178 5.4.2. Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása Enyhén változó keresztmetszetű, tiszta hajlításra igénybevett rúdnál az egyes pontok feszültségi állapota - a változó keresztmetszetű rudak tiszta nyomásához vagy húzásához hason- lóan - nem lineáris, hanem térbeli lesz. A gyakorlati számításokhoz azonban általában elegendő a z irányhoz tartozó normálfeszültséget figyelembe venni, s a többi feszültségkomponenst pedig ugyanúgy számítjuk, mint a prizmatikus rúd hajlításánál: = = (y' , z' ) = M EI (z' ) y' z'z' zz zz x' x'x' σ σ σ 5.65 csupán arra kell ügyelnünk, hogy a keresztmetszet változása miatt a hajlítás tengelyére vonatko- zó másodrendű nyomaték a keresztmetszet helyének függvénye. A normálfeszültség tehát nem- csak y'-nek, hanem z'-nek is függvénye. Ugyanezen ok miatt a semleges tengely görbületi suga- ra sem állandó: 1 (z) = M EI (z) , x' x'x' ρ 5.66 a rúd alakja nem körív, hanem bonyolultabb görbe lesz. A semleges tengely alakjának meghatá- rozásával később foglalkozunk. Az enyhén változó keresztmetszetű rúdban felhalmozott rugalmas energiát (5.63) integ- rálásával nyerjük, most azonban a keresztmetszet másodrendű nyomatékát nem emelhetjük ki az integráljel elé, hiszen az a z koordináta függvénye. Erősen és hirtelen változó keresztmetszetű rudak hajlításánál (5.45. ábra) éppúgy feszültségcsúcsok lépnek fel, mint húzó- vagy nyomóigénybevételnél. E feszültségcsúcsokat, illetve a hossztengelyre merőleges irányú normálfeszültségeket és az esetleg fellépő nyírófeszültségeket megint alaktényezők felhasználásával számíthatjuk, melyeket műszaki táblázatokból határozhatunk meg. 5.4.3. Egyenletes szilárdságú hajlított rudak Az igénybevételek közti ismert kapcsolat, a dM(z) dz = T(z) 5.67 5.45. ábra összefüggés révén könnyen beláthatjuk, hogy tiszta
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
178
5.4.2. Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása
Enyhén változó keresztmetszetű, tiszta hajlításra igénybevett rúdnál az egyes pontok
feszültségi állapota - a változó keresztmetszetű rudak tiszta nyomásához vagy húzásához hason-
lóan - nem lineáris, hanem térbeli lesz. A gyakorlati számításokhoz azonban általában elegendő
a z irányhoz tartozó normálfeszültséget figyelembe venni, s a többi feszültségkomponenst pedig
ugyanúgy számítjuk, mint a prizmatikus rúd hajlításánál:
= = (y' , z' ) =M
EI (z' )y' z'z' zz zz
x'
x'x'
σ σ σ 5.65
csupán arra kell ügyelnünk, hogy a keresztmetszet változása miatt a hajlítás tengelyére vonatko-
zó másodrendű nyomaték a keresztmetszet helyének függvénye. A normálfeszültség tehát nem-
csak y'-nek, hanem z'-nek is függvénye. Ugyanezen ok miatt a semleges tengely görbületi suga-
ra sem állandó: 1
(z)=
M
EI (z) ,x'
x'x'ρ 5.66
a rúd alakja nem körív, hanem bonyolultabb görbe lesz. A semleges tengely alakjának meghatá-
rozásával később foglalkozunk.
Az enyhén változó keresztmetszetű rúdban felhalmozott rugalmas energiát (5.63) integ-
rálásával nyerjük, most azonban a keresztmetszet másodrendű nyomatékát nem emelhetjük ki az
integráljel elé, hiszen az a z koordináta függvénye.
ahol a normálerő és a hajlítónyomaték előjelét, valamint a koordinátatengelyek pozitív irányítá-
sát az 5.2.1. és az 5.4.1. fejezetben megfogalmazott definíciók szerint választjuk meg.
Természetesen annak sincs akadálya, hogy a ferde hajlítást az (5.62) kifejezésnek meg-
felelően visszavezessük két egyenes hajlítás összegére. Ilyenkor a keresztmetszet másodrendű
főtengelyeinek rendszerében a normálfeszültség kifejezése három tagból áll:
221
5.75. ábra
σ η ξzz1
1
2
2
=N
A+
M
I-
M
I 5.122/b
Ha eleve egyenes hajlításról van szó, akkor a fenti kifejezésben a harmadik tag nulla, s a
másodrendű főtengelyeket x,y-nal jelölve:
σ zzx
xx
=N
A+
M
Iy 5.122/c
A (5.112) összefüggések azt mutatják, hogy a semleges sík nem megy át a keresztmet-
szet súlypontján, ahhoz képest a hajlítás tengelyével párhuzamosan eltolódik. Helye ott lesz,
ahol a normáligénybevételből és a hajlításból származó normálfeszültségek azonos nagyságúak,
de ellentétes értelműek. Egyenes vagy ferde hajlításnál a semleges sík és a keresztmetszet síkjá-
nak metszésvonalát (a semleges tengelyt) az eredő normálfeszültségi ábra segítségével az 5.76.
és 5.77. ábrán látható módon könnyen megszerkeszthetjük.
Egyenes hajlításnál a semleges tengely súlyponti tengelytől mért távolságát a (5.122/b)-
ből határozhatjuk meg, ha annak bal oldalát nullával tesszük egyenlővé:
d = -N
M
I
A
x
x 5.123/a
222
5.76. ábra
Ferde hajlításnál a semleges tengely egyenletét (5.122/c)-ből számíthatjuk, ha annak bal oldalát
is nullával tesszük egyenlővé:
=M
M
I
I-
N
M
I
A 2
1
1
2 1
1η ξ 5.123/b
Ha a semleges tengely metszi a keresztmetszetet, akkor abban húzó- és nyomófeszültsé-
gek is ébrednek (5.77. ábra), ha éppen érinti, akkor csak azonos előjelű normálfeszültségek ke-
letkeznek, melyek nagysága az érintő pont(ok)ban nulla. Ha a semleges tengely kívül esik a
keresztmetszet kontúrján, a normálfeszültségek mindig azonos előjelűek és sohasem nullák. A
223
5.77. ábra
normálfeszültségek előjelének különösen ott van jelentősége, amikor a teherviselő rúd anyaga
csak nyomó-, esetleg csak húzófeszültségek felvételére alkalmas. A gyakorlatban sok olyan
anyag van, amely nyomóigénybevételnek ellenáll, de húzásnak csak csekély mértékben vagy
egyáltalán nem (kő, tégla, beton, alapozások legalsó keresztmetszete, azaz a talaj). Ilyen esetben
mindig ellenőriznünk kell, nem ébred-e a keresztmetszetben húzófeszültség.
Ha a nyomás és hajlítás együttesét külpontos nyomásként értelmezzük, akkor annak
feltétele, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában se ébredjen húzófeszültség, az, hogy a nor-
málerő hatásvonalának súlyponttól mért távolsága egy bizonyos értéket ne haladjon meg, azaz a
hatásvonal egy bizonyos területen belül maradjon. Ezt a súlypontot mindig tartalmazó területet a
keresztmetszet magidomának nevezzük.
Jelöljük az y tengelyen elhelyezkedő N erő hatásvonalának súlyponttól mért távolságát
t-vel (5.76. ábra). Ennek maximumát, azaz a magidom y tengellyel vett metszéspontját abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy az e'x'-vel megadott szélső szálban a húzófeszültségnek
nullával kell egyenlőnek lennie. (5.112/a) felhasználásával:
0 = -N
A+
Ntcos
I e' ,
x'x'x'
α
ahonnan a másodrendű nyomatékokra vonatkozó Ix'x' = Aix'2 összefüggés felhasználásával:
t =I
Ae' cos=
i
e' cos x'x'
x'
x'2
x'α α . 5.124
Az összefüggés azt mutatja, hogy a magidom alakja és nagysága csupán a keresztmetszet geo-
metriai jellemzőitől függ, éppen ezért a magidom pusztán ábrázoló geometriai eszközökkel is
meghatározható (antipólus és antipoláris szerkesztéssel), amivel itt részletesen nem foglalko-
zunk. Az 5.78. ábrán bemutatjuk néhány gyakori síkidom magidomát. A (5.124) kifejezés hasz-
nálatára példaként határozzuk meg a kör keresztmetszetének magidomát. Ez a központos szim-
metria miatt szintén kör, melynek sugara d/8, mert bármely súlyponton átmenő x' tengelyre
Ix'x' = d4π /64, A = d2 π /4, e'x' = d/2 és ix' = d/4.
224
A külpontosan húzott rudak vagy a zömök nyomott rudak alakváltozását a két tiszta
igénybevételből származó alakváltozás vektori összegzésével kapjuk (jóllehet a normálerőből
származó alakváltozás a hajlítási alakváltozás mellett gyakorlatilag elhanyagolható). A karcsú
külpontosan nyomott rudaknál már stabilitási problémák lépnek fel, ezek tárgyalása más téma-
körbe tartozik.
5.78. ábra
A belső rugalmas energia számításánál is a szuperpozíció elvét alkalmazzuk. A z hosz-
szúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia (5.19) és )5.63) összegzésével adódik:
dU = dU =1
2
N
EA
M
EIdz =
1
2
N
EA
M
EI
M
EIdz b b
2x'
2
x'x'
21
2
1
22
2
+
+ +
5.125
5.7.1. Erőtani méretezés
5.7.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer
Az erőtani méretezés során azt kell kimutatni, hogy a veszélyes keresztmetszet kritikus
pontjaiban a normálfeszültség abszolút értéke nem nagyobb a megfelelő megengedett feszült-
ségnél:
σ σ σ σmax max,+ + − −≤ ≤m m 5.126/a/b
ahol
σ max+ x'
x
=N
A
M
K + 5.127/a
maxσ − = −N
A
M
Kx
x
' , 5.127/b
225
A normálfeszültségek szélső értékeinek meghatározásánál a fenti kifejezéseket a korábbi
előjeldefiníciók következetes betartásával "automatikusan" is használhatjuk, de lehetőség nyílik
az előjelek szemléleten alapuló felvételére is. Ez utóbbi esetben célszerű megrajzolni - ahogy
azt az 5.76. és 5.77. ábrákon tettük - a normálfeszültség-eloszlások összetevő és eredő ábráját.
σ+
m és σ -m a rúd anyagának, illetve alapozások méretezésénél a talaj anyagának meg-
engedett húzó- és nyomófeszültsége. Csak nyomóigénybevétel felvételére alkalmas anyagoknál σ +
m= 0 , a méretezés során tehát azt kell kimutatni, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában
sem ébred húzófeszültség.
Tervezésre csak közvetett formában kerülhet sor, azaz előre felvett keresztmetszetet kell
ellenőrizni.
5.7.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer
Ennek a méretezési módszernek az alapgondolata szerint mindig igénybevételeket (mér-
tékadót és határt) hasonlítunk össze, most mégis egyszerűbben elvégezhető az ellenőrzés, ha a
mértékadó feszültséget vetjük össze a határfeszültséggel:
M+σ σ σ σ≤ ≤+ − −
H M H, . 5.128/a/b
ahol a pozitív és negatív normálfeszültséget a (5.127)-nek megfelelően számítjuk annyi változ-
tatással, hogy azokban a mértékadó igénybevételek értékét használjuk fel.
5.8. Általános összetett igénybevétel
A legáltalánosabb esetben is prizmatikus rúdra ható külső erőrendszer hatására keletke-
ző belső erőrendszer egy adott keresztmetszetben négy igénybevételből, normál- és nyíróerőből,
hajlító- és csavarónyomatékból áll. Ezek hatására a rúd általános helyzetű pontjai összetett alak-
változási és feszültségi állapotba kerülnek. Kevésbé igényes számításoknál az összetett
feszültési állapot komponenseit azzal a feltételezéssel határozhatjuk meg, hogy a
normáligénybevétel, a közönséges hajlítás és a csavaróigénybevétel egymástól függetlenül fejti
ki hatását, az eredő feszültségi állapot a részigénybevételekből származó feszültségkomponen-
sek vektorális összegzésével nyerhető. Nagyobb pontosságot igénylő esetekben a feszültségi és
alakváltozási állapot komponenseit, sőt magának a szerkezeti elemnek az alakváltozását is a
rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásával kell meghatározni.
