Controlo de Voo e Estimação de Atitude de um Quadrirotor João Pedro Garrinho Alves Café Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Aeroespacial Júri Presidente: Prof. João Manuel Lage de Miranda Lemos Orientador: Prof. José Raúl Carreira Azinheira Vogal: Prof. Alexandra Bento Moutinho Junho 2013
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Controlo de Voo e Estimação de Atitude de umQuadrirotor
João Pedro Garrinho Alves Café
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Aeroespacial
JúriPresidente: Prof. João Manuel Lage de Miranda Lemos
Orientador: Prof. José Raúl Carreira AzinheiraVogal: Prof. Alexandra Bento Moutinho
Junho 2013
Abstract
This work propose linear and nonlinear solutions for the flight control and attitude estimation of a
quadrotor. A model of the aircraft QUAVIST, developed by UAVision®, is introduced as a basis for
the analysis. Then, a cascade control design is defined. A low level controller stabilize the quadrotor’s
attitude and altitude; an high level controller acts on the low level one, controlling the horizontal position
of the aircraft. Two approaches are presented for the controllers: an optimal linear LQR solution and a
Lyapunov based nonlinear solution. The attitude estimation problem is then considered. Two extended
Kalman filters are designed to estimate the quadrotor’s attitude. Based on Lyapunov’s stability theory,
a nonlinear estimator is proposed for the attitude and angular velocity of the aircraft. Finally, several
closed loop simulations are performed. The Lyapunov low level controller presents better results than the
LQR linear version, in simulations with high pitch and roll angles. Both high level controllers are robust
to wind disturbances. All the three estimators proved to be good solutions to estimate the quadrotor’s
attitude. The Lyapunov based estimation presented better simulation results.
A seguinte notação é utilizada ao longo deste trabalho. As variáveis são listadas por ordem de aparição.
Acrónimos
UAV Unmanned Aerial Vehicle
VTOL Vertical Take-Off and Landing
PID Proportional Integral Derivativo
LQR Linear Quadratic Regulator
NED North East Down
PWM Pulse Width Modulation
Lista de variáveis
PI = [X,Y, Z]T Posição do quadrirotor
Vq = [U, V,W ]T Velocidade do quadrirotor
Ψ = [φ, θ, ψ]T Atitude do quadrirotor em ângulos de Euler
Ωq = [P,Q,R]T Velocidade angular do quadrirotor
w = [w1, w2, w3, w4]T Velocidade angular de cada hélice do quadrirotor
S Matriz de rotação do quadrirotor com formulação em ângulos de Euler
q = [q0, q1, q2, q3]T Atitude do quadrirotor em quaterniões
Sq Matriz de rotação do quadrirotor com formulação em quaterniões
m Massa do quadrirotor
gI Força gravitacional
Fq = [Fx, Fy, Fz]T Força total exercida pelos quatro rotores do quadrirotor
J Tensor de inércia do quadrirotor
Mq = [Mx,My,Mz]T Momento total exercido pelos quatro rotores do quadrirotor
Vqar Velocidade do quadrirotor em relação à velocidade do vento
Vvento = [WN ,WE ,WD]T Velocidade do vento
Fa Força aerodinâmica devido ao efeito do vento
x
kax, kay, kaz Constantes aerodinâmicas
d Distância entre o centro de rotação da hélice e o centro de massa da aeronave, no plano xy
dz Distância entre o acelerómetro e o centro de massa da aeronave, medida no eixo z
rh Raio da hélice do quadrirotor
aq Saída do acelerómetro
Ωq Saída do giroscópio
Nq Saída do magnetómetro
Zs Saída do sonar
hb Pressão barométrica
Zb Saída do barómetro
G Saída do GPS
µa Componente de ruído Gaussiano do acelerómetro
ba Offset do acelerómetro
µg Componente de ruído Gaussiano do giroscópio
bg Offset do giroscópio
µm Componente de ruído Gaussiano do magnetómetro
bm Offset do magnetómetro
µs Componente de ruído Gaussiano do sonar
µb Componente de ruído Gaussiano do barómetro
µgps Componente de ruído Gaussiano do GPS
σ Desvio padrão
N0 Densidade espectral do ruído
f Frequência de cada sensor
Kt Constante de força da hélice
Km Constante de binário da hélice
cT Coeficiente de força da hélice
cP Coeficiente de potência da hélice
xi
ρ Densidade do ar
Fi Força produzida por cada hélice do quadrirotor
Mi Momento produzido por cada hélice do quadrirotor
K Constante da hélice
i Corrente eléctrica do motor
Vb Tensão da bateria do quadrirotor
V Tensão do motor
V Rácio entre a tensão de alimentação do motor e a tensão total da bateria
uS Comando enviado pelo controlador do sistema que gere a aeronave QUAVIST
η eficiência máxima do motor
τm Constante de tempo do sistema mecânico do motor
τe Constante de tempo do sistema eléctrico do motor
iq Quantização da entrada de cada motor
p Pólo de um sistema linear
A,B,C,D Matrizes de um sistema linear em espaço de estados
x Vector de estado de um sistema linear
u Vector de entrada de um sistema linear
y Vector de saída de um sistema linear
(x0,u0) Ponto de linearização de um sistema
f (x,u) Modelo não linear de um sistema
Ge Ganho estático de cada motor
n Número de estados de um dado sistema
KLQR Matriz de ganho do LQR
Q,R Matrizes de ponderação do LQR
xA Vector de estados utilizado no controlo de alto nível
fA Frequência de amostragem do controlador de alto nível
xii
xB Vector de estados utilizado no controlo de baixo nível
fB Frequência de amostragem do controlador de baixo nível
KB Matriz de ganho LQR do controlador de baixo nível
Ad,Bd,Cd,Dd Matrizes de um sistema linear discreto em espaço de estados
Rd,Qd Matrizes de ponderação do LQR para um sistema discreto em espaço de estados
T Período de amostragem
ts Tempo de subida
te Tempo de estabelecimento
uA Vector de entrada do sistema linear em espaço de estados de alto nível
S′ψ Matriz de rotação do ângulo de guinada
KA Matriz de ganho LQR do controlador de alto nível
η Vector erro de posição horizontal
γ Variável introduzida pelo utilizador que representa a separação entre os dois modos de voo
do controlo de alto nível
V0 Módulo da velocidade horizontal
a Componente real do pólo pi
b Componente complexa do pólo pi
ζ Factor de amortecimento
wd Frequência natural de amortecimento
RC Variável interna do sistema do QUAVIST
a Constante de proporcionalidade entre RC e Fz
Wb Velocidade vertical fornecida pelo sistema do QUAVIST
iRC Quantização da variável RC
iFZQuantização da força vertical produzida pelo quadrirotor
V(x) Função de Lyapunov
R = STq Matriz de rotação com formulação em quaterniões
eR Erro de atitude da função de Lyapunov de baixo nível
xiii
D,∆,a,b,Λ Constantes de afinação do controlo não linear de baixo nível
xh Posição horizontal do quadrirotor
vh Velocidade horizontal do quadrirotor
ah Aceleração horizontal do quadrirotor
α,β Constantes de afinação do controlo não linear de alto nível
C0 Constante utilizada no controlo não linear de velocidade horizontal
Qk,Rk Covariância de processo e observação
Pk|k Matriz de covariância do erro
xk|k Estimação de Kalman do estado do sistema
Kk Ganho de Kalman
yk Vector de medições
P0 Estimativa inicial da covariância do erro
x0 Estimativa inicial do vector de estado
m Média
xrms Valor eficaz
ew Erro de velocidade angular da estimação de Lyapunov
R Estimação da matriz de rotação
Rm Matriz de rotação construída a partir das medições do acelerómetro
wm Medições do giroscópio
w Estimação da velocidade angular
4,D,a Constantes de afinação da estimação de Lyapunov
xiv
1. Introdução
Neste Capítulo é feita uma primeira abordagem ao tema desta tese. É apresentada uma secção de contexto
e motivação acerca do tema, bem como um sucinto estado de arte. Por fim são introduzidos os objectivos,
as contribuições e a estrutura deste documento.
