DiMa 5 Osnovno o grafih V. Batagelj Primeri Osnove Podgrafi Homomorfizem Stopnje Posebni grafi Diskretna matematika 1 / Teorija grafov 1. Osnovni pojmi Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika – Finanˇ cna matematika Ljubljana, december 2013 / februar 2008 1 / 31
31
Embed
Diskretna matematika 1 / Teorija grafov - 1. Osnovni pojmistudentski.net/get/ulj_fmf_fc1_dm1_sno_teorija_grafov_01__osnovni... · DiMa 5 Osnovno o gra h V. Batagelj Primeri Osnove
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Diskretna matematika 1 / Teorija grafov1. Osnovni pojmi
Vladimir Batagelj
Univerza v Ljubljani
FMF, matematika – Financna matematikaLjubljana, december 2013 / februar 2008
D3 Ravenscourt ParkB2 Rayners LaneB8 RedbridgeC4 Regent’s ParkE2 RichmondA1 RickmansworthA8 Roding ValleyD7 RotherhitheD9 Royal AlbertC3 Royal OakD9 Royal VictoriaA1 RuislipB1 Ruislip GardensA2 Ruislip Manor
C5 Russell Square
D4 St. James’s ParkC4 St. John’s WoodC6 St. Paul’sB7 Seven SistersD7 ShadwellC3 Shepherd’s Bush
(Central)D3 Shepherd’s Bush
(Hammersmith & City)C7 Shoreditch E9 SilvertownD4 Sloane SquareB8 SnaresbrookD2 South ActonD2 South EalingE3 SouthfieldsA6 SouthgateB2 South HarrowD4 South KensingtonB3 South KentonE8 South QuayB1 South Ruislip
E5 SouthwarkF4 South WimbledonB8 South WoodfordD2 Stamford BrookA3 StanmoreC7 Stepney GreenF5 StockwellB3 Stonebridge ParkC8 StratfordB2 Sudbury HillB2 Sudbury Town E7 Surrey QuaysB4 Swiss Cottage
D5 TempleA8 Theydon BoisF4 Tooting BecF4 Tooting BroadwayC5 Tottenham
Court RoadB7 Tottenham HaleA5 Totteridge &
WhetstoneD7 Tower Gateway
D6 Tower HillB5 Tufnell ParkD2 Turnham Green A6 Turnpike Lane
C3 Westbourne ParkD3 West BromptonD7 WestferryA5 West FinchleyC8 West HamB4 West HampsteadB2 West HarrowD8 West India QuayD3 West KensingtonD5 WestminsterA1 West RuislipC7 WhitechapelC3 White CityB3 Willesden GreenB3 Willesden JunctionE3 WimbledonE3 Wimbledon ParkA8 WoodfordA6 Wood GreenA5 Woodside Park
µ:
Ÿ Á :
Ÿ Á
:
Á:
Á : µŸ :
Á µ
Á µÁ :
Á µ
Ÿ ÁÁ µ
:
ÁµÁŸ ÁÁ
Ÿ Á :Ÿ
µ
Á : µ: µÁ : µ
Ÿ Á :Ÿ Á : µ
:
Ÿ Á : µ
ÁŸ Á : µÁÁÁŸ Á :
Ÿ Á
µ
Ÿ Á :Á µÁ µÁ µ
Á: µ
Ÿ ÁÁ µµ:
Á :
µ
Ÿ :Ÿ Á
Á µÁ µÁŸ Á
µÁ µ
Ÿ Á : µ: ∏
Ÿ ::
Ÿ Á
Á :µ
Á µ
Á :Á
:
Ÿ Á :Á µ:
Á
Ÿ Á :Á µ
Á :
Ÿ µŸ Á :Ÿ Á
: µ ∏
:
µŸ Á :ÁŸ
Ÿ Á µ
Á
Ÿ ÁÁŸ : µŸ Á µ
Ÿ Á: µ
Á
: µ
Á : µÁ : µ Á :Á : ∏
ÁÁ
Á : µ:
Ÿ :µÁ : ∏: µ
Ÿ Á
Á :
Ÿ
Ÿ Á :Ÿ :
µ
:
Ÿ Á :Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
Á :Á :
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :
: µŸ Á :
: :
ÁŸ Á :: ∏
Ÿ Á :Ÿ Á
Á : µ:
Á µµÁ
Ÿ Á :
ÁŸ Á :Ÿ Á :
Ÿ Á : µŸ Á :
ÁÁ µ
Á µŸ Á :Ÿ ::
Á :
Á :
Ÿ Á :
Ÿ:
µŸ Á
Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
µ:
Ÿ Á : µÁÁ
Ÿ :
Ÿ Á : µŸ Á :
µ
Ÿ Á : µ
: µ
Á µ
: ∏
Ÿ ÁŸ
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :Á :
µ: µµ:
:
µ
µŸ ::
:
Á :Á : µŸ Á : µ
Ÿ Á : µÁŸ Á : µ
231124D1
2/342
131145213
35222132114
3/42232
2/32254
22
22223125C211D53B22
2/35
4312
A3
2/33
5526
2/323
33
1/2253
3/42/32/3511
1/26
2/31611
5142222
3
413212514
2/313
2252
2/333355
5/6
6
63/4252316122264451
62
2
222224