226
5.8.1. Erőtani méretezés
Az erőtani méretezés során a rúd kritikus pontjában kiszámítjuk - a rúd anyagának meg-
felelő tönkremeneteli elmélettel - az egyenértékű feszültséget (3. fejezet), és ellenőrizzük a (3.1)
reláció módosított formájában teljesülését. A módosítás attól függ, milyen méretezési alapelvet
alkalmazunk. A szerkezeti elemnek az a kritikus pontja, amelyben az egyenértékű feszültség az
összes lehetséges közül a legnagyobb.
5.8.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer
A megengedett feszültségen alapuló eljárásnál a kritikus pont feszültségi állapotának
komponenseit a szerkezetre ható külső erők alap-(maximális)-értékeivel számítjuk (4.2.1. feje-
zet) és a
σ σegy mmax ≤ + , 5.129
reláció teljesülését kell igazolni.
Könnyen beláthatjuk, hogy összetett igénybevétel esetén - legalábbis a legtöbb esetben -
tervezésre nincs mód, az előre felvett keresztmetszetet ellenőrizzük.
5.8.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer
Igénybevételek összehasonlítására itt sincs lehetőséget. A mértékadó feszültségnek
megfelelő egyenértékű feszültséget úgy számítjuk, hogy a külső terhelések mértékadó értékeit
használjuk fel (4.2.2. fejezet). A vizsgált, kritikus pont megfelel, ha
σ σe g yM
H≤ + . 5.130
Tervezni itt is csak közvetett módon lehet.
5.9. Görbe tengelyű rudak
Gépek, épületek és egyéb szerkezetek teherhordó elemeként sűrűn alkalmaznak görbe
tengelyű rudakat. Különösen gyakran találkozhatunk fából készült, ívestengelyű tartókkal, ru-
A következőkben a nyomott rudak kihajlásával és az elnyújtott keresztmetszet-alakú,
hajlított rudak kibicsaklásával foglalkozunk. A faipari műszaki gyakorlatban ezek a feladatok
fordulnak elő leggyakrabban. A lemezek horpadásának tárgyalása - jólehet faipari szempontból
ez is fontos probléma - mechanikai tanulmányaink kereteit túlhaladják. Ezekkel kapcsolatban a
szakirodalomra utalunk.
7.1. Hosszú, nyomott rudak kihajlása
Az egyenes tengelyű, prizmatikus rudakat karcsúnak nevezzük, lényegesen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretüknél (L >> vmin). A karcsúság mértékét a karcsúsági tényező
fogalmának bevezetésével jellemezhetjük:
λ =L
i=
L
i=
L
I
A
red
min
red
2
red
2
7.1
ahol Lred - a rúd ún. redukált hossza, amely a tényleges geometriai hosszúságnak és a rúd meg-
fogási módjainak függvénye (lásd a 7.2. ábrát és a (7.8) összefüggéseket),
250
imin = i2 - a keresztmetszet legkisebb, azaz a 2-es főtengelyre vonatkozó másodrendű (inercia-)
sugara, az (5.13) definíciónak megfelelően I2 - a 2-es tengelyre vonatkozó, fő másodrendű
nyomaték, A - pedig a keresztmetszet területe.
A (7.1) összefüggés alapján egyszerűen beláthatjuk, hogy a dimenzió nélküli számmal
jellemzett karcsúsági tényező annál nagyobb, minél nagyobb a rúd hosszírányú mérete a ke-
resztmetszeti méreteihez képest. Ha λ egy bizonyos értéknél kisebb, akkor központos nyomó-
erő hatására zömök rúdként viselkedik és a tiszta nyomásnál megismert tulajdonságokkal jelle-
mezhető. Zömök rudak stabilitásvesztésével így nem kell számolni.
A kritikus nyomóerő meghatározásának módja karcsú rudaknál függ a kritikus feszült-
ségnek és a rúd anyagának jellemző arányossági határának viszonyától. σ krit ≤ σ A esetén ru-
galmas, σ krit > σ A esetén képlékeny kihajlásról beszélünk.
7.1.1. Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása
Vizsgáljunk egy L hosszúságú, A
keresztmetszet-területű prizmatikus rudat,
melynek mindkét vége gömbcsuklón keresztül
kapcsolódik a környezethez, sőt, az egyik
csukló a rúdtengely irányában el is mozdulhat
(7.1. ábra). A rúd külső terhelése olyan, hogy
minden keresztmetszete központos nyomásnak
van kitéve. Ha a rúdra ható külső erő éppen
eléri a kritikus értéket, akkor a rúd közömbös
egyensúlyi helyzetbe kerül s ennek
megfelelően nemcsak egyenes, hanem - a
gyakorlati tapasztalat szerint - síkgörbe
egyensúlyi alakot is felvehet. A kritikusnál
nagyobb erő esetén a rúd görbülete tovább nő
és igen rövid idő alatt elveszti használhatósá-
7.1. ábra -
gát. Ezt a jelenséget nevezzük a karcsú rudak kihajlásának.
Jelöljük a rugalmas vonal egyelőre ismeretlen, görbült alakját az uy = uy(z) függvénnyel
(az y tengelyt úgy vettük fel, hogy az a kihajlás síkjába essen). Annak ellenére, hogy a kihajlott
rúd keresztmetszeteiben a hajlítónyomaték mellett normál- és nyíróigénybevétel is ébred, a ru-
galmas vonal differenciálegyenletét - a kis alakváltozások feltételével élve - a közönséges hajlí-
tásnál levezetett (5.111) jelű összefüggéssel adhatjuk meg. Ebben a hajlítónyomaték függvénye
a 7.1. ábrának megfelelően: Mx(z) = Fuy(z) .
251
A rugalmas szál differenciálegyenlete a
k =F
EI 2
xx
7.2
jelölés bevezetésével a
d u (z)
dz+ k u (z) = 0
2y
22
y 7.3
alakra hozható. E homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása:
uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) , 7.4
ahol A és B a kerületi feltételekből meghatározható integrálási állandók.
Esetünkben a z = 0-nál uy = 0 feltételből B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 feltételből
pedig:
Asin(kL) = 0 .
E szorzat akkor lehet nulla, ha tényezői valamelyike nulla. Az A = 0 megoldás azt jelen-
ti, hogy a rúd egyenes marad, ami most számunkra érdektelen. A sin(kL) = 0 akkor állhat fenn,
ha
kL = mπ , m = 0,1,2, ...
Ezzel (7.2) felhasználásával a következő kritikus erőt kapjuk:
ami m és Ixx értékétől függően végtelen sok megoldást ad. A gyakorlat szempontjából a legki-
sebb értéknek van jelentősége. A nullától különböző legkisebb értéket m = 1 és Ixx = Imin = I2
helyettesítéssel nyerjük:
F =EI
L ,krit
22
2
π 7.5
A kihajlás tehát a rúd hossztengelye és keresztmetszetének 1-es főtengelye által alkotott síkban
következik be (az y tengelyt úgy kell felvenni, hogy az a keresztmetszet 1-es főtengelyével es-
sen egybe). A hajlítás tengelye pedig az x ≡ 2 tengely. A kihajlott rugalmas vonal alakja (7.4)
alapján:
uy(z) = Asin(kz) = Asinm
Lz
π
, 7.6
m = 1 esetén a kihajlott egyensúlyi alak fél szinuszhullám. A nagyobb m-ekhez tartozó nagyobb
kritikus erőkhöz m darab fél szinuszhullám tartozik. Ilyen alak azonban csak akkor alakulhat ki,
ha valamilyen módon megakadályozzuk, hogy már a legkisebb kritikus erőnél valamivel na-
gyobb erő esetén labilissé váljék a rúd. A rúd maximális y irányú eltolódása a határozatlan A
integrálási állandó miatt ismeretlen. uy,max-ot a felső rúdvég rúdirányú elmozdulásának figye-
lembevételével lehetne meghatározni. A kritikus nyomóerő ismeretében a kritikus feszültséget a
tiszta nyomás feltételezésével számítjuk:
σπ
kritkrit
22
2=
F
A=
EI
AL , 7.7
252
A (7.5) és (7.7) kifejezésekkel számítható mennyiségeket Euler-féle kritikus erőnek,
illetve feszültségnek nevezzük, mert először - 1774-ben - L. Euler vezette le őket.
módjának a függvénye:
a. eset: mindkét végén csukló:
Lred = L ,
b. eset: az egyik vég mereven befogott,
a másik vég szabad:
Lred = 2L ,
c. eset: az egyik vég merev megfogású,
Lred = 2
2L = 0,71L , 7.8/c
d. eset: mindkét vég merev befogású
Lred = 1
2L . 7.8/d
Megkönnyíti a fenti összefüggések
megjegyzését, ha a 7.2. ábra alapján
7.2. ábra megfigyeljük, hogy a redukált hossz az
a távolság, amely a fél szinuszhullám kialakulásához szükséges.
Az Euler-féle kritikus erő a négy esetben:
F =EI
L ,krit
22
red2
π 7.9
a kritikus feszültséget (7.1) és az I2 = i22 A összefüggés felhasználásával a következő formára
szokták hozni:
253
σπ π π π
λkrit
22
red2
222
red2
2
red
2
2
=EI
AL=
EAi
AL=
E
L
i
=E
,
2 2 7.10
Ezen összefüggés azt mutatja,
hogy a kritikus feszültég - rugal-
mas kihajlást feltételezve - a kar-
csúsági tényező függvényében hi-
perbolikusan változik (7.3. ábra).
7.3. ábra
7.1.2. Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellépő rugalmas kihajlás
Tökéletesen egyenes rúd gyártása és olyan tökéletes szerelés, hogy a nyomóerő hatás-
vonala pontosan egybeessen a rúd geometriai tengelyével, gyakorlatilag lehetetlen. A kihajlás
műszaki pontatlanságok következtében megnövekedett veszélyének vizsgálatára és érzékelteté-
sére két egyszerű esettel foglalkozunk.
254
Vizsgáljunk először egy, mindkét végén csuklós megfogású egyenes rudat, melyen a
külső erő hatásvonala - véletlenül vagy szándékosan - a rúdtengelytől e távolságban helyezkedik
el (7.4/a. ábra). Az Fe nagyságú hajlítónyomaték hatására a rúd meggörbül. Ezt az alakválto-
zást is figyelembe véve tetszőleges z koordinátájú keresztmetszet hajlítóigénybevétele:
Mx = F(uy(z) + e).
(5.111) és (7.2) felhasználásával most a
d u (z)
dz+ k (u (z) + e) = 0
2y
22
y
differenciálegyenletet kapjuk a rugalmas szál uy(z) függvényére. Általános megoldása:
uy(z) + e = Asin(kz) + Bcos(kz) .
A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltétel felhasználásával:
A = etgkL
2 é s B= e.
A feladat partikuláris megoldása:
u (z) + e = e(cos(kz) + tgkL
2sin(kz)).y
A legnagyobb kitérést a rúd közepén kapjuk:
7.4. ábra
u + e = e(coskL
2+ tg
kL
2sin
kL
2 =
e
coskL
2
y,max
.
Ha az utolsó egyenlőség nevezője a nulla felé tart, a rúd maximális kitérése elvileg vég-
telen nagy lesz. A kritikus erőt a
255
cos kL
2
= 0 összefüggésből határozhatjuk meg.
Ez akkor teljesül, ha kL
2
= m
π2
, m = 1,2,...
A legkisebb kritikus erőt most is m = 1 esetén kapjuk (7.2)-ből:
F =EI
L ,krit
22
2
π 7.12
Érdekes módon ugyanazt az összefüggést kaptuk, mint a centrikusan nyomott rúd stabi-
litásvesztésénél.
