DISEÑOS EXPERIMENTALES TODO

UNA PUNO DISEÑOS EXPERIMENTALES

Ing. Ronald Mamani Mayta Página | 1

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA, DIA)

El Diseño Completamente al Azar, es aquel en el cual los tratamientos son asignados en

forma aleatoria a las unidades experimentales, o viceversa, sin ninguna restricción; por

lo tanto, se considera que es un diseño eficiente cuando las unidades experimentales de

las que se dispone son muy homogéneas, es decir la mayoría de los factores actúan por

igual entre las unidades experimentales. Debido a su simplicidad, el Diseño

Completamente al Azar es usado frecuentemente utilizado en los experimentos de

laboratorio donde casi todos los factores están controlados.

La homogeneidad de las unidades experimentales puede controlarse ejerciendo un

control local apropiado (seleccionando, por ejemplo, sujetos, animales o plantas de una

misma edad, raza, variedad o especie). Pero debe tenerse presente que todo material

biológico, por homogéneo que sea, presenta una cierta fluctuación, cuyos factores no se

conocen y son, por lo tanto, incontrolables.

CARACTERÍSTICAS:

Los tratamientos se distribuyen en forma aleatoria en todas las unidades

experimentales, y el número de repeticiones o unidades por tratamiento puede ser

igual o diferente.

Este diseño es útil cuando las unidades experimentales presentan una variabilidad

uniformemente repartida.

El diseño completamente al azar proporciona el máximo número de grados de

libertad para la estimación del error experimental; además no requiere estimar datos

faltantes, es decir, el diseño puede analizarse con diferente número de repeticiones

por tratamiento.

ARREGLO DE CAMPO:

Supongamos que se desea evaluar cuatro variedades de una proteína en un lote

homogéneo, con cuatro repeticiones. Al sortear aleatoriamente las cuatro variedades (A,

B, C y D), cada una tiene la misma posibilidad de ocupar cualquiera de las unidades

experimentales en que se divide el lote, por ejemplo:

C B D A

A B C D

D A B C

D C A B

Ejemplo

Suponga que tenemos 4 dietas diferentes que queremos comparar. Las dietas están

etiquetadas A, B, C y D.

Estamos interesados en estudiar si las dietas afectan la tasa de coagulación en conejos. La

tasa de coagulación es el tiempo en segundos que tarda una cortada en dejar de sangrar.

Tenemos 16 conejos para el experimento, por lo que usaremos 4 en cada dieta.



Los conejos están en una jaula grande hasta que se inicie el experimento, momento en

que se transferirán a otras jaulas.

¿Cómo asignamos los conejos a los cuatro grupos tratamiento?

MÉTODO 1:

Supongamos que los conejos se atrapan "al azar". Atrapamos cuatro conejos y los

asignamos a la dieta A. Atrapamos otros cuatro y los asignamos a la dieta B y así

sucesivamente.

Dado que los conejos fueron "atrapados al azar", esto producirá un diseño

completamente al azar.

MÉTODO 2:

Atrape a todos los conejos y etiquételos del 1 al 16. Seleccione cuatro números aleatorios

(sin reemplazo) del 1 al 16 y ponga los conejos con esa etiqueta en una jaula que recibirá

la dieta A.

Entonces, seleccione otros cuatro números aleatorios y ponga los conejos

correspondientes en otra jaula que recibirá la dieta B.

Así sucesivamente hasta tener cuatro jaulas con cuatro conejos en cada una.

MÉTODO 3:

En una urna ponga las letras A, B, C y D en pedazos de papel separados. Atrape un conejo,

saque un pedazo de papel al azar de la urna y asigne el conejo a la dieta que indique el

papel. No reemplace el papel. Atrape el segundo conejo y seleccione al azar otro pedazo

de papel de la urna de los tres que quedan.

Asigne el conejo a la dieta correspondiente. Continúe hasta que los primeros cuatro

conejos sean asignados a una de las cuatro dietas. De esta manera, todos los conejos

lentos tienen diferentes dietas.

Coloque otra vez los cuatro pedazos de papel en la urna y repita el procedimiento hasta

que los 16 conejos estén asignados a una dieta.

MODELO ESTADÍSTICO LINEAL

El modelo estadístico o aditivo lineal es una expresión algebraica que condensa todos los

factores presentes en la investigación. Resulta útil para sintetizar qué factores son

independientes o dependientes, cuáles son fijos o aleatorios, cuáles son cruzados o

anidados.

En este diseño el valor de cada unidad experimental Yij se aplica según el siguiente Modelo

Estadístico Lineal:

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 Donde:

Yij = Es la respuesta (variable de interés o variable medida), es decir es una observación

en la j-ésima unidad experimental, sujeto al i-ésimo tratamiento.



i = Es el efecto del i-ésimo tratamiento.

µ = Es el efecto de la media general del experimento o constante común.

ij = Es el error aleatorio asociado a la respuesta Yij, efecto verdadero de la j-ésima unidad

experimental (replica), sujeta al i-ésimo tratamiento (error experimental)

ESQUEMA O REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DEL DISEÑO

Observaciones

(j)

Tratamiento (i) Total

1 2 3 . . . T

1 Y11 Y21 Y31 . . . Yt1 Y.1 2 Y12 Y22 Y32 . . . Yt2 Y.2 3 Y13 Y23 Y33 . . . Yt3 Y.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r Y1r Y2r Y3r . . . Ytr Y.r Total (t) Y1. Y2. Y3. . . . Yt. Y.. Medias �̅�1. �̅�2. �̅�3.

. . . �̅�𝑡. �̅�..

