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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE FILOSOFIA E
CINCIAS HUMANASPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM FILOSOFIA
Newton Marques Peron
LGICAS DA INCONSISTNCIADENTICA
Dissertao de Mestrado
Orientador: Marcelo Esteban Coniglio
Campinas, Maro de 2009
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FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DO IFCH - UNICAMP
Ttulo em ingls: Logics of Deontic Inconsistency.
Palavras chaves em ingls (keywords) : rea de Concentrao:
Filosofia Titulao: Mestre em Filosofia Banca examinadora:
Data da defesa: 26-02-2009 Programa de Ps-Graduao: Filosofia
Mathematical logic, non classical Deontic logic
Marcelo Esteban Coniglio, Walter Alexandre Carnielli, Frank
Thomas Sautter.
Peron, Newton Marques P424L Lgicas da Inconsistncia Dentica /
Newton Marques Peron.
- - Campinas, SP : [s. n.], 2009. Orientador: Marcelo Esteban
Coniglio. Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas,
Instituto de Filosofia e Cincias Humanas.
1. Lgica matemtica no-clssica. 2. Lgica dentica. I. Coniglio,
Marcelo Esteban. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto
de Filosofia e Cincias Humanas. III.Ttulo. (msh\ifch)
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Resumo
Esse trabalho expe brevemente o que so as Lgicas da
InconsistnciaFormal. Essas lgicas no trivializam a relao de
conseqncia na presenade contradies, pois a partir de e temos
simplesmente que , ou seja, no consistente, ou no seguro.
De maneira anloga, as Lgicas da Inconsistncia Dentica so
lgicasque no trivializam a relao de conseqncia na presena de
obrigaesconflitantes, como e . Nesse caso teramos apenas , ou seja,
deonticamente inconsistente, ou deonticamente inseguro.
Essa abordagem parece interessante sobretudo na anlise de
paradoxosdenticos, em que a partir de um conjunto de premissas
intuitivamenteconsistentes, temos e . Trataremos como exemplo um
nico para-doxo, a saber, o Paradoxo de Chisholm.
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Abstract
This work expose briefly what are the Logics of Formal
Inconsistency.Those logics do not trivialize the consequence
relation in the presence ofcontradictions, since from and we just
derive , that is, is notconsistent, or not safe.
Analogously, the Logics of Deontic Inconsistency are logics that
do nottrivialize the consequence relation in the presence of
conflicting obligations,since from and we would just obtain , that
is, is not deonti-cally consistent, or not deontically safe.
That approach seems interesting mainly for analyzing deontic
parado-xes, in which from a set of intuitively consistent premises,
we derive and . In order to exemplify we will regard just one
paradox, namelyChisholms Paradox.
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Agradecimentos
Agradeo ao meu orientador Marcelo Esteban Coniglio pelo
minucioso acom-panhamento desse trabalho, aos professores do CLE
Walter Alexandre Car-nieli e Itala M. DOtataviano que muito me
contriburam no estudo de lgicaclssica e lgica modal e, por fim, aos
amigos que me apoiaram.
Agradeo ainda ao projeto temtico ConsRel da FAPESP e ao CNPq
pelofinanciamento desta pesquisa.
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Este trabalho foi financiado por uma bolsa do CNPq - Conselho
Nacionalde Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico.
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Sumrio
1 LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL 11.1 Paraconsistncia,
Trivialidade e Exploso . . . . . . . . . . . . 11.2 mbC e C1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 LGICAS DA INCONSISTNCIA DENTICA 172.1 Lgica Dentica Clssica e
Paraconsistncia . . . . . . . . . . 172.2 Lgicas Denticas
Paraconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 PARADOXOS DENTICOS 453.1 O Paradoxo de Chisholm . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 45
4 CONSIDERAES FINAIS 51
5 PERSPECTIVAS 535.1 LFIs de Primeira Ordem . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 545.2 A frmula de Barcan . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 565.3 Lgicas Denticas Didicas . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 57
BIBLIOGRAFIA 58
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Captulo 1LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL
1.1 Paraconsistncia, Trivialidade e ExplosoAs LFIs - Lgicas da
Inconsistncia Formal (Logics of Formal Inconsistency)- so uma
classe ampla de lgicas paraconsistentes que internalizam as no-es
bsicas de consistncia e inconsistncia em nvel meta-lgico. As
LFIsforam introduzidas por W. Carnielli e J. Marcos em [7] e
posteriormenteanalisadas em detalhe (em particular, seus aspectos
semnticos) no artigo[8], que adotamos aqui como principal referncia
bibliogrfica. Refernciasadicionais a demais artigos sero
explicitamente citadas.
Uma das principais diferenas entre as lgicas do tipo clssico e
as LFIs que, nas primeiras, no h distino entre contradio e outras
formas deinconsistncia. A partir de uma contradio, tudo pode ser
demonstrado eobtemos, assim, trivializao. J nas LFIs,
no-trivialidade no pode serdefinida apenas como ausncia de
contradio, pois nessa relao est pressu-posto o conceito de
consistncia. O que esperamos dessas lgicas permitirinconsistncia em
certas circunstncias e garantir que o sistema ainda possamanter sua
capacidade de realizar inferncias razoveis na presena de
con-tradies.
Daqui em diante, trataremos essas noes em nvel meta-lgico para,
emseguida, internalizar algumas delas no estudo das LFIs.
Tomemos For como o conjunto de frmulas de uma dada
linguagem.Aqui, e denotam frmulas quaisquer, enquanto e so
subconjuntosde For. Assim, uma lgica L definida simplesmente como
uma estruturada forma For, , que contm um conjunto de frmulas e uma
relao deconseqncia definida nesse conjunto.
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Assumiremos que a linguagem de qualquer lgica L definida por
umaassinatura proposicional = {n}nN, em que n o conjunto de
conectivosde cardinalidade n. Assumiremos ainda que P = {pn : n N}
o conjuntode variveis proposicionais (ou frmulas atmicas) tal que
as frmulas sogeradas livremente a partir de P usando .
Acrescentemos a essa lgica L as seguintes condies:
(Con1) implica (Con2) ( e ) implica (Con3) ( e , ) implica ,
(Con4) implica () ()(Con5) implica fin , para algum fin A primeira
condio denominada reflexividade, a segunda monotonici-dade e a
terceira chamada condio de corte. A quarta
denominadaestruturalidade em que o smbolo denota um endomorfismo da
linguagem.A ltima denominamos compacidade e interpretamos fin como
um conjunto1 qualquer finito.
Qualquer conjunto For chamado de teoria de L. Se paratodo ,
dizemos que uma tese dessa lgica.
A partir de agora lidaremos com uma lgica arbitrria L = For,em
que se gera For a partir de uma assinatura que contm o conectivo
(negao) e satisfaz (Con1) - (Con5).
Seja uma teoria de L . Dizemos que uma teoria contraditria
emrelao a , ou simplesmente contraditria sse:
( e )
Para cada frmula acima, podemos dizer que -contraditrio. J
umateoria trivial sse:
( )Evidentemente, a teoria For trivial, uma vez que, para todo ,
Fore, por (Con1), temos que For . Alm disso, como em uma teoria
trivialvale para todo , ento, em particular vale para . Assim,
todateoria trivial contraditria. Entretanto, veremos adiante que a
recprocano verdadeira.
1Observe que, para esta condio fazer sentido, deve ser assumido,
adicionalmente, queo conjunto For uma lgebra livremente gerada a
partir de uma assinatura.
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Outro conceito importante o de exploso. Uma teoria explosiva
sse:
(, , )Podemos demonstrar de acordo com noo definio de lgica
trivial quese uma teoria trivial, ento explode. Ora, se trival,
temos ( ),substituindo por . Tomemos = {,}. Como , por (Con2),temos
que para todo , ou seja, (, , ).
Tambm possvel demonstrar que se uma teoria contraditria e
ex-plosiva, ento trivial. Se contraditrio, temos ( e ).Ainda, se
explosivo, temos (, , ). Como temos e, , , temos, por (Con3) que ,
, para todo e para todo .Do mesmo modo, de , e , por (Con3), temos
, paratodo , ou seja, trivial.
No podemos esquecer que definimos L como For,. Ora, como For,
por (Con2), podemos estender todas as definies acima para umalgica
L. Dessa forma, j nos possivel formalizar alguns princpios
lgicosaplicados a uma lgica qualquer L:
Princpio de No-Contradio (PNC)
( 1 ou 1 )(L no-contraditrio) (1.1)Princpio de No-Trivialidade
(PNT)
( 1 )(L no-trivial) (1.2)Princpio de Exploso (PPE)
(, , )(L explosivo) (1.3)O ltimo princpio tambm denominado de
Princpio ex Contraditione Se-quitor Quodlibet.
De acordo com as definies (1.1), (1.2) e (1.3) acrescidas as
demonstra-es anteriores, podemos formular o seguinte teorema:
TEOREMA 1(i) Numa lgica h trivializao se e somente se houver
contradio e explo-so.(ii) Numa lgica no valem simultaneamente o
Princpio de Exploso e oPrincpio de No-Trivialidade se, e somente
se, no vale o Princpio de No-Contradio.
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DEFINIO 1 Uma lgica L denominada consistente se for explosiva
eno-trivial, ou seja, se respeita (1.3) e (1.2).Caso contrrio,
dizemos que L inconsistente.
Lgicas paraconsistentes so inconsistentes porque h o controle da
explo-so de diversas formas. Lgicas triviais tambm so
inconsistentes, conformea definio acima. A diferena entre lgicas
paraconsistentes e triviais queas ltimas aceitam todo tipo de
inferncia, no separando as proposies en-tre derivveis e no
derivveis. Assim, podemos formular uma nova definiode lgica
paraconsistente:
Uma lgica paraconsistente sse for inconsistente e no-trivial
(1.4)
Essa definio explica a diferena entre lgicas paraconsistentes e
lgicas dotipo clssico, como citado no inco dessa subseo. Lgicas do
tipo clssicoso consistentes, isso , aceitam o Princpio de Exploso
(1.3). Disso decorreque de uma contradio do tipo e , tudo se segue,
trivializando o sistema.J lgicas paraconsistentes, por no aceitar
(1.3), mas somente (1.1) e (1.2),podem aceitar certas
inconsistncias sem trivializar o sistema.
Um importante conceito que ser tratado nas subsees seguintes o
deequivalncia entre conjunto de frmulas. Dizemos que e so
equivalentessse:
( ) e ( )Em particular, as frmulas e so equivalentes sse:
( ) e ( )
Essas propriedades sero denotadas por a e a ,
respectivamente.Uma frmula em L uma partcula falsum se pode, por si
s, trivializar
a lgica, isto :(, )
Uma partcula falsum, quando existir, ser denotada por . A notao
no ambga porque duas partculas falsum quaisquer so equivalentes. Se
numalgica a partcula falsum teorema, ento a lgica trivial.
A existncia de partculas falsum numa lgica L regulada pelo
seguinteprincpio:
Princpio de Ex Falso Sequitur Quodlibet
(, )(L tem uma partcula falsum) (1.5)
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Analogamente particula falsum, dizemos que uma frmula
umapartcula verum quando se segue de toda teoria, ou seja:
( )
Denotaremos tal partcula, quando existir, por >, que tambm no
am-bguo. Em uma lgica qualquer, todas as suas teses so
equivalentes. Issoporque, como dissemos anteriormente, uma tese se
e somente se para todo For. Assim, em particular, . Pelas mesmas
razes, se uma tese, ento , ou seja, e so equivalentes.
Assim, > representa todas as teses de uma lgica. interessante
notarque, como >, ento, por (Con3): ,> se e somente se .
Daqui em diante, uma frmula de L construda usando estritamenteas
variveis p0 . . . pn ser denotada por (p0 . . . pn). Essa frmula
dependeapenas das variveis que ocorrem nela. Essa notao pode ser
generalizadapor conjuntos; como resultado, teremos (p0 . . . pn).
Se 0 . . . n so frmu-las, ento (0 . . . n) significa a substituio
(simultnea) de pi por i em(p0 . . . pn) (para i = 0 . . . n).
Analogamente, dado um conjunto de frmulas(p0 . . . pn),
escreveremos (0 . . . n).
