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Una distribucin de probabilidad la podemos concebir como una
distribucin terica de frecuencia, es decir, es una distribucin que
describe como se espera que varen los resultados. Dado que esta
clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos
de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en
condiciones de incertidumbre.
Distribucin de probabilidadesEjemplo: En un estudio se clasific
a un grupo de personas segn su sexo encontrndose el siguiente
resultado:Sexo Masculino : 30Sexo femenino : 20Determine la
distribucin de probabilidadesSolucin:
Sexo MasculinoFemeninoProbabilidad0.60.4Es aquella que asume
diferentes valores a consecuencia de los resultados de un
experimento aleatorio Estas variables pueden ser discretas o
continuas. Si se permite que una variable aleatoria adopte slo un
nmero limitado de valores, se le llama variable aleatoria discreta.
Por el contrario, si se le permite asumir cualquier valor dentro de
determinados lmites, recibe el nombre de variable aleatoria
continua.Si una variable X, es una variable aleatoria sus valores
dependen del azar.
Variable aleatoria 3El estudio de las distribuciones de
probabilidad es similar al de la variable estadstica, el
equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es
la probabilidad.
0.41 Proporcin de ausentesLlamemos: X: Nmero de estudiantes
ausentes
Notamos que X toma valores 0, 1, 2 3Luego X es una variable
discreta0.41 Probabilidad de 0 ausentes Ejemplo 2.- En un estudio
sobre el ingreso de un grupo de consumidores se encontr:
IngresoFrecuenciaFrecuencia Relativa500 1000120120/2001000
15005050/2001500 20002020/2002000 - 40001010/200Consideremos a la
variable aleatoria Z definida como: Z: Ingreso del consumidorLa
distribucin de probabilidades de Z est dada por:ZP[ z1 Z z2]500
10000.601000 15000.251500 20000.102000 - 40000.05Notamos que Z toma
valores entre 500 y 4 000Luego Z es una variable continuaFuncin de
probabilidad (V. discretas)
Funcin de densidad (V. Continuas)
9Para qu sirve la funcin de densidad?Muchos procesos aleatorios
vienen descritos por variables de forma que son conocidas las
probabilidades en intervalos.
La integral definida de la funcin de densidad en dichos
intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.
Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el
rea bajo la funcin de densidad.
Funcin de distribucinEs la funcin que asocia a cada valor de una
variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o
iguales.
F(x) = P(X x)
A los valores extremadamente altos les corresponden valores de
la funcin de distribucin cercanos a uno.
Lo encontraremos en los artculos y aplicaciones en forma de
p-valor, significacin,
Valor esperado Se representa mediante E[X]
Es el equivalente a la media
E[X] = xf(x) , si X es discreta Dx
E[X] = xf(x)dx , si X es continua Dx
VarianzaSe representa mediante VAR[X] o 2
A se le llama desviacin tpica
V[X] = E[ (x )] = E[X] E[X]
Valor esperado y varianza de una v.a. XUna distribucin de
probabilidades queda caracterizada por:
Su funcin de probabilidad (densidad) y su dominio.
Su valor esperadoSu varianza
Esto es [X, f(x), E(x), V(x)] define la distribucin de
probabilidades de la v.a X
Caracterizacin de una distribucin de
probabilidadesDistribuciones de ProbabilidadDistribuciones de
Probabilidad ContinuasBinomialDistribuciones de
ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad
DiscretasNormalPropiedades de un experimento de Bernoulli1 - En
cada prueba del experimento slo hay dos posibles resultados: xitos
o fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos en pruebas anteriores.
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos
porp, y no vara de una prueba a otra. La probabilidad del
complemento es 1- p y la representamos porq .
Si repetimos el experimento nveces podemos obtener resultados
para la construccin de la distribucin binomial.15La distribucin
binomialLa distribucin de probabilidad binomial es un ejemplo de
distribucin de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de
experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son
mutuamente excluyentes.Para contruirla necesitamos:1 - la cantidad
de pruebas n 2 - la probabilidad de xitos p3 - utilizar la funcin
matemtica.16
La funcin P(x=k)A continuacin vemos La funcin de probabilidad de
la distribucin Binomial, tambin denominada Funcin de la distribucin
de Bernoulli:
k - es el nmero de aciertos. n - es el nmero de experimentos. p
- es la probabilidad de xito, como por ejemplo, que salga "cara" al
lanzar la moneda.1-p - tambin se le denomina como q
17Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios:
Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente
excluyentes: un xito y un fracaso.
La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un
nmero fijo de ensayos.
Cada ensayo es independiente.
La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al
siguiente.Ejemplo1 de la funcinf(x=k)
Cul es la probabilidad de obtener 6 estudiantes de genero
femenino al seleccionar 10 estudiantesEl nmero de aciertos k es 6.
