1 En Mé xi co se anunciaba hace muchos añ os: “Invierta en Bonos del Ahorro Nacional, que dulican su valor a los 1! años" #$u%l era la tasa de interés anual que a&aban los BAN' F= 2P P=P F= P ( 1 +i ) n 2 P = P ( 1 +i ) 10 ⟶sedividetodo entr e P 10 √ 2= 10 √ ( 1+ i ) 10 1.0717=1 +i ⟷i =7,17 ())La tasa de interés que pagaban los BAN es de 7,17% anual y esto provoa la dupliidad de su valor en 1! a"os# * +i en un b anc o se ahorra n -. ca da año, a una tasa de interés de . / caitali0ad a anualmente, #$u%nto se tendr% al inal de los 2 años' A3$7n3& 43' i3% F= A [ (1 +i ) n −1 i ] F=$ 75 [ ( 1 +0,05 ) 8 −1 0,05 ] =$ 716,18 ())Al (inal de los & a"os se tendr) $71*,1& en su uenta de a+orro, ya que se depositaron anualente $7on una tasa de interés del % anual 5 6na ersona ahorr7 durante 8 años, al inali0ar cada uno de ellos, 1*. en un banco que a&aba 1!/ de interés anual9 Inmediatamente desués de hacer su cuarto de7sito, el banco ba7 la tasa de interés al 2/9 ;ue&o de hacer el quinto de7sito < hast a el décimo, el banco mant uvo la tasa inicial de 1!/ anual9 #=e cu%nto disondr% el ahorrador al inal de los 1! años, si durante ese tiemo mantuvo su ahorro de 1*. anual' -aiendo .quivalenia en 1!: F= A/F0A,1!%,$12/F0P,&%,$12/F0A,1!%,3/F0P,1!%,*F= $12/*,1!1$12/1,3*45$12/3, *31/1,771*
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- 6n matrimonio ue a una tienda a com rar ro a a crédito or un valor de .!!!9 ;a
tienda o rece * lanes de a&o: en el 1 lan se reali0an .! a&os semanales de
1*-9.- cada uno, haciendo el rimer a&o una semana des ués de la com ra9 El *
lan de a&o consiste en dar un en&anche de *!/ del valor de la com ra una
semana des ués de haber reali0ado la com ra9 El es oso o ina que deber an ele&ir el 1 lan de a&o, con un interés anual de .*/ con ca itali0aci7n semanal,
determine quién tiene la ra07n, desde el unto de vista econ7mico9
>8 &% # se anal?P8 !, !1
1@ Plan de Pago
P= A /P0A, 1%, !@3 $127, 7 /54,14*1 = $ #!!!#23*3
2@Plan de Pago
!, 2/ #!!! = $1#!!!
P= $ 1.000 + A[ (1+i)n− 1
i (1+i)n ] P= $1.000 +$127,05 [ (1,01 )38− 1
0,01 (1,01 )38] P= $1.000 +$127,05 [1,4595 − 1
0,0146 ]P= $3#44&, 432
()) los 2 tipos de pagos son asi iguales, su di(eren ia es de $1,* # Pero to )ndolo de(or a )s estri ta aunque la di(eren ia es ni a, la esposa tendr a la ra9<n#
Ho o nuestro presente esta en el es 23 a esto se le su an los 32 eses que nos da n()) .l dep<sito se agotar a en el es **, retirando ensual ente una uota de $& 3, #
1. 6n adre de 4amilia ha ensado en ahorrar 2! al mes durante cierto eriodo de la
vida de su hi o equeño, en un banco que a&a un interés del 1*/ anual
ca itali0ado mensualmente9 ;os ahorros se har an hasta que el hi o cum liera 1-
años9 6n año des ués, es decir, cuando el oven tuviera 12 años, em e0ar% su
educaci7n universitaria, la cual el adre ha calculado que costar% 89.!!9 $ostar%
()) .l padre tuvo que a+orrar 1! a"os y 5 eses para que su +i o a los 17 a"os tuviera$ 19.078,4402 , y la edad del ni"o ser a 17a"os I 1!a"os y 5 eses, su +i o debi< tener 7
1> El oven utbolista Inocencio del $am o recientemente cum li7 *1 años < su uturo
en el de orte es mu< rometedor9 +u contrato con el equi o “?amel&os" termino <
el mismo equi o <a le o reci7 un nuevo contrato durante > años or la suma de 19>
millones de d7lares, a&aderos al momento de la irma9 @or otro lado, el iensa que
si eleva continuamente su nivel de ue&o, uede conse&uir contratos anuales, elrimero de los cuales ser a or *.! !!! de d7lares <, con cada contrato sucesivo,
edir una suma adicional de .! !!! d7lares9 En todos los contratos se a&a lo
convenido a rinci io de cada año9 +i la tasa de interés que se considera es del
1./ anual, #Gué deber% hacer Inocencio si quiere lanear sus r7ximos > años de
$1#*!!#!!! ; $1# 33#31 = $ # &()) .l e or plan que puede to ar ?no en io es el ontrato on el .quipo >a elgos,porque gana $ # & )s que +a iendo ontratos anuales
1- 6na ersona iensa de ositar 1.! cada mes durante el si&uiente año en un banco
que a&a una tasa de interés de 1,./ mensual9 $onsidera que des ués de hacer los
1* de 7sitos del rimer año uede aumentar su ahorro mensual a 12!9 #$u%nto
tendr% al inal de * años si no retira nin&una cantidad de dinero durante este
()) .l (ondo de $2*44 se eJtinguir) en 4 a"os tras sa ar dep<sitos de $5!! ini ial ente yque anual ente van in re entando por $ !