DEFINIO 2 Uma lgica L tem uma negao suplementar se h umafrmula
(p0) tal que:(i) () no uma partcula falsum, para algum ;(ii) (, ,
() ).
Considere uma lgica com uma negao suplementar, denotada por
o.Podemos ento definir uma teoria como sendo contraditria em relao
ao desde que:
( e o)Desse modo, uma lgica L contraditria em relao o se todas
suas teoriasso tambm. Assim, uma lgica que tem uma negao
suplementar devesatisfazer o Princpio de No-Contradio em relao a
essa negao.
Uma vez definida a noo de negao suplementar, podemos enunciaruma
variao de (3):
Princpio de Exploso Suplementar:
L tem uma negao suplementar (1.6)
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A disponibilidade de um tipo especfico de negao suplementar faz
com quealgumas lgicas paraconsistentes possam recuperar a negao
clssica.
Pode-se ainda considerar o correlato da definio de negao
complemen-tar:
DEFINIO 3 Uma lgica L tem uma negao complementar se h umafrmula
(p0) tal que:(a) () no uma partcula verum, para algum ;(b) (, , ()
implica ()).
Uma negao que ao mesmo tempo suplementar e complementar
serdenominada negao clssica e simbolizada por .
Quanto implicao, procuramemos manter algumas propriedades
dese-jveis da lgica clssica. Para tanto, tomemos a seguinte
definio:
DEFINIO 4 Dizemos que uma lgica L tem uma implicao dedutivase
existe uma frmula (p0, p1) tal que:(i) (, ) no uma particula
falsum;(ii)( (, ) implica , );(iii) (, ) no uma particula
verum;(iv) , , (, implica (, )).
Usaremos como smbolo de implicao dedutiva. Assim, podemos
verificarque:
TEOREMA 2 em L vale:(DM): se e somente se , Prova. Consequncia
imediata das clusulas (ii) e (iv) da Definio 4
Daqui em diante, ser o conjunto dos conectivos ,, e o
conectivounrio , enquanto P = {pn : n N} o conjunto de frmulas
atmicas.For o conjunto de frmulas geradas a partir de P em .
Analogamente, ser o conjunto obtido adicionando a o
conectivounrio , e For ser o conjunto de frmulas geradas a partir
de .
De acordo com (1) podemos afirmar que lgicas paraconsistentes so
l-gicas que em certas condies no pressupem consistncia. Se
entendermosconsistncia como aquilo que pode explodir na presena de
uma contradio,
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as consideraes anteriores sugerem que lgicas paraconsistentes
podem dealgum modo expressar consistncia de uma frmula em nvel
metalgico.
Em termos formais, considere um conjunto (p) de frmulas que
depen-dam apenas da varivel proposicional p. Esse conjunto satisfaz
a exignciade haver frmulas e tais que:
(a) (), 1 (b) (), 1
Dizemos que uma teoria fracamente explosiva em relao a (p)
se:
(,(), , )
Uma lgica L ser considerada fracamente explosiva quando houver
um con-junto(p) tal que todas as teorias de L so fracamente
explosivas em relaoa (p).
Podemos, desse modo, considerar uma variao fraca do Princpio
deExploso:
Princpio de Exploso Fraco (PEF)
L satisfaz (PEF) sse fracamente explosiva para algum conjunto
(p)(1.7)
Para cada frmula , o conjunto() expressar precisamente a
consistnciade relativa lgica L. Quando o conjunto for unitrio,
consideremos onico elemento de (), nesse caso define um operador de
consistncia.
Desta maneira, estamos em condies de definir as Lgicas da
Inconsis-tncia Formal (LFIs) do seguinte modo:
DEFINIO 5 Uma Lgica da Inconsistncia Formal (LFI) qualquerlgica
na qual no vale o Princpio de Exploso (1.3) mas vale o Princpio
deExploso Fraco (1.7)
1.2 mbC e C1Historicamente, o primeiro sistema paraconsistente
proposicional que usaum operador de consistncia foi proposto por da
Costa em 1963 (cf. [15])
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denominado C1. Esse sistema era o mais simples de uma hierarquia
desistemas Cn. O operador de consistncia no era primitivo mas
definidocomo:
df ( )Alm disso, esperava-se que esse novo operador tivesse as
propriedades mni-mas que o interrelacionasse com os conectivos
antigos. Portanto, C1 foravacom que essas relaes existissem apenas
numa nica ocorrncia do conectivo,C2 para duas ocorrncias, e assim
por diante.
Todavia, no caso geral das LFIs no h necessidade que ocorra
umarelao entre e os demais operadores e tampouco que o operador
sejadefinido por meio de outros operadores. Assim, em [7], prope-se
um sistemaparaconsistente minimal, com as caractersticas mnimas que
se exige paraque um sistema possa ser classificado como
paraconsistente. Esse sistema foidenominadombC (minimal bold
C-system). Aqui, o operador de consistncia primitivo e no h relao
alguma entre esse operador e os demais.
Assim, ainda que C1 seja historicamente o sistema
paraconsistente maissimples, mbC logicamente mais simples e por
isso trataremos primeira-mento de mbC para, em seguida,
apresentarmos C1 e a hierarquia Cn.
DEFINIO 6 A Lgica mbC definida a partir de For por meio
dosaxiomas e regras de inferncia abaixo:
Esquema de axiomas:
(Ax1) ( )(Ax2) ( ) ( ( )) ( ))(Ax3) ( ( ))(Ax4) ( ) (Ax5) ( )
(Ax6) ( )(Ax7) ( )(Ax8) ( ) (( ) (( ) ))(Ax9) ( )
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(Ax10) (bc1) ( ( ))Regra de inferncia:
(MP),
NOTA 1 Suponhamos um conjunto de conectivos + que denota o
con-junto sem o conectivo ; For+ o fragmento de For correspondente.
ALgica Clssica Positiva ser denotada por CP+ e pode ser
axiomatizadapor (Ax1) - (Ax9) e (MP). A Lgica Clssica
Proposicional, CP, umaextenso de CP+ a partir de , acrescentando
(Ax10) mais a seguinte leide exploso:
(exp) ( )
Essa axiomatizao esperada se tomarmos a definio de negao
cls-sica dada na subseo anterior. evidente, pois, que numa lgica L,
queestende CP+, um conectivo unrio de L uma negao clssica sse
valem( ) e ( ( )).
CP tambm uma extenso minimal consistente de mbC. Um
modoalternativo de axiomatizar CP acrescentando como axioma. Assim,
de(bc), (MP) e esse novo axioma, obteramos (exp).2
NOTA 2 Embora usemos a expresso Lgicas da Inconsistncia
Formal,mencionamos at ento o conectivo de consistncia . Todavia,
mbC podeter ainda um conectivo anlogodo de inconsistncia . Em
geral, usamos anegao clssica para definir esse conectivo,
escrevendo def
Abaixo, enumeramos alguns teoremas importantes vlidos em
mbC:
TEOREMA 3 Em mbC vale o Metateorema da Deduo(DM): , `mbC implica
`mbC
2Observe que esta apresentao de CP dada na linguagem usual
estendida peloconectivo incuo . nese sentido que CP pode ser visto
como uma extenso dedutivade mbC.
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TEOREMA 4 Em mbC vale Prova por Casos(PBC): , `mbC e , `mbC
implica , `mbC
TEOREMA 5 Em mbC valem:(i) (CNJ) `mbC se e somente se `mbC e
`mbC (ii) (TRN) `mbC e `mbC implica `mbC
Prova. A clusula (i) se segue, num sentido, como conseqncia
direta de(Ax4), (Ax5) e (MP). O outro sentido conseqncia de (Ax3) e
(MP).J a clusula (ii) aplicao imediata de (DM).
Vimos at agora axiomas, regras e importantes teoremas de mbC,
masainda no oferecemos uma possvel semntica a essa lgica. digno de
notaque em mbC no vale a regra de Substituio para Equivalentes
Demons-trveis. Isso significa que sua semntica no ser
vero-funcional. Considere,pois, a seguinte definio:
DEFINIO 7 Seja 2 def {0, 1} um conjunto de valores-verdade, em
que1 denota o valor verdade e 0 denota falso. Uma valorao 3 de mbC
uma funo v : For 2 de acordo com as seguintes clusulas:
(v1) v( ) = 1 sse v() = 1 e v() = 1(v2) v( ) = 0 sse v() = v() =
0(v3) v( ) = 0 sse v() = 1 e v() = 0(v4) v() = 1 implica v() =
0(v5) v() = 1 implica v() = 0 ou v() = 0
Dado {} em mbC, a partir daqui mbC significa que recebevalor 1
para toda valorao de mbC em que os elementos de tambmrecebem valor
1.
Podemos verificar que a semntica de mbC claramente correta.
TEOREMA 6 (Corretude de mbC) Seja {} um conjunto de fr-mulas em
For. Assim, `mbC implica mbC
3A semntica parambC apresentada em [8] inspirada na semntica de
quasi-matrizespara o sistema C1 de da Costa. Conferir [16]
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Prova. Basta verificarmos que os axiomas de mbC assumem sempre
valor1 em qualquer valorao em mbC e que (MP) preserva a validade.
Comoexemplo, nos restringiremos demonstrao de (bc1). Suponhamos
porabsurdo que v() = v() = v() = 1 enquanto v() = 0; pela
clusula(v5) temos v() = 0, o que nos fora por (v3) inferir que
(bc1) sempre ocaso para toda valorao da Definio 7.
TEOREMA 7 mbC uma LFI.
Prova. Observe que (1.7) segue-se imediatamente de (bc1) e (DM).
Paraa no validade de (1.3), considere p = {p} e suponha v(p) = v(p)
= 1enquanto v(q) = 0, em que p e q so variveis proposicionais
distintas. Dessemodo p,p 1mbC q; o restante se segue por (Con2) e
Teorema 6.
Para provarmos a completude de mbC precisaremos de alguns lemas
edefinies adicionais.
DEFINIO 8 Seja L uma lgica como definida anteriormente e {} ForL
um conjunto de frmulas. Dizemos que -saturado emL sse:(i) 6`L ;(ii)
se / ento , `L .
O Lema abaixo denominado Lema de Lindenbaum-Asser garante a
exis-tncia desse conjunto.
LEMA 1 Dado algum conjunto de frmulas tal que 1L , existe
umconjunto -saturado em L tal que .
Prova. Considere uma enumerao {n}n N de frmulas em ForL e
umasrie n, n N de teorias construda do seguinte modo:0 =
n+1 =
{n {n}, se n, n 1L n caso contrrio
Seja n =nN. Mostraremos que -saturado em L. Em primeiro
lugar, notemos que n 1L para todo n N. Alm disso, se L ento por
(Con5) haveria um fin tal que fin L e por (Con3), dadofin m para
algum m N, temos m L , contrariando a construo.
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Assim, 1L . Alm disso, se / , ento = n para algum n. Assim, /
n+1 (pois n+1 ). Logo, por construo obtemos n+1 = n en, L . Como n
, por (Con2) temos , L .
LEMA 2 Qualquer conjunto -saturado uma teoria fechada em L, ou
seja: L sse .
Prova. A primeira parte se segue imediatamente de (Con1). Para a
recpro-ca, basta percebermos que, como -saturado, ento 0L e , `L
;por (Con3) temos 0L .
LEMA 3 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em
mbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica
;(v) , implica 6 .
Prova. Para todas as provas usaremos Lema 2, que denominaremos
fecha-mento.(i) Suponha ( ) . De (Ax3) e (MP) temos `mbC ; logo,
porfechamento . Para , basta substituirmos (Ax3) por (Ax4). A
rec-proca sai de (Ax5), duas instncias de (MP) e fechamento.(ii)
Seja ( ) . De fechamento, (Ax6) e (MP) temos , e evi-dentemente ou
.(iii) Por (Ax9) e (ii) sabemos que ou . Suponhamos que ou / ; a
nica possibilidade . Para a recproca, bastasupor que provamos por
fechamento, (MP) e (Ax1).(iv) Tomemos / . De (Ax10) e (ii) temos ou
; por fecha-mento concluimos `mbC .(v) Suponhamos ,, . Por
fechamento, (bc1) e (MP), temos ,absurdo. Logo, , implica / .
