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Dispense di Istituzioni di Relatività
Dagli appunti presi alle lezioni del professor PierAlberto
Marchetti
Corso di Istituzioni di Relativitàper la Laurea Triennale in
Fisica
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche Naturali, Università di
PadovaAnno Accademico 2005-2006
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2
Copyright c©2006 GIOVANNI LANZANI.Permission is granted to copy,
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G.L.
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Indice
I Il corso 4
Introduzione 5
I Note storiche 6
1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 71.1 Esperimento sull’aberrazione . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 L’esperimento di Michelson
e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Princìpi di relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 10
II Relatività Einsteniana 12
1 Glory & Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 122 Le trasformazioni di Lorentz . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Relativo ed
assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 16
3.1 Quello che rimane assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 163.2 Contrazione lunghezze . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Dilatazione dei tempi . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 185 Composizione delle velocità . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Invarianza
dell’intervallo spazio-temporale . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 20
IIIFormulazione geometrica 22
1 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 221.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Condizione di
invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 241.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio.
. . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 272.1 Calcolo vettoriale in meccanica
prerelativistica . . . . . . . . . . . . . . 27
3 E in fisica relativistica. . . ? I tensori. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 284 Il calcolo tensoriale. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Algebra tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 30
5.1 Moltiplicazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 315.2 Contrazione degli indici . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Campi tensoriali, quadrigradiente e derivate . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 31
IVMeccanica relativistica 33
1 Grandezze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 332 La quadriforza . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Sistemi di
riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 364 Processi tra particelle (dinamica relativistica) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 374.2 Decadimento a due corpi . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Distribuzione di probabilità
nel decadimento . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Urti tra
particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 43
3
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4 INDICE
4.5 Le variabili di Mandelstam . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 444.6 Gli urti veri e propri . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
V Elettromagnetismo 47
1 Il sistema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 472 Il tensore Fµν . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Fµν sotto
trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 514 La δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 535 La quadridensità di corrente . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 Moti di
particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 56
II La tesi 59
VI Il problema dell’etere 60
VIIPoincaré 62
1 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 622 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Ulteriori
sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 65
VIIIEinstein 67
1 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 682 Composizione delle velocità ed
equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 693 Significato
fisico delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 69
IX Un tentativo di confronto. . . 71
1 Il punto di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 712 Il principio di relatività . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Il concetto
di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 724 La relatività dei tempi e delle lunghezze . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 735 Una nuova dinamica . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Etere . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 74
Bibliografia 75
Indice analitico 76
X GNU Free Documentation License 77
1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 772. VERBATIM COPYING . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 783. COPYING IN QUANTITY . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.
MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 795. COMBINING DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 806. COLLECTIONS OF DOCUMENTS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. AGGREGATION WITH
INDEPENDENT WORKS . . . . . . . . . . . . . . . . 818. TRANSLATION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 819. TERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 8110. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82ADDENDUM: How to use this
License for your documents . . . . . . . . . . . . . . 82
G.L.
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Parte I
Il corso
5
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Introduzione
L’anima mia attende il SignorePiù che le sentinelle
l’aurora.
Questa dispensa è nata come pretesto per affinare le mie
capacità con LATEX. Penso di averraggiunto il mio scopo.
Era mia intenzione distribuirla gratuitamente, e per un periodo
di tempo è stato così. Poicambiai opinione, e decisi di lavoravici
per poi venderla al prezzo di due pacchetti di Marlboro.
Voi che leggete non l’avete pagata, quindi ho evidentemente
cambiato di nuovo idea. Per-ché? Be’, i motivi sono tanti, il
principale dei quali è, probabilmente, la filosofia che sta
dietroall’open source, motivo per il quale ora, non solo la
dispensa è gratuita, ma è anche disponibileil suo codice sorgente
(non azzardatevi a cambiare questa pagina . . . )
Ringrazio Alessandro Broggio per l’aiuto datomi nella stesu-ra
di questa dispensa, il professor Zampieri e il professor Zilio,che
m’hanno accompagnato, chi più, chi meno, nel mondo dellamatematica
e della fisica, alle scuole superiori; inoltre ringrazio
ilprofessor Marchetti, che s’è preoccupato di correggermi la
dispen-sa, di fare la tesi con me, e di tenere il corso, nonché di
favorire noistudenti di fronte ai professori di laboratorio del
C.C.S. di fisica,che cercano sempre di rubare ore alle materie più
belle. Il ringra-ziamento più grande va poi a Giuditta, senza la
quale non avreiscritto niente, essendo stata lei a spingermi a
continuare quandodi voglia non ne avevo.
V’è poi la mia mail [email protected],1 attiva per
ricevere suggerimenti che vivengono alla mente, ed errori che
riscontrate, nella lettura di questa dispensa. È anche statamessa
sotto cvs, ma la cosa non mi pare abbia riscosso troppo successo,
in quanto oltre a menessuno l’ha mai modificata. In ogni caso la
potete trovare, coi sorgenti, su
http://spiro.fisica.unipd.it/∼lanzani/public/rel/
Una nota per tutti i computer nerd con mille suggerimenti
stilistici: cercate di concentrarele vostre energie nel correggere
la “sostanza” della dispensa.
Parlando del corso: non preoccupatevi per la notazione
tensoriale: sarebbero necessariesercizi semplici per impratichirsi.
Il resto è tutto abbastanza facile, e, soprattutto bello.Forse
potrà risultare ancora più interessante leggere la mia tesi di
laurea, che costituisce laseconda parte della dispensa. Non è molto
difficile, e penso che una volta terminato il corso(ma anche
prima), sarete perfettamente in grado di apprezzarne il valore.
Il corso si conclude con un’ora di relatività generale, durante
la quale, ovviamente, non s’ènemmeno avuto il tempo di farsi una
vaga idea di quello che è la relatività generale, e perciònon la
riporto.
Giovanni Lanzani
1Ho una ragazza, studio, sono in Erasmus in Olanda, da dove,
spero, non tornerò: quindi non ho tutto iltempo libero che avete
voi: pazientate se non vi rispondo subito.
6
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Capitolo I
Note storiche
Indice
1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell 7
1.1 Esperimento sull’aberrazione 8
1.2 L’esperimento di Michelson e Morley 82 Princìpi di
relatività 10
Come nasce la relatività ristretta, altrimenti detta speciale?
Nasce dal tentativo, riuscito,di conciliare meccanica newtoniana ed
elettromagnetismo. Einstein stesso scrive a proposito:
La teoria della relatività nasce necessariamente, per la
presenza di serie e profondecontraddizioni, dalle quali sembrava
non ci fosse uscita. La forza della nuova teoriasta nella
consistenza e semplicità con cui risolve queste difficoltà, usando
poche,ma convincenti, assunzioni.
Ma dove queste teorie, elettromagnetismo e meccanica, erano in
disaccordo? Sostanzialmentesembrava che non si trovasse un gruppo
di sistemi di riferimento in cui le leggi dell’elettro-magnetismo
avessero la stessa forma, ovvero per avere una descrizione dei
fenomeni fisica,sembrava fosse necessario modificare le leggi
dell’elettromagnetismo a seconda del sistema diriferimento in cui
ci si trovava.
Si ipotizzò dunque che fossero le leggi per passare da un
sistema di riferimento all’altro adessere sbagliate, ma a questo
punto si rendeva necessario cambiare le leggi della meccanica daun
sistema di riferimento all’altro.
Prima di poter procedere è tuttavia necessario dare una
definizione precisa di sistema diriferimento, in maniera da evitare
errori o imprecisioni:
0.1 Definizione. Un sistema di riferimento è l’insieme di un
sistema di coordinate e di orologi,sicronizzati tra loro, in grado
d’associare ad ogni evento un punto dello spazio e un istante
ditempo. Un sistema di riferimento in cui ogni corpo non soggetto a
forze è in quiete o in motorettilineo, è detto sistema di
riferimento inerziale.
La definizione precisa di evento verrà data più avanti, per ora
possiamo prendere la no-zione euristica che abbiamo di esso. Nei
sistemi di riferimento in moto a velocità costanterispetto a quello
delle stelle fisse, le leggi della meccanica assumevano la stessa
forma tramitele trasformazioni (1.0.1). Quindi la terra poteva
considerarsi un ottimo laboratorio, in quantol’accelerazione che
essa aveva, rispetto a tale sistema, poteva dirsi trascurabile.
Questo eravero se, come detto, per collegare due sistemi di
riferimento si utilizzavano le (1.0.1). Piùprecisamente, detti S ed
S′ i due sistemi inerziali, S′ in moto con velocità v rispetto ad
S(velocità costante in direzione e modulo), si aveva che, se
t,x coordinate in S t′,x′ coordinate in S’
allora {x′ = x + vt (†)t′ = t
(1.0.1)
7
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8 1. L’ETERE E L’ELETTROMAGNETISMO DI MAXWELL
Si aveva poi l’invarianza degli intervalli temporali, ossia:
∆t = ∆t′ (1.0.2)
e degli intervalli spazialil = |∆x| = |∆x′| = l′ (1.0.3)
Vi era poi il:
0.2 Teorema (di addizione delle velocità).
v′ =d
dtx′ =
d
dtx + v = v + v
Tale teorema si ottiene derivando (†), ed esso asserisce che non
esiste una velocità assoluta.Come anticipato prima, tuttavia, con
queste trasformazioni le leggi dell’elettromagnetismo nonpotevano
essere valide in tutti i sistemi di riferimento. Vediamo come.
1 L’etere e l’elettromagnetismo di Maxwell
Prendiamo l’equazione delle onde elettromagnetiche:(
1
c2· ∂
2
∂t2−∇2
)E(x, t) = 0 (al posto di E si può avere B);
nell’800 ritenevano che c fosse la velocità della luce
nell’etere luminifero (che porta la luce).Perché si parlava di
etere? Come prima accennato, le leggi dell’elettromagnetismo non
avevanola stessa forma in tutti i sistemi di riferimento, e quindi
l’elegante forma proposta da Maxwellera corretta solo in un
particolare di questi sistemi. Si ipotizzò questo sistema uguale al
sistemadi riferimento delle stelle fisse, e lo si ribattezzò etere,
il sistema in cui le leggi di Maxwell eranovere senza bisogno di
modifiche. Vedere che in altri sistemi di riferimento queste
modificheerano necessarie, non è di difficile constatazione: si
prenda infatti un’onda elettromagnetica(che ha la stessa velocità
di propagazione della luce) nel sistema S. Essa ha velocità c,
poichéper l’elettromagnetismo la velocità di propagazione di tale
onda è
c =1√µ0ε0
; (1.1.1)
se S′ si muove con velocità v in direzione e verso dell’onda
elettromagnetica, esso rileva la luceavere velocità c′ = c − v, per
il teorema appena visto. Ma allora non sarebbe più valida
larelazione (derivata dalle normali equazioni di Maxwell)
c′ =1√µ0ε0
essendo µ0 e ε0 costanti e c′ la velocità della luce per
l’osservatore di S′. Se ne deduce cheuna, ed una sola, delle
seguenti ipotesi dev’essere vera:
Prima ipotesi Le leggi della meccanica sono covarianti per
cambiamento di sistema di riferi-mento inerziale, ma non lo sono le
leggi dell’elettromagnetismo; le trasformazioni (1.0.1)sono
giuste.
Seconda ipotesi Le leggi della meccanica e
dell’elettromagnetismo sono covarianti per cam-biamento di sistemi
di riferimento inerziale, le trasformazioni (1.0.1) sono giuste, ma
ilmodo in cui sono scritte le leggi dell’elettromagnetismo è
sbagliato.