1C 6na amilia cuenta con un ondo de 5! !!! ara remodelar su casa en el uturo9 El
dinero est% de ositado en un banco que a&a un interés de -/ anual9 +i la amiliaconsidera que &astara 1! !!! al inal del se&undo año < 1. !!! al inal del cuarto
año, #$on qué cantidad odr% contar al concluir el quinto año'P8 $5!#!!!i8 7%
a&o de *8 mensualidades i&uales, haciendo el rimes a&o un mes des ués de
obtener el crédito9 El deudor lo&ra a&ar hasta la mensualidad 1* <, or tener
roblemas de dinero, sus ende los a&os durante los meses 15, 18, 1. < 1>9 A
artir del inal del mes 1- vuelve a a&ar la mensualidad en orma normal, ero
decide que en los si&uientes meses va a a&ar la mensualidad normal mas .!, esdecir, en el mes 12 a&ara la mensualidad normal mas .!, en el mes 1C a&ar% la
mensualidad normal mas 1!!, etc9 #En cu%l mes terminar% de a&ar la deuda'
=etermine el monto exacto del ltimo a&o si no es m lti lo de *!
]Ho en9a os on n= & porque estos son los eses que (altan para ter inar el pla9o de ladeuda
N 2 C$ 5.788,4142 $ #!25,7341 $ &1!,&&!2
$ 5.788,4142 = $ 5.023,7491
$ 5.788,4142 − $ 5.023,7491 = $ 764,6651
.n la tabla ve os que a los & pagos, aun la persona queda debiendo $7*3,** 1 y o o
estos pagos (ueron pasados a un P 1* estos se pasar an a un (uturo para ver u)nto lequedar a de saldo a la persona para on luir su deudaG ser) nuestro nuevo presente#
F 24 = P16 (1+i)n
F 24 = $ 764,6651 (1,015 )8= $ 861,3895
K00 La deuda la ter inara de pagar en el es 2 , aunque seg n lo estipulado ini ial ente seter inar a en el es 23, pero aun deb a $&*1,5&4 que lo paga en el es pr<Ji o on una
uota de $4!! ya que las lti as uotas son ltiplos de $ !#
*1 $alcule P del si&uiente dia&rama de lu o, si i=20%
Podr) +a er 14 retiros de $5#!!! )s retiros de $3#!!!, en 23 retiros se agota el a+orro#
*2 6n equi o vie o roduce una &ran cantidad de ie0as de ectuosas9 +e calcula que
durante los si&uientes 8 años se roducir%n 19*!! ie0as de ectuosas or año < aartir del .to, éstas aumentar%n en 1.! unidades anuales9 ;a em resa que tiene
este equi o usa como re&encia una tasa de interés de 1*/ anual < est% haciendo
un estudio ara un er odo de 2 años, si cada ie0a de ectuosa le cuesta 1!,
#$u%nto estar%n dis uestos a a&ar ahora or una m%quina nueva que evite
totalmente este roblema'
P= 1.200 ($ 10 ) ( P / A ,12 , 4 )+[1350 ($ 10 ) ( P / A ,12 , 4)+150 ($ 10 ) ( P /G , 12 ,4 ) ]( P / F , 12 , 4)
Hon los pagos eJtras de $1!! las ensualidades quedar an en $2&,*
51 $alcule 4 del si&uiente dia&rama de lu o, si i31./
F + F ( P F ,15 ,4)+ F ( P F ,15 ,8)= $50 +$40( P F ,15 ,1)+$30( P F ,15 ,2)+$20( P F ,15 ,3)+$10( P F ,15 ,4)+ F + F (0,5718 )+ F (0,3269 )= $ 50 +$ 40 (0,8696 )+$ 30 (0,7561 )+$ 20 (0,6575 )+$ 10 (0,5718 )+$ 20 (0,4972 )+$ F + F (0,5718 )+ F (0,3269 )= $ 180,6290
