Dissertacao Mestrado

Antônio Marcos dos Santos

Dimensionamento de lote de produção em umproblema de seqüenciamento de uma máquina comtempo de preparação: aplicação a uma indústria

química

Dissertação apresentada à Escola de Engenharia daUniversidade Federal de Minas Gerais para obtençãodo título de Mestre em Engenharia de Produção.

Orientador: Prof. Carlos R. V. de Carvalho

Belo Horizonte - MG31 de março de 2006

Antônio Marcos dos Santos

Dimensionamento de lote de produção em umproblema de seqüenciamento de uma máquina comtempo de preparação: aplicação a uma indústria

química

Dissertação apresentada à Escola de Engenharia daUniversidade Federal de Minas Gerais para obtençãodo título de Mestre em Engenharia de Produção.

Orientador:

Prof. Carlos Roberto Venâncio de Carvalho

Mestrado em Engenharia de ProduçãoLinha de Pesquisa: Engenharia Logística e de Manufatura

Departamento de Engenharia de ProduçãoEscola de Engenharia

Universidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte - MG31 de março de 2006

Dissertação de Mestrado sob o título Dimensionamento de lote de produção em um pro-blema de seqüenciamento de uma máquina com tempo de preparação: aplicação a uma in-dústria química, defendida por Antônio Marcos dos Santos, em 31 de março de 2006, BeloHorizonte, Minas Gerais, na presença da banca examinadora constituída pelos doutores:

Prof. Dr. Carlos Roberto Venâncio de CarvalhoDepartamento de Engenharia de Produção - UFMG

Orientador

Prof. Dr. Maurício Cardoso de SouzaDepartamento de Engenharia de Produção - UFMG

Prof. Dr. Carlos Andrey MaiaDepartamento de Engenharia Elétrica - UFMG

Prof. Dr. Solon Venâncio de CarvalhoLaboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada - INPE

Dedico este trabalho aos meus colegas de classe pelo companheirismo; ao Renato, peloapoio e amizade eterna; aos professores, pela maestria e à família, pela paciência.

Agradecimentos

Agradeço a Deus pela plenitude, à família pela paciência, aos amigos Renato, Irce, Iana,Lásara, Luciano, Marcellus, Leandro e Rogério pelo companheirismo, aos professores

pela maestria e ao meu orientador, Carlos, pela sabedoria em seus ensinamentos.

Acho que se pode perder tudo, inclusive a riqueza, menos a dignidade, a opção e acapacidade pensar. Explico melhor: somente uma formação sólida e bem estruturada

traz para dentro de nós essa liberdade incrível, esse poder fantástico de pensar quechamo de liberdade cultural. Com ela enxergamos sutilezas que a camu�agem da vidaimpede muitas pessoas de ver. Com ela tomamos decisões sensatas e edi�cantes que

seriam inviáveis para aqueles que não puderam desenvolver este raciocínio lógico nosbancos escolares e no trato com a re�exão, com o trabalho e com a dialética diária entre

você e o seu interior.

Embora possa ser acusado de quixotesco insisto, não por teimosia, mas por convicção,que uma boa formação pro�ssional é o primeiro passo para alcançar esse objetivo. Com

esta base, poderemos viajar pelo passado, presente e futuro entendendo e, sobretudo,degustando o amplo universo, não somente do seu interesse pro�ssional, mas também omaravilhoso universo das ciências, da literatura, da música, en�m, de todas as artes queiluminam o nosso mundo. Com essa bagagem você pode não �car rico mas, certamente,

será competitivo, bem sucedido, e o que é mais importante, muito mais feliz!

Acredito também, meu caro amigo, que através da aquisição desse amplo leque decultura, teremos muito mais competência para contribuir na construção da vida dos quevirão depois de nós e irão precisar desse discernimento e de tantas outras coisas que sóo conhecimento aliado ao esforço construtivo de um trabalho digno coloca dentro de nós.

(Carta recebida do amigo Marques).

Resumo

Esta dissertação foi motivada por um problema real de dimensionamento e seqüenciamentode lotes de produção de uma máquina em uma indústria química. Nesta indústria, váriositens são produzidos em uma mesma máquina, o que implica em tempos de preparação demáquina na troca de um item para outro. Todos os itens são fabricados em grandes reci-pientes denominados tachos. Por questões de restrições tecnológicas, somente é permitidaa fabricação de tachos cheios, logo, o tamanho dos lotes de produção de cada item devemser múltiplos de tachos. O objetivo do planejamento da produção é dimensionar os lotesde produção e seqüenciá-los de modo a evitar rupturas de estoque dos itens e minimizaros custos de manutenção desses estoques.

Para isso, foi elaborado um modelo de otimização matemático-computacional para apoiara tomada de decisões do planejador de produção no chão-de-fábrica. O modelo integraos planejamentos tático e operacional da produção que são interdependentes. O primeirocontempla um horizonte de planejamento mensal e o segundo contempla somente a semanaimediata onde o seqüenciamento é efetivamente implementado. Além de satisfazer a de-manda aos �nais dos períodos semanais e mensal, também é preciso satisfazer a demandacorrente que é continuamente atualizada.

No planejamento tático da produção é feita uma distribuição da previsão de demandamensal em semanas, coordenando a disponibilidade da máquina com a necessidade desatisfação da demanda semanal de cada item. A formação de estoques distantes do seumomento de consumo aumenta os seus custos de manutenção, mas pode ser inevitável asua formação nas semanas iniciais para a satisfação da demanda concentrada no �nal do

Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 8

mês. Além disso, a empresa adota estoques de segurança como forma de proteção contraas oscilações normais da demanda e garantia do nível de serviço requerido.

O planejamento operacional da produção ocorre apenas no período imediato porque aperda de exatidão dos parâmetros ao se distanciar no tempo torna o seqüenciamentoda produção desnecessário para um período mais extenso. As decisões para os outrosperíodos a jusante são utilizadas somente para se coordenar a capacidade disponível eprojetar o que será produzido para efeito de reposição de materiais e alocação de recursosde produção. Após o encerramento do período corrente, o horizonte de planejamento éavançado mais um período e o modelo de programação é aplicado novamente com todosos parâmetros atualizados.

Como o modelo matemático integra simultaneamente os planejamentos tático e opera-cional da produção, as restrições de seqüenciamento vão garantir que os lotes de produçãodimensionados sejam viáveis de se seqüenciar. Para isso, é permitida a interrupção doslotes de produção para antecipar a data de início de fabricação dos outros itens. Estadata não pode ser maior que a data prevista de ruptura de estoque dos itens.

Ao �nal é feita uma análise dos resultados do modelo matemático de Programação LinearInteira Mista para veri�car a sua coerência e aplicabilidade ao problema estudado. Tam-bém será analisada a sua robustez computacional, visto que as decisões no planejamentoda produção às vezes não podem esperar muito tempo para serem tomadas.

Palavras-chave: Programação Linear Inteira Mista, seqüenciamento de produção deuma máquina, dimensionamento de lotes, coordenação de capacidade e interrupção delote.

Abstract

This dissertation was motivated by a real problem in a chemical plant that produces a lotof items in a single machine. The problem is to determine how much to produce in thelong term to minimize the holding costs and how to sequence the items in a short term tominimize the setup costs and avoid stock-outs. The Mixed Integer Program Model (MIP)should be able to integrate the tactical and the operational levels because they depend oneach other.

The scheduling will happen just in the �rst period of the planning horizon which is rolledafter the end of each period. At this level, the demand is continuous at a known rate andmust be met. Through these rates it is possible to know the stocks run-out-times, i.e., howlong the stocks will last and then the de�nition of the lot sizes of each item must considerall the run-out-times to avoid stock-outs.

In practice, the model must allow for lot preemption in order to reestablish the balanceof the system when it is necessary. In some circumstances, preemption is the only wayto reach the targets or dealing with some constraints, specially deadlines as due dates.Otherwise, in this case study, preemption increases the number of variables and also thetime. Therefore it is useful just when it is really necessary. The products are highlyreplaceable (delayed sales usually are lost sales), so delivery in time is important.

Key-words: Mixed Integer Linear Program, lotsizing, single-machine scheduling, rollinghorizon, preemption.

Sumário

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas vi

Lista de Abreviaturas viii

1 Introdução 1

1.1 Motivação da pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Objetivos da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Objetivos especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 O contexto da pesquisa 6

i

Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg ii

2.1 A empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 O problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Modelagem matemática de problemas de planejamento da produção 12

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Considerações sobre técnicas de planejamento da produção . . . . . . . . . 15

3.2 Dimensionamento de lotes de produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Métodos de seqüenciamento de lotes econômicos de produção . . . . . . . . 24

3.3.1 ELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico . . . . . . 25

3.3.2 SELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico Estocástico 29

3.3.2.1 Método de Gascon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2.2 Método de Vergin e Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2.3 Método de Gallego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.2.4 Método de Bourland e Yano . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Seqüenciamento preemptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Planejamento da produção através de Horizonte Rolante . . . . . . . . . . 40

3.6 Comparação entre os métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Modelo matemático proposto 43

Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg iii

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Modelagem matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Parâmetros e variáveis utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.2 Modelo de integração sem interrupção de lote . . . . . . . . . . . . 48

4.1.3 Modelo de integração com interrupção de lote . . . . . . . . . . . . 51

5 Resultados numéricos 56

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Exemplo de aplicação do modelo em um plano de produção . . . . . . . . . 57

5.1.1 Parâmetros utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.2 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.2.1 Modelo sem interrupção de lote . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.2.2 Modelo com interrupção de lote . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Limites computacionais do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Análise gerencial dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Conclusões 73

Referências bibliográ�cas 76

Lista de Figuras

3.1 Classi�cação dos problemas de dimensionamento de lotes de produção . . . 14

3.2 Evolução do estoque de um item . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Sistema de produção em balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Sistema de produção fora de balanço (folga negativa para o item 4) . . . . 33

3.5 Um seqüenciamento cíclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 Níveis de estoques real X planejado com tempo extra . . . . . . . . . . . . 39

3.7 Interrupção não é redundante para 1 | rj | Lmax e 1 | rj |∑

Cj . . . . . . 40

3.8 Aplicação do Método de Horizonte Rolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Apresentação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Planejamento detalhado da produção com horizonte rolante . . . . . . . . . 52

5.1 Rupturas de estoque previstas para os itens 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Seqüenciamento real adotado pela empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

iv

Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg v

5.3 Seqüenciamento de produção ótimo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Sistema sem ruptura de estoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5 Comportamento observado dos limites da solução . . . . . . . . . . . . . . 69

Lista de Tabelas

1 Abreviaturas encontradas no texto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

5.1 Demandas projetadas (tachos) por período . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Estoques iniciais (tachos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Tempos de máquina disponíveis (dias) para o período p . . . . . . . . . . . 58

5.4 Estoques de segurança (tachos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5 Taxa de demanda (tachos/dia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6 Tempos de processamento Pi (dias/tacho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.7 tempos de preparação de máquina (dias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.8 Datas de ruptura dos estoques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.9 Custo de manutenção de estoque do item i (R$) . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.10 Quantidades Xip a produzir por semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.11 Sistema com ruptura de estoque dos itens 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . 62

vi

Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg vii

5.12 Quantidades Xip efetivamente produzidas por semana . . . . . . . . . . . . 63

5.13 Sistema sem ruptura de estoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.14 Resultados computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Lista de Abreviaturas

ELSP . . . . . . . . . . Economic lot scheduling problem;Problema de seqüenciamento de lote econômico.

EMQ . . . . . . . . . . . Economic Manufacturing Quantity ;Lote econômico de produção.

IGLZ . . . . . . . . . . . Nome �ctício dado à empresa pesquisada nesta dissertação.

MRP . . . . . . . . . . . Materials requirement planning ;Planejamento das necessidades de materiais.

MRP II . . . . . . . Manufacturing resource planning ;Planejamento dos recursos de manufatura.

PLIM . . . . . . . . . . Programação Linear Inteira Mista.

PCP . . . . . . . . . . . . Planejamento e Controle da Produção.

SAD . . . . . . . . . . . . Sistema de apoio à tomada de decisões.

SELSP . . . . . . . . Stochastic Economic Lot Scheduling Problem;Problema de seqüenciamento de lote econômico estocástico.

Tabela 1: Abreviaturas encontradas no texto.

viii

Capítulo 1

Introdução

A concorrência no mercado faz com que as empresas busquem agilidade e �exibilidadepara se adaptarem às mudanças de necessidade dos clientes que exigem cada vez maisprodutos sob medida e serviços de qualidade. Além disso, a empresa também deve ter umpreço competitivo, conseguido através do controle dos seus custos e otimização dos seusprocessos.

Essa concorrência leva a um con�ito entre produtividade e �exibilidade que in�uenciadiretamente o sistema de manufatura das empresas. Atualmente, muitos gestores deprodução ainda não dispõem de sistemas computacionais de apoio à tomada de decisão e,apesar de todos esforços dedicados ao cumprimentos das metas, os resultados nem sempresão satisfatórios.

Nesse contexto, a otimização dos processos produtivos é uma forma de transformar os de-sa�os do sistema de manufatura em vantagem competitiva, através do aumento da produ-tividade, �exibilidade e redução dos custos nas organizações. Ferramentas de otimizaçãocomo a Programação Matemática, entre outras, ajudam na busca de melhores soluçõespara esse problema.

Tanto no planejamento tático da produção quanto no operacional, as ferramentas de

1


otimização podem melhorar a agilidade e coerência das decisões nos mais diferentes sis-temas de manufatura. Essas ferramentas, como sistemas de apoio à tomada de decisão,contribuem reduzindo os desperdícios e otimizando a alocação de recursos tais comomáquinas, mão-de-obra, capital, matéria-prima, tempo, espaço físico, dentre outros.

Dessa forma, a Pesquisa Operacional pode contribuir na investigação de dois problemasinterdependentes existentes na gerência de produção: o primeiro se refere ao planeja-mento tático da produção cujo objetivo é de�nir os tamanhos dos lotes no horizonte deplanejamento para atender à demanda. O outro problema é a programação da produção,que consiste no planejamento operacional de tarefas, cujo objetivo é o de determinar aseqüência e a data de início das operações sobre os recursos de produção.

Ultimamente, a evolução dos computadores com ampliação de memória e capacidade deprocessamento e o desenvolvimento de novas bibliotecas de otimização está contribuindomuito para a solução dos problemas de planejamento e sequenciamento de produção.Neste trabalho, por exemplo, o modelo de otimização proposto possui muitas variáveisque podem elevar muito o tempo computacional e ser inviável a espera da solução, poisas decisões no chão-de-fábrica devem ser tomadas rapidamente. Gallego [14] a�rma que éimportante se dispor uma política de recuperação ou correção de planejamento, porque ascoisas nem sempre saem conforme planejado. Isto se deve ao grande número de variáveisaleatórias e eventos imprevisíveis perturbando continuamente o sistema de produção.

Esta dissertação propõe um modelo matemático-computacional para apoiar a tomada dedecisões no chão-de-fábrica no tocante ao planejamento tático e operacional da produçãoem uma máquina. O objetivo deste modelo matemático é apresentar uma contribuição àgestão de operações da empresa estudada através do balanceamento e redução dos níveisde estoques de cada item. Rupturas de estoque não são admitidas.


