Domiciliarias_Semestral_CV

8/9/2019 Domiciliarias_Semestral_CV

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Practica: Solucionario prctica domiciliaria Curso: lgebraCiclo: Semestral Csar Vallejo

Tpicos de lgebra

Problema 1: Si 22

es equivalente a 52, halle elequivalente de

= 210222+1Resolucin:

Operamos conveniente en la expresin M

= 21022

2+1 = 210

222 2 = 210252 2

=

210 2252 10

=210

5210

= 210510210 = 1510 = 510

Rpta: Clave A

Problema 2: Calcule el valor aproximado de

.

= 24816Resolucin:

Desarrollamos la sucesin de radicales infinitos.

= 2

12 . 4

14. 8

18 . 16

116

= 2

12 . 22 4 . 23 8 . 24 16

= 212+24+38+ 416+.Calculamos aproximadamente el exponente.

= 12

+2

4+

3

8+

4

16+ .

Multiplicamos por 1 2 :

2

=1

4+

2

8+

3

16+

4

32+ .

Restamos miembro a miembro:

2 =1

2 + 1

42

4 + 3

82

8+ 2

=1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

2

=

12

1 12

2

= 1 = 2Ahora reemplazamos en la expresin inicial:

= 2 = 22

= 2Rpta: Clave A

Problema 3: Sea el conjunto ;; , tal que + + = 1 = 1

3

+

+

=

2

3

Calcule el valor de . = 1 + + 1 + + 1 + Resolucin:

Tomamos la primera fraccin de :1

+

=

1

. 1 +

Como + + = 1 entonces: 1 + = 1( + + ) + = 1 + + + 1

+ = 1 + + ( + ) = 1 + +


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Anlogamente:

1 + = 1 + + 1 + = 1 + +

Luego, la expresin se escribe as: = 1 + + + 1 + + + 1 + +

Sumamos y obtenemos:

= + + + + +

+

+

+

= 2 + + + + + Recuerde que:

Reemplazamos los valores numricos respectivos:

+

+

+

=

1

2

3

1

3

+ + + = 13Finalmente:

= 211

3 = 6Rpta: Clave E

Problema 4: Dadas las expresiones

= 2 1 + 22 = 2 1 22

=2 + 2 + 2 + 2 . 2010.Resolucin:

Observe que:

. = 2 1 + 22 2 1 22

. = 2 12 22 2 . = 42 4 + 1 42 . = 1 . = 1

Luego:

=2 + 2 + 21

+

2 =

2 + 2 + 2

+

2

= + 2 + 2 = 1 2010 = 1Rpta: Clave A

Problema 5: Se define la expresin

=

1

= 1

3.

1

+

Halle el valor de , tal que es un numeral.Resolucin:

Evaluamos en la expresin:

= 0: 0 = 1 0 = 1!3 = 1: 1 = 13 .11 1 = 1!3 = 2: 2 = 2

3

.21 2 = 2!3

= 3: 3 = 33 .31 3 = 3!3 = ! 3

Rpta: Clave E

+ + + = + + + +


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Problema 6: Sea = + ; donde y son enteros consecutivos y > . Al dividir , seobtiene como resto 1024.

Calcule el resto de

2 + + 11. + 3 Resolucin:

Como y son enteros consecutivos entonces: = 1 = 1

Adems, el resto de dividir

es 1024.

Por teorema del resto: = 1024 = + Reemplazamos = 1 y obtenemos:

1024 = 1 + 1 1024 = +.