F 1= P(1+i)n! F 1= $ 9.215,2216 (1+0,02 )19= $13.424,8378
F 2 = $550( F A
,2 ,19)+$50( F G
,2 ,19) F 2 = $550 (22,8405 )+$50[ 1
0,02 ][ (1+0,02 )19− 10,02
− 19] F 2 = $550 (22,8405 )+$50 (192,0279 )
F 2 = $22.163,67
F T"TAL= F 1+ F 2= $13.424,8378 +$22.163,67 = $ 35.588,5078
Al o ento de reali9ar el dep<sito n ero 5* se a u ul< $5 &&# 155 6n réstamo de 89.!! se liquidar% a&ando 2!! al inal de los años rimero,
se&undo, cuarto < quinto9 +i la tasa que se considera es del 1!/ de interés anual9#$u%l debe ser el a&o en el tercer año ara saldar exactamente el réstamo'
$ 4.500 = $800 ( P F ,10 ,1)+$800 ( P F ,10 ,2)+ X ( P F ,10 ,3)+$800( P F ,10 ,4)+$800( P F ,10 ,5)$ 4.500 = $800 (0,9091 )+$800 (0,8264 )+ X (0,7513 )+$800 (0,6830 )+$800 (0,6209 )$ 4.500 = $ 727,28 +$ 661,12 + X (0,7513 )+$ 546,40 +$ 496,72
$ 2.068,48 = X (0,7513 )! X = $ 2.753,2011.l pago del ter er a"o deber) ser de $3 !!
58 +e com r7 un equi o de c7m uto en 59*!! a una tasa de 1/ mensualJ el rimer
a&o se hace un mes des ués de la adquisici7n9 +i la cantidad m%s alta que se
uede a&ar al mes es 1!! durante los rimeros 1* meses < 1*! del mes 15 en
adelante, #$u%ntos meses tardar a en liquidarse el equi o de c7m uto' +i el ltimo
a&o no es exactamente de 1*!, #A cu%nto asciende el ltimo a&o'
$ 3.200 = A( P A ,1 ,12)+ A2( P A , 1 , n)( P F ,1 , 12)
$ 3.200 = $ 100 (11,2551 )+ A2( P A , 1 , n)(0,8874 )
4 I ( P A ,20 ,4)− I ( PG ,20 ,4)= $10( P A ,20 ,3)( P F ,20 ,3)+[$10( P A ,20 ,4)+$10( PG ,20 ,4)]( P F ,20 ,6
4 I (2,5887 )− I (3,2986 )= $10 (2,1065 ) (0,5787 )+[$10 (2,5887 )+$10 (3,2986 ) ] (0,3349 ) I [ (4∗2,5887 )− (3,2986 ) ]= $31.9069
I = $31.9069[(4∗2,5887 )− (3,2986 ) ]= $ 4,5218
5- 6na ersona quiere reunir 1!9*-!,*5 en un banco que a&a un interés de 1/
mensual9 @ara lo&rarlo, de osita 1!! cada mes durante los meses1 al 5>9 A artir del mes 5- su de 7sito se incrementa en 1!! cada mes, es decir, de osita *!! en
el mes 5-, de osita 5!! en el mes 52, etc9 #En cu%l mes lo&rar% la cantidad
.l )s aproJi ado on el (uturo saldo es on N=4 por lo tanto son 3 eses su ando 5*eses on anualidades de $1!! y 4 eses on anualidades que ini ian en $2!! y au entanon un gradiente de $1!!#
52 un réstamo de 1!9!!! se a&a con anualidades i&uales de 19*!! a una tasa de
interés anual del 2/, que comien0a a liquidarse un año des ués de otor&ado el
réstamo9 =es ués de . a&os, or roblemas inancieros, se sus ende el a&o <se acuerda liquidar con una sola suma toda la deuda al inal del año 1!9 #A cu%nto
ascender% este a&o nico'
F =− $ 10.000 ( F P
, 8 ,10)+$ 1.200 ( F A
, 8 , 5)( F P
,8 ,5) F =− $ 10.000 (2,1589 )+$ 1.200 (5,8666 ) (1,4693 ) F =− $ 21.589 +$ 10.343,7545
F =− $ 11.245,2455
