Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-Approximation FreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastiz Lineare Elastizit¨ at Dominik Woznica Universit¨ at des Saarlandes 05.02.2016
Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-Approximation FreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastizitat Quellen
Lineare Elastizitat
Dominik Woznica
Universitat des Saarlandes
05.02.2016
Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-Approximation FreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastizitat Quellen
Gliederung
1 Modellierung elastischer Materialien
2 Variationsformulierung
3 Galerkin-Approximation
4 FreeFem++
5 Ausblick: Lineare Thermoelastizitat
6 Quellen
Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-Approximation FreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastizitat Quellen
Erlauterungen
Lineare Elastizitat:
tritt bei kleinen reversiblen Deformationen auf
wird durch das Hooke’sche Gesetz beschrieben
beschreibt auch Spannungen innerhalb eines Materials
wird in der Strukturanalyse verwendet
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Cauchy’sche Gleichgewichtsgleichungen
Es sei Ω ein Gebiet in R3 und ω eine beliebige, offene Teilmengemit glattem Rand ∂ω und außerer Normale n.Auf ω wirken zwei Krafte:
Volumenkraft (wirkt auf das gesamte Gebiet Ω)Diese wird beschrieben durch die Kraftdichte f
Oberflachenkraft (wirkt auf ∂ω)Diese haben die Form
σ · n,
wobei σ der Spannungstensor (Tensor 2. Ordnung) ist.
Wegen Drehimpulserhaltung folgt, dass σ symmetrisch ist.
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Aufsummieren der uber ω integrierten Volumen- und uber ∂ωintegrierten Oberflachenkrafte ergibt die resultierende Kraft F aufΩ
F =
∫ωf (x)dx +
∫∂ωσ · n dSx ∈ R3.
Wende den Gaußschen Integralsatz auf das Flachenintegral an underhalte ∫
∂ωσ · n dSx =
∫ω∇ · σdx ,
wobei ∇ · σ =(∑3
j=1∂σij∂xj
)i, i = 1, 2, 3.
Damit gilt
F =
∫ω
(f +∇ · σ)dx .
Im Gleichgewicht gilt F = 0.Da ω beliebig war, gilt f +∇ · σ = 0auch auf ganz Ω.
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Materialmodell und Hooke’sches Gesetz
Die Verschiebung eines Partikels ist definiert durch den Vektor
u(x) = x − x0, ∈ R3
wobei x die momentane Position und x0 die ursprungliche Positioneines Partikels angibt.Unter der Annahme, dass nur kleine Verformungen auftreten,beschreibt der Verzerrungstensor ε das Maß der Deformation:
ε =1
2(∇u +∇u>)
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Das Hooke’sche Gesetz setzt Spannungen und Deformationen inVerbindung. Es gilt allgemein
σ = Cε
C ist ein Tensor 4. Ordnung mit 36 unabhangigen Komponenten(elastische Moduli).In isotropen Materialien werden 2 elastische Moduli µ, λ(Lame-Konstanten) benotigt. Ist der Korper vor der Deformationspannungsfrei, so vereinfacht sich das Hooke’sche Gesetz zu
σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I ,
wobei I die Einheitsmatrix im R3 ist und
µ =E
2(1 + ν), λ =
Eν
(1 + ν)(1− 2ν)
E : Young Modul (Steifheit eines Materials),
ν: Poissonzahl (Querkontraktion).
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Das Hooke’sche Gesetz lasst sich auch vereinfacht schreiben als
σ = Cε,
wobeiσ = (σ11 σ22 σ33 σ12 σ23 σ31)>,
ε = (ε11 ε22 ε33 2ε12 2ε23 2ε31)>
und
C =
λ+ 2µ λ λ 0 0 0λ λ+ 2µ λ 0 0 0λ λ λ+ 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ
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Lineare Elastostatik
Werden die Cauchy’sche Gleichgewichtsgleichung und dasHooke’sche Gesetz miteinander kombiniert, erhalt man ein Systemaus zwei vektorwertigen partiellen Differentialgleichungen in denUnbekannten σ und u.Um eine Losung zu finden, werden Randdaten benotigt:
Dirichlet-Randdaten fur u: u = gD auf ΓD
Neumann-Randdaten fur σ · n: σ · n = gN auf ΓN
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Das Problem in der linearen Elastostatik ist den Spannungstensor σund den Verschiebungsvektor u zu finden, sodass die Gleichungen
−∇ · σ = f in Ω
σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I in Ω
u = gD auf ΓD
σ · n = gN auf ΓN
erfullt sind.
