EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações Relatório do 1º Exercício de Avaliação Aluno: Giovanni Bratti Proposta: Seja a barra da figura abaixo, sujeita a movimentos axiais u(x,t), com uma extremidade livre e outra engastada (não inverter as extremidades). A viga possui comprimento L = 0,720m, área de seção transversal constante A = 400mm², densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade E = 210 GPa. Comparar as doze primeiras freqüências naturais, e as correspondentes formas modais, da solução em que se considera a barra como um sistema contínuo (Capítulo 2 da apostila), com as freqüências naturais e formas modais da solução em que a viga discretizada é modelada, de forma aproximada, conforme figura abaixo. Neste caso a massa total é subdividida, imaginada como doze massas concentradas m de iguais valores, onde as flexibilidades dos segmentos de viga são utilizadas para cálculo de molas equivalentes. Esta situação acaba fornecendo um sistema de inércias e molas (resolver segundo o capítulo 1 da apostila). 0 A,E,ρ L u(x,t) x k m u(x,t) x
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Discretização de Sistemas Contínuos - Fundamentos de Vibrações
Isaías 40:8 Seca-se a erva, e murcha a flor; mas a palavra de nosso Deus subsiste eternamente.
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, but the word of our God will stand forever.
40:8 الكتاب المقدس ترجمة فانديك وسميث يبس العشب ذبل الزهر واما كلمة الهنا فتثبت الى الابد
Исая 40:8 Тревата съхне, цветът вехне, Но словото на нашия Бог ще остане до века.
Píseň 40:8 Usychá tráva, kvítí uvadá, slovo našeho Boha však věky přetrvá.
Píseň 40:8 Usychá tráva, květ prší, ale slovo Boha našeho zůstává na věky.
Jesaja 40:8 Das Gras verdorrt, die Blume verwelkt; aber das Wort unsres Gottes bleibt ewiglich.
Jesaja 40:8 Das Gras verdorrt, die Blume verwelkt; aber das Wort unsres Gottes bleibt ewiglich.
Isaiah 40:8 The grass withereth, the flower fadeth; but the word of our God shall stand forever.
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, but the word of our God will stand forever.
Isaiah 40:8 Flowers and grass fade away, but what our God has said will never change.
Isaiah 40:8 Yes, grass withers and flowers fade, but the word of our God endures forever.”
Isaiah 40:8 Grass dries up, and flowers wither, but the word of our God will last forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flowers fade, but the word of our God remains forever."
Isaiah 40:8 The grass withereth, the flower fadeth: but the word of our God shall stand for ever.
Isaiah 40:8 True, the grass withers and the wildflowers fade, but our God’s Word stands firm and forever.”
Isaiah 40:8 The grass dries up, the flowers wither, but the decree of our God is forever reliable.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, But the word of our God stands forever.
Isaiah 40:8 The grass dies and the flowers fall, but the word of our God will live forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fall, but the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, But the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fade, but the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fall, but the word of our God endures forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades; but the word of our God stands forever.”
Isaías 40:8 Sécase la hierba, marchítase la flor, mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Isaías 40:8 Se seca la hierba, se marchita la flor, Pero la palabra de nuestro Dios permanece para siempre.
Isaías 40:8 La hierba se seca y la flor se marchita, pero la palabra de nuestro Dios permanece para siempre.»
Isaías 40:8 Sécase la hierba, marchítase la flor; mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Isaías 40:8 Sécase la hierba, cáese la flor: mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Jesajan kirja 40:8 Ruoho kuivuu, kukkanen lakastuu, mutta meidän Jumalamme sana pysyy iankaikkisesti.
Ésaïe 40:8 L'herbe sèche, la fleur tombe; Mais la parole de notre Dieu subsiste éternellement.
Ézsaiás 40:8 Megszáradt a fű, elhullt a virág; de Istenünk beszéde mindörökre megmarad!
Isaiah 40:8 Rumput menjadi kering, bunga menjadi layu, tetapi firman Allah kita tetap untuk selama-lamanya."
Isaia 40:8 L’erba si secca, il fiore appassisce, ma la parola del nostro Dio sussiste in eterno".
イザヤ書 40:8 草は枯れ、花はしぼむ。しかし、われわれの神の言葉はとこしえに変ることはない」。
이사야 40:8 풀은 마르고 꽃은 시드나 우리 하나님의 말씀은 영영히 서리라 하라
Jesaja 40:8 Het gras verdort, de bloem valt af; maar het Woord onzes Gods bestaat in der eeuwigheid.
Jesaja 40:8 Gresset blir tørt, blomsten visner; men vår Guds ord står fast til evig tid.
Jesaja 40:8 Gresset blir tørt, blomsten visner. Men vår Guds ord står fast til evig tid.
Isaia 40:8 iarba se usucă, floarea cade; dar cuvîntul Dumnezeului nostru rămîne în veac.
Исаия 40:8 Трава засыхает, цвет увядает, а слово Бога нашего пребудет вечно.
Jesaja 40:8 Gräset torkar bort, blomstret förvissnar, men vår Guds ord förbliver evinnerligen.»
EÂ-sai 40:8 cỏ khô, hoa rụng; nhưng lời của Ðức Chúa Trời chúng ta còn mãi đời đời!
以赛
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EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações
Relatório do 1º Exercício de Avaliação Aluno: Giovanni Bratti
Proposta:
Seja a barra da figura abaixo, sujeita a movimentos axiais u(x,t), com uma extremidade
livre e outra engastada (não inverter as extremidades).
A viga possui comprimento L = 0,720m, área de seção transversal constante A = 400mm²,
densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade E = 210 GPa.