1024 =

+1

45 =

+1

= 4 = 3Luego, = + = 43 + 34Debemos hallar el resto de la divisin:

32 + 3 + 11. + 3 3 Por teorema del resto:

=

3

= 131 .3 + 00

= 131 . 4. 33 + 3 . 34 = 131. 334 + 32

= 33Rpta: Clave B

Problema 7: Si la divisin es exacta + + 2 + + Calcule el valor de: = + + 1Resolucin:

Recuerde que:

En el problema:

+

+

=

2

+

+

+ 0

+ + = Evaluamos:

= : + + = 0 + + = 0 + =

=

:

+

+

= 0

+ + = 0 = + Luego: + = = + Dividimos y obtenemos: +

=

+

+ + =

+ + + = + + = 0 + + = 0 1 + + = 0

Rpta: Clave C

. +


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Problema 8: Sea = 2 2 + 12;1 < < 13, definido sobre . Halle la suma de losfactores primos de si es factorizable.Resolucin:

El polinomio se escribe como: = 2 2 + 2 2 + 1 = 2 2 1Como es un polinomio factorizable, entoncesacepta la diferencia de cuadrados, luego:

= 5 1 < < 13 = 52 32 = 2 8 Luego, la suma de factores primos, es:

2 + 8 = 2 10Rpta: Clave B

Problema 9: Indique el nmero de factores primos que

tiene el polinomio = 6 54 4Resolucin:

El polinomio se escribe como: = 6 44 4 4 = 6 44 4 + 4

= 3 + 2 2 + 23 2 2 2 .Rpta: Clave A

Problema 10: Luego de descomponer en fracciones

parciales = 4+722+4+3 , seale la suma delos numeradores.

Resolucin:

= 4 + 7 22 + 4 + 3 = 4 + 7 2 + 3 + 1 4 + 7 2 + 3 + 1 = 2 + + 3 + + 1

Operamos y obtenemos:

4 + 7

2

+ 3

+ 1

=

= + 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 1 4 + 7 = + 3 + 1 + 2 + 1+ 2 + 3

Evaluamos:

= 2 = 1

=

3

=

1

2

= 1 = 1 2 Luego, la suma de los numeradores es:

+ + = 1 + 12+ 1

2

+ + = 0Rpta: Clave D

3 +

2

2

+ 2

3 2 + 2 + 2


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Nmeros complejos

Problema 11: Si 1 y 2 son complejos opuestos, talque 1 = 1+ + y 2 = 1 .Calcule el valor de .Resolucin:Como los complejos 1 y 2 son opuestos, se cumple:1 + 2 = 0

1 + + + 1 = 0

1

1 + 1 + . = 0 1 2

+ + = 0

2+ + 1

2 = 0

2+ 1

2 = 0 + 0

Comparamos:

2 = 0 1 2 = 0 = 2

1 = 2

= 1 = 2 = 2

Rpta: Clave B

Problema 12: Calcule el valor de .

= 1 + 111 114 Resolucin:

Recordemos que:

En el problema trabajamos con los dos ltimos

exponentes:

1 14 1 1

4

= 1 4 1 14 = 1 4Reemplazamos:

= 1 + 111 114 Repetimos este proceso y nos queda: = 1 + 14 = 1 + 4

= 1 + 4 = 4 = 4 = 2

Rpta: Clave B

Problema 13: Calcule el valor de . = 5 + 41 + 5 + 13

Resolucin:

Trabajamos en la expresin : = 5 + 41 + 5 + 13

=

55 +

4

1 +

5

+ 13

= + 1 + 41 + 5 + 13 = + 1 + 55 + 13 = + 1 + + 3 = 1 + 13

2010

1 + 4 = 1 4 = 4

2008


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= 0Rpta: Clave A

Problema 14: Si se cumple que

1 + 1 2 = 4096Con = 4 + 2; +, calcule el valor de .Resolucin:

Como 1 + 4+2 1 4+22 = 4096 1 + 41 + 2 1 41 22 = 4096

1 +

4

2

+

1

4

2

2 =

4096

221 + 4 + 1 4 2 = 4096 44 + 4 2 = 4096 24 2 = 1024 24 2 = 210

22 . 42 = 210 22+4 = 210 = 2

Rpta: Clave E

Problema 15: Sea = + , tal que = 1adems + = 32 ; .Calcule el valor de 2 + 2 .Resolucin:

De la ecuacin: + = 32Elevamos al cuadrado:

+ 2 = 322 2 + 2 + 2 = 18 2 + 2 = 16 2 + 2 = 16 2 + 2 = 4

Rpta: Clave C

Problema 16: Sea = 4 2 1 cuyagrfica es representada como

Adems, + es mltiplo de 2, halle 5.Resolucin:

El complejo es: = 4 2 1 = 4 + 2Del grfico se deduce:

4 > 0 2 > 0 > 2 < 4

2 < < 4Adems: + es mltiplo de 2, es decir:2 = 2 24 = 2 8 2 = 2 2 = 2 = 3Luego: = 4 3 + 3 2 = 1 + 5 = 4 = 1 + 4. 1 + 5 = 41 +

5 = 4 4Rpta:

Clave A

Problema 17: Resuelva la siguiente ecuacin

= 3 ; Resolucin:

La ecuacin es: = 3 Tomamos mdulo en la ecuacin:

.


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= 3 = 3

De esta ltima igualdad nos queda:

= 0 = 1En la ecuacin original: = 3 . = .3 2 = 4

Luego se presentan los siguientes casos:

= 0: 2 = 4 02 = 4

0 =

4

= 0

= 1: 2 = 4 12 = 4 1 = 4 = 11

Finalmente: . = 0;1;1; ;Rpta: Clave B

Problema 18: Determine el valor reducido de

1 + 112

4 + 1 112

4donde es la unidad imaginaria.Resolucin:

Hacemos el siguiente cambio de variable:

1 + 112 1 112 Luego:

+ = 1+112

+111

2

+ = 1

= 1+112 111

2

=12112

4

= 12

Reemplazamos en la expresin original:

= 1 + 112

4 + 1 112

4 = 4 + 4

De las condiciones anteriores:

+ = 1 + 2 = 12 2 + 2 = 1 23 2 + 2 = 5Elevamos nuevamente al cuadrado:

2 + 22 = 52 4 + 4 = 25 2

3

2

4 + 4 = 7Rpta:

Clave A

Problema 19: Si = 4 + 3 +5 3 y = 1 + 5 1 5 , calcule el valor de:

= + 12 +2Resolucin:

Recuerde que:

En el problema:

= + 12 +2 = + 1 + 1 + + = + 1 + 1 + + = + 1+ 1 + +

Luego:

2 =

.

;


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= + + + 1 ( + + +) = 22 + 1 2 2

Adems:

= 4 + 3 +5 3 = 3 = 1 + 5 1 5 = 2

Reemplazamos en: = 22 + 1 2 2

=

3

2

2

2

+ 1

3

2

2

2

= 8Rpta: Clave B

Problema 20: Si = 1 + 3; tal que = 1,calcule el rea de la regin poligonal que se forma al

unir los afijos de las races cbicas de .Resolucin:

Recuerde que:

Donde es un complejo no nulo. = 0,1,2,3, . , 1.En el problema:

1 + 33 = 1 + 33 3 + 23 1 + 33 = 23 3 + 2

3

Luego las tres races cbicas de son:

= 0: 1 = 23 33 1 = 23 9

= 1:

2 =

2

3

3

+23

2 =

2

3

79

= 2: 3 = 23 3+43 3 = 23 139 Ahora graficamos las tres races cbicas de en el planode Gauss:

Como el rea de una regin triangular es invariante (e

rea no vara) cuando se realiza una traslacin o

rotacin de ejes entonces consideraremos el siguiente

tringulo:

El rea de la regin triangular se calcula como:

= 33 3 sin1202

2 = 33 2 sin120

22

Reemplazamos:

= + 2

.1

. 2.3120

.

1.

2

.3

.

..


