Top Banner
Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control q Mahamane Kader a , Michel Lenczner a, * , Zeljko Mrcarica b a Equipe de Math ematiques de Besanc ßon, Universit e de Franche-Comt e, UMR 6623, 16, Route de Gray, F-25030 Besanc ßon Cedex, France b Laboratory for Electronic Design and Automation, Faculty of Electronic Engineering, Beogradska 14,18000 Ni s, Yugoslavia Received 21 July 2000; received in revised form 2 October 2000 Abstract This paper focuses on the design of distributed control related to distributed mechanical systems. The sensors and actuators are assumed to be numerous and periodically distributed. The problem addressed in this paper is: ``Can we ®nd a way to approximate an optimal control law with a distributed electronic circuit''. Solutions to this problem are proposed in the framework of vibration control using piezoelectric actuators and sensors. Ó 2001 Published by Elsevier Science Ltd. 1. Introduction This paper is related to a distributed control problem arising in structural mechanics. Consider a thin beam covered on one side with a distribution of piezoelectric actuators and on the other side with piezoelectric sen- sors. Assume that this beam is subjected to either ex- ternal forces or initial excitation. Our control objective is the optimal reduction of the vibration level. The control strategy determination can be based on dierent theories. One of them, the optimal control theory, leads to an explicit expression of the control law. It has the advantage to be optimal, relatively to a choice of functional that is minimized. Mathematical founda- tions of such a theory are well established and are classical also for in®nite dimensional systems. In prac- tice, there is a strong limitation in use of it for distrib- uted control with many actuators and sensors. In fact, it produces a control law requiring that each actuator uses the data coming from every sensors. This constraint is generally unacceptable for realistic fabrication of dis- tributed control systems. The goal of this paper is to propose a new imple- mentation of optimal control that does not suer such a limitation. We show how optimal control can be ap- plied, in a realistic way, using a distributed electronic circuit. Each actuator, sensor) couple is only linked with its closer neighbors see Fig. 1). Let us remark that the problem of vibration control for a one-dimensional beam is quite simple and does not require a distribution of many actuators and sensors. However, this study is a preliminary investigation before considering more complex cases of distributed control. Further interesting applications could be acoustic con- trol or ¯uid ¯ow control. The paper is organized as follows. In Section 2.2, the statement of model and its reduction using asymptotic analysis are given. This simpli®ed model is used in order to construct an optimal control law. The solution of the algebraic Riccati equation and its approximation with partial dierential operators are given in Section 2.3. Then, its approximation by distributed analog circuit is described in Section 2.4. The last section is devoted to the numerical results. 2. Statement of the optimal control problem We consider an elastic rectangular plate partially covered on both sides with piezoelectric transducers. Those located on the top are used as sensors when those Microelectronics Reliability 41 2001) 1857±1866 www.elsevier.com/locate/microrel q An earlier version of this paper was printed at the First Small Systems Simulation Symposium SSSS 2000), 4±5 Sep- tember 2000, Ni s, Yugoslavia. * Corresponding author. E-mail address: [email protected] M. Lenczner). 0026-2714/01/$ - see front matter Ó 2001 Published by Elsevier Science Ltd. PII:S0026-271401)00038-5
10

Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

Apr 09, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

���������� ����� ���� �� ��������� � ������������� ��� ������ �� ��������� ����� �

�������� ���� �� ���� ������� ���� �� ��� ������ �

� ������ �� ��������� �� �� ������ ������ ��� �� ������������� ��� ����� ��� ���� �� ���� ��� !�! �� ����� ����"� ������ #$����� %�� �&������� '� �(� �� )������� ���&� �% �&������� ��(�������(� ���(�� * �+��,!!! -���� .�(� &��

������ �� � ! �"""# ������ �� ������ $��� � %����� �"""

��������

&��� ����� $����� �� ��� ���'� �$ ��������� ����� �� ��� �� ��������� ������� �!�����( &�� ������� ��

�������� ��� ������ �� �� �������� �� ������� ! ���������( &�� ���� �� ������ �� ���� ����� ��� ))*�� +�

,� � +�! �� �����-����� �� ������ ����� �+ +��� � ��������� � ������ �����..( /� ������ �� ���� ���� �� ���

������� �� ��� $����+��� �$ ��������� ����� ����' ������ ���� �������� �� �������( � �""� 0�� ���� �!