Helyettesítsük be (7.2)-be a (7.12)-ből kifejezett EIxx = EI2 értéket és alakítsuk át (7.11)-
et: u + e
e=
1
coskL
2
=1
cosL
2
=1
cos2
y,max
F
EI
F
Fkrit2
π
a kifejezésnek megfelelő függvénykapcsolatot a 7.4/b. ábrán szemléltettük.
Ezután tegyük fel, hogy a rúd tengelye gyártási hiba következtében nem egyenes, s a
terheletlen súlyvonal alakját közelítsük az
uo(z) = uo,maxsinπL
z
függvénnyel (7.5/a. ábra).
Ha csak kis alakváltozásokat engedünk meg, akkor a rúd görbületének megváltozása
arányos a hajlítónyomatékkal (a görbület pedig (5.111) alapján a lehajlásfüggvény hely szerinti
második deriváltja):
M
EI=
1-
1= -
d u (z)
dz+
d u (z)
dzx
xx 0
2o2
2y
2ρ ρ
amelyben uy(z) jelenti a rugalmas vonal teljes (az F erő hatásvonalához viszonyított) behajlását,
a hajlítónyomaték pedig:
Mx = Mx(z) = - Fuy(z) .
Behelyettesítés, rendezés után (7.2) felhasználásával:
d u (z)
dzk u (z) = -u
2y
22
y 0,max+
π π2
2L Lzsin
Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek egy partikuláris megoldását keressük
u (z) = - rsinL
alakban.yp π
z
256
7.5. ábra
Az ismeretlen r tényezőt úgy határozhatjuk meg, hogy a megoldást behelyettesítjük a
differenciálegyenletbe, s onnan r kifejezhető:
r =u
k L - .o,m ax
2
2 2 2
ππ
A differenciálegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet általános megoldásá-
nak és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának összegeként kapjuk:
u (z) = Asin(kz) + Bcos(kz) -u
k L -sin
L . y
o,max2
2 2 2
ππ
πz
A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltételek felhasználásával
B = 0 és Asin(kL) = 0
adódik. Az A = 0 megoldás azt jelenti, hogy a görbén gyártott rúd a külső terhelés hatására sem
változtatja meg alakját, ami fizikailag lehetetlen. A sin(kL) = 0 akkor teljesül, ha
kL = mπ , m = 0,1,2, ...
A legkisebb kritikus erőnek most is m = 1 felel meg, így
kL
= π.
B = 0 felhasználásával a rúd rugalmas tengelyének egyenlete:
u (z) = Asin(kz) +u
1 -kL
sinL
, yo,max
π
π
z
az eredetileg görbe rúd tehát a külső terhelés hatására fél szinuszhullám alakot vesz fel, melynek
amplitúdója A értékig határozatlan. (7.14) alapján a maximális behajlás akkor lesz végtelen, ha
257
jobb oldalán a második tag együtthatójának nevezője nulla. E feltételből, valamint (7.2) felhasz-
nálásával meghatározhatjuk a rúd kritikus erejét:
F =EI
L , krit
22
2
π 7.15
ami ismét egyezik az egyenes rúd stabilitási feltételével.
Határozzuk meg az uy,max /uo,max hányadost úgy, hogy (7.14)-et helyettesítsük be a kiin-
duló differenciálegyenletbe, végezzük el az előző feladatban is alkalmazott átalakítást: u
u=
1
1 -kL
=1
1 -F
F
, y,max
o,max
kritπ
2 7.16
melyet a 7.5/b. ábrán ábrázoltunk.
A (7.13) és (7.16) függvények, illetve a nekik megfelelő függvénygörbék jól szemlélte-
tik, hogy ha a külső terhelés eléri az Euler-féle kritikus erőt, a rudak végtelen nagy alakváltozást
szenvednek. Sőt, a nagyobb alakváltozások elkerülése érdekében a külső teher csak töredéke
lehet a kritikus erőnek.
Megjegyezzük még, hogy e két utolsó feladat szoros értelemben véve nem stabilitási
probléma. A centrikusan nyomott egyenes rúdnál a kritikus erő hatására a szerkezet, ha megvál-
tozott alakban is, de egyensúlyban marad, s csak valamivel nagyobb erő hatására következik be
a rohamos alakváltozás-növekedés. Az e fejezetben tárgyalt esetekben a kritikus erő már tönk-
remenetelt okoz, hiszen - elvileg - végtelen nagy alakváltozással jár.
7.1.3. Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása
Teherviselő szerkezetekben sokszor előfordul, hogy a karcsú rúdra már a nyomóerő
működése előtt, vagy azzal egyidőben hajlítónyomaték is hat. E nyomatékokat zavaró nyomaté-
koknak is nevezik, mert működésük következtében a centrikusan nyomott karcsú rudak kihajlá-
sának jellege megváltozik és nem csupán stabilitási problémával állunk szemben.
A zavaró nyomatékok hatására a rúd már kezdetben is meghajlik, a végkeresztmetszetek
szempontjából centrikus nyomóerő is okoz hajlítást. A rúd görbülete, kihajlása fokozatosan - de
a nyomóerővel nem lineárisan - nő, míg a nagy alakváltozás miatt használhatatlanná válik. Az
előző fejezetben tárgyalt két példa is a zavarónyomatékokkal kapcsolatos jelenségek körébe
tartozik.
A zavarónyomaték hatására, függetlenül azok jellegétől, a rúdra ható nyomóerő egy
bizonyos értéknél nem lehet nagyobb. Ez a felső határ - érdekes módon független a zavarónyo-
maték fajtájától és nagyságától - minden esetben a centrikusan nyomott rúd Euler-féle kritikus
ereje. A tényleges nyomóerő ezt a kritikus értéket azonban sohasem érheti el, mert - mint az
előző fejezetben is láttuk - ahhoz végtelen nagy alakváltozás tartozik, ami műszaki szerkezetek
esetén a használhatatlansággal egyenértékű.
258
Annak ellenére, hogy a zavarónyomatékkal is terhelt rudak nyomóereje a kritikus erő-
nek csak törtrésze lehet, a nagy alakváltozás miatt fellépő feszültségek hatására a rúd szilárdsági
határállapotba kerülhet. Az ilyen rudakat tulajdonképpen szilárdsági és alakváltozási állapotokra
kell méretezni.
A különböző jellegű zavarónyomatékkal terhelt, karcsú nyomott rudak viselkedésének
Mo = Fuo,max α = 1,0
Mo = Fe α = 1,234
Mo = QL
4 α = 0,822
Mo = qL2
4 α = 1,028
Mo = qL2
9 3 α = 1,208
Mo = Q L
8 α = 0,822
Mo = qL2
24 α = 1,20
7.6. ábra
megoldását általában végtelen sorok formájában lehet megadni. E megoldásokat jelenlegi me-
chanikai tanulmányaink keretein belül nem tudjuk bemutatni. Néhány kutató különböző terhelé-
sű és megtámasztású rúd esetén azonos alakú, közelítő képletet adott meg, amelyek a végtelen
Így pl. a 7.6. ábrán látható esetekben a rudak kritikus ereje az
259
F =N EI
L ,krit
22
red2
7.17
Euler-féle erő. A zavarónyomaték maximuma:
M = M 1+F
F
,z,max o,maxkrit
α
−
1
7.18
ahol
Mo,max - a kezdeti (kihajlás előtti) zavarónyomaték maximuma,
α - módosító tényező, különböző terhelési eseteknek megfelelő értékeiket a 7.6. ábra tartalmaz-
za.
Ha a rúdra többféle zavarónyomaték is hat, de az F erő mindig ugyanaz, akkor a zava-
rónyomatékok maximumának számításához alkalmazhatjuk a szuperpozíció elvét.
A fenti közelítő képletek hibája kisebb 1 %-nál, ha Fkrit /F > 1,7. A gyakorlatban 1,7-nél
mindig nagyobb biztonsági tényezőt alkalmaznak a nyomóerőre, ezért az összefüggések az ará-
nyossági határon belül kielégítő pontosságúak.
A szilárdságú méretezéshez szükséges, a rúdtengellyel párhuzamos normálfeszültség
maximumát a külpontos nyomás mintájára számítjuk:
σ z,maxz,max
x
= -F
A
M
K ± . 7.19
7.1.4. Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása
Teherviselő faszerkezeti elemként gyakran találkozhatunk rétegelt ragasztott íves tar-
tókkal. Ezek esetében is beszélhetünk kihajlási problémáról. Az ívben centrikusnak nevezzük a
nyomóerőt, ha tetszőleges keresztmetszetében csak normálerő ébred, azaz az íves tartó súlyvo-
nala egybeesik a külső terhelésnek megfelelő támaszvonallal.
Íves alakú tartók kihajlásának vizsgálatánál általában közelítő megoldásokkal kell meg-
elégedni. Tanulmányainkban csak azzal a viszonylag egyszerű esettel foglalkozunk, mikor a
görbe tengelyű tartóra függőleges hatásvonalú, egyenletes megoszló terhelés hat. Ilyenkor a
támaszvonal másodfokú parabola. A centrikus nyomás feltétele tehát az, hogy a súlyvonal
egyenlete
y =4h(L - z)z
L
2 7.20
legyen (7.7. ábra), ahol H - a parabolaív magassága, L - a támaszköz. A stabilitási vizsgálat
során feltételezzük, hogy az ív lapos, tehát a h/L viszony kicsi, ennek következtében a kihajlott
ív pontjainak vízszintes irányú eltolódását elhanyagolhatjuk. Azt is feltesszük, hogy a kihajlott
rúd hossza jó közelítéssel megegyezik az eredeti ívhosszal.
260
A csuklóban ébredő reakcióerők vízszintes komponensét - annak ellenére, hogy a tartó
megtámasztása sztatikailag határozatlan - egyszerűen meghatározhatjuk, ha figyelembe vesszük,
hogy a függőleges reakciókomponens qL/2, ugyanakkor a reakcióerő eredőjének is a rúd tá-
masztócsuklóbeli érintőjének irányába kell esnie:
H =qL
2tg=
qL
8h ,
A
2
ϕ 7.21
mert (7.21) differenciálásával
y'= tg = 4h
L(L - 2z) é s tg = 4
h
L2 Aϕ ϕ
A terheletlen és a kihajlott tartóvonal görbületének különbségére a következő összefüg-
gést vezethetjük le:
7.7. ábra
1
-1
=-y' '
(1 + y' )-
-(y' ' + u' ' )
(1 + (y' +u' ) ) ,
02 1,5
y
y2 1,5ρ ρ
ahol uy = uy(z) - a súlyvonal elmozdulásának y irányú komponense. Mivel u'y << y' , közelítőleg
igaz, hogy
1-
1=
u' '
(1 + y' )= u' ' cos =
d u (z)
dzcos .
0
y
2 1,5 y3
2y
23
ρ ρϕ ϕ
A görbületek különbsége arányos a hajlítónyomatékkal, ami esetünkben:
Mx = Mx(z) = - H(z)uy(z) = - Huy(z) ,
ahol H(z) - a rúd z koordinátájú keresztmetszetében ható normálerőnek a vízszintes komponen-
se, melynek nagysága z-től függetlenül a támaszreakció vízszintes komponensével egyenlő. A
két utolsó egyenletből az alábbi összefüggést kapjuk:
261
d u (z)
d+
H
EIu (z) = 0 ,
2y
2xx
yz cos3 ϕ
amely, a ϕ = ϕ (z) miatt egy nem állandó együtthatójú differenciálegyenlet. A biztonság javá-
ra követünk el hibát, ha a lehetséges ϕ (z)-k helyett a legnagyobbat, azaz ϕ A-t helyettesítjük
be:
( )cos
,3
2 3 2 1 5
1
1
1
1 16
ϕϕ
A
Atg h
L
=+
=
+
.
