipation and Quantum Noise.

Annals of Physics 238,200-207(1995)

[18] H. Bateman, On Dissipative Systems and Related Variational Principles. Physical Re-view 38,815(1931)

[19] S. De Filippo and G. Vitiello, Vacuum Structure for Unstable Particles. Lettere al NuovoCimento 19/3,93(1977)

[20] Kaare Christian, The UNIX Operating System. Second edition, John Wiley & Sons,New York, Chichester, Toronto, Singapore. 1988

[21] Peter P. Silvester, The UNIX System Guidebook. Springer-Verlag, New York, Berlin,Heidelberg, London, Paris, Tokyo. 1988

[22] Leslie Lamport, LATEX Users Guide & Reference Manual. Addison-Wesley, Massachu-setts. 1986

[23] Rames Abdelhamid, Das Vieweg LATEX–Buch. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden. 1993

Dorian Diplom Alb

Documents