dokaz420 - halapa · 3 Dokaz 362 Dokaži da za svaki realan broj x za koji je 0 , 2 x π < < vrijedi jednakost log sin log log cos .(x tg x x) = +( ) ( )Teorija Logaritam broja a

1

361 420

Dokaz 361

Dokaži da za svake dvije vrijednosti x1 i x2 nezavisne varijable funkcije f(x) = x2 vrijedi

( ) ( )1 21 2 .2 2

f x f xx xf

++ <

Teorija

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Oduzimanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

− −− = = −

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), , , .: : : :

n nn na a a an nn n n n

a b a b a b a bn nb bb b

= = = =

Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.

20 , .a a R≥ ∈

��

Vidi se:

( )22 2 2

21 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 4 2 4

x xx x x x x x x x x x x xf f f

++ + + + + ⋅ ⋅ + = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 2 22 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

2 4

x x x x x x x xf

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⇒ = ⇒

( )2 2 2 22 2 2

1 2 1 1 2 21 2

2 4

x x x x x xx xf

⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ ++ ⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2

2 4 2 4 4

x x x x x x x xx x x xf f

⋅ + − − ⋅ + −+ + ⇒ = ⇒ = − ⇒

2

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

2 4

2

2 44 2

x x x x x xx x x x x xf f

⋅ + − −+ + + ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 2 1 21 2 1 2 .2 2 4 2 2

f x f x x x f x f xx x x xf f

+ − ++ + ⇒ = − ⇒ <

■

3

Dokaz 362

Dokaži da za svaki realan broj x za koji je 0 ,2

xπ

< < vrijedi jednakost

( ) ( ) ( )log sin log log cos .x tg x x= +

Teorija

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→= =

Dekadski logaritam

Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili

obični logaritam.

log log10

.x x=

Svojstva:

( ) ( )log log log log log l, g .oa b a b a b a b⋅ = + + = ⋅

Definicija tangensa:

sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )log sin log log cos log sin log cosx tg x x x tg x x= + ⇒ = ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )sin sin

log sin log cos log sin log log sin log sin .coo

sc s cos

x xx x x

xx x x

x

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

■

4

Dokaz 363

Dokaži da ne postoji prirodni broj čiji je umnožak znamenki 1386.

Teorija

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa

sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se

složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i

barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.

Broj 1 nije ni prost, ni složen broj. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …

Brojevna vrijednost što je nosi neka znamenka određena je ne samo vrijednošću te znamenke već i pozicijom te znamenke u zapisu broja. Takav zapis broja zovemo pozicijskim zapisom. Općenito:

Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =

dekadski zapis prirodnog broja N, onda je njegova vrijednost

1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n

N a a a a a an n n− −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �

Broj 10 zove se baza dekadskog brojevnog sustava.

Prirodni je broj djeljiv s 2 ako mu je posljednja znamenka 0, 2, 4, 6 ili 8.

Prirodni je broj djeljiv s 2 ako je paran broj.

Prirodni je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 3

��

Broj 1386 rastavimo na proste faktore.

1386 2 693 2 3 231 2 3 3 77 2 3 3 7 11.= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Faktor 11 je prost broj, nije znamenka pa zaključujemo da ne postoji prirodni broj čiji je umnožak

znamenki 1386. ■

5

Dokaz 364

Dokažite kosinusov poučak: Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju

stranica, minus dvostruki produkt tih stranica i kosinusa kuta što ga te stranice zatvaraju.

Teorija

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Tupi kut je kut s mjerom većom od 90º i manjom od 180º.

Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Množenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

γγγγ

v

c

b

aNB C

A

Sa slike vidi se:

, , , ,AB c BC a CA b BCA AN vγ= = = ∠ = =

Uočimo pravokutan trokut NCA i pomoću funkcije kosinus dobije se:

cos cos cos cos cos ./NC NC NC NC

NC bCA b b b

bγ γ γ γ γ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

Također vrijedi:

cos .BN BC NC BN a b γ= − ⇒ = − ⋅

6

a - b ⋅⋅⋅⋅ cos γγγγ b ⋅⋅⋅⋅ cos γγγγ

γγγγ

v

c

b

aNB C

A

Pravokutni trokuti ∆ABN i ∆ANC daju prema Pitagorinu poučku:

( )

( )

2 2 2 22 2cos

2 2 2 22 2cos

AN AB BN v c a b

v b bAN AC NC

γ

γ

= − = − − ⋅ ⇒ ⇒

= − ⋅= −

( ) ( )2 22 2

cos cosc a b b bγ γ⇒ − − ⋅ = − ⋅ ⇒

( )2 2 2 2 22 22 cos cos cosc a a b b b bγ γ γ⇒ − − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⇒

2 2 2 2 22 22 cos cos cosc a a b b b bγ γ γ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

2 22 2cos

2 2 2 2 2 2cos2 cos 2 cosc a a b b c a a b bb bγ γγγ − ⋅ −⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⇒

2 2 22 cos .c a b a b γ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅

Slično imamo

2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos .a b c b c b a c a cα β= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ■

Napomena 1

Ako je trokut tupokutan potpuno istim postupkom dobili bismo iste formule.

Napomena 2

Kosinusov poučak uporabit ćemo ako su zadane:

1) dvije stranice i kut među njima

2) sve tri stranice.

7

Dokaz 365

Dokažite sinusov poučak: Stranice se u trokutu međusobno odnose kao sinusi njihovih nasuprotnih

kutova.

Teorija


Kružnicu koja prolazi vrhovima trokuta zovemo opisanom kružnicom.

Tupi kut je kut s mjerom većom od 90º i manjom od 180º.

Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:

a – prvi član omjera,

b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera.

Ako postoji n jednakih omjera

:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =

produženi razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Obodni kut kružnice jest kut kojemu je vrh na kružnici, a krakovi mu sijeku kružnicu.

Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni.

Talesov poučak: Kut nad promjerom kružnice je pravi.

��

Trokutu ABC opišemo kružnicu i konstruiramo promjer CE pa spojimo točke B i E Prema teoremu o

obodnom kutu je

.CAB CEB∠ = ∠

Prema Talesovu poučku je

90 .EBC∠ =�

8

αααα

αααα

2 ⋅⋅⋅⋅ r

c

b

a

E

A

B

C

Sa slike vidi se:

, , , , 2 , 90AB c BC a CA b CAB CEB CE r EBCα= = = ∠ = ∠ = = ⋅ ∠ =�

Uočimo pravokutan trokut CEB i uporabom funkcije sinus dobije se:

sin sin sin sin 2 .2 2 2 sin

2/

sin

BC a a a arr

CE r r rα α α α

αα= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Slično bismo našli da je

2 , 2 .sin sin

b cr r

β γ= ⋅ = ⋅

Tada je:

2sin sin sin

a b cr

α β γ= = = ⋅

odnosno

: : sin : sin : sin .a b c α β γ= ■

Napomena 1

Ako je trokut tupokutan potpuno istim postupkom dobili bismo iste formule.

Napomena 2

Sinusov poučak uporabit ćemo ako su zadane:

1) dvije stranice i kut koji leži nasuprot jednoj od tih stranica.

2) jedna stranica i dva kuta.

9

Dokaz 366

Dokažite 2 1

lim 2.1

n

n n

⋅ +=

→ ∞ +

Teorija

Broj a nazivamo limes niza (an) i pišemo

lim a ann=

→ ∞

ako za svaki ε > 0 postoji broj N(ε) tako da je

( )za .a a n Nn ε ε− < >

Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Svaki cijeli broj je racionalan broj:

1, .