A
k = H
EI1 + 16
h
L2
xx
2 1,5
7.22
mennyiség bevezetésével a stabilitásai probléma differenciálegyenlete:
d u (z)
dzk u (z)
2y
22
y+ ,
ami a már jól ismert állandó együtthatójú, másodrendű homogén differenciálegyenlet. Általános
megoldása: uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) .
A z = 0-nál uy = 0 kerületi feltételből
B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 kerületi feltételből pedig
Asin(kL) = 0 .
Műszaki szempontból most is csak a sin(kL) = 0 megoldásnak van jelentősége:
k =m
L , m = 0,1,2,...
π
A kihajlott súlyvonal egyenlete így
u (z) = Asinm
L .y
πz
Ha m = 0, nincs kihajlás, m = 1-nél viszont - 0 sin L
≤ ≤πz 1 miatt - uy(z) előjele nem válto-
zik, ami azt jelenti, hogy egyhullámú, szimmetrikus kihajlás keletkezik. Ilyen hullám csak úgy
keletkezhet, ha a rúd tengelyhossza megrövidül. Mivel ezt a lehetőséget kezdeti feltételrendsze-
rünkben kizártuk, az m=2 választás az első lehetséges érték. (7.22) felhasználásánál a legkisebb,
azaz a kritikus H érték:
H =4 EI
L=
EI
L ,krit
2xx2
xx2
π α
1 162 1 5
+
h
L
, 7.23
vagy az egyenletesen megoszló terhelés intenzitására átszámítva:
262
q =8H h
L=
8h
LEI ,krit
krit2 4 xxα 7.24
e két képletben a keresztmetszet másodrendű nyomatékánál nem a minimálisat vesszük figye-
lembe, mert a szerkezeti kialakítás az x tengely körüli kihajlást teszi csak lehetővé.
Pontosabb számítások azt mutatják, hogy a fenti összefüggések csak h/L ≤ 0,2 geomet-
riai viszonyok esetén adnak elfogadható eredményt. A gyakorlat számára olyan táblázatokat
állítottak össze, amelyek a (7.23) és (7.24) képletek α értékeit tartalmazzák a mindkét végén
csuklós, illetve mindkét végén befogott parabolaívek kritikus terhelésének számítására.
h/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
csuklós 4π2 36,304 28,716 19,190 12,448 9,60 α
befogott 80,0 75,8 63,1 47,9 34,8 - α
7.1.5. Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek esetén
Az egyenes rúd stabilitásával kapcsolatos vizsgálatok azt mutatták, hogy az Euler-féle
erő bizonyos értéknél nagyobb karcsúsági tényező felett igen jó egyezést mutat a mérési ered-
ményekkel. Kevésbé karcsú rudaknál azonban a kísérlettel meghatározott kritikus erő kisebb az
Euler-képlettel számítotténál. Az eltérést egyszerűen megmagyarázhatjuk, ha figyelembe vesz-
szük, hogy az Euler-elmélet a rugalmassági moduluszt állandónak tekinti. A valóságos anyagok-
ra vonatkoztatva tehát csak addig tekinthető érvényesnek, míg a rúdban ébredő normálfeszültség
nem haladja meg az arányossági határt (7.8. ábra). Ha (7.10)-ben a σ krit helyébe σ A-t helyette-
sítünk, kifejezhetjük az egyenes-arányossági határhoz tartozó karcsúsági tényezőt:
=E
.AA
λ πσ
7.25
Az Euler-formula alkalmazhatóságának feltétele tehát a
λ λ≥ A 7.26
reláció teljesülése.
Elvileg Euler gondolatmenete az arányossági határon túl is alkalmazható lenne, ha E
helyébe az alakváltozási diagram alapján meghatározható, ún. tangens (érintő) moduluszt he-
263
7.8. ábra
lyettesítenénk. A tangensmodulusz azonban végső soron az y irányú elmozdulásnak a függvé-nye, E = E(σ ) = E(σ (uy)), ezért a (7.3) differenciálegyenlet már nem marad állandó együtt-
hatójú, sőt, linearitása is megszűnhet. Ez igen megnehezíti, esetleg lehetetlenné teszi a megoldás
megtalálását. A kritikus erő számítására ezért az egyenes-arányossági határ felett általában ta-
pasztalati képleteket alkalmaznak.
A karcsú rudak stabilitásának kísérleti kutatásával elsőként Tetmajer Lajos és Kármán
Tódor foglalkozott és ért el jelentős eredményeket. E kísérletek szerint, amennyiben a tényleges
feszültség az arányossági határ és a szívós anyagoknál σF, rideg anyagoknál σB között van, a rúd
kritikus ereje, illetve kritikus feszültsége a karcsúsági tényező lineáris függvénye (7.8/a. ábra):
Fkrit = A(a-bλ ) , 7.27/a σ
krit = a-bλ , 7.27/b
ahol a és b feszültségdimenziójú anyagállandók.
Rideg anyagoknál a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya
0≤ <λ λ A 7.28
Szívós anyagoknál a feszültség nem lehet nagyobb a folyási határnál. (7.27/b)-ből kifejezhetjük
a folyási határnak megfelelő karcsúsági tényezőt:
λ σF F=1
b(a - ) . 7.29
Szívós anyagok esetén a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya:
λ λ λF A≤ ≤ . 7.30
Ha a rúd karcsúsági tényezője λ F-nél kisebb, a rúd tönkremenetele nem stabilitásvesz-
264
tés következtében megy végbe. Ezeket a már zömöknek tekinthető rudakat tiszta nyomásra mé-
retezzük. A műszaki gyakorlatban a λ F-nél kisebb karcsúságú, rideg anyagból készült rudakat
is tiszta nyomásra méretezik.
A következő táblázatban összefoglaltuk néhány anyag kísérlettel meghatározott a és b
állandóit, illetve az ún. Tetmajer-egyenes egyenleteit.
E σF λF λA σkrit
Folytacél 215 200 60 115 310 - 1,14λ
Szénacél 210 240 60 100 289,1 - 0,8175λ
Szénacél 210 312 60 100 469,1 - 2,6175λ
Szénacél 210 360` 60 100 589,1 - 3,8175λ
Ni-acél 210 420* 0 86 470 - 2,305λ
Öntöttvas 100 200* 0 80 776 - 12λ + 0,053λ2
Erdei f. 10 15* 0 100 30 - 0,2λ
Tölgy 13 20* 0 100 37,5 - 0,25λ
GPa MPa - - MPa *σ
B
Ha ismerjük az anyag arányossági határát, folyáshatárát, illetve szilárdságát, valamint az
arányossági határhoz és a folyáshatárhoz tartozó karcsúsági tényezőket, akkor a Tetmayer-
egyenes állandóit elméletileg is meghatározhatjuk. A 7.8. ábra alapján felírhatjuk a következő
arányosságot: λ λ
λ λσ σσ σ
−−
−−
F
A F
F krit
F A
= .
Rendezés után:
σλ σ λ σ
λ λσ σλ λ
λ λkritA F F A
A F
F A
A F
a b= - .−−
−−
= −
Rideg anyagnál Fλ = 0 és σ σF B→ :
σ σσ σ
λλ λkrit B
B A
A
a b= - .−
= −
Megjegyezzük még, hogy a szakirodalomban az arányossági határnál nagyobb feszült-
séghez tartozó stabilitásvesztést - nem túl szerencsés módon - képlékeny (plasztikus) kihajlás-
nak is nevezik.
7.1.6. Erőtani méretezés
7.1.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer
Centrikusan nyomott rudak esetében a stabilitás fennállását kell igazolni. Stabilitásvesz-
265
tés akkor nem következik be, ha a tiszta nyomás feltételezésével számított maximális normálfe-
szültség nem nagyobb a kritikus feszültség n biztonsági tényezővel osztott értékénél, azaz a
megengedett feszültségnél:
σ σσ
maxmax
mkrit=
N
A= .≤
n
Lényeges különbség az eddig alkalmazott méretezési eljárásokkal szemben, hogy a
megengedett feszültség értékét nem egyszerűen az anyagminőség függvényében számítjuk vagy
választjuk, hanem a rúd geometriai méreteit mint szerkezetjellemzőt is figyelembe kell venni. A
kritikus feszültséget az alábbi séma szerint célszerű meghatározni:
44444444444 844444444444 76
44444444444 344444444444 21
min
red
kritm
2
2
kritkritBFkrit
AA FF
i
L=
n
=
= b - a = vagy =
< 0
λ
σσ
λπσλσσσσ
λλλλλλλE
≤≤≤≤
Excentrikusan nyomott vagy hajlítónyomatékkal is terhelt karcsú rudak esetén először
stabilitásvizsgálatot, majd szilárdsági és alakváltozási vizsgálatot végzünk. A stabilitás ellenőr-
zése ugyanúgy történik, mint a centrikusan nyomott rúdnál. A szilárdsági vizsgálatot a külpon-
tos nyomásnak megfelelően végezzük. A rúd maximális normálfeszültségét (7.19)-cel határoz-
zuk meg. Ha szükség van az alakváltozás ellenőrzésére is, a zavarónyomatékok és a centrikus
nyomóerő által létrehozott maximális lehajlást hasonlítjuk össze a megengedett lehajlással.
A számítás jellegéből következik, hogy tervezni csak közvetve, a "találomra" felvett
geometriai méretek ellenőrzésével lehet.
7.1.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer
A teherviselő szerkezetek méretezésével foglalkozó előírások a centrikusan nyomott rúd
stabilitásvizsgálata során a
N N ,M kH≤ 7.33
reláció teljesülését kell igazolni, ahol NkH - a rúd kihajlási határereje, amit az
N = A , kH H-ϕ σ 7.34/a
összefüggéssel számítunk. Ebben σ H− - a rúd anyagának nyomó határfeszültsége, A - a rúd
keresztmetszetterülete. A ϕ ϕ λ= ( ) csökkentő tényező értékét a rúd anyagától függően, kü-
266
lönböző összefüggésekkel kell számítani.
Acéloszlopok esetén
= - -1
, 2ϕ β βλ
2 7.34/b
ahol
=1 + ( - 0,2) +
2 ,
2
2β α λ λ
λ 7.34/c
=E
, = L
i , F F red
min
λλπ
σλ 7.34/d
és
a b c d
αααα 0,21 0,34 0,49 0,76
α -t a keresztmetszet jellegétől függően választjuk.
a oszlop: gyárilag készült csőszerelvények,
b oszlop: hegesztett zárt szerelvények, melegen hengerelt idomacélok ,
c oszlop: minden egyéb szerelvény,
d oszlop: ha a szelvényben 40 mm-nél vastagabb övlemez található.
Az előírás szerint λ ≤ 0,2 esetén ϕ értékét 1-nek kell venni, azaz a zömök rudak
tiszta nyomásának megfelelően kell méretezni.
7.35 ábra
267
Fából készült oszlopok esetén ϕ értékét a következő összefüggéssel számítjuk:
ϕλ λ λ λ λ
=1
1
2
1
2 4000
+ + + + +
−
400 8000 400 8000
2 2 2 2
A 7.9. ábrán bemutatjuk a különböző keresztmetszetnek megfelelő ϕ = ϕ (λ ) függ-
vényeket. Mivel (λ ) a kihajlási határerővel, azaz tulajdonképpen a kritikus erővel arányos,
megállapíthatjuk, hogy míg a megengedett feszültségen alapuló eljárás a karcsú rudak tartomá-
nyát két részre (Euler- és Tetmayer-tartomány) osztja és ezeknek megfelelően a két függvénnyel
kell a kritikus erőt számítani, addig ez a módszer a teljes karcsúsági tartományra egyetlen függ-
vényt ad meg.
Excentrikusan nyomott vagy zavarónyomatékkal terhelt rudaknál először elvégezzük - a
fentieknek megfelelően - a stabilitásvizsgálatot. A szilárdsági és alakváltozási határállapot vizs-
gálatát a külpontos nyomásnál, illetve a hajlított rúd alakváltozásánál bemutatott módszerrel
végezzük.
Természetesen ez a módszer is csak közvetett tervezést tesz lehetővé.