COROLRIO 1 A funo caracterstica de um conjunto -saturado
defrmulas em mbC define uma valorao de mbC.
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Prova. Seja um conjunto de frmulas -consistente e seja v uma
funodefinida como v : For 2 tal que para toda frmula em For,
temosv() = 1 sse . fcil observar pelo Lema 3 que v satisfaz as
clusulas(v1)-(v5) da Definio 7.
TEOREMA 8 (Completude de mbC) Seja {} um conjunto de fr-mulas em
For. Assim, mbC implica `mbC
Prova. Tomemos For tal que 0mbC . Assim, pelo Lema 1 existeum
conjunto -saturado , tal que alm de , `mbC para todo / e 0mbC ,
logo ,por (Con1), / . Oras, pelo Corolrio 1, a funocaracterstica v
de define uma valorao dembC; assim, para todo ,v() = 1 mas v() = 0.
Portanto, 2mbC e por (Con2) 2mbC .
At agora vimos a completude para o sistema mnimo
paraconsistentembC. Veremos, a seguir, a sintaxe e um modelo para a
hierarquia Cn deda Costa, sem nos determos nos pormenores da
completude dessa hierarquiaque mutatis mutandis se obtm a partir da
completude acima para mbC4.O texto aqui utilizado [15].
Para a axiomtica de C1 tomamos o operador de consistncia como
defi-nido por meio de e e alguns axiomas adicionais que tratam da
distribu-tividade do operador de consistncia, como podemos
verificar a seguir.
DEFINIO 9 A Lgica C1 definida a partir de For por meio dos
axi-omas e regras de inferncia abaixo:
Esquema de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC
(Ax11) (( ) (( ) ))(Ax12) (Ax13 ) 5
4Observe que os Lemas 1 e 2 vale para quaisquer lgicas L como
definimos no inciodessa seo. As nicas mudanas significativas
ocorrem no Lema 3.
5Esse axioma aparece em [15], mas no o encontramos mais em [16].
Em [17], o mesmoaxioma aparece como teorema derivvel dos demais
axiomas de C1.
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(Ax14) ( )(Ax15) ( )(Ax16) ( )Regra de inferncia:
(MP),
Note que (Ax11) equivalente a (bc1), tal que podemos encarar
C1comombC + (Ax12)-(Ax16), com a diferena que enquanto emmbC temos
= {}, em C1 temos = {( )}.
Um modelo para C1 dada por meio das tabelas abaixo, em que 1 e
2so valores distinguidos.
1 2 31 1 1 32 1 1 33 3 3 3
1 2 31 1 1 12 1 1 13 1 1 3
1 2 31 1 1 32 1 1 33 1 1 1
1 32 13 1
Observe que nenhum operador preserva o valor de verdade 2.
Interpre-tando 1 e 3 como os valores clssicos, respectivamente,
verdadeiro e falso,podemos inferir que a consequncia da
caracterstica sinttica da distribuiodo operador por meio dos
operador clsicos - (Ax13) a (Ax16) - acrescido eliminao da dupla
negao - (Ax12) - acarreta na eliminao do novo va-lor de verdade 2
por meio de qualquer combinao dos operadores clssicos.Mais ainda,
conforme a definio do operador para C1, podemos construira tabela
abaixo:
1 12 33 1
O que nos mostra claramente que 2 interpretado como valor de
verdade pa-raconsistente. Em outras palavras, quando a frmula tiver
valor 2, dizemosque a consistncia de falsa, ou seja recebe valor
3.
14
-
No que diz respeito aos demais sistemas da hierarquia Cn,
considere aseguinte notao:
a1 abrevia a frmula (( ))
an+1 abrevia a frmula ((n n)1)Desse modo, podemos propor a
segunte definnio para o clculo Cn:
DEFINIO 10 As Lgicas Cn, 0 < n < definida a partir de For
pormeio dos axiomas e regras de inferncia abaixo:
Esquema de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC
(Ax11n) n (( ) (( ) ))(Ax12) (Ax13n) n n
(Ax14n) n n ( )n
(Ax15n) n n ( )n
(Ax16n) n n ( )n
Regra de inferncia:
(MP),
Seguindo o mesmo modelo de C1, cada clculo Cn ter n+2 valores
deverdade, sendo 1, 2, . . . , n + 1 valores distinguidos e n + 2 o
nico valor nodistinguido. As quase-matrizes respeitaro as clusulas
abaixo:
1. conjuno: se os componentes tiverem valores diferentes, a
conjunoter o maior dos valores dos componentes; se os valores forem
iguais,ser esse o valor da conjuno.
15
-
2. disjuno: se os valores dos componentes forem distintos, a
disjunoter o menor dos valores dos componentes; se forem todos
iguais, teresse valor.
3. implicao: se os valores dos componentes forem diversos, a
implicaoter o valor do consequente; se forem iguais, ter como valor
1.
J o esquema da tabela da negao segue-se abaixo:
1 n+ 22 13 2...
...n n 1
n+ 1 nn+ 2 1
Do que vimos at agora, podemos inferir o seguinte teorema:
TEOREMA 9 Cada clculo Cn estritamente mais forte que Cn+1.
Oclculo Cw o mais fraco de todos os clculos Cn.
Prova. Uma vez que a demonstrao exigiria um processo demasiado
tra-balhoso de deduo que extrapola nossos objetivos, nos
limitaremos a apre-sentar um esboo da demonstrao. Observe
primeiramente que C06 contmestritamente C1, pois, por exemplo,
(Ax11) no vale em C0, como podemosverificar pela tabela de e .
Construindo-se de modo indutivo uma tabelade n para cada Cn,
obeservaremos que (Ax11n1) no vale em Cn.
Por fim, provamos de modo simples o teorema abaixo.
TEOREMA 10 Cada um dos clculos C0, C1, C2, . . . Cn1 Cn, Cn+1, .
. .,C uma LFI.
Prova. Basta considerar na Definio 5 o conjunto (p) def {n}
paracada Cn. A concluso segue imediata por (DM) e (Ax11n).
6C0 definido por da Costa como o Clculo proposicional Positivo.
Conferir Nota 1.
16
-
Captulo 2LGICAS DA INCONSISTNCIA DENTICA
2.1 Lgica Dentica Clssica e Paraconsistn-cia
As lgicas denticas foram fortemente influenciadas por noes de
lgicasmodais. Ainda que a analogia entre conceitos modais e
denticos datemdo sculo XIV, (cf. [20]) podemos dizer que o seu
tratamento simblicoe matemtico foi inaugurado por von Wright em
[28]. Nesse artigo, vonWright distingue trs tipos de modalidades:
alticas, epistmicas e denticas.As primeiras tratam das noes de
necessrio e possvel, as segundas deverificvel ou falsificvel, e as
terceiras esto relacionadas com as noes deobrigatrio e
permitido.
Existem vrios sistemas que procuram formalizar essas noes (vide
[25]).O sistema bsico dessa famlia de lgicas denominado SDL -
StandardDeontic Logic. A idia aqui acrescentar a um sistema mnimo
modal a noode que no pode haver obrigaes conflitantes, que aqui
convenientementeformulada por meio do axioma (O-E).
NOTA 3 Daqui em diante = {,,,,} e For o conjunto defrmulas
geradas a partir de .
De modo correlato, = {}, = {} e = {}.Os conjuntos For, Form e
Form so os conjuntos de frmulas geradasa partir de , e ,
respectivamente.
17
-
DEFINIO 11 A Lgica SDL definida em For do seguinte modo1:
Esquemas de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC,
(exp) ( )(O-K) ( ) ()(O-E) f f em que f =def ( ), para ForRegras
de inferncia
(MP),
(O-Nec)` `
NOTA 4 A axiomtica acima originalmente apresentada em [12] no
omodo tradicional de axiomatizar SDL. Em geral, o axioma
acrescentandoem vez de (O-E) :
(D):
Considerando o operador P df (leia-se permitido ou concedido), a
interpretao original de (D) seria de que aquilo que obri-gatrio
implica ser permitido. Outro modo de encarar o axioma (D)
queobrigaes conflitantes so sempre falsas. Desse modo,
reformularamos oaxioma como:
(D*): ( )
Todavia, facilmente demonstrvel que (O-E), (D) e (D*) so
equiva-lentes tendo por base o Clculo Proposional Clssico e as
definies de eP , o que demonstra que os trs sistemas so
equivalentes.
1A axiomtica de SDL baseada em [12], que, por sua vez, pode ser
interpretado comoadaptao de [10].
18
-
Uma axiomtica interessante e alternativa SDL a proposta por
Chellasem [10] que, em vez de (O-K) e (O-Nec), teramos a regra de
inferncia(ROM) e mais trs axiomas para reger o operador
dentico:
(ROM)
(OC) ( )( )(ON) >(OD)
Na verdade, (OD) outro modo de ver (D*), enquanto (ON) e (O-Nec)
so correlatos. J (O-K) obtido por (ROM) e (OC).
Dizemos ainda que um sistema dentico normal se existe uma
Estruturade Kripke que caracteriza seus axiomas.
DEFINIO 12 Uma estrutura de Kripke generalizada uma tripla
W,R, {vw}wW
em que:
1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);
2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque
pode ser vazia;
3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz para cadaw
W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw()
= 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 sse vw() =
1(v5) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R
19
-
TEOREMA 11 Caso na estrutura acima a relao R seja serial (ou
seja,para todo w W , existe um w tal que wRw) ento as valoraes
(v1)-(v5)satisfaro os axiomas de SDL; em outras palavras, `SDL sse
SDL NOTA 5 Na Definio 12 acima falamos em estrutura porque de
acordo comas caracterstica da relao de acessibilidade R teremos uma
semntica devaloraes para um sistema modal (ou dentico) em
particular. Por exemplo,caso foremos que a relao R seja vazia,
teremos uma valorao para K.
Devido s consideraes da Nota 4 acima, podemos fazer um parelelo
en-tre a lgica dentica padro e o clculo proposicional clssico. Como
vimosna seo anterior, no clculo proposional clssico no h a distino
entretrivialidade e inconsistncia: uma teoria trivial se e somente
se for incon-sistente2. Em contrapartida, lgicas paraconsistentes
so justamente aquelessistemas que podem ser inconsistentes sem
serem triviais.
De modo anlogo, em [17] notado que numa lgica dentica padro
osconceitos de trivialidade dentica e inconsistncia dentica so
inseparveis.Considerando uma teoria como sendo deonticamente
inconsistente comoaquela em que h frmulas do tipo e , ento de fato
numa lgicadentica padro, inconsistente se e somente se para todo
,em outras palavras, deonticamente trivial3. Observe como essa
carac-terstica conseqncia direta da axiomtica da nota acima, em que
(ON)juntamente com (OD) foram com que a indistino dos conceitos de
tri-vialidade de inconsistncia no mbito proposicional seja
transposta para ombito dentico.
Vimos na seo anterior como noes metalgicas (contradio,
consis-tncia e trivialidade) podem ser incorporadas na
linguagem-objeto. Essaperspectiva nos incentiva, no caso das lgicas
denticas, realizar o caminhoinverso: tratar axiomas (no caso (ON) e
(OD)) como noes metalgicascom o intuito de produzir novos
conceitos.
Desse modo, daqui em diante lidaremos com uma lgica L =
For,(lembrando que as frmulas de For so geradas pela nossa nova
assinatura que contm o operador ) em que satisfaz (Con1) -
(Con5).
2Tal diferenciao foi primeiramente proposta por da Costa em
[15], mas formalizadarigorosamente posteriormente em [7].
3Cabe aqui fazer a distino entre trivialidade simpliciter - - e
trivialidadedentica - , ou seja, o colapso do operador dentico .
Evidentemente o segundotipo um caso particular do primeiro, de modo
que a trivializao simpliciter implica adentica.
