Diseño y Análisis de Losas de Hormigón Armado Utilizando Métodos Plásticos (1)

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Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN II Unidad 7 :

DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOSAS

DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO MÉTODOS PLÁSTICOS.

Profesor:

CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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Contenido

7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS 7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS LOSAS 7.3. ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA

7.3.1 HIPÓTESIS 7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA 7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO

7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA TEORÍA PLÁSTICA

7.4.1 GENERALIDADES 7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS

7.5 MÉTODO DE HILLERBORG

7.5.1 INTRODUCCIÓN 7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG 7.5.3 PROCESO DE DISEÑO 7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HILLERBORG 7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS LOSAS 7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA 7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1

7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 2 7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA

7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA

7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS 7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA 7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA 7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA 7.6.5 FORMULACIÓN DE MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRÁCTICAS 7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LÍNEAS DE FLUENCIA 7.6.7 DETERMINACIÓN DE LA CARGA ÚLTIMA 7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA ÚLTIMA OBTENIDA POR LAS LÍNEAS DE ROTURA EN LA PRÁCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA 7.6.9 ANÁLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 7.6.9.1 FUNDAMENTOS 7.6.9.2 EVALUACIÓN DEL TRABAJO INTERNO

7.6.9.2.1 TRABAJO A LO LARGO DE LAS LÍNEAS DE FLUENCIA 7.6.9.2.2 EJEMPLO DE APLICACIÓN No1 7.6.9.2.3 DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN UNA ZONA RÍGIDA 7.6.9.2.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN No2

7.6.9.2.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN No3

3

7.7 APLICACIONES PRÁCTICAS

7.7.1 DEFINICIÓN DE ACCIONES SOBRE LAS LOSAS 7.7.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS 7.7.3 LOSAS EN UNA SOLA DIRECCIÓN. MÉTODOS APROXIMADOS 7.7.4 REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS 7.7.5 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ 7.7.6 CALCULO DE DEFORMACIONES

7.7.6.1 INTRODUCCIÓN 7.7.6.2 DEFORMACIÓN DIFERIDA

7.7.6.3 VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN 7.7.6.4 LOSAS EN DOS DIRECCIONES

7.7.6.4.1 LOSAS SIN VIGAS INTERIORES 7.6.4.2 LOSAS CON VIGAS INTERIORES

7.7.7 REQUISITOS DE ARMADURAS

7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGAMAS

4.8.1 GENERALIDADES 4.8.2 FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS 4.8.3 DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMAS

7.9 REFERENCIAS 7.10 APENDICE A: Tablas del ACI-318

filename Emisión 1

Emisión 2

Emisión 3

Emisión 4

Emisión 5

Emisión 6

Emisión 7

Obs.

Losas.doc Mar 1987

Mar 1992

Feb 2001

Abr 2003

Set 2003

Mar 2004

Jun 2007

Páginas 53 53 53 34 47 104 77

Apénd. C en excel

filename Emisión

8 Emisión

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Losas.doc Abril 2008

Octubre 2009

Páginas 78 71

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7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS

Las losas son elementos estructurales planos cuyo espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones, y que formando parte de los entrepisos, tienen como función estructural el soporte directo de las cargas que actúan sobre ellos, y la transmisión de las mismas hacia otros elementos estructurales como vigas, columnas y tabiques.

El tipo de carga más común que deben soportar las losas son las cargas

verticales, provenientes de su peso propio y de elementos que forman parte de los entrepisos designadas como cargas permanentes y cuya notación es D (Dead load) y sobrecargas de uso como el peso de muebles, personas, etc. designadas como cargas de uso o accidentales, con notación L (Live load). Sin embargo, en zonas de alta sismicidad, como la que corresponde a la zona de Cuyo, las losas de hormigón armado tienen una importante misión en cuanto se refiere a la transmisión de acciones inerciales que se generan durante la ocurrencia de movimientos sísmicos. En estos casos, las fuertes aceleraciones que se inducen en un edificio debido a los movimientos de su base, generan fuerzas inerciales, tanto horizontales como verticales, que los entrepisos deben absorber y ser capaces de transmitir a los elementos con suficiente rigidez y resistencia lateral.

Las losas pueden clasificarse en general en dos categorías, de acuerdo al tipo de

apoyo:

(i) Losas apoyadas en vigas, ver Fig. 7.1(a) (ii) Losas sin vigas (entrepisos sin vigas).

En el caso de losas sin vigas las cargas que ellas soportan son transmitidas a columnas o tabiques, y se distinguen también dos casos, según que la columna posea o no capitel. Las Figs. 7.1(b) y (c) ilustran este tipo de losas. En casos de losas apoyadas sobre vigas, como se muestra en Fig. 7.1(a), las cargas son transmitidas a vigas perimetrales del panel de losa. Dependiendo de la relación Ly/Lx, las losas se pueden armar con armadura principal en una o dos direcciones. Cuando la relación de luces es mayor que 2, en general se puede considerar a la losa formada por un haz de fajas paralelas a la dirección de la menor luz y de ancho unitario. Sin embargo, siempre es colocada una armadura de repartición en dirección perpendicular a la armadura principal. En las fajas adyacentes a las vigas de borde se debe tener en cuenta que aquella hipótesis simplificadora ya no es válida y se debería proveer armadura adicional paralela a la armadura de repartición para compensar los esfuerzos adicionales que allí se generan. Sin embargo, la cantidad y forma de disposición de las barras de acero en las losas será una función de la filosofía de diseño y análisis en sus diversos métodos que más adelante se aplicará en detalle. Es decir entonces que existe otra posible clasificación que es:

(i) Losas en dos direcciones. (ii) Losas en una dirección.

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Fig. 7.1 Distintos tipos de losas.

De acuerdo a los materiales y procedimientos con que son construidas las losas,

éstas se clasifican en:

(i) losas tipos macizas o sólidas. (ii) losas nervuradas. (iii) losas tipos alivianadas con elementos prefabricados.

Las losas macizas son aquellas que en todo su espesor, generalmente

constante, están constituidas por hormigón con la adecuada cantidad de armadura generalmente dispuesta en dos direcciones perpendiculares y que deben tomar los esfuerzos de tracción generados por los momentos flectores, torsores y el corte.

Las losas tipo nervuradas, que son una especie de variante de la losa sólida, están constituidas por nervios de hormigón armado en forma de sección T y separados una distancia entre sí que deben satisfacer ciertos requerimientos para su

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eficacia en resistencia y rigidez. La Fig.7.1(d) indica un esquema de losa tipo nervurada. El uso de este tipo de losa permite una considerable reducción del volumen, y por lo tanto del peso propio de la estructura resistente de la losa, al sustituir por vacío una considerable zona del hormigón que al estar en tracción no colaboraría para la resistencia. Por el contrario, permite el uso de nervios de profundidad considerable que pueden aumentar notablemente no sólo la resistencia sino también la rigidez del entrepiso por lo que su uso es muy atractivo para cubrir grandes luces. Note que la reducción de peso propio también implica reducción de fuerzas inerciales que se pueden inducir durante un sismo. Las losas nervuradas se pueden reforzar con armadura principal en una o dos direcciones, según la relación de luces y especificaciones que se verán más adelante. La Fig. 7.2 muestra un caso utilizado en nuestro medio en losas nervuradas de edificios. Muchas veces en lugar de los elementos cerámicos se colocan elementos de poliestireno expandido, como encofrado perdido, que resultan en una losa mucho más liviana y con muy buenas características de aislación térmica. Esto también es usado en nuestro medio.

Fig. 7.2 Caso de Losa nervurada donde Se usan ladrillos cerámicos como separadores de nervios.

Por último, es importante mencionar el tipo de losas más comúnmente utilizado en nuestro medio para construcciones bajas y que son las losas tipo alivianadas con elementos premoldeados. Podrían considerarse como un caso especial de las losas nervaduras, pero es conveniente colocarlas como un tercer tipo pues existen diferencias constructivas y de funcionamiento entre ellas. Por ejemplo, los nervios, que son viguetas prefabricadas, corren en una sola dirección, teniendo como elementos de relleno entre sí a elementos cerámicos huecos que se los considera como estáticamente inactivos, pero que permiten la composición de una superficie inferior plana sobre la cual puede aplicarse directamente el cielorraso. Además esos elementos de relleno sirven como aislante. La Fig. 7.3(a) indica los componentes de la losa alivianada prefabricada. Las viguetas, elementos (1) en la figura, son generalmente de hormigón armado pretensado. El elemento (2) es generalmente un cerámico, o de poliestireno expandido, que en nuestro medio tiene una altura de12.50 cm o 16.50 cm en casos especiales. El elemento (3) es la capa de

7

compresión, generalmente entre 3 a 5 cm de espesor, y que lleva una malla de repartición de acero.

Tienen la ventaja de un rápido armado en obra con un sistema de

apuntalamiento similar al que se muestra en la Fig. 7.3(b), formando parte de un sistema de piso como se ilustra en la Fig. 7.3(c). La Fig. 4.4 muestra detalles típicos de apoyos en vigas de hormigón armado.

Fig. 4.3(a) Componentes de losas prefabricadas alivianadas.

Fig. 7.3(b) Apuntalamiento en losas alivianadas.

Fig. 7.3(c) Vista del sistema de pisos teniendo como elemento resistente la losa prefabricada.

Fig. 7.4 Detalles típicos de apoyos de losas prefabricadas en vigas.

7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS

LOSAS En general pueden distinguirse dos filosofías para el análisis y/o diseño de

sistemas de losas de hormigón armado: 1. Métodos basados en la teoría elástica. 2. Métodos basados en la teoría plástica o análisis límite.

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Existen además algunos métodos que usan fundamentos de ambas teorías. Cualquiera sea el método elegido, las losas deben satisfacer las siguientes condiciones:

(i) que bajo cargas de servicio, las deformaciones y fisuras deben

permanecer dentro de los límites aceptables. (ii) que bajo estados de cargas excepcionales, posean una adecuada

ductilidad y coeficiente de seguridad elevado para evitar el colapso de la misma. Es decir, cumplir requisitos de resistencia y ductilidad.

7.3 ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA

7.3.1 HIPÓTESIS La teoría clásica de análisis elástico se basa en las siguientes hipótesis:

a. la losa se comporta como formada de material isótropo, homogéneo y elástico para estados de carga de servicio, y por lo tanto en ese rango es válida la ley de Hooke

b. el espesor de la losa es suficientemente pequeño como para que se ignoren las deformaciones por corte, pero a su vez ese espesor es suficiente como para ofrecer resistencia a flexión (y no comportarse como una membrana), y que las deformaciones en su plano sean despreciables

c. la flecha en un punto cualquiera de la placa es pequeña con respecto a su espesor

La distribución de momentos y corte en las placas obtenidas a partir de esta teoría elástica es tal que:

1. las condiciones de equilibrio son satisfechas en cada punto de la losa 2. se deben satisfacer las condiciones de contorno 3. las tensiones son proporcionales a las deformaciones, o en otras

palabras, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas lo cual implica relación constitutiva seccional lineal

7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEM ENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA

Es importante reconocer el diferente comportamiento y mecanismo de

resistencia de un elemento plano como el caso de una viga de un elemento tridimensional como es el caso de un elemento losa, cuando ambos están bajo la acción de, por ejemplo, una carga uniformemente repartida q. La Fig. 7.5 muestra el caso de un elemento de viga en equilibrio. De la Fig. 7.5(a) el equilibrio de cargas verticales nos indica que:

0. =−−− dxdx

dVVdxqV

o sea:

9

qdx

dV −= (7.1)

siendo V el corte sobre las caras del elemento viga. De la Fig. 7.5(b), del equilibrio de momentos respecto al punto A, resulta:

02/.. =

+−

+++ dxdx

dMMdxdx

dx

dVVdxdxqM

y despreciando los términos diferenciales de orden superior

Vdx

dM = (7.2)

o, para relacionar momento con cargas:

qdx

Md −=2

2

(7.3)

siendo las ecuaciones (7.1) y (7.3) las que definen las relaciones estáticas de un elemento bidimensional sometido a flexión.

Figura 7.5. Equilibrio del elemento de viga

Diferente es el estado de equilibrio que se origina al analizar un elemento placa, tridimensional, tal cual se muestra en Fig. 7.6. En ese caso la condición de equilibrio de fuerzas verticales resulta en:

qdy

dVy

dx

dVx −=+ (7.4)

y del planteo de la ecuación de equilibrio de momentos según Fig. 7.6(b), se tiene:

10

2

2

dx

Md x + dxdy

Md xy2

2 + qdy

Md y −=2

2

(7.5)

Fig. 7.6. Equilibrio del elemento losa.

Se ven claramente ahora los distintos mecanismos de resistencia al comparar las ecuaciones (7.1) con (7.4) y (7.3) con (7.5). En el caso de viga sólo tenemos un momento M que es el que está en el plano de las cargas. Para el caso del elemento placa tenemos más posibilidades, ya que son tres momentos de resistencia, dos de flexión y uno de torsión.

Las ecuaciones vistas anteriormente no resuelven totalmente el problema, pues el mismo se debe completar al establecer la compatibilidad de deformaciones y las relaciones constitutivas.

