-
����� ��
��� �������DONALD E. KNUTH Stanford University
Illustrations byDUANE BIBBY
���ADDISON WESLEYPUBLISHING COMPANY
Reading, MassachusettsMenlo Park, CaliforniaDon Mills,
OntarioWokingham, EnglandAmsterdam · Mexico CitySan Juan · Bogotá
· SydneySantiago · Singapore · Tokyo
-
����� ���
-
����� ��
DZ����������
������������ ������� DZ��������� ��� ����������� �� ����� ����
���� ����� ������� ��������
��� ��� �������� �������� ����� �������� ��� ����� ������ ����
�� ����� ���������! DZ��������� ��"������ � #����� ���$�� �� ��
����� ���� ��%����� �����&���� ��������������� �������� �
������'�� �������#��� ��
���� ������� ����"���� � ������ ��(�� � ��� �����)����* � ��
���� ��� ��� +���� ������������ ����� ���(��� ����� ��� �� �������
� ������ ����������������� ��� �� ����� ��(�) ��(���! ,����
���� ��)� ��%���( ������� �������� ���� ��)������ ���(�
� �� ��(���� ����
��� ����� ����� ��������� ��� ������� ��������� ����������!�!
�����&���� ������� #��� ������� ��
������� � ������"����! -.��� ���� ������� ����� ���(��� �������
���� � ��� ��������������� �� ��� ���� ������ ������� ���$� �
����������� ��������������� ��� �����' ���������� � � �&���
���� ������ �� �����/!
0�� ����������� ��������
�� ��� ��� ��� ��� ������� � ������"����� ���$�� �� �� ��� � ���
������� ����������! 1������ ����������� ������� �� ��� ���� ����
������������ ��������� ������ ���"�������� ���� ������ �
������������ ������! 2�� �� ��� ���� ������ ���$� ��"������ � +��
���� ��%������ � ��� ��%����� � ��� "���� �� ����� �� ����(������
���������� � �������!3 ���� ��������
��� �� ������� ������& ��������� ��� ���� � �� �� ��������
���������� �� � ������ ����� �� ����� �� ������ � ���'�� ����
����
"���� ����� �
�� ��� �� �� ��� �� ��� ������ �����(�� +##������� ���������
���������� � ���� ���� ������ ���$�! 4���� ��������� ����� �����
+�� ����������� ������ ����� ����������� ����"����� ��'������ ����
��� ������
��� ��������� ����������� ��������� ���������! 5���� ������
�
��������� � ���� ����'�� +�� ������ ��� ������ �� 6�������
��"�����7� � ���� +��� ����' �� ������������! 8����� � ������
���������� ���$�� ������� ���� �������� �� ���
� ���
�������� ��+�� ���������� ���������� �� ��� ����(������ ����� ��
���� ������ ��&� ���
���!
2�� �� �� ���������� ��� �� ������ �� �
� ����� ����"
-
�� DZ����������
(� +�� ��� ��� ������� �� ��(� �����&�� ������� #���
������������������� �������! 0�� ����������� ��%������ ��� ��� �
��������+��� #�� ��� ����� ���� ��� ����� ��� �� ������� ����'���
������"������� �����&��� ���� � ��%����&���! 9������
���(����&)����� ����
��� ���� ���� ����� �������� ��� �� �������� �"���� ��� ����)�
���$� ������� ����)���& ���������� ���� +�� � � ��"���&���
���������! ��� ���� ��������
��� ��������� ����(�& ��������������� #�������������
�������� �� ���
������ ������������������ ������ ��(�� ����������� �!�! #������
�� �� ������ ���"���� ��������� ���������!
9������ ����'� � +��� ���������� ��������� +�������� �� ����'���
���
��
2�� �� ���� ������� � ������� ���� �������� ��������� ��� +���
������������� �����! 2��� �������� ����������� �� ���( �� ���������
������ � ���$��� �� �
� �� ��������� ���������� � ������� �� ������ ������� ������* �
������������� ����(������ �&�������� � ����������� ����� ��� �
����� ������������� �� ��� ���������&��� �� �����! 2 ���'
���'��� �� �� ������ ��(���� � �������� ������� �����! :� � ��
� ��� �� �&����������� ���� ��� ������ (����� ��� ����������
-��������� ���$�� � � ����������/!
DZ����� ��� ����� �������� ����� ��� ����� ������� ��� ���&��
�����&��� �� �� ����� ��� �������&� � ��������� ��)����
��"��������! 5���� �� ����� ��������� ��������������� ���$��� ��
��"���� ��� �� ������� ���� �� �
�� ������� � �� ���� ��� � ���������� ����������! 4�� ��� ���
������ ��� � ���� ����� ��� �� ���("�� ������� �������� ������'� ��
����� ������
������� ���������������� �� �����;������ � ������� ���� ����
���� ����������� � ����� � � �� ���������� ����� �������� �� ��
� �� ���� ����"
� ��(���! 9� ��� �������� ������� ������ ����(��! DZ���
����&") ���� ������ ��(� ��������� ����������� (��� � �� )
��������� �!�! 3 ������ �� ��������� � ������� ������ ����� ����� �
������" ��� �� ��( ����)�� � ���$�� �� �� ��������� �����
��������������! :�� ����� ��� ������� ��)���� ����������< �����
����
"�� ��������� � ����� ��� ��(� ������ ����� ��� �� ���� ����(!
9�
-
DZ���������� ���
�� �� ������ �������� ��� ����������� ��� �����&)��� ���
�������"����! =� � ����� �� �� ������� �������� ���! >���)��
������� ������� �������� �������� � +�� ����� �� ��� � ��(
��������������� ��� ������ ������ ������� ��� � ������)
����!
