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Universidad de Madrid - Facultad de Ciencias

SEMINARIO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Adherido a la Unión Nacional de Astronomía)

y Ciencias Afines)

Publicación N. o 36

Distribución de las inclinaciones y de los polos

de las órbitas de las estrellas dobles visuales

POR

J PENSADO

PUBLICADO EN «VRANIA» NÚM. 244

MADRID1956

DISTRIBUCION DE LAS INCLINACIONESY DE LOS POLOS DE LAS ORBITASDE LAS ESTRELLAS DOBLES VISUALES

POR J. PENSADO t-X)

Las medidas de las posiciones relativas de las componentes de unpar visual nos permiten determinar la órbita aparente del mismo. esdecir. la proyección de la órbita relativa sobre el correspondiente planotangente a la esfera celeste. Conocida aquélla. quedan determinadoslos elementos de la órbita relativa con una ambigüedad respecto alsigno de la inclinación. signo que sólo puede determinarse mediantemedidas de velocidades radiales relativas. Los instantes más favora-bles para la medida de la velocidad radial relativa tienen lugar en lasproximidades de los nadas. pero aún en estas posiciones die.ha velo-cidad suele ser débil y en la mayoría de los casos imposible de deter-minar. Por ello. el número de órbitas con signos de la inclinaciónconocido es tan exiguo que no permite un estudio estadístico de ga-rantía.

En las investigaciones relativas a la distribución de los polos delos planos de las estrellas dobles visuales se han seguido dos caminos.Consiste el primero de ellos en el estudio de la distribución de los polosde aquellas estrellas dobles cuya órbita se conoce. Como el signo dela inclinación es generalmente desconocido. existen para cada órbitados polos. uno verdadero y otro falso. sin que sea posible distinguirentre ambos. Los trabajos de Mádler (1 ). Everett (2). See (3). Do-berck (4). Lewis y Turner (5) no permiten deducir ninguna conclu-sión firme con respecto a la orientación de los planos de las órbitas.

Chang (6). Finsen (7). Barbier (8) y Arend (9) estudiaron las ór-bitas en que se conoce el signo de la inclinación, o bien es ésta de 90'";en todos los casos los resultados han sido negativos. lo que no es deextrañar pues el número de órbitas que intervinieron era demasiadopequeño para que pudiera constatarse una concentración de polos queno fuera muy marcada.

(*) Pub licacióu n.? 36 del Seminario de Astronomia y Geodesia de la Universidad de Madrid.

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Se ha intentado aplicar algún criterio razonable que permita dis-tinguir los polos verdaderos de los falsos. Bohlin (10) elige como poloverdadero el más próximo al polo de la eclíptica, por analogía con loque ocurre con Andrómeda cuyo polo está próximo al de aquel planoceleste. Tal criterio no está "a príorí" justificado. Kreiken (11) ha su-puesto un sentido único de rotación en las binarias, coincidente conel de rotación de la Galaxia; con esta condición encuentra una fuerteconcentración de polos alrededor del polo de la Vía Láctea.

El segundo camino para el estudio de la distribución de los polosde los planos de las órbitas de las binarias visuales, permite intro-ducir en el cálculo un gran número de éstas, pues no es necesario quela órbita sea conocida, siendo suficiente con conocer una única obser-vación en ángulo de posición y distancia de todos los pares a estudiar.Análogamente a como hizo Charlier con los movimientos propios delas estrellas, se puede estudiar también la distribución en el espaciode las distancias absolutas entre las componentes de las estrellasdobles, correspondientes a una misma época, 1950.0 por ejemplo. Sidel estudio resultase un elipsoide de distribución con tres ejes des-iguales, los polos orbitales estarían concentrados preferentemente enla dirección del eje menor; si el elipsoide fuese de revolución o setratase de una esfera, tal concentración no existiría.

