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Diseno de redes en modelos de hub conestructura de arbol
Justo Puerto Albandoz, Ana Belen Ramos Gallego yAntonio Manuel Rodrıguez Chıa
Departamento de Estadıstica e I.O.Universidad de Sevilla
Priego de Cordoba. 27-29 de Septiembre de 2013
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Indice
IntroduccionMotivacionHipotesis del ModeloModelo THP. Contreras et al. (2007)Modelo THPL. Contreras et al.(2009)
Problema de orden con asignacion simpleModelo THP con ordenModelo THPL con ordenModelo THP con variables de coberturaModelo THPL con variables de cobertura
Orden en el arbol
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Problema de Localizacion de Concentradores
A = {a1, . . . , aM}wij flujo del origen i al destino j.
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Nuestro problema
Problemas de localizacion de concentradores con asignacion unicadonde p concentradores se localizan en una red y se conectan pormedio de un arbol no dirigido
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Hipotesis del Modelo
I Modelo sin capacidades.
I Cada nodo esta asignado a un unico concentrador y todo el flujoentre nodos debe usar las conexiones entre concentradores paracircular.
I La estructura de costes no necesita satisfacer la desigualdadtriangular.
I El numero de concentradores esta fijado de antemano(3 ≤ p ≤M − 1).
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Queremos
I Localizar p concentradores (a coste nulo o igual).
I Definir un arbol entre ellos (a coste nulo o igual).
I Asignar cada nodo no concentrador a un unico nodoconcentrador.
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Modelo THP. Contreras et al. (2007)
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)
I zik =
{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,
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mın
M∑i=1
M∑k=1
(cikOi + ckiDi)zik +
M∑i=1
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αckmxikm
Page 9
s.a
M∑k=1
zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑k=1
zkk = p,
zkm + ykm ≤ zmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
zmk + ykm ≤ zkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
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xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
Oizik +
M∑m=1
m 6=k
ximk =
M∑m=1
m 6=k
xikm +
M∑m=1
Wimzmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
ykm = p− 1,
xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,
zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,
ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.
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Modelo THPL. Contreras et al. (2009)
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),0 en caso contrario,
I zik =
{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,
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mın
M∑i=1
M∑k=1
(cikOi + ckiDi)zik +
M∑i=1
M∑j=1
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αWijckmxikmj
Page 14
s.a
M∑k=1
zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑k=1
zkk = p,
M∑m=1
m 6=k
xikmj + zjk −M∑
m=1
m 6=k
ximkj − zik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,
xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,
M∑k=1
M∑m=1
m6=k
ykm = p− 1,
Page 15
Modelos con orden
I ci(X) := mınk∈X cikI σX es una permutacion de {1, . . . ,M}
cσX(1)(X) ≤ cσX(2)(X) ≤ · · · ≤ cσX(M)(X)
Problema discreto de la mediana ordenada (DOMP)
mınX⊆A , |X|=N
M∑i=1
λicσX(i)(X) .
con λ = (λ1, . . . , λM ) y λi ≥ 0, i = 1, . . . ,M .
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I λ = (1, 1, . . . , 1), N -median problem.
I λ = (0, 0, . . . , 0, 1), N -center problem.
I λ = (µ, µ, . . . , µ, 1) µ-centdian problem (0 < µ < 1).
I λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1), k−centrum problem.
I λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0), (k1 + k2)-trimmed mean problem.
I λ = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0, 1, . . . , 1), (k1 + k2)-trimmed anti-mean.
I λ = (2, 0, . . . , 0, 1), new problems.
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Modelo THP con orden
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)
I zlik =
1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,
y∑j cikwij es el l-esimo valor mas pequeno
en el vector de costes del primer modulo,0 en caso contrario,
I λl = factor de correccion en la l-esima posicion,
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mın
M∑l=1
M∑i=1
M∑k=1
λl(cikOi + ckiDi)zlik +
M∑i=1
M∑k=1
M∑m=1
m6=k
αckmxikm
Page 19
s.a
M∑l=1
M∑k=1
zlik = 1, ∀i = 1, . . . ,M
M∑i=1
M∑k=1
zlik ≤ 1, ∀l = 1, . . . ,M,
M∑l=1
M∑k=1
zlkk = p,
M∑l=1
zlkm + ykm ≤M∑l=1
zlmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
M∑l=1
zlmk + ykm ≤M∑l=1
zlkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
Page 20
M∑i=1
M∑k=1
M∑j=1
zlikcikwij ≤M∑i=1
M∑k=1
M∑j=1
zl+1ik cikwij , ∀l = 1, . . . ,M − 1
xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
Oizlik +
M∑m=1
m 6=k
ximk =
M∑m=1
m 6=k
xikm +
M∑m=1
wim
M∑l=1
zlmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
ykm = p− 1,
xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,
zlik ∈ 0, 1, ∀l, i, k = 1, . . . ,M,
ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.
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Modelo THPL con orden
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores (k,m),0 en caso contrario,
I zlik =
1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,
y∑j cikwij es el l-esimo valor mas pequeno
en el vector de costes del primer modulo,0 en caso contrario,
I λl = factor de correccion en la l-esima posicion
Page 22
mın
M∑l=1
M∑i=1
M∑k=1
λl(cikOi + ckiDi)zlik +
M∑i=1
M∑j=1
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αWijckmxikmj
Page 23
s.a
M∑l=1
M∑k=1
zlik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑i=1
M∑k=1
zlik ≤ 1, ∀l = 1, . . . ,M,
M∑l=1
M∑k=1
zlkk = p,
M∑m=1
m 6=k
xikmj +
M∑l=1
zljk −M∑
m=1
m 6=k
ximkj −M∑l=1
zlik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,
M∑j=1
M∑k=1
M∑m=1
zlikcikwij ≤M∑j=1
M∑k=1
M∑m=1
zl+1ik cikwij , ∀l = 1, . . . ,M − 1
xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,
M∑k=1
M∑m=1
m6=k
ykm = p− 1,
xikmj ≥ 0, ∀i, j, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,
zlik ∈ 0, 1, ∀l, i, k = 1, . . . ,M,
ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.
