DISTRIBUI˙ES MULTIVARIADAS Rafael Carneiro da Costa UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR` - UFC FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRA˙ˆO, ATU`RIA E CONTABILIDADE DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA - DEA Novembro 2013 Rafael Costa (CAEN) DISTRIBUI˙ES MULTIVARIADAS 11/13 1 / 22
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DISTRIBUIÇÕES MULTIVARIADAS
Rafael Carneiro da Costa
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFCFACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO, ATUÁRIA E CONTABILIDADE
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA - DEA
Novembro 2013
Rafael Costa (CAEN) DISTRIBUIÇÕES MULTIVARIADAS 11/13 1 / 22
INTRODUÇÃO
Em muitos casos, o resultado de um experimento pode sercaracterizado por mais de uma v.a.
ExampleConsidere as seguintes variáveis:X : renda;Y : gastos totais da família; eZ : tamanho da família.Se o experimento em análise for a compra de um novo carro, é fácilperceber que o possível resultado dependerá destas 3 variáveis: (X ,Y ,Z ).
Suas distribuições devem ser analisadas portanto conjuntamente.
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INTRODUÇÃO
Em muitos casos, o resultado de um experimento pode sercaracterizado por mais de uma v.a.
ExampleConsidere as seguintes variáveis:X : renda;Y : gastos totais da família; eZ : tamanho da família.Se o experimento em análise for a compra de um novo carro, é fácilperceber que o possível resultado dependerá destas 3 variáveis: (X ,Y ,Z ).
Suas distribuições devem ser analisadas portanto conjuntamente.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (1 [Função de distribuição conjunta])Sejam X e Y duas variavéis aleatórias. Então a funçãoFXY (x , y) = P(X � x e Y � y) é chamada a função de distribuiçãoconjunta.
observação: Como a função de distribuição é geralmenterepresentada por F (.) e a função densidade por f (.), o subscrito XY éusado para identi�car o fato que as v.a.�s em questão são X e Yconjuntamente.
A função distribuição conjunta tem as seguintes propriedades:
1 FXY (x ,∞) e FXY (∞, y) são funções de distribuição univariada, comofunções de x e y , respectivamente.
2 FXY (�∞, y) = FXY (x ,�∞) = 0.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (1 [Função de distribuição conjunta])Sejam X e Y duas variavéis aleatórias. Então a funçãoFXY (x , y) = P(X � x e Y � y) é chamada a função de distribuiçãoconjunta.
observação: Como a função de distribuição é geralmenterepresentada por F (.) e a função densidade por f (.), o subscrito XY éusado para identi�car o fato que as v.a.�s em questão são X e Yconjuntamente.
A função distribuição conjunta tem as seguintes propriedades:
1 FXY (x ,∞) e FXY (∞, y) são funções de distribuição univariada, comofunções de x e y , respectivamente.
2 FXY (�∞, y) = FXY (x ,�∞) = 0.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (1 [Função de distribuição conjunta])Sejam X e Y duas variavéis aleatórias. Então a funçãoFXY (x , y) = P(X � x e Y � y) é chamada a função de distribuiçãoconjunta.
observação: Como a função de distribuição é geralmenterepresentada por F (.) e a função densidade por f (.), o subscrito XY éusado para identi�car o fato que as v.a.�s em questão são X e Yconjuntamente.
A função distribuição conjunta tem as seguintes propriedades:
1 FXY (x ,∞) e FXY (∞, y) são funções de distribuição univariada, comofunções de x e y , respectivamente.
2 FXY (�∞, y) = FXY (x ,�∞) = 0.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (1 [Função de distribuição conjunta])Sejam X e Y duas variavéis aleatórias. Então a funçãoFXY (x , y) = P(X � x e Y � y) é chamada a função de distribuiçãoconjunta.
observação: Como a função de distribuição é geralmenterepresentada por F (.) e a função densidade por f (.), o subscrito XY éusado para identi�car o fato que as v.a.�s em questão são X e Yconjuntamente.