La ventaja del método indicado reside en el hecho de que puedeaplicarse a todas las estrellas dobles, independientemente de quetengan órbita o manifiesten carácter orbital. Presenta, sin embargo,el inconveniente de que, en el deseo de que el número de pares queintervengan en la investigación sea el mayor posible, los paresópticos se eliminan aplicando un criterio restrictivo del mismo tipoque los utilizados por Burnham y Aitken en la confección de suscatálogos de estrellas dobles; con esto no se logra eliminar comple-tamente a los pares ópticos y existe la incertidumbre de si una dis-tribución esférica o casi esférica que aparezca como resultado de lainvestigación, no será debida en gran parte a los pares ópticos quese incluyeron en ella.

La primera investiqación de este tipo fué realizada por Poor (12)en 1914, estudiando la distribución de los ángulos de posición y dis-tancias de acuerdo con el método de Char lier. En los pares con com-ponentes de igual magnitud consideró los dos ángulos de posiciónposibles que difieren en 1800 y con objeto de simplificar el cálculodió igual peso a las 48 zonas consideradas por Charlier. El resultadode la investigación fué el siguiente: Los polos de las órbitas estánorientados preferentemente en la dirección del centro de la Galaxia(coordenadas halladas, L=350", B= +2"). Hay que hacer notar, sinembargo, que el elipsoide obtenido por Poor difiere muy pace de unaesfera.

-3-

El resultado de Poor ha sido confirmado por Barbier (8) estudian-do 74 pares en que el movimiento relativo es rectilínieo y tiene lugaren la dirección que une las dos componentes, pares que correspon-derán a órbitas con 90° de inclinación. Barbier encuentra como orien-tación preferente de los polos la correspondiente a las coordenas ga~láctícas L=320", B= + 100.

El mismo procedimiento de Poor fué utilizado por Berglund (13)aplicándolo a pares cuyas componentes principales pertenecen a lasclases espectrales A y B, con separación de cada grupo y dentro deéstos consideró tres intervalos en magnitud para la clase A y dos parala B; en total fueron considerados 2952 pares. A cada una de las48 zonas de Charlier le fué aplicado un peso proporcional al númerode pares correspondientes de la zona. La razón entre los serniejesextremos de los elipsoídes hallados por Berglund para los distintosgrupos varía entre 0.70 y 0.90 y las coordenadas de los ejes menoresno concuerdan entre sí. Los semiejes intermedio y menor de cadaelipsoide pueden considerarse iguales entre sí dentro de los erroresmedios de los mismos y por tanto los elipsoides serían de revolución,en perfecto acuerdo con la distribución irregular de las direcciones dedichos semiejes; esto equivale a decir que los polos de las órbitas nomuestran una concentración apreciable en ninguna dirección. Comopuede observarse en el cuadro que se acompaña, tomado del trabajode Berglund, las longitudes galácticas de los semiejes mayores con-

CUADRO 1

11

Clase Magnitud Iespedral ! n 6 (o)--

1---------

·4,00-7,00 I 309 6,38 5,4814,49 ±0,33 311°-84° 220+ ?,o 112°- 5°

B 7,00 -9,00 490 7,67 6.35 6,13 ±0,19 314 -23 322 + 67 46 -- 44,00-9,00 799 6,78 6.08 5.87 ±0,24 317 -50 348 +35 66 - 15

1- ---------33 I4,00-7,00 464 4,90 4,12 3,58 ±0,20 309 -40 8 +32 73 -

7,00-8,25 871 5,26 4,98 4,72 ±0,19 310 -14 245 +59 213 -216 11A 8,25-9,00 , 818 6,07

15'44

15,15 ±0,20 358 -32 61 +35

118~14,00-9,ÜO 2153 5,41 4,90 4,86 ±0,10 328 -38 24 +36 89 - 34

cuerdan bastante bien, no así las latitudes. De los valores anterioressaca Berglund la conclusión de que la línea de los ápsides quizás estéorientada sistemáticamente en la dirección L=320J, B=~37), si bien laelongación del elipsoíde es tan pequeña que bien pudiera no ser real.

