INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO MATEMATICAS TALLER No 2 DOCENTES: RAFAEL TRESPALACIOS - DAVID VIÑAS. ASIGNATURA: MATEMATICAS FECHA DE DESARROLLO. Mayo 3 – Agosto 15 de 2021 GRADO: 7° AM y PM SEGUNDO PERIODO TIEMPO ESTIMADO: 13 Semanas INDICADOR(ES) DE LOGRO: ✓ Efectúa operaciones de Adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación con Números Enteros, Números Racionales y Números decimales. ✓ Resuelve problemas utilizando razones y proporciones. ✓ Identifica y grafica líneas y puntos notables en un triángulo y calcula áreas y perímetro, al igual que volumen de figuras geométricas TEMAS: 1. Números Enteros y operaciones. ✓ Números enteros definición. ✓ Clasificación ✓ Relación de orden. ✓ Operaciones ✓ Problemas de aplicación ✓ Potenciación y radicación 2. Números Racionales y operaciones. ✓ Concepto de números racional ✓ Números racionales en la recta numérica ✓ Relación de orden en los racionales ✓ Operaciones básicas de los números racionales ✓ Problemas de aplicación ✓ Potenciación y radicación 3. Geometría ✓ Unidades de medidas: ✓ Metro lineal ✓ Metro Cuadrado ✓ Metro Cubico. Desarrolla la siguiente guía en compañía de tus padres, aprende y disfruta leyendo atentamente todas las instrucciones dadas para la realización de esta actividad. DESARROLLO CONCEPTUAL Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE A continuación, encontrarás los recursos y actividades correspondientes a los temas, los cuales están discriminado por semana para facilitarte que puedas realizar una mejor distribución de tu tiempo. Las actividades deben ser resueltas de forma ordenada y organizada. Para cualquier inquietud o asesoría, comunícate con el docente vía WhatsApp o correo electrónico.
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INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
MATEMATICAS TALLER No 2
DOCENTES: RAFAEL TRESPALACIOS - DAVID VIÑAS.
ASIGNATURA: MATEMATICAS FECHA DE DESARROLLO. Mayo 3 – Agosto 15 de 2021
GRADO: 7° AM y PM SEGUNDO PERIODO TIEMPO ESTIMADO: 13 Semanas
INDICADOR(ES) DE LOGRO:
✓ Efectúa operaciones de Adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación con Números Enteros, Números Racionales y Números decimales.
✓ Resuelve problemas utilizando razones y proporciones.
✓ Identifica y grafica líneas y puntos notables en un triángulo y calcula áreas y perímetro,
al igual que volumen de figuras geométricas
TEMAS: 1. Números Enteros y operaciones.
✓ Números enteros definición. ✓ Clasificación ✓ Relación de orden. ✓ Operaciones ✓ Problemas de aplicación ✓ Potenciación y radicación
2. Números Racionales y operaciones. ✓ Concepto de números racional ✓ Números racionales en la recta
numérica ✓ Relación de orden en los racionales ✓ Operaciones básicas de los números
racionales ✓ Problemas de aplicación ✓ Potenciación y radicación
3. Geometría ✓ Unidades de medidas: ✓ Metro lineal ✓ Metro Cuadrado ✓ Metro Cubico.
Desarrolla la siguiente guía en compañía de tus padres, aprende y disfruta leyendo
atentamente todas las instrucciones dadas para la realización de esta actividad.
DESARROLLO CONCEPTUAL Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
A continuación, encontrarás los recursos y actividades correspondientes a los temas, los cuales
están discriminado por semana para facilitarte que puedas realizar una mejor distribución de tu
tiempo. Las actividades deben ser resueltas de forma ordenada y organizada. Para cualquier
inquietud o asesoría, comunícate con el docente vía WhatsApp o correo electrónico.
1.NUMEROS ENTEROS.
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO MATEMATICAS GUIA No 1
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadros 1, 2, 3, 4 y 5
1. NÚMEROS ENTEROS.
MOMENTO DE ESTRUCTURACION.
¿Te has preguntado quienes son los Números Enteros?
¿Te has preguntado cuál es el último número Entero? ¿Cuál es el primer número
Entero?
Aunque los números naturales nos permiten representar cantidades, también tienen sus limitaciones. ¿Cómo representarías una deuda? Para esto usamos los Números Enteros. Diremos que el conjunto de los Números Enteros es igual al de los números naturales unido con sus negativos más el número cero.
Usaremos el símbolo ℤ para representar dicho conjunto:
ℤ = {…….-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1,+2,+3,+4,+5………}
Una de las características de ℕ (los naturales), es que existe un primer elemento del
conjunto. ¿Crees que pasa lo mismo en el conjunto ℤ (los Números
Enteros)? Como ℤ contiene cada elemento de los números naturales y sus negativos, se
extiende indefinidamente tanto positiva, como negativamente. Es decir, ℤ no puede tener
primer y último elemento.
Los puntos suspensivos en la expresión: ℤ = { …..-3,-2,-1, 0, +1, +2, +3….. } Indican que las
partes positiva y negativa son infinitas.