1 ������ /���� ��(

� ���� ������

&��� ����� �� �� ��� �� � ��������� ����� ���� ��

������' �� �������� �������( *������ � ���� ����

����� �� ��� ��� +��� � ����������� �$ ������ ����

�������� �� �� ��� ����� ��� +��� ������ ���� ���2

����( 3����� ���� ���� ���� �� ������� �� ������ �-2

����� $���� �� ������ �-�������( %�� ����� �������� ��

��� ������ ������� �$ ��� ��������� ��� (

&�� ����� ������'! ������������ �� �� ���� ��

�4����� ��������( %�� �$ ����� ��� ������ �����

�����!� ��� �� �� �-� ��� �-�������� �$ ��� ����� �+(

5� ��� ��� ������'� �� �� ������ � �� ����� ! �� � ����

�$ $������� ���� �� ��������( ���������� $����2

����� �$ ��� � �����! ��� +� ����� ���� �� ���

����� � �� $�� ��,���� ��������� �!�����( 5� ���2

���� ����� �� � �����' ��������� �� ��� �$ �� $�� ������2

��� ����� +��� ���! �������� �� �������( 5� $��� ��

������ � ����� �+ ��6�����' ���� ��� ������� ����

��� ��� ����' $��� ����! �������( &��� ��������� ��

'����� ! �������� � $�� ��� ���� $��������� �$ ��2

������� ����� �!�����(

&�� '�� �$ ���� ����� �� �� ������� � ��+ ��� �2

��������� �$ ������ ����� ���� ��� ��� ��4�� ��� �

���������( 7� ���+ ��+ ������ ����� �� �� ��2

� ��� �� � ��� ���� +�!� ����' � ��������� � ������

�����( 1�� 8�������� ������9 ��� � �� �� ! ����

+��� ��� ���� ���'����� 8��� :�'( �9(

��� �� ������ ���� ��� ���� �� �$ ��������� �����

$�� � ���2��������� ���� �� 6���� ���� � �� ��� ���

��6���� � ����������� �$ ���! �������� �� �������(

;�+����� ���� ���! �� � ��� ������! �������'����� ��$���

��������' ���� ��� �- ���� �$ ��������� ����� (

:������ ����������' ��� ������� �� �� ������ ��2

��� �� <�� <�+ ����� (

&�� ����� �� ��'����� �� $� �+�( 5� /����� �(�� ���

��������� �$ ��� �� ��� ������� ����' ��!������

��� !��� ��� '����( &��� ���� �,� ��� �� ��� �� ����

�� ������� �� ������ ����� �+( &�� �� ����� �$ ���

� '����� ����� �6������ �� ��� �����-������� +���

������ �4������� ��������� ��� '���� �� /����� �(=(

&���� ��� �����-������� �! ��������� ��� �' ����� ��

������ �� /����� �(>( &�� ��� ������ �� ����� ��

��� ������� ���� ��(

� ��������� �� ��� ������� ������� �������

7� ������ �� � ���� �����'� �� � ��� ������ !

����� �� ���� ���� +��� ������ ���� ���������(

&���� ���� �� ��� ��� ��� ��� �� ������� +��� �����

����� ������� �� ���� ��! >� 8�""�9 �?@AB�?CC

+++(� ������(��D ����D������

�3� ��� ��� ������� �$ ���� ����� +�� ������ �� ��� :����

/�� /!����� /��� ����� /!������� 8//// �"""9� >B@ /��2

������ �"""� E���� F�'�� ����(� *����������' ������(

����& ���� / ������G����2$����($� 8�( �������9(

""�C2�A�>D"�DH 2 ��� $���� ������ � �""� 0�� ���� �! 1 ������ /���� ��(

055� /""�C 2�A�> 8"� 9"""=? 2@

Page 2: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

���� �� ��� ����� $�� ��� ��������( &�� � ��� ��

������ �� �� ���� �� ��� ��������� ��" ����� ��

��� +��� ������� �� $��� �� ��� �����( ��+�� $�� �$

��� ������ ���� �������� �� ������ �� ��� �����(

&�� ����� $�� �$ ��� ������ �� ������ �� ��� �����

�$ � ������2��2������ ��� �,�� +��� ��� ���.� �$ ���

������� �� ������ �� ��� ������ �$ �� ����� �� ��'�

�����(

�0�0 1�� ���������� ���& �&� ����&

&�� ������ �$ � �� �� �!��� � ��� �6����� +��� �

����������� �$ ������ ���� ��������� �� ����������

�! ��� �6������ �$ !���������

�������

�� ��

�� ��

����� �� �� � "