Terza ipotesi Le leggi della meccanica e dell’elettromagnetismo
sono covarianti per cambia-mento di sistemi di riferimento
inerziale, il modo in cui sono scritte le leggi
dell’elettro-magnetismo è giusto (si lascia dunque spazio ad
un’eventuale riscrittura delle leggi dellameccanica), ma le
trasformazioni (1.0.1) sono sbagliate.
G.L.
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CAPITOLO I. NOTE STORICHE 9
L’ipotesi corretta la avanzò Einstein, e verrà affrontata
dopo.Nelle tre ipotesi abbiamo fatto uso del termine “covarianti”:
cosa significa? Una legge fisica
è covariante quando ha la stessa forma per tutti i sistemi di
riferimento inerziali; ad esempionel sistema di riferimento S la
seconda legge di Newton si scrive
F = ma;
cambiando sistema di riferimento, sarà necessario usare delle
trasformazioni di coordinate perpoter scrivere la legge nel nuovo
sistema; ebbene, usando le trasformazioni di Galileo e le
leggidella meccanica conosciute, nel nuovo sistema di riferimento
la “trasformazione” della secondalegge di Newton è
F′ = m′a′,
dove m = m′: dunque la legge della meccanica ha la stessa forma
in entrambi i sistemi diriferimento, e si può parlare di
covarianza.
Assumendo dunque che l’esistenza dell’etere, era possibile
trovare il moto della terra rispet-to a tale sistema? Vediamo ora
due esperimenti che rispondono a tale domanda in
manierainconciliabile.
1.1 Esperimento sull’aberrazione
⋆
→v
Figura 1.1: Luce stellareincidente sul telescopio
Consideriamo il telescopio in figura 1.1. Ci proponiamo di
an-dare a verificare l’angolo di inclinazione che esso deve avere
perpoter osservare la luce proveniente da un corpo celeste. Se
laterra si muovesse con una certa velocità rispetto a tale
stella,le cose andrebbero come in figura, e il telescopio, senza
alcunangolo di inclinazione, sarebbe inservibile. Infatti da quando
ilraggio della stella entra nel telescopio, a quando raggiunge
l’or-dinata dell’obbiettivo (consideriamo la stella, qualsiasi essa
sia,solidale all’etere), il telescopio si sposta e la luce non
colpiscel’obbiettivo. Quindi è necessario inclinare il telescopio.
Chiamia-mo l’angolo di inclinazione ϑ (è l’angolo formato dalla
terra e dallato più corto dell’obbiettivo). Per valutare
approssimativamentela velocità della terra rispetto al sistema
delle stelle fisse, consi-deriamo il sole come una stella fissa; la
distanza terra sole valeRT S = 150 · 109 m. Il periodo di
rivoluzione attorno al sole valeT = 365 gg =⇒ v = 3 · 104 m/s. Se
il telescopio è lungo l (farsiun disegno per meglio capire), il
tempo di percorrenza della luceè t = l cosϑ/c. La distanza percorsa
dal telescopio in t è x = vt. L’angolo ϑ risulta dunque:
tanϑ =vt
l cosϑ=
vt
ct≈ 10−4
Come si vede quest’angolo è molto piccolo, ma le misure sono in
accordo con la teoria, cioè èeffettivamente necessario inclinare i
telescopi di ϑ per poter osservare i raggi celesti.1
1.2 L’esperimento di Michelson e Morley
L’esperimento di Michelson e Morley, effettuato per la prima
volta nel 1881, era stato ideatoper trovare la velocità della luce
rispetto all’etere. L’esperimento è schematizzato in figura 1.2a
fronte. Spieghiamo cosa succede. La terra si muove con velocità v
rispetto all’etere(secondo le convinzioni dell’epoca). Dunque i
raggi che colpivano lo specchio semirifrangente,e si propagavano in
direzione verticale, facevano un percorso, nel sistema di
riferimento etere,come quello in figura 1.3 nella pagina successiva
(tener ben presente il fatto che una voltaraggiunto uno specchio,
la luce si propaga come un’onda emisferica). Dal disegno si capisce
(è
1Tuttavia quest’esperimento non fu considerato decisivo, poiché
esso utilizzava le apprissimazioni di otticageometrica
dell’elettromagnetismo.
G.L.
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10 1. L’ETERE E L’ELETTROMAGNETISMO DI MAXWELL
-�
��
6
Specchio semi-rifrangente
�� �� �� �� ��
? -����������
?
?
L
6
� -
Specchio
L
Specchio
Sorgente
�Rilevatore
◮
Figura 1.2: Schema dell’esperimento di Michelson e Morley, visto
nel sistema di riferimentosolidale alla terra
��������B
BBBBBBN��
�� �� �� �� �� �� ��Specchio
Specchio semi-rifrangentevt
l
ct
Figura 1.3: Percorso della luce in direzione verticale
sufficiente usare il teorema di Pitagora) che (ct)2 = l2 +
(vt)2, da cui risulta:
t⊥ = 2t =2l
c
1√1 − v2c2
. (1.1.2)
L’altro raggio invece fa il percorso, nell’etere, in figura 1.4.
Si può facilmente capire che
��
�Specchio semi-rifrangente
-�
������������
︸ ︷︷ ︸L
Specchio
Figura 1.4: Percorso della luce in direzione orizzontale
t� =l
c−v +l
v+c , da cui:
t� =2l
c· 11 − v2c2
(1.1.3)
Dal momento che v
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CAPITOLO I. NOTE STORICHE 11
In definitiva t�−t⊥ ≃ v2lc3 . Sempre facendo riferimento alla
figura 1.2 nella pagina precedente, si
vede che i raggi, dopo esser tornati indietro, interferivano.
Con un interferometro (il rivelatoredella figura), si poteva
misurare quest’interferenza. Lo sfasamento spaziale, in termini
dilunghezza d’onda, è:
∆λ = c(t� − t⊥) ≃v2l
c2
Il numero di frange che si doveva dunque rilevare con
l’interferometro era:
∆n
n=
∆λ
λ=
l
λ
v2
c2
L’esperimento del 1887 (quello eseguito con i migliori
accorgimenti per diminuire gli errori dimisura), aveva l = 11m, λ =
6 · 10−7m, vc = 10−4. Da questi dati risulta ∆n/n = 0.18±
0.01.Tuttavia i risultati sperimentali davano n = 0: questo fatto
rimaneva inspiegabile: l’etere simuoveva con la terra? Come era
possibile interpretare tale fenomeno?
Osservazione (Fitzgerald e Lorentz). Una prima risoluzione del
problema fu avanzata da Fitz-gerald (1889), il quale asseriva che
il braccio parallelo alla direzione del moto, si contraeva diun
fattore
√1 − v2/c2. Poi venne Lorentz, che affermò che, nel caso fosse
vera la contrazione di
Fitzgerald, allora anche i tempi del sistema in moto rispetto
all’etere dovevano dilatarsi dellostesso fattore
√1 − v2/c2. In tal modo egli trova le trasformazioni tra i
sistemi di riferimento
che portano il suo nome (e che andremo a ricavare dopo).
2 Princìpi di relatività
Successivamente la cosa venne affrontata da un punto di vista
matematico: tra il 1902 e il1905, Poincarè si avvicinò al principio
di relatività einsteniano, dicendo:
2.1 Principio (di Relatività di Poincarè). Le leggi della fisica
devono essere covarianti (averecioè la stessa forma) per sistemi
inerziali.
Poincarè trovò dunque le trasformazioni di coordinate che resero
l’elettrodinamica compa-tibile con il principio di relatività. Tali
trasformazioni sono le trasformazioni di Lorentz, checostituiscono
un gruppo; tale gruppo può essere ampliato ulteriormente,
mantenendo la suastruttura, dando origine al gruppo di
Poincarè.
Venne poi la volta di Einstein (1905), il quale pose alla base
della sua teoria due principi:
➀ Principio di relatività
➁ La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi di
riferimento inerziali
Quale fu la grande innovazione di Einstein rispetto a Poincarè?
Il fatto che egli eliminò ilconcetto di etere.2
Successivamente, dall’invarianza di c, Einstein, con una serie
di esperimenti ideali, ricavòtutta una serie di leggi, tra cui le
trasformazioni di Lorentz. Cominciamo con lo scrivere gliassiomi
alla base della sua teoria.
➊ Omogeneità e assolutezza dello spazio e del tempo, e isotropia
(non vi sono differenzetra le direzioni) dello spazio. 3
2Ad inizio capitolo abbiamo imbrogliato il lettore, dicendo che
la relatività ristretta nasce per i contrastitra elettromagnetismo
e meccanica: Einstein, nello sviluppare la sua teoria, venne invece
mosso dalla convin-zione che non potesse esistere un sistema di
riferimento privilegiato, ovvero di un moto assoluto, che
portassedelle asimmetrie nell’elettromagnetismo; che questo
risolvesse i contrasti di cui abbiamo parlato è un altrodiscorso,
poiché non era possibile risolvere il dilemma di Einstein senza
appianare i contrasti tra meccanica edelettrodinamica.
3In realtà questo primo assioma era implicito nella sua
trattazione
G.L.
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12 2. PRINCÌPI DI RELATIVITÀ
➋ Si ha l’equivalente del principio di relatività di
Poincarè:
2.2 Principio (di Relatività einsteniano). Le leggi della fisica
hanno la stessa forma intutti i sistemi inerziali.
➌ La velocità della luce nel vuoto4 è la stessa in tutti i
sistemi di riferimento inerziali
2.3 Osservazione. Osserviamo che ➊ era valido anche prima della
teoria della relatività diEinstein
2.4 Osservazione. Nella fisica pre-relativistica ➋ era
sostituito dal principio di relatività gali-leiano, il quale
asseriva:
2.5 Principio (di Relatività di Galileo). Le leggi della
meccanica hanno la stessa forma intutti i sistemi inerziali.5
2.6 Osservazione. In fisica pre-relativistica ➌ era sostituita
dall’invarianza degli intervallispaziali (1.0.3) e temporali
(1.0.2)
4Ossia assenza di materia5Come già notato, ciò era impossibile
per l’elettromagnetismo, se si usavano le trasformazioni di
Poincaré.
G.L.
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Capitolo II
Relatività Einsteniana
Indice
1 Glory & Consequences 122 Le trasformazioni di Lorentz 133
Relativo ed assoluto 16
3.1 Quello che rimane assoluto 16
3.2 Contrazione lunghezze 17
3.3 Dilatazione dei tempi 174 Considerazioni 185 Composizione
delle velocità 196 Invarianza dell’intervallo spazio-temporale
20
Einstein a questo punto si premura di costruire il suo sistema
basato su ➊, ➋, ➌. Comecomincia? Prendiamo una sbarra lunga l in un
sistema di riferimento inerziale, che chiamiamoS. Per prima cosa
Einstein asserisce che assumere che ogni sistema di riferimento
inerzialeveda la sbarra lunga l non è, a priori, un’ipotesi
giustificata. Come si misura la lunghezza inmoto? Per concretizzare
prendiamo una sbarra PQ, solidale con il sistema S, il quale si
muovecon velocità v rispetto al sistema S′; l’osservatore della
sbarra misura la lunghezza della sbarracon un metro (la sbarra è
ferma rispetto a lui); l’osservatore in S′ può fotografare la
sbarra emisurare la fotografia, di modo che gli estremi P e Q siano
osservati allo stesso istante nel suosistema di riferimento. Si ha
che
S′ dice che la sbarra misura l′
S dice che la sbarra misura l
Einstein afferma che nulla, dal punto di vista logico, mi
garantisce l = l′. Quindi nonè affatto detto che le misure di
lunghezza rimangano inviariate passando da un sistema diriferimento
all’altro.