A função distribuição conjunta tem as seguintes propriedades:
1 FXY (x ,∞) e FXY (∞, y) são funções de distribuição univariada, comofunções de x e y , respectivamente.
2 FXY (�∞, y) = FXY (x ,�∞) = 0.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (2 [Função de probabilidade ou densidade conjunta])
Função de Probabilidade Discreta: fXY (x , y) = P(X = x ,Y = y)
observação: Note que para a função densidade conjunta existir nocaso contínuo, FXY (x , y) deve ter derivadas parciais cruzadascontínuas.
A função densidade bivariada satisfaz as condições:
fXY (x , y) � 0 eR x�∞
R y�∞dF (x , y) = 1
onde dF (x , y) é a análoga bivariada de dF (x).
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
ExampleUm par de dados é lançado. Seja X o número de vezes em que o resultadoque sai é "3" e Y o número de vezes que o resultado que sai é "5".Deseja-se aqui derivar a probabilidade conjunta de X e Y . Note que Sconsiste de 36 pontos (62), cada um com probabilidade 1/36; e tambémque X e Y podem tomar apenas os valores 0,1 ou 2. O evento conjuntoocorre quando os resultados inidividuais são ou (3,5) ou (5,3). PortantoP(X=1,Y=1)=2/36. Ao similarmente enumerar as possibilidades em cadacaso, pode-se derivar as outras probabilidades conjuntas, conforme atabela a seguir:
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Note que P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y =1) + P(X = 0,Y = 2) = 25/36.Perceba que isto pode ser generalizado para a obtenção da funçãodensidade individual de X.
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Note que P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y =1) + P(X = 0,Y = 2) = 25/36.Perceba que isto pode ser generalizado para a obtenção da funçãodensidade individual de X.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
Então:
fX (x) = P(X = x) = P(X = x ,Y = 0) + P(X = x ,Y = 1)
+P(X = x ,Y = 2)
do fato que o evento X = x pode ser particionado em 3 eventosdisjuntos.
Desta forma, pode-se obter fX (x) e fY (y), que são chamadasdistribuições marginais.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
Então:
fX (x) = P(X = x) = P(X = x ,Y = 0) + P(X = x ,Y = 1)
+P(X = x ,Y = 2)
do fato que o evento X = x pode ser particionado em 3 eventosdisjuntos.
Desta forma, pode-se obter fX (x) e fY (y), que são chamadasdistribuições marginais.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (3 [densidade marginal])
Se X e Y são v.a.�s discretas, então fX (x) = ∑y fXY (x , y) é adistribuição marginal de X e fY (y) = ∑x fXY (x , y) é a distribuiçãomarginal de Y. No caso contínuo, fX (x) =
RY fXY (x , y)dy é a densida
de marginal de X e fY (y) =RX fXY (x , y)dx é a densidade marginal de
Y.
Example (Continuação)Suponha que X = 1 já ocorreu. Pode-se então perguntar: "Qual é aprobabilidade que Y = 0 dado que X = 1?". Tem-se então
P(Y = 0jX = 1) = P(Y = 0,X = 1)P(X = 1)
=836� 1036= 0, 8
Ao proceder de maneira similar para todos os casos, obtém-se adistribuição condicional de Y dado X.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
De�nition (4 [densidade condicional])A densidade condicional de Y dado X = x é de�nida comofY jX (x , y) =
fXY (x ,y )fX (x )
, onde fX (x) 6= 0. A densidade condicional de Xdado Y = y é de�nida como fX jY (x , y) =
fXY (x ,y )fY (y )
, onde fY (y) 6= 0. Estade�nição vale para v.a.�s contínuas e discretas.
De�nition (5 [independência estatística])As v.a.�s X e Y são estatisticamente independentes se e somente sefX jY (x , y) = fX (x)8 valores de X e Y onde fXY (x , y) é de�nido.Equivalentemente, fY jX (x , y) = fY (y) e fXY (x , y) = fX (x).fY (y).
Observação: Note que indepedência signi�ca que fXY (x , y) éseparável em x e y .
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
Theorem (1)
As v.a.�s X e Y com função densidade conjunta fXY (x , y) serãoestatisticamente independentes se e somente se fXY (x , y) pode ser escritocomo um produto de duas funções não-negativas, uma em X somente eoutra em Y somente.