$�� � ������� � ��� ������ ,� � � ��� +����

�� � � � � � ��� ���

�� ��

��� " �� ��

"

�� ��� �6������ �$ � ��������������

�� ��� � "

$�� � ������� � � ���� �������� �( ;��� ��� ��� ��� ���

�� � ��� ��������� ! ��� ����� ����� �! ���

� ���� ��� �� ��� ����� ��� ����� �$ ������� ��2

� �������� ��� ������� ������ ������� �� ��� �����

�$ � ���� ��� �������( &�� ���- � ��$��� �� ���

�������� �$ ��� � ���( ������� �������� �� � ����

��� ������� ��� ������ �� �� ����� ! ������� �$

��� ������� ������ ��� ��� � �� �$ ��� � ���� ,� � ����

8�� �� ��� � ���� �������� 9�

���� � ������������ � �������

� �� ��

� ����������� � ��������

+���� ������ ���� �� ��� ��� ��� ���4����� ��� ������ ����

�� ��� �����������! �������(

�0�0 1�� 2������� ���& ��� �&� ����&

5� ��� $� �+��' ��� $���� ����� �� �� ��� ���2

� ������ ��� ������ ���� ������� �� �������� ���

���� �!������� ! �� ��� ��� �� �� ��� ������ �$

��� � ���� � ���( &�� �+�2��������� ���� � ��� ���

������� �� ���� ������ ��� ���� ����� �� ��$( I�J

����' �� ��!������ �����(

&�� ������ �6������ $�� ��� �+�2��������� ���

�� '���� �!������

����� �������=

�� ���

����� � " ���

$�� � ������� � ��� ������ � � �� +���

� � � � � � �� � ��� ���� ��

� ����

� " �� �" � ����

;��� �� �"� �� �� ���� �� �� � ��� ��� ���� ���$�� �$

��� � ���� ��� ���� �$ ��� ������! �� +���� ��� � ��� ��

����� ��� ���$�� ����� ��� ���������� �������

��� ������� ��� �����' ���4���� ������ �$ ��� � ����

��� ������ ���� ������� �� ��� � ���� �� ��'� ��

��������( &�� ���� �� �� �$ ��� ���'�� <�+��' ��� �$

��� ����� ���$�� 3 �$ � ������� �� ������� +��� �

���'� ��� �,��� �� �6�� ���

� � ���

����������� ���

�0�0 1�� ����(���4�� ��������� ���& $�� ����&

��� �� ������ ���� ������� �� �������� ��� ��2

������ �� ������� ! ��������� �� ��� � ���( &�����

�� ����'��������� �����!� ��� �� ����� � ���� �,�

��� �$ ��� � �������� �������� 8��� ��$( I�J $�� �

��'����� ������������9( 5� ��� �� � ��� �$ �� ��2

��'������ � ����������� ����� +��� �������� �

�������� ��� �� ��� ���'��� ���( E������� ��� ���

���4���� ������� ��� ������ ���� ������ �� ��� ������2

�����! �����- �$ ���� ��� ��� ��������( &�� ������

<�+��' ��� �$ ��� ����� ���$�� �$ � ������ �� ��� �

�! � ��������� ��������� ,� ( &�� �� ��'� �� ���

������� �� ���������� �! � ��������� ���������

�� ��'�( &�� �6������� �$ ��� ����'����� � ��� ���

��� ��� ���� ���� 16�( 8�9 �� 8�9( %� ! ��� �� �� �$ ���

��K����� ����� � �4�����( 7� � ��� ������� ��+

��������� $�� ����( &��� ��� �� ��� �� ��� ������

����� �!�������(

7� ������ ���� ��� � ��� ������� ��� ���� �����' ��

��� ������� � �$ ��� ���� �-��( 5�� ���� ��� ����� ���

������ �� ��� ����� ������� �� ��� ( &��� ��� ����'2

����� � ��� ��� �� �� ��� �� �! � ���2���������

���� ��� �

������ ����� � ��� � " �� ��� �� � �� �� �=�

:�'( �( /!���� �� ���' � ��������� �����(

�?@? �0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,��

Page 3: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

;���� � �"� �� �� � �� ��� ���2�������� ��� ��

��������� � � ����( &�� ������! �������� ��� � �

��� � " �� ��� �� � �� ��( 5����� �������� ���

� "� �� � � � �� � �� ��� "� �� � � "( 5� ����� �$ �����

�����! � �� ��� ����� ������ � �� � �� ������� �� �

����� ������ �( &�� �����! �$ � ���� ���'�� �� �$

������ � ����� �! ��� ������� ���

� � ��� �� � � ������

�0+0 ;���& �����&

5� ��� $� �+��'� �� ������ ����� �����! �� ��� ��

�� ��� ���2��������� ����'������ ���� ��� (

:����� �� �� +���� ��� ��� �� � ,��� ���� �!���� �$

�4������� �6��������

�� � �� �� $�� � � " �� �"� � "� �>�;��� ��� ����� ������ � � ���� �� � ���� ���� �� ��'� ��

�������� +���� � � � ��"��� ������ � �

�"��� ����'

��� ��� �$ $������� � �� ��'��' �� � ���� ��� ����

� �� �� � � ��� �� �� � � " �� ��� ���� ������! �� �" � �� "� �� ( &�� �������� ) �� �,�� �� �!

� � " ����" "

� �

+��� ����� ��� � � >��� � � ��"��� � �

�"��� � ��

+���� �" � �� � �>����( 5�� ������ �� �6�� ���

�� � " ����" "

� ��

&�� ����� �������� � � � � � ���� � � �" ��� � � ��

�,�� �!�

� � "�� ��

� ��

3 �����'��$��+�� � � ����� ���+� ���� ��� ������

�� � � � � �$ � �� �,�� �!�

�� � �"��� ����� ��

� �� �����

*������ � �� �� � �� ��� �������� � � � � � �� �

�"��� �,�� �!�

� � �� "� � ��

� �� �� � � �

E�+� +� ������ ��� ������������ ���� ��� ,�

� � �����#�� +��� ��������� ��� ��� $�������

� �� � �� �

"

����� � ����� �� �@�

+���� ��� ����� ������ � " �� ��� ����� ������ � � ���

��������� �! ��� ����� �6������ 8>9( /��� ����� ��

�-�������� ! ����� ���� � �� ����� �� �-�������� !

������ �� ���� ������������ ���� �� ����� � ���6��

�� �����( :� �+��' ��� ������ ����� �����!� �����

�-���� � ���6�� �����'����� �� $2������ �� ����� < �� ���

� '����� ����� �6�������

���� � ��� ����� � ���� � " $�� �

� ��� �C�

�� ��� ������ ����� � �� '���� �!

� � ����� �A�

������ � 8�9 &�� ���� �$ ��� ����� ���� � ��� ��

��� $�� ���� ��� ����� ��������

��� � " "" ��

��

� ��

5� ��������� ����� ���� ���� ��� ��� �4�� �� ���

����� �+( &��� ��� ��� ���� ��� ����� �������� � ��

�� +������ �� � ������ �$ �"(

8��9 &�� �� ���! $����� � � �� � ���=���� ��� �� ���

�-�������� ! ���� � �!���� ������ ����� � �� �=

���� � "

�� �� �( /��� � �� � ���� ���� ��������� +���

������ �� �� �� ��� �� �� �� ����������� �� ��� �6���� �$

��� ������ $��6������ ���� ��� ������� �� �( 5� ������

��� $����� ��� �� ��� ���������� �$ ��� ��� �,���

��D�� �$ ��� ��������(

8���9 &�� ��� $������� �� ����� ��� ���� ��� �4��

�$ ��� ���� ���' ����� �� �� ���$��� +��� ������ ��

������ $��6������( &��� ���� �������� ��� �,��� ��

�������� ����������(

� ����� �������� � �� ��� ��������� ������� ��������

5� ���� ������� +� ������� �� �����-������� �" �$

��� �-�� �� ����� <( &�� ��������� �$ �" �� ���� �� ���

�-�������� �$ ��� �-�� �� ����� � � &���� +� ���� ���

����� �+ ���� �� ������� +��� < �� ��� �� �! �"�/��� ��� ����� �6������ �� � ���� ���� ���� < �� �

� � �����- �$ ����������

� � ��� ���

��� ���

� �� �����

5�� ������ +��� ������ �� ��� �� �� ����� ��� ��� ��

'���� �!