1 Glory & Consequences
Diamo innanzi tutto la definizione di evento:
1.1 Definizione. Gli eventi, dal punto di vista fisico, sono le
minime determinazioni spazio-temporali possibili; un evento, nei
diagrammi spazio-temporali è rappresentato da una coordi-nata
spaziale (saranno (x1, x2, x3)), ed una coordinata temporale (sarà
indicata come x0).1
La metrica spazio-temporale per questi eventi sarà
ds2 = dt2 − dx2 (2.1.1)
1Dato che non sono capace di disegnare in 4-D, e d’altronde voi
non siete capaci di vedere in 4-D (eccettoCandilera), sopprimiamo
dai nostri disegni le altre due coordinate spaziali, con le quali
siamo abituati a trattare.
13
-
14 2. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Prendiamo in considerazione un diagramma (vedi figura 2.1) dove
come ascisse abbiamo le x,e come ordinate abbiamo ct. I diagrammi
che andremo a considerare descriveranno dunque lospazio tempo,
assumendo che esso sia una varietà differenziale a 2 (o a 4)
dimensioni 2. Talidiagrammi, detti diagrammi di Minkowski,
rappresentano lo spazio quadridimensionale con lametrica data dalla
(2.1.1), e questo spazio fornito di tale metrica è detto spazio di
Minkowski.In questo diagramma tutti i raggi di luce che vi vengono
rappresentati, sono inclinati di 45◦,poiché c = x/t. La traiettoria
del fascio di luce deve quindi essere la bisettrice tra asse
spazialeed asse ct.3 Consideriamo un corpo A e un corpo B.
L’origine sia O. A e B abbiano distanzeuguali rispetto ad O. Si
faccia riferimento alla figura 2.1
ct
A BO x
Figura 2.1: Traiettoria di due punti fermi colpiti da un raggio
di luce
Se i due corpi sono fermi le loro traiettorie sono rette
parallele a ct. Un raggio di luce cheparte da O, li colpisce allo
stesso istante se AO = OB, come già assunto. Cambiamo ora lecose.
Siano i due corpi in moto con velocità v rispetto ad S (siano cioè
solidali ad un sistemaS′).
Facendo riferimento alla figura 2.2 nella pagina successiva,
siano A′ e B′ solidali a S′,immagini di A e B t.c. AO = OB. Per S′
la situazione è uguale a quella vista in precedenza,e dunque gli
aventi A′ e B′ sono simultanei in S′; infatti la luce interseca la
linea di universodi A′ e di B′ (che sono le stesse di A e B, ma
ritorneremo su questo nel paragrafo 3.1 nellapagina 16) nello
stesso t′ (usando ➋ e ➌). In S′, tuttavia i due eventi non sono più
simultanei(basta proiettarli sull’asse ct per accorgersene).
Allora:
1.2 Osservazione. Eventi contemporanei in un sistema possono non
esserlo in un altro sistema.
2 Le trasformazioni di Lorentz
Riprendiamo il discorso del capitolo precedente da un punto di
vista algebrico. Come primasia S′ sistema di riferimento inerziale
in moto con velocità v rispetto ad S. Tempi e moti congli apici si
riferiscono ad S′; senz’apici ad S.
Consideriamo la traiettoria di un moto fermo in S′: x′ = x′0,
indipendentemente da t′. Tale
moto in S soddisferà la relazione x − vt = x0, con x0
indipendente da t. Allora, dacché x0 e
2Ovvero esso è continuo, differenziabile, con topologia
localmente omeomorfa ad R2, o R4, separabile, conbase di intorni
numerabile (e può perciò essere metrizzabile).
3Come conseguenza del fatto che la velocità della luce è uguale
in tutti i sistemi.
G.L.
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CAPITOLO II. RELATIVITÀ EINSTENIANA 15
45°45°
ct ct′
A BO
A′
B′
x′
x
Figura 2.2: Traiettoria di due punti in movimento colpiti da un
raggio di luce
x′0 sono costanti rispetto a t, si può scrivere:
x− vtx′
= α costante. (2.2.1)
Da qui ricavo αx′ = x− vt. Per reciprocità, scambiando S con S′
e v con −v, ottengo:
x′ + vt′
x= α (2.2.2)
Combinando la (2.2.1) con la (2.2.2), in modo da eliminare
x′:
t′ =1
α
(t+
α2 − 1v
x
)(2.2.3)
Se impongo che t = t′ ottengo α = 1 e x′ = x − vt. Tuttavia per
avere la relatività ristrettanon devo imporre α = 1, bensì c =
costante, cioè x′ = ct′ e x = ct. Sostituendo quest’ultimerelazioni
dentro (2.2.1) e dentro (2.2.2) ottengo:
αct′ = ct− vt
αct = ct′ + vt′
Facendo il prodotto tra le due ottengo
α = ±√
1 − v2
c2
Dacché per v = 0 si ha α = 1, alla fin fine:
α =
√1 − v
2
c2
Posso dunque ricavare le equazioni
x′ = x−vtq1− v
2
c2
(deriva da (2.2.1))
t′ =t− vx
c2q1− v
2
c2
(deriva da (2.2.3))
G.L.
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16 2. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
∆s2 = 0 ∆s2 = 0
∆s2 > 0
∆s2 > 0
∆s2 < 0∆s2 < 0
Figura 2.3: Come variano le iperboli al variare della
costante
Se introduciamo gli assi x e ct otteniamo le trasformazioni di
Lorentz
x′ =x− v
cctq
1− v2
c2
ct′ =ct− vx
cq1− v
2
c2
(2.2.4)
A questo punto possiamo dimostrare che l’intervallo spazio
temporale s2 è invariante
(x′)2 − (ct′)2 = 11 − v2c2
[(x − vt)2 − (ct− v
cx)2]
= x2 − (ct)2
Perciò se pongo (c dt)2−x2 =cost, ne esce l’equazione di un
iperbole, e cost è la stessa per tuttii sistemi di riferimento
inerziali. Una volta trovate le (2.2.4) ci accorgiamo che esse
valgonoper velocità minori strettamente di c. Infatti guardando il
denominatore delle trasformazioni,ci accorgiamo che deve valere la
relazione:
1 − v2
c2> 0
1 − v2
c2> 0 =⇒ c2 − v2 > 0 =⇒ c > v
Quindi le trasformazioni di Lorentz connettono solo particelle
che hanno velocità strettamenteminore di c.
Riprendiamo per un attimo la discussione sulla quantità
inviarante prima trovata. A se-conda che la costante sia maggiore,
minore, o uguale a 0 si hanno le situazioni in figura 2.3.
Le iperboli sovrastanti gli asintoti, e sottostanti ad esse,
sono quelle con cost > 0, e sonole uniche che possono
verificarsi (assieme agli asintoti), in quanto solo per esse vale v
< c. Sigiunge così alla rappresentazione del cono di luce di un
punto (nel nostro caso, quello dellafigura 2.4 nella pagina
successiva). Cos’è questo cono di luce? Prendiamo due raggi di luce
chesi propagano da O, nella direzione delle x, con verso opposto.
Essi descriveranno la traiettoriache, se unita, darà origine al
semicono superiore. Discorso analogo per due raggi di luce
chearrivano contemporaneamente in 0: essi descriveranno il semicono
inferiore. L’unione di questidue semiconi viene detto cono di luce
(in quanto formato da raggi di luce.). Spieghiamo piùin dettaglio
il vantaggio dell’introduzione del cono di luce. Prendiamo gli
eventi A e B deldiagramma in figura. L’intervallo ds sarà positivo.
Poiché tale intervallo è invariante sottotrasformazioni di Lorentz,
qualsiasi altro sistema di riferimento vedrà tale intervallo
positivo.
G.L.
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CAPITOLO II. RELATIVITÀ EINSTENIANA 17
x per ct=0
ct per x = y = z = 0
B
A
D
E
Figura 2.4: Cono di luce
Tali intervalli si dicono di tipo tempo (ogni intervallo
puramente temporale è infatti positivo.)Gli eventi all’esterno del
cono di luce saranno invece separati da intervalli negativi,
chiamati ditipo spazio. Agli eventi sulle bisettrici degli assi
saranno invece associati intervalli di tipo luce,pari ovvero a 0. È
facile rendersi conto che gli eventi D ed E possono essere
contemporanei,in qualche opportuno sistema di riferimento. Gli
altri due eventi invece no. Per questo sidice che A e B stanno,
rispettivamente, nel cono del futuro e nel cono del passato, in
quantoappartegono al futuro e al passato assoluti dell’origine
degli assi (a questo punto è facile capirecosa voglia dire passato
e futuro assoluti). Quindi, guardando il cono di luce di un punto,
èsubito possibile capire molte cose sulla “sistemazione” temporale
dell’evento, in relazione adaltri eventi.
Si capisce anche che eventi che non appartengono al futuro o
passato assoluto, non possonoessere congiunti ad O tramite
traiettorie. Questo si vede geometricamente considerando latangente
di tale traiettoria, la quale risulterebbe minore di uno, ossia
cdtdx < 1 =⇒ v > c,assurdo.
2.1 Osservazione. Possiamo a questo punto notare che il fatto di
poter essere contemporaneiimplica che non è possibile che
un’informazione che parte da uno di questi due eventi,
possaraggiungere l’altro evento, in nessun sistema di riferimento,
proprio perché dovrebbe compiereuna traiettoria con tangente
(almeno in taluni punti), minore di uno. Questo rende conto
dellafinitezza della velocità di propagazione
dell’informazione.
3 Relativo ed assoluto
Ci proponiamo in questa sezione di analizzare, come si
comportano lunghezze e tempi nellateoria della relatività speciale:
il punto cruciale risulterà nel trovare, ancora una volta,
risultatiin netto contrasto con le nostre convinzioni.
3.1 Quello che rimane assoluto
Nel moto di un corpo visto da diversi osservatori rimane
assoluta l’immagine del corpo nellospazio tempo (ciò che viene
chiamato la sua linea di universo). Immaginiamo infatti di
prendereun oggetto fermo nel sistema di riferimento S, di assi x e
ct. Sia il corpo lungo un’unità
G.L.
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18 3. RELATIVO ED ASSOLUTO
(ragioniamo adimensionalmente, le cose non cambiano nella
sostanza). Se il corpo è lungoun’unità, si ha:
x2 − (ct)2 t=0= 1 =⇒ [x]t=0 = 1 (2.3.1)per cui ∀t x2 − (ct)2 = 1
(2.3.2)
e, dacché questo è invariante, tutti gli osservatori vedono la
sbarra, nello spazio tempo, allostesso modo in cui la vede
l’osservatore solidale alla sbarra, benché il modo in cui
siadecomposta in spazio e tempo dipenda dall’osservatore. Il fatto
che tempi e lunghezzesiano “distribuite” in maniera diversa, si
ripercuote, portando alla contrazione di tempi elunghezze.
3.2 Contrazione lunghezze
Per quel che riguarda la contrazione delle lunghezze, prendiamo
la lunghezza del regolo unitarioa riposo in S′, misurata da S′,
pari a ∆x′. Sia ∆x la lunghezza del regolo unitario a riposo inS′,
misurata da S. Allora, tramite le trasformazioni di Lorentz
(2.2.4):
∆x′ = x′B − x′A =xB − vtB√
1 − v2c2− xA − vtA√
1 − v2c2
Se sono interessato alla misura effettuata da S, devo porre tA =
tB, e quindi:
∆x = ∆x′ ·√
1 − v2
c2< ∆x′
3.3 Dilatazione dei tempi
Per vedere come i tempi sono “influenzati” da un cambio di
sistema di riferimento (Attenzione:dobbiamo imporre che lo spazio
sia lo stesso se vogliamo andare a misurare i tempi)prendiamo in
considerazione la misura del tempo di S′, fatta da S. Se voglio
misurare il tempoin S′, ∆x′ deve essere 0, come sopra ricordato.
