Distribuição amostral da média; Teorema do Limite Central ... · Teorema do Limite Central (TLC) Quando o tamanho da amostra (n) aumenta, independente da distribuição da população,

Distribuição amostral da média;

Teorema do Limite Central; estimação

por ponto e intervalo de confiança

Prof. Marcos Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais

Exercício para entrega em 25/02 – grupos até 3 pessoas

Uma máquina automática de encher latas de sopa é ajustada para que o peso líquido do produto tenha uma média de 450g e desvio padrão de 15g, seguindo uma distribuição normal. Qual é a probabilidade de encontrarmos uma lata com peso líquido menor que 425g?

2 Prof. Marcos Vinicius Pó 32 Campbell's Soup Cans 1962 - Andy Warhol

Distribuição amostral

• É altamente improvável que duas amostras de mesmo tamanho e da mesma população possuam estatísticas iguais.

• Amostragens são probabilísticas, portanto, estatísticas baseadas nas amostragens também serão.

• Se as características da amostragem são conhecidas podemos estimar a probabilidade de cada resultado.

• Podemos também estimar a probabilidade de que uma estatística amostral esteja próxima do parâmetro populacional.

4

5

Amostras variadas, ainda que da

mesma população, geram estatísticas

diferentes.

• As amostras são aleatórias (randômicas), ou seja, todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de serem sorteados.

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Pressuposto básico da amostragem

• Seja X uma variável aleatória com média μ e variância σ2, se fizermos seguidas Amostras Aleatórias Simples (AAS) com tamanho n, verificaremos que as suas médias seguem uma distribuição normal com os seguintes parâmetros.

• Ou seja, quanto maior a amostra, menor o desvio padrão da distribuição amostral das médias.

1. O valor esperado (esperança) da média das médias amostrais será a média da população.

2. A variância das médias amostrais será definida por:

7

Distribuição amostral da média

= X)E(

n =

n =

XX

2

2

Teorema do Limite Central (TLC)

Quando o tamanho da amostra (n) aumenta, independente da distribuição da população, a distribuição amostral da média da amostra (x) converge para uma distribuição normal.

8

Histogramas de distribuição da

média para amostras de algumas populações

Por que o TLC é importante para nós?

• Se nosso estimador for a média não é necessário conhecer a distribuição da população, pois a distribuição probabilística das médias amostrais tenderá à uma normal.

• A média das distribuições amostrais será igual à da população (μ) e a sua variância será dada por σ2/n.

• Com base nisso conseguimos fazer inferências a respeito da amostra e definir estimativas e critérios de aceitação.

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Exemplo: uso da curva normal e do TLC

Um aluno empolgado por MQCS de ressaca decide fazer um levantamento dos valores* em posse dos frequentadores do saudoso Culto. Ele verificou que eles seguiam uma distribuição normal, com média R$100 e desvio-padrão de R$20.

a. Qual a P(90<X<110)?

b. Se X for a média de uma amostra de 16 elementos tirados dessa população, calcule P(90<X<110)?

10

* Valores incluem grana, saldo de bilhete único, créditos do RU, bilhete do trem, etc.

Estimação de parâmetros

• Problemas: ► Estimar parâmetros de uma população a partir de amostras.

► Testar hipótese sobre os parâmetros.

• Estimador: estatística usada para aferir parâmetro da população. ► Genericamente: T estimador de

• Há vários estimadores possíveis. ► Ex. para média populacional :

• Erro entre a estimativa e o alvo: ► erro absoluto: |T-|

► erro quadrático: (T-)²

x

x

x

x

x

x

erro

x

11

Características de um bom estimador

• Precisão: (proximidade sistemática das observações entre si)

• Acurácia: (proximidade do valor alvo)

• Ausência de viés (desvio sistemático das observações em relação ao alvo)

(a) (b) (c)

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Estimador de ponto

• Fornece um único número como estimativa.

• A preocupação é minimizar o erro para que nossa estimativa seja o mais próxima possível do parâmetro da população.

• Pelo TLC sabemos que nossos erros tem uma distribuição normal.