1.1. Contexto e motivação
Nas últimas décadas a utilização de veículos aéreos não tripulados (usualmente denominados de UAV, Un-
manned Aerial Vehicle) tem sido cada vez mais comum, desempenhando funções em inúmeras aplicações:
operações de salvamento e resgate, reconhecimento e vigilância aérea, sensoriamento remoto, transporte
de bens em áreas de difícil acesso, investigação científica ou detecção de incêndios florestais. Sistemas de
controlo de voo têm sido desenvolvidos de forma a que os UAVs possam navegar e executar estas tarefas
autonomamente. A tecnologia destes veículos tem evoluído no sentido de produzir aeronaves com elevada
manobrabilidade, capazes de executar o voo pairado e aterrar e descolar verticalmente (VTOL, Vertical
Take-Off and Landing).
O quadrirotor (Figura 1.1) é um multicóptero impulsionado por quatro rotores que reúne estas três
características. Estas aeronaves têm um custo relativamente baixo, um design mecânico simples (em
comparação com os helicópteros, por exemplo) e podem ser projectadas em diferentes tamanhos para
diferentes condições de voo. O uso de quatro rotores é também vantajoso pois permite que as hélices
tenham um diâmetro mais reduzido, produzindo consequentemente uma menor energia cinética durante o
voo. Por estes motivos, o seu estudo e desenvolvimento tem despertado bastante interesse na comunidade
cientifica.
Figura 1.1.: Modelo md4-1000 da empresa microdrones®
Historicamente, o conceito do quadrirotor não é novo. Em 1922, Etienne Oehmichen construiu o
primeiro quadrirotor: o Oehmichen No. 2 (Figura 1.2). O seu primeiro voo foi feito a 22 de Novembro
de 1922. O Oehmichen No. 2 foi uma de seis aeronaves de asas rotativas construídas à escala por
Oehmichen. Esta aeronave possuía uma estrutura em forma de cruz, comum nos quadrirotores de hoje
1
em dia, com quatro rotores e oito hélices alimentadas por um único motor de 120 HP. Cinco hélices eram
utilizadas na obtenção da propulsão e estabilidade lateral da aeronave, duas permitiam o seu deslocamento
no plano horizontal e uma hélice controlava o seu rumo. A aeronave exibia uma grau de estabilidade e
controlabilidade consideráveis para o seu tempo; foram realizados mais de mil voos de teste durante a
década de 20.
Também no início dos anos 20, em colaboração com o exército dos Estados Unidos, Dr. George de
Bothezat construiu uma aeronave de conceito semelhante à de Oehmichen (Figura 1.2). Era composta
por seis rotores dispostos nas extremidades de uma estrutura em forma de cruz. Realizou o seu primeiro
voo a 18 de Dezembro de 1922. Foram feitos cerca de 100 voos no ano de 1923; a maior altura de voo
registada é de 5 metros. O exército dos EUA cancelou o projecto em 1924, pois a aeronave apresentava
alguns problemas: era mecanicamente complexa, pouco manobrável, tinha pouca potência e não era fiável.
Em 1956 o conceito do quadrirotor é de novo considerado com a construção da aeronave Convertawings
Model A (Figura 1.2), concebida para ser o protótipo de uma linha de quadrirotores civis e militares.
Voou inúmeras vezes no final dos anos 50 e foi a primeira aeronave a validar com sucesso o conceito
do quadrirotor. No entanto, o projecto foi terminado por falta de encomendas de versões comerciais e
militares.
Figura 1.2.: Quadrirotores da história
1.1.1. Estado de arte
No âmbito da investigação científica, várias soluções para o controlo de voo e estimação da atitude de
um quadrirotor têm sido desenvolvidas e aperfeiçoadas.
A referência [23] apresenta uma solução não linear, baseada na teoria de estabilidade de Lyapunov,
para o controlo da atitude, altitude e posição horizontal de um quadrirotor. Em [11] é introduzida uma
solução não linear, baseada na teoria de estabilidade de Lyapunov, para o controlo da atitude e posição
horizontal de um quadrirotor. A referência [17] apresenta um design PD2 para o controlo da atitude
deste tipo de aeronaves; [29] apresenta um solução PID para o controlo de voo. Em [10] é desenvolvido
um controlo LQR da atitude e posição, um filtro complementar e um filtro de Kalman extendido para
a estimação da atitude. A referência [27] faz uma comparação entre duas soluções, PID e LQ, para o
controlo de voo de um quadrirotor. [28] apresenta um controlo de voo não linear, utilizando as técnicas
de backstepping e sliding-mode. Um filtro de Kalman extendido para a atitude do quadrirotor é mostrado
em [30].