Dunque:
∆t′ =∆t− vc2 ∆x√
1 − v2c2
∆x′ = 0 =∆x− v∆t√
1 − v2c2=⇒ ∆x = v∆t
=⇒ ∆t′ = ∆t 1 −v2
c2√1 − v2c2
= ∆t
√1 − v
2
c2
=⇒ ∆t = ∆t′
√1 − v2c2
> ∆t′.
Parlando di tempo, ci tornerà molto utile introdurre il tempo
proprio, tramite la seguente
3.1 Definizione. Il tempo proprio τ è il tempo misurato da un
orologio in un sistema diriferimento in cui egli è fisso rispetto
ad esso.
A noi risulterà comoda una definizione più “operativa”, ovvero
si parlerà di intervallo ditempo proprio tra due eventi solidali al
moto dell’orologio, come il tempo necessario a quest’ul-timo per
misurare l’intervallo tra questi due eventi, essendo questi fermi
rispetto all’orologio;il quadrato dell’intervallo spazio temporale
avrà perciò la forma:
ds2 = c2dτ2;
G.L.
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CAPITOLO II. RELATIVITÀ EINSTENIANA 19
in un altro sistema di riferimento invece
ds2 = c2dt′2 − dx2 = c2dt′2(1 − v2
c2),
il che implica dτ = dt′/γ e
∆τ =
∫ B
A
√1 − v
2
c2dt′.
4 Considerazioni
4.1 Esempio (Paradosso dei gemelli). A conferma di questo
citiamo il famoso paradosso deigemelli: uno dei due sale su un
razzo con velocità prossima alla velocità della luce, l’altrorimane
sulla terra. Quando quello che era sul razzo torna indietro risulta
più giovane. Perché?Considerando il diagramma spazio tempo, ci
accorgiamo che il sistema razzo , quando essotorna verso la terra,
cessa per un momento di essere inerziale (e se deve passare da
velocitàprossime a c in una direzione, a velocità prossime a c
nell’altra direzione, dovrà accelerare dimolto), quindi non
possiamo utilizzare le trasformazioni della relatività ristretta.
Tuttavia,detto ∆τ il tempo proprio del razzo, possiamo
prendere:
∆τ = (∆t)T
√1 − v
2
c2(2.4.1)
Assumendo che la (2.4.1) sia vera per intervalli infinitesimi,
possiamo scrivere:
dτ = (dt′)T
√1 − v
2
c2(2.4.2)
e questa è corretta se v varia nel tempo. Ora, anche se un punto
P ′ non è in moto uniformerispetto al sistema S, possiamo
considerare istante per istante (istanti t, non t′), il sistemadi
riferimento inerziale S′(t), la cui velocità coincide con quella di
P ′ all’istante t. Se oraconsideriamo che il razzo, tornando
indietro, passi da velocità v a velocità −v istantaneamente,si ha
(poiché v è al quadrato nella formula):
t′2 − t′1 = (t2 − t1)√
1 − v2
c2.
Questo risultato si rivela corretto, ma ci chiediamo: se siamo
passati istantaneamente davelocità v a velocità −v, perchè il
gemello non vede le cose simmetricamente rispetto al gemellosulla
terra? Ovvero perché egli non vede che il gemello sulla terra è
invecchiato della stessaquantità di quanto sia invecchiato lui? Il
motivo sta nel fatto che egli non può fare questoragionamento (o
meglio, può farlo, ma si sbaglierebbe) poichè nell’inversione di
velocità luicambia sistema di riferimento, e quindi non è possibile
applicare le trasformazioni da noitrovate, in quanto esse valgono
solo se non cambiamo sistema di riferimento in itinere. Ilgemello
della terra invece può sempre usarle, in quanto non cambia mai il
proprio sistema diriferimento.
4.2 Esempio (Decadimento Π0). La prova sperimentale della teoria
sopra esposta vienedagli acceleratori di particelle. Consideriamo
ad esempio la particella neutra Π0 (pione);quest’ultima nel suo
sistema di riferimento (solidale alla particella) ha un tempo di
vita medioτ = 2 · 10−8s; cioè dopo un tempo τ il pione decade e si
ha l’emissione di raggi gamma. Π0raggiunge una velocità v tale che
β ≡ vc = 0.99995; quindi:
τ ′ =τ√
1 − β2= τγ dove
1√1 − β2
≡ γ
Si ha che γ ≃ 100. Di conseguenza il tempo medio di vita che noi
osserviamo è circa 100 voltesuperiore. Calcoliamo ora la distanza
percorsa nell’acceleratore da Π0; essa sarà L = vτγ ≃
G.L.
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20 5. COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
600m, mentre, non considerando gli effetti relativistici
otteniamo L = vτ ≃ 6 m (fare beneattenzione però: il Π0 nel sistema
di riferimento laboratorio decade dopo 600 m, ma nel suosistema di
riferimento vede lo spazio contratto, e quindi uguale a 600 m/γ = 6
m); la differenzafra i due percorsi è bene osservabile. Aumentando
la velocità del pione se ne può aumentare iltempo di vita medio; in
generale in questo modo sono possibili esperimenti anche su
particelleche da ferme decadrebbero istantaneamente.
5 Composizione delle velocità
Consideriamo S′(x′,t′) in moto rispetto ad S(x,t) con velocità v
lungo x. Avremo quindi che:
v′x =dx′
dt′=
dx− vdt√1 − v2c2
√1 − v2c2
dt− vc2 dx=
dxdt − v
1 − vc2 dxdt=
vx − v1 − vc2 vx
v′y =dy′
dt′=
dy
dt− vc2 dx
√1 − v
2
c2=
vy1 − vc2 vx
√1 − v
2
c2
v′z =vz
1 − vc2 vx
√1 − v
2
c2
5.1 Osservazione. Sfruttando le trasformazioni di Lorentz
abbiamo ricavato le leggi di com-posizione delle velocità; dobbiamo
però ancora verificare che:
1. se v ≪ c cioè vc ≪ 1 si ritorni ad avere la legge della
composizione delle velocità classica;tuttavia si verifica subito
che:
v′x ≃ vx − v quandov
c≪ 1
v′y ≃ vyv′z ≃ vz
2. se |v| = c ( dove |v| =√v2x + v
2y + v
2z ) allora anche |v′| = c, dato che la velocità della
luce nel vuoto è la stessa per tutti i sistemi di riferimento
inerziali. Nel caso in cui vx = c,vy = 0, vz = 0 cioè che la luce
si muova parallelamente a v lungo x si ha che:
v′x =vx − v
1 − vc2 vx=c− v1 − vc
= c
v′y = 0
v′z = 0
Un’altra possibilità è il caso in cui la luce si muova
perpendicolarmente a v cioè: vy = ce vx = vz = 0. Si ottiene:
v′x =vx − v
1 − vc2 vx= −v
v′y =vy
√1 − v2c2
1 − vc2 vx= c
√1 − v
2
c2
v′z = 0
Allora:
|v′| =√v2 + c2(1 − v
2
c2) = c
G.L.
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CAPITOLO II. RELATIVITÀ EINSTENIANA 21
6 Invarianza dell’intervallo spazio-temporale
Cerchiamo in questa sezione di dare alcune nozioni sulle
trasformazioni che lasciano invariatol’intervallo spazio-temporale.
È una generalizzazione della struttura vettoriale e
dell’invarianzasotto rotazioni e traslazioni della meccanica
classica. Diamo ora una definizione importante,ed enunciamo e
dimostriamo in seguito un fondamentale teorema.
6.1 Definizione (Intervallo spazio-temporale). Detti x0 = t, x1
= x, x2 = y, x3 = z,definiamo la grandezza sAB tale che:
s2AB
= (x0A− x0
B)2 − (x1
A− x1
B)2 − (x2
A− x2
B)2 − (x3
A− x3
B)2
Chiaramente se A e B sono lungo una traiettoria di un raggio di
luce, sAB = 0, mentre se A eB sono lungo una traiettoria di una
particella massiva, si ha |v| < c =⇒ sAB > 0.
6.2 Teorema. L’intervallo spazio-temporale tra due eventi è un
invariante per trasformazionitra sistemi di riferimento
inerziali.
Dimostrazione. Dimostriamo il tutto per intervalli infinitesimi,
e poi estendiamo il nostroragionamento a intervalli finiti; sia
dunque xµB = x
µA +dx
µ4, nel sistema di riferimento inerzialeS; dobbiamo mostrare
che:
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2
è invariante5. Prendiamo in considerazione un altro sistema di
riferimento, sia esso S′; perpassare da un sistema di coordinate
all’altro si usi la funzione:
x′µ
= fµ(x)
dove f è una trasformazione che dipende da(x0, x1, x2, x3
). Possiamo allora scrivere:
dx′µ
=3∑
ν=0
∂fµ(x)
∂xνdxν (2.6.1)
La condizione di omogeneità implica che ∂fµ(x)
∂xν sia costante, in quanto l’intervallo dx′µ non
può dipendere dal punto in cui mi trovo, per l’omogeneità dello
spazio. Pongo ora:
∂fµ(x)
∂xν:= Λµν .
Integrando la (2.6.1), ottengo:
x′µ
=
3∑
ν=0
Λµνxν + aν ,
con a costante. Posso dunque scrivere:
ds′2
= (dx′0)2− (dx′)2 =
3∑
µ,ν=0
[Λ0µΛ
0ν −
3∑
i=1
ΛiµΛiν
]dxµdxν .
Definisco ora:
gµν := Λ0µΛ
0ν −
3∑
i=1
ΛiµΛiν (Osserviamo che è simmetrico)
4La lettera greca µ è un indice, che può assumere i valori da 0
a 3.5Il modo in cui ds2 è stato scritto è impreciso: per i
successivi sviluppi che faremo, sarebbe più opportuno
scrivere ds2 = dx0 ⊗ dx0 − dx1 ⊗ dx1 − dx2 ⊗ dx2 − dx3 ⊗ dx3, ma
consci del fatto che solo gli studenti chehanno seguito il corso di
Analisi delle Varietà Differenziali possono apprezzarlo,
proseguiremo ignorando lanostra imprecisione.
G.L.
-
22 6. INVARIANZA DELL’INTERVALLO SPAZIO-TEMPORALE
Allora si ha:
ds′2
=
3∑
µ,ν=0
gµνdxµdxν .
Considero ora un raggio di luce che si propaga in S lungo x, il
che implica dy = dz = 0. Allora:
0raggio di luce
= (ds′)2 = g00(dx0)2 + 2g01dx
1dx0 + g11(dx1)2 (2.6.2)
g01 = g10 poiché simmetrico;
poi:ds2 = (dx0)
2 − (dx1)2 = 0 =⇒ dx0 = dx1.Allora la (2.6.2) dà:
0 = (ds′)2
= (g00 + g11 + 2g10)(dx0)
2; (2.6.3)
Se il raggio di luce si propaga nella direzione opposta, dx1
cambia segno e dunque:
0 = (ds′)2
= (g00 + g11 − 2g10)(dx0)2
il che implica 2g10 = −2g10, e tale relazione vale se solo se
g10 = 0. Questo ci permette discrivere:
0 = (g00 + g11 + 2g10) = g00 + g11 =⇒ g00 = −g11Per l’isotropia
dello spazio, il raggio di luce potevo sceglierlo propagantesi
anche lungo y olungo z, il che permette di concludere:
−g00 = g11 = g22 = g33
g01 = g02 = g03 = g10 = g20 = g30 = 0
Considero adesso un raggio di luce generico:
0 = (ds′)2
= g00(dx0)
2+ g11(dx
1)2+ g22(dx
2)2+ g33(dx
3)2+
3∑
i,j=1
i6=j
gijdxjdxi =
g00(ds)2
+
3∑
i,j=1
i6=j
gijdxjdxi = 0 +
3∑
i,j=1
i6=j
gijdxjdxi =⇒ gij = 0 se i 6= j
Questo comporta:(ds′)
2= g00(ds)
2; (2.6.4)
domandiamoci a questo punto quanto possa valere g00. Tale
oggetto non può dipendere dax, per l’omogeneità; potrebbe poi
dipendere da |v|, ma non da v, per l’isotropia =⇒ g00 =g00(|v|); se
scambio il ruolo di S e di S′, avremo che l’unica cosa che cambia è
v in −v; allora:
ds2 = g00(| − v|)ds′2 = g00(|v|)ds′2(2.6.4)
= g200(|v|)ds2
=⇒ 1 = g200 =⇒ g00 = ±1; se v = 0, g00 = 1,allora g00 è sempre
1, dunque ds2 = ds′
2 e
gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
G.L.