2 2

2

ˆ ˆˆE

13

14

Pequena questão: como saber se as estimativas das

nossas amostras estão perto do alvo considerando

que não sabemos os parâmetros da população?

Prof. Marcos Vinicius Pó

Estimação de intervalos

• Quando determinamos uma estimativa T de uma amostra, não temos nenhuma indicação de sua proximidade em relação ao parâmetro θ da população.

• A estimação pontual, a estimação por intervalo nos permite julgar a magnitude do erro que estamos cometendo. Sua determinação é baseada na distribuição amostral do estimador pontual.

• No nosso caso, na distribuição amostral das médias ou das proporções.

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Intervalo de confiança (IC)

• IC = Probabilidade de que um intervalo estimado de valores contenha o parâmetro populacional que queremos determinar.

• Medido com coeficiente (ou nível) de confiança (γ), cujos valores mais comuns são 95% e 99%.

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Fo

nte

: Bu

ssab

; Mo

rett

in, 2

00

2:

30

4

17 Prof. Marcos Vinicius Pó

https://g1.globo.com/politica/eleicoes/2018/noticia/2018/09/14/pesquisa-datafolha-bolsonaro-26-ciro-13-haddad-13-alckmin-9-marina-8.ghtml

Ilustrativamente

18

Fon

te:

Bu

ssab

; Mo

rett

in, 2

002:

305

95,096,196,1 = X X xxP

Metaforicamente

19

96,1x

96,1x

96,1x

96,1x

• Aumentamos o “calibre” das estimativas e conhecemos a chance de ter acertado o alvo.

• Mas não teremos certeza absoluta da estimativa que fizemos ter acertado!

Exemplos

• Calcule o intervalo de confiança para a média de altura de uma população normal em cada uma das amostras abaixo:

20

x n σ γ

170 cm 25 15 cm 95%

170 cm 25 15 cm 99%

170 cm 225 15 cm 99%

Distribuição amostral de uma proporção

• Consideramos X uma variável aleatória onde:

1, se portador da característica

0, se não for portador da característica

• Proporção é a freqüência de ocorrência da característica, podendo ser descrita como uma porcentagem.

► Ex.: doador de órgãos, profissão, preferência futebolística, intenção de voto em tal pessoa...

• É uma variável categórica binomial.

22

X

Proporção

• Proporção populacional é a frequência relativa com que se observa uma categoria na população.

X = total de vezes que a categoria ocorre na população

N = tamanho da população

• Proporção amostral é a frequência relativa com que a categoria se observa em uma amostra.

x = total de vezes que a categoria ocorre na amostra

n = tamanho da amostra

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N

Xp

n

xp ˆ

Distribuição amostral de uma proporção

• Podemos aproximar a distribuição binomial para uma normal, onde a média e a variância são definidos como:

μ= E(X) = p

σ2 = Var(X) = p(1-p)

• A distribuição amostral da proporção é:

• O IC da proporção é similar ao de variáveis contínuas.

n

pppNp

)1(;~ˆ

24

n

pppp

n

ppp zz

)1(ˆ

)1(ˆ

Exemplo: binomial como normal

• Uma pesquisa de boca-de-urna com 400 eleitores aleatoriamente selecionados mostra que um candidato tem 51% das preferências dos votos válidos. Com base nisso, calcule:

► Um intervalo de confiança de 95% para a votação desse candidato.

► A probabilidade de que o candidato não vença a eleição, ficando com menos de 50% dos votos.

25

Intervalo de confiança: limites

nZxIC

x

;

n

ppZpIC

p

)1(ˆ

;ˆ

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Valores absolutos

Proporções

Desvio-padrão da distribuição

amostral

Índice Z do coeficiente de

confiança γ

E se a variância da população não for conhecida?

• Para proporções: considerando que σ = p(1-p), se não soubermos o valor de p, há duas alternativas:

► Buscar uma estimativa de p (outros estudos, pesquisa piloto...).

► Usar uma estimativa conservadora com a máxima variância, considerando p = 0,5 (50%), portanto p(1-p) = 0,25 (valor máximo).

► Amostras pequenas: usar a distribuição t de Student para os limites de γ.