Por compatibilidad de deformación:

ω θ1

θ2

dx elástica

q

11

dx

dθ===longitud de unidad

Rotacióncurvaturaφ

pero

Z d w ejesegúnntoesplazamiedx

dwθ ==

por lo tanto

ilidade compatibecuación ddx

wd

2

2

=φ

y por relación constitutiva:

EI

q

EIdx

Md

dx

wd o bien

EI

M

dx

wd

EI

M ===∴= 1

2

2

4

4

2

2

φ

De esta manera se llega a establecer la relación entre las flechas w(x,y), y la

carga q que actúa sobre el elemento. Para el caso de viga la ecuación es:

EI

q

dx

wd =4

4

(7.6)

donde EI es el módulo de rigidez flexional de la viga, siendo E = módulo de elasticidad del material (hormigón) I = momento de inercia de la sección.

Para el caso del elemento losa, se obtiene la ecuación de Lagrange, que es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden, con dos variables independientes:

D

q

dy

wd

dydx

wd

dx

wd =++4

4

22

4

4

4

2 (7.7)

donde

),( yxww = w es la flecha en un punto cualquiera de la losas de coordenadas (x,y), en la dirección de la carga q. D = rigidez a flexión de la placa = E. h3 / 12 (1- ν) h = espesor de la losa. ν = módulo de Poisson. 7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO

El procedimiento general para solucionar el problema elástico de la viga o de la losa es idéntico en ambos casos, y consiste en determinar la ecuación para la

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deformada de la viga o losa (ecuación de la elástica que define la flecha), y luego por derivación de esa ecuación obtener los esfuerzos internos. La ecuación de la elástica debe satisfacer la ecuación diferencial (7.6) para las vigas y (7.7) para las losas, como así también las condiciones de contorno. Luego entonces los esfuerzos internos quedan determinados a través de las siguientes ecuaciones:

a. Momentos de flectores:

+−=

2

2

2

2

dy

wdν

dx

wdDM x (7.8.a.)

+−=

2

2

2

2

dx

wdν

dy

wdDM y (7.8.b.)

b. Momentos de torsores:

( )ν.dxdy

wdDM xy −

−= 1

2

(7.9)

c. Esfuerzos de corte:

+=

dy

dM

dx

dMV xyx

x (7.10.a.)

+=

dx

dM

dy

dMV xyy

y (7.10.b.)

d. Reacciones:

−+=

2

3

3

3

2dxdy

wdν)(

dx

wdDRx (7.11.a.)

−+=

2

3

3

3

2dydx

wdν)(

dy

wdDRy (7.11.b.)

La solución de la ecuación de Lagrange, desafortunadamente no es sencilla, y

sólo se han encontrado soluciones para un número limitado de casos. Con los métodos ortodoxos de integración se pudieron al principio resolver casos muy particulares como los de losa rectangular simplemente apoyada o empotrada, placa circular, algunos tipos de placas elípticas y triangulares, todos con carga uniformemente repartida o cargas concentradas simétricamente.

Las primeras soluciones para la ecuación de Lagrange fueron encontradas

por Navier en 1820, quien usó las series dobles de Fourier para describir las deformaciones y cargas de placas rectangulares simplemente apoyadas y con carga arbitraria, ref. [2].

Una solución más general se obtiene por aplicación del método de Levy,

quien propuso un método exacto para el caso de una placa con dos lados opuestos

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simplemente apoyados y pudiendo los otros dos lados admitir condiciones de contorno arbitrarias. Para este caso utilizó series simples de Fourier. También por el método de Levy se pueden obtener soluciones aproximadas para el caso de placas rectangulares muy largas con condiciones de borde arbitrarias en todos sus lados, ref. [2]. Cuando se menciona la palabra método “exacto” hay que reconocer las limitaciones que implica al tratarse de losas de hormigón armado, salvo que estrictamente se hable del estado sin fisuración alguna.

La aplicación de los métodos energéticos para la solución de placas fue

desarrollado por Ritz, basado en el principio de que la energía total de una placa deformada es mínima cuando existe equilibrio. Los métodos de Rayleigh, Galerkin y Kantorovich están basados en aquel principio.

Otras soluciones en el rango elástico para placas han sido los obtenidos a

partir del método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos, ref.[9]. Ambos son métodos aproximados derivados de la teoría elástica.

Por último es importante destacar el advenimiento de otros métodos

aproximados, los que simplificando el planteo matemático llevan a soluciones más generales. Algunos de estos métodos, si bien tienen sus fundamentos en la teoría elástica, tienen en cuenta en forma parcial el efecto de las deformaciones plásticas. Uno de estos procedimientos es el de Marcus y otro de los más utilizados es el de Siess-Newmark. Este último es un procedimiento que se puede comparar directamente con el método de distribución de momentos de Cross utilizado en vigas. 7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA TEORÍA PLÁSTICA

7.4.1 GENERALIDADES

El análisis límite o del estado último reconoce que, debido a la plasticidad, es posible que ocurra una redistribución de los momentos y los cortes más allá de los límites dados por la teoría elástica antes de que se alcance la capacidad última de la losa.

Esta redistribución de momentos es factible cuando la sección de hormigón

armado no está sobre armada. Una vez alcanzada la resistencia de fluencia, la sección puede incrementar notablemente sus valores de curvatura con poca variación con relación a la resistencia que corresponde al comienzo de plasticidad de la armadura traccionada. De esta forma, el análisis límite permite evaluar la carga última o máxima de la losa y la redistribución de momentos y cortes para esta carga, suponiendo que las secciones de la losa son lo suficientemente dúctiles como para permitir que ocurra la redistribución de esfuerzos internos.

Para determinar la carga última de un sistema de losas de hormigón armado

existen, de acuerdo a los teoremas de Prager, dos alternativas: un método basado en el límite superior o un método apoyado en los teoremas del límite inferior.

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Los métodos basados en los teoremas del límite inferior dan como resultado una carga última que o bien es la correcta o está por debajo de este valor; es decir, la carga última nunca es sobre estimada: se está del lado de la seguridad. El método más conocido en este grupo es el de las fajas de Hillerborg.

Los métodos basados en teoremas del límite superior, por el contrario, llevan

a una carga última que es o la correcta o una que supera este valor. A este grupo corresponde el método basado en la teoría de las líneas de fluencia (a veces llamadas líneas de rotura) de Johansen. En éste se postulan una serie de mecanismos de colapso para el sistema de losas en estudio y de su análisis, aquel que conduzca a la menor carga última se toma como el correcto o el más aproximado. Si no fuera el valor correcto la solución sobre estimaría en cierto rango la carga máxima que el sistema puede soportar.

Los trabajos de Prager y Hodge sobre análisis límite indican que la solución

exacta para placas no es siempre posible de obtener. En general la carga última o de colapso estará comprendida entre estos dos límites, superior e inferior. Una solución rigurosa de una placa en particular tenderá a que las cargas últimas obtenidas por los dos procedimientos converjan, y de ocurrir este caso indicaría que se ha encontrado la solución exacta. Sin embargo, en hormigón armado y en el rango inelástico, hablar de exactitud no es apropiado. Cualquier solución, en la práctica, sólo será aproximada.

Como se verá luego, el método de las fajas de Hillerborg es un método de

diseño, mientras que el de las líneas de fluencia es de análisis. La Fig. 7.7 indica en forma esquemática el significado de los valores dados por los teoremas de Prager.

Fig. 7.7 Significado de los teoremas de Prager.

7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS

La Fig. 7.8 ilustra la relación constitutiva de una sección de hormigón armado, es decir el diagrama momento-curvaturas a través del factor de rigidez de flexión EI.

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Fig. 7.8 Diagrama Momento vs. Curvatura de una sección dúctil.

De acuerdo a la teoría elástica, los momentos son proporcionales a las curvaturas de las secciones de la losa, y por lo tanto, sólo existe “una” distribución de momentos elásticos para una capacidad de momento determinada. Sin embargo, de acuerdo a la teoría plástica, cualquier número de distribución de momentos es posible, dado que en rango inelástico los momentos no dependen de la curvatura.

Es por ello que si se selecciona una distribución de momentos que es

diferente a la que resultaría de la aplicación de la teoría elástica, debe ocurrir una redistribución de momentos antes de que se alcance la carga última. Rigurosamente hablando, aun en el diseño por la teoría elástica se requiere de alguna redistribución de momentos a menos que en los momentos usados para diseño de la armadura se haya tenido en cuenta la compleja distribución de rigideces que existen en una losa una vez que el hormigón se ha fisurado en las zonas más solicitadas. Por lo tanto, las soluciones que dan los análisis límites sólo pueden ser aplicados a losas de hormigón armado con secciones razonablemente dúctiles. En la sección 4.6.8 de este trabajo se dan algunos valores de ductilidad en función de la cuantía de las losas.

La relación momento curvatura de la Fig. 7.8 es aproximadamente trilineal, en

la que las discontinuidades de la curva con el correspondiente cambio brusco de pendiente y reducción de rigidez EI es debida a: (i) fisuración del hormigón en tracción; (ii) primera fluencia del acero en tracción; y (iii) deformación última del hormigón en compresión. El factor de ductilidad de curvaturas, para el caso de material con comportamiento linealmente elástico-perfectamente plástico, LE-PP, está dado por:

y

u

φφµφ =

De esta manera con sección de hormigón poco armada, las secciones de la

losa tendrán suficiente ductilidad. Es decir, el diagrama M-φ, tendrá un tramo casi horizontal bastante amplio después de la primera fluencia del acero, lo que permitirá la redistribución de momentos de las zonas más solicitadas hacia las que aún están por debajo de momento de fluencia. Esto permite que con la plastificación casi total, se pueda alcanzar la carga última supuesta.

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7.5 MÉTODO DE HILLERBORG 7.5.1 INTRODUCCIÓN

Hillerborg sugirió en el año 1956 un método para el análisis de las losas referido como “teoría del equilibrio” y basado en el teorema del límite inferior. Este método de diseño puede ser enunciado así: “Si es posible encontrar una distribución de momentos que satisfaga las ecuaciones de equilibrio de la placa y sus condiciones de borde para una carga externa dada, y siendo la placa capaz de soportar dichos momentos, entonces la carga externa representará un límite inferior a la real capacidad última de la placa”.

El objetivo fundamental de Hillerborg fue presentar un método de diseño

plástico que fuera simple y arrojara resultados del lado de la seguridad. La solución así obtenida para la placa es tal que:

(i) son satisfechas las condiciones de equilibrio en todos los puntos de la placa. (ii) la condición de resistencia a nivel de fluencia My no es excedida en ningún

punto de la placa, es decir: ( )[ ] ( )[ ]yqu yxMyxM ,, ≤

siendo el primer miembro el momento actuante en la placa en el punto (x,y) bajo la carga de colapso qu, y el segundo miembro la resistencia de fluencia en ese punto.

(iii) son satisfechas además las condiciones de contorno de la placa.

Note que el método no habla explícitamente de: a. condiciones de la losa para el estado de servicio b. ductilidad de las secciones

pero ambas condiciones son importantes de verificar antes de que se adopte el diseño definitivo. 7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERB ORG.

Ya se vio anteriormente y quedó expresado en la ecuación (7.5) que el equilibrio de un elemento de placa queda expresado a través de la siguiente ecuación:

2

2

dx

Md x + dxdy

Md xy2

2 + qdy

Md y −=2

2

(7.12)

donde Mx y My son los momentos flectores por ancho unitario en las direcciones x e y, mientras que Mxy es el momento torsor unitario y q la carga uniformemente distribuida por unidad de área en el elemento (dx.dy).

De acuerdo a la teoría del límite inferior, cualquier combinación de Mx, My y Mxy que satisfagan la ecuación (7.12) en todos los puntos de la losa y las condiciones de contorno bajo la acción de la carga última qu, será una solución de diseño válida siempre y cuando se provea la armadura capaz de soportar aquellos momentos. Por lo tanto, la carga última puede ser arbitrariamente distribuida entre cada uno de los tres términos de la ecuación de equilibrio antes escrita. Por ejemplo,

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qdy

Md

dx

Md yx −=+2

2

2

2

(7.12a)

es la variante más simple del método de Hillerborg y aparece cuando se impone que Mxy=0, es decir que la carga sea totalmente soportada por flexión según las direcciones x e y. Así entonces la losa se puede visualizar como compuesta de dos sistemas de fajas independientes (la torsión ya no las conecta) y que corren en dirección paralela a los ejes x e y. Esto es posible cuando no es condición imprescindible movilizar los mecanismos de resistencia a torsión para que la losa pueda resistir la acción externa, es decir, que si hay torsión la misma es por compatibilidad (no por equilibrio). Este caso se designa como “Método Simple de las Fajas”, para diferenciarlo de un trabajo posterior de Hillerborg que introduce el “Método Avanzado de las Fajas” (1964), en el que se analizan casos más complejos de losas con re-entrantes, orificios, soportes sobre columnas y otros que necesitan considerar la torsión.