3/422411
21121
2/33
3/4211
6
22/31112411
6/A422
3422
2/333
2/3
5544663
1/2
512421
13241153
243
2/32
421
25414A52323656
1
121322
2
2314333451425
13/442522334422
16331
34
1
12
2/33
66436
1/21
342121A443
2224325221622
2/3333434
A
B
C
D
F
G
H
I
K
L
M
N
O
Q
P
R
S
T
V
W
U
E
Grid Stations Zones Grid Stations Facilities Zones
Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities ZonesIndex to stations
Sponsored by
Travel information
Step-free accessStations displaying this symbolin the index have step-freeaccess between the street andplatforms. This facility is usefulfor passengers with luggage,shopping or buggies as well asfor wheelchair users
To plan a journey in a wheelchair,see our leaflet ‘Tube access guide’ or call
0845 330 9880
For journey planning and travel advice call
µ
Station facilitiesThe index on this map also shows
Other RailwaysFor a map of all Railways in Greater London, consult the High Frequency Services Map nearby
‰ Car parksBicycle parking
Stations with toilets on siteor nearby
Á
∑
Travel Information Centres∏
Facilities
Transport for London
Key to lines and symbols
Central
Bakerloo
District
Circle
East London Docklands Light Railway
Northern
Metropolitan
Piccadilly
Victoria
Waterloo & City
National Rail
Connections withNational Rail
Connection withTramlink
Airport interchange
Connections withriverboat services
Interchange stations
Poster 09.05
OpensDecember 2005
020 7222 123424 hour travel information
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
Jubilee
Hammersmith & City
Covent Garden station gets very busy at weekends and in the evenings, but you can avoid the crowds by walking there from Holborn, Leicester Square or Charing Cross. The short walk is clearly signposted above ground and maps are on display at each station.
This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck
Bermondsey
SouthwarkWaterloo East
Chalfont &Latimer
Moor Park
NorthwoodNorthwoodHills
Pinner
Eastcote North Harrow
Maida Vale
Queen's ParkKensal Green
Neasden
Dollis Hill
Willesden Green
Kilburn
WestHampstead
Swiss CottageSt. John's Wood
Finchley Road
Amersham
Ruislip Manor
Chesham
Chorleywood
Rickmansworth
Watford
Croxley
Harrow-on-the-Hill
PrestonRoad
Hillingdon Ruislip
Rayners Lane
West Harrow NorthwickPark Wembley
Park
Ealing Common
EalingBroadway
GreatPortland
StreetBakerStreet
FarringdonBarbican
Moorgate
Aldgate
EustonSquare
ActonTown
ChiswickPark
TurnhamGreen
WestActon
EastActon
Shepherd'sBush
StamfordBrook
RavenscourtPark
Hammersmith
WestKensington
West Brompton
Fulham Broadway
Parsons Green
Putney Bridge
East Putney
Southfields
Wimbledon Park
Wimbledon
VictoriaSouthKensington
GloucesterRoad
Embankment
Blackfriars
MansionHouse
Temple
Cannon Street
Bank
Monument
BaronsCourt
Fenchurch Street
Whitechapel
TowerGateway
TowerHill
AldgateEast
Stepney Green
Mile End
BowRoad Bow
ChurchBromley-by-Bow
West Ham
Plaistow
Upton Park
East Ham
Becontree
DagenhamHeathway
Elm Park
Upney
DagenhamEast
Hornchurch
UpminsterBridge
Upminster
High StreetKensington
NottingHill Gate