En 1939 aplicó Hopmann (14) el método de Bessel- Kobold parala determinación del apex a 1468 pares de separación superior a 2",0y de paralaje dinámica conocida, obteniendo como dirección pre Ie-

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rente (que puede considerarse coincidente con el eje mayor del elíp-soíde de repartición) la determinada por las coordenadas galácticasL=35P, B= + 14°. Aplicado el método de Schwarzschild para la de-terminación del apex y vertex a los mismos pares anteriores, obtuvopara coordenadas del apex L=40° y B=-5J y para el vertex L=295"y B=+16°, este último próximo a la dirección del centro galáctico.

En un trabajo posterior estudio Hopmann (15) 2158 pares clasi-ficados en pares abiertos y cerrados (según que la separación aparentesea mayor o menor que 100 U. A.). Aplicó el mismo procedimientoque el utilizado por Berglund para la determinación del «lípsoíde derepartición, llegando a las siguientes conclusiones: Los periastros seorientan preferentemente hacia el centro galáctico; los polos de lasórbitas muestran una orientación preferente en la dirección de Cas-siopeia, siendo los planos orbitales perpendiculares a la Vía Láctea.

Como se deduce de lo dícho hasta ahora, en las investíqacíonesrealizadas hall aparecido tres posibilidades distintas de orientación delos planes orbitales: distribución al azar, paralelismo con el plano dela Galaxia y, por último, perpendicularídad al plano de la misma.Ninguna de las posibilidades citadas presenta más argumentos a sufavor que las restantes y, después de 50 años de pacientes investi-gaciones, debemos de nuevo formularnos las preguntas: ¿Existe al-guna orientación predominante de los planos de las estrellas dobles?¿A qué son debidos los resultados contradictorios de las ínvestiqacío-nes realizadas?

En el presente estudio tratamos de comprobar si la hipótesis deuna distribución al azar de los polos de las estrellas dobles visualeses compatible con la distribución observada del conjunto de polos ver-daderos y falsos, correspondientes a 374 pares con órbita conocida.

Si consideramos una cierta zona de la esfera celeste de coorde-nadas medias u. y i), que supondremos para más sencillez que se re-duce a un punto con dichas coordenadas, y admitimos de momentoque existe un único polo real para todas las estrellas dobles, el valorabsoluto de la inclinación de la órbita (contada entre O y 90°) seráel mismo para todas las estrellas dobles de la zona considerada. Alvariar la zona de coordenadas u. y r), variará también el valor de lainclinación, según una ley bien fácil de determinar "a pricri". Pero,ni los polos reales se concentrarán en un punto, ni las zonas que hemosde considerar tienen una extensión nula, ni, por último, podemos con-siderar exactos los valores de la inclinación de las órbitas, la mayoríade ellas provisionales; esto traerá como consecuencia que el valormedio de la inclinación para las distintas zonas variará con una leyque en ningún caso será tan sencilla como hemos dicho al principioy ni siquiera aparecerá el valor medio O para la inclinación. De todos

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modos, si las circunstancias no son demasiado desfavorables, dichaley se mostrará al final.

Consideremos ahora el caso contrario en que la distribución realde polos es al azar. Para cada zona de coordenadas medias (J. y 0,el número de polos (dn.] comprendidos entre las inclinaciones i e i+diserá proporcional al área 2 seni di de la zona esférica delimitada sobrela esfera celeste por dos conos coaxiales de semiángulos i e i+di Ycuyo eje coincide con la dirección determinada por las coordenadas(J. yo. El valor medio de la inclinación correspondiente a la zonaserá pues

1: 1:

1:.f'~" 2 rt i seni di

f'z'2 rt scni di

, e

= 1 radián = 57u3

f'z dn., °

En este valor medio no inHuye para nada la extensión de la zona quese considere y solamente variará en virtud de los errores de la incli-