2.1. Relación entre los números enteros y los números naturales
Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte
también del conjunto de los números enteros.
Los Números Enteros están formados por los Números Enteros Positivos, el Cero y los
Enteros Negativos. ℤ = ℤ+ ∪ ℤ-
Recuerda que cuando esto ocurre entre dos conjuntos decimos que uno está contenido en el
otro. En este caso podemos escribir ℕ subconjunto de ℤ (los naturales están contenidos en
los enteros), es decir, ℕ es un subconjunto de ℤ.
1.2. Recta Numérica de los Números Enteros.
Es una recta donde se ubican todos los números Enteros
1.3. Representación en una recta numérica de los Número Enteros.
Para representar un número enteros en la recta numérica debes seguir los siguientes pasos
a) Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0. b) Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre
ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3, y así sucesivamente representas todos los números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5,
c) De igual manera vas hacer marcando la unidad de medida a la izquierda del 0, y obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO MATEMATICAS GUIA No 2
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadros 2, 3, 4 y 5
1.6. Operaciones con Números Enteros.
1.6.1. Reducción de Números Enteros
a) Cuando los números enteros tienen el mismo signo: Se suman los valores numéricos y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +. Ejemplos, números enteros del mismo signo
• 5 + 4 = +9
• -5 - 4 = - 9 b) Cuando los números enteros tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto). Ejemplos números enteros de distinto signo
• +20 -10 = +10 porque el +20 tiene mayor valor absoluto que 10, se resta y se escribe +10
• -8 + 3 = - 5 porque el -8 tiene mayor valor absoluto que 3, se resta y se escribe -5
• 11 - 2 = + 9 porque el +11 tiene mayor valor absoluto que -2, se resta y se escribe +9
MOMENTO DE TRANSFERENCIA Cuadro No 2
Teniendo en cuenta el texto reduce los siguientes de números enteros y contesta preguntas.
1. lee y completa. Dependiendo de la respuesta debes decir si ganas o pierdes. • Si me dan 6 y me dan 7, → +6 + 7 = +13, gano 13 • Si me dan 3 y me quitan 8, → +3 – 8 = ___, pierdo -5 • Si me quitan 4 y me dan 6, → –4 + 6 = ___ ________ • Si me quitan 5 y me quitan 4, → –5 – 4 = ___ ________ • Si me quitan 10 y me dan 4, → –10 + 4 = ___ ________
2. Calcula, teniendo en cuenta que ambos números tienen el mismo signo. a) 6 + 5 = b) +4 + 8 = c) +10 + 7 = d) –6 – 2 = e) –4 – 6 = f) –5 – 9 =
g) +8 + 7 = h) –8 – 7 = i) –12 – 4 =
3. Opera, teniendo en cuenta que los dos números llevan signos diferentes. a) +9 – 5 = b) +3 – 7 = c) +6 – 10 = d) –2 + 7 = e) –15 + 5 = f) –11 + 8 = g) 7 – 12 = h) 11 – 4 = i) –18 + 10 =
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Cuadro No 6 y 7
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 3
1.6.5. Potenciación de Números Enteros
¿Qué es una potencia?
Una potencia es una multiplicación de varios factores iguales.
El factor que se repite se denomina base; el número que indica la cantidad de veces que se repite la base se llama exponente, y el resultado, potencia.
Es decir:
an = a · a · a · … · a
El producto se hace n veces.
• Base: Es el factor que se repite. Se escribe grande, a • Exponente: Es el número que indica las veces que se repite la base. Se escribe
pequeño en la parte superior derecha de la base: n
• Potencia: Es el resultado de la potenciación. Es la multiplicación de los factores iguales.
• Factores iguales: Es la multiplicación de la cantidad de veces repetida la base. Por ejemplo:
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
b) 02 = 0 · 0 = 0
c) 40 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 veces)
d) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
b) 32 = 3 · 3 = 9
f) 19 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 6
1. Completa el siguiente cuadro utilizando la información que se da. Observa el ejemplo
Factores
Iguales
Potencia
Indicada Base exponente potencia Lectura
2x2x2x2 24 2 4 16 Dos a la cuatro
7x7x7
3x3x3x3x3x3
8x8
9x9x9
5x5x5x5
6x6x6
2. Halla las potencias de las siguientes potencias indicadas.
212= 242= 252= 83=
105= 53= 303= 1002=
122= 28= 94= 45=
3. Completa la siguiente tabla.
Observa el ejemplo en la tabla.
Potencia Indicada Base exponente Factores iguales Potencia
36 3 6 3.3.3.3.3.3 729
5 4
73
44
10 7
27
6 3
9 2
123
1.6.5.1 Propiedades de la potenciación de números enteros.
• Multiplicación de potencias de igual base
Observa el siguiente ejemplo:
23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212
Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.
• Cociente de potencias de igual base
Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:
58 ÷ 54 = 58 - 4 = 54 = 625
Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.
• Potencia de una potencia
El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo:
(23)5 = 23.5 = 215
• Distributiva respecto a la multiplicación y a la división
Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:
Puedes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:
Veamos qué pasa cuando la base es un número negativo.
