Diskritieji Ir Tolydieji Skirstiniai

TIKIMYBIŲ TEORIJA

VIENMAČIAI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI

Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu gali gauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų reikšmių aibės.Pvz.: 1) Kavinėje apsilankiusių klientų skaičius per valandą. 2) Matuojamų detalių matmenys.Atsitiktinis dydis žymimas graikiškomis raidėmis, o jo įgyjamos reikšmės mažosiomis lotyniškomis raidėmis:

... dzeta, - eta, - ksi, -

,...,, zyx

Tikimybinėje erdvėje (,F,P) atsitiktinis dydis tai elementarių įvykių funkcija ξ=ξ(ω) .(ω- elementarus įvykis)

A

A

Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jei visos jo galimos reikšmės yra baigtinė arba skaiti aibė.A

Nagrinėkime diskretų atsitiktinį dydį ξ, kuris įgyja reikšmes x1,x2,...,xn . Atlikus bandymą atsitiktinis dydis gali įgyti tik vieną reikšmę, vadinasi įvykiai ξ=x1, ξ=x2,..., ξ=xn sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y. jei pažymėsime

nn pxPpxPpxP ,...,, 2211Tada

11

n

iip

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymu vadinama bet kokia priklausomybė, kuri nurodo ryšį tarp atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.Jis gali būti nusakomas lentele, grafiku arba analizine išraiška:1) Lentelė- pasiskirstymo lentelė (skirstinys)

A

xi x1 x2 ... xn

pi p1 p2 ... pn

2) Grafiku, pvz. pasiskirstymo daugiakampiu:

xi

pi

x1 x2 xn

p1

p2

Atsitiktinio dydžio ξ pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija, kuri yra apibrėžta visom realiom x reikšmėms ir lygi tikimybei, kad ξ įgis reikšmes mažesnes už x, t.y.

)()( xPxF SAVYBĖS:

. 1)(lim 5.

; 0)(lim 4.; )()( 3.

; )()()P(a .2; 1)(0 .1

2121

xF

xFxFxFxx

aFbFbxF

x

x

A

Pavyzdys:Šaulio pataikymo tikimybė 0,3. Pataikęs šaulys gauna (+5) taškus, o nepataikęs (-2). Parašykite diskretaus ats.d. ξ- “gautų taškų skaičius” pasiskirstymo dėsnį ir pasiskirstymo funkciją atlikus 4 šūvius. Sprendimas:Pažymėkime pataikymo tikimybe p=0,3, o nepataikymo q=1-0,3=0,7. Turime Bernulio eksperimentą, vadinasi:

24.07.03.0)0( 400440 CPp (Nė karto nepataikė)

Analogiškai apskaičiuojamos ir kitos tikimybės ir surašomos į lentelę:

ξ -8 -1 6 13 20

pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1

20 kai , 1 2013 kai , 99.0

136 kai , 91.0 61 kai , 65.018 kai , 24.0

8 kai , 0

)(

xxxxx

x

xF

ξ -8 -1 6 13 20

pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1

Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis

iii pxM

.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei )4;)( )3

;)( )2; , )1

MMMMMM

CMCMconstCCMC

2) Dispersija

nuokrypis isstandartin-

)( 22

D

pMxMMDi

ii

SAVYBĖS:

Savybės:

.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei 5);)( )4

;)( )3

;0 )2;0 )1

22

2

DDDMMD

DCCD

DCD

3) Moda- ats.d. reikšmė, kuri dažniausiai pasikartoja, t.y p(M0)=pmax

ξ- unimodalusis ats.d. jei moda viena ir daugiamodalusis jei modų daugiau nei dvi.4) Mediana- ats.d. vidurinė reikšmė, t.y.

21ir )()( F(Me)MePMeP

Atsitiktinį dydį ξ vadinamas tolydžiuoju, jei jo pasiskirstymo funkcija F(x) yra tolydi ir diferencijuojama, be to P(ξ=xi)=0.