1.1 Motivação da pesquisa

Problemas de dimensionamento de lotes de produção e seqüenciamento são muito com-plexos de serem resolvidos por ser difícil representar todas as variáveis do mundo real emum modelo matemático e conseguir resolvê-lo em um tempo computacional viável. Entre-tanto, é um problema que afeta a rotina do planejador de produção, havendo a necessidadede se desenvolver modelos que conciliem qualidade de solução e tempo computacional,como ferramenta de apoio à tomada de decisão. Como o ambiente do chão-de-fábrica nãoé estático e algumas variáveis são aleatórias, o modelo de planejamento deve ser capaz delidar com essas características e fornecer soluções de qualidade aplicáveis à realidade.

Em empresas com gestão da demanda para pronta-entrega e produtos de alta substituiçãono mercado, a disponibilidade imediata de produto para satisfazer a demanda é fatorcrítico. Segundo Ballou [3], para absorver as variações da demanda e dos tempos deentrega, além das perturbações do sistema real de manufatura, é necessário a formaçãode estoques de segurança proporcionais aos níveis de serviço requeridos pela empresa. Ogrande desa�o das empresas é otimizar todos os seus processos para diminuir as incertezase atingir os níveis de serviço requeridos sem aumentar muito os estoques de segurança.Quanto mais e�ciente a empresa for neste quesito, maior será sua e�ciência operacional emenores serão os custos, tornando a empresa mais competitiva no mercado.

Neste aspecto, o PCP tem uma importância fundamental e direta no resultado da empresa,pois é nesse departamento que são tomadas as decisões do que produzir e quando, o quecomprar e o que estocar. Como os recursos de manufatura são �nitos, a e�ciência doplanejamento tem impacto direto no resultado global da empresa. Portanto é de sumaimportância a existência de um sistema para apoiar as decisões do gestor de PCP que,aliado com o seu conhecimento empírico, vai prover e�ciência operacional para o sistemade manufatura da empresa.


1.2 Objetivos da dissertação

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral é compreender o sistema atual de dimensionamento dos tamanhos de lotese seqüenciamento da produção da empresa e propor ummodelo matemático-computacionalpara o auxílio à decisão. Tal modelo deve apoiar o planejador de produção no controledos níveis de estoques e na previsão das rupturas desses estoques.

1.2.2 Objetivos especí�cos

• estudar o problema, identi�cando seus parâmetros e variáveis e situá-lo na lite-ratura;

• buscar suporte bibliográ�co para o entendimento do problema e construção de ummodelo matemático;

• levantar informações a respeito da estrutura da planta, tais como taxas de produção,taxas de demanda, comportamento da demanda, níveis de estoque, entre outras;

• desenvolver um modelo matemático-computacional que seja viável e e�ciente notratamento desse tipo de problema de produção;

• validar o modelo, veri�cando a qualidade das soluções e seu desempenho computa-cional.

1.3 Organização da dissertação

Esta dissertação está estruturada em seis Capítulos, sendo que este Capítulo 1 contex-tualiza o problema no ambiente em que a organização estudada está inserida, cita os


objetivos, descreve a motivação da pesquisa e apresenta a organização do documento.

No Capítulo 2 é apresentado o contexto da pesquisa com um detalhamento maior daempresa, do problema e das variáveis importantes.

O Capítulo 3 consiste na revisão bibliográ�ca para demonstrar o nível de desenvolvimentoatingido pela ciência na atualidade relacionado ao tema desta dissertação. Este levanta-mento teórico será usado para descrição do problema e auxiliará no desenvolvimento domodelo matemático para a sua solução.

No Capítulo 4 é apresentado o modelo matemático para resolver o problema de pesquisaapresentado nos capítulos anteriores, bem como o raciocínio lógico que orientou a suaconstrução.

Em seguida, o Capítulo 5 contém os resultados computacionais obtidos e as análisespertinentes, validando o modelo proposto no capítulo anterior. Também é apresentadauma seção que relata a experiência do autor no PCP da empresa, mostrando outrosaspectos relacionados ao planejamento da produção.

As conclusões �nais estão no Capítulo 6 com sugestões para realização de outros projetosde pesquisa. Ao �nal de cada capítulo tem uma conclusão parcial que demonstra em queo capítulo foi útil para a dissertação, com o objetivo de ajudar o leitor a entender melhoro raciocínio do autor e dar uma consistência lógica ao trabalho.

Capítulo 2

O contexto da pesquisa

Introdução

O objetivo deste capítulo é levantar as principais características do sistema de produçãoestudado e algumas variáveis determinantes, de modo que o seu entendimento sirva deparâmetro para o desenvolvimento do restante do trabalho, especialmente do modelomatemático.

2.1 A empresa

Foi dado um nome �ctício de IGLZ à empresa onde foi realizado o estudo de caso. Éuma empresa de médio porte que fabrica e comercializa produtos de limpeza doméstica,pro�ssional e automotiva. Suas atividades tiveram início em abril de 1960 quando a pro-dução de cera era em tambores esquentados em fogão à lenha, processo que era realizadomanualmente pelo proprietário. Em 1963, a empresa transferiu-se para uma área maiorde aproximadamente 2.000 m2, ampliando assim as suas instalações. Em 1967, mudou-se para sua sede de�nitiva com 14.862 m2. Atualmente, as atividades da empresa se

6


concentram na fábrica recém inaugurada com uma área de 140.000 m2 e cerca de 500funcionários.

Nos seus primeiros anos, fabricou apenas cera pasta nas latas conhecidas como marmita.Atualmente possui cerca de 200 itens de produtos de limpeza, estando em constantepesquisa para o desenvolvimento de novos itens. Este aumento do número de itens é umcomplicador para o planejamento da produção, visto que os itens geralmente concorremaos mesmos recursos de produção (máquina, mão-de-obra, espaço físico etc.). Dentreos produtos hoje fabricados estão as ceras, desinfetantes, detergentes, amaciantes pararoupas, lustra-móveis, ceras para uso automotivo, velas, soda cáustica, removedores deceras, multi-usos e limpa vidros. A empresa também se dedica à produção das embalagensplásticas que são utilizadas para a comercialização de seus produtos.

Mesmo disputando o mercado com grandes corporações multinacionais, a IGLZ aumentoua sua participação no mercado, isso devido principalmente à qualidade, variedade e preçode seus produtos. Em 1997 a empresa conquistou a liderança nacional de mercado nosegmento de ceras para assoalho. A empresa teve um crescimento muito acentuado nomercado nos anos 90, quando pro�ssionalizou seu quadro de pessoal e investiu em novastecnologias e em pesquisa e desenvolvimento. Hoje a empresa exporta produtos para aAmérica Latina e África, com distribuidores em todo o Brasil, sendo sua atuação muitoforte no estado de Minas Gerais.

Seu parque industrial possui vários setores produtivos interconectados, sendo que o prin-cipal deles é o setor denominado Envase. É este setor que dita o ritmo de produção detoda a fábrica e é responsável pelo abastecimento e manutenção dos estoques de produ-tos acabados. Atualmente a empresa não dispõe de um sistema informatizado para oapoio à tomada de decisão para o planejamento da produção. O planejamento é feito deacordo com a experiência acumulada dos atuais planejadores de produção. Veri�ca-se quefreqüentemente ocorrem rupturas de estoques.

A empresa optou por um balanço entre capacidade instalada e níveis de estoque, ouseja, como há uma parcela de capacidade ociosa, os níveis de estoques não precisam sermantidos tão altos devido à capacidade de reação das linhas de produção. Sridharan [27]


mostra que esta política é muito comum nas empresas como forma de minimizar os custosde manutenção dos estoques.

Para o estudo de caso foi escolhida a linha de produção que é responsável pela maiorparcela de volume de produtos fabricados por período. Esta linha fabrica um total de 5itens. O grande desa�o do planejador de produção é determinar os tamanho dos lotes deprodução e a seqüência de fabricação de cada item. O objetivo é evitar ruptura de estoquee, ao mesmo tempo, não formar estoques desnecessários. Quando possível, a minimizaçãoda quantidade de preparações de máquina ajuda a manter o ritmo e a estabilidade doprocesso de produção, pois o excesso de regulagens atrapalha o funcionamento estável dasmáquinas. Além disso, as preparações de máquina consomem uma parcela de tempo dacapacidade instalada, diminuindo, assim, o tempo disponível para a produção.

2.2 O problema

Foi feito o levantamento das principais características que predominam no sistema deprodução estudado. Essas características são consideradas na modelagem matemáticado problema levantado. Dentre elas se destaca, por exemplo, a precariedade das infor-mações sobre os impactos das decisões do planejador de produção num horizonte maiordo que aquele imediatamente planejado. As decisões de seqüenciamento da produção sãobaseadas em regras que priorizam aqueles itens cujos tempos de esgotamento de estoquesão menores e tendem a entrar primeiramente em ruptura de estoque. Essas regras sãoobjetivas e coerentes para a empresa, entretanto são regras imediatistas porque seu obje-tivo é apenas evitar a ruptura de estoque instantânea. Seu inconveniente é não consideraraspectos futuros tal como a coordenação da capacidade de produção disponível ao longode todo o horizonte de planejamento, podendo faltar capacidade de produção no futurodevido ter se gastado muito tempo com preparações no presente.

Tão importante quanto saber a seqüência de produção é de�nir o tamanho do lote deprodução de cada item de forma que satisfaça a demanda prevista e, ao mesmo tempo,minimize os custos de manutenção dos estoques. Quanto maiores os tamanhos dos lotes,


menores são os tempos totais de preparação de máquina, isso porque há um número menorde troca de ferramentas. Por outro lado, se o tamanho do lote de produção de um itemfor muito grande, implica que maior é a data de início de produção dos itens subseqüentesque podem entrar em ruptura de estoque.

Os estoques dos itens i nos períodos semanais p são consumidos por uma taxa de demandacontínua rip que varia de item para item e de período para período. O objetivo doplanejador da produção é diminuir os níveis de estoques e evitar rupturas através de umaseqüência que deve respeitar o tempo dispoível para a produção no período. Apesar dea ociosidade da máquina atualmente girar em torno de 10%, ainda ocorrem rupturas emmomentos de picos de vendas por falta de um planejamento de capacidade da linha deprodução ao longo de todo o horizonte de planejamento.

Atualmente a máquina produz 5 itens concorrentes entre si, com tempos unitários deprocessamento Pi conhecidos. A produção é em lotes múltiplos de tachos, sendo que seumínimo é igual a um tacho e seu máximo é igual à previsão de produção do período. Nodecorrer do mês, é necessário garantir o estoque para a satisfação da demanda concen-trada no �nal do mês. A gestão da demanda é para pronta-entrega, pois são produtospadronizados de produção em massa. Venda adiada, quase sempre, é venda perdida.

O ambiente de chão-de-fábrica é afetado pela ocorrência de vários eventos aleatórios per-turbando o ritmo de produção. Vieira et al. [29] destacam alguns eventos clássicos queinterferem no planejamento da produção. Dentre eles se destacam as falhas de máquina,a chegada de pedidos grandes e urgentes, a mudança de prioridade dos itens, a variaçãodas taxas de produção e/ou demanda, o cancelamento de pedidos grandes, o atraso deentrega ou falta de matéria-prima, retrabalhos e absenteísmo.

Esses eventos geralmente forçam uma mudança rápida do seqüenciamento para que aprodução retome seu ritmo normal. Como os níveis de estoque da empresa estudada sãobaixos, qualquer um desses eventos que cause o esgotamento do estoque de um item, levaa um ciclo de perseguição de demanda até se recompor os estoques desse item novamente.No modelo proposto neste trabalho, deve-se considerar que o ambiente fabril está vul-nerável à ação de todos esses eventos e, portanto, deve ser possível o replanejamento em


tempo viável.

Considerando os aspectos anteriores, esta dissertação propõe um modelo de ProgramaçãoLinear Inteira Mista para apoiar a tomada de decisões no chão-de-fábrica no tocanteao planejamento tático e operacional da produção em uma máquina. O objetivo desteestudo de caso é apresentar uma contribuição à gestão de operações da empresa estudadaatravés do balanceamento e redução dos níveis de estoques. Rupturas de estoques nãosão permitidas.

No nível tático, o modelo matemático distribui a previsão de produção mensal em períodossemanais p, respeitando o tempo disponível para a produção Qp, minimizando os níveis deestoques Iip de cada item i aos �nais dos períodos e garantindo que as demandas semanaisDip sejam atendidas. O modelo no nível operacional trabalha somente na primeira semanap do horizonte H de planejamento mensal, pois a perda de exatidão dos parâmetros aose distanciar no tempo torna o seqüenciamento da produção desnecessário para períodosmuito longos. À medida em que as semanas vão passando, o horizonte de planejamentovai rolando e adota-se a semana subseqüente como período imediato para o detalhamentoda programação.

Halang [17] a�rma que vários itens disputam espaço em uma mesma máquina por umarazão de economia. Neste caso é preciso que haja um seqüenciamento da produção paraotimizar a utilização da máquina e de todos os recursos envolvidos. Neste trabalho, oseqüenciamento deve respeitar as datas de ruptura de estoque Ti dos itens e os tamanhosdos lotes devem ser dimensionados para manter o balanceamento dos níveis de estoques.Em suma, o modelo deve fazer um re�namento do planejamento tático da produção parao período imediato p através do monitoramento constante dos tempos de esgotamento dosestoques dos itens (datas de ruptura de estoque previstas).


Conclusão

A contribuição deste capítulo para a dissertação está no entendimento e esclarecimentodos aspectos relevantes do problema para ser trabalhado nos capítulos posteriores. Ocontexto em que o problema está inserido, sua especi�cidade, os objetivos, di�culdades erestrições estão claramente delineados. No próximo capítulo, a revisão bibliográ�ca estáfocada nos aspectos inerentes ao problema aqui caracterizado para subsidiar a eleboraçãode um modelo matemático para resolvê-lo.

Capítulo 3

Modelagem matemática de problemasde planejamento da produção

Introdução

Este capítulo aborda alguns métodos de planejamento e seqüenciamento da produçãorelacionados ao problema estudado nesta dissertação. As abordagens desses métodos sãobem diferentes entre si: alguns métodos são exatos e outros, heurísticos; outras vezessão estocásticos ou determinísticos; alguns abordam o planejamento tático da produção eoutros o operacional. Independente das abordagens, o objetivo deste capítulo é apresentá-las e absorver delas vários aspectos e pontos de vista diferentes que justi�cam a elaboraçãodo modelo matemático deste trabalho. O método de solução mais adequado será escolhidoatravés da análise dos pontos fortes e fracos de cada abordagem e, assim, será veri�cadoo impacto disso no problema estudado.

O planejamento e controle da produção é fundamental para a redução dos custos de manu-fatura e melhoria dos níveis de serviços aos clientes. Anthony e Govindarajan [1] estudamcomo os sistemas de gerenciamento de manufatura podem ajudar a atingir esses objetivosalinhados com as estratégias corporativas da empresa. Parte da literatura cientí�ca que

12


trata do assunto está diretamente ligada à solução dos problemas de planejamento de pro-dução como elo importante do sistema de manufatura. Esses problemas geralmente estãosujeitos a restrições de prazos de entrega, capacidade ou uma combinação entre eles. Umaspecto importante que afeta o PCP das empresas é a integração do planejamento táticoda produção com o operacional em busca de soluções viáveis para os dois níveis. Essaintegração geralmente não é tão simples, por causa dos con�itos de objetivos entre os doisníveis de decisão. Às vezes os tamanhos dos lotes de produção dimensionados no níveltático não são possíveis de se seqüenciar pois as restrições operacionais do chão-de-fábricanão foram consideradas.