1

n nn n= =

Oduzimanje razlomaka:

.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:

0 .,a b c a c b c< > ⇒ ⋅ < ⋅

Dijeljenje nejednakosti pozitivnim brojem:

, 0 .a b

a b cc c

> > ⇒ >


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

l

2 12 1

lim 2 .1im1

2

nan

a a nn

n na

nn

⋅ + =⋅ + =

→= ⇒ ⇒ + ∞→ ∞ + =

Iz nejednakosti a an ε− < slijedi:

( )2 1 2 12 1 2 1 22

1 1 1 1

n nn na an

n n nε ε ε ε

⋅ + − ⋅ +⋅ + ⋅ +− < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ < ⇒

+ + +

2 1 2 2 1 2 1 1

1

2

1 1

2

1

n n

n n

n

n

n

nε ε ε ε

⋅ − ⋅⋅ + − ⋅ − + − −⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒

+ + + +

10

( ) ( )1

1 1 1 1 1/ 11

nn n n nn

ε ε ε ε ε ε ε ε⇒ < ⇒ < ⋅ + ⇒ < ⋅ + ⇒ ⋅ + > ⇒ ⋅+ >⋅ − ⇒+

( )1 1

1 / 1 11

.n n Nε

ε ε εε ε

⇒ ⋅ > − ⇒ > − ⇒ = −⋅

Razlika a an − može se učiniti po volji malom ako je ( )1

1.n N εε

> = − ■

11

Dokaz 367

Dokažite da je 1

1 2 za 1.

n

nn

+ ≥ ≥

Teorija

Bernoullijeva nejednakost

Neka je n prirodan broj i x realan broj veći od – 1. Tada vrijedi

( )1 1 .n

x n x+ ≥ + ⋅

Jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1 ili x = 0.


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Uporabom Bernoullijeve nejednakosti dobijemo:

( )1

zamje1 1 1

1 1 1 1 11 1

na n nn

x n x nn n n

nnx

n

+ ≥ + ⋅ ⇒ ⇒ + ≥ + ⋅ ⇒ + ≥ + ⋅ ⇒

=

1 11 1 1 1 2.

n n

n n

⇒ + ≥ + ⇒ + ≥

■

12

Dokaz 368

Dokažite da je ( ) ( ) 0, , .n n

a b a b a b R+

− ⋅ − ≥ ∈

Teorija

Množenje nejednakosti

0 , 0 0

0 , 0 0.

a b a b

a b a b

> > ⋅ > ⇒

< < ⋅ >

��

Ako je a = b, onda je

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0.n n n n

a b a b a a a a− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ = ≥

Ako je a > b, onda je an > bn.

( ) ( )pomnožimo

nejednako0 s.

ti

00

a b a b n na b a bn n n n

a b a b

> − > ⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ − >

> − >

Ako je a < b, onda je an < bn.

( ) ( )pomnožimo

nejednako0 s.

ti

00

a b a b n na b a bn n n n

a b a b

< − < ⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ − >

< − < ■

13

Dokaz 369

Dokažite da za djeljivost brojeva vrijedi svojstvo refleksivnosti, tj. a | a.

Teorija

Prirodni broj b djeljiv je brojem a ako je b višekratnik broja a, tj. ako postoji prirodni broj q takav da je

.b q a= ⋅

Da a dijeli broj b zapisujemo ovako: a | b.

.|a b b q a⇔ = ⋅

��

| 1 .a a a a⇔ = ⋅ ■

14

Dokaz 370

Dokažite da za djeljivost brojeva vrijedi svojstvo tranzitivnosti, tj. ( )| i | | .a b b c a c⇒

Teorija

Prirodni broj b djeljiv je brojem a ako je b višekratnik broja a, tj. ako postoji prirodni broj q takav da je

.b q a= ⋅


.|a b b q a⇔ = ⋅

Umnožak se ne mijenja združimo li faktore na bilo koji način:

( ) ( ).a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

��

( ) ( ) 2 1

|1

. | .2 1 2 1|

2

a b b q ac q q a c q q a c q a a c

b c c q bq q q

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ==

⋅⋅

■

15

Dokaz 371

Dokažite ako je 1

lim , onda vrijedi lim 0.xnn n xn= ∞ =

→ ∞ → ∞

Teorija


lim a ann=

→ ∞


( )za .a a n Nn ε ε− < >

Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Svojstvo nejednakosti

10 .

1a b

a b> > ⇒ <


, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <


vrijedi │x│= x.


x < 0, je │x│= – x.

��

Neka je ε > 0 po volji maleni broj. Stavimo

1 1.M

Mε

ε= ⇒ =

Budući da je niz (xn) neograničeno rastući, postoji broj N(ε) takav da za n > N(ε) vrijedi

.x Mn >

Tada je

1 1 1 1 10 .x Mn

x M x M xn n nε> ⇒ < ⇒ < ⇒ − <

Znači da je

1lim 0.

n xn=

→ ∞ ■

16

Dokaz 372

Neka je lim i lim .a a b bn nn n= =

→∞ →∞ Dokažite da je niz (an + bn), n je prirodan broj, konvergentan i

( )lim lim lim .a b a b a bn n n nn n n+ = + = +

→∞ →∞ →∞

Teorija


lim a ann=

→ ∞


( )za .a a n Nn ε ε− < >

Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <


vrijedi │x│= x.


x < 0, je │x│= – x.

Svojstvo nejednakosti

.a b a b+ ≤ +

��

Ako je lim a ann=

→∞ znači da za svaki 0

2

ε> postoji

1n N∈ takav da je za svaki n ≥ n1

.2

a anε

− <

Ako je lim b bnn=

→∞ znači da za svaki 0

2

ε> postoji

2n N∈ takav da je za svaki n ≥ n2

.2

b bnε

− <

Neka je n0 veći od brojeva n1 i n2. Tada je

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a a b b a a b bn n n n n n n n+ − + = + − − = − + − ≤ − + − <

za svaki .2 2

n nε ε

ε< + = ≥ �

Dakle,

( )lim lim lim .a b a b a bn n n nn n n+ = + = +

→∞ →∞ →∞ ■

17

Dokaz 373

Dokažite svaki broj 2, i su racionalni, 0,a b a b b+ ⋅ ≠ je iracionalan broj.

Teorija

Broj oblika , ,a

a Z b Nb

∈ ∈ zove se racionalan broj.

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

2 je iracionalan broj.

Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q.

��

Pretpostavimo suprotno!

Neka je 2a b+ ⋅ racionalan broj.

2 , .a b r r Q+ ⋅ = ∈

Slijedi,

1/2 2 2 2 .

r aa b r b r a b r a

b b

−+ ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= −

To nije istina jer 2 nije racionalan broj, a r a

b

− je racionalan broj. Prema tome brojevi

2, 0a b b+ ⋅ ≠ su iracionalni brojevi. ■

18

Dokaz 374

Dokažite da brojevi n i n5 imaju jednaku zadnju znamenku (n je prirodan broj).

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1.,a a a a= =

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi

.a b q= ⋅


.|a b b q a⇔ = ⋅

Ako su a i b cijeli brojevi djeljivi cijelim brojem m, m ≠ 0, onda je s m djeljiv i njihov zbroj a + b i

njihova razlika a – b.

| | .i |m a m b m a b⇒ +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Prirodni je broj djeljiv s 10 ako mu je posljednja znamenka 0.

Potenciranje potencije:

( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Dijeljenje potencija jednakih baza:

.:n m n m

a a a−

=

��

Rastavit ćemo izraz n5 – n na faktore.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

5 4 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n

− = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 4 5 1 1 4 5 1 1n n n n n n n n n n n = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 5 1 1n n n n n n n n= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 5 1 1 .n n n n n n n n= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ +

Prvi pribrojnik (pet uzastopnih prirodnih brojeva),

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 ,n n n n n− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +

je djeljiv s 10 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 5.