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Variationsformulierung
Sei V = v ∈ (H1(Ω))3 : v |ΓD= 0. Multipliziere f = −∇ · σ mit
v ∈ V und integriere uber Ω∫Ωf (x) · v(x)dx =
∫Ω
(−∇ · σ(x)) · v(x)dx
=
∫Ω
3∑j=1
∂σij∂xj
(x)
i
· v(x)dx
=3∑
i ,j=1
∫Ω−∂σij∂xj
(x)vi (x)dx
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Einfuhrung des Frobenius-Skalarproduktes fur MatrizenA, B ∈ R3×3
A : B =3∑
i ,j=1
AijBij
und anschließende partielle Integration ergibt:
3∑i ,j=1
∫Ω−∂σij∂xj
(x)vi (x)dx
=3∑
i ,j=1
(∫∂Ω−σij(x)nj(x)vi (x)dSx +
∫Ωσij(x)
∂vi∂xj
(x)dx
)= −
∫∂Ω
(σ · n)(x) · v(x)dSx +
∫Ωσ(x) : ∇v(x)dx
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Mit der Neumann-Randbedingung σ · n = gN auf ΓN und v = 0auf ΓD folgt∫
Ωσ(x) : ∇v(x)dx =
∫Ωf (x) · v(x)dx +
∫ΓN
gN(x) · v(x)dSx
Mit σ : ∇v = σ : ε(v) und dem Hooke’schen Gesetz (siehe Tafel)folgt schließlich
2µ
∫Ωε(u(x)) : ε(v(x))dx + λ
∫Ω
(∇ · u)(∇ · v)(x)dx
=
∫Ωf (x) · v(x)dx +
∫ΓN
gN(x) · v(x)dSx
Somit ergibt sich letztendlich die Variationsformulierung.
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Variationsformulierung
Finde u ∈ V so, dass
a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V ,
wobei die Bilinearform a : V × V → R und die Linearform` : V → R definiert sind durch
a(u, v) = 2µ
∫Ωε(u(x)) : ε(v(x))dx + λ
∫Ω
(∇ · u)(∇ · v)(x)dx
`(v) =
∫Ωf (x) · v(x)dx +
∫ΓN
gN(x) · v(x)dSx
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Existenz und Eindeutigkeit der Losung
Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen. Zu prufensind die folgenden Punkte:• Fur die Bilinearform a(·, ·):
Bilinearitat
Beschranktheit auf V
Koerzivitat
• Fur die Linearform `(·):
Linearitat
Beschranktheit
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Benotigte Hilfsmittel
• Normen fur A ∈ R3×3, b ∈ R3
‖A‖2V =
3∑i ,j=1
‖Aij‖2H1(Ω), ‖b‖2
V =∑i=1
‖bi‖2H1(Ω),
‖A‖2F ,Ω =
∫ΩA : A dx , ‖b‖2 =
∫Ωb · b dx
Korn’sche Ungleichung
Es gibt eine Konstante C so, dass die Ungleichung
C‖∇v‖2 ≤ ‖ε(v)‖2 =
∫Ω
3∑i ,j=1
εij(v)εij(v)dx
gilt fur alle v ∈ (H10 (Ω))3.
Bemerkung: Ein vergleichbares Resultat gilt auch fur v ∈ V
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Beweis der Korn’schen Ungleichung
∫Ω
3∑i ,j=1
εij(v)εij(v)dx =
∫Ω
3∑i ,j=1
(1
2
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
))2
dx
=1
4
∫Ω
3∑i ,j=1
((∂vi∂xj
)2
+ 2∂vi∂xj
∂vj∂xi
+
(∂vj∂xi
)2)dx
=1
4
∫Ω∇v : ∇v dx + 2
∫Ω
3∑i ,j=1
∂vi∂xj
∂vj∂xi
+
∫Ω∇v : ∇v dx
=
1
2‖∇v‖2
F ,Ω +1
2
3∑i ,j=1
∫Ω
∂vi∂xj
∂vj∂xi
dx
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Die Behauptung folgt, wenn
0 ≤3∑
i ,j=1
∫Ω
∂vi∂xj
∂vj∂xi
dx
gilt. Zweimaliges partielles Integrieren und v = 0 auf ∂Ω ergibt
3∑i ,j=1
∫Ω
∂vi∂xj
∂vj∂xi
dx =3∑
i ,j=1
(∫∂Ω
∂vj∂xi
vinjdSx −∫
Ω
∂2vj∂xi∂xj
vi dx
)
= −3∑
i ,j=1
(∫∂Ω
∂vj∂xj
vinidSx −∫
Ω
∂vj∂xj
∂vi∂xi
dx
)=
∫Ω
(∇ · v)2dx ≥ 0
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Bedingungen fur Lax-Milgram
• Beschranktheit von a(·, ·) mit Cauchy-Schwarz
|a(u, v)| ≤ 2|µ|∣∣∣∣∫
Ωε(u) : ε(v)dx
∣∣∣∣+ |λ|∣∣∣∣∫
Ω(∇ · u)(∇ · v)dx
∣∣∣∣≤ 2|µ|‖ε(u)‖F ,Ω‖ε(v)‖F ,Ω + |λ|‖∇ · u‖L2(Ω)‖∇ · v‖L2(Ω)
≤ C‖∇u‖F ,Ω‖∇v‖F ,Ω ≤ C‖u‖V ‖v‖V
• Koerzivitat von a(·, ·)
a(u, u) ≥ 2µ‖ε(u)‖2F ,Ω
≥ C‖∇u‖2F ,Ω
≥ C ′‖u‖2V
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• Beschranktheit von `(·) mit Cauchy-Schwarz und Spursatz
`(v) =
∫Ωf · v dx +
∫ΓN
gN · v dSx
≤ ‖f ‖‖v‖+ ‖gN‖ΓN‖v‖ΓN
≤ ‖f ‖‖v‖V + C‖gN‖ΓN‖v‖V
= (‖f ‖+ C‖gN‖ΓN)‖v‖V
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Eine Besonderheit bei der bevorstehenden Galerkin-Approximationist die 3D-Netzgenerierung. Betrachte als Beispiel dieDiskretisierung eines Quaders in drei Dimensionen durch einTetraedernetz Th mit Hilfe von freefem++.