20
-
Novamente seja uma teoria de L . Dizemos que uma teoria
de-onticamente inconsistente em relao a , ou simplesmente
deonticamenteinconsistente sse:
( e )Uma teoria deonticamente trivial sse:
( )O terceiro conceito dentico importante o de deonticamente
explosivo. Umateoria deonticamente explosiva sse:
(,, )Estendendo as noes acima a uma lgica qualquer L, temos:
Princpio de Obrigaes No-Conflitantes (O-PNC)
( 1 ou 1)(L deonticamente no-conflitante) (2.1)Princpio de
No-Trivialidade Dentica (O-PNT)
( 1)(L deonticamente no-trivial) (2.2)Princpio de Exploso
Dentica (O-PPE)
(,, )(L deonticamente explosiva) (2.3)NOTA 6 Considere o
fragmento de SDL excluindo-se axioma (O-E) deno-minado KO. Na
verdade KO a verso dentica do sistema K. Evidente-mente (2.1) no
vale em KO. Por outro lado, por (O-Nec), (exp), (O-K)e (DM), temos
que (2.3) o caso. Isso significa que KO um sistema modalbaseado no
Clculo Proposicional CP que deonticamente explosivo masno
deonticamente inconsistente.
Outro modo de axiomatizar KO seria excluir o axioma (OD).
Observeainda que caso exclussemos (OD) e (ON) teramos um fragmento
no-normal de SDL, na verdade, a verso dentica do sistema S3
proposto porLewis. Assim, outro modo de encarar alguns sistemas
modais no-normais dizer que so sistemas baseados no clculo
proposicional clssico em que novalem (2.1) tampouco (2.3).
Considere, por fim, os sistemas no-normais denticos OVer, OTriv
eOBan em que cada um composto por um nico axioma dentico,
respec-tivamente:
21
-
(OVer) (OTriv) (OBan)
Sabemos por [9] que os trs sistemas so independentes e
consistentes.4Evidentemente em OVer no vale (2.2). Mais ainda, como
nesses sistemasvale o Teorema da Deduo (DM), temos em OBan que para
qualquer con-junto no-vazio, OBan para todo e pelas mesmas razes
temos OTriv . Ou seja, nesses trs sistemas valem (2.2) e (2.3) mas
no vale(2.1).
Feitas as ressalvas acima, podemos verificar a validade do
seguinte teo-rema:
TEOREMA 12(1) Um sistema normal5 deonticamente trivial se e
somente se for deonti-camente inconsistente e explosivo.(2) Numa
sistema normal no valem simultaneamente o Princpio de Explo-so
Dentica e o Princpio de No-Trivialidade Dentica se, e somente se,no
vale o Princpio de Obrigaes No-Conflitantes.
Prova.Para (1), por um lado, temos que se L deonticamente
trivial, ento
e , logo L deonticamente explosiva e inconsistente. Paraa
recproca, note que dado um mundo w, se vw()=vw() = 1, entow no est
relacionado com nenhum w e, portanto, w um ponto terminal,ou seja,
para todo , vw()=1.
Para (2), basta notar que a nica possibilidade de falhar (O-PNT)
ou(O-PPE) num sistema normal o fato de que para todo w W ,
temosforosamente que w no ponto terminal, em outras palavras, que a
relaaode acessibilidade R serial.
Assim, parece-nos bastante natural propor a seguinte definio:4Em
[9] h uma breve referncia a sistemas no-normais. Para uma abordagem
um
pouco mais detalhada sobre o tema, consultar [14].5Ainda que a
Nota 6 acima parece mostrar que nossa distino valeria para
tambm
para sistemas no-normais, o tratamento formal de sistemas
denticos no-normais estra-pola os objetivos de nosso trabalho.
22
-
Uma lgica deonticamente paraconsistente sse for um sistema
normaldeonticamente inconsistente e no-trivial (2.4)
O que exclui sistemas como K, OBan, OTriv e OVer, alm da ver-so
dentica da hierarquia de Lewis S1-S3. Isso porque K s pode
serdeonticamente trivial se for deonticamente inconsistente. OBan,
OTriv eOVer so deonticamente triviais, enquanto a hierarquia S1-S3
so sistemasno-normais.
Como fizemos para as LFIs, considere um conjunto (p) de
frmulasque dependam apenas da varivel proposicional p. Esse
conjunto satisfaz aexigncia de haver frmulas e tais que:
(a) (), 1(b) (), 1
Dizemos que uma teoria deonticamente fracamente explosiva em
re-lao a () se:
(,(),, )Uma lgica L ser considerada deonticamente fracamente
explosiva quandohouver um conjunto (p) tal que todas as teorias de
L so deonticamentefracamente explosivas em relao a (p).
Podemos, novamente de modo anlogo s LFIs, considerar uma
variaofraca do Princpio de Exploso Dentico:Princpio de Exploso
Dentico Fraco (O-PEF)
L satisfaz (O-PEF) sse deonticamente fracamenteexplosiva para
algum conjunto (p) (2.5)
Para cada frmula , o conjunto () expressar a consistncia
denticade relativa lgica L. Quando o conjunto for unitrio,
consideremos o nico elemento de (), nesse caso define um operador
de consistnciadentica.
Podemos, assim, formular a definio a seguir em que fica evidente
ocarter anlogo das LDIs em relao s LFIs:
23
-
DEFINIO 13 Uma lgica L uma LDI - Lgica da InconsistnciaDentica -
em relao a , se em L vale (2.5) mas no vale (2.3). Casocontrrio,
dizemos que L -consistente ou um sistema dentico no-normal.
2.2 Lgicas Denticas ParaconsistentesO primeiro sistema
paraconsistente proposto na literatura foi apresentado em[17], e
denominado CD1 . Alm de ser uma extenso dentica de C1 - em que,como
vimos, o operador de consistncia definido em vez de primitivo -
osistema apresenta relaes interessantes entre os operadores e , mas
queno so estritamente necessrias para um sistema dentico
paraconsistente.Assim, analogamente como ocorreu com o sistema mbC,
em [12] prope-seum sistema dentico paraconsistente minimal -DmbC -
em que primitivoe que nenhuma interao entre e exigida. Novamente,
por ser umsitema mais simples apresentamos primeiramente DmbC e sua
completudepara, em seguida, apresentarmos CD1 e seu esboo de
completude.
Assim, considere o seguinte sistema dentico baseado em mbC:
DEFINIO 14 A Lgica DmbC6 definida em For do seguinte modo:
Esquemas de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,
(O-K) ( ) ()(O-E) em que =def ( ) , para For
Regras de inferncia
(MP),
(O-Nec)` `
6A axiomtica, semntica e completude de DmbC est baseada em
[12].
24
-
TEOREMA 13 Em DmbC vale Metateorema da Deduo:(DM): , `DmbC sse
`DmbC
TEOREMA 14 Em DmbC vale Prova por Casos(PBC): , `DmbC e , `DmbC
implica , `DmbC
Prova. Idntica de mbC.
TEOREMA 15 Em DmbC valem:(CNJ) `DmbC se e somente se `mbC e
`DmbC (TRN) `DmbC e `DmbC implica `DmbC
Prova. Idntica a do Teorema 5.
TEOREMA 16 em DmbC vale :( ) a`DmbC
Prova.[1] (( ) ) (Ax4) e (O-Nec)[2] ( ) (O-K) e (MP) em [1][3] (
) (Ax4), (O-Nec),
(O-K) e (MP)[4] ( ) `DmbC (CNJ) em [2] e [4][5] ( ( )) (Ax3),
(O-Nec),
(O-K) e (MP)[6] ( ( )) ( ( )) (O-K)[ / , / ][7] ( ( )) (TRN) em
[5] e [6][8] `DmbC ( ) (CNJ) e (DM) em [6] e [7][9] ( ) a`DmbC [4]
e [8]
A semntica de DmbC obtida alterando-se algumas clusulas da
se-mntica de Kripke, do seguinte modo:
DEFINIO 15 Uma estrutura de Kripke para SDmbC uma triplaW,R,
{vw}wW , em que:
1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);
25
-
2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque
serial, ou seja: para todo w W existe w W tal que wRw;
3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w
W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw()
= 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 implica vw()
= 1(v5) vw() = v() implica vw() = 0(v6) vw() = 1 sse vw() = 1 para
todo emW , desde que R
TEOREMA 17 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `DmbC
implica DmbC .
Prova: Vamos nos restringir a (O-E). Suponhamos vw() = 1.
As-sim, por (v6) e serialidade de R, existe wRw tal que vw() = vw()
=vw() = 1. Mas por (v5), temos vw() = 0, o que nos fora concluir
quevw() = 0 e por (v3) temos vw( ) = 1.
Dada a corretude de DmbC, podemos demonstrar os seguintes
teoremas:
TEOREMA 18 DmbC uma LDI
Prova. Para a validade de (2.5), basta aplicar (O-Nec) em (bc1)
para, emseguida, aplicar (O-K) e (DM). Alm disso, dado o modeloM =
W,R, vem que W = {w}, R = {(w,w)} e vw(p) = vw(p) = 1 facil
observar queM um modelo para DmbC que invalida 2.5
TEOREMA 19 DmbC uma LFI.
Prova. Note que (GPPE) consequncia direta de (bC1) e (DM). J
para ainvalidade de (PPE) utiliza-se o mesmo modelo da demonstrao
anterior.
26
-
NOTA 7 Podemos denominar DmbC como o sistema mnimo
classificadocomo LDI. Com efeito, suponhamos que acrescentamos como
axioma.Pela Nota 1 sabemos que obtemos (exp). Alm disso, por
(O-Nec) teramos, que pelo Teorema 16, obteramos (O-E), ou
seja,DmbC+ = SDL.
possvel em DmbC definir um operador de inconsistncia dentica
-vide Nota 2 - do seguinte modo:
def
Dado que o axioma (O-E) define um operador de consistncia por
meio de e que em DmbC no h um axioma que estipule alguma relao
entre e , a analogia com o operador de inconsistencia de mbC no
imediata, pois:
mas 6 O que veremos no ser o caso em CD1 . At aqui, vimos a
corretude de
DmbC. Para a completude7 de Dmbc precisaremos de algumas noes
elemas adicionais.
DEFINIO 16 Seja um conjunto -saturado em DmbC. A deneces-sitao
de um conjunto Den() =def { For : }.
LEMA 4 Seja um conjunto -saturado em DmbC.(i) O conjunto Den()
uma teoria fechada em DmbC, ou seja:Den() `DmbC implica Den().(ii)
/ implica Den(), 6`DmbC .
Prova. (i) Tomemos Den() `DmbC . Assim, existe 1, . . . , n
Den()tal que 1, . . . , n `DmbC e ento, por n aplicaes de (DM),
segue-se que
`DmbC (1 ( (n ) )).7Na verdade, tanto a completude de DmbC
quanto SDmbC podem ser derivadas a
partir de um caso particular de um sistema dentico mais genrico,
conforme [5]. Paratanto, considere o esquema de axioma Pkl mPn - em
que P def -que abreviamos por Gk,l,m,n, com k, l,m, n N. O sistema
G1,0,0,0 + G0,1,0,1 +mbC temcomo teoremas os axiomas de DmbC e
SDmbC. Portanto, a completude do primeiroimplica na completude dos
outros dois.
27
-
Por (O-Nec), temos que `DmbC (1 ( (n ) )) e ento, por(O-K), (MP)
e (DM), temos
`DmbC (1 ( (n ) )).
Mas1, . . . ,n , pela definio de Den(), Portanto `DmbC ,por
(MP). Assim , pelo Lema 2, e ento Den().(ii) Suponhamos que Den(),
`DmbC . Dado que Den(), `DmbC ento, por (PBC), segue-se que Den()
`DmbC . Assim, pelo item (i), Den(), ou equivalentemente, .
LEMA 5 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em
DmbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica
;(v) , implica 6 .
Prova. Idntica do Lema 3
DEFINIO 17 O modelo cannico para DmbC uma tripla
Mc = W , R, {v}W
tal que:
1. W = { For : um conjunto -saturado em DmbC paraalgum };
2. R = {, W W : Den() };3. v a funo caracterstica em , isto :
v() = 1 sse .
PROPOSIO 1 O modelo cannico Mc uma estrutura de Kripke
paraDmbC.
28
-
Prova: Provaremos, primeiramente, que R serial. Assim, seja um
con-junto -saturado emDmbC. Ento, h uma frmula tal queDen() 6`DmbC.