• Para medidas absolutas:

► Teremos que usar o s da amostra para determinar o intervalo de confiança. Podemos ter duas situações:

o Amostras grandes: pode-se considerar que ela aproxima-se da normal.

o Amostras pequenas: usar a distribuição t de Student para os limites de γ.

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O que é uma amostra pequena?

• Costuma-se tomar arbitrariamente algo entre 30 e 60 como referência para definir se uma amostra é grande ou pequena.

• O mais adequado é analisar o problema e a variância amostral antes de decidir.

► Com variâncias grandes é necessária uma amostra maior para termos mais confiança na estimativa.

► Já para populações mais uniformes (variância pequena), podemos ter mais confiança na estimativa com amostras pequenas.

28 Prof. Marcos Vinicius Pó

Distribuição t de Student

• Desenvolvida por Willian S. Gosset em 1908, que publicou sob o pseudônimo Student.

• Ele desenvolveu essa distribuição enquanto trabalhava nas cervejarias Guinness ao verificar que pequenas amostras não se comportavam como previsto pela distribuição normal.

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Distribuição t de Student

A distribuição t é semelhante à normal, mas com caudas mais largas. O parâmetro que a define são os graus de liberdade (ν).

gl = ν = n-1.

Fon

te:

htt

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rg/w

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File

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pd

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g

30

31

Exemplo: distribuição t

O número de horas de sono de uma amostra de 25 estudantes universitários* tem uma distribuição normal e é de 7 horas, com desvio-padrão de 2 horas.

(a). Determine um intervalo de confiança de 95% para o número médio de horas de sono dos estudantes.

(b). Calcule novamente o IC considerando que a amostra fosse de apenas 4 estudantes.

* Se fossem da UFABC não teriam tempo para essas coisas.

32 Prof. Marcos Vinicius Pó

Atividade para entrega em 07/03: grupos até 3 pessoas

No teste-piloto de um novo procedimento de compilação de apelações contra multas de trânsito foi feita uma amostra aleatória com 20 funcionários. A taxa média de compilação dessa amostra foi de 80 multas/hora, com desvio-padrão de 10 multas/hora e distribuição normal.

(a) Forneça o intervalo de confiança de 95% e 99% para a média de compilação desse novo procedimento.

(b) Considerando que o procedimento antigo possui uma média de 74 multas/hora e que trocá-lo implica em custos altos (treinamento, equipamento, ...), você aconselharia a substituição levando em conta os dois ICs calculados? Justifique sua resposta.

33 Prof. Marcos Vinicius Pó

Amostras, amostragem e tamanho

da amostra

Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais

Conceitos básicos

• Amostra: subconjunto de uma população, por meio do qual se estimam as propriedades e características dessa população.

• Amostra representativa: toda amostra que permite fazer inferências sobre a população.

• Amostragem: processo ou ato de construir uma amostra.

• Característica de interesse: propriedade dos elementos da população que se pretende conhecer.

• Plano amostral: protocolo que descreve os procedimentos da amostragem.

• População: conjunto de elementos cujos parâmetros se investigam por meio de amostras.

• População amostrada: população da qual foi retirada a amostra.

• Unidade elementar: entidade portadora das informações que se pretende coletar.

• Unidade de resposta: aquele que fornece as informações.

• Subpopulação: estrato da população que partilha alguma característica comum.

35 Fo

nte

: Bo

lfar

ine;

Bu

ssab

, 20

05

Tópicos básicos para um levantamento amostral

1. Identificação dos objetivos e populações ► Definir os objetivos gerais e

específicos.

► Especificar os parâmetros de interesse.

► Definir a população e as subpopulações de interesse (estratos).

2. Planejamento da coleta das informações ► Escolher o tipo de investigação

e o modo de coleta.

► Operacionalizar os conceitos e elaborar o instrumento de mensuração/coleta dos dados.

3. Planejamento e seleção da amostra

► Definir o plano amostral.

► Fixar o tamanho da amostra.

► Escolher os melhores estimadores e determinar seus erros amostrais.

4. Coleta dos dados

► Elaborar os procedimentos e treinar os pesquisadores.