?���������� �� �����&����� ������� ����� ����� ��� �"���� ��
��� � ����< +�� ����������� ���� �� ����� ���� ��������� ���
���� ��� ���������� �� � ������� �����������!
->����������(������ (���� ������ ����� �� �� ��� ����� �'�����
����� �� ��"���� ����
���& ���� ��%�������� � ��+���� ������ �����
����������!/
1����� ���������� ���������� +���� ����������� � ��� �� ����
����� ������� ������! 5���� ������� ������� ���$� ��������
�#��"������� �������&��� ������ ��)� �������! 2���������� ��
������ ���
�� +�� ������� � ������ ���������! 2���)� ���
������ ����� ��"�� �� ���
���������& ��#����'�&�
� �����! @����� �� ���� ��+��� ���(���� ����� � �������������
������ �������� ��! DZ�"������� �� ������� ������� �� ����� ��������
��� ���� ���������������� +�� ������� ����&
�����!
1�� ����� ���� ����� ��� ������� ��� �� �� ����� ��
��������������� ��������� �DZ�����! 2���) ������������� �� �� "��
������ ��������� ��������� �� �� ���� ���� �� ����&
������������ ������ ������&��� �� �������� ���
���� ������ 6����������������7! .��� �� � �� � �(��� ������ ��
����� �� � ����������� ����! 9�� �� ������� ���������� �(���
�������������� ����� ��������� ����(�� � �����
! 1� ��� �� ������ �� ���� �(����� ��� ��������� ��� �� �������
����� �� @ � �������� ��!
8��� ���� �������� � +�� ����� � ���� �� ���� ������� ���"��
#�������������� ����� ������ �������� �� ����� ��������� ����"
��� ����! >�� ����� ������� ���� �� ����� ����� ���� ����
��"�������� ���AB� � �� ����� ������������ �� ���( � ���(!
1������������ ��� ��� ��� ������ ���������� ����� �!�! �� ���������
��(� ����( � ���� ���������!
C ��� ������������� ����� �&�� ������ ������� ��
�#����"�������� +�� 6����������& ����'�&7 ����� ����
���������& �� +��"�������� � ������������ ���� ������! =��
������ � 3�+�#��"� ����� ������� DEFG;HEI JKGLHKL M;NHOEFG;H� PÆKL
;Q DEREI SLTLEUKV�
-
���� DZ����������
WXY Z;U[;UEFG;H J\TFL] ^LRLI;[]LHF M;NHOEFG;H! C ��� ���
�������"������ @��������� �������
��� ��)���� �� ����� ��� �� ��������"'�& ������ ����������
���$� � �� �������'�& ������ HL_TILFFLU -��!����� �� `/!
�������� ��������� � 1! .! 5!��� ����
-
DZ���������� ��
DZ������ ���� �� ����� ���� ��������� ����� �� ������ ���� ��� �!
����� ��"� �� �����!
#�� � $ %�� �� � ��� �� & '��(�� � '��(�)�� ���� ��� �* ��+
�, ���-��.- �-����� ���-��. �� ��,
/DZ���� 0������ 0, 1,2� ����� 3�.���- 4��5� ��5 67��7- 8�9��:���
������
; �������� ����� �� �� :-��-��� ��� � �? ��=����� :� :���
7�9����. �-� @��5� +� �? ��������� =����� �-�� �� :�� �����5�5 :�
�-���5 @��� %��� ��
-
����� ��
��������
� a�� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b
� a����� ����� � ������ �� ��(��� ! ! ! ! c
� d������� ���$�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! e
� f��#�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! bA
� g����������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! hi
� ?����� � ���$�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! cb
5�� ��� ���� ��� �� �� ������ ! ! ! ! ! ! jA
2������ ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ii
� f��#�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ki
�� ?����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ab
�� ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ae
�� 5� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! BA
�� =��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! bli
�� 5�� ��� �������� ����'� �� ������ ! ! ! ! ! bbc
�� 5�� ��� ���� �� ����� ������'� ! ! ! ! ! ! bcc
�� DZ��� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! bii
� .) � �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! bke
� ,������< �������� ������ ! ! ! ! ! ! ! bei
�� 2������ �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! hhb
�� =������������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! hcA
�� 3������ ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! hkc
�� 2���������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! hAi
�� DZ�������� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! hee
-
�������� ��
�� >���� ���������� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! cbA
�� >���� ������������� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! cce
�� >���� �������
��� ���� ! ! ! ! ! ! ! cji
� a�������� �(���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! cic
DZ���������
� >���� �� �� ���� ���� ! ! ! ! ! ! ! cki
� >������ ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! jlc
� 3�������� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! jcc
� =������ �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! jce
� DZ����� #������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! jAc
� :����'� (��#��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! jee
� 3������ ������ �� #����� ! ! ! ! ! ! ! ibc
� DZ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ihc
� DZ������ �������� ! ! ! ! ! ! ! ! mmm
� >�%����� ���������� ���$� ! ! ! ! ! ! mmm
-
����� �
1
������
-
���� �� ��� ���� �
@������� ����� FLKVH;I;n\ -���������/ ���������� �� ��
���"�� ������ �����&)���� ������� τ�χ . . . * � +�� ����
��
��� �������� �������� ���������! >��&�� ��� ���� ������
������� ��������#���� �� τ�χ!
DZ����)��� ���������� χ � ���� ���� ��� ��
��� 6��7� � ���� �������� 6���7� ��� �� ��� ��#����� �� ������
6���7! 0�� �� ����� ��� 6KV7 � ����� (���������� ������� ��� �� !