-
Capitolo III
Formulazione geometrica
Indice
1 Gruppi 22
1.1 Notazioni 23
1.2 Condizione di invarianza 24
1.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz 24
1.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio. 252 Calcolo
vettoriale 27
2.1 Calcolo vettoriale in meccanica prerelativistica 273 E in
fisica relativistica. . . ? I tensori. 284 Il calcolo tensoriale. .
. 295 Algebra tensoriale 30
5.1 Moltiplicazioni tra vettori 31
5.2 Contrazione degli indici 316 Campi tensoriali,
quadrigradiente e derivate 31
La formulazione geometrica della relatività, presentata per la
prima volta da Minkowski,permette di trattare la relatività
ristretta in maniera matematica, e dunque precisa. Questopuò essere
piacevole, o causare sofferenza, a seconda delle inclinazioni
individuali1.
1 Gruppi
Per procedere con la nostra trattazione dobbiamo innanzi tutto
dare la definizione di gruppo,forse già nota al lettore dal corso
di metodi.
1.0 Definizione. Un gruppo G rispetto all’operazione binaria ε è
un insieme che gode delleproprietà seguenti:
1. combinando due elementi di G tramite ε, ottengo un elemento
che appartiene ancora aG ;
2. presi tre elementi qualsiasi di G , siano essi g, h e k, si
ha che vale la seguente uguaglianza:
gε(hεk) = (gεh)εk; (3.1.1)
3. esiste un elemento e, appartenente a G , detto elemento
neutro, tale che, ∀ g ∈ G
eεg = gεe = g (3.1.2)
4. ∀ g ∈ G esiste l’elemento simmetrico g̃ tale che
gεg̃ = g̃εg = e (3.1.3)
1Qualche studente di fisica potrebbe rimembrare che tali furono
le parole usate dal professor FrancescoFassò nell’introdurre il suo
corso di Istituzioni di Fisica Matematica.
23
-
24 1. GRUPPI
1.1 Notazioni
Siamo già entrati in contatto con la notazione con indici, e,
assieme ad essa, con xµ, gµν e Λµν .Ora definiamo il modo con cui
indichiamo trasposta e inversa di Λ e inversa di gµν , e
nellanotazione con indici, e nella notazione matriciale, che potrà,
talvolta, tornarci utile.
Notazione con indici −→ Notazione Matricialexµ −→ xΛµν −→
ΛΛµ
ν −→ Λ̃Λ̂νµ −→ Λ−1gµν −→ Ggµν −→ G−1
Tabella 3.1: Notazioni.
Introduciamo anche la convenzione di Einstein, per la quale se
in una formula vi sonodue indici uguali, uno in alto ed uno in
basso, si intendono sommati; per intenderci:
gµνdxµ =
3∑
µ=0
gµνdxµ (3.1.4)
(ma gµνdx
ρ + gρµdxν 6=
∑
µνρ
(gµνdxρ + gρµdx
ν)
)(3.1.5)
D’ora in poi si ha, inoltre, che le lettere greche varieranno da
0 a 3, quelle latine da 1 a 3; così
gµνxµ =
3∑
µ=0
gµνxµ (3.1.6)
giνxi =
3∑
i=1
giνxi. (3.1.7)
Introdotte queste notazioni, risulterà ovvio scrivere ds2
come
dxµgµνdxν ; (3.1.8)
nella nostra trattazione ci torneranno inoltre comode le
siddette coordinate covarianti, definitenel seguente modo:
xµ = gµνxν , (3.1.9)
ovverox0 = x
0 (3.1.10)
xi = −xi. (3.1.11)Volendo scrivere la (3.1.8) tenendo conto di
queste nuove coordinate, otteniamo
ds2 = dxνdxν ;
come già visto in tabella 1.1, avremo a che fare anche con gµν ,
definito come l’inverso di gµν ,e tale che gµσgµρ = δσρ (delta di
Kroenecker).
La nostra definizione sembrerebbe a prima vista del tutto
inutile, in quanto gµν = gµν ;tuttavia ciò non è in generale vero
(lo è solo per lo spazio tempo piatto in coordinate
cartesiane),dunque la nostra definizione non è
ridondante.Moltiplicando per gµρ ambo i membri della (3.1.9)
otteniamo:
gµρxµ = gµνgµρxν = δν
ρxν , (3.1.12)
G.L.
-
CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 25
xρ = gµρxµ (3.1.13)
da cuids2 = gµνdxµdxν . (3.1.14)
1.2 Condizione di invarianza
Andiamo ora ad analizzare la condizione di invarianza
dell’intervallo spazio temporale.Si sa che:
dxµgµνdxν = dx′µgµνdx
′ν ; (3.1.15)
scrivendo il tutto in forma matriciale:
d̃x G dx = d̃x′ G dx′ (3.1.16)
Le trasformazioni che lasciano invariato l’intervallo avevano la
forma:
x′µ = Λµν xν + aµ;
differenziandodx′µ = Λµν dx
ν .In forma matriciale
dx′ = Λ dx;trasponendo:
d̃x′ = d̃xΛ̃
(3.1.17)
Allora la (3.1.16) può riscriversi:
d̃x G dx = d̃x′ (Λ̃ G Λ) dx′ (3.1.18)
da cui si ricava G = Λ̃ G Λ, o, con l’altra notazione
gµν = ΛµρgρσΛ
σν . (3.1.19)
1.3 Gruppi di Poincaré e Lorentz
Ricapitoliamo: le trasformazioni che lasciano l’intervallo
spazio-temporale invariato sono dellaforma, come già
dimostrato:
x′ = Λx+ a (a ∈ R4; Λ matrice 4 × 4 a valori reali) (3.1.20)
con Λ tale che Λ̃ G Λ = G, affinché l’intervallo sia
inviariante. Queste leggi per le tra-sformazioni costituiscono un
gruppo che ha come elementi {Λ, a}. Le leggi di
composizionesono:
{Λ1, a1} · {Λ2, a2} = {Λ1Λ2,Λ1a2 + a1} (3.1.21)Infatti si ha x′
= Λ2x+ a2 e x′′ = Λ1x′ + a1, e dunque:
x′′ =
x′′ in funzione di x︷ ︸︸ ︷Λ1Λ2x+ Λ1a2 + a1
= (Λ1Λ2)x+ (Λ1a1 + a2)
Componendo la trasformazione Λ1 con Λ2 ottengo quindi la
(3.1.21). Deve poi valere Λ̃1Λ2 G Λ1Λ2 =G. Ma si constata subito
che quanto appena scritto è uguale a:
Λ̃2Λ̃1 G Λ1Λ2 = Λ̃2 G Λ2 = G (3.1.22)
Dunque, effettivamente la (3.1.21) è una legge di composizione.
Si dimostra che è associativae che l’elemento neutro è:
e = {Id, 0} (3.1.23)
G.L.
-
26 1. GRUPPI
e l’inverso è{Λ−1,−Λ−1a} (3.1.24)
è banale verificarlo usando la (3.1.21). Il gruppo così ottenuto
con elementi {Λ, a} è dettoGruppo di Poincaré P.
Il gruppo che si ottiene ponendo a = 0 è detto Gruppo di Lorentz
L e si osserva immedia-tamente che L ha quattro componenti
connesse; infatti una prima suddivisione è
detG = −1 = det(Λ̃ G Λ) Teorema di Binet= det(Λ̃) det(G) det(Λ)
detG=−1= −(detΛ)2
=⇒ det Λ ={
+1 → L+−1 → L−
Per poter passare però da detΛ = 1 a detΛ = −1, si deve fare un
salto discontinuo, benché,come detto prima, si abbia che ogni
singola componente sia connessa. Si ha poi:
1 = g00 = Λ0µ gµνΛ
ν0 (ricordiamo che g00Λ00 = Λ00)
=
(Λ00)2︷ ︸︸ ︷
Λ00Λ0
0 −3∑
i=1
Λ0iΛi
0
=⇒ (Λ00)2 = 1 +3∑
i=1
Λ0iΛi
0 ≥ 1
Ne segue
Λ00 =
{≥ +1 → Λ ∈ L ↑≤ −1 → Λ ∈ L ↓ (3.1.25)
Si definisce allora il Gruppo di Lorentz proprio come L ↑+, cioè
tutte le Λ t.c.
Λ̃ G Λ = G
detΛ = 1
Λ00 ≥ 1
e il Gruppo di Poincaré proprio, ossia ∀ a ∈ R4:
se Λ ∈ L ↑+ =⇒ {Λ, a} ∈ P↑+ (3.1.26)
1.4 Particolarità del gruppo di Lorentz proprio.
Ci domandiamo ora che forma hanno le Λ ∈ L ↑+. Esse sono matrici
4 × 4, però, dacché G èsimmetrica, le equazioni Λ̃ G Λ sono
solo
1
2(# fuori diagonale) + (# diagonale) =
1
212 + 4 = 10 : (3.1.27)
10 equazioni indipendenti, il che implica 16 − 10 = 6 parametri
indipendenti.2Se abbiamo trasformazioni che agiscono solo su x1,
x2, x3 e lasciano invariante l’intervallo
spazio-temporale allora devono lasciare invariato l’intervallo
spaziale: le trasformazioni chedanno questo risultato sono le
rotazioni: ci ritroviamo dunque con solo tre parametri (infattile
rotazioni ne hanno “presi” altri tre). Riscriviamo le
trasformazioni di Lorentz speciali lungox1 (γ e β definite come
sopra):
x′1 = (x1 − β x0) γx′2 = x2
x′3 = x3
x′0 = (x0 − β x1)γ.2Le dieci equazioni rappresentano dieci
vincoli al sistema
G.L.
-
CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 27
Dunque: lungo il primo asse mi ritrovo un parametro, ma per
l’isotropia dello spazio, nullami vieta di poter fare le medesime
trasformazioni anche per gli altri due assi, ritrovandomicosì ad
avere gli altri due parametri che mi servivano. In questo modo
posso caratterizzareil gruppo proprio di Lorentz, in quanto si è
trovato che è fatto da trasformazioni di Lorentzlungo x1, x2, x3, e
da rotazioni attorno i tre assi.
La matrice che corrisponde alle trasformazioni speciali di
Lorentz lungo x1 con velocità vè (Λ ∈ L ↑+):
Λ =
γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
(3.1.28)
⇒ detΛ = 1.