.s negativo porque es lo que +a e (alta pagar $11#23 ,23 para poder liquidar
5C 6na em resa de osit7 19!!! al inal de cada año durante . años9 Al inal del año >
de osit7 19*.!, al inal del año - 19.!!J < al inal del año 2 de osit7 19-.!9 +i or
estos ahorros le a&aron una tasa de interés del -,./ anual, #$u%nto tendr%
e ect an cada 5 meses, es decir, se retiran >!! en el mes 2, -!! en el mes 11, etc9
?p=1, ensualG ip=3, 7 bi estralà -a iendo equivalen ia en
$ 10.000 ( F P
,1,5 ,5)− $500( F A
,1,5 ,5)= $600( P A ,4,57 , n)+$100 ( PG ,4,57 , n)
$ 8.196,71 = $ 600([ 1,0457 n− 1
0,0457 (1,0457 )n
])+$ 100[ 1
0,0457 2− 1
(0,0457 )2(1,0457 )n − n
(0,0457 )(1,0457 )n
]Por el étodo de tanteo se ree pla9a o sustituye en la e ua i<n, pero solo o upare os eldato orre to en este reporte#N=1! tri estresR resulta que el sobrante es de $2!2,*5, por lo tanto pode os de ir que el lti o pago espor la antidad espe i(i ada y que o o son 1! tri estres, son 5! eses )s los eses
indi ados en el proble a, son 5 eses en total#
85 +e de ositan 5!!! cada año en un banco que a&a una tasa de interés anual de
1*/ ca itali0ada mensualmente9 #Gué cantidad se acumular% al inal de cinco
82 El o ular cantante Khomas = Mass decidi7 retirarse del medio art stico dentro de
dos años9 ;a romotora art stica Bro en +tars le ha o recido un u&oso contrato or
* !!! !!! d7lares, a&aderos de contado al momento de irmar un contrato donde
se es eci ica que los dos ltimos años de si vida art stica, el cantante dar% todos
los conciertos que la em resa lo&re conse&uir9 @or otro lado, Khomas = Massiensa que, &racias a su o ularidad, él uede traba ar de manera inde endiente <
conse&uir conciertos, or cada uno de los cuales cobrar% .! !!! d7lares9 En
cualquier caso9 Khomas ahorrar a todas sus &anancias en un banco que a&a un
interés de 1*/ anual ca itali0ado quincenalmente, con lo que odr a vivir en orma
decorosa cuando se retire9 #$u%ntos conciertos necesita dar Khomas de manera
inde endiente ara que le resulte i&ual que irmar el contrato or dos años'
P=$2 !!! !!! lo que él re ibir a# A=$ ! !!!i=12% ap quin enalHal ulando la tasa e(e tiva8
i&'in(ena)= 0,1224
= 0,005 = 0.5
P= A( P A ,0.5 , n)
2000000 = 50000 ( P A
,0.5 , n)
200000050000
=( P A ,0.5 , n)
40 =( P A ,0.5 , n)
n= 45 (%'s(andoenta*)a )
La segunda op i<n, la de reali9ar los on iertos, +ar a que el antante reali e 3 on iertospara poder lograr a u ular lo que le o(re en en la pri era op i<n, eso equivaldr a a reali9ar un on ierto ada 1 d as durante 2 a"os#
8C 6na ersona de osita 1 !!! cada mes durante 1* meses consecutivos, en un
banco que a&a una tasa de interés de 12/ anual ca itali0ada mensualmente9
;ue&o de de ositar 1 !!! en el mes 1*, eleva la cantidad del de 7sito a * .!!