2
1.2. Objectivos, contribuições e estrutura do documento
Este trabalho tem como principais objectivos:
• Propor soluções — lineares e não lineares — de controlo de voo autónomo de um quadrirotor.
Primeiro é tratado o problema da estabilização da atitude e altitude da aeronave. Posteriormente,
são apresentadas soluções para o seguimento de referências de posição horizontal da aeronave.
• Propor métodos não lineares para a estimação da atitude do quadrirotor, baseada nas medições de
um acelerómetro de três eixos, um giroscópio de três eixos e um magnetómetro de três eixos.
• Caracterizar e modelar computacionalmente a aeronave QUAVIST, desenvolvida pela empresa
UAVision®.
Graças ao trabalho desenvolvido pelo Prof. Azinheira, a principal contribuição desta tese é:
• A estimação de Lyapunov da atitude e velocidade angular de um quadrirotor.
Este trabalho está estruturado em duas partes. Na primeira parte são apresentadas as convenções utili-
zadas neste trabalho (Capítulo 2), as equações não lineares da dinâmica e cinemática de um quadrirotor
(Capítulo 3), uma descrição geral do quadrirotor QUAVIST, a caracterização experimental e modelação
dos sensores e actuadores desta aeronave e, por fim, o modelo computacional do QUAVIST implementado
no software Matlab® (Capítulo 4). Na segunda parte, no Capítulo 5, é primeiro apresentada uma análise
de estabilidade para este tipo de aeronaves e uma linearização do sistema não linear de equações da
dinâmica e cinemática. É desenvolvida uma solução linear para o controlo da atitude e altitude da aero-
nave e uma solução linear para o controlo da sua posição horizontal (Capítulo 6). Também no Capítulo
6 é descrito o controlador linear de altitude implementado no QUAVIST, junto com alguns resultados
experimentais obtidos. Depois, no Capítulo 7, são apresentadas soluções não lineares para o controlo
da atitude, altitude e posição horizontal da aeronave. No Capítulo 8 são propostas três soluções não
lineares para a estimação de atitude da aeronave; são também feitas algumas simulações em anel fechado
utilizando as várias propostas de controlo e estimação. As conclusões e os aspectos a melhorar acerca do
trabalho desenvolvido são apresentados em último lugar, no Capítulo 9.
3
Parte I.
Modelação
4
2. Definições
Neste Capítulo é apresentada uma breve descrição do conceito geral e modo de funcionamento de um
quadrirotor (Secção 2.2). A Secção 2.1 apresenta as principais convenções matemáticas consideradas
neste trabalho. Por fim, na Secção 2.3, são introduzidas algumas simplificações ao modelo físico.
2.1. Convenções matemáticas
Para descrever matematicamente o comportamento físico de um quadrirotor são necessários dois sis-
temas de coordenadas: um localizado no solo (assumido como inercial) e outro centrado na aeronave,
acompanhando o seu movimento. Ambos são direitos, tridimensionais e cartesianos.
O sistema de referência é denominado NED (ver Figura 2.1), está centrado no solo, é local e inercial
(a rotação da Terra é desprezada). Este referencial respeita a convenção NED (North East Down),
usualmente utilizada em aplicações aeroespaciais, em que os eixos orientados para Norte e Este estão
contidos num plano tangente à superfície da Terra e o terceiro eixo aponta para o centro da mesma.
O facto de ser um referencial local não introduz complicações pois o alcance deste tipo de aeronave é
relativamente pequeno (algumas centenas de metros).
Como se pode observar na Figura 2.1 o segundo sistema de coordenadas, xyz, está centrado no centro
de massa da aeronave. O semi-eixo positivo de x corresponde à frente da aeronave.
Neste trabalho, matrizes e vectores serão apresentados a negrito. Definiu-se ainda que os vectores
representados no referencial NED possuem o sobrescrito I (de Inercial). Por outro lado, vectores relativos
ao sistema de coordenadas xyz estão marcados com o sobrescrito q (de quadrirotor).
As variáveis utilizadas na formulação do modelo físico foram as seguintes:
• PI = [X,Y, Z]T, é a posição do quadrirotor em metros (m). Corresponde à representação de oq(origem do referencial xyz) no sistema de coordenadas NED.
• Vq = [U, V,W ]T é a velocidade do quadrirotor, em metros por segundo (m/s), expressa no referen-
cial xyz.
• Ψ = [φ, θ, ψ]T define a atitude da aeronave: rolamento, picada e guinada (em radianos, rad). Estes
três ângulos, denominados de ângulos de Euler, exprimem a orientação do referencial xyz em relação
ao referencial NED.
• Ωq = [P,Q,R]T representa a velocidade angular do quadrirotor, em radianos por segundo (rad/s).
P , Q e R simbolizam, respectivamente, as velocidades angulares em torno dos eixos x, y e z.
5
Figura 2.1.: Sistema de coordenadas
2.2. Descrição e funcionamento de um quadrirotor
Um quadrirotor é uma aeronave de asas rotativas constituída por quatro rotores (conjunto formado
pelo motor e hélice) dispostos no mesmo plano, usualmente de forma simétrica. A deflecção do ar para
baixo provocada pela rotação dos rotores causa dois efeitos: uma reacção que gera uma força contrária
à deflecção (para cima), e uma diferença de pressão, provocada pela diferença de velocidade na parte
superior e inferior da hélice (maior na parte superior). Estes dois efeitos conjugados geram uma força de
sustentação na aeronave.
Como se pode observar na Figura 2.1 as hélices da aeronave estão agrupadas em dois pares girando
em direcção contrária, sendo cada par formado pelas hélices em posição oposta. Os motores M1 e M3
rodam no sentido dos ponteiros do relógio enquanto que os motores M2 e M4 giram na direcção contrária.
Desta forma o momento produzido por cada par é anulado, na situação em que os quatro motores giram
à mesma velocidade angular. As hélices estão dispostas horizontalmente a um ângulo de ataque fixo, ao
contrário dos helicópteros, que possuem mecanismos que permitem variar o ângulo de ataque. Este facto
pode ser encarado como uma vantagem, pois a ausência deste tipo de mecanismo simplifica o design e a
manutenção da aeronave. Através da variação das velocidades angulares de cada motor é possível realizar
as manobras apresentadas na Figura 2.2.