Proof.[prova da ida] Independência implica que fXY (x , y) = fX (x).fY (y)[de�nição 5] e por isso a condição requerida é satisfeita.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
Proof.[prova da volta] Suponha que fXY (x , y) = g(x).h(y). Então, para v.a.�scontínuas, pela de�nição 3 [densidade marginal],
fX (x) =Z ∞
�∞g(x)h(y)dy = k1g(x)
fY (y) =Z ∞
�∞g(x)h(y)dx = k2h(y)
onde k1 e k2 são constantes independentes de x e y . Por isso,
fXY (x , y) =fX (x)k1
.fY (y)k2
=1
k1.k2.fX (x).fY (y)
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS
Proof.
[prova da volta (continuação)] É fácil mostrar que k1.k2 = 1, queestabelecerá o inverso:
1 =R ∞�∞
R ∞�∞fXY (x , y)dxdy =
R ∞�∞
R ∞�∞g(x)h(y)dxdy
=hR ∞�∞g(x)dx
i hR ∞�∞h(y)dy
i= k1.k2
Theorem (2)Se X e Y são estatísticamente independentes e a, b, c , d são constantesreais com a < b e c < d, então
P(a < X < b, c < Y < d) = P(a < x < b).P(c < Y < d)
Proof.[prova] Exercício da Lista no3.Rafael Costa (CAEN) DISTRIBUIÇÕES MULTIVARIADAS 11/13 12 / 22
DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASEXPECTATIVA MATEMÁTICA
O conceito de expectativa matemática é facilmente estendido parav.a.�s bivariadas.
Logo,EXY [g(X ,Y )] =
R ∞�∞
R ∞�∞g(x , y)dFXY (xy)
onde o subscrito indica que a integral é sobre o espaço (X ,Y ).
Momentos: O r -ésimo momento de X é
EXY (Xr ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
rdFXY (xy) =R ∞�∞x
rdFX (x) = EX (Xr )
Momentos Conjuntos:
EXY (XrY s ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
r y sdFXY (xy)
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASEXPECTATIVA MATEMÁTICA
O conceito de expectativa matemática é facilmente estendido parav.a.�s bivariadas.
Logo,EXY [g(X ,Y )] =
R ∞�∞
R ∞�∞g(x , y)dFXY (xy)
onde o subscrito indica que a integral é sobre o espaço (X ,Y ).
Momentos: O r -ésimo momento de X é
EXY (Xr ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
rdFXY (xy) =R ∞�∞x
rdFX (x) = EX (Xr )
Momentos Conjuntos:
EXY (XrY s ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
r y sdFXY (xy)
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASEXPECTATIVA MATEMÁTICA
O conceito de expectativa matemática é facilmente estendido parav.a.�s bivariadas.
Logo,EXY [g(X ,Y )] =
R ∞�∞
R ∞�∞g(x , y)dFXY (xy)
onde o subscrito indica que a integral é sobre o espaço (X ,Y ).
Momentos: O r -ésimo momento de X é
EXY (Xr ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
rdFXY (xy) =R ∞�∞x
rdFX (x) = EX (Xr )
Momentos Conjuntos:
EXY (XrY s ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
r y sdFXY (xy)
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASEXPECTATIVA MATEMÁTICA
O conceito de expectativa matemática é facilmente estendido parav.a.�s bivariadas.
Logo,EXY [g(X ,Y )] =
R ∞�∞
R ∞�∞g(x , y)dFXY (xy)
onde o subscrito indica que a integral é sobre o espaço (X ,Y ).
Momentos: O r -ésimo momento de X é
EXY (Xr ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
rdFXY (xy) =R ∞�∞x
rdFX (x) = EX (Xr )
Momentos Conjuntos:
EXY (XrY s ) =
R ∞�∞
R ∞�∞x
r y sdFXY (xy)
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASEXPECTATIVA MATEMÁTICA
Theorem (3)
Sejam X e Y v.a. s independentes e seja u(X ) uma função de X somentee v(Y ) uma função de Y somente. Então,
EXY [u(X )v(Y )] = EX [u(X )]EY [v(Y )]
Proof.Lista de Exercícios no 3.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
O mais importante momento conjunto é a covariância entre X e Y .
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Como antes, as variâncias podem ser de�nidas comoσ2X = E [(X � µX )
2] = E (X 2)� µ2X eσ2X = E [(Y � µY )
2] = E (Y 2)� µ2Y .