� � � � ��� ���

" ����

�"� ��� � �

��

� �� �����

/��� ��� �������� < �� �� $2������ ����

��� � � ���� ��� � � �

��� ��� � ���" �

��� �� ���

� �"� ����

;��� ��� � � ��� �� ��� � � �

��(

�0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,�� �?@L

Page 4: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

����� � ��� ����� ��� ������� ����������� ������� ����� ��������� ������� ������� ����� � ����� ���

��� �����

�� �

�=��

������������������������������������������������������" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

��� � ��� �

�� � �

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

��

��� � ��� �

�� �" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

��

���

��� ��������

�� �

������������������������������������������������������" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

���� &�� �6������ ��� � ��� ����� � ��� � " ��

�6���� ��� ���

" � ��� "" "

� �� " ���

�" "

� ���� ���

" ����

��� ���

� �

� ��� ���" �

���

��� ���

� �" �

���" "

� �

� ��� ���" �

���

��� ���

� �" "" ��

��

� ���� ���

" ����

��� ���

� ��

+��� �� �6���� ��� ��

����� � ���" �

�����" � �

�� � �� ��

��" �

������ � "�

����� � ��� � �� ��

��" �

������ � "�

�"��� � �����" � �� ������� � "�

� ��� � ��� � ��

������� � "�

������ �?�

/��� ��� � � ��� �� ������� +��� �"�

�� ��

��" ������ � ����� � �

� � "� �L�

��� � ���� � �� ��

��" ������� ��"�

�"��� � �����" � �� ������� � "� ����

� ��� �

�� �

���� ����

16( 8L9 ��� �+� �����

��� � �

�� �

�� ��" � �"

������������������������������� � ��

� ���

��"

� ��

:��� 16( 8��9 ��� � "� �� +� ���� ��� ����

��� � ��� �

�� �" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

��

/��� ��� � "� $��� 16�( 8��9 �� 8�"9 +� ������ ��2

������ !�

��� �������������������������������������������������������������������������> �

� �" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

� ����� �

��� �����

��=��

�� �

������������������������������������������������������" � �"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

/���� ��� � ���" ���� ����

��� � ��� �

�� � �

����������������������������� � ��

� ��

�����

"

�� �

������ � 5� �� +���� �����' ���� �-�� �� �����( /���

�� �� ������ �$ �6���� ����� �$ ������ �4�������

���������� �� �� ��� ! � ��� �� ��������( 5�� ����2

������ �$ ��� ����� �+ ����' ��������� �������

���� ��6���� ���� ��! '���� ������� ���� ������

����������� $��� ����! �������( 3� �� +�� � ���! �-2

� ���� �� ����������� ���� ��������� �� ��� �����' $��

$��������� �$ ��� �!�����( &��� �� ��� ������ +�! ��

�����-������� �$ � +� �� �������(

�0�0 )� ����"����� �% <

3� ��� !��� �$ ��� � '����� ����� �6������ ���+�

���� ��� �������� ��� �$ < �� �� +������ �� ��� ����� ���

�"( 7� ���� � &�! �� �-������� +��� ������ ��

���" � $�� ��� ��������

��� � �

���

�� �

� � � � =�

��=�����

" � � ���"

� ��

��� � ��

�����

" � �� �

>�

?�=���

" � � ���"

� ��

��� � ��

��� � ��

� >�

?�=���

" � � ���"

� ��

��

��� � �

� ����

� � � � � =�

?�=�����

" � � ���"

� ��

:�� ��'� $��6������� < �� �� �����-����� �! ���

�������� �"�

�" � ����

�� �

� � � � =�

��=�� ���"

��

�� ���"

