Distribución conjunta de variables aleatorias · Independencia de variables aleatorias distribuidas conjuntamente •Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta

Estadísca 2016 - Tamara Burdisso

Distribución conjunta de variables aleatorias


Distribución conjunta de probabilidad

• Hasta ahora estudiamos las posibles distribuciones de una única v.a.

• Pero muchos de las aplicaciones que enfrentamos en economía, finanzas, etc. se vinculan con la relación de dos o más variables aleatorias.

• Ya vimos el comportamiento de las probabilidades bivariadas (conjunta, condicional y marginal). Consideremos ahora el estudio de v.as. que pueden estar relacionadas


Distribución de probabilidad conjunta

• Sean X e Y un par de v.as. discretas. La distribución de probabilidad conjunta expresa la probabilidad de ue simultáneamente tome el valor un valor específico tome un valor específico . Matemáticamente

0),(),( yYxXPyxp

X Yx ey



),(),( yYxXPyxp

• Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. Y consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea X el número de mujeres en tres hijos y sea Y el número de rachas

X:" # de mujeres en una familia con tres hijos"

Y:" # de rachas en una familia con tres hijos"

1 2 3

0

1

2

3

X

Y



Distribución de probabilidad marginal

• Sin embargo pueden necesitarse las distribuciones de probabilidad marginal de las v.as. individuales cuando se estudian v.as. distribuidas conjuntamente.

• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta .

• La distribución de probabilidad de la v.a. Se denomina distribución de probabilidad marginal y se obtiene como

• De la misma manera se define la distribución marginal de

y

yYxPxpxXP ),()()(

X

YX e

Y

),( yxp

x

yxXPypyYP ),()()(



• Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. Y consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea X el número de mujeres en tres hijos y sea Y el número de rachas

y

yYxPxpxXP ),()()(

x

yxXPypyYP ),()()(

X:" # de mujeres en una familia con tres hijos"

Y:" # de rachas en una familia con tres hijos"

1 2 3 p(x)

0 0.14 0.00 0.00 0.14

1 0.00 0.26 0.13 0.39

2 0.00 0.24 0.12 0.36

3 0.11 0.00 0.00 0.11

p(y) 0.25 0.50 0.25 1.00

X

Y



Propiedades de las distribuciones de probabilidad conjunta


1. La para cualquier par de valores

2.

1),(0 yxp

YX e

yx e

),( yxp

1),(),( x yx y

yxpyYxXP


Distribución de probabilidad condicionada


• La distribución de probabilidad condicionada de la v.a. , dado que la v.a. toma el valor , es

• De la misma forma, la distribución condicionada de la v.a. ,dado

YX e

),( yxp

)(

),(

)(

),()/()/(

xp

yxp

xXP

xXyYPxypxXyYP

Y X x

X yY

)(

),(

)(

),()/()/(

yp

yxp

xyYP

yYxXPyxpyYxXP


Independencia de variables aleatorias distribuidas conjuntamente

• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta son independientes si y sólo si su distribución de probabilidad conjunta es el producto de las marginales para todos los posibles valores

• Por lo tanto se deduce que si son independientes

YX e

yx e

),( yxp

)()()()(),(),( yYPxXPypxpyxpyYxXP

YX e

)()()/( yYPypxXyYP

)()()/( xXPxpyYxXP


Funciones lineales de v.as.

• Sean v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta

• La esperanza de la función se define como

• De especial interés es la siguiente función

x y

yxpyxgYXgE ),(),(,

YX e),( yxp

),( YXg

),( YXgbYaXW


Funciones lineales de v.as.

• Sean v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta

• La esperanza de la v.a. es

• Y la varianza de

),cov(2)( 22222 YXabbaWVar YXW

YX e),( yxp

YXW baWE

bYaXW

bYaXW


Covarianza y correlación

• La distribución bivariada o conjunta de X e Y es clave cuando las v.as. no son estadísticamente independientes.

• La dependencia de las v.as. puede ser de diversos tipos. Contar con una medida de la naturaleza y del grado de relación entre ellas sería muy útil.

• Esto es bastante difícil de obtener porque la forma en que las v.as. pueden relacionarse son diversas.

• Por eso nos limitamos a analizar la posibilidad de que tengan una relación lineal entre ellas

• La covarianza es una medida de la relación lineal que existe entre dos variables v.as. Sólo indica el sentido de la relación.

• Sin embargo existe el coeficiente de correlación que además del sentido de la relación también informa sobre la intensidad de la relación.


Covarianza

• Sean v.as. discretas con medias respectivamente.

• El valor esperado de se llama covarianza de entre y se representa como

• Una expresión alternativa es

YX

x y

YXXY yxxypXYEYX ),(,cov

YX e XX y

),()()(

,cov

yxpyx

YXEYX

YX

x y

YXXY

YX YX YX e


Coeficiente de correlación

• Sean v.as. discretas con distribución conjunta.

• El coeficiente de correlación entre es

YX e

YX

XY

YXYXcor

,cov,

YX e


Diagrama de puntos. Coeficiente de correlación


Coeficiente de correlación

• Sean v.as. discretas con distribución conjunta, y sea el coeficiente de correlación. Entonces

•

•

•

•

•

•

YX e

11 XY

XY

0con si 1 abaXYXY

0con si1 abaXYXY

00 XYXY

ntesindependiesean e que implica no 0XY YX

normalón distribuci tengan que siempre

e de ciaindependen tienese 0

X,Y

YXXY


Ejemplo

• Un constructor no conoce con certeza los gastos de material y mano de obra de cierto proyecto, pero cree que los gastos de materiales siguen una v.a. con media $20000 y desvío estándar $2000. El costo de la mano de obra asciende a $1200 diarios y el número de días para realizar el proyecto puede representarse mediante una v.a. con media 20 y desvío 3 días. Suponiendo que los gastos de material y mano de obra son independientes, ¿cuál es la media y la varianza del gasto total?


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