Bayswater
Kensal Rise Brondesbury
EdgwareRoad
St. James'sPark
SloaneSquare
Westminster
Barking
Latimer Road
Westbourne Park
Finchley Road& Frognal
Ladbroke Grove
Royal Oak
Shepherd'sBush
Goldhawk Road
West Ruislip
Greenford
RuislipGardens
SouthRuislip
Northolt
HangerLane
Perivale
NorthActon
WhiteCity
HollandPark
Paddington
Paddington
ChanceryLaneBond
StreetOxfordCircus
TottenhamCourt Road
St. Paul'sMarbleArch
Queensway
LancasterGate
BethnalGreen
Stratford
Leyton
Leytonstone
Snaresbrook
SouthWoodford
Woodford
Epping
Theydon Bois
DebdenLoughton
Buckhurst Hill
Redbridge
ChigwellRodingValley
Hainault
Fairlop
BarkingsideNewbury
Park
GrangeHill
Wanstead GantsHill
South Ealing
Knightsbridge
Hyde ParkCorner
Green Park
PiccadillyCircus
LeicesterSquare
RussellSquare
Caledonian Road
CaledonianRoad &
Barnsbury
DalstonKingsland
Homerton
Holloway Road
Arsenal
Manor House
Turnpike Lane
Wood Green
Bounds Green
Arnos Grove
Southgate
Oakwood
Cockfosters
Uxbridge Ickenham
ActonCentral
Waterloo
Morden
Colliers Wood Tooting Broadway
South Wimbledon
Tooting BecBalham
Clapham South ClaphamCommon
Clapham NorthClapham High Street 100m
StockwellOval
Kennington
Borough
SouthActon
Old Street
Angel
GoodgeStreet
Euston
MorningtonCrescent
Camden Town
Chalk Farm
Regent’s Park
Belsize Park
Hampstead HampsteadHeath
GospelOak
CanonburyHackneyCentral
HackneyWick
KentishTown West
CamdenRoad
Hendon Central
Colindale
BurntOak
Mill Hill East
High Barnet
Totteridge & Whetstone
Woodside Park
West Finchley
Finchley Central
East Finchley
Highgate
Archway
Tufnell Park
KentishTown
CanadaWater
Canary Wharf
Elverson Road
Deptford Bridge
Harrow &Wealdstone
Kenton
Stanmore
Canons Park
Queensbury
Kingsbury
South KentonNorth Wembley
Wembley Central
Stonebridge ParkHarlesden
Willesden Junction
Kilburn ParkWarwick Avenue
EdgwareRoad
BrondesburyPark
Marylebone
LambethNorth
Elephant & Castle
King's CrossSt. Pancras
CharingCross
Covent Garden
Highbury &Islington
BlackhorseRoad
SevenSisters
WalthamstowCentral
TottenhamHale
FinsburyPark
Pimlico
Brixton
Shoreditch
Wapping
Rotherhithe
Surrey Quays
New CrossNew Cross Gate
Vauxhall
Limehouse
Westferry
DevonsRoad
PuddingMill Lane
West IndiaQuay
Cutty Sarkfor Maritime Greenwich
Greenwich
Lewisham
Blackwall
EastIndia
Warren Street
Edgware
All Saints
Heron Quays
South Quay
Crossharbour &London Arena
Mudchute
Island Gardens
Shadwell
No service between Woodford - Hainault
after 2000 hours
Gunnersbury
Richmond
Kew Gardens
Poplar
London Bridge
Change atChalfont & Latimer
on most trains
No Piccadilly line serviceUxbridge - Rayners Lane
in the early mornings
Special fares apply forprinted single and return
tickets to and from this station
Also served byPiccadilly linetrains early
mornings andlate evenings
100m
100m
Euston 200m
150m
Charing Cross 100m
200m
HeathrowTerminals
1, 2, 3
Hounslow Central
Osterley
Northfields
Boston ManorHounslow
East
HounslowWest
LiverpoolStreet
No Hammersmith & City line serviceWhitechapel - Barking early mornings,late evenings or all day Sundays.