��

�� � �

� ����

� �

��

���

��� �� �,�� ��� ������ ��������

� �"� � � ���" � �"�� ����� � ����

����

�?C" �0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,��

Page 5: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

� �"� � � � �� � >

>�� ���" "

" "

� ��

&�� �����-������� ����� �� '���� �! ��� ���� �$ ���

������ ��������

�� �"� ��� � �� �

>�

>�� �

����

+���� � �� ��� ,��� ��'���� �� �$ �"( &��� ��� ��� ���

����� �(

����� � ���"�� " ��� ��� ���� � � ������!�� ��� � ����" � �"#���������� �����(

E�+� ��� ���' � �! �" �� 16( 8A9� � �� �� ����� �$ ���

������! �� �� ���� ���

�� � � � ��

�� �� ����

� ��� �� ��� � " �� ���

���=�

M! ������� +�!� $��� ��� ������ �6������� ��� � �� ��

�� ����� �$�

��� � ��

�� � �� �� � " �� ��� ��>�

&�� ���� ����' �� �� ��� $�� ��� �6������ �$ ���'��(

N���' ����� �6�������� ��� �� ������ ��� �� � �� ��N���' 16( 8�=9� ��� �� ��� �� &�� ���� ���' �����

�+ �� ����� �! � ���� �$ �6������� ���� ���' �� !

�� ���������( &���� �� �� �� �����-����� �! � ��2

������� � ������ ����� �����' ��������� �� ! ��2

�+��� ���'�����(

! ������������� �" � ��������� ���������� �������

&�� ����� �+ ���� �� < �� �" ��� ���� �����

$��� ��� ����'����� ���� ��� ( &��� �� ��� ������

+�! �� �� ��������� +��� ������ �4������� ���������

+��� ������� ��K�����( 1����� !� ���� ����� �+

����� �� ���� ! ��� �� �� � ��� �!���� �����' � ,����

������ �$ �������� �� �������( E�+� +� +� ��������

��� ���� �$ �6������ ����������' ��� ����� ��(

&���� � ��������� ����� ��� �������' ��� ��������

����� �� +� �� ������(

&�� ������ �$ �������� 8�� �$ �������9 ��� �����

�! ������������ ( &�� ������ ���+��� �+� �������� 8��

�������9 �� ����� ��'�� ��� ����� �6�� ( 5� �� �����

�! �(

3 ,���� �4����� �����-������� �$ ��� ����� ��

�6������� �� '���� �!�

���� � ��

!�� ���� � ��

!�� � � �

����

� ����

� ���� $�� �

� �� � � � � �� �"

� � �� � " ��@�

��

������ � ����!�

� ������ � ����!�

� �

�!��� ��C�

$�� � � �� � � � � �� ���" � ��� �� � "� ��A�

;���� �� �� ��� ������ <�+��' ��� ��� ������� �� ���!��������� ��� �����! �$ ������ ��� ���� �$ ��'��( 3

���� �� �6������ $�� ��� ������������ �$ � �� �� �2

���� ����' ��� �6������ �$ ���'��( &��� ���� �$

�6������ �� �� ��� ������ +��� � ���� �$ ������2

��� ������( :�'( � ������� ��� +�� � ����� +��� :�'( =

�� � ���� �� ��� ,��� � �������' $��� ��� �$�(

5� ��� ����� ,'��� ��� ��������� �� �� � ��$��

��������� ! �� ������� �������� �� ��������� +��� �

�� � ����� �� ��'�� �� �������( 5� ���� ,'���� ' �� $��

� +��� � � ���"� �� � � � ��"� M! ������� +�!� �� ���

,'���� ����� ������ �� ������� ���� ���� �� ��� ��

�! �� +��� ��� �� ����6���� �� ��� ����� �+(

# $�������� �������

&�� ������� ���� ������ ���� ���� ����� ��� +���

� ����� � ���� � ���( 5�� ��������� ��� L@ ��@ �� � ��( &��� � ���� � ��� �� �6����� +��� �"

����� �$ �������D�������� �� � �������( &�� �" �����

�$ ������ ���� � ������ ��� 0�& ������� +��� �2

�������� @ �� @ �� "�� ��( &�� ������ ��2

�+��� �+� ������ ���� � ������ �� @ ��(

0�0 �"� �&���� �% �� ����(���4�� ����&

&�� ��'�������� �������� �� 16( 8=9 ���

��� � � ��"�������� ��� �� ����� �$�

�>���>

� ��� � " �� �� ��?�

��,���' " � ��� �� ���"� � ������ �� � � ��"