7.2. Hajlított rudak kifordulása
Ha egy prizmatikus rudat keresztmetszetének valamelyik fősíkjában hajlítónyomaték
terhel, akkor annak bizonyos értékénél a hajlítónyomaték síkjába eső meghajlott alakon kívül,
oldalirányú elmozdulások következtében más, térgörbe súlyvonalú egyensúlyi alakok is szóba
jöhetnek. Az ilyen jellegű tartóalak kialakulását kifordulásnak vagy kibicsaklásnak nevezzük.
A kifordulás fellépésének csak olyan esetekben van gyakorlati jelentősége, mikor a rúd
keresztmetszetének fő másodrendű nyomatékai egymástól jelentősen eltérnek és a hajlítás ten-
gelye az 1-es főtengely (pl. az álló helyzetű, nyújtott téglalap vagy I-keresztmetszetek). Jóllehet
szilárdsági szempontból ezek a keresztmetszetalakok a leggazdaságosabbak, kifordulásuk azon-
ban már kis alakváltozások esetén is bekövetkezhet.
A rétegelt ragasztott egyenes vagy görbe tengelyű fatartók keresztmetszetének geomet-
riai és terhelési viszonyai alapján a kifordulás vizsgálatának fontos szerepe van.
7.2.1. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, egyenes tengelyű hajlított rudak kifordulása
A jelenség értelmezéséhez vizsgáljuk a 7.10. ábrán látható konzoltartót, melynek szabad
végén a keresztmetszet súlypontjában F erő hat, ami az egyenes rudat hajlításra és nyírásra
veszi igénybe. Az F erő egy bizonyos értékénél a rúd kifordul és egy z koordinátájú keresztmet-
268
szet igénybevételei: Mx' és My' hajlítónyomatékok, valamint Mz' csavarónyomaték, Tx' és Ty',
nyíró- és Nz' normálerők. A normál- és nyíróerőkből származó alakváltozást - mint általában
mindig - elhanyagoljuk. A rúd keresztmetszeti jellemzői alapján Iyy << Ixx', ezért a kifordulás
vizsgálata szempontjából az Mx' hajlítónyomaték alakváltoztató hatását is elhanyagoljuk. A ke-
resztmetszetek figyelembe vett igénybevételei tehát az y' tengely körüli hajlítás és a z' tengely
körüli csavarás. Az Mx' hajlítónyomaték elhanyagolásának az a következménye, hogy a rúd
kifordult súlyvonala az x,z-síkba eső görbe. Jelöljük a súlyvonal alakját az ux = ux(z) függvény-
nyel, a keresztmetszet elfordulásának szögét pedig ϕ = ϕ (z)-vel.
Az y' tengely körüli hajlítás differenciálegyenlete (5.111) analógiájára:
d u (z)
dz=
M
EI=
F z
EI=
Fsin (z)z
EI .
2x2
y'
y'y'
x'
y'y' y'y'
ϕ
A másodrendű elmélet alkalmazásakor megengedett a sinϕ (z) = ϕ (z) közelítés. A differenciál-
egyenlet alakja ezért:
d u (z)
dz=
Fz
EI(z)
2x2
y'y'
ϕ ,
esetünkben Iy'y' = Iyy , és ha figyelembe vesszük, hogy a keresztmetszet alakja következtében az
y' tengely körüli hajlítás lemezhajlításnak tekinthető, a rugalmassági modulusz helyébe E/(1-
ν 2)-et helyettesíthetünk (ν - a rúd anyagának Poisson-tényezője):
d u (z)
dz=
Fz(1 -
EI(z) .
2x2
2
y'y'
ν ϕ) 7.36
Az 5.5.1. fejezetben levezetett
ϕ (z)Mz
GIS
kifejezés általánosításaként a csavarónyomaték és a szögelfordulás között a követ-
kező differenciálegyenletet kapjuk: d (z)
dz=
M
GI z
t
ϕ 7.37
ahol GIt - a rúd csavarómerevsége. Nyújtott téglalap alakú keresztmetszet esetén (lásd az
(5.87/b) összefüggést):
I =v h
3 ,t
3
7.38
ahol v - a keresztmetszet szélessége, h - a hosszúsága (v << h). A csavarónyomatékot a 7.10/b.
ábra segítségével határozhatjuk meg: M (z) = - Ft(z) -Ft'(z) = -F(u (z = 0) - u (z) - ztg ) =
= -F u (z = 0) - u (z) + zdu
dz
z x x
x xx
≅
α( )z
269
7.10. ábra
Helyettesítsük ezt (7.37)-be és differenciáljuk z szerint:
d (z)
dz=
Fz
G I
d u (z)
dz
2
2t
2x2
ϕ 7.39
(7.36) és (7.39) felhasználásával:
d (z)
dz=
1 -
EI GI
2
2
2
yy t
ϕ ν ϕ( ) ( )Fz y2 0= 7.40
Itt Fz a külső terhelés nyomatéka az y tengelyre a stabilitás megszűnése előtt (azaz a megmere-
vítés elvének felhasználásával számítva). Bizonyítható, hogy (7.40) differenciálegyenlet általá-
nosítható, és a
d (z)
dz=
1 -
EI GI
2
2
2
yy t
ϕ ν ϕM z yy2 0( ) ( ) = 7.41
alakban minden nyújtott téglalap keresztmetszetű rúd kifordulásának differenciálegyenlete füg-
getlenül annak megtámasztási és terhelési módjától. Az összefüggésben My(z) - a külső terhelés
nyomatéka.
Térjünk vissza (7.40)-hez és vezessük be a
270
( )k
F4
2
=1 -
EI GI
2
yy t
ν 7.42
segédmennyiséget. Ezzel (z)-re a
d (z)
dz+ k z (z) = 0
2
24 2ϕ ϕ 7.43
lineáris, másodrendű - nem állandó együtthatójú - differenciálegyenletet kapjuk. Keressük en-
nek megoldását a
ϕ(z) = c + c z + c z + c z +...= c z .o 1 22
33
ii
i=1
∞
∑
hatványsor formájában. Ezt (7.43)-ba helyettesítve a következő egyenletet kapjuk:
c 1 2 + c 2 3 z + c 3 4 z + c 4 5 z + c 5 6 z + ... +
+ (c z + c z + c z + c z + ...) = 0 ,2 3 4
25
36
4
4o
21
32
43
5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
λ
az együtthatók összehasonlítása a
c 5 6 c + c = 0,...2 64
2= = + = + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅0 0 3 4 0 4 5 03 44
0 54
1, , , ,c c c c cλ λ λ
egyenlőségeket adja. Ezek alapján:
c = 0, c = 0, c =c
3 4- , c = -
c
4 5 , c = 0 , c = 0, ...2 3 4
o 4 5
4 16 7
⋅ ⋅λ λ
A szögelfordulás-üggvény tehát:
ϕ λ λ λ λ(z) = c (1 -
z+
z- +...) + c (z -
z+
z
4- +...)o
4 4 8 8
1
4 5 8 9
3 4 3 4 7 8 4 5 5 8 9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
(7.37)-ből következik, hogy a z = 0 helyen a szögelfordulásfüggvény első deriváltja nulla, ezért
c1 = 0. A z = L helyen ϕ= 0, így
0 = c (1 -L
+L
3 4 7 8- + ...)o
4 4 8 8λ λ3 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Ennek co = 0 megoldása számunkra érdektelen, mert ilyenkor nincs kifordulás. A zárójelben
lévő mennyiség a
L = p =(1 - )F L
EI GI 4 4
2 2 4
yy t
λ ν 7.44
kifejezés bevezetésével:
1 -p
+p
-p
+ - ...= 0 .2 3
3 4 3 4 7 8 3 4 7 8 11 12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
E hatványsor első három tagjának megtartásával nyert másodfokú egyenlet megoldása
adja p első közelítő értékét (a két gyök közül a kisebbik a fontos, mert ezzel kapjuk (7.44)-ből a
kisebb, azaz a kritikus erőt):
p ≅p1 = 17,417 ,
amivel iterációt végzünk. p hatványsorból fejezzük ki p-t:
p = 1 +p
-p
+ - ... .2 3
3 43 4 7 8 3 4 7 8 11 12
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
7.45
271
Mivel a p = p1 környezetében a fenti függvény p szerinti differenciálhányadosának abszolút
értéke kisebb egynél - tehát teljesül a konvergenciafeltétel - p második közelítő értéke:
p ≅ p2 = 16,702 ,
egy újabb iteráció p újabb értékét már csak jelentéktelen mértékben módosítaná. (7.44)-ből p2-
vel maghatározhatjuk a konzoltartó szabad végén ható erő kritikus értékét:
F =4,087
L
EI GI
1 - krit 2
yy t
2ν , 7.46/a
ami természetesen csak addig érvényes, míg a kritikus terhelésből számított feszültségek el nem
érik a rúd anyagának arányossági határát. A gyakrolati tapasztalatok azt mutatják, hogy a képlé-
keny kifordulás vizsgálatára általában nincs szükség, mert az olyan nagy erők hatására követke-
zik be, amelynél a rúd már egyébként is szilárdsági határállapotba kerül.
M =L
EI GI
1 - krit
yy t
2
πν
7.46/b
FLkrit = 1694
2
. EI GI
1 - yy t
2ν 7.46/c
qLkrit = 2832
3
. EI GI
1 - yy t
2ν 7.46/d
qLkrit = 1285
3
. EI GI
1 - yy t
2ν 7.46/e
7.11. ábra
A fent bemutatotthoz hasonló módon számíthatjuk más megtámasztású és terhelésű
rudak téglalap keresztmetszetű rudak kiforduláshoz tartozó kritikus terhelését. A 7.11. ábrának
megfelelő esetekben - részletezés nélkül - felírjuk a kritikus teher számításának képleteit.
Hangsúlyoznunk kell, hogy a fenti összefüggések csak akkor érvényesek, ha a külső
terhelés, az ábráknak megfelelően, a keresztmetszetek súlypontján, illetve a rúd súlyvonalán
támad. Ha a támadáspont a súlyvonal felett található, a kritikus értékek kisebbek, ellenkező
esetben nagyobbak lesznek a (7.46) képletekkel számíthatóhoz képest. Ennek magyarázatát
könnyen beláthatjuk, ha észrevesszük, hogy pl. a 7.10. ábrának megfelelő esetben az My'
hajlítónyomatékot okozó F erő nyomatéki karja nem súlyponti támadáspont esetén megváltozik,
ezért a (7.40) differenciálegyenlet együtthatói is mások lesznek.
272
7.2.2. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, körív alakú hajlított rudak kifordulása
Az íves tengelyű rudak kifordulásának elméleti vizsgálata meglehetősen bonyolult és a
szakirodalomban is kidolgozatlan. E problémakör bemutatására tanulmányaink keretei között
nincs mód, a faipari gyártásban előforduló rétegelt ragasztott íves fatartók jelentőségére való
tekintettel felírjuk a végein koncentrált nyomatékkal terhelt, nyújtott téglalap keresztmetszetű, R
sugarú, körív alakú tartórúd krtitikus nyomatékát a rugalmas tartományban:
M = -EI + GI
2R
EI + GI
2R
EI GI
Rkrityy t yy t yy t
2±
+
−
2 2
1πΨ
ahol Ψ - a körív központi szöge.
A második tag előjelétől
függően egy pozitív és egy negatív
nyomatékot kapunk.
M < M , krit-
krit+ ami azt je-
lenti, hogy a görbület csökkenését
okozó pozitív nyomaték kritikus
értéke kisebb, mint a görbület
növekedését okozó negatív
nyomatéké.
Más jellegű tartóalak,
megtámasztás és terhelés esetén a
kritikus terhelés meghatározására a
munkatételeket célszerű alkalmaz-
ni.
7.12. ábra
7.2.3. Erőtani méretezés
A méretezés során hasonlóan járunk el, mint a zavarónyomatékkal terhelt, karcsú rudak
kihajlásvizsgálatánál. Először stabilitásvizsgálatot végzünk kifordulásra majd elvégezzük a rúd
külső terhelésének megfelelő szilárdsági és alakváltozási határállapot ellenőrzését a korábban
ismeretett módszerek alapján.
