Distância entre Dois Distância entre Dois Pontos Pontos •Na Recta •No Plano •No Espaço
Distância entre Dois PontosDistância entre Dois Pontos
•Na Recta
•No Plano
•No Espaço
0
A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada.
5x
P(5) dPO=5 5
Distância entre dois pontos na Recta
Início
0
A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada.
-5x
Q(-5) dQO=5
5
Distância entre dois pontos na Recta
Início
De uma forma geral, a distância de um ponto à origem é o valor absoluto da própria coordenada.
a x
P(a) dPO=|a|
0
|a|
Distância entre dois pontos na Recta
Início
0
A distância entre dois pontos será dada pela subtracção das coordenadas.
5 x
P(3)Q(5)
dPQ=5-3 =2
32
Distância entre dois pontos na Recta
Início
a
Se não soubermos qual é o maior valor (a ou b), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim vamos obter sempre um valor positivo para a distância.
b x
P(a)Q(b) dPQ=|a-b|
|a-b|
Distância entre dois pontos na Recta
Início
0 3 x
P(5)Q(3)
dPQ=|a-b|Exemplo:
5
dPQ= |3-5| = |-2| = 2
dPQ= |5-3| = |2| = 2
Início
0 3 x
P(-1)Q(3)
Exemplo:
-1
dPQ= |-1-3| = |-4| = 4
dPQ= |3-(-1)| = |3+1| = |4| = 4
Início
dPQ=|a-b|
0-6 x
P(-2)Q(-6)
Exemplo:
-2
dPQ= |-6-(-2)| = |-6+2| = |-4| = 4
dPQ= |-2-(-6)| = |-2+6| = |4| = 4
Início
dPQ=|a-b|
-24 x
P(-2,4)Q(-2,9)R(4,4)
5
Distância entre dois pontos no Plano
y
0 P 9Q
4 R
6
No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas:
dPR = |-2-4| = = 6
No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas:
dPQ = |4-9| = = 5 Início
x
Distância entre dois pontos no Plano
y
0
P(a1,b1)Q(a2,b2)
Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos?
a1
b1
a2
b2
P
Q
?
Início
x
Distância entre dois pontos no Plano
y
0
P(a1,b1)Q(a2,b2)
Começamos por considerar um terceiro ponto cuja abcissa seja igual à de um dos pontos e a ordenada igual à do outro ponto.
a1
b1
a2
b2
P
Q
?
R(a2,b1)
R
Início
x
Distância entre dois pontos no Plano
y
0
P(a1,b1)Q(a2,b2)
Determinamos a distância do ponto novo a cada um dos pontos dados.
a1
b1
a2
b2
P
Q
?
R(a2,b1)
R
dPR = | a1-a2 |dQR = | b1-b2 |
Início
x
Distância entre dois pontos no Plano
y
0
P(a1,b1)Q(a2,b2)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância entre os dois ponto iniciais.
a1
b1
a2
b2
P
Q
R(a2,b1)
R
dPR = | a1-a2 |dQR = | b1-b2 |
(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2
Início
x
Distância entre dois pontos no Plano
y
0
P(a1,b1)Q(a2,b2)
Podemos expressar adistância entre dois pontos através das suas coordenadas.
a1
b1
a2
b2
P
Q
R(a2,b1)
R
dPR = | a1-a2 |dQR = | b1-b2 |
(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2
(dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2
d
2212
21 bbaadPQ
Início
Exemplo: 2212
21 bbaadPQ
x
y
0P(7,-2)7
-2P
A distância de um ponto à Origem é dada por:
22 badPO
53
449
)2(7 22
POd
Início
Exemplo: 2212
21 bbaadPQ
x
y
0
P(7,-2)Q(-3,4)
7
-2P
342
136
36100
)6()10(
)42()37(
)42())3(7(
22
22
22
PQd
-3
4
Início
x
Distância entre dois pontos no Espaço
y
zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)
P
Q
a1
b1
c1
a2
b2
c2
?
Início
x
Distância entre dois pontos no Espaço
y
zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)R(a2, b2 ,c1)
P
Q
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Começamos por considerar um ponto com duas coordenadas iguais a um dos pontos e a outra igual ao outro ponto.
R
Início
x
Distância entre dois pontos no Espaço
y
zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)R(a2, b2 ,c1)
P
Q
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Determinamos a distância desse ponto a cada um dos outros pontos.
R
(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2
dQR = | c1-c2 |
Início
x
Distância entre dois pontos no Espaço
y
zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)
P
Q
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Através do Teorema de Pitágoras podemos agora determinar a distância entre os ponto P e Q.
R
(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2
dQR = | c1-c2 |
(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 (dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2
Início
x
Distância entre dois pontos no Espaço
y
zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)
P
Q
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas.
R
(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2
dQR = | c1-c2 |
(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 (dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2
2212
212
21 ccbbaadPQ Início
A distância de um ponto à Origem é dada por:
222 cbadPO
53
45
16254
45)2( 222
POd
Exemplo: 2212
212
21 ccbbaadPQ
x
y
zP(-2,5,4)
P
-2
5
4
Início
Exemplo: 2212
212
21 ccbbaadPQ
x
y
z
P(2,-2,-4)Q(-4,6,3)
P
Q
2
-2
-4
-4
6
3
149
496436
)7()8()6(
)34()62()42(
)34()62())4(2(
222
222
222
PQd
Início
Distância entre Dois PontosDistância entre Dois Pontos
•Na Recta
•No Plano
•No Espaço
P(a)Q(b) dPQ=|a-b|
2212
21 bbaadPQ P(a1,b1)Q(a2,b2)
P(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)
2212
212
21 ccbbaadPQ
Início