Drugi pribrojnik (tri uzastopna prirodna broja),

( ) ( )5 1 1 ,n n n⋅ − ⋅ ⋅ +

očigledno je djeljiv s 10 jer ima faktore 5 i 2. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv s 10, a onda je i razlika

n5 – n djeljiva s 10. To znači da brojevi n5 i n imaju jednaku zadnju znamenku pa će tada njihova

razlika na zadnjem mjestu imati znamenku nulu. ■

19

Dokaz 375

Dokažite 2 ... .0 1 2

n n n nn

n

= + + + +

Teorija

Newton binomna formula

Za svaki ,a b R∈ i za svaki n N∈ je

( ) 1 1 1 1..

1..

0 1

n n n nn n n n na b a b a b a b a b

n n

− −+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

−

� �

��

Ako stavimo a = b = 1u Newton binomnu formuli dobijemo:

( ) 1 1 1 1...

0 1 1

n n n nn n n n na b a b a b a b a b

n n

− −+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

−

� �

( ) 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

0 11 1

1 n n n nn n n n

nb

n

n

a − −⇒ ⇒ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

−

=

=

� �

2 ... .0 1 1

n n n nn

n n⇒ = + + + +

−

■

20

Dokaz 376

Dokažite 1

, 1, 2, 3, ... , .1

n n nk n

k k k

+ + = =

−

Teorija

Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom

( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi

1 ! = 1,

2 ! = 1 · 2,

3 ! = 1 · 2 · 3,

4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,

5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.

Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu

n ! = (n – 1) ! · n.

Binomni koeficijent

Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom

n

k

i definiramo

( )!

.! !

n n

k k n k=

⋅ −

Neka svojstva:

( )11 1

0 1 2,

1 2, , .

n n n nn nn

n

⋅ −= = = =

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Zbrajanje razlomaka:

.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Množenje razlomaka:

.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

��

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )! ! ! !

1 ! ! ! ! 1 ! 1 !1 ! 1 !

n n n n n n

k k k n k k n k k n kk n k

+ = + = + =

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +− ⋅ − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )! !

1 ! ! 1 ! ! 1

n n

k k n k k n k n k= + =

− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 1 1 ! 1

1 ! ! 1 1 ! ! 1

n n n k k

k n k k n k k n k k n k

− + += ⋅ + = ⋅ =

− ⋅ − − + − ⋅ − ⋅ − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 1 ! 1

1 ! ! 1 1 ! ! 1

n n n n

k n k k n k k n k k n k

k k+ += ⋅ = ⋅ =

− ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − +

− +

21

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

! 1 ! 1

1 ! ! 1 1 ! ! 1

n n n n

k n k k n k k k n k n k

⋅ + ⋅ += = =

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ − ⋅ − +

( )( )

( )( )

11 ! 1 !.

! 1 ! ! 1 !

nn n

kk n k k n k

++ + = = =

⋅ − + ⋅ + − ■

22

Dokaz 377

Dokažite 1

.1

n nk n

k k

− ⋅ = ⋅

−

Teorija


( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅


1 ! = 1,

2 ! = 1 · 2,

3 ! = 1 · 2 · 3,

4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,

5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.


n ! = (n – 1) ! · n.

Binomni koeficijent


n

k

i definiramo

( )!

.! !

n n

k k n k=

⋅ −

Neka svojstva:

( )11 1

0 1 2,

1 2, , .

n n n nn nn

n

⋅ −= = = =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! !

! ! 1 ! ! 1 ! !

n n n nk k k

k k n k kk

kk n k k n k

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )1 ! 1 !!

1 ! ! 1 ! ! 1 ! !

n n nnn

k n k k n k k n k

− ⋅ −= = = ⋅ =

− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )11 ! 1 !!

.11 ! ! 1 ! ! 1 ! 1 1 !

nn n nnn n

kk n k k n k k n k

−− ⋅ − = = = ⋅ = ⋅

−− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − − ■

23

Dokaz 378

Dokažite svojstvo simetrije binomnih koeficijenata, tj. , 0, 1, 2, 3, ... , .n n

k nk n k

= =

−

Teorija


( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅


1 ! = 1,

2 ! = 1 · 2,

3 ! = 1 · 2 · 3,

4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,

5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.


n ! = (n – 1) ! · n.

Binomni koeficijent


n

k

i definiramo

( )!

.! !

n n

k k n k=

⋅ −

Neka svojstva:

( )11 1

0 1 2,

1 2, , .

n n n nn nn

n

⋅ −= = = =

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( )!

.! !

n n

k k n k=

⋅ −

Preoblikujemo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! !

! ! ! ! ! !

n n n n

n k n k n n k n k n n k n n knk= = = =

− − ⋅ − − − ⋅ − + − −⋅ +

( ) ( )! !

.! ! ! !

nn n

kn k k k n k= = =

− ⋅ ⋅ −

■

24

Dokaz 379

Dokažite nejednakost ( ) 1,

n n na b n a b b

−− > ⋅ − ⋅ ako su a i b pozitivni brojevi, a > b, n je prirodan

broj.

Teorija

Bernoullijeva nejednakost

Neka je n prirodan broj i x realan broj veći od – 1. Tada vrijedi

( )1 1 .n

x n x+ ≥ + ⋅

Jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1 ili x = 0.

Dijeljenje nejednakosti pozitivnim brojem:

, 0 .a b

a b cc c

> > ⇒ >

Svaki cijeli broj je racionalan broj:

1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), , , .: : : :

n nn na a a an nn n n n

a b a b a b a bn nb bb b

= = = =

��

Preoblikujemo nejednakost a > b.

/ 1 1 0.1 a a

a b abb

bb

> ⇒ > ⇒ ⇒ − >⋅ >

Primijenimo Bernoullijevu nejednakost.

( )zamjena

1 11

1 1 1 1ax

na an

bb

x n x nb

+ ≥ + ⋅ ⇒ ⇒ + − ≥ + ⋅ − ⇒

= −

111

1 11

1

n n na a a a b a a b

n n nnb b b b bb

− − ⇒ + ≥ + ⋅ − ⇒ ≥ + ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ ⇒

−

1 1/

na a b a b a bn n n n n

n a b n a b n bnb b bb

nb

− − − ⇒ ≥ + ⋅ ⇒ ≥ ⋅ + ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ ⋅ ⇒

⋅

25

( ) ( )1 1.

a bn n n n n n n na b n b a b n a b b a b n a b b

n

b

− − −⇒ ≥ + ⋅ ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ − ⋅ ⇒ − ≥ ⋅ − ⋅ ■

26

Dokaz 380

Dokažite da je presjek dvaju otvorenih intervala uvijek otvoreni interval ili prazan skup.

Teorija

Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju

njegovi elementi.

Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B.

Označavamo ga .A B∩

Neka su , , .a b R a b∈ < Tada se skup (a, b) zove otvoreni interval, a definira se ovako:

( ) { }, | .a b x R a x b= ∈ < <

��

Neka je

( ) ( ) ( ), , ,a b c d m n=∩

gdje je:

♥ { }max ,m a c= , označava veći od brojeva a i c

♥ { }min ,n b d= , označava manji od brojeva b i d.

Ako je m < n, onda je (m, n) otvoreni interval, a ako je m = n, onda je ( ), .m n = ∅ ■

27

Dokaz 381

Dokažite da je presjek dva segmenta uvijek segment ili prazan skup.

Teorija

Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju

njegovi elementi.

Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B.

Označavamo ga .A B∩

Neka su , , .a b R a b∈ < Tada se skup [ ],a b zove segment, a definira se ovako:

[ ] { }, | .a b x R a x b= ∈ ≤ ≤

��

Neka je

[ ] [ ] [ ], , ,a b c d m n=∩

gdje je:

♥ { }max ,m a c= , označava veći od brojeva a i c

♥ { }min ,n b d= , označava manji od brojeva b i d.