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Formulation basada en variables de cobertura
Consideramos la secuencia no decreciente:
c(0) := 0 < c(1) < c(2) < · · · < c(G) := max1≤j,k,m≤M
{M∑j=1
wijcik}.
Dada una solucion factible consideramos las siguientes variables(i = 1, . . . ,M y h = 1, . . . , G):
uih :=
{1 es el i-esimo coste de asignacion mas pequeno es al menos c(h),
0 otherwise.
Eli-esimo coste de asignacion mas pequeno es igual a c(h) sı y solosı uih = 1 y ui,h+1 = 0.
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(u)i,h =
1 λ12 λ23 λ34 λ45 λ56 λ6...
...M − 2 λM−2M − 1 λM−1M λM
c(1) c(2) c(3) . . . c(G−2) c(G−1) c(G)
1 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 0...
......
......
......
1 1 1 . . . 0 0 01 1 1 . . . 1 0 01 1 1 . . . 1 1 0
Page 26
La funcion objetivo es:
M∑i=1
G∑h=1
λi · (c(h) − c(h−1)) · uih.
Imponiendo el siguiente grupo de restricciones de orden:
uih ≤ ui+1,h i = 1, . . . ,M − 1; h = 1, . . . , G .
La relacion que vincula las variables u y z es:
M∑i=1
uih =
M∑i=1
M∑k=1∑M
j=1 wijcik≥c(h)
zik, ∀h = 1, . . . , G
Page 27
Modelo THP con variables de cobertura
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I uih =
{1 si el i-esimo coste de asignacion es al menos c(h),0 en caso contrario,
I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)
I zik =
{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,
Page 28
mın
M∑l=1
G∑h=2
λl(ch − ch−1)ul,h +
M∑i=1
M∑k=1
(ckiDi)zik +
M∑i=1
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αckmxikm
Page 29
s.a
M∑k=1
zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑k=1
zkk = p,
zkm + ykm ≤ zmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
zmk + ykm ≤ zkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
Page 30
xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,
Oizik +
M∑m=1
m 6=k
ximk =
M∑m=1
m 6=k
xikm +
M∑m=1
Wimzmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,
M∑l=1
ulh =
M∑j=1
M∑k=1∑M
m=1 wijcik≥c(h)
zik, ∀h = 1, . . . , G,
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
ykm = p− 1,
xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,
zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,
ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.
Page 31
Modelo THPL con variables de cobertura
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I uih =
{1 si el i-esimo coste de asignacion es al menos c(h),0 en caso contrario,
I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),0 en caso contrario,
I zik =
{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,
Page 32
mın
M∑l=1
G∑h=2
λl(crh − crh−1)ul,h +
M∑i=1
M∑k=1
(ckiDi)zik +
M∑i=1
M∑j=1
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αWijckmxikmj
Page 33
s.a
M∑k=1
zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑k=1
zkk = p,
M∑m=1
m 6=k
xikmj + zjk −M∑j=1
m 6=k
ximkj − zik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,
xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,
M∑l=1
ulh =
M∑j=1
M∑k=1∑M
j=1 wijcik≥c(h)
zik, ∀h = 1, . . . , G,
M∑k=1
M∑m=1
m6=k
ykm = p− 1,
xikmj ≥ 0, ∀i, j, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,
zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,
ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.
Page 34
Orden en el arbol
I ykm =
{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,
I ulkm ={1 si el coste total del flujo por (k,m) esta en posicion l-esima,0 en caso contrario,
I xlikmj = 1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),y el coste del flujo total por ese arco esta en posicion l-esima,
0 en caso contrario,
I plkm =flujo total del arco (k,m) si su coste esta en posicion l-esima,
I zik = si el nodo i es asignado al concentrador k.
Page 35
mın
M∑i=1
M∑k=1
(cikOi + ckiDi)zik +
p−1∑l=1
λl
M∑k=1
M∑m=1
m 6=k
αckmplkm
Page 36
s.a
M∑k=1
zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,
M∑k=1
zkk = p,
M∑m=1
m 6=k
xlikmj + zjk −M∑
m=1
m 6=k
xlimkj − zik = 0, ∀l, i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,
xlikmj + xlimkj ≤ ykm, ∀l, i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,
M∑k=1
M∑m=1
m6=k
ykm = p− 1,
plkm =
M∑i=1
M∑j=1
wijxlikmj , ∀l, k,m = 1, . . . ,M,
plkm ≤M∑i=1
M∑j=1
wijulikm, ∀l, k,m = 1, . . . ,M,
Page 37
M∑k=1
M∑l=1
ulikm = 1, ∀l = 1, . . . ,M,
M∑l=1
ulikm ≤ 1, ∀k,m = 1, . . . ,M,
M∑l=1
M∑k=1
M∑m=1
ulikm = p− 1,
xlikmj ≤ ulikm, ∀l, i, k,m, j = 1, . . . ,M,
M∑k=1
M∑m=1
ckmplkm ≤
M∑k=1
M∑m=1
ckmpl+1km , ∀l = 1, . . . , p− 2,
xlikmj ≥ 0, ∀l, i, k,m, j = 1, . . . ,M, ∀m > k