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Galerkin-Approximation
Jede Komponente von u soll mit stuckweise linearen und auf ganzΩ stetigen Funktionen approximiert werden. Sei Th = T einTetraedernetz auf Ω und
Vh = v ∈ V : v |T ∈ (P1(T ))3, ∀T ∈ Th
Die Aufgabe lautet: Finde uh ∈ Vh so, dass
a(uh, vh) = `(vh) ∀vh ∈ Vh
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A priori Fehlerabschatzung
Die Finite-Elemente-Losung uh erfullt fur u ∈ (H2(Ω))3 dieAbschatzung
‖∇(u − uh)‖ ≤ Ch|u|(H2(Ω))3 ,
wobei C eine von u, uh und der Schrittweite h unabhangigeKonstante ist.
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Beweis der a priori Fehlerabschatzung
Aus der Koerzivitat von a(·, ·) folgt
m‖∇(u − uh)‖2F ,Ω ≤ m‖u − uh‖V
≤ a(u − uh, u − uh) = a(u − uh, u − Πu + Πu − uh)
= a(u − uh, u − Πu) + a(u − uh,Πu − uh)
Mit der Beschranktheit von a(·, ·) gilt weiterhin
a(u − uh, u − Πu) ≤ C‖∇(u − uh)‖F ,Ω‖∇(u − Πu)‖F ,Ω
und mit der Interpolationsabschatzung‖∇(u − uh)‖F ,Ω ≤ Ch|u|(H2(Ω))3 folgt die Behauptung.
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A posteriori Fehlerabschatzung
Die Finite-Elemente-Losung uh genugt der folgenden Abschatzung:
‖∇(u − uh)‖ ≤ C∑T∈Th
(RT + rT ) ,
wobei das RandresiduumRT = h
1/2T ( 1
2‖[σh · n]‖∂T\∂Ω + ‖gN − σh · n‖∂T∩ΓN) und
rT = hT‖f +∇ · σh‖T das innere Residuum ist.
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Mit FreeFem++ wird die folgende Aufgabe gelost:Finde den Spannungstensor σ und den Verschiebungsvektor u mit
−∇ · σ = f in Ω
σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I in Ω
u = 0 auf ΓD
σ · n = 0 auf ΓN
Die Variationsformulierung lautet:Finde u ∈ V so, dass
a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V ,
wobei die Bilinearform a : V × V → R und die Linearform` : V → R definiert sind durch
a(u, v) = 2µ
∫Ωε(u(x)) : ε(v(x))dx + λ
∫Ω
(∇ · u)(∇ · v)(x)dx
`(v) =
∫Ωf (x) · v(x)dx
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Hierbei istf = (0, 0,−9.82)>,
Young Modul E = 2000,
Poissonzahl ν = 0.3
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Modellierung linearer Thermoelastizitat
Erhitzen bzw. Abkuhlen eines Materials fuhrt zur isotropenExpansion bzw. Kontraktion. Ublicherweise wird hierzu derVerzerrungstensor ε modifiziert:
ε = εM + εT ,
εM : mechanischer Anteil, befolgt das Hooke’sche GesetzεT : thermischer Anteil, εT = α(T − T0)I , α ist der thermaleExpansionskoeffizient, T die Temperatur und T0 eineReferenztemperatur
Es ergibt sich die Aufgabe ein σ und ein u zu finden mit:
−∇ · σ = f in Ω
σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I − α(3λ+ 2µ)(T − T0)I in Ω
u = 0 auf ΓD
σ · n = gN auf ΓN
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Variationsformulierung
Finde u ∈ V so, dass
a(u, v) = `(v) +
∫Ωα(3λ+ 2µ)(T − T0)(∇ · v)(x)dx ∀v ∈ V ,
wobei die Bilinearform a : V × V → R und ` : V → R wie obendefiniert sind.
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Quellen
1 M. Larson und F. Bengzon: The finite element method:theory, implementation, and practice, Springer, 2010
2 http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++doc.pdf