Caso contrrio, em particular, Den() `DmbC e assim Den(),pelo Lema 4
(i). Logo e ento `DmbC , por (O-E) e(MP). Daqui e (bC1) segue-se
que `DmbC , uma contradio. LogoDen() 6`DmbC , para alguma frmula .
Assim, pelo Lema 1 existe umconjunto -saturado em DmbC tal que
Den() . Em outras palavras,existe W tal que R, ou seja, R
serial.
Seja W . Pelo Lema 5 (i)-(v) segue-se que v satisfaz as
clusulas(vi)-(v5) da Definio 15. Resta-nos provar que, para toda
frmula For:
v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .
Suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() . Assim e ento
Den(), pela definio de Den(). Logo eassim v() = 1. Por outro lado,
se v() = 0 ento / . AssimDen(), 6`DmbC , pelo Lema 4 (ii). Oras,
pelo Lema 1, existe umconjunto -saturado em DmbC tal que Den() {} .
Portanto W tal que Den() e v() = 0.
TEOREMA 20 (Completude para DmbC) Seja {} um conjuntode frmulas
em For. Ento DmbC implica `DmbC .
Prova. Suponha que 6`DmbC . Pelo Lema 1, podemos estender a
umconjunto -saturado em DmbC. Uma vez que 6`DmbC ento / (por 2).
Seja Mc o modelo cannico para DmbC (cf. 17). Assim, pelaProposio 1,
Mc uma estrutura de Kripke para DmbC e um mundopossvel de Mc tal
que Mc, DmbC (dado que ) e Mc, 2 (dadoque / ). Isso mostra que
2DmbC .
Evidentemente em CD1 - por ser uma extenso de C1 - o operador
deconsistncia tambm definido por meio de e . Alm disso, temos
umaxioma adicional que trata da distributividade da interao de e ,
comopodemos verificar a seguir.
DEFINIO 18 A Lgica CD1 definida a partir de For por meio
dosaxiomas e regras de inferncia abaixo:
29
-
Esquema de axiomas:
esquemas de axiomas de C1
(O-K) ( ) ()(O-D) (CD) Regra de inferncia:
(MP),
(O-Nec)` `
Por hora, detenhamo-nos nos axiomas (O-D) e (CD). Como j
observa-mos na Nota 4, o axioma (O-D) est mais prximo do axioma (D)
de SDLdo que (O-E), preservando a idia de que se algo obrigatrio,
ento deveser permitido - ao menos para a negao clssica . O axioma
(O-D), porsua vez, nos chama ateno que pode haver um caso em que
seja deontica-mente consistente - - mas no consistente - . Ainda
que esse axiomaparea arbitrrio, juntamente com CD oferece-nos
resultados interessantes,pois:
, CD1 mas , 1CD1 e ainda
CD1 ( )Isso significa que a negao paraconsistente respeita o
Princpio de Explo-so Dentico, enquanto respeita o Princpio de
Exploso Dentico Fraco.
Mais ainda, devido eliminao da dupla negao e do axioma
(CD),podemos como em DmbC definir um operador de inconsistncia
dentica,com a vantagem de ter uma interao mais natural entre os
operadores, talque:
def ( ) E evidentemente temos o teorema a seguir como
espervamos.
30
-
TEOREMA 21(i) CD1 uma LDI(ii) CD1 uma LFI
Prova. Basta considerar {( )} e { }. A semntica para CD1 ser
similar DmbC, com algumas clusulas adi-
cionais.
DEFINIO 19 Uma estrutura de Kripke para CD1 uma tripla
W,R, {vw}wW
em que:
1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);
2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque
serial;
3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w
W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw()
= 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) se vw() = 1, vw( ) =
1 e vw( ) = 1, ento vw() = 0(v5) se vw( ) = 1 ento vw(( )) = 1,
vw(( )) = 1 e
vw(( )) = 1(v6) vw() = 0 implica vw() = 1(v7) vw() = 1 implica
vw() = 1(v8) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R(v9)
vw() = 1 implica vw() = 1 para todo em W , desde que
R
TEOREMA 22 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `CD1
implica CD1 .
31
-
Prova. Nos restringiremos a (O-D). Note que se vw() = 1 ento
por(v8) temos wRw e vw() = 1, ou seja vw( ) = 0 e vw( ) = 1.
Esboamos, a seguir, a prova do Teorema de Completude para CD1
.
LEMA 6 Se {, } um conjunto de frmulas de CD1 , ento valem
asseguintes regras derivadas:(i) , `CD1 sse `CD1 ;(ii) Se , `CD1 e
, `CD1 , ento `CD1 ;(iii) Se , `CD1 e , `CD1 ento `CD1 ;(iv) , ,
`CD1 ;(v) , `CD1 ;(vi) , `CD1 ;(vii) , `CD1 ;(viii) , `CD1 ;(ix) ,
, `CD1 ;(x) , `CD1 ;(xi) , `CD1 .
Prova. Para (i), basta notar que em CD1 vale (DM). Para (ii),
note que CD1 sse 1CD1 . (iii) consequncia imediata de (Ax8) e
(DM),enquanto para (iv), (v) e (vi), note que emCD1 vale (CNJ). J
(vii) e (viii) soconsequncias de (Ax6) e (Ax7), respectivamente.
Para (ix), o argumento similar a (ii), enquanto (x) e (xi) prova-se
por (Ax12) e definio de negaoclssica.
Cabe aqui notar que Lema 1 e Lema 2 - vlidos parambC - tambm
valepara CD1 , pois foram provadas para uma lgica L qualquer, como
definida naseo 1. Alm disso, a partir da Definio 16 do conjunto de
denecessitao,provamos de modo idntico que o Lema 4 de DmbC tambm
vale para CD1 .Por fim, usando a Definio 17 de modelo cannicoMc
para a nova valorao(v1) v(9), temos:PROPOSIO 2 O modelo cannico Mc
uma estrutura de Kripke paraCD1 .
Prova: Para provarmos que emMc a relao R serial, considere o
conjunto como -saturado. Se `CD1 para todo , ento Den() `CD1 e
32
-
tambm Den() `CD1 , que por (O-D) e clusula (ix) do Lema 6nos
fora Den() `CD1 e `CD1 , um absurdo. Logo 0CD1 .Assim,pelo Lema 1
existe um conjunto -saturado em CD1 tal que Den() ,ou seja, existe
W tal que R, satisfazendo em Mc a clusula para Rser serial. O
restante segue-se idntico a DmbC.
TEOREMA 23 (Completude para CD1 ) Seja {} um conjunto defrmulas
em For. Ento CD1 implica `CD1 .
Prova: Idntica de Dmbc.
COROLRIO 2 (Completude para C1) C1 sse `C1
No parece interessante, entretanto, a distino entre LFI e LDI se
noapresentarmos sistemas que so LFIs sem serem LDIs8. Esse o casode
SDmbC e BDmbC. O primeiro, como veremos, um sistema
para-consistente no mbito proposicional mas, em mbito dentico, no
toleraobrigaes inconsistentes. J BDmbC um sistema dentico bi-modal
emque cada operador se comporta de modo distinto: um operador no
tolerainconsistncia e o outro paraconsistente, no trivializando na
presena deobrigaes conflitantes.
Vejamos a axiomtica para SDmbC:
DEFINIO 20 A Lgica SDmbC definida em For do seguinte modo:
Esquemas de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,
(O-K) ( ) ()(O-E)* f
8Outro exemplo interessante de uma LDI est em [5]. Considerando
novamente averso dentica do esquema PklmPn, temos em particular o
sistema G0,1,0,1 +mbC, que tambm uma LDI. Na verdade, a princpio
acrescentando qualquer instnciado esquema Gk,l,m,n a G0,1,0,1 +
mbC, teramos uma LDI. No demonstraremos essapropriedade,
entretanto, por estar fora do escopo de nosso trabalho.
33
-
Regras de inferncia
(MP),
(O-Nec)` `
NOTA 8 A lgica SDL uma extenso de SDmbC. Observe que se
acres-centarmos como axioma, teramos (O-E) e (exp) como teorema, ou
seja,teramos SDL com uma outra axiomtica e assinatura. Esse fenmeno
muito semelhante ao que ocorre a mbC em relao CP (vide Nota 1 eNota
7).
TEOREMA 24(DM): , `SDmbC implica `SDmbC
TEOREMA 25 Em DmbC vale Prova por Casos(PBC): , `SDmbC e ,
`SDmbC implica , `SDmbC
TEOREMA 26 Em SDmbC vale:(i) `SDmbC se e somente se `SDmbC e
`SDmbC (ii) `SDmbC e `SDmbC implica `SDmbC
Prova. Idntica a de Teorema 5.
TEOREMA 27 em SDmbC vale:( ) a`SDmbC
Prova. Idntica de DmbC A semntica de SDmbC obtida acrescentando
uma nova clusula
semntica de DmbC:
DEFINIO 21 Uma estrutura de Kripke para SDmbC uma tripla
W,R, {vw}wW em que:
34
-
1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);
2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque
serial, ou seja: para todo w W existe w W tal que wRw;
3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w
W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw()
= 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 implica vw()
= 1(v5) vw() = v() implica vw() = 0(v6) vw() = 1 sse vw() = 1 para
todo em W , desde que R(v7) vw() = 1 implica vw() = 0 para todo em
W , desde que
R
A clusula (v7) exprime a noo de que num mundo w acessvel a
w,caso tenhamos e concluiremos que vw() = 1 e vw() = 0,
trivia-lizando. A recproca, todavia, no pode ser verdadeira, pois
contradizeria aclusula (v4).
TEOREMA 28 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `SDmbC
implica SDmbC .Prova: Nos restringiremos a (O-E)*. Se vw(f) = 1,
por (v6) e serialidadede R, existe wRw tal que vw() = 1 e vw() = 1.
Pela mesma clusula,teramos vw() = 1 e vw() = 1 que, pela clusula
(v7) nos fornecevw() = 0, absurdo. Assim, por (v3) temos vw(f ) =
1
Podemos, ento, demonstrar a afirmao do incio da subseo:
TEOREMA 29(i) SDmbC uma LFI.(ii) SDmbC no uma LDI.
Prova. Para (i), o argumento idntico ao de DmbC. Para (ii),
bastamostrar que vale (O-PPE), que conseqncia imediata de (O-E)*,
Teorema27, (bC1) e (DM).
35
-
COROLRIO 3 SDmbC um sistema -consistente.Prova. Conseqncia
imediata da validade de (2.3). Para validade de (2.2),basta tomar o
modelo M em que W = {w}, R = {w,w} e vp = 0
NOTA 9 Considere o fragmento de SDmbc em que no vale (O-E)*
de-nominado OKmbC. Observe que em OKmbC vale (O-PPE) mas no
vale(O-PNC). Mais ainda: OKmbC uma LFI, no uma LDI e tambm
-consistente.
LEMA 7 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em
SDmbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica
;(v) , implica 6 (vi) / ou / Prova: Nos restringiremos prova de
(vi), pois as demais so idnticasao Lema 3. Suponhamos e . Assim,
por (ii), temos que . Logo, por (i) do Lema 2, temos `SDmbC . Masde
(DM), (O-exp) e Teorema 27 obtemos que `SDmbC () , epor (MP), temos
que `SDmbC , contrariando a definio de . Portanto / ou / .
LEMA 8 Seja um conjunto -saturado em SDmbC.(i) O conjunto Den()
uma teoria fechada em SDmbC, ou seja:Den() `SDmbC implica
Den().(ii) / implica Den(), 6`SDmbC .Prova. Idntica a Dmbc
DEFINIO 22 O modelo cannico para SDmbC uma tripla
Mc = W , R, {v}Wtal que:
36
-
1. W = { For : um conjunto -saturado em SDmbC paraalgum };
2. R = {, W W : Den() };3. v a funo caracterstica em , isto :
v() = 1 sse .
PROPOSIO 3 O modelo cannicoMc uma estrutura de Kripke
paraSDmbC.