Esto es x=6El nmero de experimentos n son 10La probabilidad de xito
p, es decir, que sea mujer al seleccionar un estudiante 50% o
0.50La frmula quedara:
P (X= 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6
estudiantes de genero femenino al seleccionar 10 10estudiantes es
de 20.5% .
19Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de
probabilidad binomial se pueden resolver los clculos de
probabilidades binomiales
Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . k es el nmero de
xitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n.En el
parmetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al
1.
En el ejemplo 1 los parmetros B(n,p) son B(10,0.50)
respectivamente.20Ejemplo 2 B(n,p) Busque en la tabla de
probabilidad binomialSolucin :Se trata de una distribucin binomial
de parmetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidadde que x
sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la
parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror
p=0.05 . La probabilidad estar en x=2 El resultado es 0.0988En una
fbrica de cmaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad
de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cmaras
defectuosas.21Ejemplo 4 B(n,p) Compruebe el cmputo utilizando una
calculadora de probabilidad binomialVea otros ejemplos en este
enlaceSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros
B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad P(X=3). El resultado
es 0.1285En una oficina de servicio al cliente se atienden 100
personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir
bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta
a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.
22Ejemplo:La administracin del restaurante Santoni Pizza
descubri que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para
comer all de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos
(por primera vez) cenaron en Santoni, cul es Ia probabilidad de que
60 o ms regresen aII a comer otra vez?Es preciso verificar los
siguientes cuatro criterios:
Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente
excluyentes: un xito y un fracaso.
La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un
nmero fijo de ensayos.
Cada ensayo es independiente.
La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al
siguiente.Ejercicio de redaccincon experiencia interactivaObserve
el cambio de la distribucin variando el parmetro B(n,p)Cuando
llegue al enlance entre:n en Number ot trials p en Prob. of
SuccessPresente una descripcin escrita de las observaciones que
obtiene al variar los valores n y p.
25La media y desviacin estndar
26La Distribucin NormalUna variable aleatoria contnua es aquella
que puede asumir un nmero infinito de valores dentro de cierto
rango especfico.RepasemosLa curva normal tiene forma de campana y
un slo pico en el centro de la distribucin. La distribucin de
probabilidad normal y la curva normal que la acompaa tienen las
siguientes caractersticas:
En resumenEn este mdulo hemos determinado la probabilidad
binomial mediante el uso de la funcin binomial, tablas de
distribucin y la calculadora del enlace. Adems, aprendimos que:
La distribucin binomial se forma de una serie de experimentos de
Bernoulli La media () en la distribucin binomial se obtiene con el
producto de n x p
La desviacin estndar ( ) en la distribucin binomial se obtiene
del producto de n x p x q.
El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 p.
30Caractersticas (cont.)
La familia de las distribuciones de probabilidad normal Cada una
de las distribuciones puede tener una media distinta (u) y
desviacin estndar distinta (). No existe una sola distribucin de
probabilidad normal, sino ms bien se trata de toda una familia de
ellas. Por tanto, eI nmero de distribuciones normales es
ilimitado.
Normales con Medias y Desviaciones estndar diferentesm = 5, s =
3m = 9, s = 6m = 14, s = 1034La familia de las distribuciones de
probabilidad normalXf(X)Cambiando movemos la distribucin lhacia la
izquierda o derecha.Cambiando aumentamos o disminumos su altura..La
distribucin de probabilidad normal estndarSera fsicamente imposible
proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinacin de u
y (como para Ia distribucin binomial o para Ia de Poisson) .Es
posible utilizar un slo miembro de Ia familia de distribuciones
normales para todos los problemas en los que se aplica Ia
distribucin normal.
0.8P(0 < z < 0.8) = 0.2881.
37La distribucin de probabilidad normal estndarTiene una media
de 0 y una desviacin estndar de 1 Los valores mayores al promedio
tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrn
valores Z negativos.Zf(Z)10La distribucin de probabilidad normal
estndarUtilizando un valor z, se convertir, o estandarizar, Ia
distribucin real a una distribucin normal estndar. Transformamos
unidades X en unidades Z Todas las distribuciones normales pueden
convertirse a distribucin normal estndar restando Ia media de cada
observacin y dividiendo por Ia desviacin estndar.Un valor z es Ia
distancia a partir de Ia media, medida en las unidades de desviacin
estndar.El valor z
Valor z = Ia distancia entre un valor seleccionado (x) y Ia
media (u), dividida por la desviacin estndar ().
El valor z
42z0123-1-2-3xx+sx+2sx+s3x-sx-2sx-3sXLa desviacin estndarsigma
representa la distancia de la media alpunto de inflexin de la curva
normalLa Distribucin Normal Estndar42
mm+1sm+2sm+3sm-1sm-2sm+3sEntre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%43
Lmites sigma
Lmites dos sigma
Lmites tres sigmaEjemplo:Supongamos que se calcul el valor z y
el resultado es 1.91.