Abbiamo perciò visto che i gruppi P e L si spezzano nei
sottogruppi (evito di riportarequelli di P):
L↑+ L
↑− L
↓+ L
↓−
Possiamo introdurre ora degli operatori su questi gruppi:
① Operatore di Parità: Px = −x
P =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
P00 = 1 =⇒ P ∈ L ↑
detP = −1 =⇒ P ∈ L ↑−
② Analogamente, considerando l’inversione temporale T
T =
−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
T00 = −1 =⇒ T ∈ L ↓
detT = −1 =⇒ T ∈ L ↓−
③ Inoltre si può prendere PT
PT =
−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
PT ∈ L ↓+
1.1 Osservazione. Per ora non abbiamo utilizzato il principio di
relatività di Einstein, il qualeafferma che le leggi della fisica
hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento
inerziali.Allora se sono in S′ e applico, ad esempio, l’operatore
di parità, mi ritrovo in un sistema diriferimento S nel quale
devono valere le stesse leggi della fisica del primo. Invece nel
’57 siscoperse che nel decadimento β questo principio era violato
in quanto l’operatore parità nonlascia inviarianti le leggi della
fisica. Si trova invece che le leggi della fisica sono invarianti
perP
↑+, e quindi per L
↑+.
G.L.
-
28 2. CALCOLO VETTORIALE
1.2 Osservazione (dovuta a Minkowski). La distanza euclidea
infinitesima in R3 è3:
|dx|2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2. (3.1.29)L’intervallo spazio
temporale ha invece la forma:
ds2 = (dx0)2 − |dx|2 (3.1.30)Se definisco4 x4 = ix0
⇒ ds2 = −[(dx4)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2] (3.1.31)In questa
maniera si trova un modo per trasformare nozioni euclidee nello
spazio tempo reale.Infatti l’invarianza di ds2 (x1, x2, x3, x4) è
quella delle rotazioni 4-dimensionali (oppurtuna-mente
complessificate); prendiamo la rotazione di x4 e x1. Si ha:
Imm︷︸︸︷x′4 = cos ξ
Imm︷︸︸︷x4 + sin ξ
Reale︷︸︸︷x1
x′1 = − sin ξ x4 + cos ξ x1
Se ξ ∈ C sin ξ ∈ iR e cos ξ ∈ R, (altrimenti le uguaglianze non
varrebbero). Perciò ξ = iψ, ψ ∈R, e in tal modo si ottiene
cos ξ = cos(iψ) = coshψ
sin ξ = sin(iψ) = −i sinhψAllora: {
(x1)′ = sinhψ x0 + coshψ x1
(x0)′ = coshψ x0 − sinhψ x1 (3.1.32)
(la seconda non è altro che (x4)′ = i(x0)′ = coshψ ix0+sinhψ
ix1, divisa per i). Consideriamoora un sistema S′ che si muove con
velocità v rispetto ad S, con x1 costantemente uguale a 0;si
avrà:
(x1)′ = −vt′ = −vc(x0)′ ⇒ (x
1)′
(x0)′= −v
c(‡) (3.1.33)
Dalle (3.1.32) risulta:(x1)′
(x0)′= tanhψ
(‡)= −v
c(3.1.34)
=⇒{
sinhψ = −β γcoshψ = γ
(3.1.35)
(discende da cosh2 t− 1 = sinh2 t) (3.1.36)Riscrivendo la
(3.1.32) tenendo conto di (3.1.32) e (3.1.35) ritroviamo la matrice
di Lorentz,il che implica che in relatività, v’è l’invarianza per
rotazioni complesse.
2 Calcolo vettoriale
2.1 Calcolo vettoriale in meccanica prerelativistica
In meccanica pre-relativistica si usa il calcolo vettorialea
poiché, grazie ad esso, le leggidella fisica sono covarianti per
rotazioni o traslazioni, come conseguenza dell’omogeneità
edell’isotropia dello spazio. La legge di trasformazione in questo
caso è (se xi = (x1, x2, x3)):
x′i =
3∑
j=1
(Rijxj + aj) conRtalecheR̃ · R = Id (3.2.1)
Gli oggetti tipici del calcolo vettoriale sono5
3 da qui l’invarianza per rotazioni4Si chiama rotazione di Wick
quando la si applica alla teoria dei campi5L’apice ′ indica
l’oggetto in questione dopo la trasformazione
G.L.
-
CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 29
• gli scalari: A è uno scalare quando (rispetto alle
roto-traslazioni):
A′ = A (3.2.2)
• i vettori: V è un vettore quando:V ′i = RijVj (3.2.3)
Presa un’equazione F = ma (in componenti Fi = mai), nel nuovo
sistema di riferimento S′ siha:
F ′j = RijFi = Rijmai = ma′i con Rijai = a
′j : (3.2.4)
questo significa che nel nuovo sistema di riferimento, le leggi
sono le stesse.
3 E in fisica relativistica. . . ? I tensori.
Tuttavia, in fisica relativistica per compiere queste
trasformazioni abbiamo bisogno di unospazio quadri-dimensionale, e
non delle rotazioni, bensì delle trasformazioni di Lorentz.
Siintroduce dunque la nozione di tensore quadridimensionale. Un
tensore Iij (in questo caso sipuò pensare al momento d’inerzia) è
un oggetto che trasforma come il prodotto tra due vettori.Ovvero,
se Iij ∼ vivj , v ∈ R3, si ha:
I =
v1v1 v1v2 v1v3v2v1 v2v2 v2v3v3v1 v3v2 v3v3
(3.3.1)
Dacché Iij ∼ vivj , per rotazioni vive la seguente
relazione:
I ′ij =3∑
l=1
Rilvl
3∑
k=1
Rikvk
=3∑
l,k=1
RilRjk(vlvk)
Iij è a due indici, ma si possono introdurre quanti indici si
vogliono. Inoltre si può avereanche Iij ∼ viuj, e la (3.3.1)
cambierà di conseguenza; risulta sempre chiaro che si possonoavere
tutti gli indici che si vogliono, per esempio6 Aijkl ∼ vivjvkvl (e
di conseguenza A′ijkl =∑3
m,n,o,p=1RimRjnRkoRlpAmnop). Si ha che:
• Aijkl è un tensore di rango 4;
• uno scalare è un tensore di rango 0;
• un vettore è un tensore di rango 1.3.1 Esempio (Tensore
ε).
εijk =
1 se
ijk
=
123
o permutazioni pari
−1 se
ijk
è una permutazione dispari di
123
0 altrimenti
3.2 Esempio (Il simbolo di Kroenecker). δij , non è altro che un
tensore di rango 2.
6A è in questo caso un tensore di rango 4, mentre I era un
tensore di rango 2
G.L.
-
30 4. IL CALCOLO TENSORIALE. . .
4 Il calcolo tensoriale. . .
Come prima accennato, in relatività si usano i tensori;
descriviamo gli oggetti con cui entreremoin contatto(prendiamo,
d’ora in poi, Λ ∈ P↑+):7
• un quadriscalare A è un oggetto che per trasformazioni P↑+ si
comporta in maniera taleda aversi:
A′ = A;
• un quadrivettore controvariante8 Aµ, µ = 1, 2, 3, 4, è tale
che:
A′µ = ΛµνAν ;
• un quadri-tensore covariante di rango 2, Aµν è tale che
A′µν = Λµ
ρΛν
σAρσ .
4.1 Esempio. Il tensore metrico gµν .
4.2 Esempio. In 3D possiamo prendere δij :
δij =
1 0 00 1 00 0 1
• un vettore covariante Aµ è tale che Aµ = gµνAν (A0 = A0 e Ai =
−Ai). Tale oggettotrasforma così:9
A′µ = Λ̂ν
µAν dove
Λ̂νµ = gµρΛρσg
σν
Prendiamo A′ν = ΛνρAρ. Si ha:
A′µ = gµνA′ν = gµνΛ
νρA
ρ ⋆= (3.4.1)
Dacché Aρ = gρσAσ =⇒
⋆=
bΛµσ︷ ︸︸ ︷gµνΛ
νρg
ρσ Aσ (3.4.2)
• un quadri-tensore covariante di rango 2 è un oggetto Aµν tale
che:
A′µν = Λ̂µρΛ̂ν
σAρσ (3.4.3)
• un quadritensore di rango 1 covariante e di rango 1
controvariante è un oggetto Aµν chetrasforma in questo modo:
A′µν = Λ̂µ
σΛνρAσρ (3.4.4)
• uno pseudo-tensore è di prima specie se dato Λ ∈ L , viene
associato nella trasformazioneil fattore detΛ
7Potrà a qualcuno apparire strano di come vengano definiti
questi oggetti; infatti non si asserisce nulla diconcreto su di
essi, se non come essi trasformano sotto la ∈ P↑
+; tuttavia tale metodo, essendo il più astratto
possibile, ha dei vantaggi, dacché permette di “catalogare”
subito gli oggetti con cui si viene a contatto;più avanti
(sicuramente nel capitolo dedicato all’elettromagnetismo), si
familiarizzerà con questo concetto inmaniera più “operativa”.
8Per capirsi una volta per tutte, controvarianti sono gli
oggetti con l’indice, o gli indici, in alto, covariantigli oggetti
con indice in basso, benché la definizione precisa è data in base
al modo in cui trasformano
9 bΛ è l’inversa
G.L.
-
CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 31
• uno pseudo-tensore è di seconda specie se, dato Λ ∈ L , viene
associato nella trasforma-zione il fattore sgn(Λ00)
• uno pseudo quadri-vettore covariante di prima specie è tale
che, se Λ ∈ L :
A′µ = (detΛ)Λ̂µνAν (3.4.5)
• uno pseudo quadri-vettore controvariante di seconda specie è
tale che:
A′µ = sgnΛ00ΛµνAν
4.3 Definizione. Definiamo poi εµνρσ , uno pseudo-tensore di
rango 4, detto pseudo-tensoredi Levi-Civita , tale che:
εµνρσ =
1 se
µνρσ
=
1234
o permutazioni pari
−1 se
µνρσ
è una permutazione dispari di
1234
0 altrimenti
(3.4.6)
Le leggi di trasformazione diventano:
ε′µνρσ = (detΛ)ΛµαΛν
βΛργΛ
σδε
αβγδ ‡= (3.4.7)
ma
εαβγδΛµαΛν
βΛρ
γΛσ
δ = (detΛ)εµνρσ (3.4.8)
e dunque:
‡= (det Λ)2εµνρσ
(detΛ)2=1= εµνρσ (3.4.9)
4.4 Osservazione (Analogie e differenze tra la geometria
relativistica, e la geometria nonrelativistica). Per una più veloce
comprensione, usiamo questo utile schema riassuntivo:
Geometria non relativistica −→ Geometria relativisticaR3 =⇒ i =
1, 2, 3 −→ R4 =⇒ µ = 1, 2, 3, 4
dx invariante per rotazioni −→ ds invariante per L e P(dx)2 =
δijdx
idxj −→ (ds)2 = gµνdxµdxν =⇒ g00 = −giiAi = δijA
j = Ai −→ Ai 6= Ai
5 Algebra tensoriale
In questa sezione ci occuperemo di meglio definire le operazioni
da compiere con gli oggettiintrodotti sinora.
G.L.
-
32 6. CAMPI TENSORIALI, QUADRIGRADIENTE E DERIVATE
5.1 Moltiplicazioni tra vettori
Prendiamo due vettori, Aµ, controvariante, e Bµ, covariante.
Vale la seguente relazione:
A′µB′µ = Λµ
νAν Λ̂σµBσ =
δνσ
︷ ︸︸ ︷ΛµνΛ̂
σµ A
νBµ. (3.5.1)
Infatti, discende dalla definizione:
Λ̂σµ = gµρΛρ
τgτσ; (3.5.2)
e perciò:
Λµν Λ̂σ
µ = Λµ
νgµρΛρ
τgτσ = (Λ̂GΛ)ντg
τσ = gντgτσ = (GG−1)σν = (1)
σν = δ
σν (3.5.3)
Si ha poi AµBµ = AµgµνBν = AνBν : allora è uno scalare (per le
proprietà degli scalari).Ciò è del tutto analogo al prodotto
scalare tra vettori (A · B =
∑iAiBi =
∑i,j AiδijBj).