��� ��� � ! � ��'���������� +�� �������� o � ������ �! 5���� �� ���
��(�� �����&������������ +�� ���������� ������� �� � �����
�������!
p�� +���� ���� ���� � �������(���� ��������� ���� �� ����"��
������ ���$� ����&��� ��������
������ ����
��� ��������!.�� ����� ��'��� � �� ��������� � ��������&�
��� +�� � ���
����������
���� ������! .��� �� ������ ����� ������� ��������� ����(�
��"������ ��"������ ������� � � �������� ������ �� �
��"������)����������� �� �� ������� ������ �����)! p�� ���$E �
�����������"#$�� ��
����* +�� ����� ����( �������� � ������� �� �����"������ ��
�������� �����
����� +��� ������������ ����� ���� ����� � ���������
����������!
2� �� ������� � �����& ���������� � ���� ���$�< ����� 6�7
��� ����� �� ������! 0�� ��)�� 6�7 � ����������� � ���� ��
������������ ������� ������� � +�� ������ ��� �� ��� ������ �����!2
�������������� ��� -����������� ��� �% &'/ � +�� �������"��
�%(� )*% +�,-% ���'����� ������������ #���� q;HL\_LII WHQ;U]E"FG;H
J\TFL]T! :�� ��� +�� ��� �������� ����� ������������
����(�����"�������� ��� ��� ��"������� ��� �� � ��������! DZ��������
���"��� ��������� ��� � �����&����� #�� ��� � ������ �������
������� �������&� �������� ���� 6�7 � +�� ������ ���! :���� �
���� ��"����'� � ���� ��� ������� � ������� ���� ���������� ���
��������������������!
����������� � �DZ��� ����� ��� �� ������ ������� +�� ������ ���
�� ����� ��������� ������r
F��� ��� ��G� ��H��� �-�C 5� 7�������C .�9� 9��C �����.�����?
�=? ����, ��5 ��:IE��.��5 ��"�� �� 5�������,
� " �#�� ��� �������� $$% & �'� &!( ����
J)����K $ ��=�� ������� ;����K �-� 9��C :��5 �� ��(� �-� �-���(;
%��� ����� ��H��
-
����� �
2
������ �����
� ����������� �������
-
���� �� ������� ����� � ��������� �� ������� �
5���� �� ����� ����� ������������ ��������� �����&���� ���
���"����� ��� �� ���� ��������� � �������� � �� '�#�� b �
����������� I! 4���� ������ ����&)� (�� � �����&
�������#��� �������"���� ��� ������� ����� ��� ��������� ����������
�� ������ ���������)��* ��(�� ������ � ��(�� ����'�� �����������
������� ����(� ����"
���� ������!
DZ� � ����� � ������ ��)����&� ��� ���� ����
�� � �� ��(�)��(��� � ������ ����! 1� ��( �����&����
�������� � ������������( ���������
� � ����� ��(�) ��(����� �������� ��
� �������������������� ����� ������ -�/� ������ �� sJZWW �
�������������� �����&��� � ��������������� �� �
�� ��������� ������� ����!>������ ��( �������� �������� ��� �
���� ��� ���� ��������� ����"
� � � �* ������ �� ��� ����������� ��� �������#! @���������
�����"����� ����� ���� �� ���& ������� ���������&
���"������ ���� �� ��������# ��� �����& ������� �������
��������� ��� � ��� �!
1�� ����
��� ����� ����� ������ ��� ����)� ���$� �� ���"��� ����� ��
�������� ������ �������)�� ����! 9������� �������
��� #����
6C ������&!7
-���&�� ����� ����
�/ �� �� ��(� �����&�� ����� �������
�� ��������
3���� ����� �������&)� ��(�)�& ��(����� �����������
�+��� ���������� ���� �� �� �� ������� ��������'�� ���$E� ������
����� �� ������ �� ��(� �������� ��� �� �������� ������ ������"��
�� �������� �������� �����&��� �� ����������� ������ ���������
��� � �� ���������� ������ �����������! DZ����� (��#�� ������"���� �
�������<
�������������� !"#$�%&'�()
*+,-�./0123456789:;?@AB
CDEFGHIJKL�MNOPQRSTUV�WXYZ
[\]^_`ab��cdefgh
DZ������ ��������! 2 ����� +���� ����������� �� ������
��������������� ����#�'��������� ����� ���$�� � ������ ��������
������"�� � ������ ������ �����<
ijklmnopqrstuvDZxyz{|}~
�����
.��� ��( ������� � ��
� ��� +��� ��������� � ���������* ��� ��" � �������� � � ���
���������� �� � ��� ���! 1�� �������� �������
-
� ���� �� ������� ����� � ��������� �� �������
���� � �� ������� ����� �� �� ���
������� �� ����� ���� ������"��� ����������� ������������ ������
� .��/��"0 1�2�� -���3& '4� %/
��� �� � ������ ��������� ��(� �� �� ����� �� ������
����������
�� ������ ������� ��� ���� ������ ����������� � �������� �����
���"����� ��������'�! 9� �� � ���� ������������ K��(��� �����
������
�� ������ ����� ��������� �
�����!