A velocidade angular de cada hélice é representada por w = [w1, w2, w3, w4]T. Nas manobras a) e b)
existe um movimento de rolamento, isto é, uma rotação positiva (no sentido dos ponteiros do relógio)
ou negativa em torno do eixo x. Esta rotação é obtida variando as velocidades w2 e w4 e resulta numa
translação ao longo do eixo y. Se w2 > w4, o quadrirotor desloca-se no sentido positivo de y.
Para as manobras c) e d) o comportamento da aeronave é similar ao caso anterior, sendo a rotação
feita em torno do eixo y e a consequente translação horizontal ao longo de x. Esta rotação, denominada
picada, é causada por uma alteração nas velocidades w1 e w3. Para w3 > w1 o deslocamento é feito no
sentido positivo do eixo x.
Os movimentos de guinada representados em e) e f) consistem numa rotação em torno do eixo z;
positiva no caso em que o par M1 e M3 gira a uma velocidade superior à do par M2 e M4. Nenhum
6
deslocamento horizontal é gerado com este tipo de manobra.
O deslocamento vertical da aeronave, ao longo de z, ocorre quando as quatro hélices giram à mesma
velocidade. Em g) a força de sustentação da aeronave é superior ao seu peso, deslocando-se por isso
para cima (no sentido positivo de z). Na manobra h) acontece a situação contrária: o quadrirotor perde
altitude. Quando a força de sustentação iguala o peso da aeronave diz-se que esta se encontra em hover ,
ou voo pairado.
Figura 2.2.: Manobras de um quadrirotor (retirada de [10])
2.3. Simplificações e hipóteses
Com o intuito de modelar o comportamento físico desta aeronave assumiu-se que:
1. O quadrirotor é um corpo rígido.
2. O quadrirotor é simétrico nos planos xz e yz.
3. A inclinação magnética é desprezada.
4. O efeito de solo existente nas situações de aterragem e descolagem é desprezado.
5. O acelerómetro está localizado no eixo z.
6. As não-linearidades das baterias do quadrirotor são desprezadas.
7. Em situação de voo pairado as acelerações da aeronave são desprezadas.
8. Não existe escorregamento entre o motor e as hélices.
9. A rotação da Terra é desprezada.
7
3. Modelação do movimento de um quadrirotor
Neste Capítulo introduz-se o problema da orientação de um corpo rígido (Secção 3.1). É discutida a
sua formulação em ângulos de Euler e em quaterniões. É também apresentado, na Secção 3.2, o sistema
completo de equações que modela a cinemática e a dinâmica de um quadrirotor. A Secção 3.3 insere um
conjunto de equações adicionais, úteis no decorrer deste trabalho.
3.1. Orientação de um corpo rígido
3.1.1. Ângulos de Euler
Leonhard Euler definiu que a orientação de um corpo rígido pode ser expressa por três ângulos. Esta
convenção pode ser utilizada na rotação de uma grandeza vectorial entre diferentes referenciais, como
demonstrado em [1]. Esta transformação deverá seguir uma sequência não comutativa de três rotações,
representadas na equação (3.1).
Sφ =
1 0 0
0 cosφ sinφ
0 − sinφ cosφ
,Sθ =
cos θ 0 − sin θ
0 1 0
sin θ 0 cos θ
,Sψ =
cosψ sinψ 0
− sinψ cosψ 0
0 0 1
(3.1)
Particularizando para o referencial xyz: Sφ origina uma rotação em torno do eixo x, Sθ em torno y e
Sψ à volta do eixo z.
Assim, para um dado vector N ∈ R3×1, a sua transformação do referencial NED para o referencial
xyz (NED → xyz) é dada por:
Nq = S NI (3.2)
onde S é a matriz de rotação, apresentada na equação (3.3).
S = SφSθSψ =
cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θ
− cosφ sinψ + sinφ sin θ cosψ cosφ cosψ + sinφ sin θ sinψ sinφ cos θ
sinφ sinψ + cosφ sin θ cosψ − sinφ cosψ + cosφ sin θ sinψ cosφ cos θ
(3.3)
Repare-se que S é ortogonal (S−1 = ST) e tem determinante 1 (det S = 1); a sequência de rotações
SφSθSψ tem de ser cumprida. A transformação xyz → NED é obtida invertendo a equação (3.2):
8
NI = ST Nq (3.4)
Inversamente, os ângulos de Euler podem ser calculados através da matriz de rotação por:
Ψ =
φ
θ
ψ
=
atan2 (S2,3,S3,3)
arcsin (S1,3)
atan2 (S1,2,S1,1)
(3.5)
3.1.2. Quaterniões
A similaridade entre coordenadas lineares e coordenadas angulares tornam a representação em ângulos de
Euler bastante intuitiva. Porém esta representação sofre de um problema de ambiguidade, denominado
gimbal lock. Este fenómeno (matematicamente demonstrado na equação (3.6)) acontece quando dois dos
três anéis de um giroscópio giram no mesmo plano, conduzindo à perda de um grau de liberdade no
espaço tridimensional. Analisando a equação (3.6) verifica-se que uma variação em φ ou ψ produz a
mesma matriz de rotação, ou seja: S pode representar duas orientações.
S(φ,π
2 , ψ)
=
0 0 −1
sin (φ− ψ) cos (φ− ψ) 0
cos (φ− ψ) − sin (φ− ψ) 0
(3.6)
A ambiguidade atrás referida pode ser evitada recorrendo a outros métodos para representar a atitude
do corpo rígido. Neste trabalho utilizou-se uma formulação baseada em quaterniões.
Um quaternião unitário, q = [q0, q1, q2, q3]T e ‖q‖ = 1, pertence a um sistema numérico que extende os
números complexos. Esta representação é mais eficiente computacionalmente e mais resistente a erros de
arredondamento. A equação (3.7) é utilizada na conversão entre ângulos de Euler e quaterniões, ambas
as notações codificando a mesma orientação.
q =
q0
q1
q2
q3
=
±(
cos φ2 cos θ2 cos ψ2 + sin φ2 sin θ
2 sin ψ2
)±(
sin φ2 cos θ2 cos ψ2 − cos φ2 sin θ
2 sin ψ2
)±(
cos φ2 sin θ2 cos ψ2 + sin φ
2 cos θ2 sin ψ2
)±(
cos φ2 cos θ2 sin ψ2 − sin φ
2 sin θ2 cos ψ2
)
(3.7)
De acordo com [1] a matriz de rotação pode ser escrita em função de q, dando origem a:
Sq =
1− 2
(q22 + q2
3)
2 (q1q2 + q3q0) 2 (q1q3 − q2q0)
2 (q1q2 − q3q0) 1− 2(q21 + q2
3)
2 (q2q3 + q1q0)
2 (q1q3 + q2q0) 2 (q2q3 − q1q0) 1− 2(q21 + q2
2) (3.8)
Uma vez que ambas as notações codificam a mesma orientação, os ângulos de Euler podem ser recu-
perados aplicando a equação (3.5) para Sq.