Por ejemplo:
a) (-3)2 = 9
b) (-3)3 =- 27
c) (-2)8 = 256
d) (-2)9 = -512
e) 28 = 256
¿Qué relación observas con el signo de la potencia y el exponente?
Base negativa de una Potencia
Como ves en los ejemplos anteriores todas las potencias que dan como resultado un número negativo, sus exponentes son números impares, vuelve a mirar los ejemplos b) y d). En cambio, si los exponentes son números pares, como el ejemplo a) y c) sus resultados son siempre números positivos.
Por lo tanto se puede decir en general que:
• Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo. Por ejemplo: (–2)2 = (–2) ∙ (–2) = + 4
• Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo. Por ejemplo: (–3)3= (–3) ∙ (–3) ∙ (–3)= –27
Resuelve las siguientes potencias utilizando las propiedades:
a) (-2)2 . (-2)4 = (-2)2+4 = (-2)6
b) (7)3 . (7)3 =
b) (35) 0 =
c) (-2) 0 =
d) (-4) 2 =
e) 3 5 . 3 2 =
f) (-7)0 . (-7)5 =
g) 24 . 21 .2 2 =
h) x4 . x 10 =
i) 56 ÷ 52 =
j) [(-2)3 ]2 =
k) (-2) 12 ÷ (-2)10 =
l) [ (-5) 1] 3 =
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Cuadro No 8 y 9
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 8 y 9
1.6.6. Radicación de números enteros. La radicación es una operación inversa a la potenciación, que permite calcular la base cuando se conoce el exponente y la potencia.
El símbolo de la radicación es:
Los términos de la radicación son:
• La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones, que no siempre son números enteros.
• La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.
Por ejemplo:
La raíz cuadrada de -4 = no existe ningún número que multiplicado por sí mismo resulte -4
La radicación es la operación que “deshace” la potenciación.
En el ejemplo anterior, el 9 se llama radicando, el 2 índice y el resultado 3, raíz.
La definición formal de esta operación es la siguiente:
Si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz enésima del número entero b, si b es la potencia enésima de a. Es decir:
Veamos otros ejemplos:
Veamos que sucede cuando el radicando es un número negativo:
• En el último ejemplo se debería buscar un número elevado "a la cuatro" que dé como resultado -81, ¿existirá algún número que cumpla esa condición?
• Si recordaste lo estudiado cuando se trabajó con la operación de potenciación, tu respuesta debería ser negativa, no existe ningún número entero que cumpla esa condición.
• En general: cuando el índice es par y el radicando un número negativo, el resultado no existe en el conjunto de los números enteros.
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 8
Hallar las raíces de los siguientes números enteros
a) √𝟏𝟔𝟗𝟐
= d) ) √−𝟐𝟏𝟔𝟑
=
g) ) √𝟏𝟗𝟔𝟐
=
c) √−𝟏𝟐𝟓𝟑
=
e) ) √𝟔𝟐𝟓𝟒
= h) ) √𝟔𝟒𝟔
=
c) √𝟑𝟐𝟓
=
f) ) √𝟑𝟒𝟑𝟑
= i) ) √𝟑𝟔𝟏𝟐
=
1.6.6.1 Propiedades de la Radicación
La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
a) Raíz de un producto
✓ La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:
Ejemplo
• = =
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
b) Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:
Ejemplo
c) Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:
Ejemplo =
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 9 Resolver los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la Radicación de Números Enteros.
a)√(16). (81)4
= f) √
𝟑𝟐
𝟐𝟒𝟑
𝟓 =
b)√(𝟒). (𝟖𝟏)𝟐
= g) √
−𝟖
𝟐𝟕
𝟑 =
c)
√(𝟐𝟕). (𝟖)𝟑
=
h) √√𝟔𝟒𝟑𝟐
=
d)√𝟐𝟕
𝟏𝟐𝟓
𝟑 =
i) √√𝟏𝟔𝟐𝟐
=
e)√𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟗𝟔
𝟒 =
j) √√√𝟏𝟓𝟑𝟐
=
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
ACTIVIDAD DE MATEMATICAS 2.NUMEROS RACIONALES
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 10
2. NÚMEROS RACIONALES. ℚ
¿Te has preguntado quienes son los números Racionales?
¿Te has preguntado cuál es el último número Racional? ¿Cuál es el primer número
Racional?
No todas las cantidades se pueden representar a través de números naturales o
enteros, aprende qué son los números racionales aquí.
2.1. Conjunto de números racionales:
Está formado por el conjunto de todas las posibles expresiones del tipo a/b
donde a y b son números enteros y b es diferente de cero.
Representaremos este conjunto por medio del símbolo ℚ
ℚ = {…… −𝟏
𝟏,
−𝟑
𝟒,
−𝟏
𝟐,
−𝟏
𝟒, 𝟎,
𝟏
𝟏,
𝟐
𝟒,
𝟑
𝟒,
𝟓
𝟒… … }
2.2 Características que tienen los números Racionales son:
• Es un conjunto infinito.
• Entre dos números racionales existe siempre infinitos números racionales, por tal motivo se dice que este conjunto es denso.