Prova: Provaremos, primeiramente, que R serial. Assim, seja um
con-junto -saturado em SDmbC. Ento, h uma frmula tal que
Den() 6`SDmbC .Caso contrrio, em particular, Den() `SDmbC f e
assim f Den(),pelo Lema 8 (i). Logo f e ento `SDmbC , por (O-E)
e(MP). Daqui e (bC1) segue-se que `SDmbC , uma contradio. LogoDen()
6`SDmbC , para alguma frmula . Assim, pelo Lema 1 existe umconjunto
-saturado em SDmbC tal queDen() . Em outras palavras,existe W tal
que R, ou seja, R serial.
Seja W . Pelo Lema 7 (i)-(v) segue-se que v satisfaz as
clusulas(vi)-(v5) da Definio 21. Resta-nos provar que, para toda
frmula For:
(1) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .(2) v() = 1
implica v() = 0 para todo
tal que Den() .Para (1), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que
Den() .Assim e ento Den(), pela definio de Den(). Logo e assim v()
= 1. Por outro lado, se v() = 0 ento / . AssimDen(), 6`SDmbC , pelo
Lema 8 (ii). Oras, pelo Lema 1, existe umconjunto -saturado em
SDmbC tal que Den(){} . Portanto W tal que Den() e v() = 0.
Para (2), seja v() = 1 e seja W tal que Den() , assim . Ora pelo
Lema 7 (vi) / , logo Den(), 6`BDmbC , peloLema 8 (ii). Pelo Lema 1,
existe um conjunto -saturado em SDmbCtal que Den() {} . Portanto W
tal que Den() ev() = 0.
37
-
TEOREMA 30 (Completude para SDmbC) Seja {} um conjuntode frmulas
em For. Ento SDmbC implica `SDmbC .
Prova. Suponha que 6`SDmbC . Pelo Lema 1, podemos estender a
umconjunto -saturado em SDmbC. Uma vez que 6`SDmbC ento / (por
(Con1)). SejaMc o modelo cannico para SDmbC (cf. Definio 22).Assim,
pela Proposio 1,Mc uma estrutura de Kripke para SDmbC e um mundo
possvel deMc tal queMc, SDmbC (dado que ) eMc, 2 (dado que / ).
Isso mostra que 2SDmbC .
Outro ponto interessante em SDmbC que, ainda que consigamos
recu-perar a negao clssica de modo anlogo ao de mbC, elas colapsam
doponto de vista dentico, como podemos observar no teorema a
seguir:
TEOREMA 31 a`SDmbc
Prova. Em primeiro lugar, preciso notar que `SDmbC , e
apli-cando (O-Nec) e (O-K) temos um lado da implicao. A recproca
provadasemanticamente: dado vw() = 1, ento vw() = 0, logo vw( ) =
1e vw( ) = 1 para todo w tal que wRw, e da vw( ) = 1
Os sistemasDmbC e SDmbC parecem ser ambos interessantes no
estudode paradoxos denticos. Todavia, uma lgica que combinasse
esses sistemaspode enriquecer ainda mais nossas anlises. Com esse
intuito que propomoso sistema a seguir.
DEFINIO 23 A Lgica da Inconsistncia Bimodal Dentica BDmbC9-
Bimodal Deontic mbC - definida a partir de For por meio dos
axiomase regras de inferncia abaixo:
Esquema de axiomas:
esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,
(O-K) ( ) ()9A axiomtica abaixo fortemente inspirada no sistema
modal KT apresentado em
[9]. Usamos, inclusive, o mesmo conectivo , mas com uma nova
interpretao: em vezde ser um operador de necessidade fsica passa a
designar o conceito dentico de obrigaoconsistente.
38
-
(O-E) em que def ( ) (-K) ( ) ( )(-E) f em que f def (BA) Regras
de inferncia:
(MP),
(O-NEC)` `
(-NEC) ` `
O operador pode ser interpretado como classicamente dentico
ouainda normalmente dentico; essa noo est expressa em (O-E)*.
Poroutro lado, aqui entendido como fracamente dentico, como
expressoem (-E). Mas almejamos que o novo operador tenha alguma
relao com e conveniente que seja mais forte ou mais exigente que ,
da aopo por (BA).
TEOREMA 32 em BDmbC vale:(i) ( ) a`BDmbC (ii) ( ) a`BDmbC Prova.
A de (i) idntica ao Teorema 16. Para (ii), basta adaptar a prova
domesmo teorema, substituindo (O-K) por (-K) e (O-Nec) por
(-Nec)
Antes de prosseguirmos com a corretude e completude de BDmbC
interessante notar que existe mais um paralelo entre as LFIs e
LDIs. Assimcomo mbC -paraconsistente mas no -paraconsistente, o
teoremaabaixo mostra como BDmbC no -consistente mas
-consistente.TEOREMA 33(i) BDmbC uma LFI(ii) BDmbC uma LDI em relao
(iii) BDmbC no uma LDI em relao
39
-
Prova. Para (i), o argumento idntico a DmbC. Para (ii), o
argumento o de SDmbC. Para (iii), basta demonstrar que vale
(O-PEF), que con-seqncia imediata de (-E), Teorema 32, (bC1) e
(DM).
COROLRIO 4 BDmbC -consistente mas no -consistente
Prova. Do teorema acima sabemos que BDmbC no -consistente.
Paraprovarmos que -consistente, basta verificar que de (-E) e (DM)
temos(O-PPE). A invalidade de (O-PNT) segue o mesmo modelo do
Corolrio 3,substituindo R por R
DEFINIO 24 Uma estrutura de Kripke paraBDmbC uma qudrupla
W,R,R, {vw}wW
em que:
1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);
2. R W W e R W W so relaes (de accessibilidade)
entremundos-possveis seriais, ou seja: para todo w W existem w e w
W tal que wRw e wRw;
3. R R
4. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w
W :(i) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(ii) vw( ) = 0 sse vw() = vw()
= 0(iii) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(iv) vw() = 0 implica
vw() = 1(v) vw() = v() implica vw() = 0(vi) vw() = 1 sse vw() = 1
para todo em W , desde que R(vii) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo
em W , desde que R
(viii) vw() = 1 implica vw() = 0 para todo em W , desde queR
40
-
TEOREMA 34 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `BDmbC
implica BDmbC .
Prova: Vamos nos restringir a (O-E), (-E) e (BA). Suponhamos
quevw() = 1. Assim, existe um w tal que wRw (pois R serial) e
por(vi) temos que vw() = 1. Mas pela definio de e por (i), temos
quevw() = vw() = vw() = 1. Oras, mas por (v) temos que vw() = 0,um
absurdo. Logo, vw() = 0 e por (iii) vw( ) = 1.
Agora consideremos vw(f) = 1. Assim, por (i) e pela definio de
fatemos que vw() = vw() = 1. Mas R tambm serial ento por (vii)temos
que vw() = 1 enquanto por (viii) vw() = 0, um absurdo. Assim,vw(f)
= 0 e por (iii) vw(f ) = 1
Por fim, seja vw() = 0. Assim, por (iii) vw() = 1 e vw().seja w
tal que wRw; dado que R R, ento wRw, logo vw(alpha) = 1.Assim, vw()
= 1, um absurdo. Logo vw() = 1.
Segue-se a completude para BDmbC:
LEMA 9 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. Assim:(i) sse e
;(ii) sse ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica ;(v) , implica 6 .(vi)
/ ou /
Prova: Idntica do Lema 7, com a pequena alterao na clusula
(vii),substituindo por
DEFINIO 25 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. A dene-cessitao
de em relao a um conjuntoDen() =def { For : }.
DEFINIO 26 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. A dene-cessitao
de em relao a um conjunto Den() =def { For : }.
41
-
LEMA 10 Seja um conjunto -saturado em BDmbC.(i) O conjunto Den()
uma teoria fechada em BDmbC, ou seja:Den() `SDmbC implica
Den().(ii) / implica Den(), 6`SDmbC .
Prova. Idntica a de Lema 4, substituindo Den() por Den().
LEMA 11 Seja um conjunto -saturado em BDmbC.(i) O conjunto Den()
uma teoria fechada em BDmbC, ou seja:Den() `BDmbC implica
Den().(ii) / implica Den(), 6`BDmbC .(iii) Den() Den()
Prova. Nos restringiremos a (iii), pois para (i) e (ii) a prova
praticamenteidntica a do Lema 4. Assim, seja Den(). Assim, por
(Con1) `BDmbC e, por (BA) e (MP) temos `BDmbC e, pelo Lema 10,temos
Den().
DEFINIO 27 O modelo cannico para BDmbC uma qudrupla
Mc = W , R,R{v}Wtal que:
1. W = { For : um conjunto -saturado em BDmbC paraalgum };
2. R = {, W W :Den() };3. R = {, W W : Den() };4. v uma funo
caracterstica em , isto : v() = 1 sse .
PROPOSIO 4 O modelo cannicoMc uma estrutura de Kripke
paraBDmbC
Prova: Provaremos primeiramente que R serial. Assim, seja
umconjunto -saturado em BDmbC. Logo, existe uma frmula tal que
Den() 0BDmbC
42
-
Caso contrrio, teramos em particular que Den() `BDmbC o
queimplicaria que `BDmbC e por (-E) e (MP) teramos `BDmbC. Disso se
segue que `BDmbC , absurdo. Assim,Den() 0BDmbC e pelo Lema 1 existe
um conjunto -saturado tal que Den() e pela clusula 2 da Definio 27,
temos que , R, ou seja, existe W tal que R, o que siginifica que R
serial.
Agora provaremos que R tambm serial. Seja novamente um con-junto
-saturado em BDmbC. Assim, existe uma frmula tal que
Den() 0BDmbC
Caso contrrio, em particular Den() 0BDmbC , ou seja, `BDmbC( )
que por Teorema 32 (ii) nos fornece `BDmbC , e por(exp) temos
`BDmbC , um absurdo. Portanto, Den() 0BDmbC epelo Lema 1 existe um
conjunto -saturado tal que Den() e pelaclusula 3 da Definio 27
temos que , R, ou seja, existe Wtal que R, o que significa que R
serial.
Provaremos ento que R R. Tomemos R. Assim, do tipo, tal que
Den() . Mas pela clusula (iii) do Lemma 10 temosque Den() Den(), o
que implica que Den() .
Portanto, temos que do tipo , tal que Den() que pelaclusula 2 da
mesma definio nos garante que R.
Seja W . Assim, as clusulas (i)-(v) do Lema 9 satisfazem as
condi-es (i)-(v) da Definio 24. Resta-nos provar:
(1) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .
(2) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .(3) v() = 1
implica v() = 0 para todo
tal que Den() .Para (1), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que
Den() . Assim, e portanto Den(), pela definio deDen().Como Den() ,
ento , ou seja, v() = 1. Agora, sev() = 0, ento / e por (ii) do
Lema 10 temos que
Den(), 0BDmbC .
43
-
Assim, pelo Lema 1 existe um conjunto -saturado em BDmbC tal
queDen() {} . Como -saturado, / e pela clusula 4 damesma definio,
v() = 0
Para (2), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() . Assim
e ento Den(), pela Definio de Den(). Logo e assim v() = 1. Por
outro lado, se v() = 0 ento / .Assim Den(), 6`BDmbC , pelo Lema 11
(ii). Pelo Lema 1, existeum conjunto -saturado em BDmbC tal que
Den() {} .Portanto W tal que Den() e v() = 0.
Por fim, para (3), suponhamos v() = 1 e seja W tal queDen() ,
assim . Ora pelo Lema 9 (vii) / , logoDen(), 6`BDmbC , pelo Lema 11
(ii). Pelo Lema 1, existe um conjunto-saturado emBDmbC tal
queDen(){} . Portanto Wtal que Den() e v() = 0.
TEOREMA 35 (Completude para BDmbC) Seja {} um conjuntode frmulas
em For. Ento BDmbC implica `BDmbC .
Prova Suponha que 6`BDmbC . Pelo Lema 1, podemos estender aum
conjunto -saturado em BDmbC. Uma vez que 6`BDmbC ento / . Seja Mc o
modelo cannico para BDmbC (cf. Definio 27).Assim, pela Proposio 4,
Mc uma estrutura de Kripke para BDmbC e um mundo possvel deMc tal
queMc, BDmbC (dado que )eMc, 2BDmbC (dado que / ). Isso mostra que
2BDmbC .
Observe que em BDmbC, o operador se comporta exatamente
comoDmbC, enquanto o correlado do operador dentico de SDmbC.