Facciamo poi notare che AµBµ ha le proprietà del prodotto
scalare, escluso10 il fatto che nonè definito positivo.
5.2 Contrazione degli indici
Il processo di indici sommati viene anche detto contrazione
degli indici. Tramite tale processosi può abbassare di un grado il
rango d’un tensore; Tramite il prodotto tra tensori, succedela
stessa cosa; infatti, se AµνρBστ è un tensore 3 covariante e 2
controvariante, si ha che, nelcaso σ = ρ, otteniamo un tensore 2
covariante e 1 controvariante, più precisamente AµνρBρτ ;se invece
si ha AµBν , e µ = ν, allora, per la convenzione di Einstein, AµBµ
= A0B0 + . . .,che è uno scalare, ovvero un tensore di rango 0,
come si dovrebbe giustamente ottenere dallacontrazione di AµBν
.
6 Campi tensoriali, quadrigradiente e derivate
6.1 Definizione (Campo scalare). ϕ(x) è un campo scalare se,
sotto una trasformazione{Λ, a} ∈ P, che manda x in x′ = Λx+ a, vale
la relazione:
ϕ′(x′) = ϕ(x)
Ma come viene trasformato questo campo in funzione di x′? Si ha
che x = Λ−1(x′ − a):un’altra maniera di dare la legge di
trasformazione è dire:
ϕ′(x′) = ϕ(Λ−1(x′ − a))
Analogamente si ha:
6.2 Definizione (Campo vettoriale). Aµ(x) è un campo vettoriale
se, sotto Λ ∈ L , vale larelazione:
A′µ(x′) = ΛµνAν(x)
Prendiamo ora in considerazione la generalizzazione di ∇, ovvero
il quadrigradiente.
6.3 Definizione (Quadrigradiente). L’operatore quadrigradiente è
definito come:
∂µ ≡∂
∂xµ=
(∂
∂x0,∂
∂xi
)=
(1
c
∂
∂t,∇)
(3.6.1)
10Dato uno spazio vettoriale V, A, B ∈ V , il prodotto scalare
tra i due vettori gode delle seguenti proprietà:è bilineare,
definito positivo e simmetrico
G.L.
-
CAPITOLO III. FORMULAZIONE GEOMETRICA 33
Dunque il quadrigradiente di un campo scalare ϕ sarà:
∂ϕ
∂xµ=
(1
c
∂ϕ
∂t,∇ϕ
)(3.6.2)
Ci chiediamo ora se l’oggetto ∂µϕ(x) è un vettore covariante.
Verifichiamolo.
dϕ =∂ϕ
∂xµdxµ (3.6.3)
è uno scalare, quindi deve ottenersi per contrazione di un
quadrivettore covariante con unocontrovariante.
6.4 Definizione. Analogamente ∂µ è un quadrivettore
controvariante, ed è definito da:
∂µ ≡ ∂∂xµ
=
(∂
∂x0,∂
∂xi
)=
(1
c
∂
∂t,−∇
)(3.6.4)
G.L.
-
Capitolo IV
Meccanica relativistica
Indice
1 Grandezze fondamentali 332 La quadriforza 353 Sistemi di
riferimento 364 Processi tra particelle (dinamica relativistica)
37
4.1 Decadimento 37
4.2 Decadimento a due corpi 38
4.3 Distribuzione di probabilità nel decadimento 41
4.4 Urti tra particelle 43
4.5 Le variabili di Mandelstam 44
4.6 Gli urti veri e propri 45
In questo capitolo ci interessiamo alla generalizzazione
relativistica di velocità, accelerazio-ne, impulso e forza.
Vogliamo che tutti gli oggetti con cui si entri in contatto siano
parte dellospazio di Minkowski, sicché trasformino correttamente da
un sistema inerziale ad un altro,ossia soddisfino il principio di
relatività1.
Questo significa che vogliamo definire delle grandezze che si
comportino in tale modo: siaF la forza in un sistema S, e p
l’impulso; in un sistema S′ la forza sarà F′, e l’impulso p′;
sipasserà dagli uni agli altri con una trasformazione di Lorentz,
ossia:
F′ = ΛF,
p′ = Λp,
in modo che l’equazione F = dp/dt sia la medesima per entrambi i
sistemi di riferimento, inaccordo con il principio di relatività.
In pratica stiamo cercando delle leggi covarianti.
Inoltre, ci preme che per β
-
CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 35
t→ τ tempo proprio. (4.1.2)
Perché vogliamo usare il tempo proprio e non il tempo? La
risposta sta nella definizione ditempo proprio (dτ = ds/c): essa
permette allo stesso di essere indipendente dal sistema
diriferimento, al contrario di t: dunque parametrizzare i moti con
il tempo proprio, e non con iltempo, permette di ottenere un
parametro che sia indipendente dal sistema di riferimento, eche sia
quindi covariante.
La scelta naturale cade tuttavia sulla radice di ds2 = dxνgµνdxµ
(solo nel caso che nonsi abbia a che fare con particelle con
velocità pari a c). Per questo il lettore abbia la cura dimostrare
la validità della seguente relazione (che discende da ds2 =
dxµdxµ):
ds = dtc
γ(4.1.3)
che ci tornerà molto utile in seguito. Facciamo subito notare
che, dacché ds2 è l’intervallospazio temporale del moto, la v
all’interno di γ è la velocità a cui avviene il moto.
1.2 Definizione (La quadrivelocità). Possiamo a questo punto
prendere l’analogo della velo-cità:
v(t) → dxµ
ds=
dxµ
cdtγ(è un quadrivettore, in quanto rapporto di un quadrivettore
con uno scalare ). (4.1.4)
Si ottiene:
u0 =dx0
ds= γ, (4.1.5)
ui =dxi
ds=γ
c
dxi
dt; (4.1.6)
dunque, in definitiva, si ha:
uµ =(γ,γ
cv)
(4.1.7)
Notiamo poi che dalla definizione segue che:
uµuµ = 1 (4.1.8)
(al lettore i calcoli) (4.1.9)
1.3 Definizione (La quadriaccelerazione). Come prima abbiamo
introdotto la quadrivelocitàcome la derivata temporale del vettore
posizione, ora introduciamo la quadriaccelerazione comela derivata
temporale della quadrivelocità:
a =dv
dt=
d2x
dt2→ wµ = du
µ
ds.
Ricaviamone le componenti (si usa qui il fatto che dγdt =γ3
c2 v · a, relazione che si ottienederivando appunto γ rispetto
al tempo, ricordando che v = v(t)):
w0 =du0
ds=γ
c
dγ
dt=γ4
c3v · a,
wi =dui
ds=
γ
c2d(γvi)
dt=γ2
c2ai +
γ4
c4(v · a)vi; (4.1.10)
prendiamo ora la (4.1.8), e deriviamola rispetto a s. Ne
esce:
w · u = 0 (4.1.11)
il che implica che quadri-velocità e quadri-accelerazione sono
tra loro ortogonali (sempre!).
G.L.
-
36 2. LA QUADRIFORZA
1.4 Definizione (Il quadrimpulso). Si generalizza ora l’idea di
impulso:
p = mv → pµ := mcuµ (4.1.12)Dunque il quadrimpulso risulta:
pµ =
mc√
1 − v2c2,
mv√1 − v2c2
(4.1.13)
Viene ora spontaneo interrogarsi su mcγ, il primo termine del
quadrimpulso: esso infatti è Ec .Cosa c’è di strano? Prendiamo il
caso β
-
CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 37
3 Sistemi di riferimento
Nei fenomeni in cui si ha a che fare con particelle che
interagiscono a velocità prossime a quelledella luce, si rende
indispensabile la meccanica relativistica, poiché essa descrive in
manieracorretta le quantità in gioco. Questo spiega il larghissimo
uso che se ne fa in fisica nucleare esub-nucleare. In questa
sezione affronteremo decadimento di particelle e urti tra
particelle.
Per quanto riguarda la nostra analisi di urti e decadimento,
prenderemo in considerazionedue sistemi di riferimento, il sistema
di riferimento del centro di massa, Hcm, e il sistema diriferimento
del laboratorio, Hlab3. Facciamo un esempio per impratichirsi un
po’ con questidue sistemi;
3.1 Esempio. Mettiamoci in Hlab, e consideriamo due particelle,
la prima che si muove lungol’asse x con quantità di moto p1 = p, e
la seconda, ferma, per la quale vale dunque la relazionep2 = 0.
Perciò la sua energia è (sia c = 1 in tutti i conti che facciamo in
questo esempio)E2 = m2. Si ha poi:
p1 = (E1, p, 0, 0) (4.3.1)
p2 = (m2, 0, 0, 0) (4.3.2)
E1 =√p2 +m21. (4.3.3)
In Hcm si ha invece che la quantità di moto totale è nulla, e
dunque:4
p⋆1 + p⋆2 = 0
il che porge:|p⋆1| = |p⋆2| = p⋆
Dunque:p⋆1 = (E
⋆1 , p
⋆, 0, 0)
p⋆2 = (E⋆2 ,−p⋆, 0, 0)
Per passare da Hlab a Hcm si effettua una trasformazione di
Lorentz lungo x. Prima di farlointroduciamo tuttavia le quantità
ptot e p⋆tot, così definite:
ptot = p1 + p2 = (E1 +m2, p, 0, 0)
p⋆tot = p⋆1 + p
⋆2 = (E
⋆1 + E
⋆2 , 0, 0, 0)
Applicando le trasformazioni di Lorentz lungo x otteniamo:
(p⋆tot)x = γCM[(ptot)x − βCMp0tot] (4.3.4)
Ricordando che c = 1, si ha che βCM = v (v è la velocità di Hcm
rispetto a Hlab), e la (4.3.4)porge:
(p⋆tot)x = 0 = γCM[p− βCM(E1 +m2)],che a sua volta dà:
βCM =p
E1 +m2.
Dacché p = m1γv1v1, usando la (4.3.3), si trova E1 = m1γv1 ,
dalle quali:
βCM =m1γv1v1
m1γv1 +m2= v
3 Per capirci: in Hcm il centro di massa del sistema è fermo,
mentre Hlab è il sistema che non è propriamentequello del
laboratorio, ma un altro sistema che risulta a noi comodo per
descrivere i fenomeni che studiamo
4Introduciamo ora la seguente notazione: ogni quantità
contrassegnata da ⋆, verrà intesa come calcolatanel centro di
massa, indipendentemente dal fatto che ⋆ sia posizionata in alto o
in basso (ovvero p⋆ = p⋆), perquestioni di comodità.
G.L.
-
38 4. PROCESSI TRA PARTICELLE (DINAMICA RELATIVISTICA)
Volendo esprimere βCM in un’altra forma, usiamo le
trasformazioni di Lorentz lungo z per laparticella 2,
ottenendo:
0 = γCM(−p⋆ + βCME⋆2 )Con qualche semplice passaggio si arriva
a:
βCM =p⋆
E⋆2= v⋆2 . (4.3.5)
Questo risultato era da aspettarsi, in quanto per annullare la
velocità della particella fermain Hlab, velocità che in Hcm vale
v⋆2 , è necessaria una trasformazione che abbia βCM = v
⋆2 .
4 Processi tra particelle (dinamica relativistica)
4.1 Decadimento
Dopo esserci impratichiti5 con i nuovi sistemi di riferimento
che useremo nelle nostre analisi,affrontiamo più approfonditamente
il fenomeno del decadimento. il quale consiste nel processoche, da
un particella iniziale con massa M , restituisce n particelle
separate m1 . . .mn, comein figura 4.1.