De esta manera, la Ecuac. (7.12a) se puede reemplazar por dos ecuaciones independientes que representan la acción de las fajas sin interacción de torsión:

2

2

dx

Md x = -γq (7.13a)

2

2

dy

Md y = -(1-γ)q (7.13b)

donde γ es un factor de distribución de cargas, seleccionado por el diseñador y que está comprendido entre:

0 ≤ γ ≤ 1 Si γ =1.0 implica que toda la carga es soportada por la flexión de las fajas en

la dirección x, y por el contrario, si γ= 0 toda la carga es tomada por flexión de la faja paralela a y.

Una característica de este método, presente también en el método de las

líneas de fluencia, es que para la distribución de momentos entre las secciones de flexión positiva y negativa, y entre las secciones que se apoyan en dos direcciones, la decisión es dejada al diseñador. Esa libertad que el método provee al proyectista puede ser peligrosa si al no ser adecuadamente utilizada puede conducir al diseño de losas que, aunque satisfagan los requerimientos de resistencia, puede que no cumplan con los requisitos de flecha y de fisuración máximas admisibles para el estado de cargas de servicio. Este es un requisito de rigidez. Se entiende que las secciones de la losa no deben sobre armarse para evitar la posibilidad de roturas frágiles por falta de ductilidad. El hecho de asignar momentos con cierta libertad debe entonces asegurar las condiciones de servicio. En 1972 el código inglés ya recomendaba que cuando se utilizaba el método de las fajas la relación entre momentos negativos y positivos debería estar comprendida entre 1.0 y 1.5.

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7.5.3. PROCESO DE DISEÑO El proceso de diseño es bastante simple y puede ser resumido en los

siguientes pasos, los que se grafican en la Fig. 7.9:

1. considerar la losa como formada por una malla de tiras o fajas, paralelas a las direcciones x e y,

2. dividir la losa en regiones o zonas de distribución de las cargas, 3. asignar valores de γ para cada región, y que no necesitan ser estrictamente 0 ó

1, sino intermedios 4. aplicar la carga sobre cada una de las fajas, y en correspondencia con los

coeficientes de distribución, 5. separar la faja de la losa y con las condiciones de borde reales y el estado de

cargas correspondientes, proceder a la evaluación de los esfuerzos internos, momentos y cortes, y las reacciones,

6. verificar que las deformaciones sean similares para cualquier punto de encuentro de dos fajas perpendiculares. Si las deformaciones difieren demasiado se debe cambiar el sistema de distribución de cargas.

7. proveer la armadura adecuada para soportar los esfuerzos computados.

Fig. 7.9 Etapas para aplicar el método de las fajas de Hillerborg. 7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HILLERBORG.

Se aplicará el método descrito para el diseño de una losa cuadrada, simplemente apoyada y que debe soportar una carga uniformemente repartida por unidad de área qu. De las varias soluciones posibles, se presentan tres de muy simple desarrollo.

La primer solución puede obtenerse al

considerar un coeficiente de distribución γ= 0.50 constante para toda la superficie de la

placa, tal cual se muestra en la Fig. 7.10. Esto implica que la mitad de la carga es asignada uniformemente a las fajas en cada dirección. El momento máximo es (qu.l

2/16), y tiene un valor constante en las secciones de la mitad de la luz a través de todo el ancho y largo de la losa.

19

Fig. 7.10 Losa cuadrada simplemente apoyada. Caso de γ= 0.5

La segunda solución se obtiene al dividir la losa en 3 regiones que corresponden a la zona central, parte media de las fajas laterales y esquinas de la losa, tal cual se ve en la Fig.7.11. Al asignar los valores de γ= 1.0, γ= 0.5 y γ= 0. 0, quedan definidas 3 zonas. Note que en cada región la sumatoria de los coeficientes de la repartición en la dirección x e y debe ser igual a 1.0, es decir que en cada región la carga a distribuir es qu. En esta solución hay sólo dos tipos de fajas, la aa y la bb. Ahora el máximo momento resulta ser (5/64 qu.l

2), y la distribución de máximos momentos es ahora constante en la mitad del ancho y en la mitad del largo de la placa, como muestra la figura.

Fig. 7.11. Losa cuadrada simplemente apoyada variando γ según fajas paralelas.

20

La tercera solución consiste en dividir la losa en regiones con líneas no paralelas a los ejes x o y. En este caso se toman 2 diagonales, llamadas líneas de discontinuidad, tal como lo muestra la Fig.7.12., quedando la losa fraccionada en 4 triángulos. En este caso se considera que cada región transmite la totalidad de su carga al apoyo más cercano. El momento máximo es ahora [(1/8).qu.l

2] y la distribución de los momentos máximos es una función parabólica a través de la luz l de la losa.

Fig. 7.12 Losa cuadrada apoyada con distribución triangular de cargas.

Una cuarta variación posible, cuya resolución se deja como ejercicio para el lector, se podría haber obtenido al proponer una distribución de cargas con coeficientes γ escalonados como muestra la Fig. 7.13.

Fig. 7.13 Distinta configuración de valores de γ para distribución de cargas en una losa cuadrada simplemente apoyada.

De las tres soluciones resueltas, se puede observar la variedad de distribución de momentos. Todas satisfacen las condiciones de equilibrio y contorno. Para este caso de losa simplemente apoyada el uso de la estática fue suficiente para la determinación de los

esfuerzos que solicitan a la placa, a través de cada faja. Es de interés observar el costo relativo que le corresponde a cada solución con

respecto a los requerimientos de acero para los tres casos aquí analizados. El área de armadura es proporcional al momento por ancho unitario. Suponiendo que todas las barras necesarias para los máximos momentos se prolonguen hasta los apoyos,

21

y que se use la misma altura de losa, la cantidad de acero requerida en cada caso será proporcional al área del diagrama de momentos máximos (Mx). Esas áreas resultan:

(1/16. qu. l3) (3/64.qu .l

3 = 3

33.21

1lqu ) (1/24.qu.l

3)

para las soluciones 1, 2 y 3 respectivamente. La relación entre esas áreas es, entonces, 1.0, 0.75 y 0.67, e indican los costos relativos entre las soluciones.

La solución tres aparece como la más económica, pero esta conclusión puede variar si las barras no se continúan en toda la longitud l, sino hasta donde sean necesarias. Además, según la solución tres, las barras deberían colocarse a distancias que variarían en forma continua, lo que no es nada práctico. Lo que realmente se hace es colocar a lo largo y a lo ancho de la placa bandas con cierto ancho práctico y con idéntica armadura, tal cual se verá en ejemplos más adelante. 7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS E SQUINAS DE LAS LOSAS.

Las líneas de las losas que indican la distribución de cargas en forma diferente se conocen como líneas de discontinuidad. Estrictamente, estas líneas de discontinuidad pueden entrar a una esquina de losa con cualquier ángulo, pero éstos son seleccionados sobre la base de que los momentos den una mayor economía de armadura y que estén razonablemente de acuerdo con una distribución de momentos elástica. Hillerborg sugirió las siguientes reglas:

1. donde se encuentren los lados simplemente apoyados, o dos empotrados, o con iguales condiciones de borde, la línea de discontinuidad debe ser la bisectriz del ángulo, según indica las Figs. 7.14(a) y 7.14 (b).

2. si un lado es simplemente apoyado y el otro es empotrado, la línea de

discontinuidad será como lo indica la Fig. 7.14(c).

Fig. 7.14 Posición de líneas de discontinuidad en las esquinas a 90o. (a) ambos lados simplemente apoyados, (b) ambos lados empotrados y (c) combinación.

Hillerborg comenta en sus trabajos que la distribución de cargas más económica

para el caso de una losa rectangular con todos sus lados simplemente apoyados como el caso de la Fig.7.15 ocurre cuando el ángulo para el lado mayor es: )/(tan 1

yx LL−=θ para Lx ≥ Ly

22

Fig. 7.15 Líneas de discontinuidad.

7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA.

El problema que se presenta cuando la armadura es diseñada de acuerdo a los momentos obtenidos del método de las fajas con líneas de discontinuidad originadas por las esquinas de las losas es que sobre una gran porción de la losa, si esta es rectangular, o cuadrada con condiciones de borde diferente en los lados que se encuentran, se requerirá una variación continua del espaciamiento entre las barras de acero. Esto es impracticable, y lo que Hillerborg sugiere es la colocación de la armadura en forma uniforme en bandas de ancho razonable, y con un momento de diseño para cada banda tomando como el momento máximo promedio para las fajas que corresponden a esa banda.

Fig. 7.16 Líneas de discontinuidad que arrojan momentos uniformes en las bandas.

Wood y Armer han señalado que en lugar de complicar los cálculos del momento al usar regiones triangulares o trapezoidales que se originan por las líneas de discontinuidad de las esquinas de las losas,

es conveniente trazar aquellas líneas paralelas a los lados de la losa, con lo que no es necesario tomar promedios de los momentos. La Fig.7.16 muestra el esquema para este procedimiento. El ejemplo planteado en la Fig.7.13 es otro caso.

Como ejemplo de aplicación se muestra el caso de la losa rectangular

simplemente apoyada de la Fig.7.17. Para este caso es conveniente tomar cuatro bandas con un ancho tal que franjas de borde sean ¼ de la luz menor de la losa (en

23

este caso Ly/4). Por simple equilibrio de aplicación de la estática (ecuaciones de equilibrio) los momentos en la fajas son resueltos.

Fig. 7.17 Momentos Flectores y reacciones de apoyos para una losa uniformemente

cargada con todos los lados simplemente apoyados. Otro ejemplo es presentado en la Fig.7.18, donde la losa tiene dos lados

simplemente apoyados y dos empotrados.

24

En este caso, las líneas de discontinuidad se ubican de tal forma de tener en cuenta la mayor capacidad de tracción de cargas del lado fijo con respecto al simple apoyo. Aparece entonces un coeficiente β que indica la extensión de las bandas. Para este ejemplo, Hillerborg sugirió tomar a Ly/2 como ancho de la faja central en la dirección x, y a (Lx-Ly /2) para el ancho de la franja central en la dirección y, como es el caso de las franjas centrales de la losa central simplemente apoyada, según se vio en la Fig. 7.17.

Fig. 7.18 Momentos flectores para una losa uniformemente cargada con dos lados adyacentes empotrados y los otros dos simplemente apoyados.

Pese a que las bandas quedan como estructuras hiperestáticas, los

momentos pueden ser fácil y rápidamente calculados al tomar como referencia las secciones donde el corte es nulo. Para el caso de banda en la dirección x, utilizando

25

el esquema de la Fig.7.19, se obtienen momentos y reacciones. Para el caso de las fajas centrales en la dirección y, utilizando como base los conocimientos de estática aplicados en la Fig.4.20., y si se toma como distancia del apoyo derecho hasta el punto de corte nulo = máximo momento a yL=β , entonces el esquema de la Fig.

7.21 servirá para el cálculo de los momentos y reacciones. El valor de β a seleccionar dependerá de la relación entre el momento negativo y el positivo. Se ve claramente en la Fig.7.18. que la relación vale:

R = M(-) / M(+) = (1-2 β ) / β 2 (7.14) por lo que se tiene:

β 0.366 0.387 0.414 R 2.0 1.5 1.0

Los valores de β se toman normalmente entre 0.36 y 0.40. La técnica de

elegir anchos desiguales para las regiones externas, a los efectos de obtener una zona con momento positivo constante, y a través de un valor de β que es una función de la relación R que el diseñador desea, es sólo necesaria cuando las condiciones de apoyo de cada extremo de la faja son diferentes. Si ambos extremos son fijos o simplemente apoyados β = 0.50, tal cual se ve en la Fig.7.17. Además, la relación entre el máximo momento negativo y el máximo positivo para el caso de ambos extremos empotrados no es una función de β , sino una decisión del diseñador.

Fig. 7.19. Resolución de una faja empotrada y apoyada sometida a carga discontinua qu.

26

Fig. 7.20. Solución de faja empotrada y apoyada sometida a carga continua qu.

Fig. 7.21 “Una” solución plástica de viga empotrada y apoyada bajo carga continua qu.

7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1.

Dada la losa rectangular de 9mx6m según la Fig.7.22., con dos lados simplemente apoyados y dos empotrados, sobrecarga de servicio uniformemente repartida de 700 kgr/m2, usar hormigón de f´c= 250 kgr/cm2 y acero de fy= 4200 kgr/cm2. Diseñar el panel con la armadura necesaria. Verificar el corte.

27

(c) Armadura Superior (d) Armadura Inferior

Fig. 7.22 Ejemplo No 1

Pasos a seguir:

1. Estimación de altura y peso propio: Según el CIRSOC 2005, la altura mínima, para apoyos sobre vigas de cierta rigidez, debe ser:

mm

fl

h

yn

90936

14008.0

≥+

+

≥β

(7.15)

h = espesor de la losa.

nL = luz libre mayor de la losa.

yf = resistencia a fluencia de la armadura [MPa].

β = relación de esbeltez de la losa = luz mayor/luz menor.

