Diseno~ de sistemas: Resortes helicoidales.garisplace.com/Spring_design.pdf · 2019. 12. 22. · Diseno~ de sistemas: Resortes helicoidales. Business & Engineering Solutionsy (Dated:

Diseno de sistemas: Resortes helicoidales.∗

Business & Engineering Solutions†

(Dated: Abril 22 del 2014)

I. INTRODUCCION

El presente documento, contiene calculos y valo-raciones sobre los resortes usados en el sistema de sus-pencion de un vehiculo. Cabe resaltar que el presentedocumento es solo para demostrar los servicios de B&Esy no hace parte de ninguna trabajo vigente.

FIG. 1. Esquema de Resorte 05H018

los valores ofrecidos por el catalogo [1] se listan acontinuacion.

• Hyundai ATOS DEL.

• Diametro Barra (mm): 11.9.

• Diametro Interno (mm): 113.

• Numero de Espiras: 5,9.

• Altura Libre (mm): 320.

El material del resorte no se especifica en el catalogo[1],por lo tanto es imposible saber el modulo de elasticidady demas puntos que pide la tarea. Por lo tanto se buscouna referencia parecida(mayor) en terminos de diametrode barra, diametro interno y longitud libre en el catalogo[2]. La seleccion en el anterior catalogo se muestra acontinuacion.

• Referencia: 4000-A.

• Longitud libre (mm): 476,3.

∗ B&Es.† [email protected]

• Diametro Interno (mm): 114,3

• Escala o coeficiente de elasticidad de resorteN/mm: 14.

• Diametro de barra (mm): 12,7.

• Numero total de espiras: 11,3.

• Diametro Externo (mm): 139,70.

• Material: SPR, Sprin Steel/ acero inoxidable 431.

• Tipo: Ambos lados a escuadra y esmerilado (Closedand ground).

II. COMPROBACION DE COEFICIENTE DEELASTICIDAD.

Para realizar la comprobacion de los valores estipula-dos en la introduccion, se usa la teorıa explicada en [3],la cual usa la teorema de Castigliano(cuando sobre unsistema elastico actuan fuerzas que producen desplaza-mientos pequeno y colineales, dicho desplazamiento seraigual a la derivada parcial de la energıa de deformaciontotal respecto a la fuerza[3]). La derivacion matematicade dicho principio, esta fuera del interes de este trabajo,por lo que solo se usara su resultado, ver ecuacion 1.

k =d4G

8D3N(1)

D = E.D − d (2)

Na = Nt− 2 (3)

Donde:

• k: Coeficiente de elasticidad.

• D: Diametro medio.

• E.D: Diametro externo.

• G: Modulo de Rigidez(tabla 10-5 de [3]).

• Na: Numero de espiras activas.

• Nt: Numero total de espiras.

2

Tabla I. Resultados de la escala del resorte.d(mm) 12,7

E.D(mm) 139,7D (mm) 127

Nt 11,3Na 9,3

G (N/mm2) 7,93E+04k Calculado (N/mm) 13,54k Catalogo (N/mm) 14

% Diferencia 3,42

La ecuacion 3 corresponde a un resorte a escuadra yesmerilado. Resolviendo tenemos:

De la tablaI vemos que si existen diferencias entre apre-ciables entre lo que dice el fabricante y lo que dan loscaculos. Por esto siempre se recomienda, calcular los val-ores a partir de la geometrıa del sistema fısico(siempreque se pueda).

III. ESFUERZO CORTANTE TORSIONALMAXIMO

Del libro [3] tenemos que:

τ = KB8FD

πd3(4)

KB =4C + 2

4C − 3(5)

C = D/d (6)

Siendo F la fuerza que esta comprimiendo el resorte.y KB el factor de Bergstrasser y C el ındice del resorte.El peso maximo que este vehıculo puede soportar, esaproximadamente 1336-886=450 kg(consultado de [4] y[5]), para tener un numero mas conservador redondeamosa 500 kg. En la figura 2 se puede observar el tipo desuspension que usa el atos. Como modelo simplificado,supondremos que dicha carga de 500kg, se distribuyeuniformemente en 4 resortes de suspension(y que el restodel peso pasa directamente a las llantas y estructurainterna.).

En el modelo simplificado F = 500 ∗ 9.81/4 = 1.23kNlo que nos un τ = 219, 77N/mm2. El fabricante deresortes recomienda una carga maxima de 2365N , locual, implicarıa que nuestro resorte soporta el modelosimplificado de distribucion de carga. Ahora calculamosel esfuerzo torsional maximo permisible, segun el libro [3].

