DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS, FUNCION Y
GRAFICA1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:
Distribucin uniforme discreta: En teora de la probabilidad, la
distribucin uniformediscreta es una distribucin de probabilidad que
asume un nmero finito de valores con la misma probabilidad.
Caractersticas: Si la distribucin asume los valores reales , su
funcin de probabilidad es
y su funcin de distribucin la funcin escalonada
Su media estadstica es
y su varianza
Ejemplos:
Para un dado perfecto, todos los resultados tienen la misma
probabilidad 1/6. Luego, la probabilidad de que al lanzarlo caiga 4
es 1/6. Para una moneda perfecta, todos los resultados tienen la
misma probabilidad 1/2. Luego, la
probabilidad de que al lanzarla caiga cara es 1/2.
2distribucin binomial: es una distribucin de probabilidad
discreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia de n ensayos
de Bernoulli independientes entre s, con una probabilidad fija p de
ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli
se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos
resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una
probabilidad q = 1 - p. En la distribucin binomial el anterior
experimento se repite n veces,de forma independiente, y se trata de
calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Para n =
1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribucin de
Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una
distribucin binomial de parmetros n y p, se
escribe:Caractersticas:Su funcin de probabilidad es
Donde
Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en)
Ejemplo:Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y
queremos conocer la probabilidad de que el nmero 3 salga 20 veces.
En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sera
P(X=20):
distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial,
con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en
cada ensayo, puede haber mltiples resultados.
3
Ejemplo de distribucin multinomial: a esas elecciones se
presentaron 4 partidos polticos: elPOPO obtuvo un 40% de los votos,
el JEJE el 30%, el MUMU el 20% y el LALA el 10% restante.Cul es la
probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 3 hayan votado
al POPO, 1 al MUMUy 1 al LALA?
La distribucin multinomial sigue el siguiente modelo:
Donde:X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el
ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)n: indica
el nmero de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5
veces)n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)p1:
es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)
Veamos el ejemplo:
Luego: P = 0,0256
Es decir, que la probabilidad de que las 5 personas elegidas
hayan votado de esta manera es tan slo del 2,56%
Nota: 0! es igual a 1, y cualquier nmero elevado a 0 es tambin
igual a 1
distribucin hipergeomtrica es el modelo que se aplica en
experimentos del siguiente tipo:
En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), cul es
la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?
4Son experimentos donde, al igual que en la distribucin
binomial, en cada ensayo hay tan slo dos posibles resultados: o
sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribucin
binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre s:
Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer
ensayo saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola
blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay
dependencia entre los distintos ensayos).La distribucin
hipergeomtrica sigue el siguiente modelo:
Donde:
Ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4
bolas Cul es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4
Si aplicamos el modelo:
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de
sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.
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distribucin multihipergeomtrica es similar a la distribucin
hipergeomtrica, con la diferencia de que en la urna, en lugar de
haber nicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes
colores.
Ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4
amarillas: cul es la probabilidad de que al extraer 3 bolas sea
cada una de un color distinto?
La distribucin multihipergeomtrica sigue el siguiente
modelo:
Donde:
X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el
ejemplo, que una de las bolas sea blanca)
N1: indica el nmero de bolas blancas que hay en la urna (en el
ejemplo, 7 bolas)
N: es el nmero total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14
bolas)
n: es el nmero total de bolas que se extraen (en el ejemplo, 3
bolas)
ejemplo:
Luego:
P = 0,2307
Es decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada color es
del 23,07%
6distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad
discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia
media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de
eventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se
especializa en laprobabilidad de ocurrencia de sucesos con
probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".
La funcin de masa o probabilidad de la distribucin de Poisson
es
Donde:
k es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos
da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se
espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por
ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por
minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k
veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de
distribucin de Poisson con =104 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Ejemplo:La probabilidad de tener un accidente de trfico es de
0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cul es la
probabilidad de tener 3 accidentes?Como la probabilidad " p " es
menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10,
entonces
aplicamos el modelo de distribucin de Poisson. Luego: P (x = 3)
= 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de
trfico en 300 viajes es del 8,9%
El eje horizontal es el ndice k. La funcin solamente est
definida en valores enteros de k. Las lneas que conectan los puntos
son solo guas para el ojo y no indican continuidad.
72. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:
Distribucin normal o de gauss: es el modelo de distribucin ms
utilizado en la prctica, ya que multitud de fenmenos se comportan
segn una distribucin normal.
Esta distribucin de caracteriza porque los valores se
distribuyen formando una campana deGauss, en torno a un valor
central que coincide con el valor medio de la distribucin:
Un 50% de los valores estn a la derecha de este valor central y
otro 50% a la izquierdaEsta distribucin viene definida por dos
parmetros:X: N (m, s 2)m:es el valor medio de la distribucin y es
precisamente donde se sita el centro de la curva (de la campana de
Gauss).
s2 : es la varianza. Indica si los valores estn ms o menos
alejados del valor central: si la varianza es baja los valores estn
prximos a la media; si es alta, entonces los valores estn muy
dispersos.