28

Para este caso: Ln = 900 cm β = 9/6 = 1.5 hmin= 20cm Se adopta h = 25 cm simplemente para seguir con el ejemplo tomado en ref[1], pues se podría adoptar 200mm de altura total. Entonces resulta la carga por peso propio igual a: 0.25m x 2400 kgr/m3 = 600 Kgr/m2

2. Calcular la carga última para el diseño: Aplicando el criterio del ACI-318, (note que en versión 2005 los factores de amyoracíon de cargas son 1.2 para D y 1.6 para L: se sigue ejemplo de versión anterior) donde

qu = 1.4 x qu (D) + 1.7 qu (L)

qu = 1.4 x 600 + 1.7 x 700 = 2030 krg/m2

donde qu(D)= carga de peso propio (muerta). qu(L)= sobrecarga de servicio (accidental).

3. Calcular los momentos sobre las fajas:

Según Fig. 7.22(b). Para ello hay que definir el coeficiente β , el cual es una

función de R. Si se toma esa relación igual a 2, (note que la solución estática daría R= 1.78 según Fig. 7.20), resulta β = 0.336. La Fig.7.22(b) ilustra los diagramas de momentos, y los valores numéricos son dados en la tabla correspondiente a esa figura.

4. Armadura de losas.

Es conveniente verificar primero el momento resistente que corresponde a la cuantía mínima, que se define para control de tensiones de retracción y temperatura. Si se toma como cuantía mínima 0.18% (ACI-318-2005) resulta:

cmcm

As

25.1000018.0 min

min ==ρ

Asmin= 4.5 cm2/m

utilizando barras de φ 10mm cada 18cm, la armadura es

As = [(100/18) + 1] x 0.79 cm2 = 5.17cm2/m y se utilizará el criterio del ACI-318 para determinar la resistencia a flexión, al usar el diagrama de compresión de tensiones equivalentes de Whitney:

29

Mu= φ As fy [d – 0.59 c

ys

bf

fA

`]

Donde: d = h – r = 25 – 3 =22cm r = recubrimiento de la armadura y para φ = 0.9 como coeficiente de reducción de resistencia, se tiene

(Mu min)resist. = 4394 kgrm/m

y es claro, entonces, que las únicas fajas que requieren armadura por sobre la mínima son las que están en la banda central 1-1.

Para el momento negativo se adopta φ = 12mm cada 9 cm

A´s = 13.56cm2/m ρ = 0.0054 = 0.54% Mu = 11057 Kgrm/m > 9793 kgrm/m

Verificar si esta armadura no supera la máxima permitida por requerimientos

de ductilidad. Para zonas sísmicas el ACI-318 estipula que

bρρ 50.0≤ (7.16) donde la cuantía balanceada es:

ys

s

y

cb fE

E

f

f

+=

.003.0

003.0.

1.'.85.0ρ (7.17)

y en este caso resulta:

%4.2024.0 ==bρ y %54.0%2.15.0 >=bρ

Para calcular hasta donde debe extenderse la armadura superior del momento negativo, un criterio es prolongarla hasta el punto donde el momento se hace nulo y adicionar un tramo igual a h o a 12φ . En la Fig.7.22(c) se determina la longitud de las barras negativas dentro de la placa (para el apoyo también se debe prolongar). Para h= 25 cm y 12φ = 14.4 cm la longitud requerida es 1.61m + 0.25 m =1.81 m adoptándose l(-) = 2.0m. Para el momento positivo máximo, dado que es la mitad del M(-)max , se puede adoptar φ 12 mm cada18cm, con lo que As = 6.78cm2/m, y

Mu = 5718 kgrm/m > 4896 kgrm/m

5. Detalle de armadura.

30

La Fig.7.22(d) indica el detalle de armado. Téngase en cuanta la armadura

mínima requerida por especificación de códigos.

6. Verificación al corte.

El Código ACI-318-2005 estipula que si el corte demanda o requerido, vu, obtenido a partir del análisis estructural, cumple vu < φvc, no se necesita armadura de corte, donde la tensión de corte requerida o demanda es:

vu = Vu / b.d siendo vc el corte aportado por el hormigón solamente y viene dado por:

2/40.825053.0'53.0 cmkgrfv cc ===

(note que esta expresión es idéntica a utilizar la de ´17.0 cc fv = en MPa)

y afectado por el factor φ= 0.75 (ACI-318-2005), resulta φvc = 6.30 Kgr/cm2, que es el corte máximo que puede soportar el hormigón sin armadura de corte.

vu = (1 - β ) qu . Ly = 7722 kgr/m y entonces resulta:

vu = 3.50 kgr/cm2 < 6.30 kgr/cm2 Esto normalmente ocurre en las losas de hormigón armado donde el esfuerzo que controla es el de flexión, y no es necesario en la mayoría de los casos utilizar el acero para soportar esfuerzos de corte, es decir el término vs que corresponde al mecanismo de reticulado, como se verá en el capítulo de corte, no es movilizado. 7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN N o 2. Un panel interior rectangular de una losa continua posee una luz de 4m x 6m, según Fig.7.23. Soporta una carga uniforme de servicio de L=700 kgr/m2 y la carga D es sólo el peso propio de la losa. Usar f´c y fy como Ejemplo No 1. Para este caso β =0.50.

1. Espesor de la losa. para α = 1.5 α s = 1.0 l= 600cm hmin = 13cm se adopta h = 14 cm d = 11cm

2. Carga última de diseño. qu = 1.7 x 700 + 1.4 x 2400 x 0.15 = 1700 kgr/m2

31

Fig. 7.23. Ejemplo No 2

32

3. Determinación de los momentos de diseño para las fajas típicas. En este punto el diseñador debe tomar una decisión con respecto a la relación

entre momento negativo máximo y momento positivo máximo. Se adopta una relación de 1.5. De esta manera, los momentos de diseño se pueden determinar obteniendo los momentos estáticos para cada faja y asignando 60% de este al momento negativo y 40% al positivo. faja 1-1

Mestát. = qu LY2/8 = 7650 kgr

faja 2-2

Para este caso el momento estático se obtiene al reconocer el esquema de Fig. 7.23, del que resulta:

Mest. = q (L1)2/2 , y en este caso es

q = qu/2 y L1 = Ly/4 Mest. = qu Ly

2/64 = 956 kgrm (note que para la faja 1-1 es q =qu y L1 = Ly/2). faja 3-3

q = qu L1 = Ly / 4 Mest. = qu Ly

2/32 = 1912 kgrm faja 4-4 Los momentos son la mitad de los de la faja 3-3.

Una vez obtenidos los momentos estáticos, se le asigna el 60% para el momento negativo y el 40% para el positivo, según se ve en la tabla de la Fig. 7.23.

4. Armaduras. Para la cuantía mínima, 0.18%, Asmin = 2.52 cm2/m y adoptando φ 8mm cada 20 cm As = 2.51 cm2/m

Mu = 1390 kgrm/m

La faja 1-1 requiere más armadura que la mínima. Con φ 8mm cada 7cm, As=7.64cm2/m, y corresponden las siguientes resistencias:

Mn = 3450 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md = 0.90 x 3450 = 3105 kgrm/m > Mu = 3090 kgrm/m

Para la armadura negativa se adopta φ 10mm cada 7cm, con lo cual As = 12 cm2/m

Mn = 5100 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md = 0.90 x 5100 = 4590 kgrm/m = Mu = 4590 kgrm/m

33

5. Detalle de armado. Se muestra en Fig.7.23.

6. Verificación al corte. Vu = qu Ly/2 = 3400 kgr/m vu = 3400 /100 x 11 = 3.09 kgr/cm2 < Vd = 6.30 kgr/cm2 7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA.

El método de las fajas simples de Hillerborg no puede resolver el caso de losa con aberturas, entrantes de esquinas y entrepisos sin vigas soportados por columnas, sin el uso de franjas de mayor resistencia que ayuden a distribuir las cargas a los soportes.

Una banda o franja de resistencia es una faja de ancho razonable que contiene una concentración de armadura y por lo tanto actúa como una viga dentro de la losa. Esa faja de losa puede tener profundidad mayor que el resto del panel si fuera necesario.

El uso de las bandas de resistencia se puede apreciar en los casos presentados en las Figs. 7.24, 7.25, 7.26 y 7.27 Como ejemplo de aplicación se puede consultar a Ref. [1], pág. 242.

Fig. 7.24. Losas con carga uniforme y re entrantes.

Fig. 7.25 Losas triangulares con carga uniforme soportadas en dos lados.

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Fig. 7.26(a ) Losa con carga uniforme y con una columna como soporte (b) Losa con carga

uniforme y un lado libre de apoyo.

Fig. 7.27 Losa con carga uniforme, apoyos simples y con aberturas.

7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA.

7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS. El método para el análisis límite de losas de hormigón armado conocido como

teoría de las líneas de fluencia fue iniciado por Ingerslev (1923) y luego extendido por Johansen (1943). A diferencia del método de Hillerborg, el método de las líneas de rotura responde a la teoría del límite superior, por lo que teóricamente es un método que tiende a sobreestimar la capacidad resistente de la losa. Esta carga última de la losa es evaluada al postular un mecanismo de colapso que es compatible con las condiciones del borde.

El mecanismo de rotura queda “dibujado” al trazar sobre el panel las líneas de

articulación plástica o líneas de fluencia. La Fig. 7.28(a) muestra el resultado de un ensayo sobre losa rectangular y la (b) indica un tipo de mecanismo de colapso para un panel de losa cuadrada con apoyo simple. En esas líneas críticas se considera que se han alcanzado los momentos de resistencia últimos de la sección. La carga última es luego evaluada siguiendo el principio de los trabajos virtuales o las

35

ecuaciones de equilibrio. Las regiones de la losa comprendidas entre las líneas plásticas no son examinadas para asegurar que en ellas no se excede el límite de resistencia, pero ello únicamente ocurriría si se utilizara un mecanismo de colapso incorrecto. Por lo tanto, al utilizar este método, es necesario examinar “todos” los mecanismos posibles por los que la losa puede fallar para asegurar que, mediante la elección de la carga última menor entre todos los mecanismos, la capacidad de la losa no fue sobre evaluada.

Fig. 7.28 (a) Distribución real fisuras para una losa rectangular simplemente apoyada

y sometida a carga uniforme, (b) Líneas de fluencia de una losa cuadrada apoyada y con carga uniforme.

Los mecanismos de colapso correctos para los casos más comunes son

bastante conocidos (se han realizado numerosos ensayos al respecto) y por lo tanto el diseñador no se ve confrontado con el problema de dilucidar si existen otros posibles modos de falla como alternativas a los propuestos.

Debe quedar muy claro que la teoría de las líneas de fluencia supone un modo de falla por flexión, esto es, que la losa tiene suficiente resistencia al corte como para prevenir una falla por corte.

En definitiva el método del límite superior postula un mecanismo de colapso para la losa a carga última tal que:

(i) los momentos de las articulaciones plásticas no son mayores que el momento resistente último de la sección.

(ii) el mecanismo de colapso es compatible con las condiciones de contorno de la losa.

7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA.

La teoría de las líneas de fluencia es aplicable a losas que son armadas en forma uniforme (note la diferencia sustancial respecto del método de Hillerborg). Esto significa que el área seccional de acero por ancho unitario se asume como constante a través de la losa, pero puede ser diferente para la armadura en cada dirección y diferente para la armadura superior e inferior. Para tales losas el momento resistente último por ancho unitario tendrá un valor constante a lo largo de cualquier línea recta en el plano de la losa. Generalmente la armadura es colocada en dos direcciones perpendiculares.

36

En cuanto a distancia entre las barras de acero, el código ACI-318-2005, y el CIRSOC-201-2005, establecen que en zonas críticas la armadura principal no debe exceder 2 veces el espesor de la losa h. En cuanto a cuantía, la mínima está dada por la expresión 0.756/fy[MPa]= 0.18% para el acero de fy= 420MPa=4200 kgr/cm2, y en este caso la separación máxima debe ser menor de 5 veces la altura de la losa y no superar 450 mm. Para la cuantía máxima, se impone el límite que c/d≤0.0286, ver luego. Esto es para tener seguridad de que es posible la redistribución de esfuerzos. 7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA.

Tal como se mencionó en la sección 7.4.2, es necesario que las secciones

sean lo suficientemente dúctiles como para permitir que ocurra la rotación plástica en las zonas críticas mientras que la articulación plástica se va extendiendo a las otras zonas de la losa. Ello posibilitará la significativa redistribución de momentos que es necesaria para que la losa pueda desarrollar el mecanismo de colapso propuesto, es decir que se alcance la plastificación casi total de la losa. Sólo en ese caso es posible evaluar la capacidad a partir de la contribución de todas las líneas que han fluido.

Uno de los parámetros más influyentes en la capacidad de absorción y de disipación de energía que tendrá la sección es la cuantía de armadura de tracción. La Fig. 7.36 muestra una sección de losa de hormigón armado que será analizada para dos tipos de acero, fy

= 2400 kgr/cm2 y fy = 4200 kgr/cm2 (aceros tipo I y tipo III

en nuestro medio), tomando diferentes cuantías para ver su influencia en el valor de la ductilidad de curvaturas.