Em 1998, Carvalho [8] propôs um método de resolução para um problema de integraçãoentre os planejamentos tático e operacional da produção que conduziu a uma soluçãoglobal, respeitando os principais interesses econômicos da hierarquia de decisão. Adotandoo método de Benders, Carvalho consegue obter uma das características mais importantespara a resolução do problema de integração que é a conservação da descentralização dasdecisões, fazendo com que cada nível permaneça autônomo e responsável pela geração desuas próprias estratégias de produção.

Esses problemas de dimensionamento de lotes de produção podem ser classi�cados emcategorias baseadas no número de estágios ou níveis do sistema produtivo, no númerode itens considerados, no número de máquinas, na presença ou ausência de restriçõesde capacidade e na característica da demanda (estática ou dinâmica e determinística ouestocástica). Esses modelos acima podem, ainda, incluir diferentes estruturas de custos,permitir ou não atrasos e admitir um ou vários itens para serem produzidos por período.

Esquematicamente, a Fig. 3.1 apresenta uma organização grá�ca onde os problemas dedimensionamento de lote podem ser localizados. O problema de dimensionamento delotes de produção neste estudo de caso é do tipo uma máquina, um nível, multi-item,capacitado, estático e determinístico. A tabela está abreviada, porque a rami�caçãotambém aumenta para o seu lado direito, em seus vários níveis.

Segundo Buxey [6], o problema de seqüenciamento da produção consiste no planejamentooperacional das tarefas, determinando a seqüência e a data de início das operações sobre


Dimensionam.

Uma máq. Multi-máq.

Um nível Multi-nível

Multi-item Mono-item

Capacitado Não capac.

Estático Dinâmico

Estocástico Determiníst.

Figura 3.1: Classi�cação dos problemas de dimensionamento de lotes de produção

os recursos de produção. Geralmente, o seqüenciamento da produção deve satisfazerrequerimentos de entrega e as restrições de capacidade de máquina ou disponibilidade derecursos. O objetivo é otimizar a utilização desses recursos, em busca da redução doscustos de preparação de máquina, de ruptura dos estoques, de atrasos, dentre outros.

Para o desenvolvimento do conteúdo desta dissertação, as seções seguintes se organizamda seguinte forma: a seção 3.1 demonstra as di�culdades e limitações de alguns métodosde planejamento da produção; a seção 3.2 mostra alguns métodos de dimensionamentode lotes de produção multi-períodos; a seção 3.3 contém alguns métodos de seqüencia-mento de lotes econômicos; a seção 3.4 mostra a importância de se interromper os lotesde produção para a melhoria da solução em alguns casos; a seção 3.5 apresenta a téc-nica de Horizonte Rolante para o planejamento da produção e a seção 3.6 estabelece umcomparativo entre os métodos revisados anteriormente, mostrando seus pontos fortes efracos.


3.1 Considerações sobre técnicas de planejamento daprodução

Existem várias técnicas de planejamento da produção, dentre elas o MRP (Planejamentodas Necessidades de Materiais) e MRP II (Planejamento dos Recursos de Manufatura).Buxey [6] a�rma que essas técnicas são, de maneira geral, boas formas para se gerenciaro sistema de manufatura das empresas, mas as soluções desenvolvidas pelas própriasempresas costumam ser mais �exíveis ao lidar com as várias situações de chão-de-fábrica.A �exibilidade exigida nos modelos de planejamento de produção se originam no grau deincerteza sempre presente no ambiente fabril, tais como ocorrências aleatórias de quebrasde máquinas, pedidos urgentes, estimativas não precisas, dentre outras que podem destruira credibilidade de qualquer planejamento ambicioso.

Como ainda a�rma Buxey [6], uma das vantagens do MRP é que ele impõe uma abor-dagem de planejamento disciplinada através de força computacional. Ele opera em modoreverso para a coordenação da capacidade e sincronismo do abastecimento de peças. OMRP transcreve entradas do Plano Mestre de Produção (MPS) em seqüenciamentos co-ordenados para os níveis inferiores de compras e manufatura. Entretando, o MRP perdeatratividade em ambientes dinâmicos de produção em massa com freqüentes correções doMPS. A presença de instabilidade e falta de previsibilidade da demanda, tão fundamentaispara seu funcionamento, degeneram a qualidade das suas soluções.

Apesar da di�culdade da sua integração na realidade, MPS, MRP e Controle da Produçãosão interdependentes e funcionam seqüencialmente da seguinte forma:

• primeiramente se faz o planejamento de requerimentos de capital e equipamentos;

• depois se faz um planejamento de recursos materiais e laborais sobre um horizontede aproximadamente 2 anos, revisando trimestralmente;

• o MPS estipula as saídas de produtos acabados por semana, sobre um horizonte deaproximadamente 12 meses e atualizado mensalmente;


• o MRP extrapola o MPS para os níveis inferiores da hierarquia de planejamento demanufatura;

• a partir de então são tomadas as decisões diárias de seqüenciamento para atingiralta produtividade;

• os planos são checados para veri�car se são mutuamente compatíveis e são feitas asmodi�cações necessárias;

• �nalmente o controle da produção deve ser feito através do monitoramento do pro-gresso dos itens e das ordens de compra. As modi�cações são realizadas novamentesempre que necessário.

Outro fator muito enfatizado por Santos e Rodrigues [23] no artigo sobre controle de es-toque é que os padrões de demanda distintos de cada item exigem diferentes formas detratamento no dimensionamento dos estoques de segurança e na de�nição das políticas deressuprimento. Para o planejamento da produção, essa característica da demanda tam-bém in�uencia na estratégia de produção adotada. Dependendo da tipologia do sistemade produção (volume de produção X variedade de itens) e dos padrões de demanda decada item (contínuo X esporádico e regular X irregular), pode haver a necessidade dese empregar técnicas híbridas de administração da produção. Dessa forma evita-se queapenas uma técnica padrão seja adotada em favorecimento de alguns padrões de demandade alguns itens em detrimento dos outros.

Quanto às variações na demanda total que interferem muito nos sistemas de planejamentoda produção, elas podem ser absorvidas através de estoques de segurança ou atravésde perseguição da demanda quando há capacidade ociosa. Neste aspecto a PesquisaOperacional tem sido muito prolí�ca em publicações na área de dimensionamento de lotesde produção e seqüenciamento, dentre eles Anthony e Govindarajan [1], Ballou et al. [3],Leachman e Gascon [20] e Manne [21]. Entretanto, cada empresa tem uma peculiaridadena qual os modelos desenvolvidos devem considerar de forma a associar a teoria à prática.

Buxey [6] ainda a�rma que algumas técnicas de PO mais utilizadas no planejamento daprodução são baseadas na Programação Linear. Dentre elas estão as técnicas de branch


and bound ou branch and cut, teoria dos grafos, programação dinâmica entre outras.Algumas vezes essas técnicas focam exclusivamente a redução do tempo total de execução,o que torna a otimalidade das soluções, na maioria dos casos, extremamente difícil de segarantir frente à complexidade do chão-de-fábrica. Uma alternativa prática seria usarregras de despacho, mas têm o incoveniente de serem míopes e imediatistas, sem garantira otimalidade global do sistema de produção.

Considerando algumas técnicas acima, as seções seguintes tratam modelos de dimensiona-mento de lotes de produção e seqüenciamento que servirão de inspiração para a construçãodo modelo matemático para a solução do problema deste estudo de caso.

3.2 Dimensionamento de lotes de produção

Os modelos abaixo buscam de�nir o quanto produzir de cada item por período de forma aminimizar os custos totais de preparação de máquinas, manutenção dos estoques e horas-extras, considerando que a taxa de demanda e os custos variam com o tempo. Todos elesconsideram múltiplos períodos e fazem uma coordenação de capacidade ao longo de todoo horizonte de planejamento tático.

As pesquisas sobre problemas de dimensionamento de lotes partiram da fórmula clássicade dimensionamento de lotes econômicos de produção, conhecida como EOQ (EconomicOrder Quantity). Esta fórmula determina a quantidade de produção para cada itemindividualmente, considerando as trocas compensatórias entre os custos de manutençãodos estoques e os custos de preparação de máquina. Devido às restrições dessa abordagem,dentre elas o fato de os lotes de produção dimensionados serem soluções independentes, ouseja, não considera a interferência de um produto no outro na linha de produção, surgiramoutros modelos de dimensionamento de lotes de produção. Uma versão desses problemasé apresentada por Hax e Candea [18]. Considerando a programação de produção deum produto, cujas taxas de demanda são conhecidas em um horizonte de planejamentocomposto por T períodos, temos:


Parâmetros:

• cst: custo de preparação de máquina no período t;

• ht: custo de manutenção do estoque no período t;

• dt: demanda no período t;

• T : número de períodos.

Variáveis de decisão:

• qt: quantidade a ser produzida no período t;

• It: estoque �nal do produto no �m do período t.

Formulação matemática do problema:

min.T∑

t=1

(cstδ(qt) + htIt) (3.1)

s.a :qt + It−1 − It = dt ∀ t = 1, ..., T (3.2)

qt, It ≥ 0 ∀ t = 1, ..., T (3.3)

Sendo a seguinte restrição a condição para que os custos de preparação de máquina sósejam incluídos quando houver produção do produto no período:

• δ(qt) ={

1, se qt > 0

0, se qt = 0


A função objetivo (3.1) minimiza os custos de preparação de máquina e manutenção dosestoques. A equação (3.2) balanceia os estoques, ou seja, a quantidade produzida em umperíodo, mais a quantidade inicial, menos a quantidade em estoque ao �nal do período,deve ser igual à demanda do período. A restrição (3.3) de�ne os domínios das variáveisde decisão.

Trocando a função δ(qt) por uma variável binária de preparação de máquina yt e acrescen-tando uma restrição que garanta que o custo de preparação de máquina seja considerandosomente quando existe produção no período, temos:

Parâmetro adicional:

• M : número su�cientemente grande.

Variável adicional:

• yt: variável binária que indica se ocorre preparação de máquina no período t (yt = 1)ou não (yt = 0).

Formulação matemática do problema modi�cado:

min.T∑

t=1

(cstyt + htIt) (3.4)

s.a :qt + It−1 − It = dt ∀ t = 1, ..., T (3.5)

qt ≤ Myt ∀ t = 1, ..., T (3.6)

qt, It ≥ 0, yt ∈ {0, 1} ∀ t = 1, ..., T (3.7)

Na restrição (3.6), M é um número su�cientemente grande para evitar a limitação daprodução. M é dado pela somatória de todas as demandas do período. Se substituirmosM pela capacidade do período Ct, teríamos um problema capacitado.


O modelo apresentado acima considera apenas um único produto, mas pode ser estendidopara vários produtos. Neste caso teríamos um modelo não capacitado, um nível e multi-produto, da seguinte forma:

Novos parâmetros:

• csit: custo de preparação de máquina do produto i no período t;

• hit: custo de manutenção do estoque do item i no período t;

• dit: demanda do produto i no período t;

• T : número de períodos.

Novas variáveis de decisão:

• qit: quantidade do produto i produzida no período t;

• Iit: quantidade estocada do produto i no �nal do período t;

• yit: variável binária que indica se ocorre preparação de máquina para o produto i

no período t (yit = 1) ou não (yit = 0).

Nova formulação matemática do problema:

min.N∑

i=1

T∑t=1

(csityit + hitIit) (3.8)

s.a :qit + Iit−1 − Iit = dit ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.9)

qit ≤ Myit ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.10)

qit, Iit ≥ 0, yit ∈ {0, 1} ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.11)


Sendo que N representa o número de produtos.

A produção dos vários produtos foi incorporada nas restrições (3.9), (3.10) e (3.11). Comonão há restrição de capacidade, o problema poderia ser decomposto em N problemasindependentes, um para cada produto.

Na tentativa de adequar cada vez mais os modelos à realidade, surgiram os modelos dedimensionamento de lotes capacitados. Assim, o problema passa a ser multi-item, umestágio, com horizonte de planejamento �nito dividido em períodos, cada um com umademanda especí�ca e capacitado.

Considerando

• pi: parcela de capacidade necessária para produzir uma unidade do produto i;

• Ct: capacidade disponível no período t,

temos:

min.N∑

i=1

T∑t=1

(csityit + hitIit) (3.12)

s.a :qit + Iit−1 − Iit = dit ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.13)

piqit ≤ Ctyit ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.14)N∑

i=1

piqit ≤ Ct ∀ t = 1, ..., T (3.15)

qit, Iit ≥ 0, yit ∈ {0, 1} ∀ i = 1, ..., N ; t = 1, ..., T (3.16)

A função objetivo (3.12) e a restrição de balanceamento dos estoques (3.13) não se al-teram em relação ao modelo anterior (multi-produto não capacitado). A restrição (3.14)


garante que a produção de um item ocorre somente se a preparação para aquele item ocor-rer. A equação (3.15) representa as restrições de capacidade, sem descontar os temposconsumidos nas preparações de máquinas.

Um modelo que considera os tempos de preparação de máquina pode ser formuladomodi�cando-se apenas a restrição de capacidade (3.15) da seguinte forma:

N∑i=1

(piqit + stiyit) ≤ Ct ∀ t = 1, ..., T (3.17)

sendo sti o tempo de preparação de máquina para o produto i. Observe que o tempoconsumido na preparação de máquina reduz a capacidade total do período, enfatizandoque o tempo de preparação do processo é um fator crítico para esse modelo matemático.

Manne [21] também propõe um modelo para o dimensionamento de lotes de produçãocom uma abordagem diferente da anterior. Seu modelo busca determinar a quantidade decada item que deve ser produzida e estocada por período, considerando-se restrições detempo, capacidade disponível e requerimentos de demanda em cada período, sendo queo fracionamento dos lotes de produção aumenta os custos de preparação de máquina. Oobjetivo é minimizar o número de horas-extras.

O artigo de Manne [21] faz uma clara separação entre seqüenciamento de curto prazo ede longo prazo, enfatizando apenas o segundo. No curto prazo, o seqüenciamento tratade detalhes, enquanto que no longo prazo, é tratado o problema geral de coordenação derecursos para honrar os compromissos de entregas e de�nir quais políticas adotar parasuprir determinada insu�ciência (hora-extra, treinamento, recrutamento etc.).

O modelo trata o seqüenciamento dos lotes de produção de forma agregada por similari-dade. Essa agregação reduziu o número de variáveis do problema, sem perder a precisãonecessária do modelo de PL. As variáveis não se referem ao tamanho dos lotes de produçãode cada item em cada período de tempo, mas à fração de tempo destinada à produção doitem para satisfazer a demanda no período.