Mondays - Fridays open0700 - 1030 and 1530 - 2030
Saturdays closedSundays open 0700 - 1500
No entry from the streeton Sundays 1300 - 1730
(exit and interchange only)
Waterloo & City lineMondays - Fridays 0615 - 2130
Saturdays 0800 - 1830Sundays closed
At off-peak times most trains run to/from Morden via the Bank branch.To travel to/from the Charing Cross branch please change at Kennington.
Open Mondays -Saturdays
200m
South Harrow
Sudbury Hill
North Ealing
Park Royal
Alperton
Sudbury Town
Mondays - Saturdaysopen 0700-2345
Sundaysopen 0800-2345
Kensington(Olympia)
Earl'sCourt
Holborn
King George V
LondonCityAirport
WestSilvertown
PontoonDock
Opens
December 2005
Opens December 2005
Silvertown
North Woolwich
Royal Victoria
Custom Housefor ExCeL
Prince Regent
Royal Albert
Beckton Park
Cyprus
GallionsReach
Beckton
Canning TownBus to London City Airport
OpenMondays - Fridays
until 2100 onlySaturdays 0730 - 1930
Golders Green
Brent Cross
HeathrowTerminal 4
Hatton Crossfor Heathrow Terminal 4
Bus ser
vice
Improvement work to tracks and stations mayaffect your journey, particularly at weekends.
For help planning your journey look forpublicity at stations, call 020 7222 1234
or visit www.tfl.gov.uk
Closed until May 2006
Sudbury Hill Harrow150m
Station in Zone 11
Station in Zone 2
3
4
5
6
Station in Zone 3
Station in Zone 5
Station in Zone 6
2
Station in Zone 4
A Station in Zone A
B Station in Zone B
C Station in Zone C
D Station in Zone D
Station in Zone 6 and Zone A
Station in both zones
Station in both zones
Explanation of zones
TM Quad 2n Version 2 1/9/05 4 Colour Process + 4 Self Colours
Graf imenujemo trojicoG “ pV ,E ,Aq , kjer so V ,Ein A paroma locene (koncneali stevno neskoncne)mnozice. Mnozica V jemnozica vozlisc (ali tock)grafa G ; mnozici E in Apa zaporedoma mnozicaneusmerjenih povezav inmnozica usmerjenih povezavgrafa G . Mnozici E in A stalahko tudi prazni.
Graf lahko narisemo tako, da za vsako vozlisce narisemo krogec, povezavepa prikazemo s crtami, ki vezejo ustrezna vozlisca. Ce je povezavausmerjena, nakazemo smer s puscico. Pogosto tudi tako dobljeni sliki grafapravimo kar graf.
6 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Usmerjene in neusmerjene povezave, zanke
Vsaki povezavi iz L “ E Y A pri-padata dve vozlisci - njeni krajisci.Ce je povezava usmerjena, je enokrajisce zacetek, drugo pa konecpovezave.
Da ima neusmerjena povezava p krajisci u in v bomo zapisalippu : vq, oziroma enakovredno ppv : uq; in apy , xq, da je vozlisce yzacetek in vozlisce x konec usmerjene povezave a. Rekli bomo tudi,da povezava p P E veze svoji krajisci, in da povezava a P A gre (vodi)od svojega zacetka do svojega konca. V primeru, ko predstavlja obekrajisci povezave isto vozlisce, pravimo taki povezavi zanka. Vozlisce,ki ni krajisce nobene povezave, je osamljeno (izolirano) vozlisce.