Ako je m < n, onda je [ ],a b segment, a ako je m = n, onda je [ ], .m n = ∅ ■

28

Dokaz 382

Dokažite da za realan broj x vrijedi 2

1 .x x x≥ ⇒ ≥

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =

Množenje potencija jednakih baza:

, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


0 .,a b c a c b c≥ > ⇒ ⋅ ≥ ⋅

��

Množimo nejednakost x ≥ 1 brojem x koji je pozitivan.

2/1 1 .x x x xx⋅≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ■

29

Dokaz 383

Dokažite da za realan broj x vrijedi 2

0 1 .x x x≤ ≤ ⇒ ≤

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


0 .,a b c a c b c≤ > ⇒ ⋅ ≤ ⋅

��

Množimo nejednakost 0 ≤ x ≤ 1 brojem x koji je pozitivan.

/2

0 1 1 .xx x x x⋅≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ■

30

Dokaz 384

Dokažite da je površina trokuta kojemu su zadane duljine visina va, vb i vc dana sa

1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P

v v v v v v v v v v v va c c a c a a cb b b b

= + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −

Teorija


Ploština trokuta izračunava se po formuli

2 2 2

2 2 2, , .

b va v c vP P Pa b cP a P b P cv v va cb

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

Heronova formula tvrdi da je površina P, trokuta čije su stranice a, b i c, jednaka:

( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

gdje je s poluopseg trokuta:

2.

a b cs

+ +=


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Množenje razlomaka:

.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


.:n m n m

a a a−

=

Množenje drugih korijena:

, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥

Dijeljenje drugih korijena:

, .a a a a

b b bb= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Preoblikujemo Heronovu formulu.

31

( ) ( ) ( )2

P s s a s ba b c

c ss

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒+ +

= ⇒

2 2 2 2

a b c a b c a b c a b cP a b c

+ + + + + + + + ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒

2 2 1 2 1 2 1

a b c a b c a a b c b a b c cP

+ + + + + + + + ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒

2 2 2

2 2 2 2

a b c a b c a a b c b a b c cP

+ + + + − ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 2

a b c b c a a c b a b cP

+ + + − + − + −⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )16


+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

16


+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )4


+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )4

/ 4a b c b c a a c b a b c

P+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −

= ⋅⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

2

42

2

Pa

va

P a b c b c a a cP

bvb

P

c

a

c

b b c

v

⋅=

⋅

⇒ ⋅ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒ ⇒

=

⋅=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24

P P P P P P P P P P P PP

v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2 2 2 2P P P P P


⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 144 16P P


⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 144 16P P


⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 124 4P P


⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

32

1/

1 1 1

4

1 1 1 1 1 1 1 1 124 4P P

v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b bP

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

⋅

⋅

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 P


⇒ = ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11P


⇒ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − = ⇒

jednakost podijelim s

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −

⇒ ⇒

1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P


⇒ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −

■

33

Dokaz 385

Dokažite ako je a + b + c = 0, tada vrijedi a3 + b3 + c3 = 3 · a · b · c.

Teorija


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =

Kub zbroja:

( ) ( )3 33 2 2 3 3 2 2 3

3 3 3 3, .a b a a b a b b a a b a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = +


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Kub negativnog broja:

( ) ( )3 33 3

, .a a a a− = − − = −

��

Iz a + b + c = 0 slijedi:

( )0 .a b c c a b c a b+ + = ⇒ = − − ⇒ = − +

Lijeva strana identiteta jednaka je

( )( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3

a b c a b a b a b a b+ + = + + − + = + − + =

( )3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 33 3 3 3a b a a b a b b a b a a b a b b= + − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =

3 3 3 32 2 2 23 3 3 3 .a b a bb b a ba aa b= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅+ − −

Desna strana identiteta jednaka je

( )( ) ( ) 2 23 3 3 3 3 .a b c a b a b a b a b a b a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − + = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Sada je

3 3 3 2 23 3 3 3 3

3 .2 2

3 3 3

a b c a b a ba b c a b c

a b c a b a b

+ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ + + = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

■

34

Dokaz 386

Neka je P polovište dužine teAB O M∈ bilo koja točka ravnine M. Dokažite:1

.2

OP OA OB→ → →

= ⋅ +

Teorija

Vektor je usmjerena dužina AB→

u kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj)

B. Crtamo ga poput obične dužine s tim da je završna točka označena strjelicom.

Dva su vektora jednaka ako se podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji.

Zbrajanje vektora prema pravilu trokuta

AB + BC = AC

A B

C

Kraj jednog vektora je početak drugog. Zbroj vektora iAB BC→ →

je vektor .AC→

Za zbrajanje vektora vrijedi zakon komutacije.

.a b b a→ → → →

+ = +

Oduzimanje vektora

a

b a - b

Vektore ia b→ →

smjestimo tako da im se hvatišta poklope. Tada je vrh od a→

ujedno vrh od a b→ →

− , a

vrh od b→

ujedno hvatište od .a b→ →

−

Nul – vektor je vektor čiji je modul (duljina) jednak 0. Oznaka: 0 .→

Množenje skalara i vektora

Svojstvo:

.a b a bα α α→ → → →

⋅ + = ⋅ + ⋅

��

PPA B

O O

BA

Sa slika vidi se:

35

2 , , , 0AB AP AP PB AP BP AP BP→ → → → → → → → →

= ⋅ = = − + =

1.inačica

zbrojimo

jednakosti

OP OA APOP OP OA AP OB BP

OP OB BP

→ → → → → → → → →= + ⇒ ⇒ + = + + + ⇒ → → → = +

02 2APOP OA OB AP BP OP OA OBBP→→ → → → → → → →

⇒ ⋅ = + + + ⇒ ⇒ ⋅ =→ →

+ ⇒

+ =

1

2 ./2

1

2OP OA OB OP OA OB→ → → → → →

⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +⋅

■

2.inačica

2 2AB OB OA AP OB OA OP OA OB OA→ → → → → → → → → →

= − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ − = − ⇒

2 2 2 2 2OP OA OB OA OP OB OA OA OP OB OA→ → → → → → → → → → →

⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ = − + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒

1

2 22

.1

/2

OP OA OB OP OA OB OP OA OB→ → → → → → → → →

⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +

⋅ ■

3.inačica

zbrojimo

jednakosti

AP OP OAAP BP OP OA OP OB

BP OP OB

→ → → → → → → → →= − ⇒ ⇒ + = − + − ⇒ → → → = −

0 0 OP OA OP OB OA OB OP OAP PBP→ → → → → → → → → → →

⇒ ⇒ = − + − ⇒ + = + ⇒

→+ =

1/

2

12 2 2 .

2OA OB OP OP OA OB OP OA OB OP OA OB→ → → → → → → → → → → →

⇒ + = ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +⋅

■

36

Dokaz 387

Dokažite formulu ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4.a b a b a a b a b a b b+ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

Teorija

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Svojstvo potencije:

1 1.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

��

( ) ( )4 3 2 2 3 4a b a a b a b a b b+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =

5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5a a b a b a b a b a b a b a b a b b= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =

4 3 2 2 3 4 4 53 2 2 3 45a b a b a b a b a b aa b a bb a b− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +−= =

5 5.a b= + ■

37

Dokaz 388

Dokažite formulu ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4.a b a b a a b a b a b b− = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Teorija

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Svojstvo potencije:

1 1.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

��

( ) ( )4 3 2 2 3 4a b a a b a b a b b− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5a a b a b a b a b a b a b a b a b b= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

4 3 2 2 3 4 4 53 2 2 3 45a b a b a b a b a b aa b a bb a b+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −−= =

5 5.a b= − ■

38

Dokaz 389

Dokažite da je za svaki 3

broj 11n Z n n∈ + ⋅ djeljiv sa 6.