A

Tolydaus atsitiktinio dydžio ξ tankiu (tankio funkcija) vadinama jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, t.y.A

)()( xFxp

.1)( )4

;)()( )3

; )2

;0)( )1

dxxp

dxxpbaP

p(x)dxF(x)

xp

b

a

x

-

SAVYBĖS:

Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis

dxxxpM )(

2) Dispersija

dxxpMxMMD )()( 22

3) Moda

4) Mediana

Pavyzdys: Duota pasiskirstymo funkcija

Raskite: a, b, P(ξ>2).Sprendimas:

3 , 131 ,

1 , 0)( 2

xxbax

xxF

1020

1)(

kitur , 031 , 2

)(

3

3

1

1

dxaxdxdx

dxxp

xaxxp

8118

12

23

1

2

a

a

xa

Kadangi F(x) tolydi, tai kai x=3 turi F(3)=1

81

1)3(81 2

b

b

3 , 1

31 , 81

81

1 , 0

)( 2

x

xx

x

xF

85

814

811)2(1

)2(21)2(1)2(

F

PPPP

DISKRETIEJI SKIRSTINIAI

Binominis skirstinys

Sakome, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirstęs pagal binominį dėsnį su parametrais n ir 0<p<1, jei jis įgyja reikšmes 0, 1, 2, ..., n su tikimybe

Pavyzdžiui, jei gamybos procesas stabilus, tai gaminių su defektais skaičius gali būti laikomas binominiu atsitiktiniu dydžiu.

pqqpCkXP knkkn 1,


Panaudojus reklamą, prekių pardavimas padidėja arba nepadidėja.

Išdygusių sėklų skaičius iš n pasėtų.Teigiamų rezultatų, gautų gydant 25 ligonius, skaičius.


Vidurkis

Dispersija

Binominio atsitiktinio dydžio X labiausiai tikėtina reikšmė randama iš nelygybių

npqpkCkXkPMX knkn

k

kn

n

k

00

npqDX

pnkpn 111 0

0k

Puasono skirstinys

Jei atsitiktinis dydis gali įgyti reikšmes ir tų reikšmių tikimybės yra

sakoma, kad skirstinys yra Puasono. Žymima taip:

kek

kXPk

0,!

,2,1,0k

PX ~

Puasono skirstinys

Puasono atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija atitinkamai yra lygios

DXMX ,

Puasono skirstinysEkonomikoje Puasono skirstinys naudojamas retiems įvykiams

aprašyti: banke yra daug sąskaitų, o stebimą valandą ateina tik maža dalis

visų klientų, todėl klientų skaičių galima aprašyti Puasono skirstiniu;

požeminio elektros kabelio gedimų skaičius vieno kilometro intervale, taip pat aprašomas Puasono skirstiniu;

brokuotų tam tikros produkcijos gaminių skaičiaus skirstinys taip pat Puasono;

Puasono skirstinys (pavyzdys)Vidutiniškai pirmadieniais į darbą neateina 3 darbuotojai. Kokia

tikimybė, kad šį pirmadienį į darbą neateis ne mažiau kaip 2 darbuotojai?

Taikysime Puasono skirstinį, kai ,t.y. 3MX 3

,!

3 3 ek

kXPk

8,0311012 33 eexPxPxP

Geometrinis skirstinysTegu vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė .

Nepriklausomus bandymus kartojame tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį.

10 p

,2,1,1 1 kppkXP k

Geometrinis skirstinys Vidurkis ir dispersija

21,1

ppDX

pMX

Geometrinis skirstinys (pavyzdys) Naftos kompanijos atstovai žino, kad tiriamajame rajone 80%

gręžinių naftos neturi. Kokia tikimybė rasti naftos gręžiant penktą kartą? Kiek vidutiniškai gręžimų reiks išgręžti, kol bus rasta nafta?

Tegu X – padarytų gręžinių skaičius iki naftos radimo. Atsitiktinis dydis X turi geometrinį skirstinį su parametru Todėl ieškomoji tikimybė

o vidurkis

2,0p

08192,08,02,05 4 XP

52,0

1MX

TOLYDIEJI SKIRSTINIAI

Normalusis (Gauso) skirstinys Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį su

parametrais m ir σ, jei jo tankio funkcija

o pasiskirstymo funkcija

2

2

2

21

mx

exp

Rx

x mx

dxexF 2

2

2

21

Normalusis (Gauso) skirstinys

Normalusis skirstinys žymimasKai normalusis skirstinys vadinamas

standartiniu normaliuoju skirstiniu.

2,mN1,0 m

2

2

21

x

exp

x x

dtexF 2

2

21

Normalusis (Gauso) skirstinys Normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio dydžio,

kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra dominuojančių.

Normalusis skirstinys gerai aprašo žmonių ūgį, svorį, vidutinę oro temperatūrą, vidutinį pelną, intelekto koeficientą.