VENTAJAS

a) Es simple de planificar.

b) El número de repeticiones puede variar de tratamiento a tratamiento.

c) Existe más grados de libertad para estimar el error experimental.

d) Es flexible en cuanto al número de repeticiones y tratamientos.

e) Es útil cuando la unidad experimental tiene una variabilidad uniforme repartida

f) Cuando se pierde alguna parcela experimental se puede considerar que se tiene

diferente número de repeticiones por tratamiento.

g) El error experimental puede obtenerse separadamente para cada tratamiento para

comprobar la suposición de Homogeneidad del error.

DESVENTAJAS

a) Es más apropiado para pequeño número de tratamientos y para un material

experimental homogéneo y uniformemente distribuido.

b) No se puede controlar el Error Experimental por lo tanto, no es un Diseño muy

preciso.

c) Cuando se tiene diferente número de repeticiones por tratamiento, es necesario

calcular un Error estándar para cada pareja de medias si se quiere comparar sus

diferencias.

ANÁLISIS DE VARIANZA

Es una técnica matemática que nos permite descomponer una Fuente de Variación Total

en sus componentes atribuibles a fuentes de variación conocida.



El cuadro de análisis de varianza (ANVA) es un arreglo dado por las fuentes de variación,

seguido de los grados de libertad, de las sumas de cuadrados, de los cuadrados medios de

cada componente, así como del valor F y su probabilidad de significación ( valor P).

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON IGUAL NÚMERO DE OBSERVACIONES POR

TRATAMIENTO

TABLA ANVA: Fórmulas

F. de V. G.L. S.C. C.M. C.M.E.

Modelo I Modelo II

Tratamientos t-1 ∑𝑌𝑖.

2

𝑟

𝑡

𝑖=1

−𝑌..

2

𝑡𝑟

𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡.

𝑡 − 1 𝜎2 + 𝑟 ∑

𝜏𝑖2

𝑡 − 1

𝑡

𝑖=1

𝜎2 + 𝑟𝜎𝜏2

Error

Experimental t(r-1) ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗

2 − ∑𝑌𝑖.

2

𝑟

𝑡

𝑖=1

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

𝑡(𝑟 − 1) 𝜎2 𝜎2

Total tr-1 ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 −

𝑌..2

𝑡𝑟

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝐶𝑉 =√𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

�̅�..

. 100 𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑡𝑟

𝑌.. = 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

MODELO DE EFECTOS FIJOS, ALEATORIOS O MIXTOS

Como se observa el efecto del tratamiento puede ser fijo, aleatorio o mixto.

a) MODELO I: Llamado modelo de Efectos fijos o modelo de análisis de varianza. Este

modelo supone que los tratamientos de una determinada subpoblación son una

cantidad fija, una variable no aleatoria.

Cuando los factores son fijos, el investigador ha escogido los factores en forma no

aleatoria y sólo está interesado en ellos.

En este caso el investigador asume que Σi=0, lo cual refleja la decisión del

investigador, de que únicamente está interesado en los t tratamientos presentes en el

experimentos. La mayor parte de los experimentos de investigación comparativa

pertenecen a este modelo.

b) MODELO II: Llamado modelo de efectos aleatorios o modelo de componentes de

varianza. Los tratamientos considerados dentro de un experimento se asumen como

una muestra al azar extraída desde una población de tratamientos.

Cuando los factores son aleatorios, el investigador, selecciona al azar los de interés de

varios que dispone y los asigna a las unidades experimentales.



En este caso el investigador asume que i tratamientos están distribuidos normal e

independientemente con media cero y varianza conocida, lo cual se acostumbra

abreviar así: DNI(0,2), lo cual refleja la decisión del investigador de que sólo está

interesado en una población de tratamientos, de los cuales únicamente una muestra

al azar (los t tratamientos) están presentes en el experimento.

c) MODELO MIXTO: Hace referencia a aquellos casos en los cuales el investigador

considera tantos factores fijos como aleatorios en el mismo experimento.

PROCEDIMIENTO PARA LA PRUEBA DE HIPÓTESIS

1) Planteamiento de Hipótesis

H0: i=0 (los i tratamientos tienen el mismo efecto sobre la variable en estudio)

H1: i0 (No todos los tratamientos tienen el mismo efecto sobre la variable en

estudio)

2) Nivel de Significancia

α=0.05 (5%) ó α=0.01 (1%)

3) Estadístico de Prueba 𝐹𝑐 =𝐶𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡.

𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

4) Regla de Decisión

Si 𝐹𝑐 ≤ 𝐹𝑛2,𝛼𝑛1 se acepta la hipótesis nula (H0)

Si 𝐹𝑐 > 𝐹𝑛2,0.05𝑛1 se rechaza la hipótesis nula (H0), representándose por un asterisco

(*), lo cual significa que la prueba es significativa.

Si 𝐹𝑐 > 𝐹𝑛2,0.01𝑛1 se rechaza la hipótesis nula (H0), representándose por dos

asteriscos (**), lo cual significa que la prueba es altamente significativa.

5) Conclusión

De acuerdo al enunciado

EJEMPLO: Se desea probar la hipótesis de que las notas de estadística en pruebas

objetivas cortas, dependen de la hora de realización de la prueba. Para ello se han

escogido, al azar, cinco alumnos del turno matutino, vespertino y nocturno. Las pruebas

arrojaron los siguientes resultados:

MATUTINO VESPERTINO NOCTURNO

16 10 15

17 11 08

18 12 09

19 13 13

20 14 14



Se pide realizar el procedimiento para la prueba de hipótesis.

Solución:

El esquema de la matriz de datos a ser procesada es:

OBSERVACIONES

TURNO

TOTAL MATUTINO

(1)

VESPERTINO

(2)

NOCTURNO

(3)

1 16 11 15 41

2 17 12 08 36

3 18 13 09 39

4 19 14 13 45

5 20 15 14 48

TOTAL 90 65 59 209

Promedio 18 13 11.8 45.8



H0: i=0

H1: i0 para al menos una i

Es decir:

H0: no existe diferencia significativa entre los tratamientos

H1: existe diferencia significativa entre los tratamientos

Respecto al problema planteado

H0: los rendimientos no difieren por turno

H1: los rendimientos difieren por turno

2) Nivel de Significancia.