9
3.2. Cinemática e dinâmica de um quadrirotor
O modelo matemático que rege o comportamento de um quadrirotor foi formulado tendo como principal
bibliografia a referência [1]. Consiste num sistema de quatro equações não lineares e diferenciais em
ordem a P, V, q e Ω: posição, velocidade, atitude e velocidade angular. As equações (3.9) e (3.10)
(cinemática) e (3.11) e (3.12) (dinâmica) compõem o referido sistema.
Como seria de esperar a densidade espectral do ruído é maior quando os motores estão ligados. Por
outro lado pode observar-se a ausência de ruído nas medições do sonar, para uma distância medida de
sensivelmente 23 cm. Não foi possível determinar N0 e σ para o GPS na situação em que os motores se
encontravam ligados.
4.3. Actuadores
O sistema variador–motor–hélice (Figura 4.3) é responsável pela actuação da aeronave: o motor induz um
movimento de rotação na hélice que por sua vez gera uma força e correspondente momento. O sistema
envia um comando ao variador de tensão; este controla, por intermédio de um sinal do tipo PWM (sinal
quadrado digital de razão cíclica variável), a tensão eléctrica do motor necessária para que o valor desejado
de velocidade angular (wi) seja alcançado.
4.3.1. Modelo da hélice
De acordo com [17] a força (Fi) e o momento (Mi) produzidos por cada hélice são proporcionais ao
quadrado da sua velocidade angular, como expressam as equações (4.12) e (4.13).
Figura 4.3.: Sistema de actuação
19
Fi =Ktw2i (4.12)
Mi =Kmw2i (4.13)
O momento Mi é gerado ao longo do eixo z, devido à resistência aerodinâmica da hélice. Kt e Km são
designadas constantes de força e binário, respectivamente. Estas podem ser estimadas pelas equações
(4.14) e (4.15).
Kt =4cTρr4h
π2 (4.14)
Km =4cPρr5h
8π3 (4.15)
Nas equações anteriores cT simboliza o coeficiente de força, cP o coeficiente de potência e ρ a densidade
do ar. Os valores cT = 0.0743, cP = 0.0047 foram obtidos pelo Prof. Azinheira cruzando dados teóricos
sobre esta hélice em particular com dados experimentais de um voo pairado; ρ = 1.23 Kg/m8 (de acordo
com a ISA). Como visto em [11], a relação entre a força de cada motor e a força e momento aplicados no
corpo rígido pode ser escrita por:
Fz
Mx
My
Mz
=
−1 −1 −1 −1
0 d 0 −d
d 0 −d 0
K −K K −K
F1
F2
F3
F4
(4.16)
Na equação (4.16) , K = Km
Kt. A força produzida por cada motor tem a direção do eixo z, e por isso
Fx = Fy = 0.
4.3.2. Modelo do motor
O QUAVIST vem equipado com quatro AXI 2814/22 da marca Axi®, um motor de corrente contínua
sem escovas (brushless DC motor). O esquema deste tipo de motores, sistema eléctrico e mecânico,
encontra-se representado na Figura 4.4.
Figura 4.4.: Esquema do motor (de [13])
20
Segundo [13] o seu comportamento pode ser descrito pelo seguinte modelo em espaço de estados
w
i
=
− bJm
Cm
Jm
−Ce
L − rm
L
w
i
+
0Vb
L
Vy =
[1 0
] w
i
(4.17)
onde:
Variável Significado ValorCe (V/(rad/s)) coeficiente de força electromotriz 0.0125Cm (N ·m/A) coeficiente de momento do motor 0.0106Jm (kg ·m2) momento de inércia do rotor 0.28e-6b (N ·m · s) constante de fricção viscosa 2.8e-5L (H) indutância eléctrica 8.4e-4rm (Ω) resistência eléctrica 0.168
Tabela 4.8.: Constantes do motor
A variável i simboliza a corrente eléctrica, em amperes (A). Vb = 14.8 V é a tensão nominal da bateria
que alimenta os motores.
Naturalmente faria mais sentido utilizar como entrada do modelo (equação 4.17) o comando uS enviado
pelo controlador do sistema. No entanto, não foi possível avaliar experimentalmente a relação entre
a entrada e saída do variador a bordo da aeronave (uS → V ). Por este facto utilizou-se a variável
adimensional V = V
Vb, correspondendo ao rácio entre a tensão de saída do variador e a tensão da bateria.
A saída do modelo é a velocidade angular gerada pelo motor, w.
Os dados numéricos para Ce e rm podem ser encontrados na datasheet do motor em [12], bem como o
valor da sua eficiência máxima (η = 85 %). As constantes de tempo do sistema foram obtidas pelo Prof.
Azinheira, cruzando informação real de voo com a datasheet do motor:
• τm = 0.01 s, a constante de tempo do sistema mecânico
• τe = 0.005 s, a constante de tempo do sistema eléctrico
As restantes variáveis da Tabela 4.8 são calculadas por:
b = Jmτm
(4.18)
L = τerm (4.19)
Cm = ηCe (4.20)
A zona morta e a corrente mínima são outros dois factores a ter em conta na modelação deste tipo de
motores. De acordo com [14], um motor encontra-se em zona morta quando o binário gerado é inferior
ao binário mínimo necessário para superar a força de atrito do rotor. A definição de um valor de corrente
21
mínimo para o sistema da equação 4.17 permite ao motor operar fora da zona morta. Segundo [12] este
valor é de imin = 0.5 A.
4.4. Modelo Simulink
A Figura 4.5 apresenta o modelo computacional implementado, utilizando a ferramenta Simulink do
software Matlab®.