Cuando la media de la distribucin es 0 y la varianza es 1se
denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas
donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la
curva de esta distribucin.Adems, toda distribucin normal se puede
transformar en una normal tipificada:
Ejemplo: una variable aleatoria sigue el modelo de una
distribucin normal con media 10 y varianza4. Transformarla en una
normal tipificada.X: N (10, 4)Para transformarla en una normal
tipificada se crea una nueva variable (Y) que ser igual a la
anterior (X) menos su media y dividida por su desviacin tpica (que
es la raz cuadrada de la varianza)
En el ejemplo, la nueva variable sera:
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada,
permitindonos, por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada
valor.Y: N (0, 1)
8Distribucin ji-cuadrada (x2): es la distribucin muestral de s2.
O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin
normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la
distribucin muestral de varianzas.Para estimar la varianza
poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el
estadstico X2.Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin
normal con varianza, el estadstico:
Tiene una distribucin muestral que es una distribucin
ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la
minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada est dado
por:
Donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la
varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El
estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente
expresin:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada1. Los valores de
X2 son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribucin X2
depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de
distribuciones X2.3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el
eje horizontal es 1.4. Las distribuciones X2 no son simtricas.
Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha;esto es, estn
sesgadas a la derecha.5. Cuando n>2, la media de una distribucin
X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una
distribucin X2 se da en el valor (n-3).La siguiente figura ilustra
tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor
(n-3) = (gl-2).
La funcin de densidad de la distribucin X2 esta dada por:
para x>0La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del
libro de probabilidad y estadstica de Walpole, lacual da valores
crticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el
valor crtico de una distribucin X2 con gl grados de libertad se usa
el smbolo (gl); este valor crtico determina
9a su derecha un rea de bajo la curva X2 y sobre el eje
horizontal. Por ejemplo para encontrar
X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a
o a lo largo del lado superior de la misma tabla.
Ejemplos:
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para
alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una
distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige
al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que
la varianza muestral sea mayor que 2.Solucin:Primero se encontrar
el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16
grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde
un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la
probabilidad es P(s2>2)
Distribucin exponencial: es una distribucin de probabilidad
continua con un parmetro cuya funcin de densidad es:Su funcin de
distribucin acumulada es: Donde representa el nmero e.El valor
esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin
exponencial son:
10La distribucin exponencial es un caso particular de
distribucin gamma con k = 1. Adems la suma de variables aleatorias
que siguen una misma distribucin exponencial es una variable
aleatoria expresable en trminos de la distribucin gamma.Ejemplo:El
tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una
cafetera es una variable aleatoria que tiene una distribucin
exponencial con una media de 4 minutos. Cul es la probabilidad de
que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en
al menos 4 de los 6 das siguientes?Solucin:
Lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3x = nmero
de das en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3
minutos x = 0, 1, 2,...,6 dasp = probabilidad de que un cliente sea
atendido antes de que transcurran 3 minutos en un da cualquiera =
0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de
que transcurran 3 minutos en un dacualquiera = 1- p = 0.4724
Grfica.
= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744
Distribucin T de Student: Supongamos dos variables aleatorias
independientes, una normal tipificada, Z , y otra con distribucin
con grados de libertad, la variable definida segn la ecuacin:
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Tiene distribucin t con grados de libertad.La funcin de densidad
de la distribucin t es:
El parmetro de la distribucin t es , su nmero de grados de
libertad.Esta distribucin es simtrica respecto al eje Y y sus colas
se aproximan asintticamente al eje X. Es similar a la distribucin Z
salvo que es platicrtica y, por tanto, ms aplanada.Cuando n tiende
a infinito, t tiende asintticamente a Z y se pueden considerar
prcticamente iguales para valores de n mayores o iguales que
30.
Ejercicio
Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio
de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona
verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t
0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu
conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin
fue?:
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Distribucin de Snedecor: s una distribucin de probabilidad de
gran aplicacin en la inferencia estadstica, fundamentalmente en la
contratacin de igualdad de varianzas de dos poblaciones normales, y
, fundamentalmente en el anlisis de varianza, tcnica que permite
detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas
entre muestras diferentes y que es, por tanto esencial , en todos
aquellos casos en los que se quiere investigar la relevancia de un
factor en el desarrollo y naturaleza de una caracterstica.