α=0.05

3) Estadístico de Prueba

Los cálculos necesarios son:

Grados de libertad de tratamientos (turnos) : t-1 = 3-1 = 2

Grados de libertad del error experimental : t(r-1) = 3(5-1) = 12

Grados de libertad del total : tr-1 = (3) (5)-1 = 14

Factor de corrección:

𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑡𝑟=

(214)2

(3)(5)=

45796

15= 3053.07

Suma de cuadrados de tratamientos (turnos)



𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 = ∑𝑌𝑖.

2

𝑟

𝑡

𝑖=1

−𝑌..

2

𝑡𝑟=

902 + 652 + 592

5− 3053.07 = 108.13

Suma de cuadrados del total

𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 −

𝑌..2

𝑡𝑟

𝑟

𝑗=1

= 162 + 172 + 182 + ⋯ + 142 − 3053.07 = 166.93

𝑡

𝑖=1

Suma de cuadrados del error

𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 = 166.93 − 108.13 = 58.8

La tabla ANVA es:

F. de V. G.L. S.C. C.M. Fc

Turnos 2 108.13 54.06 11.03

Error 12 58.80 4.90

Total 14 166.93

𝐹𝑐 =𝐶𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡.

𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟=

54.06

4.90= 11.03


Como 𝐹𝑐 = 11.03 > 𝐹12,0.952 = 3.89 se rechaza la hipótesis nula (H0) y se acepta la

hipótesis alterna (H1), es decir la prueba es significativa.

5) Conclusión

Existe diferencia significativa entre los rendimientos por turno, es decir las notas de

estadística en pruebas objetivas cortas dependen de la hora de realización de la

prueba.

EJEMPLO 2: Se desea probar la hipótesis de que los tiempos de activado de veinte baterías

térmicas, dependen de 4 tratamientos. Para ello se han escogido, cinco baterías asignadas

al azar a cada tratamiento. Los resultados son:

1 2 3 4

73 74 68 71

73 74 69 71

75 74 69 72

75 74 69 72

75 75 70 73

Realizar el procedimiento para la prueba de hipótesis.



EJEMPLO 3: Disminución del crecimiento en bacterias de carne almacenada

La vida en estante de carne almacenada es el tiempo en que el corte empacado se

mantiene bien, nutritivo y vendible.

El empaque estándar con aire del medio ambiente tiene una vida de 48 horas. Después se

deteriora por contaminación bacterial, degradación del color y encogimiento.

El empaque al vacío detiene el crecimiento bacterial, sin embargo, se pierde calidad.

Estudios recientes sugieren que al controlar ciertos gases de la atmósfera se alarga la vida

en estante.

Hipótesis de investigación: Algunas formas de gases controlados pueden mejorar la

efectividad del empacamiento para carne.

Diseño de tratamientos:

1. Aire ambiental con envoltura plástica

2. Empacado al vacío

3. Mezcla de gases:

1% CO (monóxido de carbono)

40% O2 (oxígeno)

59% N (nitrógeno)

4. 100% CO2 (bióxido de carbono)

Diseño experimental: Completamente al azar.

Tres bistecs de res, aproximadamente del mismo tamaño (75 grs.) se asignaron

aleatoriamente a cada tratamiento. Cada bistec se empaca separadamente con su

condición asignada.

Variable de respuesta: Se mide el número de bacterias psichnotropicas en la carne

después de 9 días de almacenamiento a 4 ºC.

Estas bacterias se encuentran en la superficie de la carne y aparecen cuando la carne se

echó a perder.

La medición fue el logaritmo del número de bacterias por cm2, los datos obtenidos fueron:

Observaciones Tratamientos

1 2 3 4

1 7.66 5.26 7.41 3.51

2 6.98 5.44 7.33 2.91

3 7.80 5.80 7.04 3.66

Pregunta de investigación: ¿Hay más crecimiento bacterial con algunos métodos de

empacado que con otros?

Pregunta estadística: ¿Cuál modelo describe mejor los resultados del experimento?



DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DIFERENTE NÚMERO DE OBSERVACIONES

POR TRATAMIENTO


En este diseño el valor de cada unidad experimental Yij se aplica según el siguiente Modelo

Estadístico Lineal:

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑆𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 Donde:

Yij = Es la respuesta (variable de interés o variable medida), es decir es una observación

en la j-ésima unidad experimental, sujeto al i-ésimo tratamiento.

µ = Es la media general o poblacional.

Si = Es el efecto del i-ésimo tratamiento.

ij = Es el error aleatorio asociado a la respuesta Yij, efecto verdadero de la j-ésima unidad

experimental (replica), sujeta al i-ésimo tratamiento (error experimental)

TABLA ANVA: Fórmulas


Tratamientos t-1 ∑𝑌𝑖.

2

𝑟𝑖− 𝑇𝐶

𝑡

𝑖=1


𝑡 − 1

𝐶𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡.

𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

Error Experimental ∑(𝑟𝑖 − 1)

𝑡

𝑖=1

∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − ∑

𝑌𝑖.2

𝑟𝑖

𝑡

𝑖=1

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

𝑡(𝑟 − 1)

Total ∑ 𝑟𝑖 − 1

𝑡

𝑖=1

∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝐶𝑉 =√𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

�̅�..

. 100 𝑌.. = 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

Fórmulas de Cálculo

a) Término o Factor de Corrección:

b) Suma de Cuadrados del Total:

𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

c) Suma de Cuadrados de Tratamientos:

𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 = ∑𝑌𝑖.