Figura 4.5.: Modelo do sistema
O bloco Motores (em pormenor na Figura 4.6) trata da modelação do motores. A entrada V =[V1, V2, V3, V4
]Té quantizada em intervalos de iq = 0.001 e posteriormente saturada, Vi ⊂ [0.1, 1]. O
limite inferior da saturação impede a entrada na zona morta do motor enquanto que o limite superior
representa o valor máximo de tensão disponibilizado pela bateria. A quantização é inserida com o
objectivo de simular o comportamento do variador, dado que o sinal PWM está confinado a um intervalo
definido de valores. Um sistema em espaço de estados (equação (4.17) da Subsecção 4.3.2) converte, para
cada motor, a sua entrada em valor de velocidade angular: w = [w1, w2, w3, w4]T.
De seguida, uma função executa a modelação das hélices (equações (4.12) e (4.16), Subsecção 4.3.1)
e a cinemática e dinâmica do quadrirotor — sistema de equações (3.17) da Secção 3.2. A influência do
vento, equação (3.18), é tida em conta. Logicamente a sua saída corresponde à derivada do vector de
estados x = [V,Ω,P,q]T.
A atitude da aeronave é convertida para uma representação em ângulos de Euler pela função quat2euler,
cuja saída é o estado x = [V,Ω,P,Ψ]T. O bloco Sensores (Figura 4.7) calcula as equações (4.3), (4.4),
(4.6), (4.7), (4.9) e (4.10). A cada saída de sensor é adicionado um ruído branco Gaussiano N0, listado
na Tabela 4.7. As componentes de offset, b, foram desprezadas.
Figura 4.6.: Bloco Motores
22
Figura 4.7.: Bloco Sensores
23
Parte II.
Controlo e estimação
24
5. Estabilidade
A Secção 5.1 fornece ao leitor uma breve introdução teórica acerca da estabilidade de sistemas. De
seguida, na Secção 5.2, é feita uma linearização do sistema da aeronave. Com base no sistema linearizado,
é desenvolvida uma análise de estabilidade (Secção 5.3).
5.1. Introdução teórica
Uma das abordagens mais utilizadas no estudo da estabilidade de sistemas não lineares foi introduzida
pelo matemático russo Alexandr Lyapunov no fim do século XIX . Um dos métodos incluídos no trabalho
The General Problem of Motion Stability, denominado método indirecto, permite concluir acerca da
estabilidade local de um sistema não-linear em torno de um ponto de equilíbrio com base na estabilidade
da sua aproximação linear. De acordo com [20], este método pode ser enunciado pelo seguinte teorema:
Teorema 5.1 Método indirecto de Lyapunov
• Se o sistema linearizado é estável então o ponto de equilíbrio é assimptóticamente estável, para o
sistema não-linear.
• Se o sistema linearizado é instável, o sistema não-linear também é instável em torno do ponto de
equilibro.
• Se o sistema linearizado é marginalmente estável, nada se pode concluir acerca da estabilidade do
sistema não linear (o ponto de equilibro poderá ser estável, instável ou marginalmente estável).
Por sua vez, a estabilidade de um sistema linear pode ser determinada através da localização dos seus pó-
los. Na Figura 5.1 são introduzidos três conceitos chave: estabilidade marginal, estabilidade assimptótica
e instabilidade.
Um pólo real p = −σ localizado no semi-eixo negativo do plano-s define um decaimento exponencial
na resposta do sistema, Ce−σt. Quanto maior σ mais rápido é o decaimento da resposta. Um par de
pólos complexo conjugado (p = −σ ± jw) origina um decaimento sinusoidal da resposta do sistema, da
forma Ae−σt sin (wt+ ϕ). Os parâmetros A e ϕ são determinados pelas condições iniciais, σ e w definem
respectivamente a razão de decaimento e a frequência de oscilação. Ambas os sistemas acima descritos
são assimptoticamente estáveis.
Pólos localizados no semi-eixo positivo geram um incremento exponencial (se p = σ) ou sinusoidal, no
caso de p = σ ± jw. Estes tipos de resposta caracterizam um sistema instável. Pólos situados no eixo
imaginário de multiplicidade maior que 1 também originam um sistema instável.
25
Figura 5.1.: Estabilidade de um sistema
Um sistema é marginalmente estável quando possui um ou mais pólos de multiplicidade 1 sobre o
eixo imaginário. Um pólo na origem, p = 0, introduz uma componente de amplitude constante definida
pelas condições iniciais. Por outro lado, um par de pólos complexo — p = ±jw — acrescenta ao sistema
uma componente oscilatória de amplitude constante.
5.2. Linearização do modelo
Para que o método indirecto de Lyapunov possa ser aplicado é necessário obter um modelo linear e
invariante no tempo, da forma:
x = Ax + Bu Modelo de processo
y=Cx+Du Modelo de observação (5.1)
Para o efeito definiram-se como vector de estados x = [V,Ω,P,Ψ]T e vector de entrada u =[V1, V2, V3, V4
]T,
a razão de tensão à entrada do motor. Por ser mais intuitiva, escolheu-se a representação da atitude em
ângulos de Euler em detrimento dos quaterniões.
A linearização é matematicamente obtida utilizando a aproximação de primeira ordem da série de
Taylor, válida na proximidade de um ponto de operação genérico (x0,u0):
f (x,u) = x ≈ f (x0,u0) + Jx|x0,u0(x− x0) + Ju|x0,u0
(u− u0) (5.2)
Em (5.2), Jx e Ju representam a matriz Jacobiana de f (x,u) (o modelo não-linear de equações) a x
e u, respectivamente.
5.2.1. Modelo de processo
O modelo não linear de processo, fp (x,u), é composto por:
26
• A cinemática e a dinâmica do quadrirotor é modelada pelas equações (3.9), (3.11), (3.12) e (3.20).
• Equações (4.12) e (4.16) para a modelação da hélice
• Sistema em espaço de estados (4.17) para a modelação do motor. O modelo do motor é simplificado
e posteriormente incluído no sistema fp (x,u).
Considera-se que a dinâmica do motor é suficientemente rápida para validar a simplificação:
wi = GeVi (5.3)
onde Ge é o ganho estático, que segundo [18] pode ser calculado pela equação (5.4) (aplicada ao sistema
em espaço de estados do motor).
Ge = D−CA−1B (5.4)
Definição 5.1 Um estado x0 é um estado de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) do sistema se, uma vez
que x (t) iguala x0, este permanece igual a x0 para todo o tempo futuro.