• No tiene ni primer ni último elemento.
Los números enteros negativos también son tenidos en cuenta a la hora de representar
fracciones, las expresiones, 2
−3,
−5
10,
−1
−4 también pertenecen a ℚ.
ℚ.= { a/b donde a, b ∈ 𝒛, y b ≠ 𝟎 }
2.3. ¿El sucesor de un número racional?
¿Crees que dado un número racional es posible encontrar el siguiente? Fijemos las ideas:
ubiquémonos en un número racional, por ejemplo el 0. ¿Cuál número racional es el siguiente
al cero? Si estuviéramos restringidos a ℕ o ℤ, el sucesor sería simplemente 1, sin embargo,
en el conjunto de los números racionales podemos representar fracciones de unidad.
Lo anterior quiere decir que para encontrar el sucesor del cero debemos buscar la expresión
del tipo a/b que represente la parte de unidad más cercana a cero, que representa no tener
nueve partes iguales, de las cuales se tomaron cinco. Si observas con atención notarás
que 4
7 está un poco más a la derecha que
5
9.
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 10
Compara las siguientes parejas de Números Racionales y utiliza el signo
mayor que > o menor que <
a) 𝟑
𝟕 ______
−𝟐
𝟓
b) 𝟑
𝟒 ______
𝟑
𝟓 c)
𝟏
𝟐 ______
𝟑
𝟐
d) 𝟏𝟐
𝟏𝟑 ______
𝟏𝟓
𝟏𝟔
e) 𝟑𝟏
𝟕 ______
−𝟏𝟐
𝟓 f)
−𝟏𝟑
𝟕 ______
−𝟏𝟐
𝟓
g) 𝟖
𝟕 ______
−𝟏𝟎
𝟗
h) −𝟗
𝟏𝟏 ______
−𝟏𝟐
𝟏𝟓 i)
𝟏𝟒
𝟏𝟗 ______
−𝟐
𝟑
j) 𝟐𝟎
𝟏𝟓 ______
−𝟓
𝟕
k) 𝟑𝟑
𝟕 ______
𝟐𝟐
𝟓 l)
𝟑𝟓
𝟕 ______
𝟐𝟓
𝟓
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
ACTIVIDAD DE MATEMATICAS Cuadro No 11
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 11
2.7. Operaciones con números racionales.
2.7.1. Para sumar o restar Números Racionales se presentan dos casos:
a) Si las fracciones son homogéneas (mismo denominador), se suman o restan los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplos:
a)2/3 + 5/3 + 7/3 = (2 + 5 + 7)/3 = 14/3
b)9/2 – 3/2 – 4/2 = (9 – 3 – 4)/2 = 2/2
b) Si las fracciones son heterogéneas (diferentes denominadores), se s reducen a común denominador y se
multiplican en diagonal las fracciones de la siguiente manera.
Ejemplo.
Sumar
4
5 +
2
3 =
(4).(3)+(5).( 2)
(5).(3) =
12+10
15 =
22
15
Restar
9
4 -
21
2 =
(9).(2)−(4)(21)
(4).(2) =
18−84
8 =
−66
15
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 11
Resolver las siguientes sumas o resta de Números Racionales.
2
3 +
4
5 =
22
7 -
21
8
6
7 +
8
9 =
24
4 -
23
2
10
11 +
12
13 =
29
8 -
20
7
14
15 +
16
17 =
10
5 -
21
9
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Cuadro No 12 y 13
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 12 y 13
2.7.2. Multiplicación de números racionales
Para multiplicar dos números racionales se multiplican sus numeradores y sus denominadores.
Multiplicar
(4
6 ) . (
7
3) =
(4).(7)
(6).(3) =
28
18 =
14
9
Multiplicar
(4
3 ).(
5
6). (
1
2 )=
(4).(5).(1)
(3).(6).(2) =
20
36 =
10
18
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 12
Resolver las siguientes Multiplicaciones de Números Racionales.
a) (11
9 ) . (
8
7) =
e) (41
6 ) . (
7
10) =
b) (4
16 ) . (
−17
3) =
f) (34
6 ) . (
7
13) =
a) (−14
6 ) . (
7
13) =
g) (−8
6 ) . (
7
8) =
b) (−24
6 ) . (
−7
33) =
h) (4
6 ) . (
−7
4) =
2.7.3. División de números racionales:
Para dividir dos números racionales se multiplica el numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda fracción, y luego el denominador de la primera fracción por el numerador
de la segunda fracción.
Dividir.
5
3 ÷
7
4 =
(5).(4)
(3).(7) =
20
21
Dividir.
15
13 ÷
10
−40 =
(15).(−40)
(13).(10) =
−600
130 =
−60
13
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 13
Resolver las siguientes Divisiones de Números Racionales.
a) 5
3 ÷
7
4 =
e) 5
3 ÷
7
4 =
m) 5
3 ÷
7
4 =
f) 5
3 ÷
7
4 =
c) 5
3 ÷
7
4 =
g) 5
3 ÷
7
4 =
d) 5
3 ÷
7
4 =
h) 5
3 ÷
7
4 =
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
ACTIVIDAD DE MATEMATICAS Cuadro No 14
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 14
2.7.4. Potencia de un número racional:
Para calcular la potencia de un número racional, se elevan tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.
