Distribucion polya eggenberger

ObjetivosLa distribución binomial negativa

Distribución de Polya-Eggenberger

Distribución binomial negativa y Polya-Eggenberger

Lorena RojasPedro SandovalJeisson Lombana

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

.



Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos

Objetivo General

Exponer la teoría y los conceptos que se involucran en ladistribución y binomial negativa y de Polya-Eggenberger

.



Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos

Objetivos Especi�cos.

Analizar los diversos teoremas relacionados de la distribuciónbinomial negativa

Dar explicación a las caracteristícas fundamentales de ladistribución Polya-Eggenberger

.



Propiedades

Una de las caracteristícas mas importantes de esta distribución esque se encarga de generalizar en cierto sentido la distribucióngeométrica al analizar los fracasos en los experimentos antes dellegar al éxito para esto se recurre a lo que sigue:�los primeros k fracasos hasta obtener los m éxitos�

Con esto podemos decir que la suma de las diversas variablesaletorias con esa condición, nos conduce a una distribuciónbinomial de la siguiente forma

P(ym = k) = P(Sm+k−1 =m−1)P(Xm+k = 1)

.



=

(m+k−1

m−1

)pm−1qkp

=

(m+k−1

k

)pmqk

=

(−mk

)pm(−q)k

.



Sea:

P =1−p

p

q =1

p

La función caracteristíca está dada por

φ(t) = (Q−Pe it)−r

y la función generadora de momento está dada por:

M(t) = (etx) =∞

∑x=0

etx(x+ r −1

r −1

)pr (1−p)x

.



=∞

∑x=0

etx(−mk

)pm(−q)k

= pm∞

∑x=0

(−mk

)(−qet)x(1−r−x)

= pm(1−qet)−r

(p

1−qet

)r

.



ahora si se tiene que(Nn

)=(

NN−n

)M(t) = pr [1− (1−p)et ]−r

M ′(t) = pr (1−p)r [1− (1−p)et ]r−1et

M”(t) = (1−p)rpr (1− et +pet)r−2.(−1− etr + etpr)et

.



Con las respectivas derivadas de la función generadora demomentos podemos obtener la ezperanza y al varianza al evaluarlasen 0 por tanto:

µ′1 =M ′(0) =

rq

p

µ′2 =M”(0) =

rq

p2

.



De�nición

En los casos anteriores se analizó las distribuciones con la condiciónfundamental de que los eventos que ocurrían bajo la variablealeatoria fueran independientes,en esta distribución esta hipótesislos experimentos sufren de �contagio� es decir que un suceso puedein�uir en el siguiente; Para esta recurrimos al experimento conocidocomo �La urna de Polya�

.



Urna de Polya

Consideremos una urna que contenga α1 > 0 bolas de colores idonde i = 1,2, ....m sea m �nito; Cada vez que se extrae una bolase mira su color y se introduce de nuevo a la urna con las demásdel mismo color. Asumiendo que −nc ≤min(α1,α2, .....αm) laextracción es repetida n veces. Ahora sea vn

1= ni

nel número de

veces que la bola de color i es escogida en n selecciones; el vectorvn = [vn

1,vn

2, ......vnm] dada la distribución de Polya-Eggenberger la

probabilidad P(vn,q,c) está dada por:

P(vn,q,c) =n!

∏mi=1 ni !

∏mi=1 αi (αi + c)....(αi +(ni −1))c

N(N+ c)....(N+(n−1)c)

Donde N = ∑mi=1 αi el vector q = αi

Ni = 1,2, ....m

.



Ahora con la anterior información si el vector q = 1 tenemos que laanterior probabilidad se simpli�ca a la siguiente forma; pretendiendopues, hallar la P(X = r) sabiendo que para la extracción de bola decierto tipo (en este caso la bola color 1) es como sigue

primera extracción aN

Segunda extracción a+cN+c

(pues se habrá reintroducido la bolaanterioirmente extraída supuestamente del tipo 1 con las otras desu clase por lo tanto el número de bolas en la urna será N+ c

siendo de tipo 1 a+ c)

Tercera extracción a+2cN+2c

.



En la rnextracción a+(r−1)cN+(r−1)c

Supuesto que lo pretendemos hallar, precisamente, la probabilidadde que en la n extracciones que realicemos sean exactamente r lasbolas del tipo 1 obtenidas , aún habrían de producirse n− r

extracciones más; Para que el suceso mencionado tenga sentido, ysupuesta la extracción de la bola blanca en cada una de las rextracciones, en las n− r restantes deberá aparecer la bola del tipo2; Consecuencia de esto la probabilidad de estas n− r extraccionesestá dada por:

En la r +1 extracción bN+rc

En la r +2 extracción b+cN+(r+1)c

.



En la nsextracción b+(s−1)cN+(n−1)c

Siendo s = n− r el número de bolas del tipo 2 dentro de las n bolasque en el conjunto de las n extracciones aparecerán; así pues laprobabilidad � de que en n extracciones habidas aparezcan r bolasdel tipo 1 precisamente en los r primeras y por ello las otras s bolasdel tipo 2 en las s últimas (r + s = n) será como sigue :

a

N.a+ c

N+ c.a+2c

N+2c.......

a+(r −1)c

N+(r −1)c.

b

N+ rc.

b+ c

N+(r +1)c.....

b+(s−1)c

N+(n−1)c

.