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1.,a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=

Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b ako postoji cijeli broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅

Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo

ili : .a

q a b qb

= =

Ako su pribrojnici djeljivi brojem m, onda je i njihov zbroj djeljiv brojem m.

| | .i |m a m b m a b⇒ +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Rastavit ćemo izraz n3 + 11 · n na faktore.

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 211 12 12 1 12 1 1 12n n n n n n n n n n n n n n n+ ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ =

( ) ( )1 1 12 .n n n n= − ⋅ ⋅ + + ⋅

Prvi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),

( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +

je djeljiv sa 6 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 3.

Drugi pribrojnik

12 n⋅

je djeljiv sa 6. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. Prema tome broj n3 + 11 · n djeljiv je sa 6. ■

39

Dokaz 390

Dokažite da je za svaki ( )2broj 5n Z n n∈ ⋅ + djeljiv sa 6.

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1.,a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=


.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =


| | .i |m a m b m a b⇒ +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

��

Rastavit ćemo izraz n · (n2 + 5) na faktore.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 25 1 6 1 6 1 6 1 1 6n n n n n n n n n n n n n ⋅ + = ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ =

( ) ( )1 1 6 .n n n n= − ⋅ ⋅ + + ⋅

Ili

( ) ( ) ( )2 3 3 3 25 5 6 6 1 6n n n n n n n n n n n n n⋅ + = + ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ − + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 1 1 6 .n n n n n n n n= ⋅ − ⋅ + + ⋅ = − ⋅ ⋅ + + ⋅


( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +


Drugi pribrojnik

6 n⋅

je djeljiv sa 6. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. Prema tome broj n · (n2 + 5) djeljiv je sa 6. ■

40

Dokaz 391

Dokažite da je za svaki ( ) ( )broj 1 2 1n Z n n n∈ ⋅ + ⋅ ⋅ + djeljiv sa 6.

Teorija


.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =


| | .i |m a m b m a b⇒ +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Rastavit ćemo izraz n · (n + 1) · (2 · n + 1) na faktore.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2 1 1 2n n n n n n n n n n n⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ − + + = ⋅ + ⋅ − + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 .n n n n n n n n n n n n= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + = − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ +


( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +


Drugi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),

( ) ( )1 2n n n⋅ + ⋅ +

je djeljiv sa 6 jer ima faktore 2 i 3. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. To znači da je broj

n · (n + 1) · (2 · n + 1) djeljiv sa 6. ■

41

Dokaz 392

Dokažite ( ) .z z=

Teorija

Kompleksan broj je broj oblika

,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a

broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:

I .Re m,x z y z= =

Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.

Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

��

Neka je .z x y i= + ⋅ Slijedi:

( ) ( ) ( ) .z x y i x y i x y i z= + ⋅ = − ⋅ = + ⋅ = ■

42

Dokaz 393

Dokažite 2

.z z z⋅ =

Teorija

Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅



I .Re m,x z y z= =



.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Kvadrat imaginarne jedinice:

2 21 , 1 .i i= − − =

Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:

( ) ( )2 2

, .a a a a= =

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom

2 2.z x y= +


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

��


( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2

1z z x y i x y i x y i x y i x y x y⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − − = + =

222 2

.x y z

= + =

■

43

Dokaz 394

Dokažite .z z=

Teorija


,z x y i= + ⋅



I .Re m,x z y z= =



.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅


2 2.z x y= +

��


( )

2 2 2 2

.2 2 22

z x y i z x y z x yz x y iz z

z x y iz x y iz x yz x y

= + ⋅ = + = += + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =

= − ⋅= − ⋅ = += + −

■

44

Dokaz 395

Dokažite da je volumen najveće kugle tri puta veći od zbroja volumena dvije manje ako se polumjeri

triju kugla odnose kao 1 : 2 : 3.

Teorija

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili

jednaka polumjeru r. Obujam kugle polumjera r:

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:

a – prvi član omjera,

b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je

:1 2 1

:2 3 2

:3 4 3

....................

:1 1

a a k

a a k

a a k

a a knn n

=

=

=

=− −

produženi omjer je

: : : : ... : :1 3 4

.2 1

a a a a a ann−

Množenje cijelog broja i razlomka:

, , .b a b a b b a b a

a a bc c c c c c

⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kako zapisati da je broj b n puta veći od broja a?

, , .b b

b n a a nn a

= ⋅ = =

45

��

1.inačica

Neka su r1, r2, r3 polumjeri kugla tako da je

1

: : 1 : 2 : 3 2 .1 2 3 2

33

r k

r r r r k

r k

=

= ⇒ = ⋅

= ⋅

Dokažimo tvrdnju!

( ) 4 4 43 3 33 3

3 1 2 3 1 23 3 3V V V r r rπ π π

= ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )4 4 4 4 4 43 33 3 3 3

3 3 2 27 3 83 3 3 3 3 3

k k k k k kπ π π π π π

⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

108 4 32 108 363 3 3 3 33 3

3 3 3 3 3k k k k kπ π π π π

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

108 1083 3.

3 3k kπ π⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ■

2.inačica

Neka su r1, r2, r3 polumjeri kugla tako da je

1

: : 1 : 2 : 3 2 .1 2 3 2

33

r k

r r r r k

r k

=

= ⇒ = ⋅

= ⋅

Gledamo omjer.

( )

4 43 33 33 3 3 3

4 4 43 3 3 31 2 1 2

1 2 1 23 3 3

r rV V

V V V Vr r r r

π π

π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒

+ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

( )( )

( )

3 3 3333 3 3 3

3 3 333 3 21 2 1 2 1 21 21 2

4

34

3

rV V r V k

V V V V V Vr r k kr r

π

π

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ++ + ⋅⋅ ⋅ +

3 327 273 3 3 3 3.3 3 3

8 91 2 1 2 1 2

327

29 13

V V V Vk k

V V V V V

k

kV V Vk k k

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ + + ++ ⋅ ⋅ ⋅ ■

46

Dokaz 396

Dokaži za racionalne brojeve a, b i c korijeni jednadžbe ( ) ( )22 0a b c x a b x a b c+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − =

su racionalni.

Teorija


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.

20 , .a a R≥ ∈

Diskriminanta kvadratne jednadžbe

20a x b x c⋅ + ⋅ + =

je broj

24 .D b a c= − ⋅ ⋅

Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja.

Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.

Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.

��

( ) ( )22 0a b c x a b x a b c+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − = ⇒

( ) ( )

( )

22 0

, 2

24

,

a b c x a b x a b c

a a b c b a b c a b cD b a c

+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − = ⇒ ⇒ ⇒ = + + = − ⋅ + =

= − ⋅ ⋅+ −

( )( ) ( ) ( )2

2 4D a b a b c a b c⇒ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⇒

( ) ( )( ) ( )( )24 4D a b a b c a b c⇒ = ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⇒

( ) ( )22 2 2

4 2 4D a a b b a b c ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + − ⇒

( )2 2 2 2 24 8 4 4 2D a a b b a a b b c⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⇒

2 2 2 2 24 8 4 4 8 4 4D a a b b a a b b c⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

( )22 2

4 42 2 2 2

4 8 4 4 8 2 0.4a a b b a a bD c D cb D c⋅ + ⋅ ⋅⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ≥− ⋅ ■

47

Dokaz 397

Dokaži ako je za neki x R∈� produkt ( )a f x⋅ � negativan tada kvadratna funkcija

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + ima realne korijene.

Teorija

Umnožak dva suprotna broja je negativan broj.