La siguiente tabla resume los resultados de ese análisis:

Tabla 7.1 Momentos y Ductilidades para diferentes cuantías de acero y diferentes

calidades de acero.

fy = 240 Mpa = 2400 kgr/cm2

Momentos (tcm) ρ % Mcrk My Mu µ φ ε s(%) 0.3 36 46 49 38 5.5 0.5 36 75 80 21 3.1 1 37 145 152 9 1.4

1.5 39 212 216 5 0.8 2 40 277 271 4 0.5

fy = 420 Mpa = 4200 kgr/cm2

Momentos (tcm) ρ % Mcrk My Mu µ φ ε s(%) 0.2 36 57 59 18 4.4 0.3 36 85 88 11 2.8 0.5 36 137 140 6 1.5 1 38 266 254 3 0.6

37

Estos valores fueron calculados mediante el programa de análisis de secciones de hormigón armado sometido a flexocompresión MOCURDU (MOment – CURvature – DUctility), Ref. [10], según los lineamientos propuestos por Park y Paulay, Ref. [5].

La nueva norma ACI-318-2005, ref.[13] y el CIRSOC-2005, ref.[14], exigen

que para usar un coeficiente de reducción de capacidad igual a 0.90, es decir que corresponda a flexión, la deformación del acero en la zona traccionada debe se mayor del 0.50%. Sin embargo, el requerimiento de la norma ACI-318-1999, ref.[15] que exigía para redistribución ρmáx<0.50 ρb, ha sido reemplazado en la versión 2005 por las imposición de que la deformación en el acero en la fibra más traccionada debe superar el 0.75 %, es decir que la relación c/d<0.286. 7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA.

Considérese una losa de hormigón armado que es cargada progresivamente hasta alcanzar la falla, tal cual se ve en la Fig. 7.29. A cargas muy bajas, y antes de la fisuración del hormigón, la distribución de momentos corresponde a la teoría elástica. Después dela fisuración la configuración de momentos cambia debido a la

disminución de rigidez flexional en las secciones fisuradas.

Fig. 7.29. Progresión de las líneas de fluencia para una losa rectangular simplemente apoyada con carga uniforme.

Cargando aún más la losa, se produce en algún instante, la fluencia del acero

en tracción en la sección de máximo momento de la losa. Ahora la placa debe sobrellevar un gran aumento en la curvatura (ver Fig. 7.8) en las secciones que fluyen, con el momento permaneciendo prácticamente constante e igual al valor del momento nominal de resistencia.

Un aumento de cargas producirá una gran redistribución de momentos, y las líneas de intensa fisuración a través de las cuales fluye el acero en tracción (conocidas como líneas de fluencia) se propagan desde punto de comienzo de fluencia, Fig. 7.29(a), hasta que esas líneas se forman en suficiente número y extensión como para dividir la losa en segmentos o regiones que se comportarán como cuerpos rígidos al momento del colapso, Fig. 7.29(c). Una vez alcanzado este estado, la losa ya no es capaz de resistir mayor carga.

38

7.6.5 FORMULACIÓN DE LOS MECANISMOS DE COLAPSO. REG LAS PRÁCTICAS.

Una vez que el mecanismo de colapso se ha desarrollado, las deformaciones plásticas a lo largo de las líneas de fluencia son mucho mayores que las deformaciones elásticas de los segmentos o zonas de losas entre esas líneas, y por lo tanto en teoría es razonable suponer que las zonas de losa entre líneas de rotura son y se conservan planas. Esto significa, en otras palabras, que el modelo matemático para representar la ley constitutiva es de sección rígidamente elástica-perfectamente plástica, RE-PP, tal como lo muestra la Fig.7.30. En consecuencia, las deformaciones elásticas son ignoradas. Sólo interesa llegar a formar la rótula plástica, y de allí en más se considera que la sección tiene la ductilidad requerida.

Fig. 7.30 Relación M-φ idealizada como RE-PP

Las reglas prácticas básicas que pueden enunciarse como generales para la

formulación de un correcto mecanismo, y que pueden verificarse según la Fig. 7.31, son las siguientes:

1. Las líneas de fluencia (ab, bc, etc) son rectas y siempre terminan en los contornos de la losa o en otra línea de rotura.

2. La losa queda dividida en forma completa por las líneas de articulación

plástica en zonas rígidas (1, 2, 3 y 4) que permanecen como planos rígidos (planos inclinados). Por lo tanto cada zona rígida debe tener un eje de rotación.

3. Los ejes de rotación de las zonas rígidas generalmente yacen a lo largo de

las líneas de apoyo. Si es simplemente apoyado, la articulación de apoyo es el eje. Si es empotrado, se formará una línea de articulación plástica que servirá como eje de rotación. Si el apoyo se realiza sobre columnas, el eje de rotación debe pasar por sobre el eje de las columnas.

4. Por compatibilidad de deformaciones, una línea de rotura debe pasar a través

de la intersección de los ejes de rotación de las dos zonas rígidas que esa línea de fluencia divide (caso de la línea ab que divide 1 y 3 y se encuentra con el punto de intersección de e1e1 y e3e3).

De esta manera, en forma simple se pueden formular los mecanismos de colapso

de losas que se muestran en la Fig. 7.32.

39

Fig. 7.31Líneas de fluencia. Zonas rígidas. Ejes de rotación.

Fig. 7.32 Ejemplos de configuraciones de líneas de fluencia para losas con carga uniforme.

40

7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LÍNEAS DE FLUENCIA.

Para una línea de fluencia que ocurre perpendicular a la dirección de las armaduras, para el estado límite esquematizado en la Fig. 7.33, el momento resistente nominal está dado por la expresión, ref. [5], por:

−=

c

ysysn bf

fAdfAM

`59.0 (7.19)

(a) porción de losa (b)sección transversal (c) deformaciones (d) tensiones

Fig. 7.33 Hipótesis para evaluación de la resistencia nominal a flexión. Para el diseño se debe usar, ACI-318-2005, un coeficiente de reducción de

capacidad φ = 0.9, en el caso que la deformación máxima de tracción, εs, supere el valor de 0.5% (para redistribuciónεs ≥ 0.75%). Para el caso común de losa armada en ambas direcciones x e y, los momentos por unidad de ancho Mnx y Mny serán, en general, diferentes, porque las áreas de acero Asx y Asy, y las profundidades efectivas, dx y dy, serán diferentes en ambas direcciones. Además, con frecuencia es necesario determinar el momento resistente nominal por unidad de ancho a lo largo de una línea de fluencia que está con un ángulo diferente a 90º con respecto a los ejes x e y (caso de las líneas ab en la Fig. 7.31). Para este caso general, tal como se demostrará a continuación, existirán, además de momentos flectores, momentos torsores a lo largo de las líneas plásticas. Para obtener ese momento flector Mn y torsor Mnt se puede aplicar el criterio de fluencia de Johansen. Este criterio supone que:

1. la línea de fluencia real puede ser remplazada por una línea tipo escalón, es decir discontinua, de pasos paralelos a x e y, tal como se ve en la Fig. 7.34.

2. los momentos torsores que actúan en esos escalones según x e y son nulos

(notar que en Fig. 7.34 no existen torsores en los escalones ac y bc).

3. la resistencia de la sección no se ve influenciada por la posibilidad de que las barras de acero se doblen en la fisura, tal cual se ve en la Fig. 7.34, o por condición de flexión biaxial en la zona de compresión del hormigón.

4. el acero que cruza la línea de rotura en ambas direcciones está en fluencia.

41

Los ensayos sobre losas han demostrado que este criterio es bastante exacto.

De acuerdo a la Fig.7.34, los componentes Mnx y Mny que contribuyen al momento de resistencia nominal de flexión Mn y al momento de resistencia nominal a torsión Mnt, pueden encontrarse al considerar el equilibrio de un pequeño elemento triangular tomado de la línea de fluencia. Tomando momentos respecto al lado ab, el momento último de resistencia, por ancho unitario que actúa perpendicular a la línea de fluencia es:

αα senbcMacMabM nynxn ..cos... +=

αα 22 .cos. senMMM nynxn += (7.20)

y tomando momento con respecto a un eje perpendicular al lado ab, el momento torsor por ancho unitario a lo largo de la línea de articulación es:

αααααα cos....cos..cos..... senabMsenabMbcMsenacMabM nynxnynxunt −=−=

( ) αα cos..senMMM uyuxunt −= (7.21)

Si fuera Mnx = Mny, resulta:

Mn = Mnx = Mny

Mnt = 0 (7.22) y para este caso la losa dice “isotrópica”, pues Asx = Asy y los momentos resistentes últimos son iguales para “todas” las direcciones. En este caso, es evidente que no hace falta calcular el momento que actúa perpendicular a la línea de rotura, ya que sólo basta calcular uno de los momentos con respecto a la dirección de las armaduras.

Fig. 7.34(a) Criterio de fluencia para losas de hormigón armado. Elemento de losa con un campo de momentos aplicados y líneas de fluencia.

42

Fig. 7.34 (b) Línea de fluencia con ángulo arbitrario y armadura ortogonal, y equilibrio de un elemento de losa pequeño en la línea de fluencia

Cuando uyux MM ≠ , es

evidente que el momento último de resistencia depende de la inclinación de la línea de fluencia, y que existe, además, momento torsor. En este caso la losa se llama “ortotrópica”.

7.6.7 DETERMINACIÓN DE LA CARGA ÚLTIMA.

El primer paso para la solución de una losa por el método de las líneas de fluencia consiste en, de acuerdo a las reglas prácticas ya enunciadas, postular los mecanismos de colapso. En general, los modelos o configuraciones de líneas plásticas tendrán dimensiones incógnitas que permiten ubicar correctamente las líneas de rotura y, además, podrá existir más de una familia de líneas de articulación (varios mecanismos de colapso) para una losa en particular. El diseñador deberá asegurar que todos los modos posibles de falla son explorados, pues el correcto es el que da la menor carga última y, entonces, si un modelo de rotura no se postuló, la carga última así calculada podría resultar sobrevaluada (método inseguro).

La carga última puede ser calculada de dos maneras diferentes: (i) utilizando el principio de los trabajos

virtuales. (ii) aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Cada método tiene sus ventajas sobre el otro,

dependiendo del caso particular a analizar. Fig. 7.35 Curvas tensión-deformación del acero. (a) Modelo LE-PP que exige el código para flexión. (b) Modelo LE-LP que tiene en cuenta de alguna manera cierto endurecimiento de post fluencia. (c) Modelo más real.

43

7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA ÚLTIMA OBTENIDA POR LAS LÍNEAS DE ROTURA EN LA PRÁCTICA NO RESULTA SOBRESTI MADA.

El método de las líneas de fluencia, como ya se mencionó, está basado en la teoría del límite superior. Teóricamente entonces, se constituye en un método inseguro. Sin embargo, hay dos razones, entre otras, que hacen que en la práctica la carga última esté del lado de la seguridad:

1. La relación momento-curvatura adoptada para el diseño se idealiza a un comportamiento rígidamente elástico-perfectamente plástico. Sin embargo, el diagrama real es otro, en el cual la resistencia última de la sección de hormigón armado es mayor si se tiene en cuenta el efecto del endurecimiento del acero después de la fluencia. La Fig. 7.35 indica este aspecto.

2. No se consideran los efectos de acción de membrana de la placa, como así

también la contribución de los momentos torsores.

Fig. 7.36 Estados de deformación y tensión para (a) fluencia, (b) resistencia nominal.

La Fig. 7.36 muestra las suposiciones usuales para evaluar los momentos para estado de fluencia y de rotura en flexión. Cuando el hormigón en compresión alcanza el valor de 0.003 la deformación del acero puede ser muchas veces mayor, por lo cual la tensión y contribución al momento de rotura puede ser bastante mayor que la postulada por los códigos con su modelo sin endurecimiento. 7.6.9 ANÁLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIR TUALES. 7.6.9.1 Fundamentos.

Supongamos que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema se fuerzas. Si a ese cuerpo se le da un desplazamiento virtual (pequeño y compatible con las condiciones de vínculo), la suma del trabajo realizado por las fuerzas será nulo, pues la resultante de las fuerzas es cero. Para analizar una losa por el método del trabajo virtual, se debe postular un mecanismo de colapso con las líneas de fluencia. Los segmentos o elementos de placa en que la losa queda dividida, pueden ser considerados como cuerpos rígidos porque las deformaciones de la losa cuando su flecha aumenta sólo se producen en las líneas plásticas. Los segmentos de losa están en equilibrio bajo la acción de las cargas

44

externas y los momentos flectores, torsores y el corte a lo largo de las líneas de rotura. A un punto convenientemente elegido de la losa se le induce un desplazamiento δ en la dirección de la carga. Los desplazamientos resultantes de todos los puntos de la losa, δ (x,y), y la rotación de los segmentos de losa con respecto a las líneas de articulación plástica se pueden obtener en función deδ y de las dimensiones de los elementos de placa. Existirá trabajo realizado por las cargas exteriores, We, en cada uno de los elementos de placa, y trabajo de los esfuerzos internos a lo largo de las líneas de fluencia, Wi. Así, entonces:

We = Wi (7.23)

Las reacciones en los apoyos no contribuyen al trabajo pues no sufren desplazamiento. Además, el trabajo realizado por los esfuerzos internos en las líneas de rotura es sólo debida a los momentos flectores, porque las acciones a cada lado de las rótulas plásticas son iguales y opuestas, tal cual se ve en la Fig. 7.37, y para cualquier desplazamiento de las placas rígidas no hay movimiento relativo de los lados de las líneas de rotura en correspondencia con las fuerzas de torsión o de corte. Sin embargo, sí existe una rotación relativa en la dirección de Mun, tal como se ve en la Fig. 7.37(b). Por lo tanto, el trabajo no es sólo de flexión.