9���� ���� ��������� �������� �� ��(���������� ����� � ��"��(���
������ ���� �#�� � ����� �����! 2 ����( �������
������� �� +�� ������� �������! >���� ��)����&� �� ���(
��
��� ������ �������<
" �#�� ��� ���� ������t
����� ��� LH"��� -��� ����� ������� � ����� H/� ��� ��� L]"���
-��� ����� ������� � ����� ]/− ���� �����
1#��� ��������&��� � ��������� ������ ���� 6������"�"������7
� 6D"������7! �H"��� ��������� ��� �������� ���������� ���� �����
���6������'� bctcj7� 6���� ��� b!h!ktcj7! �]"��� ��� �� ������
����"���'�� � ����� ���� � +�� ��� �� �� ����� ������� �������
���!u��� ������ ����������� � #�������! 1����������� �����������
���$����� ���������� ������� +��
��� ��������! 2�� ��� +�� ������<
��� �#��� ���� ������ �#�� -T/��� LH"��� � ������ ��� �#���
-TT/��� L]"��� � ������ ��� �#��� -TTT/��� ����� ������ � ������
�#�� � �������
���� � �� -NTN/!
-=������
��� � �� ����&���� � �� ����� ������� �������* +������ �����
��� � � ��� �� +��� � ���� �����������!/
����������� � �>�%������ ��� ������� �� ���$ ����&)
����� �� � @���� �������<6C ����� ��������& LH"��� �����
�#���� ����� �������& � ���������"#�� ���� ����� ������'� ���
vjBltjeb$! 7 !
����������� � �4��� ��� �� ������ �������� ��� �� �������
��� �#��� ������r
.��� �� ���������� ��������� �� ����(������ ����(� ����"������
����� �� ������ ��� �� � ��������� �������'���� ����
����")�&���� ��� � ���� ����'! 9������� +�� ���������� ��� Q �
G � ����
-
���� �� ������� ����� � ��������� �� ������� �
wHO! :��� �������'�� ������&��� ��5��6���� -�,7��+8%'/� �
���#����"������ �����)�� ����� ��
� ���� ����� ���� �������'�� ����� ���..� .1� .4� ..1 � ..4!
-DZ����� +���� � ���� �� ����� ���� QGHO � �
������(� �������� � ����(����� ����� ����� ��� ������ ��� +���
���������)�� ���� � ����� �����"������ ��������! DZ����� �����������
���
���� �����'����� �������� ������&��� � ��������� ����* �
������������ �� �� ����� �������'��!/
����������� � �DZ������� �������� ������ ���� �)
�� ��������!
=��� ��� ����������< �� �� ��� �� ���� ���������� �
���������� ��� ����� ������� ����)����� � ������ �)���
�������������� ��"������� ��� �������� �� � ��� ������������� TT �
t! ,����
������� ���� ��� ������ �� �������'���� ������� ���� -���� �
���� & /������� ��� �� ���� ��������� ���� � ������ ��� �����
���� ��� ��(���������* +�� ��������� 9�����������
-&%83,37/!
3���� ������ ����� +�� �����! a�������� ��� ��� ����
���������� ������ �� ����� +��� ����� ��� �� ����� ��(�)
��(��"�� �� ����&
��� ����� �� ����� ���� ������������ � ������ ����"
�� '�#� b � �������� ����� �#��x���! ��� ���� ��������
������������� � ������ ���������� ����� ��� �������� �
����������!
� ��� �������� � �� ����� ��� �� ������ ���� ���������
�������
�� ������ �������������� ��� � �������� ����� ����� ��� ����
��!�� ��� ������ ����� � ���� ���� ���� � ��� �����" #������
����$!������������ � ���%� ������ ����$�% �� ���%�%� ������
��&%��%$�% ����� ������' ����'"(
� )�� �� ��*� �������� �� ������ ��� ������ �� ����� ��������
���� �� ������ ����� ������ ��� ����$!� ����� %�%��%
����� � �� �� ��� ����$!� ����� %�%��% �������" #�������� ���
���
�����$ ������" �� ���������
c49c49������c:9c:9
� � ����� ��� ��� ���� ������� ������ ����� �������
��������������� ������ ����� ��� ���� ��������� �� �� ����� �����
�����
��� ��� ����� � +,- ���� ������������� �� ��� �. �� ������� ���
���������� � �� ���� ������(" )�� �� ��� ���� ���� /� �� ���� ��
�������� ����� ���� ���� ���������� ������������� 0 ����� ��� �����
�����"1� ���������%� � �� �� ������� � �������� �������� ����� �
������� ����� ����� ������ ����%��% ����*� ����� �� �� ��� �� �����
������ " �� ����� .�� �� ������� %�%��% ����� ������ ����� ��� ���
���� ��%����% ������� ���������(� �� ���%�� ��� ����� ��� ��������
����� ���%!�� ������" 2 ����� ������� �� ���������� �� ��'��������
����� ����� � ����� �����% ��*��� ���*� ���������� ���
-
� ���� �� ������� ����� � ��������� �� �������
�� ���*� � ��� ����� ������ 0 � +,- ��� ���� ���� ����$ ����� �
������ ������� ������% �����3 4�*����� %�%��% ����� ����������� �
���
������� . �"
� ����������� �
5��� ����� �� ������ ��� ����� �. � . �6 � ��� ����� � 7 � 7�
�
� ����������� ��DZ����� ��� �� ������� ���� ��� ������� �������
�% ��*���%
������� �������' ������� ����� ���� ��� ������������ ���� '���$
����������$ ������� ������% ���� ������(�
-
���� �� ������� ����� � ��������� �� �������
N ��� �H���� � �?�
-
����� ��
3����������
������
-
���� �� ���������� �� !�� �
5���
���� �����( �� ��( ��������� ���( ����
���� ��������� ��"���� �� �� ����� ������! 1�� ����� ���� ������
������
���& ������"���� ��������� ������ ���� �� ��������� ������
�� �� � �������� ��"���������� ��� ��'�������� �������� � ���������
#�5����"� #������ : %' �4% !�8� �%8;! 5���� �� ����� �����
��"������� �� �����"��� #������� ��( �������� ��� �� ���������
���������� ��������������� �� ��� �� ����� ��� �������� ����� �� ��
����� ��������������� ������!