Itt csak a kifordulással szembeni stabilitásvizsgálat módszereit ismertetjük.
273
7.2.3.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer
A kifordulás-vizsgálatot egyszerűbben elvégezhetjük, ha a korábbiaktól eltérő módon,
nem a maximális és megengedett feszültségeket hasonlítjuk össze, hanem a kifordulást okozó
külső terhek jellemzőit. A kifordulás esélye nem áll fenn, ha
Y Y =Y
n , max m
krit≤ 7.48
ahol
Ykrit - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) kritikus értéke. Nagyságát a rúd alak-
jának megtámasztási és terhelési módjának függvényében a (7.46)-os összefüggések valamelyi-
kével számítjuk,
n - a biztonsági tényező, Ymax - a külső terhelés jellemzőjének szélső értéke.
7.2.3.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer
Kifordulás nem következik be, ha
YM ≤YH , 7.49
ahol
YH - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) határértéke, melyet az Ykrit-ből számí-
tunk valószínűségelméleti alapon (a meghatározás alapelve ugyanaz, mint amikor valamelyik
határfeszültséget számítjuk a kérdéses szilárdság eloszlásfüggvényének ismeretében). A
határigénybevétel számításához szükség van a (7.46)-os összefüggésekben szereplő mennyisé-
gek eloszlásfüggvényeire. Ezek hiányában első közelítésként az YH = 0,85. Ykrit becsléssel élhe-
tünk.
8. Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái
8.1. Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének környezetében
A szerkezeti elemek közötti erőátvitelkor az érintkezési pontokban, illetve azok környe-
zetében a feszültségi és alakváltozási állapotok ismerete az alkatrészek erőtani méretezése
szempontjából alapvető jelentőségű. E feladatkörhöz tartozik a koncentrált és megoszló erővel
terhelt rugalmas féltér, illetve félsík problémái (8.1/a,b. ábra), az abszolút merevnek tekintett,
tetszőleges alakú síktestek benyomódásának kérdései (8.1/c.d. ábra), valamint a különböző felü-
274
leti görbülettel rendelkező testek érintkezésének, összenyomódásának problémái (8.1/e. ábra). A
8.1. ábrán látható idealizált esetek számtalan gépészeti és építészeti szerkezetnél előfordulnak
függvényeket, illetve ezek tetszőleges lineáris kombinációit.
A Φ(r,z) függvény ismeretében (8.9)-cel és (8.6)-tal megkapjuk az elmozdulás-
függvényeket:
u (r, z) = - 1
1 - 2 r
2
ν∂∂ ∂
Φr z
, 8.11/a
u (r, z) =2(1 - )
1 - 2-
1
1 - 2 z
2νν ν
∂∂
∆Φ Φz2
. 8.11/b
majd a feszültségkomponensek (8.3) felhasználásával:
σ νν
∂∂ ν
∂Φ∂ϕϕ =
2G
1 - 2 z -
1 1
r r∆Φ
8.12/a
σ νν
∂∂ ν
∂∂rr =
2G
1 - 2 z -
1
r 2∆Φ Φ2
8.12/b
279
σ νν
∂∂ ν
∂∂zz =
2G
1- 2 z -
1
z2∆Φ Φ
2
2
−
8.12/c
σ σ νν
∂∂ ν
∂∂rz zr=
2G(1 -
1 - 2 r -
1
z2=
−
) ∆Φ Φ1
2
8.12/d
Természetesen a fenti összefüggések nemcsak a koncentrált erővel terhelt rugalmas
féltér esetén, hanem minden tengelyszimmetrikus rugalmasságtani feladatnál érvényesek és
alkalmazhatók.
Térjünk vissza a 8.2. ábrán látható feladatra. Olyan biharmonikus függvényt kell keres-
nünk, amelynek felhasználásával kapott feszültségek kielégítik azt a kerületi feltételt, hogy a
féltér felszínén - a támadáspont kivételével - a z normálisú síkhoz tartozó feszültségkomponen-
seknek el kell tűnniük:
( )σ zz r z, = =0 0 , r≠0 , 8.13/a
( )σ rz r z, = =0 0 . r≠0 . 8.13/b
Válasszuk a keresett függvénynek a
Φ(r,z)=C1R + C2zln(R + z)=C1 r + z 2 2 + C2zln(z + r + z 2 2 ) 8.14
összefüggést, melyben C1 és C2 tetszőleges állandók.
Fejezzük ki az eltolódásokat és a feszültségeket a fenti függvény segítségével:
u =1
1 - 2(C + C )
rz
R- C
R(R + z) r 1 2 3 2ν
r
8.15/a
u =1
1 - 2((3 - 4 )C + 2(1 - 2 )C )
1
R+ (C + C )
z
R z 1 2 1 2
2
3νν ν
8.15/b
σνϕϕ = 2G (C + C )
z
R-
1
1 - 2
C
R(R + z) 1 2 3
2
8.16/a
σν
νν νrr C
C z
R= 2G
1
1 - 2
C
R(R + z)
3
1 - 2(C + C )
z
R 2
1 2
2
5+ −
−
−
1
23
2
1 2 8.16/b
σν
ν νzz CC z
R= -2G
3
1 - 2(C + C )
z
R 1 2
2
512
3
2
1 2−
−
+
8.16/c
σ σν
ν νrz zr CC r
R= = -2G
3
1 - 2(C + C )
rz
R 1 2
2
512
3
2
1 2−
−
+
8.16/d
280
A (8.13/a) kerületi feltétel automatikusan kielégül. A (8.13/b) feltételből
C = C1 - 2
2 2 1
νν
adódik. Ezzel a z irányú normálfeszültségkomponens:
σν νzz 1
3
5= - C
3G
(1 - 2 )
z
R .
A C1 állandó értékét abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a féltér egy tetszőleges z = áll. síkján ébredő σzz feszültségekből származó belső erőnek F erővel kell egyensúlyt tarta-nia:
F = 0 = F + 2r dr = -F - C6 Gz
(1 - 2 )
rdr
(r + z )= F - C
2 G
(1 - 2 ) ,z zz
R=0
1
3
2 2 2,50
1∑ ∫ ∫∞ ∞
σ π πν ν
πν ν
ahonnan
C =(1 - 2 )
2 GF .1
ν νπ
Ezzel meghatároztuk a (8.14) függvény állandóit. Nincs akadálya annak, hogy felírjuk a kon-
centrált erővel terhelt féltér eltolódási és feszültségi függvényeit.
u =F
4 G
rz
R- (1 - 2 )
r
R(R + z) r 3π
ν
8.17/a
u =F
4 G(1 - 2 )
1
R
z
R z
2
3πν +
8.17/b
σπ
νϕϕ =F
2(1 - 2 )
z
R-
1
R(R + z)
3
8.18/a
σπ
νrr =F
2(1 - 2 )
1
R(R + z)
3zr
R
2
5−
8.18/b
σπzz
3
5= -
3
2
F z
R 8.18/c
σ σπrz zr
2
5= = -
3
2
F rz
R 8.18/d
A fenti összefüggéseket első levezetőjükről Boussinesq-formuláknak nevezzük. Elemezzük a
kapott eredményt.
Az F erő támadáspontjában valamennyi feszültségkomponens végtelen értéket vesz fel.
A valóságban ez nem következhet be, mert az erő mindig egy véges nagyságú felületen támad s
ennek megfelelően a feszültség is véges nagyságú lesz.
A rugalmas féltér határolósíkján (R=r, z=0) az erő támadáspontjának kivételével:
281
σπ
ν σπ
ν σ σϕϕ = -F
2
1 - 2
r , =
F
2
1 - 2
r , = = 0 .
2 rr 2 zz rz
A felületi pontok síkbeli feszültségi állapotban vannak, σϕϕ és σ
rr egyben
főfeszültségek. A feszültségi állapot
vizsgálatánál megtanultuk, hogy az
egyenlő nagyságú, de ellentétes ér-
telmű normálfeszültsé-gek a tiszta
nyírás feszültségi állapotának felelnek
meg. A határoló-sík pontjainak
elmozdulása:
u = -1- 2
4 G
F
r , r
νπ
8.5. ábra u =1-
4 G
F
r z
νπ
A koncentrált erő hatásvonalában (r = 0, R = z):
σπ
ν σπ
ν σπ
σ σϕϕ =F
2
1- 2
2z , =
F
2
1- 2
2z , = -
F
2 z= = 0 .
2 rr 2 zz 2 rz zr
3
A z tengely pontjai tehát térbeli feszültségi állapotban vannak, a három normálfeszültség egy-
ben a három főfeszültség. A 8.5.
ábrán a σzz feszültségkomponens
eloszlását ábrázoltuk a z tengely
mentén és állandó z1, illetve z2
mélységben.
Egy tetszőleges P pont z normálisú
felületelemén ébredő σzz és σzr
komponensek alkotják a σ z fe-
szültségvektort. Ennek hatásvonala
a P pont helyvektorával párhu-
8.6. ábra zamos, hiszen a 8.6. ábráról és a
(8.18) összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogytg = =r
z ,zr
zz
ασσ
a feszültségvektor nagysága:
σ σ σπ
z zz2
zr2
2
4= + =
3
2
z
R
F
282
Tegyük egyenlővé a (8.18/a) kifejezést nullával és vegyük figyelembe a sinα = r/R és
cosα = z/R összefüggéseket:
os2α+ cosα -1 = 0 .
Az egyenletet megoldva, a 0° és 90° közötti értékre α1 = 51,83°- ot kapunk. Az α1
félnyílásszögű kúpon belül σϕϕ pozitív, azon kívül negatív értéket vesz fel (8.7/a. ábra).
(8.18/b)-t nullával egyenlő téve:
cosα sin2α(1 + cosα) =1 2
3
− ν .
Az α-ra kapott két gyök a Poisson-tényező értékétől függ. A σrr feszültségkomponens az α2
félnyílásszögű kúpon belül és az α3 félnyílásszögű kúpon kívül pozitív, a kettő között pedig
negatív (8.7/b. ábra).
8.7. ábra
Megjegyezzük, hogy a Boussinesq-formulák csak koncentrált terhelés esetén érvénye-
sek, a Saint-Venant-elv értelmében azonban alkalmazhatók minden sztatikailag egyenértékű
terhelés esetén a féltér azon pontjain, amelyek elegendően távol vannak a teherátadás helyétől.
8.1.2. A rugalmas félsík feszültségi állapotai
A rugalmas féltér problémája a műszaki gyakorlatban sokszor síkbeli feladattá módosul. Ennek
feltétele, ha - a 8.8. ábrának megfelelően - a vizsgált test állandó vastagságú lemeznek tekinthe-
tő és a terhelés a lemez síkjára merőleges irányban állandó. Ha a lemez vastagsága nem túl
nagy, az y irányú alakváltozás nem gátolt, ezért a lemez tetszőleges pontja síkbeli fe- feszültségi
állapotba kerül.Mivel a feszültségi állapot y-tól független, elegendő a lemez középsíkjának
vizsgálata.
A fenti feltételek-nek megfelelő feladatot a rugalmas félsík problémájának szokták ne-
vezni.
283
A továbbiakban - a
levezetéseket mellőzve -
összefoglaljuk néhány fon-tos
terhelési esetben a félsík x,z
koordinátájú pontjainak
Descartes koordinátarend-
szerbeli feszültség-kompo-
nenseit.
Koncentrált normálerő (8.9.
ábra):
σπ
σπ
σ σπ
xxz4
2
zzz4
3
xz zxz4
2
= -2F
Rx z ,
= -2F
Rz ,
= = -2F
Rxz ,
8.19
ahol Fz - a lemezvastagság
egységnyi hosszára eső
koncentrált erő.
Koncentrált nyíróerő (8.10.
ábra):
8.9. ábra
.
, zxπR
2F-=σ = σ
, xzπR
2F-=σ
, xπR
2F-=σ
24
xzxxz
24
xzz
34
xxx
8.20
ahol Fx - a lemezvastagság egységnyi hosszára eső
koncentrált erő.
