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*El Diseo 2k-p Factorial FraccionadoMotivacin para los
factoriales fraccionados es obvia, conforme el nmero de factores se
hace grande, el tamao del diseo crece rpidamente. nfasis en la
exploracin de factores, identificar eficientemente los factores con
efectos grandes Podra haber muchas variables (quizs porque no
sabemos mucho sobre el sistema). Casi siempre corre como un
factorial no replicado, pero a veces con puntos centrales.
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Diseos factoriales fraccionadosDiseos en los que se elige
adecuadamente una parte o fraccin de los tratamientos de un
factorial completo, con la intencin de poder estudiar el efecto de
los factores utilizando menos corridas experimentales
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*Diseos factoriales fraccionadosQu son los diseos factoriales
fraccionados? Para la mayora de los experimentadores, los recursos
disponibles (tiempo, dinero) son limitados. A medida que aumenta el
nmero de factores en un diseo factorial 2k, aumenta rpidamente el
nmero de corridas necesarias para realizar una rplica completa. A
menudo, el diseo factorial completo es demasiado costoso o difcil
de realizar. Los diseos factoriales fraccionados utilizan un
subconjunto (o fraccin) de un diseo factorial completo para obtener
informacin sobre efectos principales e interacciones de orden
bajo.
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*Cundo utilizar los diseos factoriales fraccionados?
Si no le preocupan las interacciones de orden ms alto y puede
presuponer que son insignificantes, puede obtener suficiente
informacin sobre los efectos principales y las interacciones de dos
vas al realizar solamente una fraccin del diseo factorial. Por
ejemplo, un diseo 27 que contenga todas las combinaciones posibles
de niveles de factor requiere 128 corridas. El modelo completo
contiene 7 efectos principales y 21 interacciones de dos factores.
Los trminos restantes son interacciones de orden ms alto.
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*Por qu utilizar diseos factoriales fraccionados?
Utilice diseos factoriales fraccionados para responder a
preguntas como: Cul es factores tienen efectos importantes o
significativos en la respuesta? Cules factores tienen un impacto
insignificante en la respuesta? Cules interacciones de orden bajo
son importantes para explicar la variacin en la respuesta?Por
ejemplo, Cul de los potenciales factores que contribuyen a la fuga
en la lata de aerosol son los ms importantes? Hay interacciones de
dos factores entre temperatura del molde, velocidad de roscado,
tiempo de mantenimiento, duracin del ciclo, tamao de la puerta y
temperatura de mantenimiento que sean importantes para explicar el
encogimiento excesivo en el proceso de moldeo por inyeccin?
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*Porqu el Diseo Factorial Fraccionado trabaja?El principio de
efectos esparcidos o escasez de efectos Podra haber muchos
factores, pero solo unos pocos son importantes. Sistema es dominado
por efectos principales, e interacciones de orden inferior. La
propiedad de proyeccin Cada factorial fraccionado contiene
factoriales completos con poco factores. Experimentacin Secuencial
Se puede aadir corridas a factoriales fraccionados para resolver
dificultades (o ambigedades) en la interpretacin.
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El primer factorial completo que genera exceso de informacin es
el 25: permite estudiar 31 efectos, de ellos slo 15 son
potencialmente importantes (5 principales y 10 interacciones
dobles). Cundo y porqu fraccionar*
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*Trminos del diseo factorial fraccionado
Generador de diseoEl generador de diseo determina cul fraccin (o
subconjunto decorridas) se selecciona de todo el conjunto de
corridas. Minitab utilizaun generador predeterminado, pero usted
tambin puede especificaruna seleccin alterna en el cuadro de dilogo
Diseo.
ConfusinCuando todos los trminos son indistinguibles entre s, se
dice queestn confundidos. En otras palabras, los efectos no se
pueden estimarde forma independiente.
Estructura de aliasLa estructura de alias describe el patrn de
confusin que ocurre en undiseo. Se dice que los trminos que se
confunden tambin forman unaestructura de alias.
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Diseo Factorial Fraccionado 23-1Es el primer diseo que se puede
fraccionar Para fraccionarlo a la mitad es necesario seleccionar 4
de los ocho tratamientos que conforman el diseo. La seleccin se
hace de tal manera que se pierda el mnimo de informacin relativa a
los efectos considerados importantes. Como en el factorial completo
23 se pueden estudiar los 7 efectos: A, B, C, AB, AC, BC, ABC. De
acuerdo a su jerarqua, el efecto menos importante a priori es la
interaccin triple ABC.