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= 323 2 322

2 = 3 43 34

2

= 33163 2Rpta: Clave A

Ecuaciones polinomiales I

Problema 21: Si la suma de soluciones de la ecuacin

2 +2 . 2 +2 . 2 +2 = 0Es 11, calcule la suma de sus races. (Considere

;

diferentes)

Resolucin:

La ecuacin tiene conjunto solucin:

. = 2

;2

;2

Como la suma de soluciones es 11, es decir:

2+

2+

2= 11

+

+

= 22

Entonces la suma de races es:

. = 2 + 2 +

2 + 2 +

2 + 2

. = 2 + 2 + 2 + 2 + + 2

.

= + + 2

2

.

=222

2

. = 242Rpta: Clave C

Problema 22: Considere ,, + y resuelva laecuacin lineal de incgnita . + + = 2 1 + 1 + 1Resolucin:

Trabajamos en la ecuacin:

+ + = 2 1 + 1 + 1

2

+ 2

+ 2

= 2 + + Agrupamos convenientemente y obtenemos: + + 2 2 2 = 2 + + + + = 2 + 2 + 2 + 2 + + ++2 + + = + + 2

Por dato:

;

;

+

+

+

> 0

Luego: = + + . = + + Rpta: Clave C

Problema 23: Resuelva la ecuacin4

+

28+

70+

130= 2 ! 32 + 3 ! 42 + 4 ! 52 + 5 !

Luego indique el valor de4

13.

Resolucin:

Recuerde que:

! = ! + 1 1 ! = ! + 1 !Luego:

En el problema:

4 + 28 + 70 + 130 = 2 ! 32 + 3 ! 42 + 4 ! 52 + 5 !

33

4+

3

28+

3

70+

3

130 = 3! 3 + 4! 4 + 5! 5 + 6!

Aplicamos la propiedad indicada en el segundo miembr

! = + 1! !


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1 14 + 1

4 1

7+ 1

7 1

10 + 1

10 1

13

= 4! 3! + 5! 4! + 6! 5! + 7! 6!

3 1

1

13= 7!

3!

12

3.13= 7!

3!

413

= 7! 3!Rpta: Clave D

Problema 24: Con respecto a la ecuacin de incgnita 2 2 + 2 2 2 = 0 ; ;

indique verdadero

o falso

segn corresponda.

I. Si = = 0 , tiene races reales e iguales.II. Si 0, entonces, tiene races realesdiferentes.

III. Si = 0, entonces tiene nica solucin.Resolucin:

Calculemos el discriminante de la ecuacin cuadrtica:

=

2

2

41

2

2

2

= 4a2 4a2 + 4b2 + 4c2 = 42 + 2Ahora analicemos cada caso:

Si = = 0: = 0Entonces la ecuacin cuadrtica presenta races reales e

iguales.

Si

0:

> 0

Entonces la ecuacin cuadrtica presenta races reales y

diferentes

Si = 0: = 00 = 00 > 0 > 0 > 0

Entonces la ecuacin presenta races reales y diferentes

Finalmente el valor de verdad de cada una de las

proposiciones es:

I. II. III. Rpta: Clave B

Problema 25: Calcule el mayor valor de para queexista un solo valor de que permita que la ecuacincuadrtica tenga solucin nica.

2

2 +

3

1

+

+

= 0

Resolucin:

La ecuacin cuadrtica presenta solucin nica

entonces: = 0 3 12 42 + = 0 (92 6 + 1) 82 8 = 0

Agrupamos y obtenemos:

2

6 + 8 + 1 = 0 2 23 + 4 + 1 = 0Como el valor de es nico entonces la ecuacincuadrtica presenta solucin nica, es decir e

polinomio cuadrtico debe ser un TCP (trinomio

cuadrado perfecto), luego:

3 + 4 = 1 3 + 4 = 1 =

1

2 = 1Finalmente, el mayor valor de es 1 2 .Rpta: Clave A

Problema 26: Sea un nmero real y 1;2 las racesreales de la ecuacin

= 2 4 +2 3 + 3 = 0


11/22


Halle todos los valores de para los cuales se cumple12 + 22 = 6

Resolucin:

Como 1 y 2 son races de la ecuacin cuadrticaentonces: 1 + 2 = 41 1 + 2 = 4 12 = 23+31 12 = 2 3 + 3

Como 12 + 22 = 6 1 + 22 212 = 6Reemplazamos y obtenemos:

42 22 3 + 3 = 6 2 8 + 16 22 + 6 6 = 6 2 + 2 4 = 0

Completamos cuadrados: + 12 52 = 0 + 1 + 5 + 1 5 = 0

+ 1 +

5 = 0

+ 1

5 = 0

1 5Rpta: Clave A

Problema 27: Calcule el valor de , si se sabe que laecuacin cuadrtica 2 + 4 = 0 tiene

. = 5 + 2 + 25 + 1 ;5 + 2 + 22 + 1 Resolucin:

De la ecuacin cuadrtica deducimos que las races son:

1 = 5 + 2 + 25 + 1 ; 2 = 5 + 2 + 22 + 1 11 = 5 + 15 + 2 + 2 ; 12 = 2 + 25 + 2 + 2

Como la suma de inversas de las races es:

11 + 12 =

5 + 1

5 +

2 + 2

+2 + 2

5 +

2 + 2

=

4

5 + 2 + 25 + 2 + 2 = 4 = 1 = 4Rpta: Clave B

Problema 28: Si 1 , 2 , 3 son las races de la ecuacin3 2 + 0 3 = 0. Calcule el valor de M.

=

12

1 +

2

3

+

22

2 +

3

1

+

32

3 +

1

2

Resolucin:

Como 1; 2; 3 son races de la ecuacin cubicaentonces:

1 + 2 + 3 = 11 1 + 2 + 3 = 1 12 + 23 + 13 = 01

1

2 +

2

3 +

1

3 = 0

123 = 31 123 = 3Adems: 13 12 3 = 0

13 = 12 + 3 1312 + 3 = 1Ahora trabajamos en la primera fraccin:

12

1 + 23=

1

12

11 + 23

121 + 23 = 1312 + 1233

121 + 23 = 1312 + 31


12/22


121 + 23 = 1Anlogamente para las dems fracciones:

22

2 + 31 = 1 32

3 + 12 = 1 = 122 + 311

+222 + 311

+323 + 121

= 3Rpta: Clave E

Problema 29: Dado el polinomio

= 3 + 02 + + De races , , , reduzca la expresin

5 + 5 + 55

Resolucin:

Como

;

;

son races del polinomio cbico entonces:

+ + = 01 + + = 0 + + = 1 + + =

= 1 =

Dado que + + = 0 entonces:2 + 2 + 2 = 2 + +

2 + 2 + 2 = 2 3 + 3 + 3 = 3

3 + 3 + 3 = 3Debemos hallar el valor de:

= 5 + 5 + 55

Sabemos que:

5 + 5 + 55

= 2 + 2 + 22

3 + 3 + 33

Reemplazamos y obtenemos:

5 + 5 + 55 = 22 33 5 + 5 + 5 = 5 5 + 5 + 5

5 = 1 = 1Rpta: Clave A

Problema 30: Dada la ecuacin polinomial

24 33 + 322 6 + 22 = 0.Indique el producto de las races complejas imaginarias.

Resolucin:

Factorizamos el polinomio por aspa doble especial:

24 33 + 322 6 + 22 = 0

Luego el polinomio queda expresado como:

22

3 + 2 >0 2

+ 2


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Luego, el producto de las races complejas imaginarias

es:

12 = 22 = 2Rpta: Clave C

Ecuaciones polinomiales II

Problema 31: Si 0 = 3 22 es raz del polinomio = 3 112 + 1, Calcule el valor de2 + 2 + 1 .Considere y enteros.Resolucin:

Como 0 = 3 22 es una raz del polinomio,entonces por teorema de paridad de races:1 = 3 + 22 2 = Por teorema de Cardano:

0 + 1 + 2 = 11

0 +

1 +

2 =

11

.