cada tres meses, es decir, de osita * .!! en el mes 1., *.!! en el mes 12, etc9, <reali0a otros 1* de 7sitos trimestrales consecutivos or esa cantidad9 +i no se
retira dinero, #$u%nto se acumula en el banco al momento de reali0ar el de 7sito
n mero *8'
A1=$1 !!! A2=$2 !! =1&% anual ap ensual
Hal ulando las tasas e(e tivas de ada per odo8ip=
12= 0,18
12 = 0,015 mens'a)
i= 1.015 12− 1= 0.1956
ip= (1.1956 )14 − 1= 0.0457 trimestra)
F = A1
[ (1+i)n− 1
i ](1+i)n+ A2
[ (1+i)n− 1
i ] F = 1000 [ (1+0,015 )12− 10.015 ](1+0.0457 )12+2500[ (1+0.0457 )12− 1
0.0457 ] F = 22294,78 +38816,40 = $ 61111,18
Al o ento de reali9ar el pago 23 se tendr)n a u ulado $*1 111,1&#
.! En México existe la llamada ;oter a Nacional, ue&o que consiste en que si se &ana
el remio ma<or, or cada unidad monetaria invertida que se a ueste se recibir%n
1! !!! a cambio9 6na ersona u&7 1! or semana durante muchos años < nunca
obtuvo el remio ma<or9 +i se considera una tasa de interés de 12/ anual
ca itali0ada mensualmente, #cu%nto tiem o ser a necesario ara que, si hubiera
ahorrado todo ese dinero a la tasa monetaria mencionada en ve0 de u&ar, la
&anancia acumulada uera i&ual a la del remio ma<or'
Pre io ayor al que puede optar la persona8 $1!! !!! =1&% anual ap ensualn='Hal ulando la tasa ensual8
ip= 12 =
0,1812 = 0,015 mens'a)
Hal ulando la antidad de tie po86ensual ente, la anualidad su ar a $3!
F = A[ (1+i)n− 1i ]
100000 = 40[ (1+0,015 )n− 10,015 ]
37,5 = (1+0,015 )n− 1
38,5 = 1,015 n
log38,5 = log (1,015 )n
log38,5 = n log1,015
n= 245,198 meses
.l tie po ne esario para lograr equiparar lo que gast< en uegos, siendo a+orrado para que(uese igual al pre io ayor es de 23 #14& eses que equivalen a8 2! a"os, eses y 1
se ana#
.1 +e de ositan 1!! cada in de mes en un banco que a&a una tasa de 1>/ anual
ca itali0ado trimestralmente9 Al cabo de un año, es decir, des ués de hacer 1*
de 7sitos, el banco decide ca itali0ar de manera mensual la tasa de interés9 +i se
contin a haciendo de 7sitos de 1!! cada in de mes, #$u%nto tendr% acumulado
al inal de dos años'
Datos8 A=$1!! =1*% anual ap tri estralHal ulando la tasa del per odo#
itrimestra) = i4
= 0,164
= 0,04 trimestra)
Ho o se apitali9a tri estral ente, esto equivale a depositar $5!! tri estrales
FT = 1273.95 (1.0133 )12+100 [ (1.0133 )12− 10.0133 ]
FT = 1 492.83 +1291.79
FT = $ 2784.62
Al (inal de dos a"os se tendr) a u ulado aproJi ada ente $2 &!2,1*
.* +e de ositan * .!! en un banco que a&a un interés de 18/ anual ca itali0ado
cada semana9 +eis meses des ués del rimer de 7sito se retiran 1!!!9 Al cabo deun año del de 7sito inicial, vuelven a de ositarse 1!!!9 +i en lo sucesivo <a no
ha< movimientos de dinero, #$u%nto se tendr% acumulado des ués de 129. meses
de haber iniciado las o eraciones'
Hal ulando la tasa e(e tiva ensual8
ip= 0,1452
= 0.0026923
i= (1.0026923 )52− 1
i= 0.1501
ip= (1.1501 )112 − 1
ip= 0.0117
Hal ulando lo a u ulado +asta 1&# eses#
F = 2500 (1.0117 )18.5− 1000 (1.0117 )12.5+1000 (1.0117 )6.5
F = 3100,25 −+ 1156,50 +1078,54
F = 3022,29
Después de 1&# eses de +aber ini iado las opera iones se tendr) a u ulado $5 !22,24
.5 En México, mucha &ente artici a en las llamadas tandas, que consisten en reunir
cierto n mero de ersonas, quienes eri7dicamente a ortan una cantidad i a de
dinero9 ;ue&o, cada una de ellas, de manera sucesiva, el total de las a ortaciones
del resto del &ru o9 +u 7n&ase que se re nen 5! ersonas, < que cada quincena