Ejemplo:
Calcular la potencia
( 𝟐
𝟓 )3 = (
𝟐
𝟓 ) (
𝟐
𝟓 ) (
𝟐
𝟓 ) = (
𝟖
𝟏𝟐𝟓 )
Calcular la potencia
( −𝟑
𝟒 )5 = (
−𝟑
𝟒 ) (
−𝟑
𝟒 ) (
−𝟑
𝟒 ) (
−𝟑
𝟒 ) (
−𝟑
𝟒 ) = (
−𝟐𝟒𝟑
𝟏𝟎𝟐𝟒 )
Signo de la potencia:
• Si la fracción es positiva, la potencia siempre es positiva
• Si la fracción es negativa, el signo de la potencia va a depender del exponente: si el exponente es par, la potencia es positiva; si el exponente es impar la potencia es negativa.
Veamos algunos ejemplos:
✓ (-2/4)2 = -22/42 = 4/16 (como el exponente es par el resultado es positivo)
✓ (-2/4)3 = -23/43 = -8/64 (como el exponente es impar el resultado es negativo)
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 14
Resuelve las siguientes Potencias de Números Racionales
a) ( 𝟐
𝟑 )5 =
e) ( 𝟕
𝟖 )2 =
b) ( 𝟐
𝟓 )2 =
f) ( 𝟏𝟎
𝟏𝟏 )3 =
c) ( 𝟑
𝟓 )3 =
g) ( 𝟒
𝟗 )2 =
d) ( 𝟓
𝟒 )4 =
h) ( 𝟓
𝟕 )3 =
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ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro
NÚMEROS IRRACIONALES. ℚ” . I
¿Te has preguntado quienes son los números Irracionales?
¿Te has preguntado cuál es el último número Irracional? ¿Cuál es el primer número
Irracional?
3.1. Número Irracional:
Es un número que no puede ser escrito como una relación (o fracción). Si lo escribimos en forma decimal, nunca termina sus cifras decimales.
Los Números Irracionales están formados por todas las raíces Inexactas, como son:
√32
= 1,73205080……. √52
= 2,23606767…… √62
= 2,94448974……..
√22
, =1.41421356…… √33
= 1,44224957….. √53
= 1.70997594……
También son números Irracionales los siguientes números:
• El número π, que se lee pi, que se define como la relación de la longitud de la circunferencia dividida entre la longitud de su diámetro. π = 3.14159265…….
• El numero e, que se lee e, su valor es e = 2,7182818284590452…
El número e es uno de los números más importantes en matemáticas, es llamado número de Euler, fue hallado por Leonardo Eulles, y tienes las siguientes
características:
• e es un número irracional (no se puede escribir como una fracción simple). • e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier).
• e aparece en muchas áreas del saber.
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadro 15
PLANO CARTESIANOS.
MOMENTO DE ESTRUCTURACION
Plano cartesiano.
El plano cartesiano es una representación gráfica bidimensional, que se usa para representar funciones matemáticas, o para indicar relaciones entre magnitudes físicas. El nombre de Cartesiano se debe que el filósofo y matemático René Descartes fue el primero en utilizarlos para representar sistemas de soluciones matemáticas.
El plano cartesiano está compuesto de una cuadrícula que contiene los siguientes elementos:
• Dos Ejes:
Eje de las abscisas o Eje de las X: Es el eje horizontal del plano. Corre de izquierda a derecha. Eje de las ordenadas o Eje de las Y: Es el eje vertical del plano, y corre de arriba hacia abajo.
• Origen: Es el punto de unión de los ejes X e Y, y se considera el punto 0 del sistema de coordenadas.
Los cuadrantes son cada una de las cuatro partes en que se divide el plano, y está delimitados por los ejes X e Y. Viendo nuestro plano cartesiano, los cuadrantes se numeran en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, y son los siguientes:
Primer cuadrante: es el que se encuentra en el lado derecho superior del plano. Segundo cuadrante: se encuentra en el lado izquierdo superior del plano. Tercer cuadrante: Se encuentra del lado izquierdo inferior del plano. Cuarto cuadrante: Se encuentra del lado derecho inferior del plano.
• Coordenadas:
Para identificar un punto dentro de un plano cartesiano, se escriben o se mencionan las coordenadas, que es el señalamiento compuesto de un número de la escala de las abscisas (x), y un número de la escala de las ordenadas (y). Ya sea que el valor sea negativo o positivo, siempre se escribe primero el número de la escala de las abscisas (x), y después de las ordenadas (y). Además siempre se escriben entre paréntesis y separados por una coma, Observa el siguiente plano cartesiano.
Plano cartesiano
MOMENTO DE ESTRUCTURACION
5. Ubicación de puntos en el plano cartesiano
EJEMPLO:
Graficar los siguientes puntos en el plano cartesiano.
A.(5,3) B.(-2,6) C.(-5,-7) y D.(3,-4).