-M ��
��
���
@@
@@
@@R
����
���*m1
mn
QQQQ
QQQQs
m2
Figura 4.1: Decadimento di una generica particella con massa
M
Ci si aspetterebbe, abbastanza intuitivamente, che m1 + . . . +
mn = M ; invece ciò nonaccade, poiché ciò che si conserva è il
quadrimpulso , nel caso si sia in assenza di forze esterne.La prima
domanda che viene spontaneo chiedersi è, date le masse delle
particelle, quali sonole condizione affinché avvenga il
decadimento. Se siamo nel sistema di riferimento del centrodi
massa, vale la seguente relazione:
E⋆
c= Mc =
n∑
i=1
E⋆ic.
Si vede subito che:n∑
i=1
E⋆ic
≥n∑
i=1
mic
=⇒
M ≥n∑
i=1
mi (4.4.1)
La (4.4.1) è dunque la condizione per avere il decadimento della
particella M in n particelle.
5Si spera!
G.L.
-
CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 39
4.2 Decadimento a due corpi
Consideriamo ora il decadimento a due corpi, ovvero M → m1 +m2.
In questo caso in Hcm,E⋆1 ed E
⋆2 , sono completamente determinate. Vive la relazione:
p⋆1 + p⋆2 = 0 ⇒ |p⋆1| = |p⋆2| = p⋆ ⇒ p⋆1 · p⋆2 = −p2⋆
Il fatto che |p⋆1| = |p⋆2| comporta che:
(p⋆1)2 = (E⋆1 )
2 −m21c2 = (E⋆2 )2 −m22c2 = (p⋆2)2 (4.4.2)
Per la legge di conservazione dell’energia si ha:
E⋆1 + E⋆2 = Mc
2. (4.4.3)
Dividendo membro a membro le ultime due equazioni, tramite
semplici passaggi si giunge a:
E⋆1 − E⋆2 =m21 −m22
M. (4.4.4)
A questo punto una semplice manipolazione algebrica della
(4.4.3) e della (4.4.4) ci porta a:
E⋆1 = c2M
2 +m21 −m222M
(4.4.5)
E⋆2 = c2M
2 −m21 +m222M
(4.4.6)
(E⋆1c
−m21c2) = p2⋆ = c2M4 +m41 +m
42 − 2m21m22 − 2(m21 +m22)M2
4M2(4.4.7)
Osserviamo che nel decadimento tra particelle, l’angolo ϑ⋆ della
figura 4.2 non è determinato.
�����1
�����)
m1
m2
ϑ1 = ϑ⋆
ϑ2 = π − ϑ⋆
Figura 4.2: Decadimento a due corpi in Hcm
Esaminiamo però il decadimento nel sistema laboratorio, il quale
si muove con velocità −vrispetto alla particella che decade, ovvero
rispetto a Hcm. Le cose vanno come in figura 4.3
Possiamo dunque usare le trasformazioni di Lorentz, usando gli
assi come in figura 4.3nella pagina successiva, in particolare con
l’asse x posto lungo la traiettoria della particellacon massa M , e
z orientato coerentemente. Usiamo poi α = 1, 2 per indicare la
particella 1, ola particella 2. Trasformiamo dunque pµ = (E,p)
lungo l’asse x. In Hcm si ha:
p⋆αx = p⋆ cosϑ⋆α
p⋆αy = p⋆ sinϑ⋆α
G.L.
-
40 4. PROCESSI TRA PARTICELLE (DINAMICA RELATIVISTICA)
6-x
y
-M ��
��
���
@@
@@
@@R
m1
mn
ϑ1
ϑ2
Figura 4.3: Decadimento a due corpi in Hlab
Dacché l’energia si trasforma come il tempo, avremo:
Eα = γ(E⋆α + v p
⋆αx) = γ(E
⋆α + v p
⋆α cosϑ
⋆α),
mentre per p:
pαx = (p⋆αx +
β
cE⋆α)γ = (p
⋆ cosϑ⋆α +β
cE⋆α)γ (4.4.8)
pαy = p⋆ sinϑ⋆α (4.4.9)
pαz = p⋆αz = 0 (4.4.10)
Questo mostra che tutte le quantità in gioco, eccetto ϑ⋆, sono
note. Come in figura 4.2, valgonole seguenti relazioni:
ϑ⋆αα=1= ϑ⋆
ϑ⋆αα=2= π − ϑ⋆
Andiamo a vedere il luogo geometrico di pαx e pαy al variare di
ϑ⋆. Sommiamo in quadraturala (4.4.8) e la (4.4.9); con semplici
passaggi ne esce (per la 4.4.8, prima si divide per γ, poi siporta
a primo membro βcE
⋆α):
6
(pαxγ
− βcE⋆α
)2+ p2αy = p
2⋆ (4.4.11)
che può essere riscritta come:
(1 − β2)(pαx −
β
cE⋆αγ
)2+ p2αy = p
2⋆. (4.4.12)
La (4.4.12) è l’equazione di un ellisse nelle variabili px, py,
con centro in:
βc
E⋆α√1 − v2c2
≡ d, 0
e semiassi:sx = p⋆γ lungo x
sy = p⋆ lungo y
Ciò implica i seguenti casi:
G.L.
-
CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 41
px
py
Figura 4.4:
1. se d < sx, l’angolo ϑ⋆ può assumere tutti i valori, come
in figura 4.4 nella paginasuccessiva
2. se d > sx, l’angolo ϑ⋆ ha un massimo, ossia le particelle
devono essere emesse in avanti,come in figura 4.5 nella pagina
seguente, dove, tra l’altro, si vede molto bene che v’è unangolo
massimo, indicato lì con ϑmax, di emissione per la particella.
ϑmax
px
py
Figura 4.5:
Andando ad analizzare più in profondità la situazione, si
constata che se v⋆α < v7, siamo nella
prima situazione, altrimenti se v⋆α = 0 siamo nella seconda.Per
trovare l’angolo massimo nel sistema laboratorio, mettiamo a
sistema l’equazione dell’ellisse
6 β = vc
7si confronti la 4.3.5
G.L.
-
42 4. PROCESSI TRA PARTICELLE (DINAMICA RELATIVISTICA)
con quella di una retta passante per l’origine; il sistema
uscente è:
(1 − β)2(pαx − d)2 + p2αy = p2⋆pαx = q cosϑpαy = q sinϑ
}la pendenza è tanϑ
Introduciamo delle quantità per semplificare i conti: sia ε′ =
βE⋆α
c , da cui d = ε′γ. Allora:
(1 − β2)[q2 cos2 ϑ− 2q cosϑε′γ + (ε′γ)2] + q2 sin2 ϑ = p2⋆Le
condizioni di tangenza si hanno quando il discriminante in q è
uguale a 0. Ovvero sescriviamo aq2 + 2bq + c = 0, deve valere la
relazione b2 − ac = 0, che è la condizione diannullamento del
discriminante. Lasciando al lettore questi noiosi, ma facili,
conti, scriviamosoltanto i risultati:
cos2 ϑmax =ε′2 − p2⋆ε′2 − β2p2⋆
da cui
sin2 ϑmax =p2⋆(1 − β2)ε′2 − β2p2⋆
Possiamo infine scrivere, ricordando che m2αc2 =
[(E⋆αc
)2− p2⋆
],
sinϑmax =p⋆√
(1 − β2)βmα c
.
4.3 Distribuzione di probabilità nel decadimento
Sopra abbiamo analizzato il decadimento di una particella, la
quale ”decade”, generando duenuove particelle. Questo fenomeno
avviene per la gran parte delle particelle, quindi è naturaleche
esso abbia molta importanza nella nostra trattazione; tuttavia il
tempo che queste particelleimpegano a decadere non è prevedibile,
ed è possibile parlarne solo come tempo medio. Ciòimplica che è
necessario trattare il decadimento dal punto di vista statistico.
Per esempio, seprendo un campione di N particelle X , dove X è una
particella che ha tempo di decadimentoτ 8, dopo una frazione, che a
noi non interessa meglio definire, di τ , ci sono particelle
giàdecadute. E dopo un multiplo di τ , ci saranno particelle che
dovranno ancora decadere.Quindi per un piccolo insieme di
particelle non è vero che il tempo di decadimento è τ : questonon
toglie che dopo un tempo τ , in media, le particelle di tipo X
siano Ne
9.Trattiamo ora l’argomento con maggiore precisione: prendiamo,
come prima, N particelle X ,e definiamo Nt com il numero di
particelle all’istante t. La legge dei decadimenti è:
dNtdt
= −Ntτ.
La sua soluzione è:Nt = N0 e
− tτ (4.4.13)
Dalla (4.4.13) si capisce un po’ più chiaramente quanto sopra
detto.Ci chiediamo ora quale sia la distribuzione di energia nel
decadimento. Supponiamo di avereN particelle che decadono. Una
frazione di loro, diciamo dN avrà energia compresa tra E, edE + dE.
Poniamo:
dN
N= dχ(E)
ρ(E) =dχ(E)
dE(È la densità di probabilità)
8 τ è da noi definito come il tempo dopo il quale le particelle
X non decadute sono Ne
, e non più N9L’ideale sarebbe un insieme di particelle
numerabile, ma ciò in pratica non può accadere
G.L.
-
CAPITOLO IV. MECCANICA RELATIVISTICA 43
Nel sistema di riferimento Hcm, la distribuzione di energia è
isotropa; dunque dopo aver ivitrovato le quantità a cui siamo
interessati, trasformiamo i risultati; in questa
trasformazioneentra in gioco l’energia nel sistema Hlab.
dϕ⋆
dϑ⋆
Figura 4.6: Sezione d’angolo solido dϕ e dϑ sono invertiti
rispetto alla figura
Con riferimento alla figura 4.6, in Hcm, la probabilità di
trovare ua particella nell’angolosolido tra (ϕ⋆, ϕ⋆ + dϕ⋆) e (ϑ⋆,
ϑ⋆ + dϑ⋆) sono indipendenti da ϕ⋆ e da ϑ⋆
=⇒ dχ(ϕ⋆, ϑ⋆) = dΩ(ϕ⋆, ϑ⋆)
4π.
Per l’invarianza per rotazioni attorno all’asse x si ha:
dχ(ϑ⋆) =
∫ 2π
0
dϕ⋆ d cosϑ⋆
4π=
1
2d(cosϑ⋆)
È poi cosa nota che:
E = (E⋆ + cβp⋆ cosϑ⋆)γ =⇒ cosϑ⋆ =E√
1 − v2c2 − E⋆
cβp⋆(4.4.14)
da cui si ricava:
dχ(E) =1
2d(E√
1 − v2c2 − E⋆
cβp⋆) =
dE
2cβp⋆γ.
Perciò in definitiva:
ρ(E) =dχ(E)
dE=
1
2
√1 − v2c2cβp⋆
Imponiamo in ultima le condizioni di normalizzazione:
∫ Emax
Emin
ρ(E) dE = 1 : è una condizione plausibile?
Verifichiamolo: ∫ Emax
Emin
ρ(E) dE =1
2cβp⋆γ(Emax − Emin) (4.4.15)
Ma, dalla (4.4.14), si ha:Emax = (E
⋆ + cβp⋆)γ
G.L.
-
44 4. PROCESSI TRA PARTICELLE (DINAMICA RELATIVISTICA)
ed:Emin = (E
⋆ − cβp⋆)γda cui si ottiene che la (4.4.15) diviene:
1
2
√1 − v2c2cβp⋆
γ 2 c β p⋆ = 1,
il che ci permette di concludere questa parte.
4.4 Urti tra particelle
10 Per quanto rigurda i processi d’urto tra particelle, nella
nostra analisi, prenderemo inconsiderazione solo urti elastici,
ovvero urti dove le particelle uscenti sono dello stesso tipo
diquelle entranti. Per focalizzare come avviene il processo d’urto
tra due particelle, possiamoriferirci alla figura 4.7.
p1
p2
p′1
p′2
Figura 4.7: Figura d’un urto elastico