Sut =A

dm(7)

FIG. 2. Esquema de suspencion del Hyunday Atos.[4]

Donde Sut es la resistencia a la tension mınima, y A ym son parametros de una regresion lineal log-log. En latabla 10.4 de [3] se encuentran tabulados estos valores.Dichos valores de ajuste, son teoricamente igualespara todos los aceros inoxidables, y solo dependen deldiametro de la barra. Por lo que A = 2911Mpa ∗mmm

y m = 0, 478. De la tabla 10.6 de [3], tenemos que parael acero inoxidable, la resistencia mınima(fluencia) a latorsion sera igual a Ssy = 0, 35Sut.

Tabla II. Comparacion Esfuerzos de torsion permisibles.

Teorico FabricanteSut (Mpa) 863,82 863,82Ssy (Mpa) 302,34 423,85

Relacion Ssy/τ 1,38 1,93

Para calcular el esfuerzo de torsion permisible dadopor el fabricante, se uso la ecuacion 4, con la fuerzamaxima recomendada por el catalogo(2365 N). Vemosque como se esperaba el resultado teorico es mas conser-vador. El fabricante tiene mejores estimaciones sobre laspropiedades del material usado, por lo tanto puede darun margen mas grande para la falla.

IV. ANALISIS DE ELEMENTOS FINITOS.

Se usaron los software simulation mechanical e In-ventor, ambos de la suit de autodesk. La creacion delresorte se puede apreciar en la figura 3, en donde setuvo extremo cuidado con la nomenclatura, para que elresorte fuese, el mismo en la medida de lo posible.

En la figura 3, se pueden observar, ademas del resorte,una guıa un colların de libre en translacion en el eje, y

3

FIG. 3. Creacion del resorte usando modulo de inventor.

dos placas de soporte, todo lo anterior, para garantizaruna buena transmision de la fuerza hacia el resorte.Se tuvo algunos problemas con el material, ya que pordefecto el acero inoxidable 431 no se encuentra en labiblioteca. Se asumio entonces un Possion de 0.3 y seprecedio con el modulo de rigidez a sacar el modulo deelasticidad. En la figura 4, se puede observar el arreglocreado, donde las flechas verdes representan la carga de1226, 25N , y el empotramiento de la cara inferior. Parala malla se usaron las formas tetraedricas solidas, deforma gruesa para todo menos para el resorte, dondese hizo un refinamiento, lo que dio como resultado unnumero de nodos 29868. Con los nuevos procesadorescore i7 con overclock de 4.5Ghz, y una ram de 32GB, la simulacion solo tardo 15 minutos, por lo quehacer mallas especiales para el resorte resulto innecesario.

Para las condiciones de frontera, se puso el resortesoldado a la placa de abajo y por contacto de superficiea la parte de arriba, el colların al eje mediante ajustecontacto. Los tipos de elementos se eligieron comosolidos o brick, y el material se metio manualmente. Enla figura 5 se puede observar el resultado en terminos dedesplazamiento.

De la figura 5, se puede ver que el desplazamientovertical simulado es de 71,85 mm, lo que es menos que ladeformacion predicha por el metodo de shigley(predice90,588mm). en la figura 6 se puede ver los resultados enterminos del esfuerzo principal maximo.

La figura 6, es un acercamiento de la figura 7, que seobtiene de ocultar las otras partes del cad, esto con el finde solo tener en cuenta el comportamiento del resorte.La figura 6 b), es producto de la conexion entre el resortey la placa de arriba, lo anterior en la vida real se puede

FIG. 4. Numero de nodos en la simulacion.

(a)Desplazamiento vertical. (b)Comparacion de posicion

FIG. 5. Desplazamiento producto de la fuerza aplicada.

evitar simplemente esmerilando el resorte, por lo tanto,el esfuerzo allı indicado no va ser tenido en cuenta.Por otra parte la figura 6 a), nos muestra el esfuerzoprincipal maximo en las espiras activas, que es, 217,13N/mm2, es con este ultimo valor que se realizara lacomparacion. Cabe resaltar que la simulacion se repitiovarias veces usando diferentes tipos de elementos finitos,y el presentado aqui fue que obtuvo mejor desempeno,las razones para que esto ocurriera se escapan delmarco de este trabajo. En teorıa un elemento finito en

4

(a)Esfuerzo maximo en el punto de internes(Espiras activas.)

(b)Esfuerzo maximo producto de la forma de creacion del CAD.

FIG. 6. Acercamiento de esfuerzo principal maximo.

coordenadas elpticas e igual forma(eliptica), deberıa darel resultado mas cercano a la realidad, infortunadamenteesto es solo especulacion que no se pudo probar en elpresente documento, ya que en el software simulationmechanical, no fue posible implementar esta tipo deparametro.Para mas informacion se recomienda [6]y [7].

A continuacion se presentan las comparaciones perti-nentes.