DZ������! 9������ �������� ��&� �����(�� ���
���&v�$�$� �� +�� �� �� ����� �� ��( ��������� ������� 0��
�����(�� ��"����� ������� ��'������ ����)�� ����'����� ������
��+���� ������
� ��� �� ��������� 6���������� ��������7 � ������
����"������!
��� �������� ������������ ��� ����������� ������� �&��
���"���� �� ����� ��� +��� '� ������ ������ vc$ � 6��������
�����
���7-6yEKzTIETV7/� ��� ��� �������& ����&
��� ������ ������� � ��� ������ �� � ������ ����! {�(� ���
������� ����������� ���$E ��"����&� ������������ ��+���� �� ���
������� +���� ����������� �� ������������� ��������� ������
�� �������& ����&
���!
9����������� ���� vc$ -�!!� ������������ ����
������������������/ �� ����� �������� ������)�& ���$�� �� ��
��
� � ����!:��� ������� ��"�������� ������&��� �3�8�� '%
-
�� ���� �� ���������� �� !��
����!:��� ������� ��� c� ������&��� ���������� ��������� -
�3�8��
'?@���/* ��� ������� �� ����������� ������� �� ����&) �� ���
��269�0!2 +��� ���� ��� ����� ���� ������� ������� �� ������
������� ������� ���� ����� � �� �� ��� ��� ������� ������� ����
����� ���� ������ ����������� ������� � ������� ���� ������!
����������� � �4�� ������� ��������� � vc��5
c�@�:,1;�F�DccZ$r
����������� � �=� ������ �� ��� ������� !c�74A*� �� ��������
}~;I\E! =� � ��������� ���� ��� ��� �� ���� ������� #���'�����
����� ]EFV~L]EFGNL� KLHFG]LFULr
5���� ����� ����� ���� ���������� ������ �� ��������������$���
�!L! � �������������� ��� 6������7 ������ ������� �)���������
��������! 9� ����� ����� ����� ���� ���������� ���������� +��
������)� �����!
:��� ����� ������� �� ������ ��� ��� ���������� ���� ��"�� ����
���������� ����� �������� �����r =� ������ ��� � �� ���������� ���
� ���
�������������� ������ ��� ���� ������ ��+�������� 6������ ���
������7 �� �������! DZ��������� ������ ������������ 6����������
�����7� � ������
c
-��������� ������ � ������&)�� �������/* ��� ���� ����������
+����� ������ ������ � �����������! >������ �� ���������� ������
+�� ������� ������� ����� �!! �������� ������� ��� ��� ��
�������"��� �������� ����� ���� ������ -/! 1�� ��������������
����������&��� +������������ ������ ������� ��+���� �����(�
������������������� ����&)� �� c� ����� ��������������! 9� ���
�� ������ �������� ��������� ��� �� ��� �������������� ������� ��
�� "� ����� ccc! = �� ������ �����)���� ���� ��� ������� ��
��������� �� ���'�� ����� ��� �� �� ������ ��� � �� � ���$� ���
���"������ ������ ������ ���
(����� ����� � ����� ������! :�� ����� � �� �� ������������ �
����
��� �������� ������ �� ������!
� 1�����$!�� ��������� ������ ��� 〈9:;���� ��� � �� ��
���������� 6���������� ������7� ������ ������� ����� �� �� � ���'
����! 9� ��� ������ ������ �� �
-
���� �� ���������� �� !�� ��
������� ������� ��� �� ���� ���< +�� ����������� ����
�����������$��� � � ��� ����� � ���� �������� ���� +����� ���� �
������������ . �������� ����� � ����! 3�)����� ��'������ ��������
�����
c���
������ �������� � �����& �� ��� ����� ���� �������'�� ������
�"�������� ��� ������ +����� ���! 5���� �� �� ����� #����� ���
6������������ ������ ���� ��������� ����!7 �������� ���� ��
� ��������<
c���c �� � � ����� ��
>����� ������������ c� ����&)� �� c���* +�� ���
���������������� ������ ��������� ������ �� ��� ��������� ������
���� ��"������� ����! �� +���� �������������� c � �������� ����
��
������������ ������ ���� ��������� ����!
3 ����� �������� �� � �� � � �&��� ������� ������ ������� c
����c���! 9������� ���������� #����
��� �c�����
2 +��� ���� ������������� �������� �����
��� ����) � �������*����������� ��� �� ����
��� �c���c�V
�� ������ ������� ��������! =� � �� ������� ���� ��
�������r>���< c�� +�� �������� �������&)�� ���� ��'����
��� � ���� !c�74A*�� ���������� ��( ������� ��+���� � ��������
�������� ���� ��"'��� ��� ����&)�� ������� ��������� ������ �
������ ���� ��������! 1������ �������� �� ������ ���� � ��'���� �
���� ��������<
+����� v���~!
5����&�� �������� ��
� �������� �������'���� �� � ����� ��(������!