cada una a orta 1 !!!, de orma que en el rimer eriodo de a ortaci7n una de
ellas recibe 5! !!!, en el se&undo eriodo otra recibe la misma cantidad, < as
durante *C quincenas9 ;a ltima ersona en cobrar también recibe 5! !!!9 +i la
ersona que cobra en rimer lu&ar ahorra ese dinero en un banco que a&a un
interés de 12/ anual ca itali0ado cada semana, a #$u%nto dinero extra tendr% alinal de la quincena *C, res ecto de la ersona que en ese momento a enas est%
recibiendo 5! !!!' b #A cu%nto asciende esta di erencia si el banco a&a un
interés de 12/ anual ca itali0ado mensualmente'
P=$5!!!!?n iso a#Hal ulando la tasa e(e tiva quin enal#
= 0.18 an'a) (apsemana)mente
ip= 0.1852
= 3,4615 E− 3
i= (1+3,4615 E− 3)52− 1= 0,1968
ip= (1+0,1968 )1
26 − 1= 6.9350 E− 3
Hal ulando el (uturo8
F = P(1+i)n
F = 30000 (1+6.9350 E− 3)29= $ 36657,57
La di(eren ia es8 + 1= $36657,57 − 30000 = $6657,57
La pri era persona que re ibe el dinero, tendr) on respe to a la lti a en re ibir $* * 7, 7on una tasa de 1&% anual apitali9able se anal enteG ientras, si la tasa a bia a unaapitali9a i<n ensual y onsiderando que la 1 es tiene 3 quin enasG enton es la di(eren ia
as iende a $722&,7&
.8 +i un usurero resta 1!!! a cambio de recibir 11!! al cabo de una semana, < si se
su one que esta r%ctica la reali0a en orma contin a durante todo el año, #cu%l es
la tasa e ectiva de interés anual que habr% &anado'
P=1!!!F=11!!Hapitali9a i<n se anal#
F = P(1+i)n
1100 = 1000 (1+i)1.1= 1+i
i= 0.1 semana) por )o&'e esip
i= (1.1 )52− 1
i= 141.04
La tasa e(e tiva del interés anual que obra el usurero es de 13 1!3#24%
.. +e ahorran -!!! en un banco que a&a interés de 2/ anual ca itali0ado
trimestralmente9 +e desean hacer 1! retiros semestrales i&uales, em e0ando a
retirar tres meses des ués de haber hecho el de 7sito inicial9 #A cu%nto ascienden
cada uno de los die0 retiros semestrales, ara que con el ltimo se extin&a el
e podr)n reali9ar & retiros +asta que el dinero se agote#
.- Existen tres ormas de a&o ara com rar un autom7vil9 ;a rimera consiste en
com rar el auto de contado a un recio de 11! !!!9 ;a se&unda orma es a&ar >!
mensualidades i&uales de 5 1>898- cada mes, haciendo el rimer a&o un mes
des ués de la com ra9 ;a tercera orma de adquirir el auto es mediante el a&o de82 mensualidades i&uales de 1 C.. cada una, em e0ando a a&ar un mes des ués
de hacer la com ra, < adem%s a&ar cuatro anualidades i&uales al inal de los
meses 1*, *8, 5> < 82 or *1 2--9259 $on un interés de *8/ anual ca itali0ado
mensualmente, determine #$u%l es la me or orma de a&o desde el unto de vista
>! +e invierten **!-,C5 en un banco que a&a un interés de 1*/ anual ca itali0ado
mensualmente9 El dinero se de a de ositado un año com leto < al inal del mes 1*
se retiran 8.!J los retiros sucesivos se e ect an cada dos meses < disminu<en *.
cada ve0, es decir, al inal del mes 18 se retiran 8*., al inal del mes 1> se retiran8!!, al inal del mes 12 se retiran 5-., etc9 +i se contin a retirando cada dos
meses < cada retiro sucesivo disminu<e *., #en cu%l mes se extin&ue totalmente
el de 7sito'
P=$2 2!7,45 =12% anual ap ensual enteEasa de apitali9a i<n se estral#
= 0.12 an'a)(apmens'a)
ip= 0.126
= 0.02 (ap*imens'a)
ip= 0.1212
= 0.01 (apmens'a)
Hal ulando la antidad de periodos#
P= [450 ( P / A ,2 , n)− 25 ( P /G , 2 , n) ][ 1(1+0.01 )10 ]
Eo ando o o re(eren ia la (<r ula anterior, se itera de la siguiente anera#Para n=
P= [450 ( P / A ,2 ,5)− 25 ( P/G ,2 ,5 ) ][ 1(1+0.01 )10]