As variáveis de decisão são:

• xij: fração dos requerimentos totais de produção dedicada ao produto i para sersuprida pela alternativa de sequência j;

• lt: número de horas-extras requeridas durante o período t;

• st: variável de folga de mão-de-obra durante o período t;

• vt: variável de folga de hora-extra durante o período t;

Os coe�cientes das variáveis são:

• βijt: parcela de mão-de-obra requerida durante o período t para cumprir a sequênciade produção j − esimo para o item i;

As constantes do problema são:

• St: disponibilidade máxima de horas de mão-de-obra durante o período t− esimo;

• Vt: disponibilidade máxima de horas-extras de mão-de-obra durante o período t −esimo;

O modelo de programação linear é:


minimize :∑

t

lt (3.18)

s.a :∑

j

xij = 1 ∀ i = 1, ..., I (3.19)

∑i

∑j

βijtxij − lt + st = St ∀ t = 1, ..., T (3.20)

lt + vt = Vt ∀ t = 1, ..., T (3.21)xij, lt, st, vt ≥ 0 ∀ i, j, t (3.22)

Nesse modelo, a função objetivo 3.18 representa a minimização do montante de horas-extras de mão-de-obra; a restrição 3.19, representa o total de requerimentos para o itemi− esimo que deve ser atendido pela combinação de uma ou mais sequências de produçãopara aquela parte; a restrição 3.20 garante que o total de horas de mão-de-obra requeridospara satisfazer determinada demanda em um período não exceda o total de mão-de-obradisponível mais as horas-extras; a restrição 3.21 impõe limites superiores para o uso dehora-extras e a restrição 3.22 garante a não-negatividade das variáveis de decisão.

A seção seguinte apresenta alguns métodos de seqüenciamento da produção que são muitopróximos do problema de produção estudado.

3.3 Métodos de seqüenciamento de lotes econômicos deprodução

Os métodos de seqüenciamento de lotes econômicos são aqueles que usam como soluçãoinicial as soluções clássicas do lote econômico de produção. Estes são oriundos da trocacompensatória entre os custos de preparação de máquina e os custos de manutenção dosestoques. Como esses lotes de produção geralmente não são viáveis de se seqüenciarpor serem soluções independentes, esses métodos vão alterando os tamanhos dos lotes


até tornar seu seqüenciamento viável de acordo com alguma restrição (data prevista deruptura de estoque, por exemplo).

Segundo Doll e Whybark [10], se não houvesse o fenômeno da interferência, ou seja, cadaproduto sendo programado em n máquinas independentes em vez de uma só máquina, oproblema de dimensionamento de lotes de produção se reduziria a se encontrar tempos deciclos individuais, como no problema clássico de lote econômico de produção.

A solução independente leva ao custo mínimo da solução, entretanto, seu seqüenciamentoraramente é viável porque um item interfere no outro ao disputarem vaga na mesmamáquina para serem produzidos (fenômeno da interferência). Como estes lotes de pro-dução possuem custo mínimo, no seu seqüenciamento, a melhor solução será aquela quemenos modi�car os seus tamanhos originais, ou seja, aquela que mais vai se aproximardo custo mínimo. É calculado um tempo de ciclo econômico T ∗, sobre o qual os lotes deprodução de todos os itens serão calculados.

As seções seguintes abordam as versões determinísticas e estocásticas desse problema eapresentam alguns métodos de solução desenvolvidos para tratá-lo.

3.3.1 ELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico

Elmaghraby [11] introduz o Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico (ELSP)como sendo o desejo de acomodar padrões cíclicos de produção baseados nos Lotes Econômi-cos de Manufatura (EMQ) para itens individuais em uma máquina. Gallego e Shaw [15],a�rmam que, devido ao fenômeno da interferência, surge a complexidade do problema queleva alguns pesquisadores a se con�narem ao domínio de seqüenciamentos cíclicos, ondea seqüência se repete ao término de um intervalo �nito de tempo.

Muitos autores pesquisaram os seqüenciamentos cíclicos, dentre eles Campbell e Mabert [7]e Sandbothe [22]. Mesmo uma versão muito restrita deste problema é NP-hard, segundoHsu [19]. Gonçalves e Leachman [16] não adotam os seqüenciamentos cíclicos e preferem


discretizar o tempo em pequenos intervalos, conseguindo uma boa aproximação com a re-alidade, entretanto o modelo gasta muito tempo computacional devido ao grande númerode variáveis.

A fórmula do EMQ chega à uma solução independente T* (equação 3.23) dos tamanhosdos ciclos. Essa solução corresponde ao custo mínimo total de produção (equação 3.24)que é o limite inferior de custos da solução.

T ∗i =

√2Si

rihi(1− ri/Pi)(3.23)

Sendo:

• i: itens (i = 1, ..., n);

• S: custo de preparação de máquina por corrida;

• h: custo unitário de manutenção dos estoques por unidade de tempo;

• r: demanda por unidade de tempo;

• P : produção por unidade de tempo.

C∗i =

√2Sirihi(1− ri/Pi). (3.24)

Se esses ciclos independentes são viáveis de se seqüenciar, a solução do EMQ é ótima.Como geralmente esses ciclos independentes não são viáveis, é preciso que suas duraçõesT ∗ sejam otimizadas, através da alteração dos seus valores até que os ciclos sejam viáveis dese seqüenciar. A alteração dos tamanhos de ciclo T ∗ implica, naturalmente, na alteraçãodos tamanhos dos lotes de produção.


Em geral, a condição necessária para a viabilidade da solução é a restrição de capacidadedada por:

∑i

σi

Ti

≤ 1 (3.25)

Sendo:

• σi: tempo total de produção mais preparação de máquina por lote do item i;

• Ti: tempo de ciclo individual para o item i;

Segundo Gallego [14], no ELSP as taxas de produção e demanda são assumidas comoconhecidas e constantes. Rupturas de estoque não são permitidas e o objetivo é minimizaros custos de manutenção de estoques e preparação de máquina.

A literatura clássica propõe duas maneiras de otimizar as durações dos ciclos individuaise, Elmaghraby [11], uma terceira. Seu método garante a viabilidade da solução atravésda imposição de algumas restrições aos tempos de ciclo, corrigindo as suas durações. Seumodelo tem as seguintes características:

• assume um ciclo longo o su�ciente para acomodar a produção de cada item exata-mente uma vez em cada ciclo (Ciclo comum - CC). Geralmente a solução é viável,entretanto longe de ser ótima, sendo considerado um limite superior de custo dasolução viável do seqüenciamento;

• admite diferentes ciclos para cada item mas insiste que cada ciclo Ti deve ser ummúltiplo inteiro de um período básico W . Esta abordagem proposta pelo autor éuma extensão da abordagem do período básico;


As abordagens desse problema se dividem entre duas grandes categorias de horizontein�nito: (i) abordagem analítica que atingem o ótimo para versões restritas do problema e(ii) abordagem heurística que atinge boas soluções aproximadas para o problema original.

Elmaghraby [11] trata apenas de heurísticas que assumem o período básico W , variandoos ciclos individuais Ti = kiW , onde ki é um multiplicador inteiro do ciclo básico W ,chegando à restrição de viabilidade 3.26 que leva imediatamente a um modelo de progra-mação dinâmica.

∑i

σi =∑

i

(si +rikiW

pi

) ≤ W (3.26)

Sendo:

• ri: taxa de demanda do item i;

• pi: taxa de produção do item i;

• si: tempo de preparação de máquina do item i.

Dobson [9] resume os objetivos do ELSP como uma questão de selecionar a seqüência emque os itens serão produzidos em uma máquina e determinar os tamanhos dos lotes deprodução de cada corrida de cada item. A questão do dimensionamento dos lotes deveconsiderar tempos e custos de preparação de máquina. No seu método, a produção deum item envolve um tempo de preparação de máquina si, um tempo de produção ti eum tempo ocioso ui. No tempo ocioso, os outros itens são produzidos até fechar o cicloem v, antes que o item corrente seja produzido novamente (Fig. 3.2). Este ciclo pode serrepetido inde�nidamente. O objetivo é a satisfação da demanda e minimização dos custosde preparação de máquina e manutenção dos estoques.

O modelo garante que seja alocado tempo su�ciente para a satisfação da demanda aolongo do ciclo de produção e que a quantidade a ser produzida de cada item dure até apróxima vez que o item for produzido novamente.


Tempoti

outros

si ui v0

Est

oque

Figura 3.2: Evolução do estoque de um item

3.3.2 SELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote EconômicoEstocástico

O problema de seqüenciamento de produção em uma máquina com demanda estocásticacom o objetivo de reduzir a soma dos custos de preparação de máquina e de manutençãodos estoques é estudado na literatura sob o nome de SELSP - Problema de Seqüenciamentode Lote Econômico Estocástico - (SOMAN et al.) [25]. O SELSP é uma versão estocásticado ELSP. Apesar de a literatura ser vasta sobre ELSP, seu ponto de vista determinísticoimpede sua difusão nas indústrias. Tal como no ELSP, no nível tático, ciclos alvos sãocalculados para equilibrar os custos de preparação de máquina e os custos de manutençãodos estoques, enquanto que no nível operacional, o objetivo é tentar seguir esses ciclosalvos, fazendo ajustes para evitar rupturas e balancear o sistema de produção, mantendoos custos o mais baixo possível. Segundo Hsu [19], a solução deste problema é tida comomuito difícil, mesmo na ausência de demanda estocástica.

Sox [26] cita que os artigos que tratam do SELSP se dividem em duas categorias: se-qüenciamentos dinâmicos e seqüenciamentos cíclicos. Os primeiros se adaptam melhor àrealização da demanda, variando tanto a sequência de produção quanto os tamanhos dos


lotes, entretanto têm a e�ciência reduzida em ambientes de altas taxas de utilização decapacidade. Por outro lado, as políticas de seqüenciamentos cíclicos usam uma sequência�xa pré-determinada e só variam os tamanhos de lotes para acomodar a �utuação dademanda, sendo mais fáceis de se implementar computacionalmente.

Gallego [14] e Bourland e Yano [4] adotam seqüenciamento cíclico, enquanto que Vergine Lee [28] e Leachman e Gascon [20] adotam seqüenciamento dinâmico em seus artigos.Todos esses autores trataram heuristicamente o SELSP através do desenvolvimento dealgoritmos de dimensionamento de lotes e usaram uma política de revisão periódica emtempo discreto para que as decisões sejam tomadas em épocas conhecidas.

A seguir são apresentados alguns dos principais métodos de seqüenciamento de loteeconômico com demanda estocástica.

3.3.2.1 Método de Gascon

Em 1988, Leachman e Gascon [20] propuseram ummétodo de seqüenciamento de produçãopertencente à classe dos seqüenciamentos dinâmicos baseados em tempo de esgotamentodos estoques (duração prevista para o estoque de um item). A política, que chamaramde heurística de tamanho de ciclo dinâmico (DCL), integra o controle baseado no moni-toramento dos níveis de estoques com a manutenção de ciclos econômicos de produção. Apolítica é aplicada período por período de tempo para se tomar decisões do que produzire em quais quantidades durante o próximo período. Estas quantidades re�etem os ciclosde produção revisados a cada período de tempo em resposta às diferenças entre os níveisde estoques projetados e os níveis reais e às mudanças nas taxas de demanda.

Este método lida bem com a variabilidade da demanda e distúrbios no chão-de-fábricadevido à sua característica de restauração de equilíbrio do sistema, mas não lida com oproblema de planejamento em si. Posteriormente, este método foi estendido para integrarseu uso com o planejamento tático da produção. Quando a demanda for mais esporádica enão puder ser caracterizada por uma taxa, o desempenho da heurística DLC se deteriora.


A DCL usa os tempos de ciclos-alvo do ELSP como solução inicial por serem econômicosmas, corrige-os para atender às novas restrições de sincronismo dos itens na máquina. Otempo de ciclo T é a principal variável de decisão no modelo, acompanhando a trajetóriado estoque (BOURLAND e YANO) [4].

Os parâmetros e variáveis utilizados no problema são:

• ROj: tempo de esgotamento do estoque do item j;

• ci: tempo de preparação de máquina para passar do item i para o j;

• ri: taxa de demanda do item i;

• pi: taxa de produção do item i;

• Ti: tempo de ciclo operacional do item i;

• Tp: tempo total disponível no período p;

• H: horizonte de planejamento;

• m: tempo que representa o lote mínimo de produção;

• ssi: nível de estoque de segurança;

• σi: tempo de preparação de máquina mais tempo de processamento do item i.

O Método de Gascon detalhado nesta seção não é utilizado diretamente na elaboração domodelo, entretanto inspirou conceitos importantes para a modelagem do problema, taiscomo tempo de ciclo variável e tempo de esgotamento dos estoques. O primeiro passo dométodo faz um ordenamento por ordem não decrescente dos tempos de esgotamento dosestoques dos itens (ROi), de modo que RO1 ≤ RO2 ≤ RO3 ≤ ... ≤ ROn (Fig. 3.3).

Utilizando-se do ciclo alvo T ∗ do ELSP, a DCL veri�ca se há uma folga positiva TSj entreos tempos de esgotamentos dos itens (restrição 3.27). O sistema só estará em balanço(sem rupturas de estoque previstas) se todas as folgas entre todos os pares de itens forem


Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5

RO2

RO5

RO4

RO3

σ1

σ4

σ3

σ2

Tem

po d

e es

gota

men

to

(dat

a de

rup

tura

de

esto

que)

Figura 3.3: Sistema de produção em balanço

positivas para que o item comece a ser produzido antes que seu estoque acabe. Observe naFig. 3.3 que os tempos de processamento mais preparação de máquinas (σi) não invademo tempo de esgotamento de estoque do item subseqüente. Dessa forma, todos os itenspodem começar a serem produzidos na data em que seus estoques estão previstos acabar.Por outro lado, na Fig. 3.4, a folga entre os itens 3 e 4 é negativa, ou seja, o estoque doitem 4 vai se esgotar no momento em que a máquina ainda estará produzindo o item 3,porque σ3 está invadindo a data limite RO4 (folga negativa). Diante disso, o item 4 vaientrar em ruptura de estoque.

TSj = ROj −j−1∑i=1

ci − T ∗j−1∑i=1

kiri

pi

∀ (j = 2, 3, ..., n) (3.27)

A folga calculada pela equação 3.27 é o tempo de esgotamento de estoque do item j menos



RO2

RO5

RO4

RO3

σ1

σ4

σ3

σ2

Folga negativa

Folga positivaTem

po d

e es

gota

men

to

(dat

a de

rup

tura

de

esto

que)

Figura 3.4: Sistema de produção fora de balanço (folga negativa para o item 4)

o somatório dos tempos de preparação de máquina dos itens i anteriores, menos os temposde processamento dos itens i anteriores. Quando as folgas T ∗ são negativas, o ciclo alvoT ∗ deve ser diminuído até tornar as folgas positivas e restaurar o balanço do sistema deprodução. Daí tem-se o ciclo operacional T que é o mínimo entre o ciclo alvo T ∗ e a folgamínima entre cada par de itens (equação 3.28).

T = min

T ∗, minj=2,...,n

ROj −j−1∑i=1

ci

j−1∑i=1

kiri

pi

(3.28)

Quando a folga entre dois itens consecutivos for pequena, a restrição 3.29 força um es-


paçamento entre eles para que os dois tenham tempo su�ciente para serem produzidossem invadir o tempo limite do outro.