Fica,pois, evidente a validade do Teorema abaixo:
TEOREMA 36 em BDmbCvale a`BDmbC mas no vale a`BDmbC
Prova. A demonstrao semntica. Para (i) basta notar que vw() =
1sse vw() = 0 para todo w tal que wRw sse vw( ) = 1 sse vw( ) = 1.
Para (ii), basta considerar um modeloM em que R serial, wRw,vw() =
1 mas vw( ) = 0.
44
-
Captulo 3PARADOXOS DENTICOS
Essa nossa nova abordagem pode ser bastante frutfera na anlise
de algunsproblemas de lgica dentica. Um dos principais problemas
est relacionadoaos paradoxos denticos: em geral, tais paradoxos
consistem em um conjuntode premissas intuitivamente consistente
que, quando formalizadas, levam trivialide dedutiva em SDL. Muitos
desses paradoxos surgem quando se de-riva em SDL ao mesmo tempo
frmulas do tipo e . A principo,o problema est na dificuldade de SDL
lidar com obrigaes contrrias aodever (cf. [19]). Todavia, mesmo em
KO dado o mesmo conjunto de premis-sas, teramos a exploso dentica
segundo o Princpio de Exploso Dentica(2.3).
A proposta de uma lgica dentica paraconsistente ou aplicaes de
l-gicas paraconsistentes na resoluo de paradoxos modais no
original. Em[13], por exemplo, prope-se o sistema modal altico
paraconsistente CiTcomo proposta de dissoluo do Paradoxo de
Cognoscibilidade. Emboranosso trabalho se assemelhe a essa
proposta, nosso intuito analisar pro-blemas de inconsistncia
dentica por meio das Lgicas da InconsistnciaDentica. Veremos de que
modo nossa abordagem oferece uma nova pers-pectiva no estudo do
clebre Paradoxo de Chisholm.
3.1 O Paradoxo de ChisholmMuitos argumentos que so coerentes em
linguagem natural, quando malformalizados podem gerar contradies.
Em particular, quando as premissasse referem a normas, leis e
princpios morais, as contradies se multiplicam.Nesse caso, a lgica
subjacente em geral a lgica dentica.
45
-
Um dos primeiros paradoxos denticos foi proposto por Chisholm
(cf.[11]). A formulao a seguir est baseada em [12]
(1) obrigatrio Joo no engravidar Maria(2) No engravidar Maria
obriga Joo a no se casar com ela.(3) Engravidar Maria obriga Joo a
se casar com ela.(4) Joo engravidou Maria
Seja A: Joo engravidou Maria e B: Joo se casa com ela. As
formu-laes aqui so inmeras. Para isso, consideremos as definies
abaixo1:
DEFINIO 28(i) F1 df (proibio prima-facie)(ii) F2 df (proibio
forte)
Primeiramente sabemos que (1) permite duas formulaes em Dmbc:F1A
e F2A. Mas (2) tem trs interpretaes: F1B, F2Be (A B). De modo
semelhante, podemos formalizar (3) comoA B ou (A B). Assim, temos
12 possibilidades, que agrupare-mos de modo conveniente:
1.1 = {F1A,A F1B,AB,A}1.2 = {F1A,A F2B,AB,A}1.3 = {F2A,A
F1B,AB,A}1.4 = {F2A,A F2B,AB,A}2.1 = {F1A,(A B), AB,A}2.2 = {F2A,(A
B), AB,A}3.1 = {F1A,(A B),(A B), A}3.2 = {F2A,(A B),(A B), A}4.1 =
{F1A,A F1B,(A B), A}4.2 = {F1A,A F2B,(A B), A}4.3 = {F2A,A F1B,(A
B), A}4.4 = {F2A,A F2B,(A B), A}
Ainda que tenhamos um leque grande de possibilidades, precisamos
pri-meiramente observar se h interdependncia das premissas em n,m
paraalguns valores de n e m. Ora, em linguagem natural essa
dependncia no
1Para a distino entre obrigaes prima-facie e obrigaes fortes,
conferir [27]
46
-
existe e o argumento consistente. Veremos que em SDL ou as
premissasso dependentes, ou h obrigaes conflitantes. Para tanto,
consideremosdois teoremas de SDL:
`SDL () e `SDL ( )Notemos que SDL admite apenas um operador F ,
que teriam as mesmas
propriedades de F2. Assim, interpretando como a negao clssica,
ape-nas 1.4,2.2,3.2,4.4 so formalizaes na linguagem de SDL. Em 1.4
hdependncia entre (2) e (4), em 3.2 a dependncia se d entre (1) e
(3), en-quanto em 4.4 todas as premissas so dependentes. Assim, s
nos resta 1.2.Mas temosB por (MP) e como `SDL (A B) (AB),por duas
aplicaes de (MP) temos B.
Contudo, nem todos os n,m tem premissas dependentes em DmbC.
As-sim, por exemplo, considere um modelo M em que R e R, ou seja,R
serial; seja vw(A) = vw(A) = 1, enquanto v(B) = v( B) = 0.Logo, M
2DmbC A (A B) e M 2DmbC A (A B).Portanto, no h dependncia de
premissas em 1.1,1.2,1.3 e 1.4
Observemos que em nenhum desses quatro conjuntos temos
obrigaesconflitantes, pois a inconsistncia surge a partir de um
outra formalizao de(2). Alm disso, por (MP), conclumos sempre B, ou
seja, que Joo devese casar com Maria, o que esperado pela nossa
intuio.
Em 3.1, tomemos um modelo M em que R e R. Considerev(A) = v(A) =
1, enquanto v(B) = 0. Assim, M 2DmbC A (A B). O mesmo no vale para
3.2, pois DmbC A (A B)e aplicando (O-Nec) e (O-K) temos a
dependncia entre (1) e (3). Esseconjunto, portanto, no ser
relevante para nossa anlise. Pelo mesmo motivodescartaremos 4.3 e
4.4. J a independncia das premissas de 4.1 e 4.2 obtida pelo mesmo
argumento que em 1.1 1.4.
Desse modo, analisando todas as possibilidade relevantes,
temos:
1.1 `DmbC B1.2 `DmbC B1.3 `DmbC B1.4 `DmbC B2.1 `DmbC B,B2.2
`DmbC 3.1 `DmbC B
47
-
Alm disso, tomemos o modeloM em queW = {w,w}, R = {(w,w), (w,
w)},vw(A) = 1, vw(A) = 0, vw(A) = 0 e vw(B) = 0. Assim, vw( A) = 1
evw(A B) = 1. Desse modo, vw(B) = 0 e ento vw(AB) = 1.Alm disso,
vw((A B)) = 1, vw( A) = 1 e vw(A) = 1. Por-tanto,M um modelo para
4.1 e 4.2. Alm disso, temos que paraM:
4.1 2DmbC B4.1 2DmbC B4.2 2DmbC B4.2 2DmbC BObserve que o nico
caso em que h trivializao em 2.2 e esse o
contexto em que o paradoxo formulado classicamente. Quando
admitimosa negao no-clssica, temos mais 9 possibilidades de
formalizao: o quadrose enriquece e, como vimos acima, com certa
regularidade.
Todavia, sabemos que em SDmbC, os operadores F1 e F2 se
colapsam,tal que simbolizaremos apenas por F0. Portanto, teremos
apenas quatro pos-sibilidades, a saber:
0.1 = {F0A,A F0B,AB,A}0.2 = {F0A,(A B), AB,A}0.3 = {F0A,(A B),(A
B), A}0.4 = {F0A,A F0B,(A B), A}
Observemos que em SDmbC, temos:
2SDmbC () mas SDmbC ( )
O que faz com que 0.3 e 0.4 no sejam interessantes, por haver
depen-dncia entre as premissas. Alm disso, 0.2 trivializa em SDmbC,
pois essesistema no aceita obrigaes conflitantes. Isso significa
que teremos apenas:
0.1 SDmbC BOu seja, Joo deve se casar com Maria, como esperado
intuitivamente.Consideremos ento o sistema BDmbC. Aqui, as
inferncias de DmbC
vale para o operador e as de SDmbC se aplicam a . Consideremos
F1e F2 como Definio 28. O operador F0 ser tomado como F0 df .
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Excluindo os conjuntos com premissas interdependentes, temos as
seguin-tes inferncias:
1.1 `BDmbC B1.2 `BDmbC B1.3 `BDmbC B1.4 `BDmbC B2.1 `BDmbC
B,B2.2 `BDmbC 3.1 `BDmbC B4.1 2BDmbC B4.1 2BDmbC B4.2 2BDmbC B4.2
2BDmbC B0.1 `BDmbC B0.2 `BDmbC
O sistema BDmbC parece bastante esclarecedor na anlise do
Paradoxode Chisholm. A idia que tomando como base uma LFI - no caso
mbC- as relaes de interdependncia entre as premissas no so as
mesmas queem SDL. A partir da temos duas possibilidades: decidir se
trata-se de umproblema de interdependncia de premissas simplesmente
ou tambm envol-vendo o Princpio de Obrigaes No-Conflitantes (2.1).
Na primeira escolha,usamos o operador , e as combinaes so expressas
pelos conjuntos 0.1 e0.2. No segundo caso as combinaes esto em 1.1
4.4.
Oras, se excluirmos o caso , temos que 1.1 - 4.4 nos permite
todasas combinaes pergunta: Joo deve ser casar com Maria?. No
casode 1.1 1.4 a resposta clara: sim, Joo deve ser casar com
Maria,exatamente como espervamos intuitivamente. Para 3.1 temos que
Joono deve se casar com Maria. J o quadro de 2.1 , em certo
sentido,paraconsistente: Joo deve e no deve se casar com Maria. Por
fim, ascombinaes de 4.1 4.2 nos fora concluir que no podemos dizer
nadasobre a obrigao de Joo se casar com Maria, nem que deve e
tampouco queno deve.
Observe que 0.10.4 mantm as mesmas inferncias em SDmbC,
subs-tituindo por . Alm disso, lembremo-nos que SDmbC no uma LDIe
BDmbC no uma LDI em relao . Por outro lados, ambos ossistemas so
LFIs.
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O ponto crucial aqui parece residir no fato de que o Paradoxo de
Chisholmno envolve diretamente a negao do Princpio de Exploso
Dentico (O-PPE), como se costuma apresentar na literatura (posio
defendida, porexemplo, em [25] e [26]), mas sim na interdependncia
das premissas nombito proposicional. Desse modo, recusando-se
apenas (PPE) em vez de(O-PPE) - como ocorre com os sistemas SDmbC
eBDmbC para o operador - podemos manter as propriedades denticas
clssicas, mas restringindo asinferncias proposicionais. Desse modo,
no s o sistema no colapsa (poisno mais inferimosA eA) como, alm
disso, temos a resposta esperadaintuitivamente, a saber, A, ou
seja, que Joo deve ser casar com Maria.
Isso no significa que os sistemas DmbC e CD1 no sejam adequados
paraformalizar paradoxos denticos. Entretanto, paradoxos que
rejeitam direta-mente (O-PPE) parecem estar ligados a dilemas
morais, como sugerido em[17]. Ccabe aqui ressaltar que o Paradoxo
de Chisholm formalizado nessessistemas no nos leva a um absurdo,
uma vez que de A e A no te-mos B. O nico problema que esses
sistemas parecem restringir de talmodo suas inferncias que a partir
do conjunto de premissas propostos porChisholm no conseguimos
concluir o que esperaramos intuitivamente.
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Captulo 4CONSIDERAES FINAIS
Vimos aqui de como a abordagem das LFIs em relao ao problema
dacontradio pode ser estendida para a de obrigaes conflitantes.
Essa relaoj est de algum modo em [12], em que so propostos os
sistemas DmbCe DLFI1. A parte original desse trabalho est na
proposta dos sistemasSDmbC, BDmbC e na transposio dos princpios
(PNC) (PPE) e (PNT)para um contexto dentico.