Solución:
Grafiquemos todos los puntos coordenados en el mismo gráfico
1) Localizamos la Coordenada A.(5,3)
Paso a: Primero consideramos que como los dos valores de nuestra coordenada son positivos, entonces el punto se encuentra en el primero cuadrante (derecho superior).
Paso b: Nuestra primera coordenada es 5, que la localizaremos sobre el eje de las abscisas, hacia la derecha, partiendo del origen o punto cero.
Paso c: Nuestra segunda coordenada es 3, la cual localizaremos sobre el eje de las ordenadas hacia arriba del origen.
Paso d: Ahora extendemos ambos puntos hasta su punto de intersección. Ese punto es la coordenada A(5,3). Ver gráfica.
2) Localizamos la Coordenada B.(-2,6)
Paso a: Ahora, el primer valor es negativo, por lo que irá hacia la izquierda, y el segundo positivo, por lo que irá hacha arriba, entonces el punto que buscamos se encuentra en el segundo cuadrante (izquierdo superior).
Paso b: Nuestra primera coordenada es -2, que la localizaremos sobre el eje de las abscisas, a la izquierda del origen.
Paso c: Nuestra segunda coordenada es 6, la cual localizaremos hacia arriba del origen, sobre el eje de las ordenadas. Ver gráfica.
Paso d: Ahora extendemos ambos puntos hasta su punto de intersección. Ese punto es la coordenada B(-2,6).ver gráfica.
3). Localizamos la Coordenada C.(-5,-7)
Paso a: En este caso, como los dos valores de nuestra coordenada son Negativos, entonces el punto se encuentra en el tercer cuadrante (izquierdo inferior). Ver gráfica.
Paso b: Nuestra primera coordenada es -5, que la localizaremos sobre el eje de las abscisas, a la izquierda del origen.
Paso c: Nuestra segunda coordenada es -7, la cual localizaremos hacia abajo del origen, sobre el eje de las ordenadas. Ver grafica
Paso d: Ahora extendemos ambos puntos hasta su punto de intersección. Ese punto es la coordenada C(-5,-7). Ver grafica.
4). Localizamos la Coordenada D.(3,-4)
Paso a: Ahora, el primer valor es positivo, por lo que irá hacia la derecha, y el segundo negativo, por lo que irá hacha abajo, entonces el punto que buscamos se encuentra en el cuarto cuadrante (derecho inferior).
Paso b: Nuestra primera coordenada es 3, que la localizaremos sobre el eje de las abscisas, a la derecha del origen.
Paso c: Nuestra segunda coordenada es -4, la cual localizaremos hacia abajo del origen, sobre el eje de las ordenadas. Ver gráfica.
Paso d: Ahora extendemos ambos puntos hasta su punto de intersección. Ese punto es la coordenada D(3,-4).Ver gráfica.
Puntos:
B (- 2, 6)
C (- 5, -7)
A.(5,3)
D.(3,-4)
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
CUADRO No 15
1.Graficar los siguientes puntos coordenados en el plano cartesiano.
a) (7, 3) b) (–2, 6) c) (–3, –4) d) (5, –8)
2.Graficar los siguientes puntos coordenados en el plano cartesiano.
a) (2, 4) b) (–3, 5) c) (–5, –7) d) (8, –8)
INSTITUCION EDUCATIVA FOCO ROJO
ACTIVIDAD DE MATEMATICAS
Grado 7 Estudiante:
Asignatura: Matemáticas y Geometría Cuadros. 16,17 y 18
3. GEOMETRIA
✓ Unidades de medidas: ✓ Metro lineal. ✓ Metro Cuadrado. ✓ Metro Cubico.
3.1 Unidades de Medida
El metro lineal es una unidad de longitud,
El metro cuadrado es una unidad de área.
El metro cubico es una unidad de Volumen.
• Metros (m): es una unidad de medida de longitud. El metro pertenece del
Sistema Internacional de Unidades (SI) siendo esta la unidad o patrón de
medida más utilizado.
• Metros cuadrados (m²) : es una unidad de superficie que nos indica el
espacio ocupado por las figuras planas. Un metro cuadrado equivale al área
de un cuadrado de 1 metro de lado.
• METRO CUBICO (m3): unidad principal de volumen.
Metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro de arista.
3.1El Metro Lineal
Hoy vamos a aprender sobre las medidas de longitud. ¿Sabes qué son? ¿Sabes para qué se utilizan? Te lo explicamos en este texto.
¿Qué es la longitud?
La longitud determina la distancia que hay entre dos puntos , o dicho de otra manera, longitud es la cantidad de espacio que hay entre dos puntos. Por ejemplo, la distancia que hay entre mi casa y el colegio, o la distancia de un extremo de la mesa al otro.
¿Qué medidas de longitud existen?
La unidad principal para medir la longitud es el metro.
Por ejemplo, un metro es lo que mide de largo una guitarra.
1 metro
Pero, ¿qué hago si quiero medir objetos mucho más pequeños? ¿y si quiero medir objetos mucho más grandes?
Para eso tenemos más medidas de longitud:
Los múltiplos y los Submúltiplos del metro.