ROi −ROi−1 ≥ ci−1 +Ti−1 ri−1

pi−1

∀ (i = 2, 3, ..., n) (3.29)

O nível máximo de estoque Si a ser atingido é dado pela restrição 3.30.

Si = ssi +Tiri(Pi − ri)

Pi

∀ (i = 1, ..., n) (3.30)

A restrição 3.31 de capacidade instalada também deve ser respeitada.

∑i

ri

pi

≤ 1 ∀ (i = 1, ..., n) (3.31)

Na parte �nal do artigo, os autores demonstram uma preocupação de integrar a heurísticacom o planejamento tático da produção para lidar com as sazonalidades e montam umesquema de geração de estoques para satisfazê-las. Assim eles incrementaram os pontosde ressuprimento para começar a produzir um item antes que seu estoque seja esgotado.

Sox [26] a�rma que o método de GASCON tem bom desempenho porque mantém altosníveis de serviço com custos relativamente baixos. Outros autores, tais como Seki eKogure [24], também trabalharam com o conceito de tempo de esgotamento de estoquena elaboração de seu método de seqüenciamento cíclico e conseguem bons resultados.

3.3.2.2 Método de Vergin e Lee

Este método também pertence à classe dos seqüenciamentos dinâmicos e tem uma e�-ciência extremamente alta em termos de custos. Ao contrário da heurística DCL, este


método é muito bom para evitar lotes de produção muito pequenos e funciona bem emambientes com altas taxas de utilização de capacidade. Outra diferença é que este métodobusca manter estoques su�cientes para lidar com a �utuação da demanda total de todosos produtos em vez de monitorar a evolução da produção e os níveis de estoques de cadaitem, tal como no método de Gascon.

Vergin e Lee [28] derivam uma taxa ai que é uma proporção mínima de estoque de umitem. Essas taxas são usadas para monitorar os ciclos dos itens. A produção de umitem continua até que o estoque de algum item se esgote ou o estoque do item i atinjaa proporção ai do total de estoque em mãos. Nessa hora a produção é trocada para oproduto com menor tempo de esgotamento.

A taxa ai é a razão do estoque máximo do item i e o estoque médio total de todos ositens no sistema (restrição 3.32). Esta expressão assume um ciclo comum, ou seja, cadaproduto é produzido somente uma vez em cada ciclo.

ai =(1− di/pi)

1/2∑N

j=1 dj(1− di/pi)(3.32)

Sendo:

• di é taxa de demanda;

• pi é taxa de produção;

Soman et al. [25] modi�cam esta expressão para que mais de um produto seja produzidopor ciclo. O fator ki indica que o produto i é produzido somente um vez a cada períodobásico k (restrição 3.33).

ai =(1− di/pi)kidi

1/2∑

i(1− di/pi)kidi

(3.33)


Para prevenir excesso de estoque, os autores estabeleceram níveis de estoques máximospara cada item.

3.3.2.3 Método de Gallego

Este método pertence à classe dos seqüenciamentos cíclicos. A seqüência cíclica f écomputada assumindo demanda aleatória com taxa média constante, permitindo atra-sos. O objetivo é reduzir os custos de manutenção de estoques, atrasos e preparação demáquina. Em seu método, Gallego [14] propõe uma ferramenta de seqüenciamento emtempo real desenvolvida em três passos: (i) De acordo com a demanda esperada, calculaos seqüenciamentos cíclicos alvos e (ii) estuda o seqüenciamento da máquina após algumaperturbação que gere um desequilíbrio dos estoques. Finalmente, (iii) se calcula os esto-ques de segurança para proteger o sistema das aleatoriedades. O objetivo do método éuma recuperação dos ciclos alvos com o mínimo de custo extra.

As pesquisas sobre ELSP buscam encontrar seqüenciamentos cíclicos e�cazes em termosde custos, onde as posições de estoques se repetem após cada ciclo, pois se consideraas demandas determinísticas. Na prática, as demandas são aleatórias e as rupturas sãoinevitáveis, o que di�culta a existência de seqüenciamentos cíclicos. Entretanto, seqüencia-mentos cíclicos baseados em demandas esperadas formam a coluna vertebral da ferramentade seqüenciamento proposta por Gallego [14].

Os pressupostos deste artigo são os mesmos do ELSP, com exceção da demanda aleatóriae pedidos em carteira serem permitidos, apesar de limitados. Se estes pressupostos foremrelaxados, o problema recai no ELSP. Entretanto, combinações intermediárias são degrande interesse, tais como considerar a demanda constante.

Uma ruptura de um seqüenciamento cíclico pode ser causada por vários eventos impre-visíveis, tais como quebra de máquinas, falta de matéria-prima e variação da demanda.O artigo mostra como recuperar um seqüenciamento após uma perturbação, de�nindow como um nível de estoque alvo ao �nal do ciclo. Quando as perturbações são muitograndes, talvez seja conveniente alterar a seqüência dentro do ciclo. O autor propõe uma


heurística para isso.

Conforme apresentado na Fig. 3.5, o ciclo padrão é composto por quatro vetores: (i)sequência de produção f , (ii) estoques iniciais w, (iii) tempo ocioso u e (iv) tempo deprocessamento t. Quando a linha de estoque de um item está ascendente, signi�ca que oitem está em processamento. Quando a linha está descendente, signi�ca que o item estáocioso. Cada item tem, no mínimo, uma posição no ciclo T . Cada posição de um item nasequência é composta de um tempo ocioso, um tempo de preparação de máquina e umtempo de processamento, sendo que a posição de estoque w se repete ao �nal do ciclo T .Apenas um item é produzido por vez na máquina.

TempoT

Estoques

0

w1

w2

w3 w3

w2

w1

i = 1

i = 2i = 3

Figura 3.5: Um seqüenciamento cíclico

3.3.2.4 Método de Bourland e Yano

Este método também pertence à classe dos seqüenciamentos cíclicos que se repetem paraminimizar os custos esperados por unidade de tempo. Os itens são produzidos em uma


sequência cíclica, por exemplo A-B-A-C. É um sistema que preza a estabilidade do se-qüenciamento a partir do gerenciamento das folgas de capacidade na forma de temposociosos planejados dentro dos ciclos.

O modelo de Bourland e Yano [4] trabalha com o conceito de ponto de ressuprimento r,onde a preparação de máquina de um item começa assim que o seu ponto de ressuprimentoé atingido. O objetivo é minimizar os custos por unidade de tempo em estoque, os custosde preparação de máquina e os tempos extras.

A demanda é considerada a uma taxa constante e há três decisões no nível de controle:(i) estender a produção do item corrente adentro do tempo ocioso do próximo item, (ii)usar tempo extra para produzir a quantidade excedente ou (iii) permitir que o estoquecaia abaixo do nível alvo. O tempo ocioso deve ser usado somente para antecipar o inícioda produção ora planejado devido às alterações da demanda.

A Fig. 3.6 exempli�ca um caso em que a demanda do item i excedeu a taxa prevista eo seu estoque atingiu o ponto de ressuprimento antes do tempo ocisoso projetado para oitem i, sendo necessário a alocação de tempo extra para completar a produção do item1. O tempo ocioso funciona como tempo de segurança para os casos em que a demandaaumenta além da média, sendo que a sua administração colabora para a estabilidade dosistema.

3.4 Seqüenciamento preemptivo

Seqüenciamento preemptivo é o ato de interromper um lote de um item em uma sequênciade produção que vai levar a um resultado indesejado e, assim, tornar a solução viável.O lote de produção é fracionado para que se antecipe a data de início de produção dositens subseqüentes ou aproveite os pequenos espaços de tempos ociosos na máquina, paradiminuir o atraso máximo ou o tempo total de processamento, entre outros objetivos.

Segundo Brucker et al. [5], a interrupção dos lotes de produção geralmente melhora a


Tempo extra requeridoitem 1 item i

Nível de estoque projetado (item i)

Nível de estoque real (item i)

Tempo

Estoque

Produção + preparação planejados

Figura 3.6: Níveis de estoques real X planejado com tempo extra

solução de problemas cujo objetivo é reduzir o atraso máximo e quando os itens possuemdatas de liberação para serem produzidos. Na Fig. 3.7, quando não há interrumpção dolote de produção, o atraso máximo (Lmax) é de um dia porque o item 1 deveria ter sidoentregue na data d = 5 mas foi entregue na data d = 6. Como a data de liberação doitem 2 é na data r = 1, ele não pode começar a ser produzido antes dessa data. Comoseu tempo de processamento P é 1 dia, este item deve necessariamente começar a serproduzido na data 2 para ser entregue na data 3. Dessa forma, se o item 1 for fracionado,parte do seu lote pode ser produzido entre a data 0 e 1, e o restante será produzido apósa data 2, cumprindo, assim, a data de entrega prevista d = 5. Este é um dos exemplos,entre outros, onde a interrupção dos lotes de produção é fundamental. Entretanto, emalguns casos o fracionamento dos lotes de produção pode ser redundante se não melhoraro resultado da solução.


Seq. Preemptivo

Lmax = 0 ∑Cj = 7

Seq. não-preemptivo

Lmax = 1 ∑Cj = 8

P1 = 4 r1 = 0 d1 = 5

P2 = 1 r2 = 1 d2 = 2

1 2 1 2 10 1 52 3 4 0 1 52 3 4 6

Figura 3.7: Interrupção não é redundante para 1 | rj | Lmax e 1 | rj |∑

Cj

3.5 Planejamento da produção através de HorizonteRolante

Horizonte Rolante é uma técnica de planejamento onde um horizonte de planejamentomaior é subdividido em períodos e vai deslizando ao longo do tempo na medida em que éexecutado o planejamento de cada um dos períodos. Um planejamento de produção queusa a técnica de Horizonte Rolante implementa a programação detalhada somente paraos períodos imediatos (Fig. 3.8). Segundo Buxey [6], não há nada que possa ser ganhocom cálculos exaustivos relacionados a períodos muito distantes de planejamento, poiso detalhamento perde precisão ao se distanciar no tempo. Após o encerramento de umperíodo, o horizonte é rolado mais um período e o modelo é aplicado novamente com asinformações atualizadas de estoque, capacidade e demanda (itens que foram produzidos narodada são subtraídos na carteira de pedidos). O planejamento para os períodos futurosé feito apenas para a avaliação da capacidade. Esta atitude diminui drasticamente onúmero de variáveis do modelo.

Araújo et al. [2] descrevem vários aspectos que devem entrar no modelo de planejamentode produção de uma fundição e depois propõem uma modelagem adequada. No seu estudode caso, todos os pedidos têm prazos de entrega e o objetivo é minimizar os atrasos. OHorizonte de Planejamento considerado foi de 5 dias, sendo que apenas o primeiro dia foi


subdividido em pequenos períodos com corridas elementares li de 2 horas, que é o tempoequivalente que o forno leva para processar uma carga.

P

Semana t1 (corrente) Semana t2 Semana t3 Semana t4

P P P

Figura 3.8: Aplicação do Método de Horizonte Rolante

Os autores mostram a importância de se utilizar um modelo com Horizonte Rolante parasimpli�car o número de variáveis do problema. No modelo, apenas o primeiro período doHorizonte H é detalhado, diminuindo muito as variáveis de decisão. Ao �nal, para agilizara solução, eles propõem um método de busca local para ir diminuindo o valor da funçãoobjetivo, até que um critério de parada seja satisfeito.

3.6 Comparação entre os métodos

Neste capítulo foram revisados vários métodos de planejamento e seqüenciamento da pro-dução, desde métodos exatos de PL até métodos heurísticos de seqüenciamento de loteseconômicos de produção. A vantagem desses últimos é sua capacidade de monitoramentoe reação para perseguição da demanda, além da simplicidade e aplicabilidade. Por outrolado, possuem o imprevisto de serem métodos imediatistas e reativos demais, não sendoviáveis para ambientes de altas taxas de utilização de máquina. Neste caso, os métodosmuito reativos começam a gerar muitas preparações de máquina para restaurar o equi-líbrio do sistema e acabam gerando instabilidade na produção devido ao alto número deregulagens que alteram o funcionamento normal das máquinas e ao aumento da agitação enervosismo dos operadores que são forçados a fazerem trocas de produtos constantemente.

A necessidade de apuração precisa dos custos de manutenção de estoques e preparação de


máquinas é um fator di�cultador da utilização desses métodos heurísticos. Entretanto,eles foram aplicados em problemas semelhantes a este estudo de caso e trouxeram muitosconceitos que poderão ser incorporados a outros métodos para a geração de soluçõesviáveis.

Por outro lado, os métodos exatos de dimensionamento de lotes de produção revisadosneste capítulo são mais estáveis e provêm maior visibilidade das decisões tomadas emtoda a cadeia de manufatura, apesar de serem mais difíceis de se implementar. Umacombinação de alguns conceitos dos métodos heurísticos com os métodos exatos podetrazer uma boa solução para o problema deste estudo de caso.

Os seqüenciamentos com interrupção de lotes também foram revisados e são formas detornar um plano de produção viável. A técnica de horizonte rolante também se apresentacomo uma forma racional de colaborar para a viabilidade da solução ao direcionar esforçosapenas para os períodos imediatos.

Capítulo 4

Modelo matemático proposto

Introdução

A necessidade de apuração precisa dos custos para determinação dos lotes econômicosde produção foi um dos motivos pelos quais os métodos heurísticos de seqüenciamento,tais quais os revisados neste trabalho, não foram adotados na solução do problema desteestudo de caso. Outro motivo é a necessidade de coordenação do planejamento operacionalde curto prazo com o planejamento tático de médio prazo para gerar planos viáveis paraambos os níveis, aspecto que esses métodos não consideram. A característica fortementereativa desses métodos heurísticos pode gerar uma instabilidade muito grande no chão-de-fábrica ao reagir rápido a qualquer evento ou �utuação da demanda. Essa instabilidadepode gerar perda de produtividade e problemas de coordenação de capacidade devidoao aumento de preparações de máquinas e de regulagens, com conseqüente variação dastaxas de produção das máquinas.

Entretanto, esses métodos foram fundamentais para o entendimento do problema e inspi-raram conceitos que são usados no modelo de Programação Linear Inteira Mista elaboradonesta seção. Um dos conceitos é o tempo de esgotamento de estoque dos itens i que foitraduzido como data de ruptura Ti, uma das principais restrições do modelo matemático.

43


O outro conceito é o tempo de ciclo variável para manter o sistema em equilíbrio sem rup-turas de estoque. Este ciclo variável foi traduzido para o modelo matemático através dasubdivisão do período p imediato em subperíodos b de tamanho �utuante, com a mesmafunção de evitar ruptura de estoque dos itens.