Állandó teherintenzitású, felületen megoszló 8.10. ábra
normálerő (8.11. ábra):
284
( )
( )
( )[ ]
σπ
ϕ ϕ ϕ ϕ
σπ
ϕ ϕ ϕ ϕ
σ σπ
ϕ ϕ
xx 2 1 2 1
zz 2 1 2 1
xz zx 2 1
= - - sin2 - sin2
= - - sin2 - sin2
= = sin2 - sin2
q
q
q
z
z
z
+
−
1
2
1
2
.
8.21
8.11. ábra 8.12. ábra
Állandó teherintenzitású, felületen megoszló nyíróerő (8.12. ábra):
σπ
ϕ ϕ
σπ
ϕ ϕ
σ σπ
ϕ ϕ ϕ ϕ
xxx 1
22 1
zzx
2 1
xz zxx
2 1 2 1
= -q
2lnr
r+
1
2(cos2 - cos2 ) ,
= -q
(cos2 - cos2 ) ,
= = -q
+1
2(cos2 - cos2 )
−
. 8.22
A fenti összefüggésekben szereplő mennyiségek jelentése az ábrák alapján megállapít-
ható. Összetett terhelés esetén a szuperpozíció elve alkalmazható.
Ha két, görbült felületű testet összenyomunk, akkor az érintkezési pont(ok) szűk kör-
nyezete a nyomóigénybevétel hatására deformálódik és az érintkezés véges felületen jön létre. E
felület nagysága azonban általában lényegesen kisebb az érintkező testek geometriai méreteihez
képest, ezért az érintkezési felületen, illetve annak közvetlen környezetében jelentős nagyságú
feszültségek ébrednek. Tegyük fel, hogy az erőátvitel előtt a két test a 8.13. ábrának megfelelő-
en elméletileg egy pontban érintkezik egymással. Az érintkezési pontban a közös érintősíkra
emelt merőleges az érintkezési normális. Jelöljük R1-gyel és R2-vel a testek nagyobbik fő gör-
285
bületi sugarát, r1-gyel és r2-vel a
kisebbik fő görbületi sugarakat. Egy
testnél a fő görbületi köröket tartalmazó
síkok, a fő görbületi síkok egymásra
merőlegesek. Jelöljük a két test fő
görbületi síkjai által bezárt hegyesszöget
ϕ-vel. Ha az érintkező testek felületét
abszolút simának tekintjük, a két test
között fellépő terhelő erő hatásvonala
csak az érintkezési normálisba eshet.
Műszaki szempontból általában
- az érintkezési felület alakjának és
nagyságának,
- az érintkezési felület legnagyobb
normálfeszültségének,
- az érintkező testek egymáshoz
8.13. ábra viszonyított elmozdulásának ismeretére
van szükség.
A fenti kérdésekre a választ először H. Hertz adta meg. Az egymással érintkező testeket
a közös érintősíkkal határolt rugalmas féltérnek tekintette, E1, ν1 és E2 , ν2 rugalmas
állandókkal. Az összenyomódás után a két test között fellépő normálfeszültség eloszlása - a
féltér terhelő erőrendszere - pedig az érintkezési felületre boruló ellipszoid függvénynek vehető.
A Hertz-féle elmélet szerint az érintkezési felület legnagyobb normálfeszültsége az el-
lipszis középpontjában van, nagysága:
σπzz,max =
3
2
F
ab , 8.23
ahol
a = n 3
2
F
k3 , b = n
3
23 a b
η ηF
k
az érintkezési ellipszis féltengelyeinek hossza, valamint
ην ν
=1 -
E+
1 -
E ,
k =1
R+
1
r+
1
R+
1
r ,
1 2
1 1 2 2
12
22
F - a két test között ható normálerő. Az érintkező testek közeledése:
286
d =n
2(1,5F ) k3 .d 2η 5.24
Az na , nb és nd tényezők értéke táblázatokból vehető ki, az előzetesen kiszámítandó
Ψ =1
k
1
R
1
r
1
R
1
r
1
R
1
r
1
R
1
r1 1 2 2 1 1 2 2
−
+ −
+ −
−
2 2
2 cosϕ
paraméter függvényében.
8.2. Sztatikailag határozatlan szerkezetek
A sztatikailag határozottság, illetve határozatlanság kérdésével a merev testek sztatiká-
jára vonatkozó tanulmányainkban már foglalkoztunk. Tudjuk, hogy a sztatikailag határozott
szerkezetek ismeretlen reakcióerőit és belső erőit a sztatikai egyensúlyi egyenletek alkalmazá-
sával egyértelműen meghatározhatjuk. Az ilyen szerkezeteknél az alakváltozás (feltéve, hogy
nem túl nagy) nincs hatással a reakciók és belső erők alakulására, ezért a szerkezetek anyagát
merevnek tekinthetjük. Sztatikailag határozatlan tartóknál az ismeretleneket csupán sztatikai
eszközökkel, az egyensúlyi egyenletekkel nem lehet meghatározni. Az ismeretetlenek száma
több, mint az egyensúlyi egyenletek száma, így végtelen sok megoldás található. Ezek közül az
lesz a ténylegesen megvalósuló, amelynél a szerkezet részeinek alakváltozása kielégíti a szerke-
zet egészére vonatkozó geometriai, összeférhetőségi feltételeket (a kompatibilitási feltételek
nemcsak egy elemi térfogatra, hanem a véges méretű szerkezeti elemekre is fennállnak). Ez azt
jelenti, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenletek mellé, geometriai, alakváltozási egyenletek csat-
lakoznak - mindig annyi, amennyi a szerkezet határozatlanságának foka, azaz a plusz ismeretle-
nek száma -, így az összes keresett külső és belső erő egyértelműen meghatározható.
Az egyensúlyi és alakváltozási egyenletek rendszerét olyan módon alakíthatjuk át, hogy
bennük vagy csak az erők, vagy csak az alakváltozási komponensek szerepeljenek ismeretlen-
ként. Az első megoldás képezi az ún. erő-módszernek, a második az elmozdulás-módszernek az
alapját.
E két módszert alkalmazzák a legelterjedtebben a határozatlan szerkezetek számításánál.
Ezeket didaktikailag és számítógépes alkalmazás szempontjából igen részletesen kidolgozták,
de mechanikai tanulmányaink keretén belül ezek ismertetésére sajnos nincs mód. A továbbiak-
ban az erőmódszer alapján álló számítási módszerrel foglalkozunk, amely igen hatékonyan al-
kalmazható, ha a határozatlanság foka viszonylag alacsony.
287
8.2.1. Törzstartó kialakításának módszere
Ez a módszer minden egyszerűsége mellett is nagyon szemléletes és ha sztatikailag ha-
tározatlan mennyiségek száma nem túl nagy, igen gazdaságosan alkalmazható.
Az eljárás gondolatmenete a következő. Az n-szeresen határozatlan szerkezetet sztatika-
ilag határozottá alakítjuk úgy, hogy a határozatlanság fokának megfelelő számú kényszert eltá-
volítunk belőle. Ha a határozatlanságot külső kényszerek okozzák, akkor azok számát csökkent-
jük (pl. merev befogás helyett csuklót alkalmazunk, vagy teljesen eltávolítjuk a kényszerek egy
részét), belső határozatlanság esetén a szerkezet valamelyik keresztmetszetét szabadítjuk fel (az
igénybevételek szempontjából merev befogásnak tekinthető keresztmetszetbe csuklót helyezünk
vagy teljesen átvágjuk). Egyidejű külső és belső határozatlanság esetén mindkét lehetőséget fel
kell használni. A fenti elvek szerint kialakított sztatikailag határozott tartót az eredeti tartó törzs-
tartójának nevezzük. A törzstartón működtetjük az eltávolított kényszereknek megfelelő
dinámokat (erőket, nyomatékokat), s bár ezek egyelőre ismeretlenek, úgy számolunk velük,
mint aktív erőkkel. A törzstartó akkor lesz egyenértékű az eredeti tartóval, ha nemcsak az erőjá-
ték, hanem az alakváltozás szempontjából is azonosan viselkedik. A sztatikailag határozatlan
dinámok nagyságát éppen abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy olyan alakváltozást kell a
törzstartóra kényszerítenünk, mint az eredeti tartóé. Mindig annyi alakváltozási feltétel fogal-
mazható meg, amennyi a határozatlanság foka. Az erőrendszer jellegének megfelelő, sztatikai
egyensúlyi egyenletek és az alakváltozási feltételek egyenleteinek együttes száma így éppen
megegyezik az összes ismeretlenek számával. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a
reakciókomponensek értékét.
Egy határozatlan szerkezet törzstartójának kialakítására általában több lehetőség is adó-
dik. A törzstartó jellegétől természetesen nem függ az eredeti tartó erőjátéka, a különbség csu-
pán az alakváltozási feltételek megfogalmazásában van. Megemlítjük még, hogy az alakváltozá-
sok számításánál alkalmazott kis alakváltozások feltétele lehetővé teszi a szuperpozíció elvének
felhasználását.
Például a 8.14. ábrán
látható, két végén csuklóval ellátott
rudat, amely a terhelés jellegétől
következően egyszeresen
határozatlan, úgy alakít-hatjuk át
sztatikailag határozottá, hogy az
egyik csuklót eltávolítjuk és helyén
működtetjük a benne keletkező,
8.14. ábra egyelőre ismeretlen nagyságú
kényszererőt.
288
A rúdtengely irányára felírt vetületi egyensúlyi egyenlet mellé azt az alakváltozási felté-
telt kell megfogalmaznunk, hogy a rúd teljes hossza az alakváltozás során ugyanaz marad (azaz
a húzott rész megnyúlása és a nyomott rész összenyomódása egyenlő).
A törzstartó kialakítására
általában több lehetőség is adódik. A
8.15/a. ábrán látható egyszeresen
határozatlan tartó néhány törzstartóját
az alatta lévő ábrák mutatják. Az első
két esetben a kényszereket szabadí-
tottuk fel. A b törzstartón azt az
alakváltozási feltételt kell meg-
fogalmazni, hogy az A pontban a rúd
végkeresztmetszete nem fordulhat el
(az F erő által okozott ϕA szögelfor-
dulást az MA nyomatéknak kell
ellensúlyoznia).
A c. törzstartó alakváltozási
feltétele az, hogy a rúd B pontja függő-
leges irányban nem tolódhat el. A d.
esetben az eredeti tartót csukló
beiktatásával tettük határozottabbá. A
két egyensúlyi egyenlet mellé. harma-
dik egyenletnek azt az alakváltozási
8.15 ábra feltételt kell megfogalmaznunk, hogy a
csuklóba futó rúdvégek keresztmetsze-
teinek szögelfordulása azonos.
A 8.16. ábrán látható tartó háromszorosan határozatlan. A törzstartó kialakításának
egyik lehetősége az, hogy a B megfogást teljesen eltávolítjuk. Az alakváltozási feltételekben azt
kell előírni, hogy a B pontban sem keresztmetszet-elfordulás, sem függőleges vagy vízszintes
irányú eltolódás nem keletkezhet.
A 8.17. ábrán látható, belsőleg háromszorosan határozatlan keretet úgy alakítjuk törzs-
tartóvá, hogy a rúdszerkezet valamelyik keresztmetszetét átvágjuk. Ismeretlen dinámként a bel-
ső erő három összetevője fog szerepelni. Ezeket abból az alakváltozási feltételből határozhatjuk
meg, hogy az átvágáshoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek keresztmetszetének elfordulása,
valamint a keresztmetszet súlypontjának függőleges és vízszintes irányú eltolódása megegyezik.