CuI es eI rea bajo la curva normal entre u y X?
Valor z calculadoEjercicios:Area bajo Ia
curva2.841.000.49.4977.3413.1879Ejercicios:Los ingresos semanales
de los gerentes de nivel intermedio tienen una distribucin
aproximadamente normal con una media de $1,000.00 y una desviacin
estndar de $100.00.
Cul es el valor z para un ingreso X de $1,100.00?
Y, para uno de $900.00?Para X = $1,100:
1100 1000 100
= 1.00
Utilizando la frmula: Para X = $900:
900 - 1000 100= - 1.00
La primera aplicacin de Ia distribucin normal estndar es
encontrar el rea bajo Ia curva normal entre una media y un valor
seleccionado, designado como X.
Utilizando Ia misma distribucin que en eI ejemplo anterior del
ingreso semanal (u = $1 000, = $100)
CuI es el rea bajo Ia curva normal entre $1,000 y
$1,100?Utilizando nuevamente el ingreso medio de $1,000 al mes y Ia
desviacin estndar de $100 al mes:
Cul es Ia probabilidad de que un ingreso semanal especfico
elegido aI azar est entre 790 y 1,000 dlares?
Ejercicios:Si tuvieramos una muestra de 60, calcular una
distribucin binomial para un nmero tan grande tomara mucho tiempo.
La aproximacin de la distribucin normal a la binomialUn enfoque ms
eficiente consiste en aplicar Ia aproximacin de Ia distribucin
normal a Ia binomial.El uso de Ia distribucin normal (que es
contnua) como sustituto de una distribucin binomial (que es
discreta) para valores de n parece razonable porque, a medida que n
aumenta, Ia distribucin binomial se acerca cada vez ms a Ia
distribucin normal. La aproximacin de la distribucin normal a la
binomialEjemplo:La administracin del restaurante Santoni Pizza
descubri que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para
comer all de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos
(por primera vez) cenaron en Santoni, cul es Ia probabilidad de que
60 o ms regresen aII a comer otra vez?Es preciso verificar los
siguientes cuatro criterios:
Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente
excluyentes: un xito y un fracaso.
La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un
nmero fijo de ensayos.
Cada ensayo es independiente.
La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al
siguiente.Observe que se cumplen las condiciones binomiales:
Slo hay dos resultadosposibles: un cliente regresa o no
regresa.
Es posible contar eI nmero de xitos, lo que significa, por
ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresarn.
Los ensayos son independientes, es decir, si Ia persona nmero 34
regresa para cenar en otra ocasin, no influye en que Ia persona
nmero 58 regrese.
La probabilidad de que un cliente regrese permanece en un 0.70
para los 80 clientes.Debido a que se usar Ia curva normal para
determinar Ia probabilidad binomial de 60 o ms xitos, es preciso
restar, en este caso, 0.5 de 60.
El valor 0.5 se conoce como factor de correccin de
continuidad.
Este pequeo ajuste es necesario porque se utiliza una
distribucin contnua (Ia distribucin normal) para aproximar a una
discreta (Ia binomial). Al restar 600.5 = 59.5.3.Para Ia
probabilidad de que ocurra X o menos, utilice (X + 0.5).Cmo aplicar
el factor de correccinX2.Para Ia probabilidad de que ocurra ms que
X, utilice (X + 0.5).4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de
X, utilice (X- 0.5).Slo pueden surgir cuatro casos. Estos son:
1.Para Ia probabilidad de que aI menos X ocurra, utilice (X -
0.5).Para utilizar Ia distribucin normal para aproximar Ia
probabilidad de que 60 mas de los 80 clientes que fueron por
primera vez a Santoni regresen, realizaremos lo siguientes
pasos.
Paso 1.
Encuentre Ia media y Ia varianza de una distribucin binomial y
el valor z correspondiente a una X de 59.5 usando Ias siguientes
frmuIas:
u = np = 80(.70) = 56
2 = np(1-p) = 80(.70)(1-.70) = 16.8
= raz cuadrada de 16.8 = 4.10
Z = 59.5 56 = 85 4.10Paso 2.
Determine el rea bajo Ia curva normal entre un u de 56 y un X de
59.5.
Con base en el paso 1, se sabe que eI valor z correspondiente a
59.5 es 0.85.
As, se consulta el apndice D y se baja por el margen izquierdo
hasta 0.8, y luego se lee horizontalmente el rea bajo Ia columna
encabezada por 0.05.
Esa rea es 0.3023.
Caractersticas de la distribucin binomial
n = 5 p = 0.1
n = 5 p = 0.5
Media = E(X) = n p= 5 0.1 = 0.5= 5 0.5 = 0.25
Desviacin estndar
0
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
0