Fig. 7.37 (a) Acciones en una línea de fluencia, (b) rotación relativa de los cuerpos rígidos en la dirección de Mn.

7.6.9.2 Evaluación del trabajo interno.

El trabajo interno se puede obtener por tres caminos diferentes:

(i) trabajo a lo largo de las líneas de fluencia. (ii) trabajo realizado en cada región rígida. (iii) método de las fuerzas nodales.

A continuación se verán los dos primeros métodos con sus correspondientes

ejemplos de aplicación: 7.6.9.2.1 Trabajo a lo largo de las líneas de fluen cia.

Para el caso de trabajo a lo largo de las líneas de fluencia, se debe encontrar el valor de Mn. La Fig. 7.38. muestra una línea de rótula plástica que divide dos regiones cuyos ejes de rotación son e1e1 y e2e2. En esa figura se demuestra que:

Wi = mn (θ 1.L.cosφ 1 + θ 2.L.cosφ 2) (7.24)

45

mn = momento nominal por ancho unitario y por unidad de longitud de línea de rotura.

θ 1 = rotación de la región 1. θ 2 = rotación de la región 2. L.cosφ 1 = proyección de la línea de rotura al eje de rotación de la zona 1. L.cosφ 2 = proyección de la línea de rotura al eje e2e2.

Fig. 7.38 Trabajo a lo largo de una línea de fluencia.

7.6.9.2.2 Ejemplo de aplicación N o1. Tómese el caso de una losa cuadrada simplemente apoyada, bajo carga uniforme qu, según Fig. 7.39. La losa está armada isotrópicamente, por lo que Mn = Mx = My.

Considerando la línea AB, separe las regiones 1 y 2, y el trabajo interno a lo largo de esa línea vale:

L/..21 δθ = , si 0.1=δ L/21 =θ

2/LXoYBsobreEjesproyLineaA =

[ ] nni mLLLLmABW 2)2/)(/2()2/)(/2()( =+=

nii mABWTW 8)(.4)( ==

46

Fig. 7.39 Ejemplo de aplicación No 1 de líneas de fluencia.

Para el trabajo externo se toma cada sector de placa rígida por separado con la carga que actúa sobre cada región (y no el total de la losa).

12/.3/1..2/..2/1)1( 2LqqLLW uue ==

y por simetría

3/.)1(.4)( 2LqWTW uee == La ecuación de trabajo dice que:

We = Wi 8mn 3/. 2Lqu= 2/.24 Lmq nu =

Note que el método de las líneas de rotura es un método de análisis y no de diseño directo. Al evaluar la carga qu se puede evaluar el coeficiente de seguridad que se tiene al comparar con la carga que la losa soportará en la realidad. 7.6.9.2.3 Disipación de energía en una zona rígida. Dado que para la mayoría de las losas rectangulares el acero es colocado paralelo a sus lados y en las direcciones x e y, y, dado que los momentos nominales Mnx y Mny son conocidos, es conveniente separar los componentes del trabajo interno según x e y. Además, se extenderá el concepto para expresar la energía de disipación para una zona rígida limitada por las líneas de fluencia y su eje de rotación.

47

Fig. 7.40 Línea de fluencia inclinada con respecto a la dirección de las armaduras. Supóngase la línea de rotura de la Fig. 7.40, la cual sobrelleva una rotación nθ , y sometida a un

momento Mn por unidad de longitud (y por ancho unitario). El trabajo interno a lo largo de esa línea de fluencia es:

ααθααθθααθ senLsenMLMLsenMMLMLW onyonxonyxonnoi .cos.cos.)cos()( 22 +=+==

y finalmente:

oyuyoxuxi XMYMLoW ....)( θθ += (7.25)

Note que el primer término representa las proyecciones del momento, de la rotación y de la línea de fluencia “sobre el eje de Mx”, es decir sobre el eje y. El segundo término lo es para las proyecciones sobre el eje de My, es decir sobre el eje x. Se aplicará este concepto para encontrar el trabajo interno en una zona rígida como la que muestra la Fig. 7.41. Considerando a la línea de fluencia como ABC que rodea esa región 1, y siendo θ la rotación de la región, entonces, por aplicación de la ecuación (7.25), se tiene:

yxuxxuyyuxi LLMLMLMW )./.(.0... 1 δθ =+= ya que el vector que representa la rotación de la región no tiene proyección sobre el eje de Mny (eje de x).

Fig. 7.41 Región o zona rígida. Acciones. Deformaciones. Armaduras y momentos nominales resistentes.

1.0

A

θ1

48

Para calcular el trabajo interno no es recomendable mezclar los dos métodos aquí implicados: o se utiliza la ecuación (7.24) o la expresión (7.25). 7.6.9.2.4 Ejemplo de aplicación N o 2. Tómese el caso de la losa rectangular simplemente apoyada, ortotrópicamente armada, según Fig. 7.42. Carga uniforme qu.

a) para calcular el trabajo interno se utiliza el concepto de trabajo en zonas rígidas. En este caso la armadura no es la misma para ambas direcciones, sino que nynx MM ≠ por lo que es necesario hacer su diferenciación. Note que

la armadura que es paralela al eje x es la que produce el momento resistente Mnx, y la proyección de la representación vectorial de ese momento es sobre el eje y; por eso el eje y es el eje de Mnx y también de xθ . A la armadura paralela al eje y le corresponde Mny que tiene proyección vectorial sobre el eje x, al igual que yθ . Es conveniente trabajar con la siguiente tabla:

Fig. 4.42. Ejemplo No. 2 de Líneas de Fluencia.

componente de

rotación componente de trabajo zona

xθ yθ Mnx. xθ .Yo Mny. yθ .Xo

AED 1/ Lδ 0 ynx LLM )./.( 1δ 0

ABEF 0 yL/.2δ 0 xyny LLM )./2.( δ

BCF 1/ Lδ o ynx LLM )./.( 1δ 0

DEFC 0 yL/.2δ 0 xyny LLM )./2.( δ

Mny

Mnx

49

Es conveniente suponer que el desplazamiento virtual 0.1=δ , por lo que el trabajo interno total es:

yxnyynxi LLMLLMW /..4/.2 1 +=

b. trabajo externo. Se evalúa para cada zona rígida por separado:

11 ...6/13/1).2/.(.)4()1( LLqLLqWW yuyuee ===

Dividiendo el trapecio en 2 triángulos y 1 rectángulo central:

−+==

21

.2

).2(31

.21

.2

..2.)3()2( 11y

xy

uee

LLL

LLqWW

)2/..()4/..()6/..( 11 LLqLLqLLq yuyxuyu −+=

y el trabajo externo total es:

)2.3(6

.1LL

LqW x

yue −=

c. ecuación de trabajo:

We = Wi y finalmente:

−

+

=

yy

xy

y

xny

ynx

u

L

L

L

LL

L

LM

L

LM

q12

1

23

212

(7.26)

Todas las cantidades de la ecuación (7.26) son conocidas, excepto L1 que es

un parámetro de la configuración de las líneas de fluencia que hay que determinar. Como este método está basado en la teoría del límite superior, se debe buscar el valor de L1 para el cual el valor de la carga qu resulta mínima. Para ello se aplica el principio de la carga mínima que expresa:

01

=dL

dqu para obtener el mínimo. (7.27)

Para resolver la derivada de la carga es conveniente colocar:

21

`.`.

v

vuvu

v

ud

dL

dqu −=

= (7.28)

50

y para este caso es: ( )2

1/1.12` LLMu yux −=

yLv 2' −=

finalmente, reemplazando en la ecuación (7.28) y ordenando los términos se llega a:

04

31

2

1 =−

+

ny

nx

yx

y

ny

nx

y M

M

L

L

L

L

M

M

L

L

de donde:

−

+

=

ny

nx

x

y

ny

nx

ny

nx

x

y

y M

M

L

L

M

M

M

M

L

L

L

L2/12

1 3.21

remplazando la ecuación (7.26):

22/12/12

2 3

.24

−

+

=

ny

nx

x

y

x

y

ny

nxy

nyu

M

M

L

L

L

L

M

ML

Mq

Note que si la losa es isotrópica la solución se simplifica al colocar Mnx = Mny. 7.6.9.2.5 Ejemplo de aplicación N o 3. Tómese la losa cuadrada, con dos lados simplemente apoyados, un lado empotrado y el otro libre. Carga uniforme. Armadura isotrópica. Ver Fig. 7.43.

Fig. 7.43 Ejemplo No 3 de análisis por líneas de fluencia.

51

En este caso Mnx = Mny = Mn para momento positivo. Mny = M’n para momento negativo.

a. trabajo interno:

Nuevamente conviene trabajar con el concepto de trabajo en zona rígida, y se puede hacer la siguiente tabla resumen:

componente de rotación componente de trabajo Región

xθ yθ positivo negativo

ADEF 1θ 0 Mn. 1θ .L 0

BCEF 1θ 0 Mn. 1θ .L 0

AFB 0 3θ Mn. 3θ .L M´n. 3θ .L

y haciendo la sumatoria, y colocando ( )31 θθ f= , queda:

++=

n

nni M

M

L

LLMW

`1

.22

11θ (7.29)

b. trabajo externo:

( )3262

1

2422 1

31

1111

LLLq

LL

LLLL

Lq uu θθθ +

+−

por lo que:

−=L

LLWe

113 .3

11

4

θ (7.30)

c. ecuación de trabajo:

igualando (7.29) y (7.30)

−

++

=

L

LL

M

M

L

LM

qn

nn

u12

1

3

11

`1

224

(7.31)

y, nuevamente falta determinar el valor de L1 para el cual qu se hace mínima. Para ello se puede plantear, como el caso anterior:

01

=dL

dqu

52

La expresión que se obtendría de aquí sería un poco complicada de manejar matemáticamente, por lo que una solución expeditiva para resolver el problema es hacerlo numéricamente. Para ello se coloca la siguiente igualdad:

−

++

=

L

L

M

M

L

L

M

Lq n

n

n

u

1

12

3

11

`1

224

haciendo 1LL =α , y adoptando una relación para M´n y Mn, por ejemplo que M´n= Mn, resulta:

3/12

12.4

. 2

αα

−

+=

n

u

M

Lq

Se quiere obtener el valor de α para el cual el primer miembro es mínimo.

Entonces resulta:

α 0.1 0.2 0.7 0.8 0.9 1.0 qu.L

2/Mn 49.65 30.0 17.9 17.7 17.8 18.0 y se ve que para α = 0.8 ocurre el mínimo buscado. Ese valor se remplaza en la ecuación (7.31) y así se obtendrá el valor mínimo de qu para este estado de cargas.

7.7.1 REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS

Las condiciones que se imponen son:

(i) Los momentos no se deben haber obtenidos de métodos aproximados. (ii) Sólo es posible cuando εt ≥ 0.0075 = 0.75 % en la sección donde se vaya

a disminuir el momento. (iii) Se deben recalcular los momentos en tramo para mantener el equilibrio

después de la redistribución. (iv) MR = χ ME donde χ= 1000 εt ≤ 0.20 = 20 %

En sus comentarios, la norma aclara que los estudios demuestran que la

fisuración y las flechas en losas y vigas diseñadas con momentos redistribuidos bajo cargas de servicio no son significativamente mayores que los que se obtendrían si los elementos fueran diseñados con los resultados directos de la teoría elástica. 7.7.2 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ.

Tanto para vigas y losas en una dirección por un lado como para losas cruzadas por otro, la norma acepta dos formas de satisfacer los requisitos de rigidez:

53

(i) adoptando alturas mínimas, es decir limitando la esbeltez de la pieza, vía tablas o fórmulas empíricas, o bien

(ii) evaluando numéricamente las flechas y verificar que no excedan los

límites permisibles que se dan en tablas. Como módulo de elasticidad del hormigón se puede tomar la expresión:

MPafE cc 215004700 ´ ==

en este caso (note que la versión anterior CIRSOC 201-1982, para este hormigón, le asignaría 30000 MPa, es decir casi un 40 % mayor), cuya interpretación gráfica se ve en Fig. 7.44.

Fig. 7.44. Interpretación Gráfica del Módulo de Elasticidad del Hormigón.

Como ya se expresó entes,

salvo un estudio más detallado, la nueva norma exige que se calcule el módulo de rigidez a flexión, (EI), tomando como valor de y para el Momento de Inercia un valor designado como Inercia Efectiva, y que se evalúa mediante esta expresión:

gcra

crg

a

cre II

M

MI

M

MI ≤

−+

=

33

1

donde: Ma= momento actuante máximo para carga de servicio en el momento que se evalúa la flecha. En la sección 9.5.2.4 la norma establece que en elementos continuos se puede adoptar Ie promedio para sección a M+ y M- (secciones críticas). Mcr= momento para el estado límite de fisuración, que se puede evaluar mediante:

t

grcr y

IfM =

fr = módulo de ruptura o resistencia del hormigón a flexión por tracción, y se calcula como se vio en la sección II.3.1.7 del capítulo II. Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón 12/3hbw yt = distancia del baricentro de la sección de hormigón (sin armadura) a la fibra extrema traccionada.