*
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Diseo factorial fraccionado 23-1Generador de la fraccinRelacin
definidoraEstructura del alias*
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Diseo Factorial Fraccionado 23-1A B C
ABC-11-11-11-11-1-111-1-111-1-1-1-11111-111-11-1-11 La generacin de
la fraccin se hace con base en los signos del contraste ABC Los
tratamientos con signos + conforman la llamada fraccin principal y
los que tienen signos - sealan la fraccin complementaria. Ambas
fracciones proporcionan la misma calidad de informacin. ABC se le
conoce como generador de la fraccin*
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Representacin de los diseos factoriales fraccionados 23-1*
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Efectos AliasEn cualquier diseo factorial fraccionado 2k-1 cada
efecto tiene un alias. Es decir, un efecto que tiene el mismo
contraste, y que por lo tanto estiman el mismo efecto. Por ejemplo
en el diseo 23-1 los efectos A y BC comparten el mismo contraste
(son alias entre ellos).
Al estimar el efecto A se estima la suma A+BC, y no se sabe si
ambos estn activos o si solo uno de ellos. Por el principio de
jerarqua, el efecto estimado se suele atribuir al efecto A. *
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El concepto de resolucinCualidad de un diseo que indica que tan
bien puede estudiarse los efectos potencialmente importante
mediante este diseo. Entre mayor resolucin mejor.Resolucin III. Es
la resolucin mnima aceptable, y en ella los efectos principales no
estn confundidos (alias) entre s, pero estn confundidos con
interacciones dobles. Por ejemplo, la fraccin 23-1 tiene resolucin
III.*
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El concepto de resolucinResolucin IV. Efectos principales no
estn confundidos con interacciones dobles. Por ejemplo la fraccin
24-1.
Resolucin V. Efectos principales e interacciones dobles no
confundidos entre s, y ms bien son alias de interacciones triples o
de mayor orden. Por ejemplo, la fraccin 25-1. *
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*Resolucin Cuando usted ejecuta un diseo factorial fraccionado,
uno o ms efectos se confunden. La resolucin describe el grado en
que las interacciones de un diseo forman una estructura de alias
con otros factores e interacciones.
Los diseos de resolucin III, IV y V son particularmente
importantes:
Diseos de resolucin III - Ningn efecto principal forma una
estructura de alias con ningn otro efecto principal. Sin embargo,
los efectos principales forman estructuras de alias las con
interacciones de dos factores y las interacciones de dos factores
forman una estructura de alias entre s.
Diseos de resolucin IV - Ningn efecto principal forma una
estructura de alias con ningn otro efecto principal o interaccin de
dos factores. Las interacciones de dos factores forman una
estructura de alias entre s.
Diseos de resolucin V - Ningn efecto principal o interaccin de
dos factores forma una estructura de alias con ningn otro efecto
principal o interaccin de dos factores. Las interacciones de dos
factores forman una estructura de alias con interacciones de tres
factores.
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*Resolucin del Diseo Diseos Resolucin III:ejemplo Diseos
Resolucin IV:ejemploDiseos Resolucin V:ejemplo
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Construccin en Dos Pasos delDiseo Factorial Fraccionado
2k-1Escribir el factorial completo en k-1 factores.2. La columna
faltante se obtiene del producto de las k-1 columnas del paso
anterior.Ejemplo Construccin del factorial fraccionado 24-1*
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*La Fraccin Un Medio del Diseo 2kNotacin: porque el diseo tiene
2k/2 corridas, se refiere como un 2k-1 Considere un caso simple, el
23-1 Note que I =ABC llamado la relacin de definicinABC =
generador, palabra
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*La Fraccin un Medio del Diseo 23Para la fraccin principal, note
que el contraste para estimar el efecto principal A es exactamente
el mismo que el contraste usado para estimar la interaccin BC ste
fenmeno es llamado alias y ocurre en todos los diseos fraccionados.
Los alias pueden ser encontrados directamente de las columnas en la
tabla de los signos + y -.