289
8.16. ábra
8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengelyű, sztati-
kailag határozatlan tartók
Támasszunk alá egy egyenes rudat egy
álló és n-1 mozgó csuklóval. A rudat terhelő
erőkről tegyük fel, hogy azok hatásvonala a rúd
hossztengelyére merőleges és egy q(z) teher-
függvénnyel adható meg (q(z) koncentrált erőt és
nyomatékot is reprezentálhat) (8.18. ábra). A
síkbeli párhuzamos erőrendszernek megfelelően
két egyensúlyi egyenletet lehet felírni, a tartó így
(külsőleg) n-2-szeresen határozatlan. n-2 támasz-
reakciót csak az alakváltozások figye-
lembevételével lehet meghatározni. Ha ezeket
ismerjük, a tartó igénybevételi ábráit a szokásos
módon rajzolhatjuk meg.
8.17. ábra
A reakcióerők meghatározásához alkalmazzuk a törzstartóvá alakítás módszerét. Ehhez
helyezzünk el a rúd támasz feletti keresztmetszeteiben egy-egy csuklót. Ily módon
a támaszok feletti kereszt-metszetek hajlítógénybevételének megfelelő nyomatékot, az ún. tá-
masz-nyomatékot szabadítottuk fel. Az eredeti tartón a támaszok feletti keresztmetszetek elfor-
dulnak. Alakváltozási követelményként azt kell megfogalmaznunk, hogy a törzstartón a támasz-
hoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek szögelfordulásának meg kell egyeznie.
A konkrét számításhoz válasszuk ki a tartó két egymás melletti támaszközét (8.19. áb-
ra). A csuklóbeiktatás lehetővé teszi, hogy a két támaszköznek megfelelő tartórészt két, a két
290
8.18. ábra
végén csuklósan alátámasztott résztartóra szedjük szét, melyek terhelése egyrészt az eredeti
támaszközök felett lévő q(z) teher, másrészt a csuklóelhelyezés miatt felszabaduló, egyelőre
ismeretlen nagyságú támasz-nyomatékok (8.19/b. ábra). Az alakváltozás meghatározására al-
kalmazzuk a Mohr-féle analógiát.
Tegyük fel a kéttámaszú tartók helyettesítő tartójára, amelyek most önmaguk, a redukált
nyomatéki ábrákat (8.19/c. ábra). A redukálásnál feltesszük, hogy egy támaszközön belül a rúd
keresztmetszeti méretei és anyagi minősége nem változik, tehát
Ei = áll. Ii = áll.
A Mohr-analógia alapján a helyettesítő tartók Ai alátámasztásaiban ébredő Ai nyíróerői (reak-
cióerői) az eredeti tartó ϕAi keresztmetszetének szögelfordulását jelentik. A helyettesítő tartón a
ϕAi nyíróerőt az Ai-1 és Ai+1 pontokra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletekből határozhatjuk
meg:
M = 0 =T d
E I+
M
E I
L
2
L
3+
M
E I
L
2
2L
3- L
M = 0 =T
E I(L - d ) +
M
E I
L
2
2L
3+
M
E I
L L
3+ L
Ai -1 i -1
i -1 i -1
i -1
i -1 i -1
i -1 i -1 i
i -1 i -1
i -1 i -1A i i -1
Ai
i ii i
i
i i
i i i+1
i i
i i A i i
i -1
i + 1
∑
∑
ϕ
ϕ2
,
ahol Li - az i-edik támaszköz hossza,
Ei - az i-edik támaszköz anyagának rugalmassági modulusza,
I i - az i-edik támaszköz rúdkeresztmetszetének másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére,
T = M (z)dz, T = M (z)dz i-1 i-1
0
L
i i
0
Li -1 i
∫ ∫ - a kéttámaszúnak képzelt tartószakaszok külső
291
8.19. ábra
terhelésből származó nyomatéki ábráinak területei,
di - a nyomatéki ábraterület súlypontjának távolsága a bal oldali támasztól.
Az alakváltozási feltétel értelmében a bal és jobb oldali tartón ϕAi-nek meg kell egyez-
nie. A fenti két egyenletből ϕAi-t kiküszöbölhetjük, majd rendezés után megkapjuk az ún.
háromnyomatéki egyenletet:
ML
E I+ 2M
L
E I
L
E I+ M
L
E I=
= -6Td
E I L- 6T
L d
E I L .
i -1i -1
i -1 i -1i
i -1
i -1 i -1
i
i ii+1
i
i i
i -1i -1
i -1 i -1 i -1 i
i i
i i i
+
− 8.25/a
292
Általában be szokták vezetni az
L = Ti-1di-1 és az R = Ti(L i - di) 8.26
jelölést. Ezek nem mások, mint az i-edik támasztól balra, illetve jobbra lévő mezők külső terhe-
lésből származó nyomatéki ábraterületeinek sztatikai nyomatéka az i-1-edik illetve az i+1-edik
támaszfüggőlegesére.
Abban a speciális, de gyakran előforduló esetben, mikor a rúd anyaga és keresztmetsze-
te a tartó teljes hossza mentén változatlan, a háromnyomatéki egyenlet egyszerűsödik, és ebben
a formájában első megfogalmazójáról Clapeyron-egyenletnek nevezzük:
M L + 2M (L + L ) + M L = -6L
L-
6R
L .i -1 i -1 i i -1 i i+1 i
i -1 i
8.25
L és R értékei a leggyakoribb terhelési esetekben táblázatokban megtalálhatók. A szuperpozíció
elvének felhasználásával összetett terhelésű tartók is számíthatók.
Az n támaszú tartóra n-2 háromnyomatéki egyenlet írható fel. Ezekkel az összes tá-
masznyomaték meghatározható, hiszen a két szélső támasz feletti nyomaték, mint nyomatéki
igénybevétel sztatikai eszközökkel a szokásos módon számítható. A támasznyomatékok ismere-
tében a támaszokon ébredő reakcióerők az átmetszési elv alkalmazásával, azaz a tartó alkalma-
san részekre bontott elemeinek egyensúlyi feltételeiből már egyszerűen meghatározhatók.
8.20. ábra
A háromnyomatéki egyenletek olyan sztatikailag határozatlan tartók számítására is al-
kalmazhatók, melyek egyik vagy mindkét vége befogott. Ilyenkor a befogást a 8.20. ábrának
megfelelően két, egymáshoz közel lévő támasztással helyettesítjük. Igy megnövekszik a felírha-
tó háromnyomatéki egyenletek száma, míg az ismeretlenek száma változatlan marad, hiszen a
szélső támaszok felett nyomatékok nem ébrednek. A számítás során az Lo→ 0 határátmenetet
kell képezni.
8.2.2. Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer
Castigliano II. tétele szerint a belső erők kiegészítő potenciális energiájának valamely
dinám szerinti parciális deriváltja egyenlő a dinám támadáspontjának dinám irányú elmozdulá
293
sával (erő esetén eltolódással, nyomaték esetén elfordulással) (2.119) összefüggés). Lineárisan
rugalmas anyagnál a kiegészítő belső potenciális energia egyenlő a belső potenciális energiával,
az pedig - csak kis alakváltozásokat megengedve - a külső erők saját munkájával ((2.123) össze-
függés). Térbeli rúdszerkezet esetén, melynek lehetséges igénybevételei normál-, nyíróerő, haj-
lító- és csavarónyomaték, a külső erők saját munkáját az alapigénybevételeknél tárgyalt rész-
munkák összegeként számítjuk:
~ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
U U WN z
EAdz
T z
GAdz
M z
EIdz
M z
EIdz
M z
GIdz
b b kS
L L L
L
T
L
= = = + + +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
0
2
0
12
10
22
20
32
0
κ
8.27/a
ahol a jelölések értelmezése megegyezik az 5. fejezetben alkalmazottakkal, illetve
M3 - csavarónyomaték,
IT - a keresztmetszet torziós másodrendű nyomatéka.
Síkbeli rúdszerkezetnél csak az első három tag marad meg:
~U = U = W
1
2
N (z)
EA+
1
2
T (z)+
1
2
M (z)
EIb b kS
2
0
L 212
10
L
= ∫ ∫ ∫dzGA
dz dzL κ
0
8.27/b
A műszaki számításokban sokszor elegendő a hajlításból származó belső potenciális
energia figyelembevétele, mert e mellett a normál- és nyíróerőből származó potenciális energia
általában elhanyagolható.
A sztatikailag n-szeresen határozatlan szerkezet erőinek számításához határozzuk meg
az eredeti tartó törzstartóját, és a sztatikai egyensúlyi egyenletek felhasználásával fejezzük ki a
sztatikailag határozott reakciókat a külső erőkkel és a sztatikailag határozatlan, egyelőre isme-
retlen reakciókkal. Ezek felhasználásával a kiegészítő belső potenciális energiát tehát a külső
erők és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok függvényeként írhatjuk fel:
Ub = Ub = WkS =
~U b(Fi, Yj) , 8.28
ahol
Fi - szimbolizálja az összes külső terhelést (megoszló és koncentrált erőket, nyomatékokat),
Y j - a sztatikailag határozatlan reakciódinámok (j = 1,2,...,n).
Mivel a kényszereknek éppen az a tulajdonságuk, hogy a kényszerdinám jellegének
megfelelő mozgáskomponenst nem engednek meg (esetleg előírt elmozdulást biztosítanak), a
(8.28) függvény sztatikailag határozatlan reakciódinámjai szerint vett differenciálhányadosainak
nullával vagy az előírt értékkel kell egyenlőnek lennie (végeredményben tehát nulla esetén a
Menabrea-tételt, előírt, nem nulla érték esetén Castigliano II. tételét alkalmazzuk):
294
δδ
δδ
~ ~U
Y= 0 vagy
U
Y= u , j =1,2,..., nb
j
b
jj 8.29
Ha a (síkbeli) rúdszerkezet olyan elemekből áll, melynek rugalmassági modulusza és
keresztmetszete legalább szakaszonként állandó, akkor (8.27/b) kifejezés nevezői, a rúd merev-
ségi jellemzői, kiemelhetők az integráljel elé és (8.29), illetve a láncszabály alkalmazásával az
alábbi, számítástechnikailag kedvező formát kapjuk:
∂∂
∂∂
κ ∂∂
∂∂
~U
Y=
1
2EA Y Y Y=b
j j j j
NN
dzGA
TT
dzEI
MM
vagy uL L L
j
0 0 02
1
20∫ ∫ ∫+ + = ,
j = 1,2,...,n . 8.30
Íly módon éppen annyi egyenletet kapunk, amennyi az eredeti tartó sztatikai határozat-
lanságának foka és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok ezekből az egyenletekből megha-
tározhatók. Ezek ismeretében a sztatikailag határozott reakciók az egyensúlyi egyenletekkel
számíthatók.
295
Felhasznált és ajánlott irodalom Budó Á. (1964): Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest.
Cholnoky T.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. M. Csizmadia, B.- Nándori E. szerk: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó. Budapest.
1999.
Heimeshof, B.: Spannungsberechnung für den gekrümmten Träger mit einfach-symmetrischem
Querschnitt. Holz- als Roh- und Werkstoff 31/1973. S. 475-480.
Huszár I.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Kézirat, Gödöllő, 1979.
Huszár I.: Mechanika IV. (Alkalmazott mechanika). Kézirat, Gödöllő, 1981.
Kaliszky S. - Kurutzné, Kovács M. Mechanika (Elemi szilárdságtan), Kézirat,
Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.
Kaliszky S. - Szilágyi Gy.: Mechanika (Általános szilárdságtan), Kézirat,
Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.
Mistéth E.: Többcélú létesítmények gazdaságos méretezésének alapelvei a
valószínűségelmélet alkalmazásával. Doktori értekezés. Budapest, 1977.
H. Neuber: Technische Mechanik (Elastostatik und Festigskeitslehre). Springer-Verlag,
Berlin, 1971.
H. Parkus: Mechanik der festen Körper, Springer-Verlag, Wien, 1983.
Pelikán J.: Szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
Sz.D. Ponomarjov: Szilárdságtani számítások a gépészetben 7. Stabilitás. Gumielemek.
Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966.
Szabó I.: Höhere technische Mechanik. Springer-Verlag,
Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1960.
H. Ziegler: Mechanik I. (Statik der starren und flüssigen Körper sowie
Festigskeitslehre). Birkhäuser-Verlag, Basel und Stuttgart, 1962.