��� ������� ����� ell ������ ��� ���� ����� ���������� ���"�����
� �� ��� � ������ ���������� ��"������ ��%�����! 9� ��� �
������������ ���� ��� ���� �������� ������� ������ �� �
��������"����� �
�� ����� �� ��� ��� ������� � ������������ ���� ������ ���
��������� � ������ ��� ��� ���������! ���
����� ��� �� ������� ������ � ������������� ������� �
����������� ������ �����"���� ��� �� �� � ���� ������ �� ������
��������! 9������� ������������ � +�� ������ ���� ��'�������
��������� ����������� � ���"����
���� #�������* �� ������ c81� � ������ π� �� c!1 ������ ���
c*4�80 � ℵ� �� c16.
-
�� ���� �� ���������� �� !��
� � �������' �� ��!����� ���������� ������ ����� ����������C:( �
������� �DEF:9B>C:( �������" � 1������� �� ��� ��� �
�� G �� ���� �����' ��������' ����"
>���� ell ������� ������ ������ �� ���� ���������� �
�����"�������� ) � ��� ������ �� �� ���� �������� ) ����(!
9����"��� ��� �� ����� ������� �������
��� ������� ��(��� �������"���� ���&������� ������� �������
������ ��� ��
���������� �������� ������� ������ +��< ����� hl ��%������
���!
>���� cll ������ ���$� ������&��� 1����������* +��
+������"�� ����'�� ������ ������� ������� ������ � �������&���
�� ���
���"��� #���'��! 2� �������� �������� � ������ �
�� � �����������������! 9������� c168=���� ��(������������
������� �������� ������� ������ ������ ��%����&�� �������������
�������� ����� ����� ���� �� �� ��� �������� ����������� ��� ��
���� ���������! 5������ �������� ������ ���� ���������� �� ��������
� ������� ����������! 9������� c��� � +�� ��"������ �������
������< 6������ +����� ���7* c�� �������� �����"&)��
6������� ���� ��'��� ��� ����&)�� ��������7� � �� +��
������������ �������� �������� �������'� ����������� ����� ������
���������! .��� ���� ������ +����� ���� ������ �� �� ���� ��
���"���� ������ ���� �������� � ������� ��������
��� ��������� �����! 9�������� ���� �� ��������� �������
����
���� ������� ����������� +�� +������ ��� �� ��� ���������� �� ��
���� ��� ��������"�������� ����������!
9� ) ���
������� ����� ��������� �������� ������ �����"��&� ��)�
#����� ��������! 9������� � ����� ���� ����� �����c�@�:,1;�
������������ ��� ������ �� ���� ���� ����* +�� �����"�� c�@�:,1;�
���� ����������������� ���� ���� ��������� ��� ���������&)�
����'��<
�������� ���� ���� ���� -�!!� vc!h$ ��� ������� ���� ���������
c/*
�������� ��DZ������� � � �������)�� (��#��� �� ��"����� ����� � �
��������� ������ � ��� ���� ����*
�������� ������� ������������ ����� ������������ ���+�� ������
���� ��� �������� ����� +�� ������ ����& ����"��'�*
�������� ����� ���� ������'� ����� ���� +�� ������*
����&��� ����'�� ������ �� ����&) �����!
-
���� �� ���������� �� !�� ��
>
������ ������� ��� ��� ����� ��� +��� �������������� �������'���
�� ���! @ ���� ����� ��� ����������� '����� ������� � �������
��"���� �������� ������� ��� �� � ���� �������� � ����������
��������#������� ������� ������� ������� �& ��� �������!
� H�� ����� �
��� �������� +,-.� � ������� ������ ��� �������
��� ��� ������� �������� �����%� )�� ��� �������I �J(
#@�����
������� ���� ���������� ������%� ��� �������� ������ �����������
������ ������� ������ �������� " �K( �� ����� ������ �������
���������� ����� +,-.�" )�� �� ������ �������� ��� ��� 0 �������%
�������� +,-���� �� ���!�� ��������" 1�������� �������� ��� 7�
����������.������ � ���� 0 �� �������" 2 ����� ������� �����������
���
� ��������������������� �� !�� �
L� ������� � ������� ��������� ��� ����������� �% ����� �� !��
"����% ���������� �� ����� �������%� � ����� 0 �� �������"
4�����
���� ��%�%��% �� ��*�� ������� � � ���������� @� �� ����� ��
���
��� ���� ����� +,-.�"
� ����������� ��H���% �� ������ �� � �〈9:;�"����� �� ��� �� ����
������ �� ������� ��� � +�� ������ ���� ����������� #��������
������ ����� ���� ��������������� �� ��� ������������* ��� ��� �� �
����"������ ����� #������ ����� �� ����� ������������ ���� �� ��
���� ��������� ��� �� ���� � ��� �� ��!{�(� ���� ��� ���
��� � +��� �������� ����� � ��������� ���$�� ��� �� ����� ���
����(�� ����� �������� ����� �� ��������!
� DZ�������� , ������� ������� @������� ������ ���� ���
������
��� � ��������$ M �% ���������' ��������' ����6 ���������
����� ��������� � ���'��%!�' �% ����� ���������������" DZ���%
�����@������% @������ �������������� �% ���� ���� ����������� ����
��������%� ��������� ," N�� �� ��� ��*� ���$ %�%��% ������� ����
��� ��������� @����� +,-.�� ��� ����%��� ��'��� ����� ��������� ,
������������� ��������� ��������% M" H ��� �������� ��� ��
��������� ���� � ������������� ��������� ������� ��� ����%���
���������� �������� @������ ���
���� ��'�% ���������� ������ $��� ��� ���� ���� �������
��������� ����� ����������� ��&%��%$!�� ��*� ������"
-
�� ���� �� ���������� �� !��
>������� '�� +��� +������ ����������� ������� � �������
�� � ���$ ���������� �� �� �������� ����������� �������! 5�"���
+�� ����������� �������� �� ��� ��� ���� 6��������� ���$�7�
+��������� �� ��� � ��������� �� ��������� +���� ���� �����
���"�����< �� �� ������� �������� ������ ���� ��� ���
������� ������ ��� X! 9� ���� �� � ����� ������� �����
���� �����)������� �� � ������� ���� ����� �� ������� ���������
���$�!
