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Distribution-free calculation of the standard error ofChain Ladder reserve estimates

David Fischinger

31. Marz 2018

David Fischinger 31. Marz 2018 1 / 41

Inhaltsverzeichnis

1) Einleitung

2) Chain Ladder

3) Notation und grundlegende Resultate

4) Berechnung des MSE und des Standardfehlers

5) Beispiele


Einleitung

Einleitung


Einleitung

Spatschaden

IBNR-Schaden (”incurred but not reported”)

⇒ bereits eingetreten, aber dem Versicherungsunternehmen noch nichtbekannt

IBNER-Schaden (”incurred but not enough reserved”)

⇒ am Ende des Geschaftsjahres bereits bekannt, Hohe aber nochabschatzbar


Einleitung

Spatschaden

viele Methoden zur Berechnung der Ruckstellung fur die Spatschaden

z.B Chain Ladder Verfahrenoft deutlich andere Ergebnisse

Herausforderung von bisherigen Daten auf Spatschaden zu schließen

Standardfehler als

Maß fur Unsicherheit der verwendeten DatenVergleichsmoglichkeit mit anderen Verfahren


Einleitung

Grundlage

Paper ”Distribution-free calculation of the standard error of ChainLadder reserve estimates” von Thomas Mack von 1993

Ziel:

moglichst einfache Formel fur den Standardfehler des Schatzers derChain Ladder Ruckstellung herleiten


Chain Ladder

Chain Ladder


Chain Ladder

Vorgehensweise

Vergangenheit ZukunftAbwicklungsdreiecke


Chain Ladder

Schadensdreieck


Chain Ladder

Schadensdreieck


Chain Ladder

Schadensdreieck


Chain Ladder

Schadensdreieck


Notation und grundlegende Resultate




Notation

Definition

Die Zufallsvariablen Cik sind die kumulierten Claims eines Schadenjahres iwobei 1 ≤ i ≤ I fur ein Entwicklungsjahr k mit 1 ≤ k ≤ I .

Der Wert von Cik ist uns bekannt fur i + k ≤ I + 1

Definition

Die Zufallsvariablen Ri sind die zu schatzenden Schadenreserven fur einSchadenjahr i = 2, ..., I und sind definiert durch

Ri = CiI − Ci ,I+1−i

und die gesamte Schadenreserve durch

R =I∑

i=2

Ri



Notation



Annahmen des Chain Ladder Verfahren

1) Entwicklungsfaktoren:

∃ Entwicklungsfaktoren f1, ..., fI−1 > 0

Sie erfullen:

E(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cik fk 1 ≤ i ≤ I , 1 ≤ k ≤ I − 1 (1)

fk wird geschatzt durch

fk :=

∑I−kj=1 Cj ,k+1∑I−kj=1 Cj ,k

1 ≤ k ≤ I − 1



Annahmen des Chain Ladder Verfahren

2) Ulimate Claims und Schadenreserven

Die zukunftigen Ultimate Claims CiI werden geschatzt durch

CiI := Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1

und die Schadensreserven Ri durch

Ri = Ci ,I+1−i (fI+1−i · ... · fI−1 − 1).

3) Unabhangigkeit

{Ci1, ...,CiI}, {Cj1, ...,CjI}, i 6= j sind unabhangig (2)



Satz 3.1

Sei D := {Cik |i + k ≤ I − 1} die Menge aller bisher beobachteten Daten.Mit den Voraussetzungen (1) und (2) folgt

E(CiI |D) = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1



Beweis.

Um den Beweis ubersichtlicher zu gestalten, definieren wir uns zuerst

Ei (X ) := E(X |Ci1, ...,Ci ,I+1−i )

E(CiI |D) = Ei (CiI )

= Ei

(E(CiI |Ci1, ...,Ci ,I−1)

)= Ei (Ci ,I−1 · fI−1)

= Ei (Ci ,I−1) · fI−1

= etc .

= Ei (Ci ,I+1−i ) · fI+1−i · ... · fI−1

= Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1



Unverzerrte und unkorrelierte Schatzer

Definition

Ein Schatzer θ heißt erwartungstreu bzw. unverzerrt fur eineZufallsvariabel θ, wenn gilt

E[θ] = θ

Definition

Zwei Schatzer θ1 und θ2 heißen unkorreliert wenn gilt

E[θ1θ2] = E[θ1]E[θ2]

also die COV(θ1, θ2

)= 0 ist.



Satz 3.2

Mit den Annahmen (1) und (2) ist der Schatzer fk unverzerrt undunkorreliert fur 1 ≤ k ≤ I − 1.



Beweis.

Unverzerrtheit:Sei

Bk := {Cij |j ≤ k , i + j ≤ I + 1}, 1 ≤ k ≤ I .

Mit der Voraussetzung (1) und (2) folgt

E(Ci ,k+1|Bk) = E(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cik fk

Zusammen der Definition von fk und der Linearitat desErwartungsertes folgt dann

E(fk |Bk) =

I−k∑j=1

E(Cj ,k+1|Bk)

I−k∑j=1

Cjk

= fk



Beweis.