>* 6na em resa de osit7 1!! !!! en un banco que a&a una tasa de interés de 1*/
anual con ca itali0aci7n mensual9 =esea reali0ar 1* retiros bimestrales, el rimer
retiro lo har% al inal del se&undo mes des ués de hacer el de 7sito9 ;ue&o de
e ectuar el sexto retiro bimestral, la tasa de interés se elev7 a 12/ anual con
ca itali0aci7n mensual9 a #$u%l es el monto de cada uno de los rimeros seisretiros bimestrales' b #$u%l es el monto de cada uno de los ltimos seis retiros
bimestrales'
P=1!! !!! 1=12% ap ensual ente 2=1&%Hal ulando las tasas e(e tivas del per odo bi ensual#Para =12%
i=(1+ 0,1212 )
12
− 1= 0,1268
ip= (1+0,1268 )16= 0,0201
Para =1&%
i=(1+ 0,1812 )
12
− 1= 0,1956
ip= (1+0,1956 )16= 0,0302
Hal ulando los pri eros retiros8
A= P[ i(1+i)n
(1+i)n− 1]= 100000 [ 0,0201 (1,0201 )12
(1,0201 )12− 1 ]= $ 9461,77
.n el bi estre * el dep<sito tendr) un valor de8
F = P(1+i)n= 100000 (1,0201 )6= $112682,50
Al bi estre seis se +a retirado8
F = A[ (1
+i)n
−1
i ]= $ 9461,77 [ (1
+0,0201
)6
−1
0,0201 ]= $59700,95
Al bi estre seis se tiene un dep<sito de de $ 112682,50 − $ 59700,95 = $ 52981,55
.l onto de los seis pri ero retiros bi ensuales es de $4 3*1,77 y el onto de ada uno delos seis lti os retiros bi ensuales es de8 $4 &*,73
>5 6na em resa idi7 un réstamo or *!! !!! < acord7 liquidar la deuda en 5>
mensualidades i&uales que em e0ar% a a&ar un mes des ués de haber recibido elréstamo, or el que le cobran una tasa de interés de 1./ anual ca itali0ada
mensualmente9 ;a em resa a&7 las rimeras seis mensualidades, < el ne&ocio ha
ido tan bien, que a artir del sé timo mes increment7 su a&o en 1! !!! al mes, de
manera que en el mes ocho a&7 la mensualidad normal m%s *! !!!J en el mes
nueve a&7 la mensualidad normal m%s 5! !!!, etc9 Antes de e ectuar el a&o 1*
decidi7 liquidar todo el adeudo restante en una sola suma9 #A cu%nto asciende este
ltimo a&o en el mes 1*'
P=$2!! !!! =1 % anual ap ensualLa tasa e(e tiva ensual es de8
ip= 12
= 0,1512
= 0,0125
Las pri eras seis ensualidades8
A= P
[ i(1+i)n
(1+i)n− 1
]= 200000
[ 0,0125 (1,0125 )36
(1,0125 )36− 1
]= $6933,06
-a iendo equivalen ia en !#
200000 = $6933,06 [ (1,0125 )6− 1
0,0125 (1,0125 )6]+{16933.06 [ (1,0125 )5− 1
0,0125 (1,0125 )5]+10000 [ 1(0.0125 )2
− 1(0.0125 )2 (1.0125
200000 = 39837.43 +164 083.40
200000 = 203920.83
.n el pago n ero 11 a la e presa le deben $5 42!#&5, esto en el a"o ero, que pasados al
A la e presa le deber)n devolver en el es 11 una su a de $3 343,45 y, por ende, notendr) que pagar nada en el es 12#
>8 6na com añ a automotri0 vende un auto cu<o recio de contado es de .! !!! laventa la romueve de la si&uiente orma: “ a&ue el auto en 5> mensualidades
i&uales9 6sted i a el monto el monto de cada mensualidad se& n sus necesidades9
El resto, resto %&uelo en tres anualidades i&uales al inal de los meses 1*, *8 < 5>9
6n com rador dice que uede a&ar 1 2!! al mes #$u%l es el valor de cada de las
tres anualidades que debe a&ar al inal de los meses 1*, *8 < 5> ara liquidar
totalmente su deuda' ;a com añ a cobra un interés de */ mensual
P= $50000
Pagos de 5* eses o 5 a"osip= 2
Mensualidades= $1 &!! P= A( P / A, i ,n)+ F ( P / F , i ,n )+ F ( P / F , i ,n )+ F ( P / F , i ,n )
P= 1800 [ (1+2 )36− 1
2 (1+2 )36 ]+ F [( 1(1+2 )12)+( 1
(1+2 )24)+( 1(1+2 )36)]
50000 = 45879,91 + F 1.9004
F = 50000,0 +45879,911,9004
F = $ 2168 ,01
La uota o las tres anualidades que debe pagar el o prador del ve+ ulo al (inal de loseses 12,23, 5*, es de O $2 1*&,!1#