������������� �
2����� ���� ��� ������' ������ ���� K ���$�% ��������
�����(� 2����� ���� O�
-
���� �� ���������� �� !�� ��
0� � =����� �����, 6C���'��� .�9��� �-� :���5,� ���� ������
����� ���� ����
` � =����
-
����� ��
4������
-
���� "� #��$�� �
2��� �� ����� ��� ����
��� ���� �� ������ ���� ���� � �����"��� �������� ��� �� �����
������������� ��� �"����� ��"������!��� ��
� ��� � ��������� ���&�&)��� �� hik ��������� ������
����"��&��� (��#����� � �� ������� ��������&���� ����
������� ��������(��#�! 9������� �� ����� �� ������ ������� ��������
���� ����������� ��� +���� ����'�� ��������� ������� ��� �� �����
��� X� ��"��&)�� �������<
���� c+. �� c:5 c;4 c:5 �T��
9������ ��� ��� ������� (��#��� ������������� ����&)�
��"�����<
c:5 � ����� �������� (��#�< �������� -U;]EH/c;4 � ��������
�������� (��#�< ��9���"0 :'��3�%>;c1< � ������< �%����
&'()*'+,c
-
� ���� "� #��$��
�������� (��#�! 5����� ������� ������� c:5 �� �� ���� �����
������� �������� � ���������� (��#��� ��+���� ��� �������� ���
+��"�� ���
���� ������� ��������� ������ 6#������ ������7 ! 2� �� "�
���&��� (��#�� ������ ��'������� �������� a � b� �
����������(��#��� ����� �! 9������� #����� ��������� � ���� +��
����������� ������ ���� ���<
���� ac+. ��b ac;4 b �T��
0�� ��'������ ���� ��) ��� 6�������������7� ������& ��
�������� ����&) ����! {�( ���� ������ � ����� ������ �������
(��#"���� � ����� +���� ������������ ������������! :���� ��(�
����������������� ���� �������� ���
�������� � ���� �������� ������� ����� ���� ������ vc:5$!
����������� � �>�%������ ��� ������� ���������#�
���& ������ vIUGKV ^GLFLU� E�+83��FG+8 >,% 8%,3% +3>
�37%=�3>�% H��!%@��,& ��� -beie/� cAtAl!$
a��������������������!
2 ������)� ���� ���� �� ����� ��������� �� �� ����� ��"
����! 2�������� �������� �� �%������� � ��9���"� ����� � +���
���"�� ���! :�� ��� �������� � �������� (��#�� �������� �������
��������&� �� ������� ������ �����&� +�� ����� ��
����&)�� �� ���������� ����� � �������� ���� ���� �����&���
���(��� ������� ������� � ��������� ����������� ������ ����! 1��
������������ +##����"���� ���� ���� ��� �������� ���������
��'������& ������� ce �������� ����&
��� ������� �� ��������� �����! 5���� �� ������"�
ac1< �ceb ac;4 �����ceb ��V
�� ������ �%������� � ��9���"� ������ �� �������� ��(!
5������vce$ �������� ���$� �������� � ������) ���� 696�#���6�
11���967�������)�& �� +�� �����! 0�� �������� � �������
��������� (��#���� ����� f ������� �
��� ���� ����(�
� ��� ����� c!
a����� ��������� �������� � �������� ������ �� ������������(����
�������&� ����� #������! 3���������� ������� ����"���� ce
������������ ��� ������� �� ���������� ��� ����������(��#�� � �����
(��#�� ���� ������ ����� ����&)� ������ ��� ��"�� ��� �������!
9������
ac1< ceb ac1< �b�
3���� ����������� �� ����& �������� �� ����� �������'�� ����
�������� �� ���� ���� � (��#��� �� � �����/ �� ��������� ���� �
������
/ 0 12345 ���� 65789 49:5;32�
-
���� "� #��$�� ��
���� �������� ������ ��+���� +�� �����(�� ������! 5����
������������� �������� ������������ ��� ���� � ������� �����
�����"��� ������ ac1< ��cebX!
����������� � �0-1������/ ��� ���������2 ����� ����� � �
�������� �%�������� ������3
����.
� P ����� ����� ������� *��@� �����% ��������% ���������
�����$�� ����� ��$��� ����% �"" DZ������� ����� ����� ��$ �
��������
��' *��@�' ����� �� ��!����$ � ���$���%I ��� ������� ������ 7�
.� ������'� ���� ������ #$%&'( ��)* *�"�� ���� ������% ������
�"
������������� �Q������� ������� �� ��� ��� 7�� �. ����!��
��������$ �������
�� ������ c � ������ +,-.� �+���,"
�� DZ��������% ������� �����*��� �������� *��@� ����� �� ����
�������" L� *��@ ������ ���������� ��� �� �� ����� ������
������ ������"
f��#�� �����&��� �� ����� ��� � ��� � �� #���! 9����"���
(��#�� ������ �� ��� ����� ��������� 6(��#��� � bl ����"���7�
������ �� ������� #����� �� ��������'�� ��� �� �'������ �������
����'��� ��&� ������ � bl �������! -=� ���� ������
����"����& ������ ��� � � ���� ��������� �������� �������� ��
������������ +���� ����� ��� ��&� ������ ���� � bl �������� �
��� � (�"���� ���� � bl ������� ! ?����� ���
��� ������ 6�������� ��������7�� +��� ���������� ��������
(��#��� � e �������� ������ �(��#��� �B �������� ������ � � A
������� ��� k �������� �������� ������ � �i �������!