Portanto, o modelo matemático elaborado concilia a coordenação da capacidade instaladados métodos exatos de dimensionamento de lotes com a capacidade de monitoramento deestoque das restrições de seqüenciamento inspiradas nos métodos heurísticos. Assim, omodelo adotado será um modelo de integração do nível tático com o nível operacional, ouseja, consiste em dois níveis de decisão inter-relacionados (Fig. 4.1).

di di di ... dn

Dip

Iip Iip IipIipIi0

Xip

Comportamento típico da demanda durante o mês

0

8000

16000

24000

32000

40000

Dias úteis por período

Qu

anti

dad

e

Limite da capacidadeprodutiva diária

Dip DipDiprip

Figura 4.1: Apresentação do problema

No nível tático, o modelo matemático faz a coordenação de capacidade ao longo de todo


o horizonte de planejamento H, subdividido em 4 períodos p. O objetivo é reduzir oscustos de manutenção dos estoques que incidem sobre as quantidades estocadas Iip aos�nais dos períodos p e satisfazer a demanda Dip ao término do mesmo período. Apesarde o nível tático considerar a demanda na forma de montantes que devem ser satisfeitosaos �nais dos períodos, na prática a demanda é contínua, �utuando em torno de umataxa rip média que também deve ser satisfeita ao longo da semana. As quantidades aserem produzidas Xip por período devem ser su�cientes para atender à demanda ao �naldo período e garantir um estoque mínimo (de segurança) ao �nal do mesmo período. Osestoques iniciais Ii0 do horizonte de planejamento H também são considerados no cálculodas quantidades a serem produzidas no período 1.

O re�namento do planejamento da produção vai se dar apenas para o período imediatodevido ao fato de perder precisão ao se distanciar no tempo. Para Fransoo et al. [13], oobjetivo no nível operacional é controlar o comportamento do sistema detalhado, de modoque a taxa esperada de satisfação da demanda seja atendida e, conseqüentemente, os obje-tivos alcançados. Nesse nível, se as datas de ruptura de estoque Ti previstas forem baixas,pode ser necessário a interrupção e o fracionamento dos lotes de produção ideais para aredução dos custos de manutenção dos estoques no nível tático. Essa medida antecipaa data de início de produção dos itens subseqüentes e evita as prováveis rupturas de es-toque. É importante ressaltar que o planejamento tático da produção e o seqüenciamentorespeitam simultaneamente todas as restrições do sistema.

A seção 4.1 apresenta os modelos matemáticos elaborados para a solução do problemaestudado. Para facilitar o entendimento de como o fracionamento em subperíodos éfundamental para se evitar ruptura de estoque, os resultados serão demonstrados nocapítulo 5.

4.1 Modelagem matemática

Nesta seção será tratada uma situação real de planejamento e seqüenciamento de produçãoonde será aplicado, primeiramente, um modelo matemático que não permite subdivisão do


primeiro período p de planejamento e depois, um modelo que permite a sua subdivisão emsubperíodos b (interrupção de lotes de produção). Posteriormente será feita uma análisecomparativa dos resultados dos dois modelos.

A interrupção dos lotes de produção para a sua subdivisão é uma ação que aumenta onúmero de variáveis do modelo matemático, tornando o problema mais complexo para serresolvido computacionalmente. Entretanto, pode ser a única saída para que as datas deinício de produção ti dos itens subseqüentes na linha de produção sejam antecipadas e,assim, as rupturas de estoque evitadas. Quando ocorre a interrupção do lote de produçãode um item, sua quantidade faltante participa novamente do seqüenciamento em outrosubperíodo b, agora com nova data projetada de ruptura de estoque. Mesmo com ainterrupção dos lotes de produção, todos os itens deverão ser produzidos antes do �nal domesmo período p.

4.1.1 Parâmetros e variáveis utilizados

Todos os parâmetros, coe�cientes e variáveis utilizados nos dois modelos apresentadosnesta seção estão agrupados a seguir:

Índices:

• i: tipos de itens;

• p: período de planejamento;

• b: subperíodo do primeiro período de planejamento.

Dados do problema:

• J = {1, . . . , n}: conjunto de itens;

• H = {1, . . . , h}: conjunto de períodos de planejamento;


• B = {1, . . . , m}: conjunto de subperíodos do primeiro período de planejamento;

• Dip: demanda do item i no �m do período p (unidade);

• Ii0: quantidade em estoque do item i no início do horizonte de planejamento(unidade);

• Qp: tempo de máquina disponível para o período p, já descontados os tempos depreparação de máquina médios para os períodos subseqüentes ao primeiro;

• fi: nível do estoque de segurança do item i (unidade);

• rip: taxa de demanda do item i (unidade / tempo);

• Pi: tempo unitário de processamento do item i;

• sij: tempo de preparação de máquina para passar do item i para produzir o item j;

• Ti: data de ruptura de estoque do item i no subperíodo 1, onde Ti = Ii0/rip;

• wi: custo de manutenção de estoque do item i (R$).

Variáveis:

Comuns aos dois modelos:

• Xip: quantidade do item i produzida durante o período p;

• Iip: quantidade em estoque do item i ao �m do período p;

Referentes ao modelo sem interrupção de lote:

• ti: data de início de produção do item i no primeiro período;

• t∗: data de �m do período;


• yij ={

1, se o item j é produzido depois de i

0, caso contrário

Referentes ao modelo com interrupção de lote:

• Xbi : quantidade do item i produzida durante o subperíodo b;

• tbi : data de início de produção do item i no subperíodo b;

• t∗b : data de �m do subperíodo b;

• ybij =

{1, se o item j é produzido depois de i no subperíodo b

0, caso contrário.

4.1.2 Modelo de integração sem interrupção de lote

Este modelo não permite que os lotes calculados para o primeiro período do horizonte deplanejamento sejam interrompidos e terminados mais tarde. O problema geral é assimpostulado: dado um grande número de itens i para serem processados em uma máquina ealguns requerimentos de demanda individuais Dip por período p ao longo de um horizontede planejamento H, determine, no nível tático, a quantidade Xip de cada item que deveser produzida por período, considerando restrições de tempo de máquina disponível Qp

e, no nível operacional, determine a seqüência de produção para o primeiro período deplanejamento, considerando restrições de datas de ruptura Ti. O objetivo é reduzir osomatório dos custos de manutenção dos estoques aos �nais dos períodos, ressaltando querupturas de estoques não são permitidas pelo modelo matemático.


min. Z =n∑

i=1

h∑p=1

wiIip (4.1)

s.a :Iip−1 + Xip − Iip = Dip ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.2)

Iip ≥ fi ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.3)n∑

i=1

PiXip ≤ Qp ∀ p = 2, . . . , h (4.4)

t∗ ≤ Q1 (4.5)

M(Xi) ≥ yij ∀ i, j ∈ J, i 6= j (4.6)

tj ≥ ti + PiXi1 + sijyij −M(1− yij) ∀ i, j ∈ J, i 6= j (4.7)

ti ≥ tj + PjXj1 + sijyij −M(yij) ∀ i, j ∈ J, i 6= j (4.8)

ti ≤ Ti ∀ i ∈ J (4.9)

t∗ ≥ ti + PiXi1 ∀ i ∈ J (4.10)

Xip ∈ N ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.11)

Iip ≥ 0 ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.12)

yij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ J ; i 6= j (4.13)

A Função Objetivo 4.1, para o horizonte de planejamento, minimiza a soma total doscustos de manutenção dos estoques aos �nais dos períodos p. Para que os estoques aos�nais dos períodos sejam minimizados e a demanda satisfeita, a restrição 4.2 garante quea soma do estoque inicial mais a quantidade produzida em cada período de produçãoseja igual ao estoque �nal mais a demanda. A restrição 4.3 garante que as quantidadesestocadas aos �nais de cada período não sejam menores que os estoques de segurançaadotados pela empresa e, assim, o seqüenciamento é protegido das �utuações normais dataxa de demanda.

O tempo de produção disponível nos períodos p = 2,...,4 é descontado dos tempos depreparação médios por período, sendo garantido pela restrição 4.4. Entretanto, no primeiro


período, a restrição 4.5 não desconta os tempos de preparação médios porque esses tem-pos serão calculados no seqüenciamento. Em seguida, a restrição 4.6 garante que sejamseqüenciados somente os itens que são produzidos no período 1. A constante M é impor-tante principalmente nos casos em que as quantidades a produzir não são inteiras.

A constante M foi de�nida como 7 por ser um valor grande o su�ciente para anularuma das restrições de seqüenciamento (4.7 ou 4.8). M é um valor superior ao tamanhomáximo de um período (6 dias). Se i for produzido depois de j, a primeira restriçãoé anulada. Caso contrário, a segunda restrição é anulada. Essas restrições forçam asvariáveis binárias e garantem que o item subseqüente só comece a ser produzido após otempo de processamento do item anterior mais o tempo de preparação entre eles. Alémdisso, permitem que um item que não seja produzido no período não seja seqüenciado.

A seqüência de produção deve respeitar as datas de ruptura de estoque expressas pelarestrição 4.9. Observe que não há a necessidade da conclusão do lote antes da data deruptura; basta que se inicie sua produção antes dessa data porque as taxas de produção,na maioria das vezes, são maiores que a taxa de demanda. Nos períodos em que as taxasde demanda forem maiores que as taxas de produção, os estoques formados nos períodosanteriores somados à taxa de produção, conseguem garantir o atendimento da demanda.

A restrição 4.10 de�ne a data �utuante do �m do primeiro período p de produção, dataessa que deve respeitar a capacidade de produção disponível. Essa data é a data de iníciode produção do último item seqüenciado, mais o tempo de processamento desse item,mais o maior tempo de preparação de máquina desse item para qualquer outro item. Omodelo não trata os tempos de preparação na transição de um período para outro.

As restrições 4.11, 4.12 e 4.13 representam os domínios das variáveis de decisão.

No Capítulo 5, esse modelo será aplicado a um exemplo prático de seqüenciamento nochão-de-fábrica e os resultados serão avaliados.


4.1.3 Modelo de integração com interrupção de lote

Se as datas de rupturas de estoques dos itens fossem grandes o su�ciente, as quantidadesXip de cada item por período poderiam ser produzidas de uma só vez, ou seja, não haveriaa necessidade de se interromper a produção do lote de um item i para a começar a produçãodo item j subseqüente. Entretanto, a data de ruptura de um item j pode não permitirque todos os itens i anteriores tenham seus lotes Xip produzidos de uma só vez mais ostempos de preparação de máquina. Assim, os tamanhos dos lotes dos itens i devem serreduzidos até que a data limite de ruptura de estoque dos itens j seja respeitada, gerandoa necessidade de interrupção do lote de produção. Essa redução leva a uma divisão doperíodo p em subperíodos b, onde cada item pode ser produzido, no máximo, uma vezem cada subperíodo (Fig. 4.2). Esse método será aplicado usando a técnica de horizonterolante, onde o re�namento do planejamento ocorre apenas para o período imediato. Aose �nalizar um período, adota-se o período seguinte como o imediato.

O tamanho de cada subperíodo é variável, desde que seu somatório de tempo não ul-trapasse os 6 dias disponíveis por semana. Quanto mais se fraciona o período imediato,mais preparações de máquina ocorrem, mais variáveis terá o modelo e mais tempo com-putacional será necessário. Entretanto, isso aumenta muito a �exibilidade da produçãopara perseguir a realização da demanda, principalmente se as datas de ruptura foremmuito pequenas e próximas, forçando a produção de pequenos lotes para percorrer todosos itens em menos tempo. A prioridade do seqüenciamento é evitar ruptura de estoque,respeitando as datas-limite de início de produção e, quando possível, diminuir os temposde preparação de máquina.

Outro fator importante é que, se a solução for viável através de um período dividido emdois subperíodos, fracioná-lo em três subperíodos não melhora a solução e só aumenta otempo computacional. Da mesma forma, se a solução viável for possível sem fracionaro período, dividí-lo em dois subperíodos também não altera a solução. No caso destetrabalho, se for possível se produzir tudo em determinado período sem fracioná-lo, omodelo deve procurar fazê-lo. Por outro lado, se a solução viável exigir o fracionamentodo período em três subperíodos, fazê-lo em dois levaria à ruptura de estoque de, no


p = 5 p = 6 p = 7

semana 1

semana 2

semana 3

semana 4

b b

b b

b = 1

b b

p = 1 p = 2 p = 3 p = 4

H

1º subperíodo 2º subperíodo

t*b0 t*b

Xib Xi

b

Xip

b = 2

b = 1 b = 2

Figura 4.2: Planejamento detalhado da produção com horizonte rolante

mínimo, um item.

O problema geral é assim postulado: dado um grande número de itens i para seremprocessados em uma máquina e alguns requerimentos de demanda individuais Dip porperíodo p ao longo de um horizonte de planejamento H, determine, no nível tático, aquantidade Xip de cada item que deve ser produzida por período, considerando restriçõesde tempo de máquina disponível Qp e, no nível operacional, determine a seqüência eos tamanhos dos lotes de produção Xb

i para cada subperíodo b do primeiro período deplanejamento, considerando restrições de datas de ruptura Ti. O objetivo tático do modeloa seguir é reduzir o somatório dos custos de manutenção dos estoques aos �nais dos


períodos.

min. Z =n∑

i=1

h∑p=1

wiIip (4.14)

s.a :Iip−1 + Xip − Iip = Dip ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.15)

Iip ≥ fi ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.16)n∑

i=1

PiXip ≤ Qp ∀ p = 2, . . . , h (4.17)

t∗b ≤ Q1 ∀ b = m (4.18)

Xi1 =m∑

b=1

Xbi ∀ i ∈ J (4.19)

M(Xbi ) ≥ yb

ij ∀ i, j ∈ J, i 6= j; b ∈ B (4.20)

tbj ≥ tbi + PiXbi + sijy

bij −M(1− yb

ij) ∀ i, j ∈ J, i 6= j; b ∈ B (4.21)

tbi ≥ tbj + PjXbj + sijy

bij −M(yb

ij) ∀ i, j ∈ J, i 6= j; b ∈ B (4.22)

t1i ≤ Ti ∀ i ∈ J (4.23)

tbi ≤ Ti + t∗b−1 +(∑b−1

b=1 Xbi )− (t∗b−1ri1)

ri1

∀ i ∈ J ; b = 2, . . . , |B| (4.24)

t∗b ≥ tbi + PiXbi ∀ i ∈ J ; b ∈ B (4.25)

tb+1i ≥ t∗b ∀ i ∈ J ; b = 1, . . . , |B| − 1 (4.26)

Xbi ∈ N ∀ i ∈ J ; b ∈ B (4.27)

Xip, Iip ≥ 0 ∀ i ∈ J ; p ∈ H (4.28)

ybij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ J ; i 6= j; b ∈ B (4.29)

A Função Objetivo 4.14, para o horizonte de planejamento, minimiza a soma total doscustos de manutenção dos estoques aos �nais dos períodos p. Para que os estoques aos�nais dos períodos sejam minimizados e a demanda satisfeita, a restrição 4.15 garante


que a soma do estoque inicial mais a quantidade produzida em cada período de produçãoseja igual ao estoque �nal mais a demanda. A restrição 4.16 garante que as quantidadesestocadas aos �nais de cada semana não sejam menores que os estoques de segurançaadotados pela empresa e assim, o seqüenciamento da produção é protegido das �utuaçõesnormais da taxa de demanda.

Os tempos de máquina disponíveis nos períodos p = 2,...,4 são descontados dos tempos depreparação médios por período, sendo garantidos pela restrição 4.17. No primeiro período,a restrição 4.18 não desconta os tempos de preparação médios porque esses tempos serãocalculados no seqüenciamento da produção.

A restrição 4.19 garante que o somatório das quantidades a serem produzidas de i durantecada subperíodo b sejam iguais à quantidade total a ser produzida de i no período 1.Em seguida, a restrição 4.20 garante que sejam seqüenciados somente os itens que sãoproduzidos no subperíodo b. A constante M é importante, principalmente nos casos emque for permitido quantidades a produzir não inteiras.