>. +e vende una Kv de contado or 8 !!! o a&ando *8 mensualidades i&uales con
interés de 5/ mensual9 6na ersona reali0a la com ra a la0os < des ués de a&ar la mensualidad 1*, el interés sube a ./ anua9 +i desea se&uir a&ando la misma
cantidad mensual #$uando termina de a&ar la deuda'
T e tiene una varia i<n a partir de la ensualidad 12Uolu i<n8
A= P ( A/ P , i ,n ) A= 4000 (0.05090 )
A= 236
P= A[ (1+5 )n− 1
(5 (1+5 )n) ] P= A( 1
0.05 )− A0.05∗(1.05 )n
P= 236 ( 10.05 )−
A0.05∗(1.05 )n
4000 − 4720 = −− 2360.05∗(1.05 )n
− 720 = −− 2360.05∗(1.05 )n
(1 -05 )n= −− 2360.05∗−720
n)o 1 -05= log6.55
n= 38 -521
n= 38 -521− 12
n= 26
.l o prador ter ina de pagar su en el es 2*
>> +e invierten >**,5* a un interés de 2,./ or eriodo9 Al inal de los eriodos -,
2,C < 1! se retiran 1!! de cada uno de ellos9 En los eriodos subsecuentes cada
retiro se incrementa en .!, es decir, se retiran 1.! al inal del eriodo 11, *!! alinal del eriodo 1*, etc9 +i se contin a con el mismo incremento en los retiros, #en
qué er odo se extin&ue totalmente el ondo de ositado'
.l autor debe vender de (or a onstante durante 3 a"os las antidad de * & 7 libros sidesea re uperar la inversi<n que reali9<#
>C =urante seis meses se hicieron de 7sitos de .! cada mes en un banco que a&o
un interés del */ mensual9 ;ue&o se hicieron > de 7sitos de -. cada dos meses <
la tasa de interés se elevo a 8/ mensual #$u%nto se acumulo en el banco lue&o de
reali0ar el de 7sito numero 1*'
P= $ 992
ip= 2 )'e o ip se e)evo a) 4 a partir de) ')timodeposito deUS $ 50
Anualidades =* dep<sitos de O $ ! ensuales y luego se +i ieron * dep<sitos de O $7bi ensuales#-a iendo .quivalen ia en el es 1& o deposito 12Pero antes llevare os nuestro pri ero * dep<sitos +asta el es * y de a+ nuestro (uturo en* los llevare os +asta el dep<sito 12#Eo are os nuestro (uturo en el es * o o nuestropresente#
F = A( F / A,i ,n) F = 50 ( F / A ,2 , 6)
F = 50 (6,3081 ) F = US $315 ,405
Por los pri eros * dep<sitos tene os en el ban o una antidad de O $51 ,3! # A+ora reali9are os la equivalen ia en el dep<sito 12
Las anualidades pa tadas son de O $ 3 7 7,4&2Para al ular el nuevo saldo a pagar se +a e os equivalen ia en 3&
2! +e iden 1. !!! en réstamo ara ser a&ados en *8 mensualidades i&uales, a
una tasa de interés de 5/ mensual9 El contrato declara que la rimera mensualidad
se va a a&ar al inal del rimer mes < que al inal de los meses C, 1!, 1C < *! no se
e ectuar%n a&os, or lo que la deuda se terminar% de a&ar en el mes *2 D*8
mensualidades con cuatro de meses de sus ensi7n de a&os 9 =eterm nese el
monto de cada una de las *8 mensualidades9
i= 3
15000 ( F P ,3 ,28)=[ A(
F A ,3 ,8)(
F P ,3 ,20)]+[ A(
F A ,3 ,8)(
F P ,3 ,10)]+[ A(
F A ,3 ,8)]15.000 (2,2879 )= A(8,8923 ) (1,8061 )+ A(8,8923 ) (1,3439 )+ A(8,8923 )
34.318,5 = A(36,9030 ) A= $ 929,96
La antidad de ada una de las ensualidades es de $ 45!#4
21 +e idi7 un réstamo or 1!! !!! < se acord7 a&arlo en *8 mensualidades
i&uales con un interés del 1./ anual con ca itali0aci7n mensual9 Habiendo a&ados7lo las rimeras dos mensualidades, la tasa de interés se elev7 a 82/ anual con
ca itali0aci7n mensual < con esta tasa se a&aron las si&uientes 1! mensualidades9
+e in orma que a artir del mes 15 la tasa de interés se eleva a >!/ anual
ca itali0ada mensualmente9 +e han a&ado 1* mensualidades < se desea a&ar la
deuda restante al inal del mes 15 con el nuevo interés9 #$u%nto se debe a&ar'