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*Alias en el Diseo un Medio 23A = BC, B = AC, C = AB Alias
pueden encontrarse de la relacin de definicin I = ABC por
multiplicacin :AI = A(ABC) = A2BC = BCBI =B(ABC) = ACCI = C(ABC) =
ABNotacin del libro para efectos alias:
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*La Fraccin Alterna del Diseo 23-1I = -ABC es la relacin de
definicin Implica alias ligeramente diferentes: : A = -BC, B= -AC,
y C = -ABAmbos diseos pertenecen a la misma familia, definida
por:
Suponga que despus de correr la fraccin principal, la fraccin
alterna tambin fue corridaLos dos grupos pueden ser combinados para
formar un factorial completo un ejemplo de experimentacin
secuencial
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*Construccin de la Fraccin Un Medio El diseo bsico, el generador
del diseo
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*Proyeccin de Factoriales Fraccionados Cada factorial
fraccionado contiene factoriales fraccionados con pocos factoresUna
fraccin un medio se proyectar en un factorial completo en
cualquiera k-1 de los factores originales
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*Ejemplo
-
*Ejemplo Interpretacin de los resultados puede depender en hacer
algunas suposiciones Experimentos de confirmacin pueden ser
importanteVer la proyeccin de este diseo en 3 factores
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*Estrategias posibles para el seguimiento de la experimentacin
despus de un diseo factorial fraccionado
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*La Fraccin Un Cuarto de un Diseo 2k
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*La Fraccin Un Cuarto del Diseo 26-2Relacin de definicin
completa: I = ABCE = BCDF = ADEF
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*La Fraccin Un Cuarto del Diseo 26-2Usos de las fracciones
alternas
Proyeccin del diseo en subconjuntos de las seis variables
originalesCualquier subconjunto de las seis variables originales
que no sea una palabra en la relacin de definicin resultar en un
diseo factorial completoConsidere ABCD (factorial
completo)Considere ABCE (media fraccin replicada)Considere ABCF
(factorial completo)
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*El Diseo Factorial Fraccionado 2k-p General 2k-1 = fraccin un
medio, 2k-2 = fraccin un cuarto, 2k-3 = fraccin un octavo, , 2k-p =
1/ 2p fraccinAadir p columnas al diseo bsico; seleccionar p
generadores independientesEs importante seleccionar generadores
para maximizar la resolucin.Proyeccin un diseo de resolucin R
contiene factoriales completos en cualquiera de los R-1 de los
factores. Bloqueo
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*El Diseo General 2k-p : Resolucin puede no ser suficiente
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*Diseos de Resolucin III Diseos con efectos principales alias
con interacciones de dos factores Usados para tamizar (5 7
variables en 8 corridas, 9 - 15 variables en 16 corridas, por
ejemplo)Un diseo saturado tiene k= N-1 variables
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*Diseos Resolucin III
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*Diseos Resolucin III Experimentacin secuencial para separar
efectos alias Cambiar los signos en una columna provee estimados de
ese factor y de todas sus interacciones dobles. Cambiar los signos
en todas las columnas remueven los alias de todos los efectos
principales de sus interacciones dobles llamado un diseo completo
doblez o plegadoRelacin de definicin de un diseo de doblez Tener
cuidado estas reglas solo trabajan para diseos de Resolucin IIIHay
otras reglas para diseos de Resolucin IV, y otros mtodos para aadir
corridas para remover estructura alias de efectos de inters.
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*Ejemplo 1. Tejas para techo
Un fabricante de tejas para techo desea conocer las variables
clave queafectan la prdida de grnulos: la cantidad de grnulos
removidos deuna teja durante una prueba de friccin. La prdida de
grnulos esimportante porque afecta la vida til de la teja. Los
ingenieros hansugerido que 6 variables podran afectar de forma
significativa laprdida de grnulos. Deciden utilizar un diseo
factorial para verificarlos factores significativos que afectan la
prdida de grnulos.Recoleccin de datosUn diseo factorial completo
con 6 factores requerira 64 corridas.Debido a que la meta es
verificar solamente los principales efectossignificativos, los
ingenieros seleccionan un diseo factorialfraccionado de 16
corridas. Con este diseo de resolucin IV, lasinteracciones de 2
factores se confunden entre s, pero los efectosprincipales slo se
confunden con interacciones de tres factores y coninteracciones de
orden ms alto.
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*Ejemplo 1. Tejas para techoConjunto de datos: TEJAS.MPJ
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*Ejemplo 2 Maximizacin de una reaccin cataltica
ProblemaUn equipo de control de calidad evala cmo una reaccin
catalticaconvierte un sustrato en un producto final. Han reducido
las posiblesinfluencias a cinco factores: tasa de alimentacin,
catalizador,agitacin, temperatura y porcentaje de concentracin.
Deseanmaximizar el porcentaje de sustrato consumido en una
reaccin.Recoleccin de datosEl equipo cuenta con suficiente
presupuesto para realizar 35 corridas.Pueden ejecutar un diseo
factorial completo (25) y utilizar 32 corridasen el primer
experimento. Sin embargo, un mejor enfoque serarealizar un diseo
fraccionado, analizar los resultados y luego decidirsobre
experimentos subsiguientes.El equipo elige un diseo de fraccin de
de 16 corridas, porqueconsideran que las interacciones de 2
factores podran ser significativas. Al utilizar este enfoque
secuencial, obtienen informacin que al final puede ahorrarles
tiempo y dinero.