• Los múltiplos son las unidades de medida más grandes que el metro. Son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. Hay más, pero de momento solo vamos a ver estas.
• Los submúltiplos son las unidades de medida más pequeñas que el metro. Son el decímetro, el centímetro y el milímetro.
En la siguiente tabla se muestran las medidas de longitud:
Para que tengas una idea aproximada de las distancias que miden los múltiplos y los submúltiplos vamos a ver algunos ejemplos.
Ejemplos de medidas de longitud
La distancia entre Málaga y Santander es de aproximadamente 900 kilómetros.
La longitud de un campo de fútbol es de aproximadamente 1 hectómetro.
Para expresar una unidad de medida mayor a una unidad de medida menor se multiplica por 10 cada una de las casillas hasta llegar a la unidad indicada:
• Para pasar de (Decámetro) Dm a (Metro) M basta multiplicar por diez.
Ejemplo: Expresar 4 Dm a M= (4).(10) m = 40 m
• Para pasar de (Hectómetro) Hm a m multiplicamos por 10 (Dm) y por
10 (Hm), es decir, por 10x10, o por 100.
Ejemplo: Expresar 5 Hm a Metros= 5(10)(10) =500 m.
• Para pasar de 7(Kilometro) Km a m multiplico por 10 (Dm), por 10
(Hm) y por 10 (Km), es decir, por 10x10x10 o por 1000.
Ejemplo: Expresar 7 Km a Metros= 7(1000) m. = 7000M
• Para pasar de Mm a m multiplicamos por 10 (Dm), por 10 (Hm), por
10 (Km) y por 10 (Km), es decir, por 10.10.10.10 o por 10000.
Ejemplo: 8 Mm= 80000 m.
Como ves para todos los pasos hacemos uso del diez de ahí que a este
sistema le llamamos decimal.
Para expresar una unidad de medida menor a una unidad de medida mayor se divide por 10 uno a otro:
•
En el caso de tener que pasar de m a (Decámetro) Dm basta dividir
por diez.
Ejemplo: Expresar 2 m a Dm = 2/10 = 0,2Dm.
• Para pasar de m a (Hectómetro)Hm dividimos por 10 (hasta Dm) y por
10 (hasta Hm), es decir, dividimos por 100.
Ejemplo: Expresar 5 m = 5m/100 = 0,05 Hm.
• Para pasar de m a (Miriámetros)Mm dividimos por 10(hasta Dm), por
10 (hasta Hm), por 10 hasta Km y por 10 hasta Mm), es decir, por
10.10.10.10. dividimos por 10000.
Ejemplo: Expresar 6 m = 6m/10000 = 0,0006 Mm.
Recuerda que son: dm = 0,1m, cm = 0,01 m y mm = 0,001 m.
• En el caso de tener que pasar de m a dm basta multiplicar
por diez. Ejemplo: 2 m = 20 dm.
•
• Para pasar de m a cm multiplicamos por 10 (hasta dm) y por 10
(hasta cm), es decir, por 102, o por 100. Ejemplo: 5 m = 500 cm.
•
• Para pasar de m a mm multiplicamos por 10 (hasta dm), por 10
(hasta cm) y por 10 hasta mm), es decir, por 103 o por 1000.
Ejemplo: 5 m = 5000 mm.
•
• Para pasar de dm a m dividimos por diez. Ejemplo: 4 dm = 0,4 m
•
• Para pasar de cm a m dividimos por 10 (dm) y por 10 (cm), es decir,
por 102, o por 100.
Ejemplo: Expresar 5 cm a metros= 5/100 = 0,05 m.
Para pasar de mm a m dividimos por 10 (dm), por 10 (cm) y por 10 (mm),
es decir, por 10.10.10 o por 1000.
Ejemplo: Expresar 7 mm a metros = 7/1000 = 0,007 m.
Método de la escalera para convertir unidades mayores a unidades
menores o unidades menores a unidades mayores
1. Pasar de una unidad mayor a otra más pequeña
Para pasar de una unidad mayor a otra más pequeña (bajar la escalera) hay que MULTIPLICAR ese número por la unidad seguida de tantos ceros como peldaños bajemos.
Ejemplo: a) Tenemos que pasar de kilómetros a metros: 3 kilómetros convertir a metros Tenemos que bajar tres peldaños por lo que hay que multiplicar X 1000. 3 km = 3 x 1000 = 3000 metros b) Si el número es decimal movemos la coma hacia la derecha tantos lugares como escaleras subamos. Ejemplo: 2,48 hectómetros convertir a decimetros 2,48 hm = 2,48 x 1000 = 2480,0 dm
2. Pasar de una unidad menor a otra mayor
a) Para pasar de una unidad pequeña a otra mayor (subir la escalera) hay
que DIVIDIR ese número por la unidad seguida de tantos ceros como
peldaños subamos
Ejemplo:
Tenemos que pasar de centímetros a metros:
350 centímetros convertirlo en metros
Tenemos que subir dos peldaños por lo que hay que
dividir: 100.