"� �� ��

�� ����� �$

>��">

� �>��� � " �� "� �� ��L�

+���

�0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,�� �?C�

Page 6: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

� � ��>�

�>� ��"�

&�� '����� �� ����� �$ 16( 8�L9 �� �� +������

�� ��"� � � ��� ��"� � � ��� ��"� � � ��� ��"� �� �� ��"� �� ����

+����

�����"� � ������"� � �������"�������"� � �����"� � ������"�������"� � � ������"� � �������"�������"� � � �����"� � ������"��

����

N���' ��� ������! �������� +� ������

�� �� ��� �� � � � "

��

�� ���� � � � �� ��"� ��

� �� ��� ��� ��� � �� ��"� �

��

&�� �� ����� � �� �� � �� �� ������� �� ��� �����

��� ���� +��� �� ���������� $�� ��� ����� �� ��

������

� �� �� � ������

�� �� ��� ���� �� ��=�

5� ��� ��� �$ ��� ������ ����� � �� �� �� ����� �$�

������ � ���

��� � �� ���"���� � �"������� � "� ��>�

5� ��� ��� �$ �� ���! $������ �� �� �� ����� �$�

������ � � ��� � ��� ���

����� � "� ��@�

+��� �� � � � ��"��� �� � � ���� ��������(&�� ��� ������ �� �������� �� ��'� �� ��� ����2

���� � � ��= ��� � ���� �� :�'( > +��� ��� ������ ���2

���� �� � "� �� � � ����� �� ��� "� �� � � "( M���� �� ������

:�'( =( &�� �$� ���� � (

:�'( �( /���� �$ ��� +�� � �����(

�?C� �0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,��

Page 7: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

+��� �� �� ������ ����� ��� ���������( 5� :�'�( @B

A ��� ���� �� ��� � ���� $�� ������ �������� ��"� �� ����������� $�� � � �� � � � � >�

:�� ��� ,��� ���� ��� ������� �� �� ��'�� ��2

��� �� ���� ����� ��� ��� ���� ��( 3����' �� ���

��������� ��� �� ���! $����� �� ���� �4�����

+��� ��� ��� ������ �������� ���� ��� ������

����� ���( ;�+���� ��� ������� �� ��'�� ����� � ��

���! ��'�( &��! �� �� ��� �,��� ���������� �� ���

�!�����(

:�'( @( &�� ��� ������ �� �������� �� ��'� $�� ������

�������� ��"� �� � ���������� $�� � � �(

:�'( C( &�� ��� ������ �� �������� �� ��'� $�� ������

�������� ��"� �� � ���������� $�� � � =(

:�'( >( &�� ��� ������ �� �������� �� ��'� �� ��� �������� � � ��=(

�0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,�� �?C=

Page 8: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

0�0 1�� �������(���4�� ����&

&�� �+�2��������� � ��� ��� 8�9 �� ��������

����' � ,���� � ������ �����( &�� � ���� � ��� �� ��2

������ +��� �L � ������ �� ��� ��'������ �������

�� ��� � ����� �� ��� �����( &�� ' ��� �4�������

�!���� �������� �� ��� ������� �������� �� ���

��������� ������ �� �� �� ����' ��� � ������ �����

���� ���� 3 ���� I�J( &�� � ����� ������ �� �����

�������� +��� ��� ������� �������� ��� �,�� ��

3 ����( &�� :1 �� ��� ������� ��� ���� �� � ����2

���! �������( &�� , �� ����� �! ��� :1 ��������'

