DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)En realidad la distribucin
ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se
extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada
muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin
muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacionalo la
desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se
elige una muestra de tamaonde una poblacin normal con varianza, el
estadstico:
tiene una distribucin muestral que es unadistribucin
ji-cuadradacon gl=n-1grados de libertady se denota X2(X es la
minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta
dado por:
dondenes el tamao de la muestra, s2la varianza muestral yla
varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El
estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente
expresin:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada1. Los valores de
X2son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribucin
X2depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de
distribuciones X2.3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el
eje horizontal es 1.4. Las distribuciones X2no son simtricas.
Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn
sesgadas a la derecha.5. Cuando n>2, la media de una distribucin
X2es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una
distribucin X2se da en el valor (n-3).La siguiente figura ilustra
tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor
(n-3) = (gl-2).
La funcin de densidad de la distribucin X2esta dada por:para
x>0La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro
de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores
crticos(gl) para veinte valores especiales de. Para denotar el
valor crtico de una distribucin X2con gl grados de libertad se usa
el smbolo(gl); este valor crtico determina a su derecha un rea
debajo la curva X2y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para
encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado
izquierdo ya o largo del lado superior de la misma tabla.
Clculo de ProbabilidadEl clculo de probabilidad en una
distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a
comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que
proviene de una distribucin normal.Ejemplos:1. Suponga que los
tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus
destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una
desviacin estndar=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17
tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea
mayor que 2.Solucin:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada
correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16
grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde
un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la
probabilidad es P(s2>2)
2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25
observaciones, de una poblacin normal con varianza, tenga una
varianza muestral:a. Mayor que 9.1b. Entre 3.462 y 10.745Solucin.a.
Primero se proceder a calcular el valor de la ji-cuadrada:
Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos
da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2>9.1) = 0.051.
Se calcularn dos valores de ji-cuadrada:yAqu se tienen que buscar
los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el
valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor
de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la
probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01
quedando 0.94.Por lo tanto la P(3.462s210.745) = 0.94
Estimacin de la VarianzaPara poder estimar la varianza de una
poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada.
Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:
Los valores de X2dependern de nivel de confianza que se quiera
al cual le llamamos. Si nos ubicamos en la grfica se tiene:
Ejemplos:1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10
paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4,
46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un
intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los
paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga
una poblacin normal.Solucin:Primero se calcula la desviacin estndar
de la muestra:
al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de
la muestra s2= 0.286.Para obtener un intervalo de confianza de 95%
se elige un= 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de
libertad se obtienen los valores de X2.
Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2corre
en forma normal, esto es de izquierda a derecha.Por lo tanto, el
intervalo de confianza de 95% para la varianza es:
Graficamente:
Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto
es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros
temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza
del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los
paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos
al cuadrado.2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo
comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que
producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio
en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de
calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en
intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln
fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de
los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de
confianza del 90%.Solucin:Al calcular la varianza de la muestra se
obtiene un valor de s2= 0.0285.Se busca en la tabla los valores
correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos
resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.Entonces
el intervalo de confianza esta dado por:y
Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin NormalEn la
mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza
o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son
normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se
puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se
construy el intervalo de confianza, esto es con la distribucin Ji-
cuadrada.Ejemplos:1. Una compaa que produce una parte maquinada
para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a
0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio
una varianza de muestra s2= 0.0003. Si se supone que las medidas
del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para
refutar lo que afirma el proveedor? Use= 0.05.Solucin:Como en todos
los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el
procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos,
se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo.Datos:=
0.0002n = 10s2 =0.0003= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;= 0.0002H1;>
0.0002
Regla de decisin:Si X2R16.919 no se rechaza Ho.Si X2R>16.919
se rechaza Ho.Clculos:
Justificacin y decisin:Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo
tanto no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia
de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor.Este
ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la
tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de
libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P
de 0.1484.
2. El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados
tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es= 18
mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar
de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que
la varianza ha cambiado?. Use un= 0.05 y calcule el valor de
P.Solucin:Datos:= 18n = 10s=4.8= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;=
18H1;18
Regla de decisin:Si 2.7X2R19.023 no se rechaza Ho.Si X2R19.023
se rechaza Ho.Clculos:
Justificacin y decisin:Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se
rechaza Ho,y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que
la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto
es es de 18 mg2.Si recordamos al principio de este tema se dijo que
la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la
media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R= 11.52
este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere
decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R.
Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de
0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 yP= (2)(0.2423) = 0.4846
3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere
para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una
prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una
desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de
20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una
desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente
evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el
valor de P para su decisin.Solucin:Datos:= 6n = 20s=4.51Ensayo de
hiptesis:Ho;= 6H1;< 6Clculos:
Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con
19 grados de libertad, y el rea que se encuentra es la que est a la
derecha de este valor. Como la media de esta distribucin
ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la
izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se
puede concluir que si hubiramos utilizado un nivel de significancia
de 0.10, se rechaza Hoy se concluye que la desviacin estndar
disminuyo, pero si se utiliza un valor de= 0.05, entonces no se
rechaza Hoy se concluira que la desviacin estndar no disminuy. La
decisin depende del error tipo I que est dispuesto a tolerar el
investigador.
Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en
la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos
ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer
el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin
Ji-cuadrada.1. Se tiene un ensayo de hiptesis unilateral derecho,
con n=20 y= 0.05Ho;= 0.10H1;> 0.10Se quiere calcular el error
tipo II si las desviaciones estndar verdaderas fueran de 0.12 y
0.14.Solucin:Para poder calcular el error tipo II, primero se debe
encontrar el valor de la varianza muestral lmite, esto es s2L, para
poder calcular los valores de X2y posteriormente calcular el rea.
Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituir
en la formula. Al despejar de la frmula original de X2se
obtiene:
2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta
seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la
varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha
cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.Solucin:Como este es
un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se
calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y
19.023.
y
Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas
ji-cuadradas para calcular el valor de
DISTRIBUCION "t DE STUDENT"Supngase que se toma una muestra de
una poblacin normal con mediay varianzaSies el promedio de
lasnobservaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la
distribucines una distribucin normal estndar. Supngase que la
varianza de la poblacines desconocida. Qu sucede con la distribucin
de esta estadstica si se reemplazapor s? La distribucintproporciona
la respuesta a esta pregunta.La media y la varianza de la
distribucintsonypara>2, respectivamente.La siguiente figura
presenta la grfica de varias distribucionest.La apariencia general
de la distribucintes similar a la de la distribucin normal estndar:
ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada
se alcanza en la mediaSin embargo, la distribucinttiene colas ms
amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es
mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados
de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucintes
la distribucin normal estndar.
Propiedades de las distribuciones t1. Cada curva t tiene forma
de campana con centro en 0.2. Cada curva t, est ms dispersa que la
curva normal estndar z.3. A medida queaumenta, la dispersin de la
curva t correspondiente disminuye.4. A medida que, la secuencia de
curvas t se aproxima a la curva normal estndar, por lo que la curva
z recibe a veces el nombre de curva t con gl =La distribucin de la
variable aleatoria t est dada por:
Esta se conoce como ladistribucin tcongrados de libertad.Sean
X1, X2, . . . , Xnvariables aleatorias independientes que son todas
normales con mediay desviacin estndar. Entonces la variable
aleatoriatiene una distribucin t con= n-1 grados de libertad.La
distribucin de probabilidad de t se public por primera vez en 1908
en un artculo de W. S. Gosset. En esa poca, Gosset era empleado de
una cervecera irlandesa que desaprobaba la publicacin de
investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin,
public su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En
consecuencia, la distribucin t normalmente se llama distribucint de
Student, o simplemente distribucin t. Para derivar la ecuacin de
esta distribucin, Gosset supone que las muestras se seleccionan de
una poblacin normal. Aunque esto parecera una suposicin muy
restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que
poseen distribuciones en forma casi de campana an proporcionan
valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribucin t.La
distribucin t difiere de la de Z en que la varianza de t depende
del tamao de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando
el tamao de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones
sern las mismas.Se acostumbra representar conel valor t por arriba
del cual se encuentra un rea igual a. Como la distribucin t es
simtrica alrededor de una media de cero, tenemos; es decir, el
valor t que deja un rea dea la derecha y por tanto un rea dea la
izquierda, es igual al valor t negativo que deja un rea deen la
cola derecha de la distribucin. Esto es, t0.95= -t0.05,
t0.99=-t0.01, etc.Para encontrar los valores de t se utilizar la
tabla de valores crticos de la distribucin t del libro Probabilidad
y Estadstica para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y
Myers.Ejemplo:El valor t con= 14 grados de libertad que deja un rea