Dieses fuhrt zu

E(fk) = E(E(fk |Bk)) = fk , 1 ≤ k ≤ I − 1

Unkorreliertheit von fk und fj :Sei j < k , dann gilt

E(fj fk) = E(E(fj fk |Bk))

= E(fjE(fk |Bk))

= E(fj)fk

= E(fj)E(fk)



Satz 3.3

Unter den Annahmen (1) und (2) ist

CiI = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1

ein unverzerrter Schatzer fur E(CiI |D) und

Ri = CiI − Ci ,I+1−i

ein unverzerrter Schatzer fur Ri .



Beweis.

Wir wissen bereits:

E(CiI |D) = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1

Wiederholung des vorherigen Beweises fur das Produkt von paarweiseverschiedenen fk , fuhrt zu

E(fI+1−i · ... · fI−1) = fI+1−i · ... · fI−1

Weiters gilt

E(CiI ) = Ci ,I+1−i · E(fi+1−i · ... · fI−1)

= Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1

= E(CiI |D)

womit die Unverzerrtheit folgt. Analog lasst sich die zweite Behauptungzeigen.


Berechnung des MSE und des Standardfehlers




MSE

Definition

Der bedingte mittlere quadratische Fehler (MSE) des Schatzers CiI von CiI

ist gegeben durchmse(CiI ) = E((CiI − CiI )

2|D)

wobei D = {Cik |i + k ≤ I + 1} die Menge aller bereits zur Verfugungstehenden Daten ist.

Fur den MSE gilt

mse(Ri ) = E((Ri − Ri )2|D) = E((CiI − CiI )

2|D) = mse(CiI )

und damitmse(CiI ) = Var(CiI |D) + (E(CiI |D)− CiI )

2



Varianz der Cik

Schatzer der Chain Ladder Faktoren fk sind Cik -gewichtetes Mittel

Var(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) soll invers proportional zu Cik sein , also

Var(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cikσ2k 1 ≤ i ≤ I , 1 ≤ k ≤ I − 1 (3)

mit unbekannten Parametern σ2k fur 1 ≤ k ≤ I − 1.

Diese Forderung ist eine weitere, implizite Annahme, die aus demChain Ladder verfahren resultiert



Schatzer fur die Varianz der Cik

Genauso wie fur den Schatzer fk lasst sich zeigen, dass

σ2k =1

I − k − 1

I−k∑i=1

Cik

(Ci ,k+1

Cik− fk

)2

, 1 ≤ k ≤ I − 2

ein unverzerrter Schatzer fur σ2k , 1 ≤ k ≤ I − 2 ist.

Fur die Wahl von σ2I−1 gibt es zwei Moglichkeiten:

1. Wenn fI−1 = 1 ⇒ σ2I−1 = 0

2.

σ2I−1 = min

(σ4I−2

σ2I−3

,min(σ2I−3, σ2I−2)

)



Satz 4.1 (Varianzzerlegung)

Fur die Varianz einer Zufallsvariable X gilt

Var(X ) = E(

Var(X |Y ))

+ Var(E(X |Y )

)



Beweis.

Sei U := E(X |Y ) eine Zufallsvariable mit Erwartungsert

E(U) = E(E(X |Y )

)= E(X )

Fur die Varianz gilt:

Var(U) = E(U2)−(E(U)

)2= E(U2)−

(E(X )

)2Andererseits hat die bedingte Varianz den Erwartungswert

E(

Var(X |Y ))

= E(E(X 2|Y )

)− E(U2) = E(X 2)− E(U2)

Damit erhalten wir

E(

Var(X |Y ))

+ Var(E (X |Y )

)= E(X 2)−

(E(X )2

)= Var(X )



Satz 4.2

Unter den Annahmen (1), (2) und (3) konnen wir den mse(Ri ) durch

mse(Ri ) = C 2iI

I−1∑k=I+1−i

σ2kf 2k

(1

Cik

+1

I−k∑j=1

Cjk

)

schatzen, wobei Cik = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ...·, k > I + 1− i die geschatzten

Werte der zukunftigen Cik sind und Ci ,I+1−i = Ci ,I+1−i gilt.

Der Standardfehler von Ri ist dann definiert durch

s.e(Ri ) =

√mse(Ri )



Satz 4.3

Mit der Notation und den Vorraussetzungen des vorherigen Satzes kannder MSE der gesamten Reserve R durch

mse(R) =I∑

i=2

[(s.e(Ri )

)2+ CiI

(I∑

j=i+1

CjI

)I−1∑

I+1−i

2σ2k

f 2kI−k∑n=1

Cnk

]

geschatzt werden.

Der Standardfehler von R ist dann wiederum definiert durch

s.e(R) =

√mse(R)


Beispiele

Beispiele


Beispiele

D.A.S Rechtsschutz AG


Beispiele



Beispiele



Beispiele

OBV VVaG


Beispiele

OBV VVaG


Beispiele

OBV VVaG


Beispiele

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!


Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder …sgerhold/pub_files/sem18/v... · 2018. 4. 4. · Einleitung Sp atsch aden IBNR-Sch aden ("incurred but not reported"))bereits

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