Normaliojo atsitiktinio dydžio vidurkį ir dispersiją skaičiuojame pagal formules

mdxexMX

mx

2

2

22

1

222 2

2

21

dxemxDX

mx

Normalusis (Gauso) skirstinys Normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiko padėtis

plokštumoje priklauso nuo vidurkio dydžio, o forma nuo dispersijos


Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis :

Skaičiavimuose kartais naudojama Laplaso funkcija

baX ,

x t

dtex0

2

2

21)(

)()( xx

21)()( xx

mambbxaP )(

Normalusis (Gauso) skirstinys. Trijų σ taisyklė Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps

nuo vidurkio ne daugiau kaip σ lygi 0,68Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo

vidurkio ne daugiau kaip 2 σ lygi 0,95Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo

vidurkio ne daugiau kaip 3 σ lygi 0,997

3,997.0

2,95.01,68.0

tkaitkaitkai

tmXP

Eksponentinis skirstinys Sakome, kad atsitiktinis dydis pasiskirstęs pagal eksponentinį

dėsnį, jei :

.0,,0,0

xex

xp x

xxxx

xx

x eexdedxexF

100

.0,1,0,0

xex

xF x

Eksponentinis skirstinys Eksponentinis pasiskirstymas plačiai taikomas patikimumo

teorijoje, masinio aptarnavimo teorijoje.

Eksponentinis skirstinys (pavyzdys) Gatvių apšvietimo lempų tarnavimo laiko vidurkis lygus 500

dienų, o standartinis nuokrypis 50 dienų. Kam lygu tikimybė, kad lempa švies:a) nuo 400 iki 600 dienų;

b) trumpiau negu 400 dienų;

954,01977,02122

2250

50040050

500600600400

F

FFFFXP

.023,0977,0121010121102505000

505004004000400

FFFFFF

FFXPXP

Tolygusis skirstinys Atsitiktinio dydžio X skirstinys vadinamas tolygiuoju intervale

, jei ba,

.,,0

,1

bax

bxaabxp

.,1

,,

,,0

bx

bxaabax

ax

xF

χ2 (chi kvadratu) skirstinys

χ2 (chi kvadratu) skirstinį su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai

222

21

2nn XXX

nXXX ,,, 21

1;0~ NX i


Nors χ2 skirstinio tankio funkcija gana sudėtinga, tačiau jo parametrai nusakomi paprastomis formulėmis:

nDnM 2, 22


Kvantilis parenkamas taip, kad neužbrūkšniuotos dalies plotas būtų lygus .• χ2 skirstinio reikšmės priklausomai nuo ir laisvės laipsnių

skaičiaus n pateikiamos lentelėje

1P

p(t)

x 2;1 n

2n;-1

1

χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)

Chi kvadrato skirstinio laisvės laipsnių skaičius lygus 20, o

Kaip rasti tokius dydžius c1 ir c2, kai

Kadangi

95,0122201 ccP

22201

220 cPcP

122202

22011

220 cPccPcP

1122201

220 cPcP

025,022

2201

220

cPcP

χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)Taigi c1 yra lygmens kvantilis

2

59,9220;025,01 c

2

1 22202

220

cPcP

975,0025,012

12220

cP

.2,34220;975,02 c

Stjudento skirstinys

Tarkime, kad nepriklausomi atsitikt. dydžiai X ir yra standartiniai normalieji dydžiai:

Atsitiktinio dydžio t skirstinys vadinamas Stjudento skirstiniu su n laisvės laipsniu.

niX i ,,2,1

1;0~,1;0~ NXNX i

n

X

Xtn

ii

1

2

Stjudento skirstinys Stjudento skirstinio reikšmių lentelė sudaryta priklausomai nuo

tikimybės α ir laisvės laipsnių skaičiaus n. Joje pateiktos kvantilių reikšmės.

nt

;2

1

1P

f(t)

x n

t;

21

n

t;

2

nt

;2

nntt

;2

1;2

Stjudento skirstinys

Atsitiktinis dydis X turi Stjudento skirstinį su 12 laisvės laipsnių. Lygmenį atitinka kvantilis

Kitaip sakant

975,0p18,212;975,0 t

975,018,2 tP

Fišerio skirstinysFišerio skirstinį su m ir n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai .

Fišerio skirstinio 1-α lygmens kvantilius galima rasti lentelėje.

nX

mX

nXXX

mYYY

Fn

m

n

m

nm 2

2

222

21

222

21

;

nm XXXYYY ,,,,,,, 2121

1;0~, NXY ij

Diskritieji Ir Tolydieji Skirstiniai

Documents