0 , 0 0,a b a b> < ⇒ ⋅ <

0 0 0, .a b a b< > ⇒ ⋅ <

Graf kvadratne funkcije

( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola

2.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja.

Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore.

Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje.

��

Iz uvjeta ( ) 0a f x⋅ <� slijedi:

♥ ( ) [ ] ( ) 0,00a f x f xa >⋅ < ⇒ ⇒ <� � f(x) ima dva realna korijena

♥ ( ) [ ] ( ) 0,00a f x f xa <⋅ < ⇒ ⇒ >� � f(x) ima oba realna korijena

■

48

Dokaz 398

Dokaži ako je za neka dva realna broja x1 i x2 produkt ( ) ( )1 2f x f x⋅ negativan, tada kvadratna

funkcija ( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + ima realne korijene.

Teorija

Umnožak dva suprotna broja je negativan broj.

0 , 0 0,a b a b> < ⇒ ⋅ <

0 0 0, .a b a b< > ⇒ ⋅ <

Graf kvadratne funkcije

( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola

2.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja.

Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore.

Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje.

��

Iz uvjeta ( ) ( ) 01 2

f x f x⋅ < slijedi da su f(x1) i f(x2) suprotnog predznaka pa kvadratna funkcija mora

imati nultočku unutar intervala ( ), .1 2

x x ■

49

Dokaz 399

Dokaži za svaka dva kompleksna broja z i w vrijedi jednakost

2 2 2 22 2 .z w z w z w+ + − = ⋅ + ⋅

Teorija


,z x y i= + ⋅



I .Re m,x z y z= =



.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Svojstva:

2,

2, .z z x y z w z w z w z w⋅ = + + = + − = −


2 2.z x y= +

.2

z z z⋅ =

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

��

( ) ( ) ( ) ( )2 2

z w z w z w z w z w z w+ + − = + ⋅ + + − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )z w z w z w z w z z z w w z w w z z z w w z w w= + ⋅ + + − ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

z z w w z z w w z z w w z zz w w z z w wz w w+ ⋅ + ⋅ − ⋅ −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ =

2 22 2 2 2 .z z w w z w= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ■

Napomena

Navedena jednakost izriče planimetrijski poučak: zbroj kvadrata dijagonala bilo kojeg

paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica.

50

Dokaz 400

Dokaži za sve prirodne brojeve veće od 1 vrijedi nejednakost ( ) ( )log 1 log 2 .1

n nn n+ > +

+

Teorija

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→= =

Svojstva logaritma:

log log lo ,g log log log log 1, .x x

x y x y bb b b b b b by y

= − − = =

,1 log log 1 , log log .a b x x b x y x ya b b b< < ⇒ > > > ⇒ >

Svojstva nejednakosti:

, .a b c R a c b c> ∈ ⇒ + > +

1 10 .a b

a b< < ⇒ >


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Primijetimo najprije da je

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 1/

1 1 1 11n n

n n n n n n n n< + ⇒ > ⇒ > ⇒ + > + ⇒ + > +

+ + + ++ ⇒

1 1 1 1 2.

1 1

n n n n

n n n n

+ + + + +⇒ > ⇒ >

+ +

Ili ovako:

1 1 1 11

1 2.

2 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 11

1 1 1 1 11 1

n

n

n n n

n n

n nn n n n n

n n n n n

n n n n nn n

>+

+ = + = + = + + +

⇒ ⇒ > + + + + + = = + = + = ++ + + + + +

+

+

Kako je po pretpostavci n > 1, slijedi:

51

1 1log log

1 1 2log log

11 2 1log log

1 1 1

n nn n n nn n

n nn n n n

n nn n

+ + > + + +

⇒ > ⇒ ++ + +>+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )log 1 log log 2 log 1 log 1 1 log 2 11 1 1

n n n n n nn n nn n n⇒ + − > + − + ⇒ + − > + − ⇒

+ + +

( ) ( ) ( ) ( )log 1 log 2 log 1 log 2 .1 1

1 1n n n nn nn n− −⇒ + > + ⇒ + > +

+ + ■

52

Dokaz 401

Dokaži da za funkciju f(x) = x2 vrijedi jednakost ( ) ( ) ( )1 1 2 2.f x f x f x− + + = ⋅ +

Teorija

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1 22

1 2 1f x f x x x x xx xx xf − + + = = − + + = − ⋅ + + + ⋅= + =

( )2 2 2 2 212 1 1 1 2 2 2 2.2x xx x x x x f x= + + + = + + + = ⋅ + = ⋅+ ⋅ +− ⋅ ■

53

Dokaz 402

Dokaži da je kugla konveksan skup.

Teorija

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili

jednaka polumjeru r.

Sfera je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka r. Kugla je omeđena sferom.

Konveksan skup je podskup euklidskoga prostora koji, čim sadržava neke dvije točke, sadržava i

njihovu spojnicu.

��

rS

A

B

C

Neka je (S, r) sfera pridružena danoj kugli. Ako su A, B bilo koje dvije različite točke kugle i

C AB∈ , tada je očito duljina │SC│ je manja od veće od dviju duljina │SA│ i │SB│. Zato je

│SC│< r pa točka C pripada kugli. ■

54

Dokaz 403

Dokaži da vrijedi jednakost ( ).tg tg tg tg ctg ctgα β α β α β+ = ⋅ ⋅ +

Teorija

Sveza funkcija tg x i ctg x:

, , ,1 1

1 .1tg x ctg x tg x ctg x tg x tg xctg x ctg x

⋅ = = ⋅ = =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

��

1.inačica

( )1 1 1ctg ctg

tg tg ctg ctgctg ctg ctg ctg ctg ctg

β αα β α β

α β α β α β

++ = + = = ⋅ + =

⋅ ⋅

( ).tg tg ctg ctgα β α β= ⋅ ⋅ + ■

2.inačica

( )tg tg ctg ctg tg tg ctg tg tg ctgα β α β α β α α β β⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) 1 1 .tg ctg tg tg tg ctg tg tg tg tg tg tgα α β α β β β α β α α β= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = + ■

55

Dokaz 404

Dokažite identitet ( ) ( )2 21,c x s x− = ako su c i s realne funkcije zadane formulama

( ) ( ) ( ) ( )1 1, .

2 2

x x x xc x a a s x a a

− −= ⋅ + = ⋅ −

Teorija


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Svojstvo potencije:

1 , 0 1 ,, .0a a a a= ≠ = ≠� �


( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 12 2

2 2

x x x xc x s x a a a a

− −− = ⋅ + − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1

4 4 4

x x x x x x x xa a a a a a a a

− − − −= ⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − − =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

4


− − − −= ⋅ + − − ⋅ + + − =

( ) ( )1

4


− − − −= ⋅ + − + ⋅ + + − =

( ) ( )1

4

x x x xa a a

x x x xa a a aa

− −− + −

− −= ⋅ + + ⋅ + =

( ) ( )1 1 1 12 2 4 1.

4 4 44

4

x x x x x x x xa a a a a a

x xa a a

− − − − += ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

− +⋅ = ⋅ ⋅ = =

� ■

2.inačica

56

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 12 2

2 2

x x x xc x s x a a a a

− −− = ⋅ + − ⋅ − =

( ) ( )2 21 1

4 4

x x x xa a a a

− −= ⋅ + − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1

2 24 4


− − − −= ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + =

( ) ( )1 12 2 2 22 2

4 4

x x x x x x x xa a a a a a

⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =

( ) ( )1 12 2 2 22 2

4 4

x x xx x x xxa a a a a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − +

−⋅ − ⋅

−=

( ) ( )1 12 2 2 22 2

4 4

x x x xa a a a a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =

� �

( ) ( )1 12 2 2 22 1 2 1

4 4

x x x xa a a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =

( ) ( )1 12 2 2 22 2

4 4

x x x xa a a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + + − ⋅ − + =

( ) ( )1 2 2 2 22 2

4

x x x xa a a a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + + − − + =

( ) ( )1 12 2 2 22 2

2 22

2 22

4 4

x x xx x x xa

xa a aa aa a

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + + − + − =

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅+ − −⋅ + + =

1 14

44 1.