► Controlar a qualidade no campo.

36

Fon

te: B

olf

arin

e; B

uss

ab, 2

00

5

Operacionalizando um levantamento amostral

• Uma boa amostragem permite a generalização de resultados dentro de limites aceitáveis de dúvidas e minimiza os custos de execução da pesquisa.

• Etapas: ► Constructo das variáveis

o Formulação de questões, definições de métricas e sua operacionalização.

► Definição dos objetivos do levantamento o Deve-se procurar focar em um conjunto pequeno de questões

chaves. Cuidado com o “já que estamos pesquisando, por não perguntamos também...”.

► Levantamento da informação o Garantir que os respondentes entendam o que está sendo

perguntado.

o Garantir que os aplicadores de questionários tenham coerência nos questionamentos e captação da informação.

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Possíveis problemas na amostragem

• Inadequação.

► A amostra não reflete adequadamente a população alvo da pesquisa.

► Estão sendo feitas comparações inadequadas.

• Viés: todos os indivíduos da população tem chances iguais de participar ou alguns podem ser mais privilegiados? Como isso afeta os resultados?

• Estratificação inadequada: os grupos pesquisados na amostra correspondem à sua proporção na população? Há grupos superestimados ou subestimados?

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Tipos de amostragem

• Aleatória Simples (AAS)

► Com reposição

► Sem reposição

• Estratificada

• Por cotas

• Conglomerado

• Sistemática

• Por julgamento

• Por conveniência

• Oportunística

Essas amostragens podem ser combinadas em diferentes estágios do processo amostral, de acordo com os interesses e possibilidades do pesquisador.

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Avalie criticamente os seguintes planos amostrais:

a. Para investigar a proporção dos estudantes favoráveis à mudança de início das aulas das 8h para as 7h30min, decidiu-se entrevistar os 50 primeiros que chegassem em determinado dia.

b.Mesmo procedimento, mas para verificar a altura média dos estudantes.

c. Com o objetivo de estimar o orçamento de esportes enviam-se questionários para prefeituras aleatoriamente selecionadas. A amostra é formada pelas que respondem.

d.Para verificar se um brinde aumenta as vendas, oferta-se o produto com o brinde em quatro lojas na zona norte e sem em quatro lojas da zona sul de uma cidade. No final do período comparam-se as vendas nas duas regiões.

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• Objetivos

► Melhoria da precisão das estimativas.

► Produzir estimativas para a população e para as subpopulações.

► Questões administrativas.

• Por que ela é interessante?

► Uma população muito heterogênea necessita de amostras grandes para maior precisão. Dividindo a população em estratos pode-se obter subpopulações mais homogêneas.

► Além disso, passa s ser possível comparar os parâmetros de diferentes subpopulações.

Montagem de uma amostra estratificada:

► Divisão da população em estratos (subpopulações) bem definidas, segundo alguma variável auxiliar.

► De cada estrato retira-se uma amostra de acordo com regras específicas.

► Monta-se para toda a população um estimador combinando os estimadores de cada estrato.

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Amostragem estratificada

Vantagens e limites da amostragem estratificada

• Vantagem: pode-se obter estimativas com maior precisão com o mesmo tamanho amostral.

A amostragem estratificada elimina a segunda fonte de variação

• Alguns métodos de alocação de amostras pelos estratos:

► Proporcional: amostra é distribuída proporcionalmente aos estratos.

► Uniforme: atribui-se o mesmo tamanho de amostra para cada estrato.

► Ótima de Neyman: o n de cada estrato é definido de acordo com a sua variância visando minimizar o erro e a amostra.

42

Variância

total da

população

Variância

nos

estratos

Variância

entre os

estratos

Amostragem por cotas

• Envolve uma escolha não aleatória de participantes com o objetivo garantir a representatividade de determinadas categorias de interesse e/ou de ponderar os parâmetros da amostra total.

• As cotas são categorias selecionadas na amostragem para garantir que suas proporções sejam iguais às da população.

► É necessário ter informações prévias sobre as proporções de cada categoria e avaliar.