Para melhor entendimentyo da covariância, suponha que X e Y sãov.a.�s que são positivamente relacionadas, de modo que Y aumentaquando X cresce, como ilustrado na �gura a seguir:
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Como antes, as variâncias podem ser de�nidas comoσ2X = E [(X � µX )
2] = E (X 2)� µ2X eσ2X = E [(Y � µY )
2] = E (Y 2)� µ2Y .Para melhor entendimentyo da covariância, suponha que X e Y sãov.a.�s que são positivamente relacionadas, de modo que Y aumentaquando X cresce, como ilustrado na �gura a seguir:
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Como antes, as variâncias podem ser de�nidas comoσ2X = E [(X � µX )
2] = E (X 2)� µ2X eσ2X = E [(Y � µY )
2] = E (Y 2)� µ2Y .Para melhor entendimentyo da covariância, suponha que X e Y sãov.a.�s que são positivamente relacionadas, de modo que Y aumentaquando X cresce, como ilustrado na �gura a seguir:
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Os círculos representam pares de valores X e Y que são possíveisresultados. As linhas pontilhadas indicam as médias µX e µY .
Ao mover os eixos para as linhas pontilhadas com origem em(µX , µY ), pode-se ver que Xi � µX e Yi � µY são as distâncias danova origem, para os pontos (Xi ,Yi ).Note que os pontos no 1o e 3o quadrantes farão o produto(X � µX )(Y � µY ) positivo, porque os termos individuais ou sãoambos positivos ou ambos negativos.
Em contraste, os pontos no 2o e 4o quadrantes farão o produtonegativo, porque um dos termos é positivo e o outro é negativo.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Os círculos representam pares de valores X e Y que são possíveisresultados. As linhas pontilhadas indicam as médias µX e µY .
Ao mover os eixos para as linhas pontilhadas com origem em(µX , µY ), pode-se ver que Xi � µX e Yi � µY são as distâncias danova origem, para os pontos (Xi ,Yi ).
Note que os pontos no 1o e 3o quadrantes farão o produto(X � µX )(Y � µY ) positivo, porque os termos individuais ou sãoambos positivos ou ambos negativos.
Em contraste, os pontos no 2o e 4o quadrantes farão o produtonegativo, porque um dos termos é positivo e o outro é negativo.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Os círculos representam pares de valores X e Y que são possíveisresultados. As linhas pontilhadas indicam as médias µX e µY .
Ao mover os eixos para as linhas pontilhadas com origem em(µX , µY ), pode-se ver que Xi � µX e Yi � µY são as distâncias danova origem, para os pontos (Xi ,Yi ).Note que os pontos no 1o e 3o quadrantes farão o produto(X � µX )(Y � µY ) positivo, porque os termos individuais ou sãoambos positivos ou ambos negativos.
Em contraste, os pontos no 2o e 4o quadrantes farão o produtonegativo, porque um dos termos é positivo e o outro é negativo.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCOVARIÂNCIA
Os círculos representam pares de valores X e Y que são possíveisresultados. As linhas pontilhadas indicam as médias µX e µY .
Ao mover os eixos para as linhas pontilhadas com origem em(µX , µY ), pode-se ver que Xi � µX e Yi � µY são as distâncias danova origem, para os pontos (Xi ,Yi ).Note que os pontos no 1o e 3o quadrantes farão o produto(X � µX )(Y � µY ) positivo, porque os termos individuais ou sãoambos positivos ou ambos negativos.
Em contraste, os pontos no 2o e 4o quadrantes farão o produtonegativo, porque um dos termos é positivo e o outro é negativo.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
A quantidade
ρXY =σXY
σX σY=
Cov(X ,Y )[Var(X )Var(Y )]1/2
é chamada coe�ciente de correlação entre X e Y .
Se X e Y são positivamente relacionados (quando X aumenta, Ytambém aumenta), então a covariância será positiva e por isso ρXYserá positivo.