2

𝑟𝑖− 𝑇𝐶

𝑡

𝑖=1

t

i

i

t

i

r

j

ij

r

Y

TC

i

1

2

1 1



d) Suma de Cuadrados del Error Experimental:

𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡

El procedimiento para la prueba de hipótesis es similar al caso anterior solo cambia en el

Cuadro ANVA.

EJEMPLO 4: En un centro experimental, se apareo 9 pares de ovinos de raza corriedale

con diferentes hembras de la misma raza aleatoriamente, obteniéndose pesos de crías al

nacimiento (Kg.), realizar la prueba de hipótesis respectiva con los datos que se presentan

a continuación.

Observaciones PADRES

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3.6 3.5 3.0 3.0 3.3 4.3 4.1 3.0 3.6

2 3.0 4.2 3.6 3.2 2.8 1.9 3.2 3.2 3.6

3 3.1 3.4 4.2 2.2 4.0 3.1 3.4 3.9 3.8

4 4.0 3.0 2.2 4.1 3.0 3.4 3.2 4.0

5 4.0 4.4 3.4 3.8 3.2 3.9 3.7

6 3.8 3.8 3.5 3.0 4.0 2.4

7 3.8 2.2 3.0 4.0 4.1 2.8

8 4.3 4.2 3.7 3.6 3.6

9 3.8 3.5 3.8

10 3.4 4.2

11 3.8 4.2

12 3.9 3.9

13 3.3

14 3.6

15 3.2



H0: i=0


Es decir:

H0: no existe diferencia significativa entre los tratamientos

H1: existe diferencia significativa entre los tratamientos

Respecto al problema planteado

H0: los pesos de las crías al nacimiento no difieren por padre (tratamiento)

H1: los pesos de las crías al nacimiento difieren por padre (tratamiento)



2) Nivel de Significancia

α=0.05


Será 𝐹𝑐 =𝐶𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡

𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ∼ a una distribución F con n1 y n2 grados de libertad


Si 𝐹𝑐 ≤ 𝐹𝑡 se acepta la hipótesis nula con 1-α % de confianza y se rechaza la

hipostasis alterna con un α% de significancia.

Si 𝐹𝑐 > 𝐹𝑡 se rechaza la hipótesis nula con un α % de significancia y se acepta la

hipostasis alterna con un 1-α% de confianza.

5) Cálculos

El esquema de la matriz de datos a ser procesada, para los cálculos es:

Observaciones PADRES

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3.6 3.5 3.0 3.0 3.3 4.3 4.1 3.0 3.6

2 3.0 4.2 3.6 3.2 2.8 1.9 3.2 3.2 3.6

3 3.1 3.4 4.2 2.2 4.0 3.1 3.4 3.9 3.8

4 4.0 3.0 2.2 4.1 3.0 3.4 3.2 4.0

5 4.0 4.4 3.4 3.8 3.2 3.9 3.7

6 3.8 3.8 3.5 3.0 4.0 2.4

7 3.8 2.2 3.0 4.0 4.1 2.8

8 4.3 4.2 3.7 3.6 3.6

9 3.8 3.5 3.8

10 3.4 4.2

11 3.8 4.2

12 3.9 3.9

13 3.3

14 3.6

15 3.2

TOTAL 33.4 24.5 16.4 8.4 28.7 12.3 28 43.5 53.7

ri 9 7 5 3 8 4 8 12 15

Grados de libertad de tratamientos (padres) : t-1 = 9-1 = 8

Grados de libertad del error experimental:



∑(𝑟𝑖 − 1)

𝑡

𝑖=1

= 62

Grados de libertad del total:

∑ 𝑟𝑖 − 1

𝑡

𝑖=1

= 70


𝑇𝐶 =(248.90)2

71= 872.55

Suma de cuadrados de tratamientos (padres)

𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 =33.42

9+

24.52

7+ ⋯ +

53.72

15− 872.55 = 3.18


𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶

𝑟

𝑗=1

= 3.62 + 3.02 + 3.12 + ⋯ + 3.22 − 872.55 = 21.44

𝑡

𝑖=1


𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 = 21.44 − 3.18 = 18.26

La tabla ANVA es:


Padres 8 3.18 0.397 1.35

Error 62 18.26 0.295

Total 70 21.44

𝐹𝑐 =𝐶𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡.

𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟=

0.397

0.295= 1.35

6) Conclusión

Como 𝐹𝑐 = 1.35 ≤ 𝐹62,0.958 = 2.09 se acepta la hipótesis nula (H0) y se rechaza la

hipótesis alterna (H1), es decir no existen evidencias estadísticas significativas

entre los diferentes tratamientos o padres que se sometieron al estudio. La

prueba no es significativa.

7) Interpretación

No existe diferencia significativa entre los tratamientos (padres) que se sometieron

al estudio, es decir los pesos vivos al nacimiento no dependen del padre por lo tanto

se puede tomar cualquiera de los padres para las siguientes generaciones.



EJEMPLO 5: En un experimento se van a comparar los % de carbohidratos en cuatro

marcas de pan, para lo cual se van a hacer 18 determinaciones: 5 en la marca A, 3 en la B,

4 en la C y 6 en la D.

En este caso, cada marca de pan es un tratamiento (t = 4) y se tienen n1 = 5, n2 = 3, n3 = 4,

n4 = 6. Para obtener las respuestas se tomarán muestras aleatorias de los tamaños

especificados de cada marca y se harán determinaciones de los porcentajes mediante un

procedimiento (hasta donde sea posible) idéntico en las 18 unidades experimentales.

Las observaciones se muestran a continuación:

Tratamiento (Marca)

A B C D

63 60 59 70

68 65 66 69

71 61 58 62

70 59 71

69 70

66

Realice la prueba de hipótesis para la significancia o no de los tratamientos.