► Exemplos: faixa etária, faixa de renda, escolaridade, gênero, etc.

• É muito utilizada em pesquisas de opinião.

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Amostra: retomando o exercício do Culto

Um aluno empolgado por MQCS de ressaca decide fazer um levantamento dos valores* em posse dos frequentadores do saudoso Culto. Ele verificou que eles seguiam uma distribuição normal, com média R$100 e desvio-padrão de R$20.

a. Qual a P(90<X<110)?

b. Se X for a média de uma amostra de 16 elementos tirados dessa população, calcule P(90<X<110)?

c. Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90<X<110) = 0,95?

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* Valores incluem grana, saldo de bilhete único, créditos do RU, bilhete do trem, etc.

Determinando o tamanho da amostra

• O tamanho de uma amostra está relacionado com os erros e a confiabilidade de nossas estimações. Suponha que estejamos tentando a estimar a média μ de uma população usando a média x de uma amostra de tamanho n.

• Sabemos que:

• Com base na distribuição amostral de x podemos estimar a probabilidade de cometer erros de determinadas magnitudes na estimação de μ, como, por exemplo, 5% (IC=95%). Ou seja:

Onde:

e = Erro amostral máximo que podemos suportar

γ = Coeficiente de confiança desejado, ou seja, intervalo no qual estaríamos confiantes de que o valor real do parâmetro está incluído.

nNX - e =

2

,0~

45

eXP

Calculando o tamanho de uma amostra

Erro amostral da média:

O erro é determinado por:

Deduzimos que o tamanho de uma amostra pode ser dado pela seguinte expressão:

e

ze

zn

2

2

22

x - e =

nze =

46

Onde:

Zγ = Índice de confiança (95%, 99%...)

σ=desvio-padrão da população

e = erro amostral máximo

Amostra para proporção

No caso de proporção, onde a variância é p(1-p), temos:

Se não conhecermos p podemos usar um valor conservador, ou seja, o caso que proporciona o máximo erro amostral. Isso ocorre quando a variância assume seu valor máximo, ou seja, quando:

Erro amostral máximo: p = 50% (σ2 = 0,25 )

e

ppz n

2

21

47

Tamanho da amostra para populações finitas

Quando a população for pequena (finita) e a amostragem for sem reposição é necessário ajustar o cálculo da amostra.

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N z

en=

1

1

22

2

Fon

te: B

olf

arin

e; B

uss

ab, 2

00

5

N: tamanho da população

Como estimar o desvio-padrão?

• Para determinar o tamanho da amostra é necessária informação prévia do valor de σ. Mas como saber isso?

► Usar estudos anteriores ou relacionados ao tema.

► Pesquisa piloto para determinar um desvio-padrão (s) de referência.

► Chute educado: estimar um intervalo que englobe cerca de 95% das observações da população, o que corresponde, aproximadamente, à 4 desvios-padrão.

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Exemplos: tamanho de amostra

1. Para uma pesquisa visando estimar proporções de uma população, qual seria o tamanho das amostras para, com confiança de 95%, termos um erro máximo de 3% e de 1%?

2. Uma secretaria de obras deseja saber a duração média de lixeiras para serem colocadas em praças, com confiança de 95%. O gênio da variância indicou que o desvio padrão é 150 dias. a. Quantas amostras são necessárias para um erro máximo de 30 dias?

b. Foram testadas 50 amostras. Qual o erro máximo nesse caso, mantendo-se o índice de confiança?

3. A coordenação de um curso planeja uma pesquisa para saber, com 95% de confiança e erro menor que 3%, a proporção de alunos que se utilizam de seus programas de apoio ao estudante. a. Sabendo-se que o curso tem 300 estudantes, qual deve ser o tamanho

da amostra?

b. Se a população fosse de 10 mil alunos, qual deveria ser tamanho da amostra?

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Referências úteis

• Bolfarine, Heleno; Bussab, Wilton O. Elementos de amostragem. São Paulo: Blücher, 2005

• BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 6ª edição. Editora Saraiva, 2010;

• Neder, Henrique Dantas. Amostragem em pesquisas socioeconômicas. Editora Alínea, 2008.

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