Se Cov(X ) = 0, então ρXY = 0, caso em que X e Y são nãocorrelacionados.Se X e Y são independentes, então fXY (x , y) = fX (x).fY (y), logoEXY (XY ) = EX (X )EY (Y ). Por isso, σXY = 0 e ρXY = 0 se duasv.a.�s são independentes.Note que o inverso não necessariamente ocorrre.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
A quantidade
ρXY =σXY
σX σY=
Cov(X ,Y )[Var(X )Var(Y )]1/2
é chamada coe�ciente de correlação entre X e Y .Se X e Y são positivamente relacionados (quando X aumenta, Ytambém aumenta), então a covariância será positiva e por isso ρXYserá positivo.
Se Cov(X ) = 0, então ρXY = 0, caso em que X e Y são nãocorrelacionados.Se X e Y são independentes, então fXY (x , y) = fX (x).fY (y), logoEXY (XY ) = EX (X )EY (Y ). Por isso, σXY = 0 e ρXY = 0 se duasv.a.�s são independentes.Note que o inverso não necessariamente ocorrre.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
A quantidade
ρXY =σXY
σX σY=
Cov(X ,Y )[Var(X )Var(Y )]1/2
é chamada coe�ciente de correlação entre X e Y .Se X e Y são positivamente relacionados (quando X aumenta, Ytambém aumenta), então a covariância será positiva e por isso ρXYserá positivo.
Se Cov(X ) = 0, então ρXY = 0, caso em que X e Y são nãocorrelacionados.
Se X e Y são independentes, então fXY (x , y) = fX (x).fY (y), logoEXY (XY ) = EX (X )EY (Y ). Por isso, σXY = 0 e ρXY = 0 se duasv.a.�s são independentes.Note que o inverso não necessariamente ocorrre.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
A quantidade
ρXY =σXY
σX σY=
Cov(X ,Y )[Var(X )Var(Y )]1/2
é chamada coe�ciente de correlação entre X e Y .Se X e Y são positivamente relacionados (quando X aumenta, Ytambém aumenta), então a covariância será positiva e por isso ρXYserá positivo.
Se Cov(X ) = 0, então ρXY = 0, caso em que X e Y são nãocorrelacionados.Se X e Y são independentes, então fXY (x , y) = fX (x).fY (y), logoEXY (XY ) = EX (X )EY (Y ). Por isso, σXY = 0 e ρXY = 0 se duasv.a.�s são independentes.
Note que o inverso não necessariamente ocorrre.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
A quantidade
ρXY =σXY
σX σY=
Cov(X ,Y )[Var(X )Var(Y )]1/2
é chamada coe�ciente de correlação entre X e Y .Se X e Y são positivamente relacionados (quando X aumenta, Ytambém aumenta), então a covariância será positiva e por isso ρXYserá positivo.
Se Cov(X ) = 0, então ρXY = 0, caso em que X e Y são nãocorrelacionados.Se X e Y são independentes, então fXY (x , y) = fX (x).fY (y), logoEXY (XY ) = EX (X )EY (Y ). Por isso, σXY = 0 e ρXY = 0 se duasv.a.�s são independentes.Note que o inverso não necessariamente ocorrre.
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DISTRIBUIÇÕES BIVARIADASCORRELAÇÃO
ExampleConsidere a seguinte tabela de probabilidades conjuntas e marginais:
Proof.E (aX + bY ) = aµX + bµYVar(aX + bY ) = Ef[(aX + bY )� E (aX + bY )]2gVar(aX + bY ) = E [(aX + bY � aµX � bµY )
2]Var(aX + bY ) = Ef[a(X � µX ) + b(Y � µY )]
2gA simples expansão acima gera os resultados.
Prove que Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2Cov(X ,Y ).
Mostre que, se X e Y são independentes, entãoVar(X + Y ) = Var(X � Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
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EXPECTATIVA CONDICIONAL
De�nition (6)
Sejam X e Y v.a.�s contínuas e g(Y ) uma função contínua. Então aexpectativa condicional de g(Y ) dado X = x , denotada porEY jX [g(Y )jX ], é dada por
R ∞�∞g(y)fY jX (x , y)dy , onde fY jX (x , y) é a
densidade condicional de Y dado X . A de�nição para o caso discreto éanáloga.
Observação: o caso especial de E (Y jX ) é chamado a regressão deY sobre X e é amplamente usado em econometria.
Theorem (Lei das Expectativas Iteradas)
EXY [g(,Y )] = EX fEY jX [g(Y )jX ]gIsto é, a expectativa incondicional é a expectativa da expectativacondicional.
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