350 cm = 350 / 100= 3,50 m
Ejemplo:
b) Si el número es decimal movemos la coma hacia la
izquierda tantos lugares como escalones subamos.
Ejemplo:
23,5 decámetros convertir a Hectómetro
23,5 dam = 23,5 / 10 = 2,35 Hm
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 16
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la teoría del Metro Lineal a)¿Cuántos metros hay en 5 Km?
b)¿Cuántos metros hay en 12 km.
c)¿Cuántos metros hay en 3 Km
d)¿Cuántos metros hay en 0,5 Hm?
e)¿Cuántos metros hay en 0,025 Hm?
f)¿Cuántos metros hay en 8 Hm?
g)¿Cuántos metros hay en 12 Dm?
h)¿Cuántos metros son 12 dm?
i)¿Cuántos metros son 12 dm?
j)¿Cuántos metros son 12,34 milímetros?
k)¿Cuántos metros son 87 cm?
l)¿Cuántos metros son 353 milímetros?
El metro cuadrado. La unidad principal de superficie es el metro cuadrado. Metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que mide un metro de lado.
Múltiplos y submúltiplos del Metro Cuadrado.
Hay que tener en cuenta que las unidades de superficie son cuadrados. El paso de una unidad a la
siguiente es dividiendo o multiplicando a lo largo y a lo ancho, por tanto dividiendo o
multiplicando doblemente por 100 es decir, dividiendo o multiplicando por 100.
Unidad Definición equivale a símbolo
múltiplos
kilómetro
cuadrado Cuadrado de un kilómetro de
lado 1000000 m2 km2
Hectómetro
cuadrado Cuadrado de un hectómetro
de lado 10000 m2 Hm2
Decámetro
cuadrado Cuadrado de un decámetro
de lado 100 m2 Dam2
Unidad
principal Metro cuadrado
Cuadrado de un metro de
lado m2
submúltiplos
decímetro
cuadrado Cuadrado de un decímetro
de lado 0.01 m2 dm2
centímetro
cuadrado Cuadrado de un centímetro
de lado 0.0001 m2 cm2
milímetro
cuadrado Cuadrado de un milímetro de
lado 0.000001 m2 mm2
Cambio de unidades de superficie.
Las unidades de superficie van de 100 en 100 veces.
Para cambiar de unidad de superficie debes poner especial atención porque para pasar de una unidad a la siguiente tienes que mover la coma dos puestos, es decir, para hacer un paso tienes que multiplicar o dividir por 100.
Si es de unidad mayor a menor multiplicas por 100.
Si es de unidad menor a mayor divides por 100
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 17
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la teoría del Metro Cuadrado
a)¿Cuántos metros cuadrados hay en 5 Kilómetros cuadrados?
b)¿Cuántos metros cuadrados hay en 12 hectómetros cuadrados.
c)¿Cuántos metros2 hay en 3 Km2
d)¿Cuántos metros2 hay en 0,5 Hm2?
e)¿Cuántos metros2 hay en 0,025 dm2?
f)¿Cuántos metros2 hay en 8000 dm2?
g)¿Cuántos metros2 hay en 12 Dm2?
h)¿Cuántos metros2 son 1200 dm2?
i)¿Cuántos metros2 son 210 dm2?
j)¿Cuántos metros2 son 12,34 milímetros2?
k)¿Cuántos metros2 son 87000 cm2?
l)¿Cuántos metros2 son 3532 milímetros2?
EL Metro Cúbico: m³. El Metros cubico es la unidad de medida de volumen. Representa el volumen ocupado por un cubo de un metro de lado o arista. Equivale a un kilolitro (1000 litros)
Hay que tener en cuenta que las unidades de volumen son cubos, tienen tres dimensiones. El paso de una unidad a la siguiente es dividiendo o multiplicando a lo largo, a lo ancho y a lo alto, dividiendo o multiplicando triplemente por 10.10.10 es decir, dividiendo o multiplicando por 1000.
Unidad Es el volumen de un Equivale a Símbolo
múltiplos
kilómetro
cúbico cubo de un kilómetro de
arista 1000000000 m3 km3
Hectómetro
cúbico cubo de un hectómetro
de arista 1000000 m3 Hm3
Decámetro
cúbico cubo de un decámetro
de arista 1000 m3 Dam3
Unidad
principal Metro cúbico
cubo de un metro de
arista m3
submúltiplos
decímetro
cúbico cubo de un decímetro de
arista 0.001 m3 dm3
centímetro
cúbico cubo de un centímetro
de arista 0.000001 m3 cm3
milímetro
cúbico cubo de un milímetro de
arista 0.000000001 m3 mm3
Conversión de unidades superiores a inferiores o inferiores a superiores
• Para convertir unidades mayores a unidades menores multiplicamos por 1000.
• Para convertir unidades menores a unidades mayores dividimos por 1000.
MOMENTO DE TRANSFERENCIA
Cuadro No 18
Transforma en metros cúbicos las siguientes cantidades
a)¿Cuántos metros cúbicos hay en 0,025 hectómetros cubico?
b)¿Cuántos metros cúbicos hay en 459 hectómetros cúbicos.