CUADRO II

11

-75° -60°a a

60° 30°a a

11- - +30 +1'>0 +75 +90 I47°7 54°1 46°6 011 a 411

I(6) (35) (20)---

I54°7 58°0 4103 411 a 811

(7) (33) (8)55°0 49°8 53°0 811 a 1211

(7) (28) (11)40°9 52°6 56°1 1211 a 1611

(7) (37) (14)----

40°6 54°3 46°8 1611 a 201,

(6) (36) (21),-------- ,

41°4 57°9 45°7 201, a 2411

(5) ! (37) (19) I I I47°0 52°7 54°2 ! 47°4 , 46°2 I , 01, a 12lt

(2) I (20) I (96) I (39) I (16) I-------62°0 41°0 55°0 48°7 65°3 1211 a 24lt

(4) (18) (110) (54) (10),57°0 47°2 54°6 48°1 53°6 42'7 011 a 24lt

I(6) (38) (206) (93) (26) (5)

°

-6-

nacion y c\e las fluctuaciones propias de la media, debidas al númeroforzosamente limitado de los valores que entran en el cálculo.

En el Cuadro II se resumen los resultados del cálculo. En él seconsignan los límites en ascensión recta y declinación para cada zona,el valor medio de la inclinación y el número de pares correspondientes.

32

30

FIGURA 1~

~----- -/

//

//

/"I

//

/I

/

i'I

//

I

\\

\

\\\\\

\\

\'\

\\\\

'"\\\\\

\\\\

28

2ó

24

22

20

18

16

/,//

//

//

//

II

I

//

I¿

12

ro

8

El valor medio de la inclinación relativo a los 374 pares es i=51°9,que es inferior al valor medio teórico (57°3). Como veremos, la selec-ción en el cálculo de órbitas parece jugar un papel predominante enla distribución de los valores de i.

La distribución de los valores medios de la inclinación para lasdistintas zonas que se han considerado en el cuadro anterior muestraque las oscilaciones alrededor de la media general 51°9 es irregulary su cuantía (que alcanza 11° en el caso más desfavorable) puedeexplicarse perfectamente, teniendo en cuenta el escaso número de ór-bita s de cada grupo y los errores con que está afectada le inc lina-ción en muchas de las órbitas utilizadas. No obstante se observa que,a excepción de dos zonas, las restantes tienen un valor medio de lainclinación inferior al teórico de 57°3, como ya hemos hecho notar

Ij

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anteriormente. Para buscar una explicación a este hecho, vamos a es-tudiar la curva de frecuencia de los valores absolutos de la inclinación.

En el Cuadro III consignamos las frecuencias de los valores delas inclinaciones de los pares objeto de este estudio. Se han considera-do los valores absolutos de la inclinación reducidos al intervalo Oo~90°.

CUADRO III

1

0° 5° 1100 15° 20° 25° 30° 1 35° I 40° 115° 10° 15° 20° 25° 30° 35° I 40° I 45°

-- -- -- -- -- --- --- --- --- ---n 8 2 1 10 16 16 22 33 28

-- ---- -- ---- 1 _

. 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° I 80° 85'II~I--'E---;-~I-';;- --';-;--;;-1~i-;~+~,00'ilEn la figura l ." se han representado con una cruz las frecuencias

del cuadro anterior y se ha trazado a sentimiento la curva correspon-diente de frecuencias. Tanto en el cuadro como en la figura puedeobservarse un máximo de frecuencia alrededor de la inclinación de 50°.Si en lugar de considerar las 374 órbitas estudiamos la curva de Fre-cuencia correspondiente a cualquiera de las zonas que aparecen en elCuadro II, encontramos siempre una curva similar, es decir, un mi-nimo próximo a cero en el origen y un máximo para un valor dife-rente de 90°.

Veamos cual sería la distribución teórica de las inclinaciones enel caso de que la repartición de polos sea al azar. En este caso elnúmero de pares con inclinaciones comprendidas entre i e i+di seráproporcional al área de la zona esférica limitada por dos conoscoaxiales con vértice en el centro de la esfera y semiángulos en elvértice i e i+di, o lo que es lo mismo el número de polos es propor-cional al seno de la inclinación. La curva teórica de distribución ven-dría pues dada por la fórmula

ni = Asen i

r

y el valor de la constante A se determina por la condición de que lasuma de los valores de ni correspondientes a los 18 intervalos quese han considerado en el Cuadro III ha de ser igual al número totalde órbitas (N =374).

N =~ ni =~ Asen i= A~ sen i

A= __ N__

~ sen i

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en donde la suma se extiende a los valores de i=2"5, 7°5, 12°5....87°5,resultando finalmente

ni = 32,6 sen i (1)

La curva de frecuencia dada por la fórmula (1) está representada enla figura l." con línea llena.

De la fórmula anterior se deduce que la curva teórica de frecuen-cia va aumentando desde O hasta un máximo correspondiente a lainclinación de 90"; por el contrario, tanto la curva experimental comalas distribuciones observadas en las distintas zonas muestran un má-ximo situado en las proximidades de 50'. Una distribución no uni-forme de los polos presupone un desplazamiento del máximo al cam-biar de zona y, en particular, la existencia de alguna zona en que elmáximo de frecuencia tenga lugar para 90°; como tal hecho no ocurre,parece más razonable buscar el origen de la diferencia entre la curvateórica y la experimental en un efecto de selección en el cálculo deórbitas. Tal efecto podría enunciarse de este modo: La probabilidadde poder determinar una órbita es máxima cuando la inclinación espróxima a 45° y mínima en las cercanías de 90". Naturalmente que lodicho se refiere únicamente a la determinación completa de todos loselementos de la órbita, pues sabido es que el encontrar pares cuyainclinación sea de 90" puede hacerse simplemente por la condición deque el movimiento de una componente sea rectilíneo y pase por laestrella principal. En este efecto de selección encontraría explicaciónel hecho de que el valor medio de i hallado experimentalmente seainferior al teórico.

Pasemos ahora al estudio de la distribución de los polos verdade-ros y falsos. Si consideramos que la distribución de polos verdaderoses uniforme, lo mismo ocurrirá con los falsos polos y, por te nto, conel conjunto de ambos. Las coordenadas ecuatoriales 0.

0, 00 de los

polos verdaderos y falsos se obtienen dando a la inclinación los va-lores + i Y - i en el siguiente producto de cracovianos (9)

¡'COS01 cos al cos ~1 sen al sen ~l ¡ =cos 110 cos ao COS00 sen ao sen ')0 í

cos a-sen a

O

sen a O ¡1- sen o O - cos o ¡1cos M - sen M1

00 ¡cos a O O 1 O sen M cos W

O 1 con o O - sen /) O O

C~s i se~ ~¡í ~~~:- sen i cos 1 í l O

-9-

Obtenidas las coordenadas de los polos, resulta la distribución queaparece en el Cuadro IV en que se han considerado zonas de igualárea.

CUADROIV

I~ OIIZIt 2-4 4-6 6-8 8-10 1O-1Z 12-14 ~I~18-20 20-22 22-24 ""-'----'

+30°+90° 24 10 16 16 14 13 19 14 16 15 14 16 1870°+30° 17 12 20 15 14 18 20 14 15 19 16 18 1980°-30° 10 13 12 13 18 21 12 19 17 9 15 18 177

I-30°-90° 14 11 12 15 8 11 23 18 18 15 15 24 184

-- ~l--;-- -- -- -- -- -- ---- -;:-1~

65 46 54 63 74 65 66 58 60 76,

Un examen del cuadro pone de manifiesto:

1.° Las 48 zonas consideradas están escasamente pobladas, porlo que las oscilaciones de frecuencia en dichas zonas no deben extra-ñar, máxime teniendo en cuenta que muchas de las órbitas utilizadasson provisionales. En todo caso las oscilaciones de frecuencia no ofre-cen regularidad alguna.