As restrições 4.21 e 4.22 são responsáveis pelo seqüenciamento da produção. Utilizando aconstante M já de�nida anteriormente, uma das duas inequações é anulada para garantiro seqüenciamento. Essas restrições forçam as variáveis binárias e garantem que o itemsubseqüente só comece a ser produzido após o tempo de processamento do item anteriormais o tempo de preparação entre eles. Além disso, permitem que um item que não sejaproduzido no período não seja seqüenciado.

A seqüência de produção deve respeitar as datas de rupturas expressas pela restrição 4.23.Observe que não há a necessidade da conclusão do lote antes da data de ruptura, conformejá explicado no modelo anterior. Para os subperíodos b, ∀ b 6= 1, a restrição 4.24 projetaas datas de ruptura do estoque dos itens i para os subperíodos seguintes, como formade se evitar ruptura de estoque dos itens também nesses subperíodos. Basicamente, essarestrição calcula o acréscimo de tempo à data de ruptura de estoque Ti, considerandoa quantidade produzida descontada da quantidade demandada no período e a taxa dedemanda do item i.


A restrição 4.25 de�ne a data �utuante do �m do subperíodo b de produção. Essa data éa data de início de produção do último item seqüenciado, mais o tempo de processamentodesse item, mais o maior tempo de preparação de máquina desse item para qualqueroutro item. O modelo não trata os tempos de preparação na transição de um subperíodopara outro. Para os subperíodos b + 1, a restrição 4.26 garante que a data de início deprodução do primeiro item i seja maior que a data de término da produção do último itemi do subperíodo anterior, de modo que um subperíodo comece somente após o término doanterior.

As restrições 4.27, 4.28 e 4.29 representam os domínios das variáveis de decisão, ressaltandoque somente as quantidades Xb

i a serem produzidas nos subperíodos são inteiras, pois sãoas quantidades que realmente serão efetivadas na produção.

Conclusão

Os modelos de Programação Linear Inteira Mista apresentados neste capítulo buscaramretratar bem a realidade do chão-de-fábrica deste estudo de caso e integrar com coerência onível tático de planejamento com o operacional. No capítulo 5 esses modelos serão aplica-dos a uma situação real e será demonstrado quando a interrupção de lote é necessária parase evitar ruptura de estoque. Os resultados dos modelos serão apresentados e analisados.

Capítulo 5

Resultados numéricos

Introdução

O exemplo prático a seguir ajuda a entender os modelos, ao mesmo tempo que validaa sua aplicação. Primeiramente, foi aplicado o modelo que não admite subdivisão doslotes de produção e depois o modelo que as admite e os resultados são apresentados paraanálise. Para demonstrar a robustez do modelo, foram feitas várias simulações variandoo número de itens e subperíodos. Para complementar, foi descrita a experiência do autorcomo gestor de planejamento de produção da empresa, associada à sua experiência namodelagem do problema.

Em todo o desenvolvimento do trabalho, sempre foi grande a preocupação com a coerênciae a aderência do modelo à realidade estudada e a qualidade das soluções. Este capítulose preocupa muito com a associação dos resultados à situação real do chão-de-fábrica daempresa através de simulações e análises de vários pontos de vista.

56


5.1 Exemplo de aplicação do modelo em um plano deprodução

Este exemplo demonstra uma situação real do planejamento da produção da empresa onde5 itens devem ter seus lotes de produção dimensionados e simultaneamente seqüenciados.Os resultados conseguidos com a aplicação dos modelos matemáticos propostos serãocomparados com os resultados do seqüenciamento real adotado pela empresa naquelaocasião. As variáveis já foram de�nidas no capítulo 4 e os parâmetros estão de�nidos aseguir:

5.1.1 Parâmetros utilizados

• J = {1, . . . , 5}: conjunto de itens;

• H = {1, . . . , 4}: conjunto de períodos de planejamento;

• B = {1, 2}: conjunto de subperíodos do primeiro período de planejamento;

• Dip: demanda do item i no �m do período p (tachos) (Tab. 5.1);

i \ p 1 2 3 4 Total1 6,5 7,8 8,1 23,3 45,72 4,6 5,4 6,1 16,8 32,93 1,6 1,9 2,1 6,1 11,74 2,1 2,6 2,9 7,8 15,45 0,4 0,5 0,5 1,3 2,7

Total 15,2 18,2 19,7 55,3 108,4

Tabela 5.1: Demandas projetadas (tachos) por período

Observe na Tab. 5.1 que a demanda está mais concentrada no último período do


mês com 55,3 tachos. O item 1 possui a maior demanda (45,7 tachos) ao passo queo item 5 que possui a menor demanda, com 2,7 tachos apenas.

• Ii0: quantidade em estoque do item i no início do horizonte de planejamento (tachos)(Tab. 5.2);

i 1 2 3 4 5

Ii0 1 1,7 1,1 1,6 2,3

Tabela 5.2: Estoques iniciais (tachos)

Na Tab. 5.2, os estoques iniciais do primeiro período estão muito baixos. A maioriaestá abaixo do estoque de segurança da Tab. 5.4. Dessa forma, a diferença deverá serproduzida no período para recompor os níveis de segurança desejados pela empresa.

• Qp: tempo de máquina disponível (dias) para o período p, já descontados os temposde preparação de máquina médios para os períodos 2 a 4 (Tab. 5.3);

p 1 2 3 4

Qp 6,0 5,5 5,5 5,5

Tabela 5.3: Tempos de máquina disponíveis (dias) para o período p

Os tempos de máquina disponíveis na Tab. 5.3 implicam 5,5 dias para os períodos2 a 4 e 6 dias para o período 1. Isso porque foram descontados os tempos depreparação médios semanais para os períodos onde não vai haver seqüenciamentopor enquanto. Para o período 1 foi considerado o tempo integral, porque os temposde preparação de máquina serão calculados no seqüenciamento e descontados, poisconsumirão capacidade de máquina.

• fi: nível do estoque de segurança do item i (tachos) (Tab. 5.4);


i 1 2 3 4 5

fi 9,8 3,7 2,3 2,5 0,5

Tabela 5.4: Estoques de segurança (tachos)

Na prática a empresa de�ne os estoques de segurança da Tab. 5.4 como dois desviospadrões da distribuição normal de probabilidade. Estes estoques de segurança aju-dam a proteger a produção das oscilações normais da demanda, mantendo o processoprodutivo mais estável.

• rip: taxa de demanda do item i (tachos / dia) (Tab. 5.5);

i \ p 1 2 3 4

1 1,083 1,300 1,350 3,8832 0,766 0,900 1,016 2,8003 0,266 0,316 0,350 1,0164 0,350 0,433 0,483 1,3005 0,066 0,083 0,083 0,216

Tabela 5.5: Taxa de demanda (tachos/dia)

As taxas de demanda da Tab. 5.5 são usadas para se determinar as datas de rupturade estoque dos itens. Da mesma forma que as demandas projetadas, as taxas dedemanda estão mais concentradas aos �nais de mês.

• Pi: tempo unitário de processamento de i (dias / tacho) (Tab. 5.6);

i 1 2 3 4 5

Pi 0,130 0,136 0,136 0,136 0,170

Tabela 5.6: Tempos de processamento Pi (dias/tacho)


Os tempos de processamento da Tab. 5.6 são comuns para a maioria dos itens,exceto para o item 5 que demora mais para ser processado devido à característicado produto que faz a máquina produzir mais devagar.

• sij: tempo de preparação de máquina para passar do item i para produzir o item j

(dias) (Tab. 5.7);

i \ j 1 2 3 4 51 ∞ 0,02 0,02 0,02 0,022 0,17 ∞ 0,14 0,05 0,043 0,06 0,04 ∞ 0,04 0,044 0,17 0,05 0,14 ∞ 0,045 ∞ 0,28 0,35 0,28 ∞

Tabela 5.7: tempos de preparação de máquina (dias)

Os tempos de preparação de máquina da Tab. 5.7 dependem da seqüência de pro-dução. Quando possível, o ideal é que se produza na seqüência que leve ao menortempo total de preparação de máquina. Observe que não é desejável a preparação doitem 1 após a produção do item 5 porque não se consegue lavar bem o equipamentoque acabara de produzir um item preto para produzir um item branco, sem deixaralguma sujeira. Os valores das diagonais são in�nitos para forçar a escolha de outracoordenada, pois i deve ser diferente de j no seqüenciamento da produção.

• Ti: data de ruptura de estoque do item i no subperíodo 1 (Tab. 5.8);

i 1 2 3 4 5

Ti 1 2 3 3 24

Tabela 5.8: Datas de ruptura dos estoques


A data de ruptura de estoque (Tab. 5.8) é o quociente entre o estoque inicial do iteme a sua taxa de demanda no período, ou seja, Ti = Ii0/rip. O resultado projeta onúmero de dias que o estoque do item vai durar.

Coe�ciente das variáveis de decisão

• wi: custo de manutenção de estoque do item i (R$) (Tab. 5.9);

i 1 2 3 4 5wi 388 404 398 411 426

Tabela 5.9: Custo de manutenção de estoque do item i (R$)

Os custos de manutenção dos estoques da Tab. 5.9 foram estimados com base novalor do metro quadrado de armazenagem e no custo de oportunidade de capitalparado sem aplicação.

5.1.2 Resultados obtidos

5.1.2.1 Modelo sem interrupção de lote

Este modelo que não admite interrupção de lote não apresentou solução viável porquenenhuma seqüência respeita todas as datas de rupturas e as quantidades Xip (Tab. 5.10)a serem produzidas não podem mais serem reduzidas. Observe na (Tab. 5.11) que aseqüência demonstrada leva os itens 2, 3 e 4 à ruptura pois suas datas de início deprodução ti são maiores que suas datas de ruptura Ti, pois os tempos de processamentoρb

i de cada item são muito grandes. Qualquer outra seqüência não é viável, pois os temposde processamento mais os tempos de preparação de máquina σb

i extrapolam as datas deruptura. Veja a representação grá�ca na Fig. 5.1.


i \ p 1 2 3 4 Total1 16,00 7,10 8,10 23,30 54,52 7,00 5,00 12,53 10,37 34,93 3,00 1,70 8,20 0 12,94 3,00 2,60 2,90 8,00 16,55 0 0 0,90 0 0,9

Total 29,00 16,40 32,63 41,67 119,7

Tabela 5.10: Quantidades Xip a produzir por semana

Observe na Tab. 5.10 que somente as quantidades do período 1 são inteiras, pois é ondevai ocorrer o seqüenciamento de fato. Os períodos futuros estão planejados somente paraequilíbrio de estoque e coordenação de capacidade. Não há necessidade de se despenderesforço computacional com variáveis inteiras onde não vai haver seqüenciamento no mo-mento.

i 1 2 3 4 5

Xip 16 7 3 3 0ρb

i 2,080 0,952 0,408 0,408 0sij 0,020 0,140 0,040 0,040 -ti 0,000 2,100 3,192 3,640 4,088Ti 1 2 3 3 24

Tabela 5.11: Sistema com ruptura de estoque dos itens 2, 3 e 4

Portanto, este modelo que não permite interrupção de lote de produção no seqüencia-mento nem sempre é viável para resolver o problema deste estudo de caso. Na prática,o seqüenciamento foi realizado sem interrupção de lote (Fig. 5.2), conforme registros doPCP, mas isso levou à ruptura de 0,27 lotes do item 4. As quantidades efetivamente pro-duzidas (Tab. 5.12) também foram diferentes das quantidades propostas. Observe que,mesmo produzindo mais, ocorreu ruptura de estoque, pois não foram respeitadas as datas



T1

T5

σ11

σ41

σ31

σ21

Ruptura (tib > Ti)

T2

1 dia

2 dias

24 dias

3 diasT3 T4

Dat

as d

e ru

ptur

a de

est

oque

Figura 5.1: Rupturas de estoque previstas para os itens 2, 3 e 4

em que os estoques estavam previstos romper.

i \ p 1 2 3 4 Total1 7 34 0 8 492 12 0 26 8 463 3 2 2 7 144 9 2 0 8 195 0 0 1 1 2

Total 31 38 29 32 130

Tabela 5.12: Quantidades Xip efetivamente produzidas por semana


0 1 2 3 4 5 6

1

Máq

uina

DiasT1 T2 T3 e T4

42 1 3

Figura 5.2: Seqüenciamento real adotado pela empresa

5.1.2.2 Modelo com interrupção de lote

Usando o solver GLPK - versão 4.8, em 1,6 segundos obteve-se as mesmas quantidades aproduzir por semana do modelo anterior, entretanto foram necessários 2 subperíodos paratornar a solução viável. O seqüenciamento (Fig. 5.3) mostra que há ociosidade para oprimeiro período, pois o modelo buscou concentrar a produção mais no �nal do mês parareduzir os custos de manutenção dos estoques. Como há ociosidade, o lote do subperíodo2 tem �exibilidade para iniciar imediatamente após o término do subperíodo 1 ou maistarde, conforme o resultado do modelo.

Observe na Fig. 5.4 e na Tab. 5.13 que as datas de início de produção no subperíodo 1são menores que as datas de rupturas de cada item na seqüência 1-3-2-4-5, ou seja, esseseqüenciamento é viável de ser implementado. Além disso, essa seqüência garante que nãosejam feitas preparações de máquinas desnecessárias, melhorando muito a estabilidade do


0 1 2 3 4 5 6

Máq

uina

DiasT1 T2 T3 e T4

21 3

Subp. 2

14

Subp. 1

Figura 5.3: Seqüenciamento de produção ótimo proposto

i 1 3 2 4 5

X1i 11 3 7 3 0

ρ1i 1,430 0,408 0,952 0,408 0

sij 0,020 0,040 0,050 0,040 -t1i 0,000 1,450 1,898 3,000 5,234Ti 1 3 2 3 24X2

i 5 0 0 0 0

Tabela 5.13: Sistema sem ruptura de estoque

�uxo de produção. Na Tab. 5.13, as quantidades Xip da Tab. 5.10 estão divididas em doissubperíodos (X1

i e X2i ).



T1

T5

T2

1 dia

2 dias

6 dias

3 diasT3 T4

(tib < Ti)

Dat

as d

e ru

ptur

a de

est

oque

σ11

σ31

σ21

σ41

σ12

Figura 5.4: Sistema sem ruptura de estoque

O custo de manutenção do estoque no período foi de R$36.884,68. Comparado com o custoda solução do seqüenciamento adotado pela empresa (Fig. 5.2) que foi de R$44.433,42,o modelo consegue uma redução muito signi�cativa dos custos. Além disso, agora nãohaverá rupturas de estoque como aconteceu no seqüenciamento real adotado pela empresa.Neste trabalho não foram considerados os custos de ruptura de estoque.

As quantidades efetivamente produzidas por período foram bem diferentes das quanti-dades propostas pelo modelo matemático, bem como o total de lotes de produção mensalque também foi maior que a previsão de demanda. Como a demanda real não ultrapassouo previsto, não haveria a necessidade de se produzir em excesso. Mesmo produzindo mais,o PCP apontou ruptura do item 4 na data 4, conforme previsto que seu estoque duraria3 dias. Por outro lado, o item 1 cujo estoque duraria 1 dia não entrou em ruptura mesmosendo produzido só no �nal desse dia, isso porque a �utuação normal da demanda ouuma negociação de espera entre o planejador de produção e a expedição pode retardar


um pouco a ruptura. Entretanto essa negociação nem sempre é possível devido à urgênciados clientes.