7 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Opis grafa – mnozice
V “ ta, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k , lu
A “ tpa, bq, pa, dq, pa, f q, pb, aq,
pb, f q, pc , bq, pc , cq, pc , gq1,
pc , gq2, pe, cq, pe, f q, pe, hq,
pf , kq, ph, dq, ph, lq, pj , hq,
pl , eq, pl , gq, pl , hqu
E “ tpb : eq, pc : dq, pe : gq, pf : hqu
G “ pV ,E ,Aq
L “ AY E
8 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Krajisce, zacetek, konec, dvojcek
Oznacimo z V p2q “ ttu, vu : u, v P V u mnozico vseh eno ali dvoelementnih podmnozic mnozice vozlisc V . Pri opisu zvez med vozlisciin povezavami bomo uporabljali naslednje funkcije:
ext : LÑ V p2q – krajisci povezaveinit : AÑ V – zacetek povezaveterm : AÑ V – konec povezavetwin : V ˆ LÑ V – drugo krajisce povezave
ki zadoscajo naslednjim zahtevam:
extpppu : vqq “ tu, vu extpapu, vqq “ tu, vuinitpapu, vqq “ u termpapu, vqq “ vtwinpu, apu, vqq “ v twinpu, apv , uqq “ vtwinpu, ppu : vqq “ v
9 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Razsiritev zapisa na vse povezave
V nadaljnem nam bosta prisli prav naslednji razsiritvi zapisa povezav:naj bo p P L, potem pomeni
ppu, vq ” pp P E ^ ppu : vqq _ pp P A^ ppu, vqq
inppu : vq ” ppu, vq _ ppv , uq
Povezavi sta vzporedni, ce imata isti krajisci.Ce je A “ H, pravimo, da je graf neusmerjen; in je usmerjen, ce jeE “ H.
10 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Enostavni grafi
Kadar veze vsak par vozlisc v danemgrafu kvecjemu ena neusmerjenapovezava ali pa vodi v vsako smernajvec po ena usmerjena povezavain graf nima neusmerjenih zank,pravimo da je graf enostaven. Enos-tavnim usmerjenim grafom pravimotudi relacijski ali Bergeovi grafi.
Pri enostavnih grafih je vsaka povezava enolicno dolocena s krajiscema invrsto (usmerjena/neusmerjena). Zato lahko neusmerjeno povezavo skrajiscema u in v oznacimo kar z pu : vq; usmerjeno povezavo z zacetkomu in koncem v pa z pu, vq. Potemtakem je mnozica povezav A relacijskegagrafa G “ pV ,H,Aq povratno enolicno povezana z relacijo:
RA “ tpu, vq : Da P A : apu, vqu Ď V ˆ V
Tako smo prisli do obicajne definicije relacijskega grafa kot dvojice pV ,Rq,pri cemer je R Ď V ˆ V dvomestna relacija nad V .
11 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Koncni grafi
Ce so vse tri mnozice V ,E in A koncne, je tudi graf koncen. V temsestavku se bomo v glavnem ukvarjali le s koncnimi grafi, zato bomota pridevnik opuscali. Stevilo vozlisc grafa bomo oznacevali z n,stevilo povezav pa z m. Torej
n “ cardpV q in m “ cardpLq
12 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Graf – Matrika
a b c d e f g h i j k l
a 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
b 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
c 0 1 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0
d 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
f 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
h 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
j 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
l 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
Graf G je enostaven ntk. vse vrednosti v matriki so 0 ali 1.
Na sliki je prikazan graf trgovine med izbranimi drzavami sveta. Pri vecjih
grafih z veliko povezavami postane slika grafa nepregledna; v matricnem
prikazu, za ustrezni vrstni red vozlisc, pa lahko opazimo pravilnosti in
vzorce.
14 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Podgrafi
Graf H “ pV 1,E 1,A1q, za katerega velja V 1 Ď V in L1 Ď L,
imenujemo podgraf grafa G “ pV ,E ,Aq in zapisemo H Ď G . Pozor,
ker je H graf, so vsa krajisca povezav iz L1 v V 1.
15 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
. . . Podgrafi
Ce je V 1 “ V , govorimo o vpetem podgrafu. Poleg vpetih podgrafovpoznamo se podgrafe, porojene z mnozico vozlisc V 1 Ď V :
L1 “ LpV 1q “ tp P L : Du, v P V 1 : ppu : vqu, extppq Ď V 1
oziroma z mnozico povezav L1 Ď L:
V 1 “ V pL1q “ tv P V : Dp P L1Du P V : ppu : vqu
“ YpPL1 extppq “ extpL1q
16 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Homomorfizmi in izomorfizmi
Imejmo grafa G “ pV ,E ,Aq inH “ pV 1,E 1,A1q. Preslikavi ϕ :V Ñ V 1 in ψ : L Ñ L1 dolocatasibki homomorfizem grafa G v grafH natanko takrat, ko velja:
@u, v P V @p P L : pppu : vq ñ ψppqpϕpuq : ϕpvqqq
oziroma doloca (krepki) homomorfizem grafa G v graf H natankotakrat, ko velja:
@u, v P V @p P L : pppu, vq ñ ψppqpϕpuq, ϕpvqqq
Pri enostavnih grafih je krepki homomorfizem dolocen ze s preslikavo
ϕ.
17 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Izomorfizmi in stalnice
V primeru, ko sta ϕ in ψ bijekciji in v ustreznem pogoju veljanamesto implikacije ekvivalenca, pa govorimo o izomorfizmu grafovG in H . Da sta grafa sibko izomorfna zapisemo G „ H; da sta(krepko) izomorfna pa G « H. Obe izomorfnosti sta ekvivalencnirelaciji in velja «Ă„.Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno stevilo,ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe. Stalnice imajopomembno vlogo pri postopkih za ugotavljanje izomorfnosti grafov.V nadaljevanju bomo spoznali vec stalnic.
18 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Homomorfizem
a
b
c
d
e
f
g
i
h
j
lk
m
A
E
J
F
BC
G
D
H
I
1
2
3
4
5
6
7
89
t
u
v
x
y
z
Pajek
ϕ1 2 3 4 5 6 7 8 9t y z x v u z y t
Pajek: homoEna.net
ψa b c d e f g h i j k l mE J D H G C H G B F J I E
Stevila vseh povezav izbranevrste (usmerjene/neusmerjene,vstopajoce/ izstopajoce, vse, . . . )s krajiscem v danem vozliscu,oziroma stevila povezav, ki vezejodani vozlisci, imenujemo kratnostipovezav.
Formalno vpeljemo kratnosti s pomocjo zvezd. Zvezda v danemvozliscu je mnozica vseh povezav, ki imajo to vozlisce za krajisce:
Lpvq “ tp : v P extppqu
21 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Zvezde, kratnosti in stopnje
Pravzaprav poznamo vec vrst zvezd. Npr.:
L0pvq “ tp : extppq “ tvuu
E pvq “ tp : p P E ^ v P extppqu
Atermpvq “ tp : p P A^ termppq “ vu
Tako lahko definiramo kratnost povezav v vozliscu u ali stopnjovozlisca u
dpuq “ cardpLpuqq
kratnost povezav med vozliscema u in v
dpu, vq “ cardpLpuq X Lpvqq
in kratnost usmerjenih povezav iz vozlisca u v vozlisce v
Adoutpu, vq “ cardpAinitpuq X Atermpvqq
22 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Zveze
Med kratnostmi velja cel kup zvez. Na primer:
dpu, vq “ dpv , uq
indpuq “
ÿ
vPV
dpu, vq
Kadar zelimo posebej povedati, da se neko stevilo nanasa na graf G ,mu dodamo oznako grafa. Tako na primer z oznako dpu, v ;G qpoudarimo, da gre za kratnost povezav med vozliscema u in v gledena graf G .Ce je za vsako vozlisce v P V stopnja dpvq koncna, pravimo, da jegraf lokalno koncen.
23 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Graf – Sosedi
NApaq “ tb, d , f uNApbq “ ta, f uNApcq “ tb, c , g , guNApeq “ tc , f , huNApf q “ tkuNAphq “ td , luNApjq “ thuNAplq “ te, g , hu
NE peq “ tb, guNE pcq “ tduNE pf q “ thu
Npvq “ NApvq Y NE pvq
24 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Valence
Na povezave s krajiscem v danem vozliscu lahko gledamo na dvenacina (povezave v celoti; ali pa cisto lokalno, kot polpovezave –zanke stejemo dvakrat). Zato vpeljemo se pojem valence:
vpuq “ dpuq ` d0puq
kjer je d0puq “ cardpL0puqq stevilo zank v vozliscu u.Poglejmo si vsoto vseh valenc. Vzemimo povezavo p s krajiscema uin t. Ce je u ‰ t, stejemo povezavo enkrat v valenci vozlisca u indrugic v valenci vozlisca t; ce pa je u “ t, je p zanka in jo, podefiniciji valence, stejemo dvakrat v vozliscu u. V vsakem primeru jov vsoti vseh valenc stejemo natanko dvakrat. Torej je:
ÿ
uPV
vpuq “ 2m oziroma pÿ
uPV
vpuqq mod 2 “ 0
25 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Lema o rokovanjih
Od tu izhaja naslednja ugotovitev:V vsakem grafu je sodo vozlisc lihe valence.
