Divisão de Polinômios Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x), buscamos um quociente q(x) e um resto r(x) (o grau de r tem que ser menor que o grau de g(x) ou r(x)º0) de modo que f(x) = g(x).q(x) + r(x) O método básico da divisão de polinômios (método das chaves) se parece bastante com a divisão algébrica usada normalmente por todos nós. Este método consiste em : 1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior grau de g(x): 2x 2 /2x = x, obtendo assim o primeiro termo do quociente q(x). 2) multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): x.(2x – 1) = 2x 2 – x. O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de f(x). 3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tem semelhantes devem ser copiados. Obtemos um resto parcial. 4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r se torne menor que grau de g. Veja esse exemplo: Teorema do Resto: Válido para divisões de polinômios p(x) (de grau maior que um) por binômios do tipo q(x) = x - a (a pertencente aos C). Procede-se da seguinte forma: 1) Calcular a raiz do divisor ( no caso a); 2) O resto da divisão será p(a). Exemplo: Determinar a divisão de f(x) = 3x 4 – x 3 + 2 por g(x) = x – 1 sem efetuar a divisão Resolução: 1) x –1 = 0 Þ x = 1 2) r = f (1) = 4 Resposta: O resto é 4.
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Divisão de Polinômios Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x), buscamos um quociente q(x) e um resto r(x) (o grau de r tem que ser menor que o grau de g(x) ou r(x)º0) de modo que f(x) = g(x).q(x) + r(x)
O método básico da divisão de polinômios (método das chaves) se parece bastante com a divisão algébrica usada normalmente por todos nós. Este método consiste em :
1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior grau de g(x): 2x2/2x = x, obtendo assim o primeiro termo do quociente q(x).
2) multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): x.(2x – 1) = 2x2 – x. O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de f(x).
3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tem semelhantes devem ser copiados. Obtemos um resto parcial.
4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r se torne menor que grau de g.
Veja esse exemplo:
Teorema do Resto:
Válido para divisões de polinômios p(x) (de grau maior que um) por binômios do tipo q(x) = x - a (a pertencente aos C). Procede-se da seguinte forma:
1) Calcular a raiz do divisor ( no caso a);
2) O resto da divisão será p(a).
Exemplo: Determinar a divisão de f(x) = 3x4 – x3 + 2 por g(x) = x – 1 sem efetuar a divisão
Resolução:
1) x –1 = 0 Þ x = 1
2) r = f (1) = 4
Resposta: O resto é 4.
Teorema de D’Alembert
Um polinômio f(x) é divisível por x – a se , e somente se, a é raiz de f(x).
Exemplo: Determinar m de modo que f(x) = x3 – 4x2 + mx – 5 seja divisível por x – 3
Resolução:
Pelo teorema de D´Alembert, x = 3 é raiz de f(x), isto é , f(3) = 0. Daí:
0 = 33 – 4.32 + m.3 – 5 Þ m = 14/3
Resposta: m = 14/3
Dispositivo de Briot - Ruffini :
É um método pratico que serve apenas para casos em que o divisor é de grau 1. Os Passos são os seguintes:
Primeiro se coloca os coeficientes e a raiz nos seus devidos lugares (ver exemplo);
Desce o primeiro coeficiente, o qual multiplicará a raiz e somará com o segundo coeficiente;
Assim segue o processo, quando ele terminar os números que aparecem na parte de baixo são os coeficientes de um polinômio de um grau abaixo do dividendo com exceção do último número que é o resto;
Exemplo: Dividir f(x) = 3x3 - 4x2 - x + 1 por g(x) = x – 2:
Resolução:
Resposta: q(x) = 3x2 + 2x + 3 e r = 7
Produtos Notáveis
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
( a + b ).( a – b ) = a² - b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a – b )² = a² - 2ab + b²
Existem muitas outras outras fórmulas:
( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
Não freqüentemente usadas:
Sistemas de equações
Noções:
A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado: » soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I » a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)
Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição: » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Ex: x+y=12 x-y=4
Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y).
Com isso, basta somar as duas equações:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 8+y=12 ou 8-y=4 y=12-8 -y=4-8 y=4 y=4 O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
... I .. II
» Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. Para isso, multiplicamos a equação I por -2:
... I
... II 0x + 0y = 6 .... III Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
S= { }
Método da substituição:
» Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 ... I x-y=4 .... II
Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
x+y=12 » x=12-y
Substituímos na outra equação: (12-y) - y = 4 12-2y = 4 -2y = -8 y=4 Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x+4=12 » x=12-4 » x=8
Logo a solução do sistema seria: S = {(8,4)}
Ex: ... I ... II
Escolhemos a variável y da equação II: ... II
Substituindo na equação II :
Substituindo o valor de x encontrado em II:
Logo a solução do sistema é :
S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
x+2y=2 » x=2-2y x+y = 3 » x=3-y Comparando as duas equações: 2-2y=3-y -2y+y=3-2 -y = 1 y = -1