Pero como la extracción de las bolas de la urna no depende delorden de como se extraigan y además la tasa de contagio es lamisma para todos los casos (ya sea una bola del tipo 1 o del tipo2), tenemos �nalmente:

P(X = r)=

(n

r

)a

N.a+ c

N+ c.a+2c

N+2c.......

a+(r −1)c

N+(r −1)c.

b

N+ rc.

b+ c

N+(r +1)c.....

b+(s−1)c

N+(n−1)c

Ahora se requiere simpli�car esta expresión, de esta maneradividimos numerador y denominador por c

P(X = r)=

(n

r

) ac( ac+1)...( a

c+ r −1) b

c(bc+1) ....(b

c+ s−1)

Nc(Nc+1)....(N

c+ r −1)(N

c+ r)(N

c+ r +1)...(N

c+n−1)

.



Recordemos que:

a

c(a

c+1)...(

a

c+ r −1) =

( ac+ r −1).....( a

c+1) a

c( ac−1)( a

c−2)..,3,2,1

( ac−1)( a

c−2)..,3,2,1

=

( ac+ r −1)!

( ac−1)!

.



b

c(b

c+1)...(

b

c+ s−1) =

(bc+ s−1).....(b

c+1) b

c(bc−1)(b

c−2)..,3,2,1

(bc−1)(b

c−2)..,3,2,1

=

(bc+ s−1)!

(bc−1)!

.



N

c(N

c+1)...(

N

c+ r −1)(

N

c+ r +1)...(

N

c+n−1) =

(Nc+n−1).....(N

c+ r)(N

c+1)N

c(Nc−1)..,3,2,1

(Nc−1)..,3,2,1

=

(Nc+n−1)!

(Nc−1)!

.



Ahora sustituyendo en la expresión original P(X ) = r

P(X = r) =

(n

r

)( ac+ r −1)!(b

c+ s−1)!

( ac−1)!(b

c−1)!

=

1(Nc +n−1)!(Nc −1)!

Como(nr

)= n!

r !s! podemos escribir:

P(X = r) =( ac+ r −1)!(b

c+ s−1)!

r ! ( ac−1)!s! (b

c−1)!

=1

(Nc +n−1)!n!(Nc −1)!

.



=

( ac+r−1

r

)( bc+s−1

s

)(Nc +n−1

n

)Renombrando los términos, llamando la probabilidad inicial deobtener la bola de tipo 1 como: p = a

N, para la bola de tipo 2

q = bN

y la tasa de contagio inicial δ = cN, podemos hacer estas

igualdades:

p+q = 1

b

c=

q

δ

a

c=

p

δ.



b

c=

q

δ

N

c=

1

δ

Sustituyendo �nalmente obtenemos:

P(X = r) =

( pδ+r−1r

)( qδ+s−1s

)( 1δ+n−1n

)

.



Proposición

Sea X una v.a. con distribución de Polya de parametros p,δ .Entonces se veri�ca la siguiente formula recurrente:

pk = P(X = k) =

( pδ+k−1

k

)s+1(qδ+ s) P(X = k−1)

donde s = n−k

p0 = P(X = 0) =

( qδ+n−1n

)( 1δ+n−1n

)

.



Demostración:

( pδ+k−1

k

)s+1(qδ+ s) P(X = k−1)=

( pδ+k−1

k

)s+1(qδ+ s) ( pδ +k−2

k−1)( q

δ+s

s+1

)( 1δ+n−1n

)

=

( pδ+k−1

k

)s+1(qδ+ s)

( pδ+k−2)!

(k−1)!( pδ−1)!

( qδ +s)!(s+1)!( qδ −1)!( 1

δ+n−1n

)

.



Reagrupando terminos tenemos:

=

( pδ +k−1)( pδ +k−2)!k(k−1)!( p

δ−1)!

( qδ +s)!( qδ +s)( qδ −1)!

s+1

(s+1)!( 1δ+n−1n

)

=

( pδ +k−1)!k!( p

δ−1)!

( qδ +s−1)!s!( qδ −1)!( 1

δ+n−1n

)

=

( pδ+k−1k

)( qδ+s−1s

)( 1δ+n−1n

) = P(X = k)

.

Bibliografía

Ademas se tiene que:

E (X ) = np

V (X ) = npq1+nδ

1+δ

Es decir el efecto contagio, modelizado en esta distribución produceuna media independiente de dicho efecto, e igual a la media en unadistribución binomial, en la que el contagio es nulo. Sin embargo lavarianza aumenta a medida que aumenta la probabilidad decontagio.

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Bibliografía

Bibliografía

http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0612697v1.pdf

http://pouyanne.perso.math.cnrs.fr/barcelona.pdf

[López Cachero, 1996] López Cachero, M. (1996). Estadísticapara actuarios. Fundación Mapfre Estudios, Madrid.

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