54

La Fig. 7.45 muestra parte de la notación involucrada. La Fig. 4.46 muestra la interpretación gráfica del los momentos de inercia sin fisurar, fisurado y efectivo en el diagrama M-deformación. La Fig. 4.47 indica el concepto de sección transformada.

Fig. 7.45. Nomenclatura en la sección transversal a Flexión.

Fig. 7.46. Interpretación de los momentos de inercia para sección fisurada.

Fig. 7.47. Sección de Hormigón Armado Fisurada Transformada.

7.7.3 CALCULO DE LAS DEFORMACIONES 7.7.3.1 Introducción

La predicción de las deformaciones en elementos de hormigón armado es

dificultosa. Secciones con armadura no simétrica conducen a deformaciones por contracción del hormigón que se deben sumar a las deformaciones debidas a cargas verticales. Además la fluencia lenta del hormigón lleva a un aumento de las deformaciones para cargas permanentes de servicio. Las deformaciones debidas a contracción y fluencia a su vez son funciones de la temperatura, humedad,

55

condiciones de curado, edad del hormigón, etc. La disminución de la rigidez de flexión debido a la fisuración del hormigón tiene también un efecto importante. Con el método que se explicita a continuación, se estima que el cálculo de deformaciones puede tener un error del ± 20%, lo cual es suficientemente aceptable para la mayoría de los casos prácticos.

El control de deformaciones ante cargas gravitatorias para elementos de

hormigón armado está asociado con las cargas de servicio. Cuando deban considerarse también deformaciones que aparecen por el transcurso del tiempo, solamente la carga permanente y aquella porción de carga accidental que actúa en forma permanente deben afectarse a deformaciones diferidas. El tipo de ocupación o uso determinará qué porción de la carga accidental debe considerarse. Por ejemplo, en el caso de edificios de departamentos tal vez sólo el 20% o 25 % de la carga accidental deba tomarse como carga sostenida. En un edificio destinado a depósito, tal vez el 80% o 100 % de carga accidental deba considerarse como participante en contribuir a deformaciones diferidas.

7.7.3.2 Deformación diferida

La deformación de elementos de hormigón armado se incrementa con el tiempo. Las deformaciones adicionales a la instantánea son causadas por la contracción y flexión del hormigón. La deformación diferida debe tenerse en cuenta pues en ciertas circunstancias puede alcanzar valores de 2 a 3 veces el que corresponde a deformación instantánea.

La contracción del hormigón en secciones no armadas simétricamente causa

una distribución no uniforme de deformaciones en la sección la cual resulta en una curvatura de contracción. La curvatura es mayor en elementos de hormigón con armadura simple, debido a que la contracción del hormigón no es impedida en la zona de compresión. En miembros a flexión la armadura mayor está en la zona de tracción. Por lo tanto la curvatura de contracción tendrá el mismo signo que las curvaturas provocadas por cargas transversales (gravitatorias, por ejemplo). Además, esas tensiones de tracción inducidas por contracción más las inducidas por cargas incrementa la fisuración del hormigón en tracción. La deformación lenta del hormigón resulta además en un acortamiento de la parte comprimida, por lo tanto causa una curvatura adicional.

Es evidente que las deformaciones adicionales debidas a contracción y

fluencia se pueden reducir en forma substancial con la presencia de armadura de compresión. En el caso de igual armadura superior e inferior, la curvatura por contracción sería nula. La armadura de compresión también reduce la deformación de fluencia debido a que mientras las deformaciones de compresión aumentan con el tiempo, parte de las tensiones de compresión inducidas son gradualmente transferidas al acero. Además del contenido y distribución de acero, las deformaciones del hormigón con el tiempo dependen de condiciones de humedad, temperaturas, curado, edad del hormigón, relación tensión a resistencia, y otros factores más.

56

La norma NZS:3101 da esta expresión :

kcp = [2 - 1.2(A´s/As)] ≥ 0.6 (7.43) como factor por el cual hay que multiplicar la deformación instantánea para obtener la deformación “adicional”, es decir : δt = δi + kcp . δi (7.44) donde : δt = deformación total δi = deformación instantánea kcp = coeficiente de deformación adicional

El ACI-318-2005 da una expresión con más penalidad sobre las deformaciones diferidas, ya que propone:

´501 ρξλ

+=

ξ= factor que depende del tiempo al cual se considera la deformación, e igual a 2 para 5 años o más. ρ´= cuantía de armadura de compresión. Esta debe tomarse en la mitad de la luz para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos. Note que para A´s= 0, ρ´=0, y ambas expresiones coinciden en que Kcp= 2. 7.7.3.3 Vigas y losas en una dirección.

La Fig.7.48 muestra las relaciones que se deben cumplir de (h/l) altura total de losa vs. luz de cálculo de las losas en una dirección, para el caso en que dichos elementos NO soporten elementos susceptibles de dañarse por grandes deformaciones. En el Apéndice, pág. 25, está la tabla 9.5.(a) que da el CIRSOC.

En realidad la expresión a cumplir es que:

( )700/40.0 yb fhh +=

Fig. 7.48. Relación de esbelteces para distintas condiciones de apoyo en losas macizas (no nervuradas) apoyadas en una dirección si no soportan elementos frágiles. Ver tabla 9.5(a)

en Apéndice A, pág. 30.

57

para hormigón densidad normal, y donde h es la altura total de la losa, hb la altura básica y fy la tensión de fluencia del acero. Se ve que para el acero ADN-420 el factor de corrección es 1.0.

Si se deseara adoptar una altura menor o bien el elemento soportara en forma directa elementos susceptibles de dañarse por grandes flechas, entonces se debe evaluar la flecha:

(i) método elástico pero en condición de sección fisurada, con Ie. (ii) para flecha diferida, considerar la parte de carga accidental que se puede

considerar como permanente. (iii) el p-C101-2002 dice en la sección 4.5 que para la sobrecarga se debe

considerar la distribución que para el efecto que se estudia provoque la situación más desfavorable.

(iv) agregar cualquier efecto de carga concentrada si correspondiera.

Note que si el elemento debe soportar elementos susceptibles de dañarse, la condición es que f ≤ l/480, pero si no hay tales elementos, debe ser f ≤ l/240. Ver tabla 9.5(b) en Apéndice A, pág. 84. En este caso l es la luz de cálculo.

En el apéndice C se puede ver la aplicación de verificación de condiciones de

rigidez a las losas del edificio de siete pisos que ha sido tomado como ejemplo. 7.7.7.4 Losas en dos direcciones.

El p-C-201, sección 9.5.3 establece que para el caso de losas que se puedan definir como rectangulares y en las que la relación de luz mayor a menor, medida a ejes de apoyos, sea igual o menor que 2.0, se deben distinguir los casos que se muestran en la Fig. 10. A los efectos de satisfacer los requerimientos de rigidez, tal cual se expresó, se deben:

(i) Adoptar tablas o fórmulas , o bien (ii) Evaluar flechas y verificar contra valores admisibles.

7.7.7.4.1 Losas sin vigas interiores.

Para el caso de losas SIN vigas interiores, distingue entre los casos de las Figs.

7.1(b) y (c), y los espesores mínimos para el caso de acero ADN-420 se resumen en la Fig. 7.49.

De todas maneras, para losas sin ábacos la altura mínima debe ser 120 mm, mientras que si tiene ábacos, se puede reducir a 100 mm.

La Fig. 7.50(a) y (b) muestran las condiciones a cumplir por los ábacos y capiteles en el caso de losas sin vigas. El ábaco, sección 13.3.7.1, se debe prolongar en cada dirección a partir del eje de apoyo, una distancia mayor de (l/6), l=luz, medida de centros de apoyos en esa dirección. El espesor del ábaco por debajo de la losa debe ser cómo mínimo ¼ del espesor total de la losa.

58

Fig. 7.49. Espesores para el caso de Losas sin Vigas.

Fig. 7.50(a). Definición de Ábaco y Capitel para el caso de losas sin vigas.

Fig. 7.50.(b) Detalle de los requisitos de los ábacos.

59

Sin embargo, el CIRSOC 201-2005 en la sección 9.5.3.4 y el NZS en la sección 3.3.2.2 establecen que estos espesores mínimos de tablas se pueden reducir si se calculan las flechas según indica el reglamento y se comparan con los requerimientos dados en la tabla 9.5(b), pág 84. 7.7.7.4.2 Losas en dos direcciones con vigas interi ores

Para el caso de losas con vigas en todos sus lados, el espesor mínimo debe ser obtenido según se cumpla alguno de los siguientes tres casos:

a) Para αm ≤ 0.2 se trata como caso de losa sin vigas. b) Para 0.2 < αm ≤ 2.0 se aplica esta expresión:

( )2.0536

14008.0

−+

+

≥m

yn

fl

hαβ

pero nunca debe ser menor de 120 mm c) αm > 2.0

β936

14008.0

+

+

≥

yn

fl

h

pero nunca menor de 90 mm, y donde: β = relación de luz libre mayor a luz libre menor. αm = promedio de los coeficientes α evaluados para cada viga, con la expresión:

scs

bcb

IE

IE

.

.=α

donde b es por “beam”, viga y s por “slab”, es decir losa. Para evaluar el momento de Inercia de la viga, Ib, con respecto a su eje baricéntrico, se adopta la sección que se ilustra en la Fig. 7.51. En la Fig. 7.52 se incluye de nuevo la sección de viga a tomar, y se indica el ancho de losa a considerar para calcular Is. No se debe confundir estas secciones con anchos efectivos de tracción o compresión para evaluar la resistencia de las vigas L y T. Is es el momento de inercia de la franja de losa limitada lateralmente por los ejes de los paneles de losa adyacente (si los hubiera) a cada lado de la viga.

60

Fig. 7.51. Sección Efectiva de Viga para Evaluar Ib.

Fig. 7.52. Secciones de Viga y Losa para evaluar Ib e Is.

En la Fig. 7.53 se

muestra un gráfico que permite calcular rápidamente los momentos de inercia de secciones L y T.

Fig. 7.53 Coeficientes f para el cálculo de los Momentos de inercia de secciones L y T en condición no fisuradas. En el Apéndice A, se da también una tabla de ref.[14] que permite calcular los momentos de inercia brutos y fisurados.

61

7.7.5 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO PARA LOSAS EN DOS DI RECCIONES. 7.7.5.1 Introducción

En la sección 13.5.1 del ACI-318-05 se establece que las losas se pueden

diseñar por cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad, cumpliendo con las condiciones de Resistencia para cargas mayoradas y de Rigidez para cargas de servicio.

El CIRSOC 201-2005 en sus comentarios C.13.5.1 establece entonces, y más claro aún lo hace el NZS:3101:1995 en la sección 14.3.2, que se pueden utilizar:

(i) Métodos basados en la Teoría Elástica: ya sea soluciones del continuo o métodos de elementos finitos, por ejemplo usando programas como SAP2000 o SAFE.

(ii) Métodos basados en la Teoría Plástica, como el método de las Líneas de Fluencia de Johansen o el método de la Franjas o Tiras (strip method) de Hillerborg. En ambos casos se exige que la cuantía máxima no supere el valor de 0.40 ρb, por condiciones de redistribución.

(iii) Método de los Coeficientes de Momentos. (iv) Método de Diseño Directo. (v) Método del Pórtico Equivalente.

Los métodos basados en la teoría Plástica se desarrollaron con cierto nivel de

detalle en las secciones precedentes. Los métodos de diseño directo y del Pórtico equivalente se pueden consultar

directamente en la norma. Para aplicar el método Directo se deben cumplir una serie de requerimientos y los pasos a seguir son: (i) Determinar el momento isostático mayorado para cada dirección, (wu l

2/8); (ii) Distribuir el momento isostático en cada dirección en Momentos Positivos y Negativos según condiciones de contorno y (iii) Distribuir los Momentos Positivos y Negativos entre franjas de columnas y franjas intermedias, que claramente define la norma.

Uno de los métodos más utilizados consiste en aplicar tablas para el diseño, y

en particular las aceptadas por los códigos de Nueva Zelanda y el CP-110 de Inglaterra.

Estas normas especifican que los momentos en las losas se pueden calcular sea por métodos elásticos o plásticos, o simplificados con el uso de tablas como el que se da a continuación. 7.7.5.2 Requisitos de armaduras.

• Sección 13.3.1 establece que la As ≥ Areq. según los momentos obtenidos en las secciones críticas, pero nunca menor que la Amin., que se dispone según indica la Fig. 7.54.

• Sección 7.12, la Amin. por efectos de contracción, fluencia lenta y temperatura,

debe ser tal que:

62

ρ ≥ 0.0018 x 420 / fy

ρ ≥ 0.0014

• Separación máxima tal que:

s ≤ 3 h s ≤ 300 mm

Fig. 7.54. Cantidad y Ubicación de la cuantía mínima en Losas.