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON IGUAL NÚMERO DE SUBUNIDADES

EXPERIMENTALES POR UNIDAD EXPERIMENTAL

Este diseño puede ser usado cuando se demandan unidades experimentales muy grandes,

debido a ello es posible dividirla en subunidades y ser estudiadas a partir de muestras

pequeñas, también puede ser usado cuando se presentan experimentos donde es muy

tedioso tomar toda la unidad experimental, siempre que sea necesario se puede sacar

subunidades de cada unidad.

CARACTERÍSTICAS

Se debe tener claro que en este tipo de diseños existen dos tipos de análisis uno referente

a las unidades y otro referente a las subunidades, generando las fuentes de variabilidad

que contribuyen a formar la varianza para las comparaciones entre los promedios de los

tratamientos, estas son:

La variabilidad entre las subunidades de una misma unidad experimental. El

cuadrado medio de esta variabilidad se denomina error de muestreo.

La variabilidad entre las unidades experimentales de un mismo tratamiento. El

cuadrado medio de esta variabilidad se denomina error experimental.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Teniendo en cuanta t niveles de un factor (tratamientos), r repeticiones y m submuestras

por repetición Yijk (i=1, 2, 3, …, t; j=1, 2, 3, …, r: k=1, 2, 3, …, s) se considera como la



observación de una unidad experimental perteneciente a una población cuya media es

µijk. Entonces se generará tres poblaciones, las cuales se distribuirán normalmente.


El modelo estadístico apropiado estará dado por:

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 + 𝑖𝑗𝑘 i=1, 2, 3, …, t

j=1, 2, 3, …, r

k=1, 2, 3, …, s

Donde:

Yijk = Es la variable respuesta de la k-ésima muestra (subunidad) de la j-ésima unidad

experimental, sujeto al i-ésimo tratamiento.

µ = Es la media general poblacional o constante común.

i = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento.

ij = Es el efecto verdadero de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo

tratamiento.

ij = Es el verdadero efecto aleatorio del error muestral en la k-ésima subunidad, de la j-

ésima unidad experimental, sujeta al i-ésimo tratamiento.

TABLA DE ANVA


Tratamientos

(entre grupos) t-1 ∑

𝑌𝑖..2

𝑟𝑠

𝑡

𝑖=1

−𝑌...

2

𝑡𝑟𝑠


𝑡 − 1


𝐶𝑀𝑒𝑒

Error experimental

(unidades dentro

de grupos)

t(r-1) ∑ ∑𝑌𝑖𝑗.

2

𝑠

𝑟

𝑗=1

− ∑𝑌𝑖..

2

𝑟𝑠

𝑡

𝑖=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑒𝑒

𝑡(𝑟 − 1)

𝐶𝑀𝑒𝑒

𝐶𝑀𝑒𝑚

Error de muestreo tr(s-1) ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2 − ∑ ∑

𝑌𝑖𝑗.2

𝑠

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑠

𝑘

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑒𝑚

𝑡𝑟(𝑠 − 1)

Total trs-1 ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2 −

𝑌...2

𝑡𝑟𝑠

𝑠

𝑘=1

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

EJEMPLO 6: Los datos que se muestran a continuación se refieren a producciones

parciales de forraje de maíz en verde, tomadas como muestras ante la imposibilidad de

medir la producción total de cada unidad experimental. Los tratamientos consisten en

cantidades diferentes de estiércol incorporado al suelo como mejorador.



Dosis I II III IV

0

24 19 18 23

23 21 19 22

21 24 22 20

2 TM/ha

24 21 23 19

19 22 18 21

23 24 22 23

4 TM/ha

25 31 28 34

28 24 32 33

30 32 36 29

6 TM/ha

56 62 61 62

65 60 60 60

58 59 64 61


Solución:

El esquema de la matriz de datos a ser procesada es:

Dosis I II III IV Yi..

0

24 19 18 23

23 21 19 22

21 24 22 20

Y1j. Y11.=68 Y12.=64 Y13.=59 Y14.=65 Y1..=256

2 TM/ha

24 21 23 19

19 22 18 21

23 24 22 23

Y2j. Y21.=66 Y22.=67 Y23.=63 Y24.=63 Y2..=259

4 TM/ha

25 31 28 34

28 24 32 33

30 32 36 29

Y3j. Y31.=83 Y32.=87 Y33.=96 Y34.=96 Y3..=362

6 TM/ha

56 62 61 62

65 60 60 60

58 59 64 61

Y4j. Y41.=179 Y42.=181 Y43.=185 Y44.=183 Y4..=728

Y…=1605



H0: i=0





α=0.01



𝐶𝑀𝑒𝑒 ∼ a una distribución F con (t-1) y t(r-1) grados de libertad






5) Cálculos


Grados de libertad Entre grupos (tratamientos) : t-1 = 4 - 1 = 3

Grados de libertad de las unid. Dentro de grupos : t(r-1) = 4(4 - 1) = 12

Grados de libertad del error de muestreo : tr(s-1) = (4)(4)(3 - 1) = 32

Grados de libertad del total : trs – 1= (4)(4)(3) – 1 = 47


𝑇𝐶 =𝑌...

2

𝑡𝑟𝑠=

(1605)2

(4)(4)(3)=

2576025

48= 53667.188

Suma de cuadrados de tratamientos

𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡 = ∑𝑌𝑖..

2

𝑟𝑠

4

𝑖=1

−𝑌...

2

𝑡𝑟𝑠=

2562 + 2592 + 3622 + 7282

(4)(3)− 53667.188 = 12469.895

Suma de cuadrados del error experimental

𝑆𝐶𝑒𝑒 = ∑ ∑𝑌𝑖𝑗.