5.2 Limites computacionais do modelo

Para demonstrar a robustez do modelo com interrupção de lotes de produção foram feitasvárias simulações variando-se o número de itens e de subperíodos para a medição do tempocomputacional. O problema foi resolvido em um Pentium 4 com processador Intel de 3,2GHz com 256 MB de memória RAM e sistema operacional Windows XP 2002, utilizandoo solver GLPK versão 4.8.

Para 3 subperíodos, o tempo computacional se elevou bastante (Tab. 5.14) para os 5 itense o mesmo aconteceu quando se aumentou o número de itens, principalmente por causado efeito combinatório das restrições de seqüenciamento. Entretanto, para o caso real, otempo computacional é satisfatório e a solução apresentada é gerencialmente viável, ouseja, é passível de ser adotada por ser coerente, segundo a experiência do planejador deprodução.

Na Tab. 5.14, o número de subperíodos variou de 2 a 3 e o número de itens variou de 2 a8. Para resolver o exemplo deste estudo de caso com 5 itens, foram necessários apenas 2subperíodos e o tempo computacional foi de 1,6 segundos. Entretanto, quando o númerode itens atinge 8 com 3 subperíodos, o tempo computacional se eleva muito, não sendomais viável a espera da solução, pois as decisões no chão-de-fábrica não podem esperarmuito. Após uma hora, a diferença entre o limite superior da solução (LS) e o limiteinferior (LI) ainda era de 2,3%. Essa diferença signi�ca que a solução está, no máximo, a2,3% da solução ótima. Ao se observar o comportamento dos limites da solução (Fig. 5.5),o LS chega ao valor ótimo muito antes do LI, ou seja, a diferença entre o LS da soluçãoe a solução ótima após transcorridos 3600 segundos, é bem inferior à diferença entre oslimites apresentada na tabela.

O modelo não considera a preparação de máquina na transição de um subperíodo para


No subp. No prod. Tempo CPU (s) LS LI Gap (%)2 2 0,1 22.622,00 22.622,00 02 3 0,6 27.246,09 27.246,09 02 4 1,2 34.499,08 34.499,08 02 5 1,6 36.884,68 36.884,68 02 6 7,9 38.177,95 38.177,95 02 7 6,5 40.341,15 40.341,15 02 8 127,1 44.998,14 44.998,14 03 2 3,4 22.622,00 22.622,00 03 3 186,8 27.246,09 27.246,09 03 4 411,4 34.499,08 34.499,08 03 5 766,2 36.884,68 36.884,68 03 6 1497,4 38.177,95 38.177,95 03 7 3587,4 40.341,15 40.341,15 03 8 3600,0 44.998,14 43.983,74 2,3

Tabela 5.14: Resultados computacionais

outro ou de um período para outro, mas no caso estudado isso não interfere devido àcapacidade ociosa e à �exibilidade de se fazer a preparação de máquina fora do horáriode produção em regime de hora-extraordinária, caso seja necessário. Este aspecto �cacomo sugestão para trabalhos futuros, bem como a elaboração de um método para re-duzir o tempo computacional para o problema ser computacionalmente viável para umaquantidade maior de itens.

5.3 Análise gerencial dos resultados

Esta seção busca relatar um pouco a experiência do autor desta dissertação no plane-jamento da produção da empresa estudada e associá-la com o trabalho aqui realizado.Muito se lê nos artigos que os problemas de planejamento e seqüenciamento da produção


Tempo (s)

Valor F.O.

Ótimo F.O.

Quando o tempo extrapola 3600 s

3600 s

gap

Limite Inferior

Limite Superior

Figura 5.5: Comportamento observado dos limites da solução

são muito complexos e que os modelos devem ser construídos de acordo com a realidadeparticular de cada empresa para serem aderentes. Realmente, o chão-de-fábrica sofre aação de muitos fenômenos que interferem muito no planejamento e eles variam de empresapara empresa.

Um dos problemas deste estudo de caso são as �utuações estatísticas comuns dos temposde operação e preparação de máquina. O outro problema é a ocorrência de eventosaleatórios especiais que interrompem a produção, tais como falta de matéria-prima equebra de máquina, o que leva à necessidade de um re-seqüenciamento da produção.Já os eventos comuns são mais previsíveis e já são considerados no planejamento dodia-a-dia, tal como absenteísmo. Os eventos comuns são cobertos pela �exibilidade doplanejamento e pelos estoques de segurança adotados para esse �m. Os eventos especiaissão mais impactantes e forçam um replanejamento da produção.


Como as variáveis são muitas, por mais que se tenha um sistema preventivo para proteger o�uxo de produção, haverá sempre uma combinação de variáveis que afetará a produção deuma forma inesperada. Nessa hora, o que importa é a capacidade de reação, a �exibilidadee agilidade do sistema para lidar com o inesperado, já que essas causas não podem sereliminadas. Daí a importância de um sistema de apoio à tomada de decisão que dêrespostas em um tempo computacional viável. Para o caso estudado, o tempo de 1,6segundos para 5 itens é muito bom porque é rápido o bastante para subsidiar as decisõesdo planejador de produção.

Outro fator importante que afeta o planejamento da produção na empresa é a quantidadede itens que são produzidos na mesma máquina. Como são interdependentes e mutua-mente excludentes, qualquer decisão tomada para um item interfere em todos os outros.Com isso, o número de preparações de máquinas cresce muito, aumentando as regulagense ajustes no reinício de produção, o que quebra o ritmo da linha de produção. O �uxofabril, principalmente de produção em massa, tem uma inércia muito grande: se o ritmoé quebrado com várias preparações, a recuperação é muito lenta, reduzindo-se muito aprodutividade da máquina. Apesar de haver tempo ocioso, o modelo matemático, alémde evitar a ruptura de estoque, procura reduzir o número de preparações de máquina paramanter essa estabilidade do �uxo de produção.

Além disso, a falta de visibilidade dos efeitos do planejamento imediato a longo prazoe o instinto natural de sobrevivência também são causas que pesam sobre as decisõesdo planejador de produção. A primeira faz com que ele não planeje para longo prazo,porque ele sabe que o planejamento perde precisão ao se distanciar no tempo em umambiente que não é estático. A segunda é a postura imediatista do "apaga-incêndio"queleva a decisões míopes que prejudicarão o resultado global no futuro. Essas decisõesinstantâneas representam o oposto da otimização por buscarem apenas o ótimo local. Énessa hora que um sistema de apoio à tomada de decisão orienta o planejador e melhora asua visão da cadeia, mostrando o impacto de uma decisão sua no futuro. Como o modeloproposto é de integração entre os níveis de planejamento e seqüenciamento, a decisão decurto prazo estará sempre associada com um objetivo maior de longo prazo que é o ótimoglobal.


Apesar de a empresa adotar estoques reguladores como forma de antecipação da demanda,eles são limitados e não oferecem proteção integral ao �uxo de produção. Portanto,teoricamente o sistema de produção da empresa é para estoque, mas às vezes persegue ademanda quando os pedidos �rmes estão superiores aos níveis de estoques mantidos. Issoacontece em casos de picos de vendas ou atraso de produção por causa de algum problematécnico. Como todas as máquinas têm ociosidade, sendo que o recurso mais justo é amão-de-obra que é balanceada de acordo com a demanda, as �utuações de demanda emtorno da média são cobertas pelos estoques de segurança que são preservados pelo modelomatemático. Quando há mudança de patamar de demanda, o contingente de mão-de-obrapode ser ajustado e balanceado de acordo com a necessidade.

Diante disso, a empresa adota estratégia híbrida entre estocar produto e manter capaci-dade ociosa, ou seja, em um ambiente de produção com vários produtos, ou se tem umamáquina dedicada a cada um e quase não há formação de estoque, ou se produz vários pro-dutos em uma máquina e há formação de estoque de ciclo para dar cobertura aos outrositens enquanto um estiver sendo produzido. Sridharan [27] a�rma que essa combinaçãoé muito útil para se reduzir os custos logísticos e é bastante empregada pelas empresas,mesmo que intuitivamente.

Como visto, a empresa balanceia a sua capacidade de produção de acordo com a demanda,adotando a �loso�a de trabalhar enxuta em termos de níveis de estoques e mão-de-obra. Aempresa acredita que a manutenção de altos níveis de estoques, além do custo �nanceiro,é uma forma de encobrir as falhas nos processos de toda a cadeia, desde a área comercialaté a área industrial e logística. A forma de conseguir ter uma manufatura enxuta e aindamanter o nível de serviço requerido ao cliente é ter um sistema de manufatura completa-mente entrosado com a área comercial e logística. As previsões de demanda devem sercon�áveis para garantir que se produza o item certo, na hora certa e na quantidade certaao menor custo possível, conforme propõe o modelo apresentado neste trabalho. É maisou menos assim que a empresa estudada procura trabalhar, apesar de ainda ter muito oque melhorar no que tange à qualidade da previsão de vendas e à concentração de vendasaos �nais de mês.

Do ponto de vista do mundo dos negócios, um sistema de manufatura enxuto aumenta


a e�ciência operacional da empresa ao reduzir os desperdícios e contribui para que elatenha mais lucros. Entretanto, do ponto de vista das pessoas que operacionalizam essessistemas, especialmente os planejadores de produção e de estoques, trabalhar sempre nolimiar da ruptura aumenta muito a tensão desses pro�ssionais que precisam �car atentoso tempo inteiro para monitorar o comportamento do sistema e tomar as decisões corretas.Nesse aspecto, o modelo proposto neste trabalho contribui muito com a redução do estadode tensão dos planejadores que passam a se sentir mais seguros a tomar decisões a partirde uma sugestão fornecida por um sistema de apoio com boa credibilidade.

Capítulo 6

Conclusões

O modelo proposto neste trabalho se apresentou bem coerente ao ambiente da empresaestudada ao coordenar a capacidade ao longo do horizonte de planejamento e ao seqüenciara produção sem ruptura de estoque. Para tanto, o modelo precisa que a máquina disponhade uma parcela de ociosidade para que se faça quantas preparações de máquina foremnecessárias no seqüenciamento para se evitar as rupturas de estoque. Além disso, tambémhá uma preocupação com a administração dos estoques para a redução dos seus custos demanutenção.

Historicamente a empresa interrompe, geralmente, apenas uma vez o lote de um itempor semana, o que se con�rmou através do resultado de várias simulações com o modelomatemático. Para haver a necessidade de três subperíodos seria necessário a combinaçãode dois fatores para gerar turbulência no seqüenciamento com várias interrupções delotes: altas taxas de demanda e datas de rupturas de estoque muito baixas em deter-minado período. O modelo busca evitar que esse problema ocorra através da formaçãode estoques nos períodos de baixa demanda para que as datas de ruptura de estoquesestejam su�cientemente altas nos períodos de alta demanda. Essa estratégia é a mesmaque a empresa utiliza de uma forma empírica, mas o planejamento real ainda não con-sidera o custo de manutenção dos estoques aos �nais dos períodos. Prova disso é que ocusto do planejamento realizado pela empresa no exemplo foi 20,5% maior que o custo

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do planejamento proposto, ou seja, a economia projetada anualmente é aproximadamenteR$90.584,88, sem considerar que os riscos de ruptura de estoques também são reduzidos.

O modelo matemático proposto aproveita bem as características fortes dos modelos exatosde planejamento da produção e dos métodos heurísticos de seqüenciamento apresentadosna revisão da literatura. Os primeiros são bons em coordenação e disciplina do planeja-mento a médio prazo, enquanto que os últimos são bons em controle e monitoramentodo chão-de-fábrica no dia-a-dia. Como essas duas funções são importantes, elas foram in-tegradas em um único modelo para se buscar uma solução ótima viável nos dois níveis dedecisão. A limitação do modelo está na quantidade de itens que exige muito esforço com-putacional e aumenta muito o tempo da solução. Em simulações realizadas, a partir de8 itens com 3 subperíodos, o tempo computacional já começa a se tornar menos atraentepor causa da demora na solução. Um fator importante e que pode ajudar na redução dotempo computacional, diminuindo o número de variáveis inteiras para o primeiro período,é se fazer o seqüenciamento somente dos itens que devem ser produzidos naquela semana.

Foi demonstrada a importância da interrupção dos lotes de produção dimensionados pelonível tático nos casos em que as datas de ruptura de estoque são baixas. Esta práticaé comum no planejamento de produção da empresa de forma intuitiva, pois nunca sesabia ao certo qual seria o tamanho ideal dos lotes de produção ou mesmo o momentode interrompê-los. O inconveniente da interrupção dos lotes de produção e a conseqüenteadoção de mais subperíodos é o aumento do número de variáveis do modelo, especialmentedas variáveis inteiras, conforme descrito na análise gerencial dos resultados.

Como visto, o modelo é completamente dependente das previsões de demanda por períodoe da realização da demanda no dia-a-dia. A demanda é expressa em termos de uma taxaque varia de período para período. Se essa taxa variar muito dentro de um período, aqualidade da solução pode se degenerar, a menos que se conheça e considere essas variaçõesno cálculo das datas de ruptura dos estoques. Por outro lado, os estoques de segurançaadotados pela empresa e presentes no modelo buscam manter as datas de rupturas emníveis mínimos razoáveis, protegendo o seqüenciamento das �utuações comuns das taxasde demanda. Além disso, os desvios de previsão são corrigidos no período seguinte, deforma que os níveis de estoques estejam sempre equilibrados. Em suma, o modelo procura


acompanhar ao máximo a curva de demanda em termos globais, sem se descuidar domonitoramento dos níveis de estoques no dia-a-dia e do limite de capacidade da máquinapor período.

Portanto, quando algum evento aleatório, tal como quebra de máquina, perturbar o chão-de-fábrica, o planejador de produção pode refazer sua programação e veri�car os impactosda parada no resultado global e tomar decisões corretivas, se necessário. A falta de visão eo instinto natural de sobrevivência podem levar o planejador de produção a tomar decisõesimediatistas. É nessa hora que um sistema de apoio à tomada de decisão é fundamentalpara orientar o planejador, pois como o sistema de produção é todo integrado, umadecisão localizada pode interferir no seu resultado global. No modelo desta dissertação, aintegração dos níveis de decisão assegura a tranquilidade necessária para o planejador deprodução reduzir os níveis de estoques e também evitar a sua ruptura.

Como sugestão para trabalhos futuros, desenvolver um método para diminuir o tempocomputacional do modelo para tratar problemas com mais itens parece bem desa�ador,visto que o tempo cresce muito quando esse número aumenta. Outra sugestão é con-siderar os tempos de preparação de um subperíodo para outro e de um período paraoutro. A última sugestão é a elaboração de um modelo que permita a ruptura de estoque.Dessa forma, os custos de ruptura devem ser medidos e confrontados com os custos demanutenção de estoques para se ter um planejamento de produção com os tamanhosde lotes baseados no equilíbrio clássico entre os custos de sobra e os custos de falta deproduto.

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Dissertacao Mestrado

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