01 + 12 + 02 = 01 + 12 + 02 = 012 = 1 012 = 1 .

Trabajamos en :

3

2

2

3 + 2

2

=

1

32 222 = 1 = 1Este resultado lo reemplazamos en :

3 22 + 3 + 22 + = 11 6 + 1 = 11 = 2

Trabajamos en

:

3 223 + 22+ 12 + 02 = 2

32 222+ 21 + 0 = 2

1 + 12 3 22 + 3 + 22 = 2 1 3 = 2

= 4Piden 2 + 2 + 1 = 22 + 42 + 1

(2 + 2 + 1) = 21Rpta: Clave A

Problema 32: Si 3 es solucin de la ecuacincubica 3 2 + 4 + = 0, calcule el valor de .Resolucin:

Como 3 es solucin de la ecuacin, entonces: = 3 Elevamos al cuadrado: 2 = 3 2 2 = 32 23 + 2 2 = 8 6Adems:

2

=

8

6

3 = 3 8 6 3 = 24 18 8 + 62 3 = 18 26

Ahora reemplazamos estos resultados en la ecuacin:

3 2 + 4 + = 0

18

26

8

6

+ 4

3

+

= 0

30 8 + + 6 30 = 0 + 0Comparamos y obtenemos:

30 8 + = 0 = 106 30 = 0 = 5

= 510 = 12Rpta: Clave A


14/22


Problema 33: Sea un polinomio de cuarto gradode coeficientes racionales, tal que

3+2 = 1 = 1 6 = 0Calcule su trmino independiente.

Resolucin:

Del dato se deduce:

3+2 = 0 1 = 0 1 = 6Entonces las races del polinomio son:

1 = 1

3 = 1 +

2 = 3 + 2 4 = 3 2 Luego por teorema del factor, el polinomio se escribe como:

= 1 1 + 3 + 2. 3 + 2 = 12 2 32 22

= 2 2 + 22 6 + 7Como 1 = 6 12 21+ 212 61 + 7 = 6 = 3Luego:

= 3

2

2

+ 2

2

6

+ 7

Debemos calcular el valor de 0:0 = 302 20+ 202 60 + 7 0 = 42Rpta: Clave C

Problema 34: Sean 1 , 2 ,3 , 4 las races de laecuacin

4 3 22 + 16 = 0Halle el valor de 1 + 2 + 3 + 4.Resolucin:

En la ecuacin bicuadrada hacemos cambio de variable:

2 : 2 3 2 + 16 = 0Calculamos el discriminante:

= 3 22 4116

= 3 2 64 < 0Entonces la ecuacin bicuadrada presenta dos racescomplejas y conjugadas, es decir:

1 = + 3 = + 2 = 4 = Observacin: En toda ecuacin bicuadrada las races

son de la forma:

Se deduce que los mdulos de las cuatro races son

iguales, es decir:

1 = 2 = 3 = 4Por teorema de Cardano: 1234 = 161 Tomamos mdulo: 1234 = 16 1234 = 16 1

4

= 16

1 = 2.

1+ 2 + 3+ 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8Rpta: Clave C

Problema 35: Respecto a la ecuacin de incgnita 4 22 + cos = 0;

Indique verdadero o falso segn corresponda.

1 = ; 2 = ; 3 = ; 4 =


15/22


I. Todas sus races son reales .II. Si = 3 2 , entonces todas sus races son reales.

III. Si = 2, entonces dos de sus races son reales ylas otras dos son imaginarias.

Resolucin:

Por frmula general planteamos:

2 = 2 22 41cos 21

2 = 2 4 4cos 2

Ahora damos valores al parmetro

es decir:

= : 2 = 2 4 4 cos2

2 = 2 82

2 = 2 + 82

2 = 2 82

Por tanto no todas las races de la ecuacin bicuadrada

son reales. = 32:

2 = 2 4 4cos3 2 2

Adems:

0 < cos

3

2 1

2

cos

3

2=

1

2

Reemplazamos:

2 = 2 4 4 122

2 = 2 22

= 2 + 22

= 2 22

Por tanto todas las races son reales.