2

𝑠− ∑

𝑌𝑖..2

𝑟𝑠

4

𝑖=1

4

𝑗=1

=682 + 642 + 592 + ⋯ + 632

3− 66137.086 = 67.917

4

𝑖=1


𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2

3

𝑘=1

−𝑌…

2

𝑡𝑟𝑠= 242 + 232 + ⋯

4

𝑗=1

4

𝑖=1

+ 612 + 53667.188 = 12765.812




𝑆𝐶𝑒𝑚 = 12765.812 − (12469.895 + 67.917) = 228

La tabla ANVA es:


Tratamientos 3 12469.895 4156.632 734.4

0.79 Error Experimental 12 67.917 5.660

Error de muestreo 32 228.000 7.125

Total 47 12765.812

6) Conclusión

Para tratamientos

Como 𝐹𝑐 = 734.4 > 𝐹3,12,0.95 = 3.49 se rechaza la hipótesis nula (H0) es decir se

rechaza la hipótesis de igualdad de tratamientos y se acepta la hipótesis alterna

(H1), es decir la prueba es significativa.

7) Interpretación

Existe diferencia significativa entre los tratamientos, es decir entre las diferentes

cantidades de estiércol aplicadas al suelo.

EJEMPLO 7: Analice los resultados que se muestran a continuación:

Planta i Hoja j Determinaciones Yijk

1

1 3.28 6.37

2 3.52 7.00

3 2.88 5.68

2

1 2.46 4.90

2 1.87 3.79

3 2.19 4.38

3

1 2.77 5.43

2 3.74 7.18

3 2.55 5.10

4

1 3.78 7.65

2 4.07 8.19

3 3.31 6.62

Realice el procedimiento completo para la prueba de hipótesis.



DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DIFERENTE NÚMERO DE SUBUNIDADES

EXPERIMENTALES POR UNIDAD EXPERIMENTAL

El Modelo Estadístico Lineal es similar al caso anterior solo cambia en la Tabla ANVA.


Tratamientos t-1 TC

r

Yt

i

r

j

ij

r

j

r

k

ijk

i

i ij

1

`1

2

1 1 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑎𝑡

𝐺𝐿𝑡𝑟𝑎𝑡


𝐶𝑀𝑒𝑒

Error experimental ∑(𝑟𝑖 − 1)

𝑡

𝑖=1

t

i

r

j

t

ir

j

ij

r

j

r

k

ijk

ij

r

k

ijki

i

i ijij

r

Y

r

Y

1 1 1

1

2

1 1

2

1 𝑆𝐶𝑒𝑒

𝐺𝐿𝑒𝑒

𝐶𝑀𝑒𝑒

𝐶𝑀𝑒𝑚

Error de muestreo ∑ ∑(

𝑟𝑖

𝑗=1

𝑟𝑖𝑗 − 1)

𝑡

𝑖=1

t

i

r

j

r

k

t

i

r

j ij

r

k

ijk

ijk

i ij i

ij

r

Y

Y1 1 1 1 1

2

`12

𝑆𝐶𝑒𝑚

𝐺𝐿𝑒𝑚

Total ∑ ∑ 𝑟𝑖𝑗 − 1

𝑟𝑖

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

t

i

r

j

r

k

ijk

i ij

TCY1 1 1

2

..

2

1 1

2

1 1 1

n

Y

r

Y

TCt

i

r

j

ij

t

i

r

j

r

k

ijk

i

i ij

EJEMPLO: En el Centro Experimental Chuquibambilla de la Universidad Nacional del

Altiplano, se evaluaron los pesos de destete (Kg) en ovinos criollos de la progenie de 8

hembra, las cuales fueron apareadas a 3 padres. Cada padre fue apareado al azar con

diferente número de madres, de los cuales cada madre tiene diferente número de crías.

Con la información obtenida se estimaron los componentes de varianza para esta

característica.

Padres P1 P2 P3

Madres M602 M270 M694 M268 M278 M246 M249 M603

1 15 16 17 22 22 15 16 25

2 17 15 19 15 19 17 17 16

3 14 13 18 19 18 18 20 16

4 13 24 20 15 22 18 20

5 15 17 20 15

6 17 18




Solución: El esquema de la matriz de datos a ser procesada es:

Padres

P1 P2 P3

Madres Madres Madres

Crías M602 M270 M694 M268 M278 M246 M249 M603

1 15 16 17 22 22 15 16 25

2 17 15 19 15 19 17 17 16

3 14 13 18 19 18 18 20 16

4 13 24 20 15 22 18 20

5 15 17 20 15

6 17 18

Yij. Y11.=74 Y12.=44 Y13.=78 Y21.=93 Y22.=74 Y31.=109 Y32.=71 Y33.=110 Y…=653

rij r11=5 r12=3 r13=4 r21=5 r22=4 r31=6 r32=4 r33=6 r..=37

Yi.. Y1..=196 Y2..=167 Y3..=290



H0: i=0



α=0.05



𝐶𝑀𝑒𝑒 ∼ a una distribución F con n1 y n2 grados de libertad






5) Cálculos


G. L. de los tratamientos : t-1 = 3 - 1 = 2



G. L. del error experimental:

3

1

51312131i

ir

G. L. del error de muestreo:

3

1 1

29)16()14()16()14()15()14()13()15()1(i

r

j

ij

i

r

G. L. del total:

3

1 1

361371)64645435(1i

r

j

ij

i

r


56757.11524

37

)653( 2

..