2.° Las sumas parciales de columnas y filas muestran, sobre todoestas últimas, pequeñas oscilaciones de carácter accidental.

CONCLUSIONES. Del estudio realizado se ha puesto de manifiestoun efecto de selección en el cálculo de órbitas, por lo que respecta ala inclinación.

La hipótesis de una repartición uniforme de los polos de las órbitasde las estrellas dobles visuales es compatible con la distribución ob-servada del conjunto de polos verdaderos y falsos y de los valoresabsolutos de la inclinación. Siendo muy escaso el número de órbitasconocido, no puede excluirse la posibilidad de una concentración depolos poco marcada.

Teniendo en cuenta todos los trabajos realizados hasta la fecha,la hipótesis de una distribución uniforme de polos es la más plausiblede cuantas se pueden hacer y es, además, compatible con las moder-nas hipótesis cosmogónicas sobre el origen de las estrellas dobles.

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BIBLIOGRAFÍA

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PUBLICACIONES DEL SEMINARIO DE ASTRONOMIA

y GEODESIA DE LA UNIVERSIDAD DE MADRID

l.-Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950. (1949).2.-E. PA]ARES: Sobre el cálculo gráfico de valores medios. (1949).3.-J. PENSADO:Orbita del sistema visual 02 U Maj. (1950).4.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951. (1950).S.-J. M. TORIl.O]A:Corrección de la órbita del Asteroide 1395 "Aríbeda". (1950).6.-R. CARRASCOy J. M. TORRO]A: Rectificación de la órbita del Asteroide 1371

"Resi". (1951).7.- J. M. TORRO]Ay R. CARRASCO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1560

(1942 XB) y efemérides para la oposición de 1951. (1951).8.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual ~ 728-32 Orionis. (1951).9.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952. (1951).

10.- J. PENSADO:Orbita provisional de 1: 1883. (1951).Il.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 1: 2052. (1952).12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953. (1952).13.-J. PENSADO:Orbita de ADS 9380 = 1: 1879. (1952).14.-F. ALCAZAR:Aplicaciones del Radar a la Geodesia. (1952).15.- J. PENSADO:Orbita de ADS 11897 = 1: 2438. (1952).16.-B. RODRÍGUEZSALINAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación

de periodos de las mareas y predicción de las mismas en un cierto lugar. (1952).17.-R. CARRASCOy M. PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1528

"Conrada". (1953).18.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Órbita de ADS 1709 = 1: 228. (1953).19.- J. BALTÁ:Recientes progresos en Radioastronomia. Radiación solar híperfre-

cuente. (1953).20.-J. M. TORRO]A y A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452

(1938 DZj). (1953).21.-J. M. TORRO]A: Cálculo con Cracovianos. (1953).22.-S. AREND: Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación

matemática de fenómenos experimentales. (1953).23.-J. M. TORRO]Ay V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contac-

tos en el eclipse total de sol de 25 febrero de 1952 en Cogo (Guinea española).(1954).

24.-J. PENSADO:Orbita de la estrella doble ~ 2 (1954).25.- J. M. TORRO]A: Nueva órbita del Asteroide 1420 "Radclíffe" (1954).26.-J. M. TORRO]A: Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).27.-R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290

"Albertíne". (1954).28.- J. PENSADO:Distribución de los periodos y excentricidades y relación periodo

excentricidad en las binarias visuales (1955).29.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Nueva órbita del Asteroide 1372 "Haremari" (1955).30.-M. DEPASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).31.-J. M. TORRO]A: Orbita del Asteroide 1554 "Yugoslavia" (1955).32.-J. PENSADO:Nueva órbita del Asteroide 1401 "Lavonne" (1956).33.-J. M. TORRO]A: Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura de

la Tierra. (1956).34.-D. CALVO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 "Mündleria". (1956).35.-M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 "Predappia".

(1956) .

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