Isto que significa que o vector de estados deverá satisfazer a condição:
012,1 = fp (x0,u0) (5.5)
O ponto de equilíbrio escolhido neste trabalho consiste em ter o quadrirotor em voo pairado a uma dada
altitude. O sistema é então linearizado em torno do vector de estados: x0 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, X, Y, Z, 0, 0, 0]T.
Apesar de não interferir com o voo pairado optou-se por um valor nulo para ψ, para simplificar os cálculos.
Por sua vez, u0 é calculado resolvendo o sistema de equações (5.6), que iguala o peso à força de sustentação
do quadrirotor.
Fz =4∑i=0
Fi = −mg0
V 0i = 1
Ge·
√∣∣∣∣ Fz4KT
∣∣∣∣ (5.6)
Define-se que A = Jx|x0,u0e B = Ju|x0,u0
. O resultado alcançado para estas matrizes pode ser
observado na equação (5.7).
A =
02,9
0 −g0 0
g0 0 0
04,6 04,6
I6,6 06,6
,B =
02,1 . . . . . . 02,1
−GecKt
m . . . . . . −GecKt
m
0 GecKt·dJx
0 −GecKt·dJx
GecKt·dJy
0 −GecKt·dJy
0
GecKm
Jz−GecKm
JzGec
Km
Jz−GecKm
Jz
06,1 . . . . . . 06,1
(5.7)
27
Na equação (5.7), c =√
mg0Kt
.
O sistema linearizado em espaços de estados do modelo de processo é por fim apresentado:
x′ = Ax′ + Bu′ (5.8)
sendo x′ = x− x0 e u′ = u− u0.
5.2.2. Modelo de observação
O modelo não linear de observação é representado por fh (x,u). Este engloba as equações (4.3), (4.4),
(4.6), (4.7), (4.9) e (4.10); o vector de saída do sistema corresponde então a y =[a, Ω, N, Zs, Zb, G
]T.Aplicando o processo de linearização apresentado anteriormente para o mesmo ponto de equilíbrio, pode-
se concluir que:
C =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −g0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 g0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
,D = 015,4 (5.9)
5.3. Análise de estabilidade, controlabilidade e observabilidade
Na presença de um sistema linear em espaço de estados, os seus pólos correspondem aos valores próprios
da matriz A (equação (5.7)). Constata-se que todos os pólos do sistema se encontram na origem (p = 0
com multiplicidade 12); o sistema linear é portanto marginalmente estável. Aplicando o método indirecto
de Lyapunov, Teorema 5.1, conclui-se que o sistema não-linear é também marginalmente estável em torno
do ponto de equilíbrio.
Controlabilidade é uma propriedade de enorme relevância na análise de sistemas de controlo. Um
sistema é controlável se for possível — por controlo da entrada — conduzir os seus estados de um valor
inicial a qualquer valor final, num intervalo de tempo finito. Matematicamente, um sistema é totalmente
controlável se
28
caracteristica([
B AB A2B . . . An−1B])
= n (5.10)
onde o operador caracteristica simboliza o posto matricial e n o número de estados do sistema. Apli-
cando a relação anterior às matrizes A e B da equação (5.7), chega-se à conclusão que este sistema é
totalmente controlável.
Um sistema é observável se for possível, num tempo finito, inferir o seu estado interno utilizando apenas
a informação fornecida pela sua saída. A observabilidade de um sistema em espaço de estados pode ser
comprovada se e só se:
caracteristica
([C CA . . . CAn−1
]T)= n (5.11)
Substituindo as matrizes A (equação (5.7)) e C (equação (5.9)) na equação (5.11), verifica-se que o
presente sistema é observável. Esta conclusão apenas é válida para voos realizados no exterior. Natural-
mente, em ambientes interiores, a medição G fornecida pelo GPS não se encontra disponível.
29
6. Controlo óptimo
Neste Capítulo é apresentado um sistema de controlo por LQR (Linear Quadratic Regulator) para a
aeronave. A estabilização de atitude e altitude é formalizada na Secção 6.3. Também na Secção 6.3 é
descrito o controlador de altitude implementado e testado na aeronave. A Secção 6.4 introduz o problema
de controlo da posição horizontal. Finalmente, na Secção 6.5, são tiradas algumas conclusões acerca do
sistema de controlo projectado.
6.1. LQR
Considere-se a representação em espaço de estados de um sistema linear invariante no tempo
x =Ax + Bu (6.1)
em que x(t) ∈ Rn é o vector de variáveis de estado do sistema, u(t) ∈ Rm é a entrada de controlo e
y(t) ∈ Rp corresponde à saída do sistema. Uma forma de controlo standard para este sistema será a
retroacção do vector de estados, na forma
u = −Kx (6.2)
com K ∈ Rm×n, uma matriz constante de coeficientes de controlo a determinar.
O LQR (Linear-Quadratic Regulator) é um controlador na forma da equação (6.2), sendo KLQR o
ganho que permite o controlo óptimo do sistema 6.1 minimizando a função de custo:
JLQR = 12
ˆ ∞0
(xTQx + uTRu
)dt (6.3)
Na equação (6.3) Q e R são matrizes de ponderação positivas semidefinida e definida, respectivamente.
Estas simbolizam, respectivamente, a importância dada pelo utilizador às variáveis de estado e à acção de
controlo. A regra de Bryson (equação (6.4)) propõe uma estimativa inicial de Q e R baseada na variação
máxima desejada para os estados e entrada do sistema, xmax e umax.
Q =
1
(x1,max)2 0 0
0 . . . 0
0 0 1(xn,max)2
, R =
1
(u1,max)2 0 0
0 . . . 0
0 0 1(um,max)2
(6.4)
30
O ganho óptimo KLQR é calculado resolvendo a equação algébrica de Riccati em ordem a P
ATP + PA−PBR−1BTP + Q = 0 (6.5)
e substituindo em:
KLQR = R−1BTP (6.6)
6.2. Projecto de controlo
Como visto na Figura 2.2 do Capítulo 2, o deslocamento horizontal de um quadrirotor está directamente
relacionado com a sua atitude. Por outro lado, a variação da altitude depende inteiramente da força
de sustentação produzida pelos quatro motores. Assim, o objectivo principal do controlo de voo de um
quadrirotor consiste em controlar a sua atitude e força de sustentação. Uma vez atingido este objectivo,
o problema do deslocamento da aeronave no espaço pode ser abordado.