de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha,
est0.975=-t0.025= -2.145
Si se observa la tabla, el rea sombreada de la curva es de la
cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de. La
manera de encontrar el valor de t es buscar el valor deen el primer
rengln de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la
primer columna y donde se interceptenyse obtendr el valor de
t.Ejemplo:Encuentre la probabilidad de t0.025< t <
t0.05.Solucin:
Como t0.05deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025deja un rea
de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 =
0.925.P( t0.025< t < t0.05) = 0.925Ejemplo:Encuentre k tal
que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de
tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal.Solucin:
Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de
libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un rea de
0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se
resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale aLuego
se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de
libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor
deest en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es
t = -2.977 por lo tanto:P(-2.977 < t < -1.761) =
0.045Ejemplo:Un ingeniero qumico afirma que el rendimiento medio de
la poblacin de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milmetro
de materia prima. Para verificar esta afirmacin toma una muestra de
25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05y
t0.05, queda satisfecho con su afirmacin. Qu conclusin extraera de
una muestra que tiene una media de 518 gramos por milmetro y una
desviacin estndar de 40 gramos? Suponga que la distribucin de
rendimientos es aproximadamente normal.Solucin:De la tabla
encontramos que t0.05para 24 grados de libertad es de 1.711. Por
tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmacin si una
muestra de 25 lotes rinde un valor t entre 1.711 y 1.711.Se procede
a calcular el valor de t:
Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la
probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad
igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de
0.02. De aqu que es probable que el fabricante concluya que el
proceso produce un mejor producto del que piensa.INTERVALO DE
CONFIANZA PARA; CONDESCONOCIDASiy s son la media y la desviacin
estndar de una muestra aleatoria de una poblacin normal con
varianza, desconocida, un intervalo de confianza de()100%
paraes:
donde/2es el valor t con= n-1 grados de libertad, que deja un
rea de/2 a la derecha.Se hace una distincin entre los casos
deconocida ydesconocida al calcular las estimaciones del intervalo
de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza
el teorema del lmite central, mientras que paradesconocida se hace
uso de la distribucin muestral de la variable aleatoria t. Sin
embargo, el uso de la distribucin t se basa en la premisa de que el
muestreo se realiza de una distribucin normal. En tanto que la
distribucin tenga forma aproximada de campana, los intervalos de
confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce
mediante el uso de la distribucin t y se puede esperar buenos
resultados.Con mucha frecuencia los estadsticos recomiendan que aun
cuando la normalidad no se pueda suponer, condesconocida y n30, s
puede reemplazar ay se puede utilizar el intervalo de
confianza:
Por lo general ste se denomina como unintervalo de confianza de
muestra grande. La justificacin yace slo en la presuncin de que con
una muestra grande como 30, s estar muy cerca de lareal y de esta
manera el teorema del lmite central sigue valiendo. Se debe hacer
nfasis en que esto es solo una aproximacin y que la calidad de este
enfoque mejora a medida que el tamao de la muestra crece
ms.Ejemplos:1. El contenido de siete contenedores similares de cido
sulfrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros.
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos
los contenedores si se supone una distribucin aproximadamente
normal.Solucin:La media muestral y la desviacin estndar para los
datos dados son:10 y s= 0.283En la tabla se encuentra que
t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aqu, el intervalo de
confianza de 95% paraes:
Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del
contenido de los contenedores est entre 9.47 y 10.26 litros.2. Un
artculo publicado en elJournal of Testing and Evaluationpresenta
las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustin residual en
segundos de especmenes tratados de ropa de dormir para nios:9.85
9.93 9.75 9.77 9.679.87 9.67 9.94 9.85 9.759.83 9.92 9.74 9.99
9.889.95 9.95 9.93 9.92 9.89Se desea encontrar un nivel de
confianza del 95% para el tiempo de combustin residual promedio.
Supngase que el tiempo de combustin residual sigue una distribucin
normal.Solucin:La media muestral y la desviacin estndar para los
datos dados son:9.8525 y s= 0.0965En la tabla se encuentra que
t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aqu, el intervalo de
confianza de 95% paraes:
Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de
combustin residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977
segundos.PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION
NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDACiertamente sospechamos que las pruebas
sobre una media poblacionalcondesconocida, debe incluir el uso de
la distribucin t de Student. La estructura de la prueba es idntica
a la del caso deconocida, con la excepcin de que el valoren la
estadstica de prueba se reemplaza por la estimacin de s calculada y
la distribucin normal estndar se reemplaza con una distribucin
t.Ejemplos:1. ElInstituto Elctrico Edisonpublica cifras del nmero
anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos elctrodomsticos.
Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora
al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un
estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de
42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9
kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05
que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora
anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es
normal.Solucin:1. Datos:= 46 kilowatt-horas= 11.9 kilowatt-hora= 42
kilowatt-horan = 12= 0.053. Ensayo de hiptesisHo;= 46
kilowatt-horaH1;< 46 kilowatt-hora
4. Regla de decisin:Si tR-1.796 No se rechaza HoSi tR< -1.796
Se rechaza Ho5. Clculos:
6. Justificacin y decisin:Como 1.16 > -1.796, por lo tanto no
se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.05
que el nmero promedio de kilowwatt-hora que gastan al ao las
aspiradoras no es significativamente menor que 46.Solucin por el
otro mtodo:
Regla de decisin:Si39.83 No se Rechaza HoSi< 39.83 Se rechaza
HoComo la= 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se
rechaza Ho.Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor
de P , como el valor de t calculada es de 1.16, se busca en la
tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135
con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que
seraun valor alto para un nivel de significancia.
1. Un artculo publicado en la revistaMaterials
Engineeringdescribe los resultados de pruebas de resistencia a la
adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que
cada especmen falla es la siguiente en MPa:19.818.517.616.715.8
15.414.113.611.911.4
11.48.87.515.415.4
19.514.912.711.911.4
10.17.9
Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que
10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una
distribucin normal, y utilicese= 0.05. Calcule el valor de
P.Solucin:1. Datos:= 10s = 3.55= 13.71n = 22= 0.053. Ensayo de
hiptesisHo;= 10H1;> 10
4. Regla de decisin:Si tR1.721 no se rechaza Ho.Si tR> 1.721
se rechaza Ho.5. Clculos:
6. Justificacin y decisin.Como 4.90 >1.721 se rechaza Hoy se
concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de
falla promedio es mayor que 10Mpa.Existe otra manera de resolver
este ejercicio, tomando la decisin en base al estadstico real, en
este caso la media de la muestra. De la frmula de la distribucin
muestral de medias se despeja la media de la muestra:
Regla de decisin:Si11.30 No se rechaza HoSi> 11.30 Se rechaza
HoComo la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor
de la media muestral lmite de 11.30 por lo tanto se rechaza Hoy se
llega a la misma conclusin.Para calcular el valor de P se va a la
tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se
obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21
grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un rea a la
derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 elvalor de P es
practicamente cero, y esto apoya la decisin de rechazar Ho.3. Los
pesos en libras de una muestra aleatoria de bebs de seis meses son:
14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba
con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso
promedio de todos los bebs de seis meses es distinto a 14 libras,
suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor
de P.Solucin:1. Datos:= 14 librass = 1.21 libras= 14.3 librasn = 8=
0.052. Ensayo de hiptesisHo;= 14 librasH1;14 libras
3. Regla de Decisin:Si 2.365tR2.365 No se rechaza HoSi tR<
-2.365 si tR> 2.365 Se rechaza Ho4. Clculos:
5. Justificacin y decisin:Como2.3650.70122.365 por lo tanto, no
se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.05
que el peso promedio de todos los bebs de seis meses es de 14
libras.Solucin por el otro mtodo:12.98 y 15.01
Regla de decisin:Si 12.9815.01 No se rechaza HoSi< 12.98 >
15.01 se rechaza HoComo la= 14.3 libras, entonces no se rechaza
Ho.Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de
0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se
encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y
0.896 con reas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando
linealmente se obtiene el valor de 0.2561.
Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en
la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos
ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer
el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin.Existen
curvas caractersticas de operacin en los libros con diferentes
grados de libertad para determinar los tamaos de muestra
correspondientes segn el grado de error que se quiera, recordando
que entre mayor sea el tamao de muestra menor ser el error.1. Se
sabe que los voltajes de una marca de pilas tamao C se distribuyen
normalmente, se prob una muestra aleatoria de 15 y se encontr que
la media es de 1.4 volts con una desviacin estndar de 0.21 volts.
En el nivel de significancia de 0.01:a. Indica esto que la media de
los voltajes es menor que 1.5 volts?b. Calcular la probabilidad de
cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas
es de 1.3 volts.Solucin:1. Datos:= 1.5 volts.s= 0.21 volts= 1.4
volts.n = 15= 0.012. Ensayo de hiptesisHo;= 1.5 voltsH1;< 1.5
volts
3. Regla de decisin:Si tR-2.624 No se rechaza HoSi tR< -2.624
Se rechaza Ho5. Clculos:
6. Justificacin y decisin:Como 1.84 > -2.624, por lo tanto no
se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.01
que los voltajes de las pilas tamao C no son menores a 1.5.Para
calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor dede la
siguiente forma:
Para encontrar el valor dese busca en la tabla de la distribucin
t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se
encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un rea
de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un rea de
0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando
la media verdadera es de 1.3 volts y un tamao de muestra de 15.2.
Para el ejercicio del peso de los bebs de 6 meses, calcular el
error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5
libras.Solucin:Primero se calculan los valores de:
En este ltimo clculo parase tendr que analizar las reas de los
dos extremos, pues estas no estn dentro de la regin de aceptacin,
por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo
II.Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad,
y al interpolar nos da un rea de 0.00475. El rea correspondiente a
1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo
que=1-(0.00475+0.1479)= 0.84733. Para el ejercicio en donde se dan
los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22
especmenes de aleacin U-700., encontrar la probabilidad de cometer
el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a
11.Solucin:Primero se obtendr el valor del estadstico lmite:
DISTRIBUCION "F" FISHERLa necesidad de disponer de mtodos
estadsticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es
evidente a partir del anlisis de una sola poblacin. Frecuentemente
se desea comparar la precisin de un instrumento de medicin con la
de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro
o hasta la forma en que vara el procedimiento para calificar de un
profesor universitario con la de otro.Intuitivamente, podramos
comparar las varianzas de dos poblaciones,y, utilizando la razn de
las varianzas muestrales s21/s22. Si s21/s22es casi igual a 1, se
tendr poca evidencia para indicar queyno son iguales. Por otra
parte, un valor muy grande o muy pequeo para s21/s22, proporcionar
evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones.La
variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables
aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus
respectivos grados de libertad. Esto es,
donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes
con grados de libertadyrespectivamente.Sean U y V dos variables
aleatorias independientes que tienen distribucin ji cuadradas
congrados de libertad, respectivamente. Entonces la distribucin de
la variable aleatoriaest dada por:
y se dice que sigue la distribucin F congrados de libertad en el
numerador ygrados de libertad en el denominador.La media y la
varianza de la distribucin F son:paraparaLa variable aleatoria F es
no negativa, y la distribucin tiene un sesgo hacia la derecha. La
distribucin F tiene una apariencia muy similar a la distribucin
ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los
dos parmetrosproporcionan una flexibilidad adicional con respecto a
la forma de la distribucin.Si s12y s22son las varianzas muestrales
independientes de tamao n1y n2tomadas depoblaciones normalescon
varianzasy, respectivamente, entonces:
Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introduccin a la
Inferencia Estadstica del autor Genther, se tendr que buscar
primero los grados de libertad dos para luego localizar el rea
correspondiente, relacionndola con los grados de libertad uno, para
calcular el valor de F.Las tablas tienen la siguiente
estructura:
P1 2 3 . .. 500
60.0005
0.001
0.005
.
.
0.999530.4
El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3
grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un rea de
cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:
Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que
ahora su forma depende de dos variables que son los grados de
libertad.Ejemplos :1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los
siguientes casos:a. El rea a la derecha de F, es de 0.25 con=4
y=9.b. El rea a la izquierda de F, es de 0.95 con=15 y=10.c. El rea
a la derecha de F es de 0.95 con con=6 y=8.d. El rea a la izquierda
de F, es de 0.10 con con=24 y=24Solucin:a. Como el rea que da la
tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los
grados de libertad dos que son 9, luego un rea de 0.75 con 4 grados
de libertad uno.
b. En este caso se puede buscar el rea de 0.95 directamente en
la tabla con sus respectivos grados de libertad.
c. Se tiene que buscar en la tabla un rea de 0.05, puesto que
nos piden un rea a la derecha de F de 0.95.
d. Se busca directamente el rea de 0.10, con sus respectivos
grados de libertad.
1. Si s12y s22son las varianzas muestrales de muestras
aleatorias independientes de tamaos n1=10 y n2=20, tomadas de
poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre
P(s12/s222.42).Solucin:Primero se establecen los grados de
libertad. Como en el numerador est la poblacin uno y en el
denominador la poblacin dos, entonces los grados de libertad uno
equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19.Se
procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son
19 y se observa que no estn, por lo tanto se tiene que interpolar
entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que
quedara:
Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de
libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los
siguiente:Area
0.902.09
0.952.59
Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de
0.933.Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad
dos:Area
0.952.39
0.9752.84
Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de
0.9516.Ahora ya se tienen las dos reas referentes a los grados de
libertad dos, por lo que se interpolar para ver cunto le
corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19.Area
150.933
200.9516
Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19
grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el rea a la
izquierda es de 0.9478.
2. Si s12y s22representan las varianzas de las muestras
aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2= 31, tomadas de
poblaciones normales con varianzas12=10 y22= 15, respectivamente,
encuentre P(s12/s22> 1.26).Solucin:Calcular el valor de
Fisher:
Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad
2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posicin se
busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al
localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un rea de
0.95, pero esta rea correspondera a la probabilidad de que las
relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que
se calcula su complemento que sera 0.05, siendo esta la
probabilidad de que s12/s22> 1.26.
Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos
Distribuciones NormalesSupngase que se tienen dos poblaciones
normales e independientes con varianzas desconocidas2y22,
respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles
dos muestras aleatorias de tamaos n1y n2, respectivamente, sean
s12y s22las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo
de confianza del 100() por ciento para el cociente de las dos
varianzas,12/22.Para construir el intervalo de confianza para el
cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza
muestral mayor en el numerador del estadstico F.Ejemplos:1. Un
fabricante de automviles pone a prueba dos nuevos mtodos de
ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados
se muestran el la tabla:Mtodo 1Mtodo 2
n1= 31n2= 25
s12= 50s22= 24
Construya un intervalo de confianza del 90%
para12/22.Solucin:Por la recomendacin de que la varianza muestral
mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:
al despejar:.F toma dos valores dependiendo del nivel de
confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de
libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.
yEstos resultados los podemos interpretar de la siguiente
manera:Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relacin de
varianzas12/22esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondra que la varianza
de la poblacin 1 es mayor a la varianza de la poblacin 2 entre 1.07
y 3.93.2. Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de
turbina. Al ingeniero de manufactura le gustara seleccionar el
proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la
superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer
proceso, la cual tiene una desviacin estndar s1= 4.7 micropulgadas,
y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la
cual tiene una desviacin estndar s2= 5.1 micropulgadas. Se desea
encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las
dos varianzas12/22.Suponga que los dos procesos son independientes
y que la rugosidad de la superficie est distribuida de manera
normal.Solucin:Por la recomendacin de que la varianza muestral
mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:
al despejar:.En este caso los grados de libertad uno valen 11 y
los grados de libertad dos 15.
yEstos resultados los podemos interpretar de la siguiente
manera:Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad,
no es posible afirmar que las desviaciones estndar de la rugosidad
de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel
de confianza del 90%.Ensayo de HiptesisSupngase que se tiene inters
en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las
varianzas de la poblacin son desconocidas. Se desea probar la
igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las
medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribucin t de
Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en
la poblacin.Para conocer esto ltimo se requiere de la distribucin
Fisher, y despus de utilizarla, se tomar la decisin de tener o no
varianzas iguales en la poblacin, dando pi a realizar la comparacin
de las dos medias segn estemos hablando. Primer caso en que las
varianzas de la poblacin son desconocidas pero iguales, o en el
caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero dismiles.Para
el ensayo de hiptesis se utilizar la relacin de varianzas, la cual
puede dar tres resultados:
En base a lo que se quiera probar, el ensayo podr ser unilateral
derecho, izquierdo o bilateral.Ejemplos:1. La variabilidad en la
cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos,
utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que
tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1
y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con la esperanza de
reducir la variabilidad, as como la cantidad media de impurezas en
los productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos
lotes produjeron las siguientes medias y varianzas:
Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las
variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba
con un= 0.05.Solucin:Datos:Poblacin 1 Poblacin 2
n1= 25 n2= 20= 0.05Ensayo de hiptesis:
Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el
numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad
uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 25-1
= 24 y2= 20-1=19.
Regla de decisin:Si Fc2.11 No se rechaza Ho,Si la Fc> 2.11 se
rechaza Ho.Clculo:
Decisin y Justificacin:Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza
Ho, y se concluye con un= 0.05 que no existe suficiente evidencia
para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del
proceso 1.2. En su incansable bsqueda de un sistema de llenado
adecuado, cierta empresa prueba dos mquinas. Robo-fill se usa para
llenar 16 tarros y da una desviacin estndar de 1.9 onzas en el
llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una
desviacin estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno
de estos sistemas en funcin de la uniformidad de llenado. Cual
deber seleccionar? Use un= 0.10.Solucin:Datos:Robo-FillsRF= 1.9nRF=
16= 0.10Automat-FillsAF= 2.1nAF= 21Ensayo de hiptesis:
Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el
numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad
uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 21-1
= 20 y2= 16-1=15.
Regla de decisin:Si Fc2.20 No se rechaza Ho,Si la Fc> 2.20 se
rechaza Ho.Clculo:
Decisin y Justificacin:Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza
Ho, y se concluye con un= 0.10 que la variacin de llenado de la
mquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se
selecciona cualquier mquina.3. Las capas de xido en las obleas
semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para
alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una
caracterstica crtica de la oblea, y lo deseable para los siguientes
pasos de la fabricacin es tener una variabilidad baja. Para ello se
estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de
determinar con cul se obtienen mejores resultados en cuanto a la
reduccin en la variabilidad del espesor del xido. Veintin obleas
son depositadas en cada gas. Las desviaciones estndar de cada
muestra del espesor del xido son s1= 1.96 angstroms y s2= 2.13
angstroms. Existe evidencia que indique una diferencia en las
desviaciones? Utilice=0.05.Solucin:Datos:s1= 1.96n1= 21s2= 2.13n2=
21Ensayo de hiptesis:
Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el
numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad
uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 21-1
= 20 y2= 21-1=20.
Regla de decisin:Si 0.406Fc2.46 No se rechaza Ho,Si la Fc<
0.406 si Fc> 2.46 se rechaza Ho.Clculo:
Decisin y Justificacin:Como 0.85 esta entre los dos valores de
Hono se rechaza , y se concluye con un= 0.05 que existe suficiente
evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son
iguales.Error Tipo II 1. Para el ejercicio anterior, encontrar la
probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera
relacin.Solucin:
1. Del ejercicio nmero 1 del ensayo de hiptesis en donde la
variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de
productos qumicos dependa del tiempo que tardaba el proceso y el
fabricante empleaba dos lneas de produccin 1 y 2, e hizo un pequeo
ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo
II si le relacin1.5.Solucin:por lo tanto s12/s22= 2.11 ya que esto
fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se
calcula un nuevo valor de F con la relacin de varianzas de 1.5.
Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de
libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene
que hacer una doble interpolacin ya que 19 grados de libertad dos
no vienen en la tabla.Primero se interpolar para 24 grados de
libertad uno y 15 grados de libertad dos:AreaValor de F
0.501.02
0.751.41
Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este
valor est muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un rea de
0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474Ahora se procede a
interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad
dos:AreaValor de F
0.751.35
0.901.77
La interpolacin para un valor de Fisher de 1.406 es de
0.77.Teniendo los dos valores, se puede calcular el rea
correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad
dos:Area
150.7474
200.77
Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da
un valor de 0.76548
Distribucin Muestral de MediasSi recordamos a la distribucin
normal, esta es una distribucin continua, en forma de campana en
donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es
simtrica.Con esta distribucin podamos calcular la probabilidad de
algn evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la
siguiente frmula:
En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero
y varianza igual a uno. Con esta frmula se pueden a hacer los
clculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la
tabla de la distribucin z.Sabemos que cuando se extraen muestras de
tamao mayor a 30 o bien de cualquier tamao de una poblacin normal,
la distribucin muestral de medias tiene un comportamiento
aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de
la distribucin normal cony, entonces la frmula para calcular la
probabilidad del comportamiento del estadstico, en este caso la
media de la muestra , quedara de la siguiente manera:
y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:
Ejemplo:Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una
duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con
media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas. Encuentre la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una
vida promedio de menos de 775 horas.Solucin:
Este valor se busca en la tabla de z
La interpretacin sera que la probabilidad de que la media de la
muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.Ejemplo:Las
estaturas de 1000 estudiantes estn distribuidas aproximadamente en
forma normal con una media de 174.5 centmetros y una desviacin
estndar de 6.9 centmetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de
tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin, determine:a. El nmero de
las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centmetros.b. El
nmero de medias muestrales que caen por debajo de 172
centmetros.Solucin:Como se puede observar en este ejercicio se
cuenta con una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, por lo
que se tendr que agregar el factor de correccin. Se proceder a
calcular el denominador de Z para slo sustituirlo en cada
inciso.
a.
(0.7607)(200)=152 medias muestralesb.
(0.0336)(200)= 7 medias muestralesDistribucin muestral de
ProporcionesExisten ocasiones en las cuales no estamos interesados
en la media de la muestra, sino que queremos investigar la
proporcin de artculos defectuosos o la proporcin de alumnos
reprobados en la muestra. La distribucin muestral de proporciones
es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta
distribucin se genera de igual manera que la distribucin muestral
de medias, a excepcin de que al extraer las muestras de la poblacin
se calcula el estadstico proporcin (p=x/n en donde "x" es el nmero
de xitos u observaciones de inters y "n" el tamao de la muestra) en
lugar del estadsitico media.
Una poblacin binomial est estrechamente relacionada con la
distribucin muestral de proporciones; una poblacin binomial es una
coleccin de xitos y fracasos, mientras que una distribucin muestral
de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos
los nmeros posibles de xitos en un experimento binomial, y como
consecuencia de esta relacin, las afirmaciones probabilsticas
referentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando la
aproximacin normal a la binomial, siempre que np5 yn(1-p)5.
Cualquier evento se puede convertir en una proporcin si se divide
el nmero obtenido entre el nmero de intentos.Generacin de la
Distribucin Muestral de ProporcionesSuponga que se cuenta con un
lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artculos defectuosos. Se van a
seleccionar 5 artculos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la
distribucin muestral de proporciones para el nmero de piezas
defectuosas.Como se puede observar en este ejercicio la Proporcin
de artculos defectuosos de esta poblacin es 4/12=1/3. Por lo que
podemos decir que el 33% de las piezas de este lote estn
defectuosas.El nmero posible de muestras de tamao 5 a extraer de
una poblacin de 12 elementos es12C5=792, las cuales se pueden
desglosar de la siguiente manera:Artculos BuenosArtculos
MalosProporcin de artculos defectuosoNmero de maneras en las que se
puede obtener la muestra
144/5=0.88C1*4C4=8
233/5=0.68C2*4C3=112
322/5=0.48C3*4C2=336
411/5=0.28C4*4C1=280
500/5=08C5*4C0=56
Total792
Para calcular la media de la distribucin muestral de
proporciones se tendra que hacer la sumatoria de la frecuencia por
el valor de la proporcin muestral y dividirla entre el nmero total
de muestras. Esto es:
Como podemos observar la media de la distribucin muestral de
proporciones es igual a la Proporcin de la poblacin.p= PTambin se
puede calcular la desviacin estndar de la distribucin muestral de
proporciones:La varianza de la distribucin binomial es2= npq, por
lo que la varianza de la distribucin muestral de proporciones
es2p=(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta frmula tenemos
que:, este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta
agregar el factor de correccin para una poblacin finita y un
muestreo sin reemplazo:
La frmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una
distribucin muestral de proporciones est basada en la aproximacin
de la distribucin normal a la binomial . Esta frmula nos servir
para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporcin en
la muestra.
A esta frmula se le puede agregar el factor de correccin desi se
cumple con las condiciones necesarias.Ejemplo:Se ha determinado que
60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos.
Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la
probabilidad de que la proporcin de la muestra de la gente que fuma
cigarrillos sea menor que 0.55.Solucin:Este ejercicio se puede
solucionar por dos mtodos. El primero puede ser con la aproximacin
de la distribucin normal a la binomial y el segundo utilizando la
frmula de la distribucin maestral de proporciones.Aproximacin de la
distribucin normal a la binomial:Datos:n=800 estudiantesp=0.60x=
(.55)(800) = 440 estudiantesp(x440) = ?Media= np= (800)(0.60)=
480
p(x440) = 0.0017. Este valor significa que existe una
probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800
estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.
Distribucin Muestral de ProporcionesDatos:n=800
estudiantesP=0.60p= 0.55p(p0.55) = ?
Observe que este valor es igual al obtenido en el mtodo de la
aproximacin de la distribucin normal a la binomial, por lo que si
lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de
0.0017. Tambin se debe de tomar en cuenta que el factor de
correccin de 0.5 se esta dividiendo entre el tamao de la muestra,
ya que estamos hablando de una proporcin.La interpretacin en esta
solucin, estara enfocada a la proporcin de la muestra, por lo que
diramos quelaprobabilidad de que al extraer una muestra de 800
estudiantes de esa universidad, la proporcin de estudiantes que
fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%.Ejemplo:Un
medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que
algunos usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an,
se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin.
Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa
el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporcin de la
muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin
adversa, exceda el 4%.a. Resolverlo mediante la aproximacin de la
normal a la binomialb. Resolverlo con la distribucin muestral de
proporcionesa. Aproximacin de la distribucin normal a la
binomial:Datos:n=150 personasp=0.03x= (0.04)(150) = 6
personasp(x>6) = ?Media = np= (150)(0.03)= 4.5
p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una
probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas,
mas de 6 presentarn una reaccin adversa.b. Distribucin Muestral de
ProporcionesDatos:n=150 personasP=0.03p= 0.04p(p>0.04) = ?
Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretacin
es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de
150 personas se tenga una proporcin mayor de 0.04 presentando una
reaccin adversa.Ejemplo:Se sabe que la verdadera proporcin de los
componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y
encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 60
tenga:a. Menos del 3% de los componentes defectuosos.b. Ms del 1%
pero menos del 5% de partes defectuosas.Solucin:a. Datos:n= 60
artculosP=0.04p= 0.03p(p