Distribución de probabilidades bernoulli y binomial etc ..

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES.

Carlos Alexis Estrada Juárez

CONCEPTO DE BERNOULLI.

Si X es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X , se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.

Su formula es:

Su función de probabilidad es definida como:

EJEMPLO DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI.

¿Qué tal van las clases, Bartolo?

Me pregunta mi barbero.

-Bien... Dando probabilidad

y estadística... Respondo.

-¡Ah! Probabilidad... Yo

Suelo jugar a la lotería...

Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos

posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de

probabilidad de ganar y un 50% de perder

ganar

perder

50%

50%

E

F

La suma de esto debe dar 100%

¿Se lanzan una moneda que probabilidad es de que salga águila?

águila 50% E

sol 50% F

Probabilidad.

10

0.30.7

1.0

La suma de esto debe dar 100%

Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X =1 si el dado cae seis y X= 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución

La probabilidad de éxito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).

Dados

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte

superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro

es de 0.55.

a) Sea X 1, si anota el tiro, si no lo hace, X 0. Determine

la media y la varianza de X.

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla,

su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos

anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es

así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique

por qué.

c) Determine la media y varianza de Y.

En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para

beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40%

una grande. Sea X 1 si se escoge aleatoriamente una orden

de una bebida pequeña y X 0 en cualquier otro caso.

Sea Y 1 si la orden es una bebida mediana y Y 0 en

cualquier otro caso. Sea Z 1 si la orden es una bebida pequeña

o mediana y Z 0 para cualquier otro caso.

a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.

b) Sea pY la probabilidad de éxito de Y. Determine pY.

c) Sea pZ la probabilidad de éxito de Z. Determine pZ.

d) ¿Es posible que X , Y sean iguales a 1?

e) ¿Es pZ pX pY?

f ) ¿Es Z X Y? Explique.

Problema 2

PROBLEMA 3

Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X =

1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier

otro caso. Sea Y = 1 si sale “cara” en la moneda de 5

centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale

“cara” en ambas monedas y Z 0 en cualquier otro caso.

a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.

b) Sea pY la probabilidad de éxito de X. Determine pY.

c) Sea pZ la probabilidad de éxito de X. Determine pZ.

d) ¿Son X , Y independientes?

e) ¿Es pZ = pX pY?

f ) ¿Es Z = XY? Explique.

PROBLEMA 4

Se lanzan dos dados. Sea X = 1 si sale el mismo número en

ambos y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y =1 si la suma

es 6 ,Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z =1 si sale el

mismo número en los dados y ambos suman 6 (es decir, que

salga 3 en los dos dados) y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX.

b) Sea pY la probabilidad de éxito de Y. Determine pY.

c) Sea pZ la probabilidad de éxito de Z. Determine pZ.

d) ¿Son X , Y independientes?

e) ¿Es pZ = pX pY?

f ) ¿Es Z = XY? Explique.

PROBLEMA 5

Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.

a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.

b) Demuestre que si X , Y son independientes, entonces pZ = pX pY.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL

la distribución varios compone es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

varios componentes determina si esta o no defectuoso

implica realizar varios ensayos de Bernoulli

C/U P= éxito ensayos independientes

X es el numero de éxitos en los ensayos

Formula

xbin (n,p)

EJEMPLOS DE PROBABILIDAD BINOMIAL

EJEMPLO 2°

EJEMPLO 3

PROBLEMAS PARA SU RESOLUCIÓN

1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas.

2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

3. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15?

4. Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?

5. En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON

la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros“.

Formula

EJEMPLOS DE LA PROBABILIDAD DE POISSON

PROBLEMAS DE POISSON PARA SU RESOLUCIÓN

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. Esta distribución se emplea con bastante frecuencia con objeto de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de intervalos en problemas de espera.

Formula

EJEMPLOS DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL.

PROBLEMAS DE EXPONENCIAL PARA SU RESOLUCIÓN