���'��� �� ��� ��������� �$ � ������ ����� ���

������� �� 3 ����( &��� ��� �������� ��� ' ���

:�'( A( &�� ��� ������ �� �������� �� ��'� $�� ������

�������� ��"� �� � ���������� $�� � � >(

:�'( L( &�� �������� �� ��'� �� ��� �������� � � ��= �� ��� �(

:�'( ?( &�� ��� ������ �� ��� �������� � � ��= �� ��� �(

:�'( �"( &�� ��� ������ �� ��� �������� � � ��= �� ��� �(

:�'( ��( &�� �������� �� ��'� �� ��� �������� � � ��= �� ���

�(

�?C> �0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,��

Page 9: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

������� �� �� ��� ��� ' ��� �4������� �!����( ;����

������ ���� ������� '��� ��$��������� ����� ��� ��2

����( 1�� � ������ � �$ ��� ����� �������� �����

��$��������� �� '���� ����������� ����� �� ��� �����2

� ���� �������( 5� ���� +�!� ��� ��� ������ �� ��

����� � �! ��� !��' ������ � �� ��'� ����� �� ��� ��2

���� ���� �������( 1�� ��������' � �$ ��� �����

���������� �� ! +��� ���'������' � �� +��� �����

���� � ������ �!���� ����+��� ���� �� �� � � �� ���2

�� ���+����(

7� ���� ��� � � ����� �� ��� ���� ���� ���� ��

��� ���������( &�� ��� ������� �� � � ��= 8���� �2

������ �� ������9 $�� ��� $��� ���� �� ���� �� ��

������ $������ ���� ��� ������ �� :�'�( ?B��( 5�

���� ���� ������ ��� ���� ��� '������� ����' �����2

������ ����������� �$ ������ $����( /�� �� ����

����� �� '�������� ���� �������� ���� �� ��� ��'����'

�$ ��� ���� ������ ���� ���� � ����� ����� �� ��� ����

�$ ��� ���� �����( &�� �� ��'�� ��� � ���� �� :�'�( ��B

�@(

&�� �� $������ ����� ���� ��� � ������ � �$

��� ����� ����� ��� ����� $��� ��� ������ �$ �������

� � ���� ��� ����� ��' �� ��'� �� ��� ��� ��� �� ���

�� ��'� ����� �� ��� ������ ���� �������( 5� ���� ���

����� �� �� ��������� ���+��� ��� � � �$ ��� �����(

&��� �� � �� ���! $������ ������ ��� $����� �� ��'�

�� ����������� �� ��� ���� ��������� �$ ��� ��� ��2

����( 5� ��� ������ ����� ���� ��� � ������ � �$

:�'( �=( &�� �������� �� ��'� �� ��� �������� � � ��= �� ���

=(

:�'( ��( &�� ��� ������ �� ��� �������� � � ��= �� ��� =(:�'( �>( &�� ��� ������ �� ��� �������� � � ��= �� ��� >(

:�'( �@( &�� �������� �� ��'� �� ��� �������� � � ��= �� ���

>(

�0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,�� �?C@

Page 10: Distributed control based on distributed electronic circuits: application to vibration control

��� ����� ����� ��� ����� $��� � ������� ������� ��2

$��������� $��� ���'������' � �� � � ���� ��� ��2

��� ��' �� ��'� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ��'� ����� �� ���

������ ���� �������(

&�� ����� �� �" �� ��� �� ���! $����� �� ��

����� ��� ���� ��! ���� $�� ��� ,��� ���( &�� ����2

�� ����� �� �" ������� ��� ���� ��! ���� $�� ���

$��� ����( &�� ����� �� ��'�� ��6���� $�� ����� ��'

���� �B> ����' ��� �� ���! $����� ��� ��� ����

��������� ���� ����� �������! $�� ��� ����� �� �"(

;�+���� �� �� ������ ���� �� ������! �� ��� ���������

���������� ����' ��� ����� �� �"� ��� ��� �� �� ��'�

�������� �� ��� ,��� ��� �� ��'��� ���� ���� �������

����' ��� �� ���! $�����( &��� ����� ���� $��� ���

�� �$ �������� �$ ��� ��� �� �������� �����-�������

��� �� ��� ���������(

����������

I�J 3 ����� �����DD�����(� $��(��(�(!�D������D�� ����(���(

I�J *���� 1� ������� �( ���- ���� �� � � �6�� ���� ���

�� ������ � �������� ����6��� �� ������ �� ������6��� ��2

��������( *� 3� /� 0���� /����� 55 � �LL?#�(=�C�AL=B?(

�?CC �0 5��� � &0 6 ������&������� ��&�$�&�� +� 7�!!�8 �, 9:�,��