Dokaz: Naj bo V0 mnozica vozlisc sode valence in V1 mnozicavozlisc lihe valence. Velja V0 Y V1 “ V in V0 X V1 “ H. Zato je
0 “ pÿ
uPV
vpuqq mod 2 “ pÿ
uPV0
vpuq `ÿ
uPV1
vpuqq mod 2
“ ppÿ
uPV0
vpuqq mod 2` pÿ
uPV1
vpuqq mod 2q mod 2
“ cardpV1q mod 2
l
Gornji izrek pogosto imenujejo tudi lema o rokovanjih, kar izhaja iznaslednje “preobleke”: Na nekem srecanju se je vec ljudi med sebojrokovalo. Vselej se je sodo izmed njih rokovalo z lihim stevilomudelezencev srecanja.
26 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Sosedi
Vozlisci sta sosednji, ce sta krajisci skupne povezave. Podobno kotobstaja vec vrst zvezd, obstajajo tudi ustrezne mnozice sosedov danevozlisce. Tako je na primer:
extpLpvqqztvu – (pravi) sosedi vozlisca vextpE pvq Y Atermpvqq – (neposredni) predhodniki vozlisca vextpE pvq Y Ainitpvqq – (neposredni) nasledniki vozlisca v. . .
V koncnem grafu je sodo vozlisc, ki ima liho pravih sosedov. To lahkosprevidimo takole. Grafu G “ pV ,E ,Aq priredimo ogrodje (skelet), toje enostaven neusmerjen graf SpG q “ pV ,E 1,Hq, pri cemer je:
E 1 “ tpu : vq : u, v P V , u ‰ v , Dp P L : ppu : vqu
Ker je vpu;Sq enaka stevilu pravih sosedov vozlisca u v grafu G , je,po prejsnji trditvi, trditev dokazana.
27 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
δpG q in ∆pG q
S stopnjo vozlisca sta povezani dve stalnici grafa: najmanjsa valencaδpG q in najvecja valenca ∆pG q
δpG q “ minuPV
vpuq in ∆pG q “ maxuPV
vpuq
Ce imajo vsa vozlisca grafa isto valenco r , pravimo, da je grafr–regularen (pravilen). 3–regularnim grafom pravimo tudi kubicnigrafi. Na sliki je prikazanih nekaj kubicnih grafov.
Drugi izmed njih jePetersenov graf, ki imav teoriji grafov pomem-bno vlogo kot “dezurni”protiprimer.
28 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Nicelni graf in polni graf
Pajek
Poglejmo si se nekaj primerkov enostavnih neusmerjenih grafov:Nicelni graf na n vozliscih: Nn “ pV ,Hq , cardpV q “ nPolni graf na n vozliscih: Kn “ pV ,E q, cardpV q “ n,E “ tpu : vq : u, v P V ^ u ‰ vuNa sliki sta prikazana grafa N4 in K5.
29 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Kocke
000
001
010
011
100
101
110
111
Pajek
Na sliki sta prikazana grafa trirazsezne kockeQ3 in stirirazsezne kocke Q4.k–razsezno kocko Qk lahko opisemo na primertakole. Za mnozico vozlisc V vzamemo nar-avna stevila od 0 do 2k ´ 1. Naj bo u “
uk´1uk´2 . . . u2u1u0 p2q dvojiski zapis stevila-vozlisca u. Tedaj mnozico povezav k–razseznekocke opisemo takole
E “ tpu : vq :k´1ÿ
i“0
pui Y vi q “ 1u
Dvojiski stevilki krajisc povezave se razlikujetanatanko na enem mestu.