Pelos motivos atrás enunciados optou-se por uma estratégia de controlo em cascata. O controlo em
cascata deve ser utilizado na presença de um processo secundário de dinâmica rápida, que tem de ser
manipulado de forma a controlar um outro processo (primário) relativamente mais lento.
Em suma, o sistema deverá cumprir os seguintes requisitos:
1. A dinâmica do processo secundário deve ser pelo menos quatro vezes mais rápida que a do processo
primário ([15])
2. O processo secundário deve ter influência sobre o processo primário.
3. Ambos os processos devem ser mensuráveis e controláveis.
O controlador projectado é então formado por dois sub-controladores:
• Um primário, de alto nível, que controla a translação horizontal da aeronave servindo-se dos estados
xA = [U, V,X, Y ]T. Recebe referências de velocidade e posição horizontais. O controlador funciona
a uma frequência de amostragem de fA = 4 Hz.
• Um secundário ou de baixo nível. Este anel de controlo garante a estabilização do quadrirotor,
actuando directamente na velocidade angular dos motores. Utiliza os restantes oito estados do
sistema, xB = [W,P,Q,R,Z, φ, θ, ψ]T, para seguir referências de atitude e altitude. O processo é
controlado a uma frequência de amostragem de fB = 50 Hz.
Apesar de ser mais complexo e mais difícil de afinar, este tipo de controlo garante uma maior robustez ao
permitir que o controlador de baixo nível manuseie de forma independente as perturbações no sistema.
Por outro lado o utilizador poderá actuar directamente no controlador de baixo nível, o que equivale a
um voo em modo manual. Uma visão geral do controlo da aeronave pode ser vista na Figura 6.1.
Como foi referido na Secção 4.1, o QUAVIST já possui soluções próprias de controlo. O controlador de
baixo nível é do tipo PID (Proporcional Integral e Derivativo); no modo manual este recebe comandos de
31
Figura 6.1.: Sistema de controlo
θ, φ, ψ e −Fz. O controlo da altitude não é incluído, sendo a aceleração vertical da aeronave controlada
manualmente pelo piloto. Possui, no entanto, um modo de estabilização de altitude. No momento da
sua activação, a altitude da aeronave é estabilizada em torno do valor actual. Para o controlo de alto
nível (também PID) encontra-se implementado um modo de voo similar ao anterior, em que a aeronave
estabiliza no valor actual de posição horizontal.
6.3. Controlador de baixo nível
O projecto do controlador secundário é de extrema importância pois é este que garante em última instância
a segurança da aeronave. Pode igualmente ter a designação de controlador de baixo nível pelo facto de
operar directamente nos actuadores do quadrirotor.
O controlador toma como entrada uma atitude e altitude de referência, (xB,2)ref = [Zref , φref , θref , ψref ]T,
e como saída o comando de tensão normalizada, u =[V1, V2, V3, V4
]T. Os restantes quatro estados,
xB,1 = [W,P,Q,R]T, são adicionalmente utilizados no processo de regulação da aeronave. Repare-se
que o vector de estados xB foi por conveniência dividido em xB,1 e xB,2. Recuperando a linearização
efectuada no Capítulo 5 (equação (5.7)), o modelo linear para o processo secundário reduz-se a:
xB =
04,4 04,4
I4,4 04,4
x′B +
−GecKt
m . . . . . . −GecKt
m
0 GecKt·dJx
0 −GecKt·dJx
GecKt·dJy
0 −GecKt·dJy
0
GecKm
Jz−GecKm
JzGec
Km
Jz−GecKm
Jz
04,1 . . . . . . 04,1
u′ (6.7)
onde I4,4 é a matriz identidade e 04,4 é uma matriz de zeros, ambas de dimensão 4 × 4. A aplicação
das equações (6.5) e (6.6) resulta na matriz de ganho óptimo, KB .
A lei de controlo baseia-se na realimentação do erro de atitude e altitude e é dada pela equação:
u′ = −KB
x′B,1x′B,2 −
(x′B,2
)ref
(6.8)
É mais conveniente a sua formulação em função de u e xB , pois estes são de facto a entrada e estado
reais do sistema não linear:
32
u = u0 −KB
xB,1xB,2 − (xB,2)ref
(6.9)
6.3.1. Simulação e avaliação
De modo a tornar a simulação o mais realística possível, implementou-se um controlador discreto baseado
no modelo contínuo apresentado na secção anterior.
De acordo com [16], a discretização do modelo linear de processo para um período de amostragem T
pode ser alcançada por:
Ad = eAT (6.10)
Bd =(ˆ T
τ=0eAT dτ
)B (6.11)
Escolheu-se um período de amostragem para o controlador de T = 150 s, igual às amostragens do
barómetro, giroscópio, magnetómetro e acelerómetro. Tendo em mente a implementação prática do
controlador, este é um valor adequado. As simulações realizadas utilizam o estado ideal do sistema como
realimentação para o controlador. Nesta fase o objectivo é validar a solução de controlo projectada.
As matrizes de ponderação também necessitam de ser discretizadas, como se pode observar nas equações
(6.12) e (6.13) ([16]).
Rd = RT
(6.12)
Qd =ˆ T
τ=0eATQeAT dτ (6.13)
A função do Matlab lqrd fornece o ganho K do controlador discreto. As matrizes de ponderação contínuas
utilizadas (equações (6.14) e (6.15)) resultam de um processo iterativo.
Q = diag ([6, 1, 1, 1, 50, 40, 40, 20]) (6.14)
R = diag ([10, 10, 10, 10]) (6.15)
A dinâmica do sistema contínuo em anel fechado é dada por:
xB = (A−BKB) xB (6.16)
A Tabela 6.1 fornece os pólos (pi = a + bi) e o factor de amortecimento ζ calculados para o sistema
(6.16), utilizando o controlador contínuo. Todos os pólos estão localizados no semi-eixo negativo e, por
isso, o sistema linear é assimptóticamente estável. Pelo método indirecto de Lyapunov comprova-se a
33
estabilidade assimptótica do sistema não-linear, na proximidade do ponto de equilíbrio. Segundo [26] o
sistema encontra-se criticamente amortecido, ζ = 1, convergindo exponencialmente e sem oscilações para