2. DISTRIBUSI RATA RATA
Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran terhingga N
dengan parameter rata rata dan simpangan baku . Dari populasi ini
diambil sampel acak berukuran n. jika sampling dilakukan tanpa
pengembalian, kita tahu semuanya ada buah sampel yang berlainan.
Untuk semua sampel yang didapat, masing masing dihitung rata rata
nya. Dengan demikian diperoleh buah rata rata. Anggap semua rata
rata ini sebagai data baru, jadi didapat kumpulan data yang terdiri
atas rata rata dari sampel sampel. Dari kumpulan ini kita dapat
menghitung rata rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata rata
daripada rata rata, diberi simbul ( baca : mu indeks eks garis ),
dan simpangan . baku dari pada rata rata, diberi simbul ( baca :
sigma indeks eks garis ).
Contoh :
Diberikan sebuah populasi dengan N = 10 yang data nya : 98, 99,
97, 98, 99, 98, 97,97,98, 99 Jika dihitung, populasi ini mempunyai
= 98 dan = 0,78. Diambil sampel berukuran n = 2. Semuanya ada = 45
buah sampel. Untuk setiap sampel kita hitung rata-ratanya. Data
dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam data
berikut ini.
Jumlah ke 45 buah rata rata = 4410. Maka rata ratanya untuk ke
45 rata rata ini = = 98
Jadi
Simpangan baku ke 45 rata rata diatas juga dapat dihitung.
Besarnya adalah :
Tetapi rata rata populasi = 98 dan simpangan baku selanjutnya
kita hitung :
Ternyata bahwa berlaku :
X (1)
=
Jika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka berlaku
hubungan :
X (2)
Untuk pengunaan, rumus X(2) cukup baik apabila (n/N) 5%
Dari uraian diatas didapat :
Jika sampel acak berukuran n diambil dari sebuah populasi
berukuran N dengan rata rata dan simpangan baku , maka distribusi
rata rata sampel mempunyai rata rata dan simpangan baku seperti
dalam rumus X(1) jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus X(2) jika
(n/N) 5%.
dinamakan kekeliruang standar rata rata atau kekeliruan baku
rata rata atau pula galat baku rata rata. Ini merupakan ukuran
variasi rata rata sampel sekitar rata rata populasi .
, mengukur besarnya perbedaan rata rata yang diharapkan dari
sampel ke sampel.
Dari daftar X(1) kita dapat menghitung frekuensi rata rata dan
juga peluangnya. Untuk rata rata 97 misalnya, frekuensinya f = 3
sedangkan peluangnya p = 3/45 = 1/15. Frekuensi dan peluang untuk
rata rata lainnya dapat dihitung. Hasilnya dapat dilihat dalam
daftar X(2).
Kita lihat bahwa rata rata untuk semua sampel membentuk sebuah
distribusi peluang. Untuk penggunaannya, kita perlu mengetahui
bentuk atau model distribusi tersebut. Ternyata bahwa untuk ini
berlaku sebuah dalil yang dinamakan dalil limit pusat seperti
tertera dibawah ini :
Jika sebuah populasi mempunyai rata rata dan simpangan baku yang
besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup besar,
distribusi rata rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata
rata a = dan simpangan baku
Perhatikan bahwa dalil dimuka berlaku untuk sebarang bentuk atau
model populasi asalkan simpangan bakunya terhingga besarnya. Jadi,
bagaimanapun model poipulasi yang disampel, asal saja variasinya
terhingga, maka rata rata sampel akan mendekati distribusi normal.
Pendekatan kepada normal ini makin baik jika ukuran sampel n makin
besar. Biasanya, untuk n30 pendekatan ini sudah mulai berlaku.
Apabila populasi yang disampel sudah berdistribusi normal, maka
rata rata sampel juga berdistribusi normal meskipun ukuran sampel n
< 30.
Untuk populasi model lainnya dan sampel berukuran kecil ( n <
30 ) akan diuraikan kemudian.
Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata rata perlu
distandarkan agar daftar distribusi normal baku dapat digunakan.
Ini perlu untuk perhitungan perhitungan. Untuk ini digunakan
transformasi
X(3) z =
Contoh :
tinggi badan mahasiswa rata rata mencapai 165 cm dan simpangan
baku 8,4 cm. telah diambil sebuah sampel acak terdiri atas 45
mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata rata ke 45 mahasiswa
tersebut :
a) antara 160cm dan 168cm
b) paling sedikit 166cm
jawab :
jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap
cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n = 45 tergolong
sampai besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata rata
untuk tinggi mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan
:
rata rata
simpangan baku cm = 1,252 cm
a) Dari rumus X(3) dengan dan didapat :
dan
Penggunaan daftar distribusi normal baku memberika luas kurva =
0,5 + 0,4918 = 0,9918
Peluang rata rata tinggi ke 45 mahasiswa antara 160cm dan 168cm
adalah 0,9918
b) Rata rata tinggi pa;ing sedikit 166 cm memberikan angka z
paling sedikit
Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5 0,2881 = 0,2119
Peluang yang dicari = 0,2119
Apabila dari populasi diketahui varians nya dan perbedaan antara
rata rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah
harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan.
X(4).
Dari rumus X(4) ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan
dengan distribusi rata rata, dapat ditentukan.
Contoh :
Untuk contoh diatas, misalkan harga harga dari sampel yang satu
dengan sampel lainnya diharapkan tidak mau lebih dari 1cm. jika
populasi cukup besar, maka :
yang menghasilkan atau n 70,58.
Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71
mahasiswa.