4= ⋅ = ⋅ = ■

57

Dokaz 405

Dokažite .z w z w+ = +

Teorija


,z x y i= + ⋅



I .Re m,x z y z= =



.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

Neka su

.z a b i z a b i

w c d i w c d i

= + ⋅ = − ⋅ ⇒

= + ⋅ = − ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( )z w a b i c d i a c b d i a c b d i a c b i d i+ = + ⋅ + + ⋅ = + + + ⋅ = + − + ⋅ = + − ⋅ − ⋅ =

( ) ( ) .a b i c d i z w= − ⋅ + − ⋅ = + ■

2.inačica

Neka su

.z a b i z a b i

w c d i w c d i

= + ⋅ = − ⋅ ⇒

= + ⋅ = − ⋅

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

z w a b i c d i z w a c b d iz w a c b d i

z w a c b d iz w a b i c d i z w a b i c d i

+ = + ⋅ + + ⋅ + = + − + ⋅+ = + + + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

+ = + − + ⋅+ = + ⋅ + + ⋅ + = − ⋅ + − ⋅

.z w z w⇒ + = + ■

58

Dokaz 406

Dokažite .z w z w− = −

Teorija


,z x y i= + ⋅



I .Re m,x z y z= =



.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

Neka su

.z a b i z a b i

w c d i w c d i

= + ⋅ = − ⋅ ⇒

= + ⋅ = − ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )z w a b i c d i a b i c d i a c b d i a c b d i− = + ⋅ − + ⋅ = + ⋅ − − ⋅ = − + − ⋅ = − − − ⋅ =

( ) .a c b i d i a b i c d i a b i c d i z w= − − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + ⋅ = − ⋅ − − ⋅ = − ■

2.inačica

Neka su

.z a b i z a b i

w c d i w c d i

= + ⋅ = − ⋅ ⇒

= + ⋅ = − ⋅

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )z w a b i c d i z w a b i c d i z w a c b d i

z w a b i c d i z w a b i c d iz w a b i c d i

− = + ⋅ − + ⋅ − = + ⋅ − − ⋅ − = − + − ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

− = − ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ − + ⋅− = + ⋅ − + ⋅

( )

( ).

z w a c b d iz w z w

z w a c b d i

− = − − − ⋅ ⇒ ⇒ − = −

− = − − − ⋅

■

59

Dokaz 407

Dokažite inverzna funkcija linearne funkcije također je linearna funkcija.

Teorija

Linearna funkcija (polinom prvog stupnja) je realna funkcija zadana jednadžbom f(x) = a · x,

a ≠ 0. Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:

( )( ) za sveg f x x x D= ∈

( )( ) za sve .f g y y y K= ∈

Inverzna funkcija g piše se f - 1.


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11

.1

/f x a x a x f x a x f x x f x f xa

xa a

⋅−

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ■

2.inačica

( ) [ ]1

/1

f x a x y a x x a y a y x a y x y xa

x ya

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= ⋅↔ ⇒

( )11

.f x xa

−⇒ = ⋅ ■

60

Dokaz 408

Dokažite inverzna funkcija afine funkcije također je afina funkcija.

Teorija

Afina funkcija (polinom prvog stupnja) je realna funkcija zadana jednadžbom f(x) = a · x + b,

a ≠ 0.

Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:


( )( ) za sve .f g y y y K= ∈



jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

/b

f x a x b a x b f x a x f x b a x f x b x fa aa

x= ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ −⋅ ⇒

( )11

.b

f x xa a

−⇒ = ⋅ − ■

2.inačica

( ) [ ]f x a x b y a x b x y x a y b a y b x a y x b= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = −↔ ⇒

( )1 11

/1

.b b

a y x b y x f x xa a aa a

⋅−

⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ■

61

Dokaz 409

Dokažite da je inverzna funkcija racionalne funkcije ( )a x b

f xc x d

⋅ +=

⋅ + racionalna funkcija.

Teorija



( )( ) za sve .f g y y y K= ∈



( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( )/a x b a x b

f x f x f x c x d a x bc x d c

c x dx d

⋅ + ⋅ += ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⇒

⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )f x c x f x d a x b f x c x a x b f x d⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1

/c f x a x b d f x c f x a x bf

d f xc x a

⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅⋅⋅

= −−

⋅ ⇒

( )( )

( )( )

( )1.

b d f x d f x b d x bx x f x

c f x a c f x a c x a

− ⋅ − ⋅ + − ⋅ +−⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ − ⋅ − ⋅ − ■

2.inačica

( ) [ ] ( )/a x b a x b a y b a y

x yb

f x y x xc x d c x d c y d c

c dy d

y⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ + ⋅ +

↔ ⋅+

⋅⋅

++ ⋅

( )x c y d a y b x c y x d a y b x c y a y b d x⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

( ) ( )1

/b d x

c x a y b d x c x a y b dc x a

x yc x a

⋅⋅ −

− ⋅⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⇒

⋅ −

( )1.

d x b d x by f x

c x a c x a

− ⋅ + − ⋅ +−⇒ = ⇒ =

⋅ − ⋅ − ■

62

Dokaz 410

Dokažite ako je ( )2 1

,2

xf x

x

⋅ +=

− onda je ( )( ) { }, \ 2 .f f x x x R= ∀ ∈�

Teorija


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Množenje cijelog broja i razlomka:

, , .b a b a b b a b a

a a bc c c c c c

⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )2 1 22 1

2

1

2 2

fxf f x

x

f x xf f x f f x f x

f fx x

⋅ + ⋅ + = = = = = =

⋅ +

−

− −=�

( )

( )

( )

2 2 12 1 4 2 1 4 2 22 1 1

2 2 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 22 2

2 2 2 1 2

2 1

2

xx x x x

x x x x

x x x x x

x x

x

x

xf x

x

⋅ ⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ + + −⋅ + + +

− − − −= = = = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ − −

⋅ +=

− − −− − − −

4 2 2 4 4 5 5

52 2 2 2.

2 1 2 4 1 4 1 4 5 5 5

2 2 2 2

2 2

52

2 2 5

2

x x x x x x x x

x xx x x xx

x x

x

x

x

x x xx

x

⋅ + + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅− − − −= = = = = = = =

⋅ + − ⋅ + + + +

− −

+ −

−

⋅ − ⋅

−− −

■

63

Dokaz 411

Dokažite za realnu funkciju ( )1

1

xf x

x

−=

+ vrijedi

1.f f

−=

Teorija



( )( ) za sve .f g y y y K= ∈



( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 11 1

/ 1x x

f x f x f x x x f x f x x xx x

x− −

= ⇒ = ⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅⋅ + = − ⇒+ +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1 1 11

/1

x f x x f x f x x f x f x x f xf x

⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = ⋅+

− ⇒

( )( )

( ) ( )1 11

.1 1

f x xx f x f x

f x x

− −−⇒ = ⇒ = =

+ + ■

2.inačica

( ) [ ] ( ) ( )1 1 1 1

1 11 1 1

/ 11

x x y yf x y x x x y yx y y

x x y y

− − − −= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ + = − ⇒

+ + + +↔ ⋅ +

( ) ( )1 1 1 1 11

/1

1x x y y x y y x x y x xx

x y⇒ + ⋅ = − ⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = − ⋅+

⇒

( ) ( )1 11

.1 1

x xy f x f x

x x

− −−⇒ = ⇒ = =

+ + ■

64

Dokaz 412

Dokažite identitet ( )100 50

1 2 .i+ = −

Teorija


( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat imaginarne jedinice:

2 21 , 1 .i i= − − =


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Potencija s negativnom bazom i neparnim eksponentom:

( ) .2 1 2 1n n

a a⋅ + ⋅ +

− = −

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )50 50100 2 50 50 502 50 50

1 1 1 2 1 2 1 2 21 12i i i i i i i i + = + = + ⋅ + = + ⋅ − −= + ⋅ = ⋅ = ⋅ =

( ) ( )25 2550 2 50 50 50

2 2 1 1 2 2 .i= ⋅ = ⋅ − = − ⋅ = − ■

65

Dokaz 413

Neka je :f R R→ parna funkcija. Dokažite da je graf funkcije :g R R→ zadane s

( ) ( ) , ,g x f x a a R= − ∈ simetričan s obzirom na pravac x = a.