5� �� (��#� � �������� ���$� ������ � ��������
��������bl"�������� (��#� � +��� ����� ������ c
-
�� ���� "� #��$��
� �����'������� ����'����� �������� � ����� ����� ����� �)!
2��"�� ��� ��+��� ������ ����� �������� ����� ���� ������ �����
������������������� ����)� ������ ��������� ���� ������ (��#��� ��
� �����"�)
���� ���� +��������� �&��� ������ ���� �&�����
(��#������ ���� ���� �����������! 9 ����� ��������� �����
�����& ����&
���(��#�� �� ��� ������ ������!
2��������� ������ ���� ��� � ���� ���)�� ������� �� ����� +��
����� ����������� �� c:5 � +�� �������� ������� ���&����������
(��#�� � �����
�� �������� �� +�� ���� c
-
���� "� #��$�� ��
�% �� ���� � ��!����� � ��*� ������� �������� *��@��� ��
��������������� �*���"
� [��� ��� ���������� ���������� *��@ ��������' ������'
���������� �������% �� �����% ����������� �������" H���� *��@
���� �� ��������� ������� ������� ����� ������ ������� �����
������!� ���� *��@� �� ������$6 ��������� ������� ������ *��@�
���-0 W ������" 1� �� �����' ������' ��!����� ���� ��������
��������� � ������' �� ����� ���������� ���������� *��@� �����*�%
�� �������% ����������" [��� �������� *��@ ������� ������� � ���%�
+,-.�� �� �������������� �*�������〈���*��� ��% *��@�〉 �� 〈������
������〉" 1���������������
�*������.�*�+*/�������0 �� �,�
��� /�������� RESA= *��@ � �������� ����� ���*�� ����������"
�DZ�������������I ����� ��� ��� ���������� �� 7��.� ��
����������������%� � �������� �����!�� ����������� *��@ �������� �
������� ��� ���6 +,- �������� $�� 〈������ ������〉� ����� ���������
����*�� �� K\]^ ������� �� ������ ������ ���� ������������
������*�������� *��@ ������� �� ���� ��� ����("
� H����� �����% ����� ���0 �� �,� � ������ *��@�� � J\
�����������,� 5' �����6 '���*� ��������������� *��@ � ������'
����
����' ��*��% ����������6 � ����� ��� ��� �*� ������ ���
���������������� *����� � �����"
1������������ (��#� �������� �� ����
����� ����������"���� (��#��! >���� ��( ������ ����� �������
������ (��#�������������� �� ��������� ������� ���� ������ ����� ��
��������#������#�
��� ����(��� ��� �� ����� ��� ��� ����� �� �����������������
+##���!
� X���� ������ ������ *��@ 0 �� ������ ���*��" 1��������
��������
�*������.�*�+*/�������0 �����+ 1,,,
�� ������ ������ ������ *��@� ���0 �����" _��*�� � +,-7� ������%
������� ���� ������ ���@@������ �������%� ����������� �� J\\\" N���
����*�� JK\\ ������ �������� � J"K ����� � "�"
� ����������� �P����� ��� ������� �������� *��@� ����, � ���%�
+,-.� � �������
��� ���������� �������"
� Q������� ������� ���� *��@� � ���@@�������� �������%�
������%$!��� �����������$ ���������$ 0 ��� ����� '���*� �����
��������� ����� �� ��%%" 5��% � ��� ��� ���� ��� �������� �
�������������� *��@� ���� � � ��������� J"K � J"]] �� ��� J.K×J.K(�
� ��������
���� � ��������� J"`K^ �a J.K × J.K × J.K( � ���� ��*�" N���� ��
�������������� ������� � ���� � J"K �� J"]] ���� � ��� �!� �������%
�����
-
�� ���� "� #��$��
������ �������' *��@��" 1����� +,- ������� �����������
���.���,�% ���*��� J\\\� ���.���� �% ���*��� JK\\� ���.���1 �% J]]\
� �� ������ ���.���0" 1�������� ��� �������� *��@ ����, � J.K×J.K
��� ������������������ �� �������
�*����).����������, �����+���.���1
60�� (��#� ,5:DC � ���������� ����� -c5*/;
-
���� "� #��$�� ��
a��^�? $ ��� � �O� G�* $ ��G� �C�� E�7��$��(� ��������
E�7��$-�9��������
-
����� ��
5�� ����������
-
���� 4� �%���������� ��
2��� �� ����� ��������� ������������� ���� �������� ��� ����
��"��'�� ��+���� ��� ���� ���"�� �������� �� +�� ���� ��������� �
���������! 1�� +�� '�� ��� ����������� ��'������� �������
���6������� �������������7� -��� � ��� ��������� ������ /� ������
����"��&��� ���
�
� ����� ������� ���� �������! 2 +��� ������������ ����������� ��
��������� ������������� ��� �� a � b� �������������� ���
��������&��� � �������� ���$!
=� ����� ����� ������������� � ������) ����� �� �����"������� ��
������ (��#�� ������ ������ � ����� �� (��#� ��
!5�� �� ������ ��� � ��� ����'�� ��������� ���� �� �����
����������� ������