Tabla III. Comparacion de resultados. k(N/mm), τ(MPa)

% diferenciak Catalogo 14 0k Calculado 13,54 3,31k Simulado 17,07 21,9τ calulado 219

0,85τ simulado 217,13

La diferencia entre los esfuerzos torsionales soporta-

FIG. 7. Esfuerzos principales maximos.

dos por el resorte, producto de la carga, son desprecia-bles, sin embargo se observa una diferencia de 22%, enterminos del coeficiente de elasticidad del catalogo y elsimulado, este se debe, muy probablemente, a las varia-ciones de las propiedades de los materiales, y tambien a laincertidumbre asociada a la simulacion. se considera quelas tres formas de estimacion estan bien, se recomienda,sin embargo, seguir los modelos mas conservadores como(shigley) si el proyecto de ingenierıa es de baja precisiono se tiene demasiada incertidumbre, de lo contrario, serecomienda usar elementos finitos y luego realizar exper-imentacion en lo medida de lo posible.

V. FRECUENCIA CRITICA.

La ecuacion 8 rige el movimiento de los resortes, lasolucion de esta ecuacion es armonica, de lo cual se de-duce que sus modos de vibracion estaran regidos por unafrecuencia particular, las cuales deberıan estar bastantealejadas de la frecuencia de vibracion de la fuerza de ex-citacion para evitar la resonancia, que es un fenomenobastante destructivo.

5

∂2U∂x2

=W∂2Ukgl2∂t2

(8)

Con:

• U(x,t): Particula del arreglo.

• x: Posicion en el espacio.

• t: Posicion en el tiempo.

• g: gravedad.

• l: Longitud libre del resorte.

• W: peso del resorte.

Segun el libro de shigley[3], para evitar la resonancia,la frecuencia fundamental 9 de oscilacion(modo 1 u 0 devibracion, depende del autor) debe ser al menos 15 vecesla frecuencia de la fuerza excitadora.

f = 0, 5

√kg

W(9)

W =πd2DNaγ

4= 11, 52kg (10)

La ecuacion 10 se calculo con γ = ρg, conρ = 7850kg/m3 densidad del acero. La ecuacion 9es valida para resortes siempre en contacto con lasplacas de los extremos, como es el caso de suspensionsimplificada supuesta en este trabajo. Realizando loscalculos de frecuencia, para cada k obtenido por todoslos metodos tenemos:

• f con k Calculado: 53,68 Hz

• f con k catalogo Catalogo: 54,59 Hz

• f con k Simulado: 60,27 Hz

Tomamos el promedio para realizar la estimacioinde la frecuencia critica, esto es, f = 51, 18Hz. Conesto nuestra frecuencia critica es aproximadamentefc = 51, 18/15 = 3, 42Hz. En la figura 8, se puedeobservar la carretera supuesta para este trabajo.Basicamente se supone que el carro va en una carreteracon piedras espaciadas a aproximadamente 127mm, esdecir se siente un impacto cada 127mm, dicho impacto loaproximamos a una funcion seno, para poder trabajarlamatematicamente, el resultado es la figura 8(se suponeno que no hay precarga en resorte, pera que sea masextremo).

con estos supuestos la velocidad critica del carro es

V = 127mm ∗ fc (11)

FIG. 8. Forma estimada de la carretera.

• Vc promedio: 434,34 mm/s.

• Vc calculada: 454,47 mm/s.

• Vc catalogo: 462,18 mm/s.

• Vc simulada: 510,307 mm/s.

La ecuacion 11 implica que el carro se mueve a ve-locidad constante, y que si este escenario el carro fuesemanejado a una velocidad superior a dicho lımite, la sus-pension tendrıa un gran peligro de entrar en resonancia,y danarse.

VI. ANALISIS DE FATIGA.

Par la fatiga usamos el criterio Sines para datosZimmerli sin martillar, ya que el esfuerzo de torsionminimo esta en rango de validez de este modelo.

Ssa = 241MPa (12)

Para el τ alternante tenemos:

τa = KB8FaD

πd3(13)

donde:

Fa =Fmax − Fmin

2= 1226, 25(N) (14)

nf =Ssa

τa=

241

219= 1, 1 (15)

6

La ecuacion 15 nos indica que no va a fallar por fatiga,pero vemos que esta el factor de seguridad esta peligrosa-mente cerca de 1, para mejorar esto se usa la precarga,pero como dio mayor a 1, se considero que no es nece-sario, pero si recomendable.

FIG. 9. Rederizado del sistema. Hecho en Autodesk Show-case.

[1] Industrias Metalicas Asociadas IMAL S.A. (2014). Cat-alogo resortes helicoidales.

[2] Century Spring. (2014). Catalog, compression springs.[3] Budynas, R. G., & Nisbett, J. K. (2008). Diseno en inge-

nierıa mecanica de Shigley. McGraw-Gill Interamericana.[4] Hyunday Atos prime catalogo. Consultado el 20 de abril

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[5] Consultado el 20 de abril de 2014 de:http://www.cochesyconcesionarios.com/fichas/Hyundai/Atos-Prime/119188046-prestaciones-dimensiones.html

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