7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGMAS. 7.8.1GENERALIDADES.

Para la mayoría de los edificios, las deformaciones de piso asociadas con acciones de diafragma son insignificantes. Sin embargo, cuando tabiques estructurales resisten la mayor parte de las fuerzas de inercia inducidas por el sismo en edificios largos y angostos, tal vez sea necesario considerar los efectos de las deformaciones en el plano de las losas sobre la distribución de las demandas sobre los pórticos y los tabiques, como así también revisar la condición de placa infinitamente rígida en su plano.

Fig. 7.55. Posibles disposiciones de elementos verticales sismorresistentes

63

La Fig. 7.55(a) muestra plantas de un edificio con tres posiciones diferentes para

un par de tabiques estructurales idénticos. Se supone que la contribución de los dos tabiques a la fuerza horizontal de resistencia total es la misma para cada uno de los tres casos. En líneas discontinuas se muestran en forma aproximada las deformaciones asociadas para cada caso. Se aprecia que las deformaciones del diagrama en el caso de Fig. 7.55(a) serían mucho menores que en los otros dos casos. A los efectos de decidir si tales deformaciones son significativas, se deberían considerar los siguientes aspectos: 1. Si se considera la respuesta elástica, la asignación de fuerzas laterales a algunos

pórticos, casos de Fig. 7.55(b) y (c), serán claramente subestimados si se considera a los diafragmas como infinitamente rígidos. Las deformaciones de piso en su plano bajo fuerzas horizontales distribuidas actuando sobre ese nivel en estudio, las cuales están basadas en aproximaciones simples, deberán ser comparadas con los desplazamientos relativos de pisos obtenidos a partir de análisis elásticos convencionales. Tal comparación indicará entonces la importancia relativa de la flexibilidad del diafragma. De acuerdo al comité de sismología del SEAOC [1988-Requerimientos de Fuerzas Laterales Recomendadas], un diafragma debería ser considerado flexible cuando la deformación horizontal máxima de la placa supera en más de dos veces el valor promedio del desplazamiento relativo del piso en estudio. En la Norma Antisísmica para la Provincia de Mendoza, CCSR-Mza-87, se da un criterio similar en concepto, aunque distinto en valores.

2. En estructuras dúctiles sometidas a fuertes terremotos se espera que se

induzcan desplazamientos laterales inelásticos significativos. Mientras más grande sean las deformaciones plásticas, menos importantes son los desplazamientos elásticos diferenciales entre los pórticos y los tabiques que resultarían de las deformaciones del diafragma. La Fig. 7.56 muestra las diferentes maneras de deformarse de los sistemas en

forma individual.

Fig. 7.56. Configuraciones de deformaciones de pórticos y tabiques a acciones horizontales.

64

Tal cual muestra la Fig.7.57, la contribución de los tabiques a la resistencia lateral en sistemas combinados disminuye con la distancia medida desde la base. En consecuencia, de acuerdo a los resultados de los análisis elásticos estáticos, en los niveles superiores de las fuerzas horizontales están más uniformemente distribuidas entre tabiques y pórticos. Esto sugeriría una gran reducción de las acciones de corte y flexión en el plano de los diafragmas. Sin embargo, análisis dinámicos han demostrado que contrariamente a la predicción de análisis elástico, se pueden desarrollar fuerzas significativas de corte en los tabiques, las cuales son una buena medida de la acción de diafragma.

Estas observaciones enfatizan la necesidad de prestar atención al rol vital que le

caben a los sistemas de pisos, actuando como diafragmas. En particular, es importante que se suministre una armadura horizontal continua y adecuada en los bordes de los diafragmas de hormigón a efectos de asegurar que, tal cual la Fig. 7.65 indica, ellos puedan actuar como vigas con una amplia resistencia a flexión.

Fig. 7.57. Configuración de momentos y esfuerzos de corte en pórticos y tabiques en

edificios en altura por modelado teniendo en cuenta la compatibilidad de desplazamientos.

Es importante destacar lo expresado en la ref.[ 28] donde aclara que en general, los diafragmas cumplen la condición de ser rígidos en su plano, a menos que tengan formas muy irregulares o con aberturas importantes para patios o circulaciones. El buen comportamiento de los diafragmas es vital una eficiente interacción entre todos los elementos sismo resistentes. Si en el caso de estructuras prefabricadas no se tiene muy en cuenta la transmisión de esfuerzos o se utiliza una capa de compresión (como se la llama aunque muchas zonas estarán traccionadas) muy delgada que se llena in situ y refuerza con armadura nominal mínima, puede ocurrir que su comportamiento no sea esperado. Habrá que verificar los esfuerzos de corte en las zonas de transferencia a los elementos verticales como los tabiques.

65

FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS. Es necesario determinar la fuerza total del piso asociada a la máxima aceleración

de la masa del nivel en estudio. En el caso de análisis dinámicos elásticos esta es una operación de rutina. Sin embargo, para el caso de sistemas inelásticos, esto es donde se espera desarrollo de ductilidad, se debe hacer alguna estimación de las máximas fuerzas horizontales que se corresponden con el desarrollo de sobre resistencia en las zonas que se plastifiquen en pórticos y tabiques. Para ello es necesario aplicar los conceptos de diseño por capacidad.

DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMA.

Una vez que se han estimado las fuerzas generadas en el diafragma para un determinado nivel, se deberían determinar los esfuerzos internos como cortes y momentos flectores. Estos van a depender de la rigidez y localización de los componentes o elementos verticales de que se dispongan. Estas acciones raramente son críticas cuando solamente son pórticos los que controlan la respuesta del sistema. Sin embargo, como se dijo anteriormente, en sistemas duales donde los pórticos y los tabiques que contribuyen a la resistencia tengan marcadas diferencias en las características de desplazamientos de los pisos, las acciones de diafragma que resultan de masas idénticas a las que corresponden a sistemas de pórticos solamente, pueden resultar significativamente mayores.

Fig. 7.58 Acciones de Diafragma en un sistema pórtico-tabique de un ejemplo de 12 pisos.

La Fig.7.58 (a) muestra la disposición en planta de los elementos estructurales

presentados ya en la Fig. 7.55(a), utilizado por Paulay y Priestley, ref.[20 ], para indicar las acciones, en particular los momentos flectores a los cuales el diafragma es sometido en varios niveles. La Fig. 7.59(a) indica las fuerzas de diseño utilizadas en cada nivel. El análisis elástico predice una distribución de las fuerzas entre tabiques y pórticos como indica 7.59(b). De este diagrama se pueden obtener las fuerzas de diseño por nivel y por separado para los tabiques, 7.59(c), y pórticos, 7.59(d). Se puede apreciar que en la zona central de altura del edificio los tabiques y los pórticos se combinan en fase para resistir las fuerzas de inercia. Sin embargo, en

66

los niveles inferiores y en particular en el último nivel o techo, las fuerzas de ambos componentes actúan en sentidos opuestos y son significativamente mayores que las fuerzas inerciales en esos niveles. Estos resultados típicos muestran además que las recomendaciones de diseño, por ejemplo utilizadas en EEUU y aún recomendadas en algunos códigos de otros países, de fijar una proporción del orden del 25 % del corte total a los pórticos no es muy adecuada. Este criterio subestima groseramente las fuerzas de corte que corresponderían al pórtico en los niveles superiores.

En la Fig.7.58(b) se muestran los momentos en los diafragmas que han sido

derivados de las fuerzas indicadas en la Fig. 7.59(a). Para permitir una apreciación de las magnitudes de esos momentos, los mismos han sido normalizados en términos de Mo = Fil/8, el máximo momento que se desarrollaría si las fuerzas de inercia distribuidas horizontalmente, Fi, fueran aplicadas a una viga simplemente apoyada con una luz de L= 8x9.2 m = 73.6 m. Estas son indicadas en la Fig. 7.58(c). Debido a las mayores fuerzas de inercia a nivel de techo, Fr, (ver Fig. 7.59(a)), el momento máximo absoluto en este nivel es 65 % mayor que el debido a F2 en el nivel 2. El diseñador se podría ver tentado a considerar que la fuerza de inercia actuando en el diafragma a nivel 2 es del orden de F2, como se muestra en la Fig. 7.59(a). El análisis indica que el momento máximo del diafragma debería corresponderse con una fuerza total de inercia del orden de 10F2. El ejemplo que muestran los autores citados indica que las acciones resultantes en los diafragmas en sistemas duales requieren de consideraciones especiales. Note que para una dirección dada de las fuerzas horizontales de diseño, Fig. 7.59(a), el sentido de los momentos en el diafragma en los niveles 2 y techo son diferentes.

Fig. 7.59. Fuerzas internas elásticas que se generan en un sistema dual debido a acciones horizontales.

Una vez que las

acciones de diafragma han sido establecidas, se debe determinar los modos de resistencia de los que se dispone, y en particular la

ubicación de las armaduras de tracción. Un modelo muy adecuado para determinar los esfuerzos internos es el de biela-tensor, compresión-tracción, en particular cuando en la losa aparecen aberturas o discontinuidades importantes.

La Fig.7.60 muestra la planta de un ejemplo de diafragma en el que las máximas

fuerzas de corte se esperan que ocurran adyacentes a los pórticos más rígidos

67

ubicados en la periferia. La aplicación del modelo biela-tensor muestra que las fuerzas de tracción pueden ser convenientemente resistida a lo largo de las vigas, y que los paneles de los entrepisos pueden transmitir las componentes diagonales de compresión de esa supuesta triangulación. La Fig.7.60(a) y (b) muestra modelos de biela-tensor que se corresponden con diferentes sentidos de aplicación de las fuerzas de inercia en los diafragmas.

Cuando se imponen grandes demandas de ductilidad en los pórticos, por ejemplo

inducida por fuerzas en la dirección que se indica en la Fig.7.60, es esperable que ocurran elongaciones de las vigas en esa dirección, como esquemáticamente se muestran en las Figs.7.62 y 7.63.

Fig. 7.60 Modelo de resistencia utilizando diagonales de compresión de un ejemplo de

losa con aberturas.

Fig. 7.61 Modelo de resistencia utilizando diagonales de tracción de un ejemplo de losa con aberturas.

68

Las acciones de diafragma en sistemas de losas prefabricadas es confiada

usualmente a capas de hormigón relativamente delgadas con una malla de repartición de muy poca cuantía. Se pueden producir grandes fisuras en las zonas donde las vigas desarrollen rótulas plásticas con grandes esfuerzos de tracción en su parte superior, o sea en la zona de la losa (momentos negativos). Esas fisuras si son muy anchas pueden provocar que los paneles de losas sean inefectivos para transmitir esfuerzos de compresión. Bajo estas circunstancias, para posibilitar el desarrollo del mecanismo de biela–tensor dentro del diafragma, los paneles tendrán que suministrar un campo de desarrollo de diagonales de tracción mientras que las vigas indicadas en la Fig.7.61 se vuelven miembros en compresión. El suministrar una malla muy débil en la parte superior de las losas puede resultar insuficiente para transmitir fuerzas concentradas de tracción en los puntos nodales del campo de tracción tal cual es modelado, aún cuando estas fuerzas generen esfuerzos que aparezcan como no significativos en términos de tensión nominal de corte. En tales casos es aconsejable suministrar refuerzo extra en la parte superior de la losa, por ejemplo como se sugiere en la Fig.7.64. Esta armadura debería ser anclada en el diafragma para permitir una dispersión de la fuerza de tracción dentro del panel y por lo tanto provocar que la fuerza requerida sea efectivamente desarrollada.

Fig. 7.62

Alargamiento de una viga asociada con la formación de rótulas plásticas.

Fig. 7.63 Deformaciones inelásticas acumuladas con rótulas plásticas no reversibles.

Fig. 7.64 Acero adicional recomendado para colocar en la losa para que se pueda materializar la diagonal de tracción en las capas de hormigón de sistemas de losas prefabricadas.

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7.9 REFERENCIAS [1] “Reinforced Concrete Slabs”. R. Park and W. Gamble. J.W.&Sons. 1980. [2] Notas del curso “Plates & Shells”. Cursos del Imperial College, Londres.

Instructor: Dr. Milija Pavlovic. 1981. [3] “Curso de Hormigón Armado”. Oreste Moretto. 2da. Edición. 1970. [4] Notas del Curso “Advanced Reinforced Concrete”. Universidad de California,

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DIN 1045. Osvaldo Pozzi Azzaro. 1981. [8] “Reinforced and Prestressed Concrete”. F. K. Kong & R. H. Evans. 2da. Edición.

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1972. British Standards Institution. [18] Reglamento INPRES-CIRSOC 103. Parte 2. Estructuras de hormigón armado y pretensado. Agosto 1991.

70

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103. Parte I. General. INTI. Noviembre 1993. [22] “Cargas y Sobrecargas Gravitatorias para el Cálculo de las Estructuras de

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Año 2000. [28] “Seismic Design of Concrete Structures: The present need of societies”. Tom

Paulay. Paper No. 2001. 11th. World Conference on Earthquake Engineering. Acapulco. México. 1996.

71

7.10 APÉNDICE A.