Operação com polinômios
Operação com polinômios
Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade das
potências:
am : an = am – n, com a ≠ 0
Vamos verificar como podemos efetuar a divisão:
Ex.: 12y5 : 4y³ = 𝟏𝟐𝐲𝟓
𝟒𝐲³ =
12
4 .
𝐲𝟓
𝐲³ = 3y²
3 y²
Ex.: (20a4b²) : (-5ab) = 𝟐𝟎𝐚𝟒𝐛²
−𝟓𝐚𝐛 =
𝟐𝟎
−𝟓 .
𝐚𝟒
𝐚 .
𝐛²
𝐛 = -4a³b
-4 a4-1 b2-1
Para dividir um monômio por outro, dividimos os
coeficientes entre si e as partes literais entre si.
Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:
Ex.: (15x³y²) : (5x5y5) = 15x³y³
5x5y5 = 15
5 .
x³
x5 . y²
y5 = 𝟑
𝐱²𝐲³
3 x3-5 y2-5
No caso dessa divisão, o resultado é uma fração algébrica.
Dividindo um polinômio por um monômio
Ex.: (9x5 + 21x4 – 12x³) : (3x³) = (9x5 + 21x4 – 12x³) . 1
3x³ =
9x5
3x³ +
21x4
3x³ -
12x3
3x³ = (9x5 : 3x³) + (21x4 : 3x³) – (12x³ : 3x³) =
= 3x² + 7x - 4 =
= 3x² + 7x – 4
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo
fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Dividindo um polinômio por um polinômio
O processo de divisão de polinômios em uma mesma
variável se assemelha àquele da divisão com números
naturais.
Ex.: (5x³ - 3x² + 2x - 3) : (x - 1) =
1º passo:
5x³ - 3x² + 2x - 3 x - 1
5x²
5x³ : x = 5x²
5x³ – 3x² + 2x – 3
- 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3
x - 1
5x²
(x – 1) . 5x² = 5x³ - 5x² Subtraindo – 5x³ + 5x²
2º passo:
5x³ – 3x² + 2x – 3
- 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3
x - 1
5x² + 2x
2x² : x = 2x
3º passo:
5x³ – 3x² + 2x – 3
- 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3
- 2x² + 2x
4x – 3
x - 1
5x² + 2x
(x – 1) . 2x = 2x² - 2x Subtraindo – 2x² + 2x
4º passo:
5x³ – 3x² + 2x – 3
- 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3
- 2x² + 2x
4x – 3
x - 1
5x² + 2x + 4
4x : x = 4
5º passo:
5x³ – 3x² + 2x – 3
- 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3
- 2x² + 2x
4x – 3
- 4x + 4
+ 1
x - 1
5x² + 2x + 4
6º passo:
(x – 1) . 4 = 4x – 4 Subtraindo – 4x + 4
resto
quociente
Observe que a relação fundamental da divisão continua valendo:
(x – 1) . (5x² - 2x + 4) + 1 = 5x³ - 3x² + 2x - 3
divisor quociente resto dividendo
Use seu caderno digital e determine:
1) (6x4 - 5x³ + 12x² - 4x + 3) : (3x² - x + 1) =
2) (5x³ + x² - 3) : (x² - 1) =
Seguindo o passo a passo você vai perceber que
as divisões podem ser exatas e não exatas.
Fonte:
Giovanni, José Ruy
A conquista da matemática, 8º ano
Ed. Renovada – São Paulo: FTD, 2009