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*Ejemplo 2 Maximizacin de una reaccin cataltica
Conjunto de datos: REACCIN.MPJ
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*Adicin de Puntos Centrales en el Diseo Supuesto de
linealidadSlo para factores cuantitativosBasado en la idea de
replicar algunas de las corridas en un diseo factorial. Corridas en
el centro proveen un estimado del error y permiten al
experimentador distinguir entre dos posibles modelos:
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*La hiptesis es:Esta suma de cuadrados tiene solo un grado de
libertad.
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*Ejemplo Usualmente entre 3 y 6 puntos centrales trabajarn
bien.
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*ANOVA para Ejemplo
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 2,82500 2,82500
1,41250 32,85 0,0032-Way Interactions 1 0,00250 0,00250 0,00250
0,06 0,821 Curvature 1 0,00272 0,00272 0,00272 0,06 0,814Residual
Error 4 0,17200 0,17200 0,04300 Pure Error 4 0,17200 0,17200
0,04300Total 8 3,00222
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*Si la curvatura es significativa, aumente el diseo con corridas
axiales para crear un diseo central compuesto. El CCD es un diseo
muy efectivo para ajustar un modelo de superficie de respuesta de
segundo orden.
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*Usos prcticos de Puntos Centrales
Usar condiciones de operacin actuales como el punto central.
Chequear por condiciones anormales durante el tiempo que el
experimento fue conducido. Chequear por tendencias en el tiempo
Usar puntos centrales como las primeras corridas cuando hay poca o
ninguna informacin disponible sobre la magnitud del error. Puntos
centrales y factores cualitativos?
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*Puntos centrales en los diseos factorialesEjemplo 3 Maximizacin
de una reaccin cataltica
Problema El equipo de control de calidad quiere maximizar una
reaccin cataltica. Deciden utilizar el Catalizador B del
experimento anterior y variar los factores significativos
Temperatura y Concentracin. El equipo sabe que los valores ptimos
estn cerca de la configuracin de 180 C y 3% de
concentracin.Recoleccin de datos El equipo cuenta con suficiente
presupuesto para realizar 19 corridas adicionales. Quieren ejecutar
un diseo factorial completo (22) con 2 puntos centrales y, por lo
tanto, utilizar 6 corridas en este segundo experimento. Deciden
centrar el experimento en la configuracin ptima conocida
actualmente: temperatura de 180 C y concentracin de 3%. El equipo
decide realizar 2 nuevas corridas a 180 C, 3%. Por qu no utilizar
los resultados del primer experimento? El equipo no puede
garantizar exactamente las mismas condiciones, por lo que deben
realizar 2 nuevas corridas y considerarlas como corridas de
confirmacin del primer experimento. El equipo puede utilizar puntos
centrales para determinar si se necesita un modelo cuadrtico para
describir la relacin entre temperatura, concentracin y porcentaje
de reaccin cerca del mximo
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*Puntos centrales en los diseos factorialesEjemplo 3 Maximizacin
de una reaccin cataltica
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*Ejercicio. Calidad de las barras de jabn
ProblemaUn fabricante de barras de jabn desea optimizar el lmite
elstico delas barras. El lmite elstico es una propiedad fsica
importanterelacionada con la calidad del estampado de las barras.
Cuatroparmetros de proceso que afectan el lmite elstico son:
latemperatura del extrusor, la malla de blindaje en el extrusor,
latemperatura del molde y la velocidad de la lnea.Una diferencia
tan pequea de 0.75 unidades en el lmite elsticocambia la calidad de
las barras de jabn. Segn datos histricos, elproceso vara con una
desviacin estndar de aproximadamente 0.2unidades. Para evaluar si
existe curvatura en la respuesta, losexperimentadores planean
incluir puntos centrales en el diseo.
Recoleccin de datosDebido a consideraciones de tiempo y costos,
no se pueden realizarms de 14 corridas durante esta fase del
proceso de mejoramiento.
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*Instrucciones1. Calcule la potencia de un diseo de fraccin de
con tan slo 1 rplica. Con 1 rplica solamente, usted tendr que
omitir por lo menos un trmino del modelo en el cuadro de dilogo
secundario Diseo.2 Calcule el nmero de puntos centrales necesarios
en el diseo de fraccin de para obtener por lo menos una potencia de
80%. Usted ya no necesita omitir un trmino del modelo.3. Abra el
conjunto de datos LMITEELST.MPJ. Analice los resultados de este
experimento de fraccin de , que incluye 4 puntos centrales. Existe
curvatura? Cules efectos son significativos? Cules efectos
significativos se confunden?Ejercicio. Calidad de las barras de
jabn
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