2

3

1 1

23

1 1 1

n

Y

r

Y

TC

i

r

j

ij

i

r

j

r

k

ijk

i

i ij

Para la suma de cuadrados de tratamientos calculamos:

3611.1155616

)290(

9

)167(

12

)196( 2223

1

`1

2

1 1

ir

j

ij

r

j

r

k

ijk

i

i ij

r

Y

793544.3156757.1152436111.115563

1

`1

2

1 1

TC

r

Y

SCi

r

j

ij

r

j

r

k

ijk

trati

i ij

Para la suma de cuadrados del error experimental

3

1 1

22222222

2

141667.11617

6

110

4

71

6

109

4

74

5

93

4

78

3

44

5

74

i

r

j ij

r

k

ijki

ij

r

Y

05556.6136111.1155641667.116173

1 1

3

1

1

2

1 1

2

1

i

r

j ir

j

ij

r

j

r

k

ijk

ij

r

k

ijk

ee

i

i

i ijij

r

Y

r

Y

SC

Para la suma de cuadrados del error de muestreo

118231815141715 222223

1 1 1

2

i

r

j

r

k

ijk

i ij

Y



58333.20541667.11617118233

1 1 1

3

1 1

2

`12

i

r

j

r

k i

r

j ij

r

k

ijk

ijkem

i ij i

ij

r

Y

YSC


t

i

r

j

r

k

ijktotal

i ij

TCYSC1 1 1

2 43243.29856757.1152411823

La tabla ANVA es:


Entre padres 2 31.793544 15.89677 1.302

1.723 Entre madres/padres 5 61.05556 12.21111

Progenie/madre/padre 29 205.58333 7.08908

Total 36 298.43243

6) Conclusión

Para tratamientos (entre padres)

Como 𝐹𝑐 = 1.30 > 𝐹2,5,0.95 = 5.79 se acepta la hipótesis nula (H0) es decir acepta la

hipótesis de igualdad de tratamientos al 95% de nivel de confianza.

7) Interpretación

No existen evidencias estadísticas significativas, es decir aceptamos la hipótesis de

que los tratamientos (padres) son similares o no demuestran ser diferentes.

EJEMPLO 8: Considere un ejemplo para investigar la conversión fermentativa del azúcar

a ácido láctico. Deseamos comparar la capacidad de dos microorganismos para efectuar

esta conversión. Una cantidad de substracto es preparada y dividida en dos porciones

desiguales. Cada porción es dividida en un número de subporciones de 100 ml. (unidades

experimentales) como sigue: Nº 1, 4 unidades; Nº 2, 3 unidades. Cada una de las unidades

de 100 ml. Es inoculada como uno u otro de los dos microorganismos, 4 unidades fueron

inoculadas con el microorganismo Nº 1 y 3 unidades con el microorganismo Nº 2. La

fermentación se deja proceder por 24 horas, y después cada unidad experimental

(subporción de 100 ml.) es examinada respecto a la cantidad de azúcar residual,

expresada en mg. por 5 c.c., para determinar la cantidad de cambio producida por cada

microorganismo. El azúcar previamente presentado será convertido y aparece como

ácido láctico. Posteriormente varios números de determinaciones son hechos en cada

muestra. Los datos se registran en la siguiente tabla.



Determinaciones

Microorganismo Nº 1 Microorganismo Nº 2

Muestra Nº Muestra Nº

1 2 3 4 1 2 3

1 5.6 5.0 5.4 5.3 7.6 7.4 7.5

2 5.7 5.0 5.4 5.5 7.6 7.0 7.6

3 5.1 5.4 7.8 7.2 7.5

4 5.5 7.4

5 5.4

Se pide realizar el procedimiento para la prueba de hipótesis de significancia o no de los

tratamientos.

DISEÑO EN BLOQUE COMPLETO AL AZAR (DBCA)

Este diseño es uno de los más ampliamente conocidos y difundidos de los diseños

experimentales, también se conoce como Diseño Bloque Completamente Aleatorizado, y

se caracteriza porque los tratamientos se distribuyen en forma aleatoria, a un grupo de

unidades experimentales denominado bloque, la finalidad es que las unidades

experimentales dentro de un bloque sean lo más homogéneas posibles, es decir el número

de unidades experimentales en cada bloque debe ser igual al número de tratamientos que

se quiere estudiar.

Los bloques pueden estar formados por áreas homogéneas de un terreno, grupo de

animales que puedan manipularse en forma uniforme (misma raza, misma edad, mismo

peso, etc.)

En resumen, en este diseño de bloques completos al azar los tratamientos son

aleatoriamente asignados a las unidades experimentales (homogéneos) dentro de cada

estrato o subgrupo o bloque. De esta forma, el proceso de aleatorización de los

tratamientos ha sido restringido a las unidades dentro de cada bloque. Desde el punto de

vista de la variabilidad de los datos, se han introducido una variabilidad artificial por

estudiar distintos tratamientos.

La variabilidad natural existente entre las unidades experimentales puede ser

subdividida por el hecho de haber agrupado las unidades experimentales en grupos

heterogéneos (bloques) pero conformados por unidades homogéneas. Así, parte de lo que

es la variabilidad natural de las unidades puede ser atribuida a algo ahora conocido

(bloques) y otra parte seguirá siendo variabilidad natural de las unidades

experimentales.

Es interesante notar que la restricción impuesta la aleatorización sorteo implica que cada

estrato o bloque corresponde con una repetición completa de los tratamientos.

Los bloques o repeticiones pueden ser días, observadores, animales, corrales, pacientes,

colegios, clones, laboratorios, estufas, cámaras de crecimiento, etc. Así este diseño podría

ser usado para controlar una fuente de variación en el material experimental y no

solamente la variación entre bloques en un campo.



En la figura siguiente, se observa que las unidades no son completamente iguales, son

heterogéneas, tal como se simboliza mediante formas diferentes.

Figura 1: Principio de formación de bloques

Primero se ordena las unidades experimentales de acuerdo a sus características, de forma

que todas las unidades iguales formen un grupo (bloque) en el ejemplo cada bloque

comprende 4 unidades homogéneas Fig 1 (b). Y finalmente los 4 tratamientos (indicados

mediante 1, 2, 3, 4), se asignan al azar a las 4 unidades de cada bloque Fig. 1(c). La

evidente heterogeneidad de las unidades está controlada por el proceso de la formación

de bloques. Obsérvese el balance que existe en este diseño. Cada observación se clasifica

de acuerdo con el bloque que contiene la unidad experimental y al tratamiento aplicado,

dando lugar a una clasificación de dos vías. Cada tratamiento aparece un número igual de

veces, generalmente una vez, en cada bloque y cada bloque contiene todos los

tratamientos. Bloques y tratamientos son ortogonales entre sí. Esta propiedad es la que

lleva a los sencillos cálculos aritméticos que entran en el análisis de los datos resultantes.