Outro ponto interessante que o conceito de Lgicas da
InconsistnciaDentica parece englobar todos os sistemas denticos
paraconsistentes pro-postos at ento na literatura, e que pode ser
tomado como ponto de partidapara uma taxonomia desses sistemas,
seguindo em certa medida o trabalhode [7] para lgicas
paraconsistentes proposicionais. O prximo paso seria en-contrar
resultados de completude generalizada para s LDIs monomodais
oumultimodais, seguindo em parte os resultados de [5].
digno de nota que os sistemas DLFI1 e C1D so muito
semelhantes.Os nicos pontos distintos na sintaxe est no fato de que
o operador deconsistncia dentica em DLFI1 definido como enquanto em
CD1temos . Alm disso, no h em DLFI1 o axioma correlato a (CD).Isso
significa que um estudo comparado desses sistemas nos traria a
relaoexata desses conectivos e as implicaes ao se acrescentar
(CD).
Outro aspecto original de nosso trabalho est na nova abordagem
doParadoxo de Chisholm por meio de BDmbC. Como vimos, esse
sistemaparece ser capaz de formalizar tanto argumentos em que h de
fato um dilemamoral - ou seja, conclumos e - quanto argumentos em
que essedilema aparente, e o problema est na interdependncia de
premissas. Essadistino pode ser muito frutfera na anlise de outros
paradoxos denticos,como os apresentados em [25], [26] e [6].
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Assim como mbC surgiu na proposta do operador como primitivo,
osistemaBDmbC tem papel fundamental na proposta de um sistema
denticoem que o operador de consistncia dentica seja primitivo. A
esse sistema,espera-se que se tenha como axiomas:
( ) e ( )
A clusula semntica natural que forasse esse resultado seria:
vw() = 1 sse vw() = 1 e vw() = 1 para todo w tal que wRw
Outro resultado interessante seria propor uma extenso de DmbC
queteramos, como em (CD), a equivalncia:
a`
Por fim, nosso trabalho est longe de esgotar as possibilidades
de novaslgicas denticas paraconsistentes e novas abordagens
paraconsistentes a pa-radoxos denticos. Por outro lado, dados os
pontos originais e ao estudocomparado crtico das abordagens j
existentes, esperamos que nosso traba-lho tenha contribudo na
discusso em aberto desses tpicos e seja mais umavano aos futuros
estudos nessas reas.
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Captulo 5PERSPECTIVAS
Como j vimos, as LDIs no validam em geral o Princpio de
ExplosoDentica (O-PPE). Alm disso, uma LFI dentica tem relaes
distintasentre as premissas caso essas fossem interpretadas em SDL.
Mais ainda:qualquer LFI pode ter duas negaes: uma paraconsistente
que respeita oPrincpio de Exploso Fraco (PEF) e outra clssica,
definida como df .
Isso significa que ao formalizarmos um paradoxo num sistema em
queno valem (O-PDE) e o Princpio de Exploso (PPE) ganhamos
expressi-vidade (pois h dois conectivos de negao), diminuimos a
interdependnciade premissas (pois, em geral, uma LDI mais forte que
SDL) e se, aindaassim, houver obrigaes conflitantes, o sistema no
trivializa: a frmulasimplesmente fica marcada como deonticamente
inconsistente.
Em [12], mostra-se uma aplicao concreta das LDIs na resoluo
doparadoxo de Chisholm com os sistemas DmbC e DLFI1. J em [22],
ossistemas SDmbC e BDmbC contribuem para lanar luz a uma nova
pers-pectiva de anlise do paradoxo: o problema, em questo, parece
ser a relaoentre as premissas do argumento e no a violao de
(O-PPE).
Alguns paradoxos denticos, entretanto, podem ser formalizados em
l-gica dentica proposicional ou de de primeira ordem. Considere o
seguinteconjunto de sentenas (apresentado em [25]):
1. No deve haver cercas.
2. Se houver cercas, a cerca deve ser branca.
3. H cercas.
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O paradoxo ocorre em SDL devido relao tcita entre haver cercas
ecercas brancas. Tomando p como haver cercas e q como haver cercas
brancas,teramos pela regra (O-Nec)1: (p q) e, por (O-K) e (MP),
teramospq. Com essa frmula e (1) temos por um ladoq e, por
(MP)entre (2) e (3) temos q, o que nos levaria a trivializao em
SDL.
Outra possibilidade seria formalizar o conjunto acima em lgica
denticade primeira ordem. Considerando C como predicado de ser
cerca, B opredicado ser cerca branca e a um objeto que cerca,
teramos:
1. xCx2. x(Cx Bx)3. Ca
Desse conjunto de sentenas inferiramos apenas Ca Bx, no
vi-olando (O-PPE). Todavia, acrescentando a norma de que se uma
cerca no branca, ento deve ser preta, teramos a relao tcita x(Bx
Px) -P o predicado ser preto - por instanciao, (MP) e (O-Nec)
teramosPa. Por outro lado, a partir da nova norma e com a hipotse
do objetoa no ser uma cerca branca, teramos Pa, trivializando o
sistema.
5.1 LFIs de Primeira OrdemVimos que o paradoxo acima pode ser
formalizado em linguagem de primeiraordem. A princpio, devido
sofisticao dessa linguagem, o paradoxo pareceser dissolvido.
Todavia, dada a caracterstica dessas sentenas serem forma-lizadas
em lgica dentica clssica de primeira ordem, temos a validade
de(PDE) o que implica, com pequenas alteraes no conjunto de
premissas, atrivializao do sistema.
Uma alternativa muito interessante seria a formalizao desses
paradoxosem LFIs denticas de primeira ordem. Existem na literatura
duas abor-dagens para LFIs de primeira ordem: uma, devida a [3] e a
outra devidaa [24].
1Observe que at aqui definimos que a regra (O-Nec) aplica-se
epenas a teoremas.Em muitos sistemas denticos, todavia, esse no o
caso, o que justifica a escolha em [25]de mostrar paradoxos
denticos gerados ao aplicar (O-Nec) para frmulas que no
soteoremas
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A proposta [3] esta baseada na semntica de Nmatrizes ou
semnticano-determinstica (Nmatrices semantics ou non-deterministic
semantics, nooriginal em ingls). As Nmatrices foram introduzidas em
[2] como uma inte-ressante proposta de generalizao da semntica de
matrizes. Basicamente,as Nmatrizes so matrizes lgicas em que cada
entrada consiste num conjuntofinito no-vazio de valores de verdade
em lugar de um nico valor de verdade.Esta tcnica oferece um mtodo
de deciso para muitas lgicas no vero-funcionais, em particular as
LFIs introduzidas na literatura. No artigo [3],considera-se uma
extenso das Nmatrizes que permite avaliar os quantifica-dores junto
com os conectivos num conjunto de 5 valores de verdade.
Estesvalores de verdade devem ser pensados como triplas x, y, z {0,
1}3 emque x, y e z representam o valor de v(A), v(A) e v(A),
respectivamente,para uma sentena A e uma bivalorao paraconsistente
v. Assim, a partirdos axiomas bsicos das LFIs, temos os seguintes
valores:
t = 1, 0, 1tI = 1, 0, 0I = 1, 1, 0f = 0, 1, 1fI = 0, 1, 0
Deve ser observado que 0, 0, z impossvel, pois como vimos as
bivalo-raes paraconsistentes satisfazem a propriedade seguinte:
v(A) = 0 implica que v(A) = 1enquanto que 1, 1, 1 tambm no
possvel, pois:
v(A) = 1 implica que v(A) = 0 ou v(A) = 0Uma das principais
propriedades das Nmatrizes a sua efetividade, no
sentido que para determinar se |=M A (para uma dada Nmatriz M)
sufi-ciente verificar apenas valoraes parciais, definidas apenas
nas subfrmulasde {A}.
Por outro lado, [24] props independentemente uma semntica para
LFIsde primeira ordem a partir da extenso das bivaloraes para as
sentenas dalinguagem com quantificadores. A extenso definida de
maneira natural:
v(P (t1, . . . , tn)) = 1 sse tA1 , . . . , tAn PA, para toda
sentena atmica;v(x.A) = 1 sse v(A[x/t]) = 1 para todo termo fechado
t de LA;v(x.A) = 1 sse v(A[x/t]) = 1 para algum termo fechado t de
LA.
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Aqui, LA a linguagem diagrama da estrutura A (isto , a linguagem
queestende L pelo acrscimo de uma nova constante a para cada
elemento a dodomnio de A).
Um resultado interessante de analisar a relao exata entre as
aborda-gens de [3] e [24]. O segundo passo natural seria propor uma
LFI dentica deprimeira ordem que, se por um lado daria uma nova
abordagem nos estudosde paradoxos denticos de primeira ordem, por
outro lado poderia iluminaro modo de encararmos a frmula de
Barcan
5.2 A frmula de BarcanA princpio no haveria dificuldade alguma
em lidar com lgica dentica deprimeira ordem: bastaria assumir as
regras e axiomas do clculo de predicadomais os axiomas e regras de
SDL. A dificuldade surge, entretanto, na inte-rao entre o operador
modal e o quantificador. Uma possvel relao seriapensar numa verso
dentica da frmula de Barcan (proposta primeiramenteem [4] para o
operador modal altico ):
(DBF) x AxAAs dificuldades apresentadas pela frmula de Barcan
esto relacionadas como problema das propriedades de re e de dicto,
como podemos observar em[18], [14] e [9]. Essas dificuldades surgem
ao interpretarmos o operador modalaltico como necessrio, associando
o predicado necessrio s propriedadesde re (vide [23]). Um fato
interessante que em qualquer sistema modalclssico de predicados
possvel provar a recproca da frmula de Barcan(vide [21]),
colapsando os conceitos de propriedades de re e de dicto. Doponto
de vista dentico, ainda que a recproca de (DBF) pode ser
facilmentedemonstrada, a interpretao desse fenmeno seria distinta
da abordagemaltica. Todavia, o ponto crucial parece estar num
fenmeno semelhante frmula de Barcan que ocorre com as LFIs de
primeira ordem, a saber:
xA xAAinda que essa relao entre o quantificador e o operador de
consistnciaparea razovel e resolva algumas dificuldades tcnicas, do
ponto de vistainterpretativo poderamos ter problemas semelhantes
aos da frmula de Bar-can. Alm disso, essas questes servem como
alerta para pensarmos a relaoque haveria numa LFIs dentica de
primeira ordem entre os operadores , e .
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5.3 Lgicas Denticas DidicasAlguns autores (por exemplo, [28] e
[1]) tm proposto a utilizao de um ope-rador primitivo didico O(p/q)
denotando a proposio p obrigatrio nascircunstncias q para
solucionar os paradoxos denticos. Mas esta perspecti-va no isenta
de problemas, em razo da perda de uma certa forma deModusPonens
dentico: de O(p/q) e q no se pode deduzir O(p). Na tentativade
resolver este conflito as lgicas denticas didicas dividiram-se em
duascorrentes: as baseadas no uso de uma implicao estrita (corrente
defendidapor C. Alchourrn e G. von Wright) e aquelas utilizando na
sua semnticauma relao de preferncia entre mundos possveis (corrente
defendida porS. Hansson e D. Lewis).
Por outro lado, o operador didico pode iluminar uma questo
aindaaberta em LFIs denticas. Ora, em [12] o operador de
consistncia dentica, como vimos, . Todavia, em [17], o operador .
Qual seria, pois, arelaao exata desses dois novos operadores?
Uma possvel interrelao poderia existir ao interpretarp
como(p/p)enquanto p seria(p/p), fundindo as duas propostas num nico
sistemaou numa nica hierarquia de sistemas.
Sabe-se que os operadores didicos em geral no respeitam (MP)
den-tico, todavia, esse tipo de limitao pode ser superada com LFIs
denticasdidicas, devido propriedade das LFIs modificarem as relaes
de inter-dependncia de premissas de um argumento. Assim, uma
segunda linha depesquisa seria analisar os sistemas denticas
didicos que h na literatura epropor uma hierarquia de LFIs denticas
didicas para, em seguida, aplic-las aos paradoxos denticos.
Desse modo, muito trabalho pode ser feito no mbito de lgicas
denticasparaconsistentes para lanar luz s questes ainda abertas na
literatura.
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Referncias Bibliogrficas
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Proceedingsof the 2nd World Congress on Paraconsistency 2000, pages
194. MarcelDekker, 2002. Verso preliminar publicada em