= 2:

2 =

2

4

4 cos

2

2

Adems:

1 < cos2 12 cos2 = 12

Reemplazamos:

2 = 2 4 4 122

2 = 2 62

2 = 2 + 62 2 = 2 62 Por tanto dos races son reales y dos races son

imaginarias.

Finalmente el valor de verdad de cada proposicin es:

I. II.

III. VRpta: Clave A

Problema 36: Si las races de la ecuacin

4 + 2 + = 0 estn en progresin aritmtica derazn , halle el valor de

= 92 100 + 22

Resolucin:

Las races de la ecuacin bicuadrada son:

; ; ; Se deduce: = 2 = 3Luego, por propiedad:


16/22


2 + 2 = 1

2 + 2 = Reemplazamos:

2 +

3

2 =

102 = 1004 = 2 22 =

1

Reemplazamos: 232 = 94 = Luego, el valor de:

= 92 100 + 22

Reemplazamos los datos:

= 91004 10094+ 2222

= 822 = 2 2 = 2

Rpta: Clave E

Problema 37: Indique cuntas soluciones tiene la

ecuacin fraccionaria

2 1 + 2 2 1 = 1 Resolucin:

En la ecuacin fraccionaria se tiene:

+ 2

0

1

0

2 1Luego, efectuamos operaciones:

2 1 + 2 2 1 = 1 2 1 + 2 1 + 2 1 + = 0

2 1 2 + 2 +2 + 2 1 = 0

3

+ 2+

1= 0

3 1 + 2 + 2 1 = 0 3 1 + 2 = 0Efectuamos y obtenemos:

6 + 3 = 0 = 1 2

.

=

1

2

Rpta: Clave B

Problema 38: Si 1 y 2 son races no nulas de laecuacin

3 2 32 + 1 + 23 3 + 1 = 1 13 + 1 3Halle el valor de 12 .Resolucin:

En la ecuacin fraccionaria se tiene:

2 + 1 0 3 3 + 1 0Luego efectuamos operaciones:

3 2 32 + 1 + 23 3 + 1 = 1 13 + 1 3

3 2 3

2 + 1+

2

3

3

+ 1

+1

3

3

+ 1

3 2 32 + 1 + 2 + 13 3 + 1 = 1 3 2 32 + 1 + 2 + 13 3 + 1 1 = 0

3 2 32 + 1 + 2 + 1 3 + 3 13 3 + 1 =


17/22


3 2 32 + 1 3 2 33 3 + 1 = 0

3

2

3

1

2 + 1

1

3

3

+ 1

= 0

Efectuamos y obtenemos:

3 2 33 2 32 + 13 3 + 1 = 0 3 2 33 2 3 = 0

.2 32 = 0 = 0 2 3 = 0

Luego, el producto de races no nulas es: 12 = 31 12 = 3Rpta: Clave B

Problema 39: Cuntas soluciones racionales tiene la

siguiente ecuacin?

3

4

1

2

4

4

1

1 5 = 0

Resolucin:

Factorizamos el polinomio cuadrtico:

3 4 12 4 4 1 15 = 0

Luego la ecuacin se escribe como:

3 4 1+ 5 4 1 3 = 0 12 3 + 5 4 1 3 = 0

122 + 5 3

42 3 1

= 0

Como 0 entonces:122 + 5 342 3 1 = 0

Factorizamos cada polinomio por aspa simple:

4 + 33 14 + 1 1 = 0 1 = 3 4 2 = 1 3 3 = 1 4 4 . = 3

4;1

4;1

3; 1

Por tanto, la ecuacin tiene cuatro soluciones racionales

Rpta: Clave E

Problema 40: Si 0 es solucin de la ecuacin + 144 + 1 = 12calcule el valor de 0 + 10 + 4.Resolucin:

Resolvemos la ecuacin:

+ 1

4

4 + 1 =1

2 2 + 14 = 4 + 1Observacin:

En el problema:

24 + 43 + 62 + 4 + 1 = 4 + 1

4 + 8

3 + 12

2 + 8

+ 1 = 0

Esta ltima ecuacin es reciproca, entonces:

4 + 83 + 122 + 8 + 12 = 02 2 + 8 + 1 2 + 8 + 12 = 0

Agrupamos convenientemente:

3 4 1

4

1

+5

3

+ 14 = 4 + 43 + 62 + 4 + 1


18/22


2 + 12+122+ 8 + 1 + 12 = 0

+

1

2

+ 8

+

1

+ 10 = 0

Aplicamos frmula general y obtenemos:

+ 1 = 8 82 411021 + 1 = 8 242

+

1

=

4

6

Como 0 es solucin de la ecuacin entonces:0 + 10 = 4 6 0 + 10 + 4 = 6 0 + 1

0

+ 4 = 6Rpta: Clave B

Desigualdades

Problema 41: Sea =< 1 1 ; + 12 una familiade intervalos. Halle el intervalo (1

2

1).Resolucin:

Como

=< 1

1

;

+

1

2

Entonces:

12

=< 1 112

;1

2+

1

2 12 1 =< 1 11 ; 1 + 121

12

=< 1; 32 1 =< 0; 3

2

Graficamos 12

1:

De la grfica:

12

1 =< 1; 0 Rpta: Clave E

Problema 42: Si 2 1 < 1; , halle lavariacin de = 2 1Resolucin:

Como 2 1 < 1; 1 < 2 1 1 < 2 1 2 1 (0 < 1 9 0 < 1

Ahora construimos la variacin de:0 54 + 2 + 1 < 32Damos forma a la expresin fraccionaria:

5

4 1 + 1 + 1 < 32

Sumamos 1: 14 1+1 < 12

Invertimos: 4 + 1 > 2 3 > 1 1 < 3

Ahora construimos la variacin de

:

= 3 + 21 2 = 3 + 22 1

= 32 + 23 1

2

= 3

2 12 + 76

12

= 3

21 + 76 1

2

= 3

21 + 7

32 1Como 1 < 3Multiplicamos por 2 y sumamos

1

:

1 < 2 1 5Multiplicamos por 3: 3 < 32 1 15Invertimos y multiplicamos por 7:

7

3>

7

32 1 715Sumamos 1:

10

3> 1 +

7

3

2

1

22

15

Multiplicamos por 3 2 :5 < 3

21 + 7

32 1 115 5


20/22


32 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + + ++2 Luego: 32 + 2 + 2 + + 2 Extraemos raz cuadrada:

32 + 2 + 2 + + 2 32 + 2 + 2 + +

Pero ; ; + entonces: + + = + + De donde:

3

2 +

2 +

2

+

+

2 + 2 + 2 + + 13 33 = 3

3

Rpta: Clave D

Problema 46: Determine el mximo valor de si secumple que 8 + 22 + 8 Considere y positivos.Resolucin:Trabajamos en la desigualdad:

224 + 2 + 4 Efectuamos y obtenemos:

442 + 17 + 42 Sabemos que: 42 + 16 + + 42

4 4216424

42 + 17 + 42 4444 4 + + 4 4(4)

Multiplicamos por 4:

44 + + 4 416 8 + 22 + 8 64

Como

8

+ 2

2

+ 8

= 64Rpta: Clave B

Observacin:

Problema 47: Si < 1, calcule el mximo valor dsiguiente expresin

= 2 + 2 + 2 + 1 Resolucin:

La expresin

se expresa como:

= 2 + 2 + 1

+ 1 + 1 = + 12 + 1 + 1 + 1 = + 1+ 1 + 1

Como

= 9

2

Rpta: Clave B

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