Este diseño se usa con mayor frecuencia que cualquier otro y si da precisión satisfactoria,

no hay objeto de usar otro diferente.

VENTAJAS:

1) Precisión: Este diseño ha resultado más preciso que el diseño completamente al azar,

para la mayoría de los tratamientos experimentales. La eliminación de la suma de

cuadrados de bloques desde la suma de cuadrados del error usualmente resulta en un

decrecimiento en el cuadro medio del error a pesar de la pérdida de grados libres para

estimar este error. Permite ganar mayor precisión en el experimento, principalmente

cuando existe diferencias significativas entre bloques.

Flexibilidad: No existe una restricción en relación al número de tratamientos y de

repeticiones, sin embargo, el aumento en el número de tratamientos conlleva a la

pérdida de la homogeneidad dentro de bloques.



2) Es un diseño bastante usado por su adaptabilidad, recomendándose generalmente

más de tres bloques y por lo menos dos tratamientos por bloque.

3) Es factible realizar el análisis experimental, cuando por alguna causa se hubiera

perdido algún bloque. Además si el resultado de una unidad experimental no se

llegaría a registrar (pérdida de la unidad experimental), existen técnicas estadísticas

simples para poder estimar el resultado.

DESVENTAJAS:

1) La desventaja de este diseño es que no es adecuado a gran número de tratamientos y

para los casos en que el bloque contenga considerable variabilidad.

2) Cuando existe pérdida de muchas unidades experimentales, el análisis estadístico se

complica seriamente y muchas veces no es posible analizarlo.

3) No es recomendable utilizar este diseño cuando se verifica que existe interacción

entre bloques y tratamientos.

ESQUEMA DEL DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR.

Tabla de valores de la muestra para DBCA.

Tratamientos

(i)

Repeticiones (j) Total

Yi. 1 2 3 . . . j . . . r

1 Y11 Y12 Y13 . . . Y1j . . . Y1r Y1. 2 Y21 Y22 Y23 . . . Y2j . . . Y2r Y2. 3 Y31 Y32 Y33 . . . Y3j . . . Y3r Y3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i Yi1 Yi2 Yi3 . . . Yij . . . Yir Yi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t Yt1 Yt2 Yt3 . . . Ytj . . . Ytr Yt. Total Y.j Y.1 Y.2 Y.3 . . . Y.j . . . Y.r Y..

MODELO ADITIVO LINEAL

El modelo estadístico lineal aditivo para un DBCA es el siguiente:

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗

i=1, 2, 3, …, t (t tratamientos)

j=1, 2, 3, …, r (r bloques)

Donde:

Yij = Variable de respuesta observada en la unidad experimental ubicada en el j-ésimo

bloque que recibe el tratamiento "i"

µ = Constante común para toda la observación o media de la población.

i = Es el efecto del i-ésimo tratamiento.



j = Es el efecto del j-ésimo bloque.

ij = Término que representa el error de su respectiva Yij que se considera como la

variable aleatoria distribuida en forma normal e independiente con media cero y varianza

constante, es: 𝜀𝑖𝑗 ~ 𝐷𝑁𝐼(0, 𝜎𝑒2).

HIPÓTESIS Modelo I Modelo II

Respecto a los tratamientos 𝐻0: 𝜏𝑖 = 0

𝐻1: 𝜏𝑖 ≠ 0

𝐻0: 𝜎𝜏2 = 0

𝐻1: 𝜎𝜏2 ≠ 0

Respecto a los bloques 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0

𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0

𝐻0: 𝜎𝛽2 = 0

𝐻1: 𝜎𝛽2 ≠ 0

ANÁLISIS DE VARIANZA

De acuerdo al modelo estadístico lineal el análisis de varianza tiene 3 fuentes de

variación: Tratamientos, bloques y error experimental que juntos constituyen la

variabilidad total.



TABLA DE ANVA

F. de V. G.L. S.C.

C.M. Fc Definición Operacional

Bloques r-1 𝑡 ∑(�̅�.𝑗 − �̅�..)2

𝑟

𝑗=1

𝑆𝐶𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = ∑𝑌.𝑗

2

𝑡

𝑟

𝑗=1

− 𝑇𝐶 𝐶𝑀𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 =𝑆𝐶𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒

𝑡 − 1

𝐶𝑀𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒

𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

Tratamientos t-1 𝑟 ∑(�̅�𝑖. − �̅�..)2

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑇𝑟𝑎𝑡 = ∑𝑌𝑖.

2

𝑟

𝑡

𝑖=1

− 𝑇𝐶 𝐶𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =𝑆𝐶𝑇𝑟𝑎𝑡.

𝑡 − 1

𝐶𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡

𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

Error

Experimental (t-1)(r-1) ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − �̅�𝑖. − �̅�.𝑗 + �̅�..)

2𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − ∑

𝑌𝑖.2

𝑟− ∑

𝑌.𝑗2

𝑡+ 𝑇𝐶

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

(𝑡 − 1)(𝑟 − 1)

Total tr-1 ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − �̅�..)2

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶

𝑟

𝑗=1

𝑡

𝑖=1

𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑡𝑟 𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − (𝑆𝐶𝑇𝑟𝑎𝑡. − 𝑆𝐶𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒) 𝐶𝑉 =

√𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

�̅�..

. 100



DISEÑOS EXPERIMENTALES TODO

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