Teorija

Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo parnom, ako je

f(– x) = f(x).

��

Primijetimo da je f parna funkcija

( ) ( ).f x f x− =

Treba pokazati da je za svaki realni broj x ispunjena jednakost

( ) ( ).g a x g a x− = +

Zaista,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a ag a x f a x a g a x f x g a x f x

g a x f a x a g a x f x a g f xa a x

− = − − − = − − = − − ⇒ ⇒ ⇒

+ = + − + = + + = −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ).

g a x f xf x g a x g a x

g a x f xf x

− = ⇒ ⇒ ⇒ − = +

+ = − = ■

66

Dokaz 414

Dokažite jednakost ( ) ( ) ( )2

1 sin cos 2 1 sin 1 cos .α α α α+ + = ⋅ + ⋅ +

Teorija

Kvadrat trinoma:

( ) .2 2 2 2

2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )2

2 .2 2 2

2 2a b c a b a c b c a b c+ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + +

Osnovna trigonometrijska relacija:

2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( )2 2 2 21 sin cos 1 sin cos 2 1 sin 2 1 cos 2 sin cosα α α α α α α α+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

2 21 sin cos 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

( )2 21 sin cos 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

1 1 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α α α= + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )( )2 1 sin cos sin cos 2 1 sin cos sin cosα α α α α α α α= ⋅ + + + ⋅ = ⋅ + + + ⋅ =

( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 sin cos 1 sin 2 1 sin 1 cos .α α α α α= ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ■

67

Dokaz 415

Dokažite jednakost 4 4sin cos

sin cos .sin cos

α αα α

α α

−= +

−

Teorija


( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Osnovna trigonometrijska relacija:

2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos4 4sin cos

sin cos sin cos sin cos

α α α α α αα α

α α α α α α

− − ⋅ +−= = =

− − −

( ) ( ) ( )2 2sin cos 1 2 2 sin cos sin cossin cos

sin cos sin cos sin cos

α α α α α αα α

α α α α α α

− ⋅ − ⋅ +−= = = =

− − −

( ) ( )sin cos

s

sin cossin c

ino .

c ss

o

α α

α

α

α

αα α

⋅ += = +

−

− ■

68

Dokaz 416

Dokažite da vrijedi sin

0.cos

x tg x

x ctg x

+>

+

Teorija


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Kvadrat realnog broja je nenegativan broj:

20 , .a a R≥ ∈

Razlomak je pozitivan:

♥ ako su brojnik i nazivnik pozitivni

0 , 0 0a

a bb

> > ⇒ >

♥ ako su brojnik i nazivnik negativni

0 , 0 0.a

a bb

< < ⇒ >

Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa:

sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Definicija kotangensa pomoću sinusa i kosinusa:

cos cos

si i.

n s n,

x xctg x ctg x

x x= =

��

Budući da nazivnik ne smije biti nula, mora biti , .2

x k k Zπ

≠ ⋅ ∈

69

( )( )

sin sin cos sin sin

sin cos sin sinsin 1 cos cos

cos cos sin cos coscos cos sin cos cos

1 sin sin

x x x x x

x x x xx tg x x x

x x x x xx ctg x x x x x

x x

⋅ ++

⋅ ⋅ ++= = = =

⋅ ++ ⋅ ⋅ ++

( )( )

( )

( )

2sin sin cos 1 sin 1 cos0

2cos cos sin 1 cos 1 sin

x x x x x

x x x x x

⋅ ⋅ + ⋅ += = >

⋅ ⋅ + ⋅ + jer je

1 cos 0.

1 sin 0

x

x

+ >

+ > ■

70

Dokaz 417

Dokažite ako su u troznamenkastom prirodnom broju dvije posljednje znamenke jednake, a zbroj

njegovih znamenki djeljiv sa 7, onda je i sam broj djeljiv sa 7.

Teorija


Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =


1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �


Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi

1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +

gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈


.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Troznamenkasti broj kojem su posljednje dvije znamenke jednake možemo napisati u obliku

100 10 100 11 2 4 98 7n abb n a b b n a b n a b a b= ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 7 14 .n a b a b⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

Zbroj znamenki djeljiv je sa 7 pa vrijedi:

2 7 , .a b k k Z+ ⋅ = ⋅ ∈

Sada je

( ) ( ) ( ) ( )2 2 7 14 2 7 7 14 7 2 14 .n a b a b n k a b n k a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ +

Dakle, broj n djeljiv je sa 7. ■

71

Dokaz 418

Dokažite ako je znamenka jedinica troznamenkastog cijelog broja jednaka razlici znamenki desetica

i stotica taj je broj djeljiv s 11.

Teorija


Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =


1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �


Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi

1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +

gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈


.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

100 10 100 10uvjet

c b aabc a b c abc a b b a= ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + + −

= −⋅ ⇒

( )99 11 11 9 .abc a b abc a b⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ■

72

Dokaz 419

Dokažite da je za svaki neparan cijeli broj n broj ( ) ( )2 2

20 17 17 20n n⋅ + − ⋅ + djeljiv s 888.

Teorija

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi s 2, a

neparni su oni koji nisu djeljivi s 2.

Da je proizvoljni prirodni broj m paran znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈

Da je proizvoljni prirodni broj m neparan znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈

Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈

��

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 220 17 17 20 20 17 17 20 20 17 17 20n n n n n n⋅ + − ⋅ + = ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )20 17 17 20 20 17 17 20 3 3 37 37n n n n n n= ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )je neparan broj

2 1 ,3 1 37 1 111 1 1n n n n

n

n k k N

= ⋅ −

= ⋅ + ∈⋅ ⋅ + = ⋅ − ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 2 1 1 2 1 1 111 2 2 2 111 2 21 11k k k k k k= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ++ =

( ) ( )444 1 1 2 444 2 88 ., 8k k m m Nk k m m= ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ ⋅= ∈ ■

73

Dokaz 420

Dokažite umnožak dva uzastopna parna broja djeljiv je brojem 8.

Teorija

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi s 2, a

neparni su oni koji nisu djeljivi s 2.

Da je proizvoljni prirodni broj m paran znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈

Parni brojevi rastu za 2.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅

Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈

Od dva uzastopna parna broja jedan je djeljiv s 4.

��

Neka su zadana dva uzastopna parna broja:

2 , 2 2.n n⋅ ⋅ +

Tada je

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 4 1 ,1 2n n n n n n n n k k N⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + == ⋅ ∈ =

4 2 8 .k k= ⋅ ⋅ = ⋅ ■

dokaz420 - halapa · 3 Dokaz 362 Dokaži da za svaki realan broj x za koji je 0 , 2 x π < < vrijedi jednakost log sin log log cos .(x tg x x) = +( ) ( )Teorija Logaritam broja a

Documents