La distribucin se plantea partiendo de dos variables X e Y tales
que:
Es decir una chi2 con m grados de libertad
Es decir una chi2 con n grados de libertad ;
de manera que si establecemos el cociente , es decir el cociente
entre ambas chi2 divididasa su vez, por sus correspondientes grados
de libertad tendremos que la funcin F corresponde a
una distribucin F de Snedecor con m y n grados de libertad ; es
decir una13Queda claro por tanto que la distribucin F de Snedecor
tiene dos parmetros, que son m y n;grados de libertad del
numerador, grados de libertad del denominador.
Dado que se trata de un cociente entre dos chi2 su (grafica de
la funcin de la densidad) ser parecida a la de sta distribucin, por
lo que estar slo definida para el campo positivo de la variable y
su apariencia variar segn los grados de libertad; estando ms prxima
la densidad de probabilidad a los valores prximos a cero de la
variable, cuando los grados de libertad (sus parmetros) sean
bajos.
La funcin de densidad de la F de Snedecor viene dada por
Siendo m y n los parmetros de la funcin (distribucin) y la
funcin gamma de Euler.
La media de la distribucin es si n > 2 siendo la varianza
cuando n> 4
Lgicamente si su inversa lo que ayuda al clculo de
probabilidades para distintos valores de la variable mediante la
utilizacin de tablas , caso que no es el nuestro14pues estos los
realizamos mediante un programa que concluimos, no obstante ,a modo
de ejemplo , plantemos:
Si X y nos interesa el clculo de dicho resultado es 0,13
Luego luego
Como curiosidad tenemos que una F con un grado de libertad en el
numerador y n en el denominador, no es ms que el cuadrado de una t
de studen con n grados de libertad dado que:
Dado que una: Luego una:
Siendo una: una: Clculo de la prueba F-Snedecor para la igualdad
de varianzas Para llevar a cabo el contraste:H0: s1 - s2 = 0H1: s1
- s2 0Mediante la prueba F-Snedecor de comparacin de varianzas se
construye el estadstico de contraste experimental F dado por:
Que bajo la hiptesis nula sigue una distribucin F-Snedecor
siendo gln los grados de libertad del numerador y gld los grados de
libertad del denominador. En el caso de no poder rechazar la
hiptesis nula (p-valor > 0.05) se considera que las dos
varianzas son iguales (homogneas).
15La distribucin Gamma es una distribucin de probabilidad
continua generalizada de la distribucin exponencial utilizada para
modelar variables aleatorias continuas con asimetra positiva, es
decir aquellas que presentan una mayor densidad de ocurrencia a la
izquierda de la media que a la derecha.
VENTAJASDe esta forma, la distribucin Gamma es una distribucin
flexible para modelizar las formas de la asimetra positiva, de las
ms concentradas y puntiagudas, a las ms dispersas y achatadas. Como
ejemplos de variables que se comportan as:- Nmero de individuos
involucrados en accidentes de trfico en el rea urbana: es ms
habitual quela mayora de partes abiertos den la proporcin de 1
herido por vehculo, que otras proporciones superiores.- Altura a la
que se inician las precipitaciones; sucede de forma ms habitual
precipitaciones iniciadasa una altura baja, que iniciadas a gran
altitud.- Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que
siguen una distribucin de Poisson.- Distribucin de la finura de
fibras de lana: la mayora presentan una menor finura que unas pocas
fibras ms gruesas.INCONVENIENTESProblemas en la complejidad de
algunos clculos, especialmente respecto a la funcin Gamma cuando el
parmetro es un valor no entero. Tambin problemas de clculo en la
estimacin de los parmetros mustrales. Ambos inconvenientes se
pueden abordar satisfactoriamente con ordenador COMPONENTES DE LA
DISTRIBUCIN GAMMA X, es el valor en el que se desea evaluar la
distribucin. Alfa, es un parmetro de la distribucin. Beta, es un
parmetro de la distribucin. Funcin gama, determina si se presenta
convergencia. F(x), representacin de la probabilidad
estadstica.
Para valorar la evolucin de la distribucin al variar los
parmetros se tienen los siguientes grficos. Primero se comprueba
que para =1 la distribucin tiene similitudes con la
exponencial.
Si ahora se hace variar el parmetro alfa,
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Y para valores altos de y pequeos de , se observa la
convergencia con la normal,
FORMULACIN DE LA DISTRIBUCIN GAMMA. Funcin de distribucin
El valor de la funcin Gamma se obtiene a partir de,
La funcin de densidad de la distribucin Gamma es,
donde x>0 y , son parmetros positivos
Ejemplo 5.En una ciudad se observa que el consumo diario de
energa (en millones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que
sigue una distribucin gamma con parmetros = 3 y =2. Si la planta de
energa que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de
generar un mximo de 12, cul es la probabilidad de que haya un da
donde no se pueda satisfacer la demanda?
Donde,
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De forma que,
La probabilidad de que exista 1 exceso,
Resolviendo la integral con ayuda del derive, la probabilidad
obtenida es,
Le representacin grfica y verificacin con Excel del clculo
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