Comparar as doze primeiras freqüências naturais, e as correspondentes formas modais, da
solução em que se considera a barra como um sistema contínuo (Capítulo 2 da apostila),
com as freqüências naturais e formas modais da solução em que a viga discretizada é
modelada, de forma aproximada, conforme figura abaixo.
Neste caso a massa total é subdividida, imaginada como doze massas concentradas m de
iguais valores, onde as flexibilidades dos segmentos de viga são utilizadas para cálculo de
molas equivalentes. Esta situação acaba fornecendo um sistema de inércias e molas
(resolver segundo o capítulo 1 da apostila).
0
A,E,ρ
L
u(x,t)
x
k m
u(x,t)
x
Solução 1: Método dos Sistemas Contínuos (Equação da Onda):
A equação diferencial parcial que descreve o movimento da barra (equação da onda) é dada por:
2
2
22
2 1tu
axu
( 2.1 )
sendo u o deslocamento na direção axial de um ponto x da barra no instante t ,
//2 EAEAa , ρ a densidade da barra e E o módulo de elasticidade do material da
barra. Aplicando o método da separação de variáveis com u(x,t)=X(x)·T(t), a equação da
onda resulta em:
TT
aXX
2
1 ( 2.2 )
Usando a mesma separação de variáveis, as condições de contorno nos fornecem:
0)('0)().('),(
0)0(0)().0(),0(
LXtTLXtLuXtTXtu
x
Através de (2.2), podemos solucionar a equação diferencial ordinária na seguinte forma:
0)(.)( xXxX ( 2.3)
Este problema só admite soluções são triviais quando λ ≥ 0. Portanto para λ < 0, tem-se a
proposta de solução:
).cos(.).(.)( 21 xCxsenCxX
Aplicando a primeira e a segunda condição de contorno, temos:
0).cos(..0)('
0C0X(0)
1
2
LCLX
assim, a condição é obtida quando:
,.....2,1,02
).12(. nnL
ou ,........2,1,04
)12(2
22
nL
nn
Retornando à equação X(x), as autofunções (forma modal, ou espacial) são obtidas:
xL
nsenxX n ..2
).12()( (2.4)
Obs.: A constante 1C foi retirada com o intuito de mostrar como são as autofunções. Outro motivo é que na próxima etapa aparecerão
outras constantes que se misturariam com esta.
Para a solução da segunda parte da equação (2.2), deve-se extrair 0..'' 2 TaT da
parte final da equação, e substituindo o valor de λ já calculado, obtém-se:
0)(..4
..)12()( 2
222
tTL
antT
admitindo também que λ < 0, a solução da equação diferencial acima nos fornece:
tL
ansenDtL
anDtT nnn ..2
.).12(...2
.).12(cos.)( 21
Assim, a autofunção de x e de t levada à equação u(x,t) e a substituição de /Ea
na equação, nos fornece:
tL
EnsenDtL
EnDxL
nsentxu nnn ..2
/.).12(..
.2/.).12(
cos...2
).12(),( 21
e as freqüências de ressonância [rad/s] são dadas por:
,...2,1,0,.2
/.).12(
n
LEn
n
A solução final do problema é dada através da seguinte série:
0
),(),(n
n txutxu
Substituindo os valores dados de E, ρ e L nas duas equações acima, a solução fica da
seguinte forma:
0
21 ).12(11320,1..).12(11320,1.cos.).12(2,2.),(n
nn tnsenDtnDxnsentxu
e )12(1,11320 nn (2.5)
onde n= 0,1,2,.. .
Através da equação de )(xX n é possível plotar as formas modais da barra para qualquer
modo, e também através da equação de n acima é possível determinar as freqüências de
ressonância de qualquer modo. Após a segunda parte do exercício, serão comparadas as
formas modais adquirida pelos dois métodos e as respectivas freqüências de ressonâncias.
Solução 2: Método da Discretização (Sistemas Multi-corpos):
A barra é discretizada (figura abaixo) em pequenas partes consideradas como corpos
rígidos com massas concentradas sendo que m1=...=m12==m=ρ.A.L/12=0,1872kg,
distanciadas de L/12 (a massa m1 está distante de L/24 do engaste), com rigidezes dos
segmentos dadas por k2=...=k12=k=12.E.A/L=1,4.109 N/m e a rigidez do primeiro
segmento dada por k1=2k=24.E.A/L=2,8.109N/m .
Figura 1: Barra Discretizada em 12 partes.
Para se obter o conjunto de equações dinâmicas, pode-se aplicar a segunda Lei de
Newton na direção x em cada elemento de barra conforme:
1. umFx , considerando que 12 uu
1112 ..2. umukuuk
0..3. 211 ukukum
sendo u1 o deslocamento da massa 1 e u2 o deslocamento da massa 2. O mesmo processo é
feito para a massa 2:
23. uuk 12. uuk
m2
k x
u2
111 .2. ukuk
m1
k1 x
u1
12. uuk
k
0
k3 k2
m3 m2
k1 u(x,t)
x
m12
k12 k11
m1 m11
2. umFx , considerando 123 uuu
21223 ... umuukuuk
0...2.. 3212 ukukukum
Realizando este processo até a massa 11, percebe-se que as equações são análogas, e enfim
aplicando a segunda Lei de Newton na massa 12 tem-se que:
12. umFx , considerando que 1112 uu
121112 .. umuuk
0... 121112 ukukum
Um sistema de equações pode ser obtido pelas equações dinâmicas de cada elemento de
barra, que por sua vez pode ser escrito em forma matricial da seguinte maneira: