Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972 Citation for published version (APA): van Lint, J. H., & Seidel, J. J. (1972). Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972: Herorienteringscursus 1972. Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1972 Document Version: Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: • A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. • The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. • The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal. If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement: www.tue.nl/taverne Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us at: [email protected]providing details and we will investigate your claim. Download date: 08. Jan. 2020
43
Embed
Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972 · \8 ~~
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972
Citation for published version (APA):van Lint, J. H., & Seidel, J. J. (1972). Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972:Herorienteringscursus 1972. Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1972
Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:
x 1,x2, ••• ,xm uit K zo dat c]x] + c2x2 + ••• + cmxm (0 ~ ci < p) aIleen 0
is als aIle c. = 0 zijn. Ieder element van K is eenduidig te schrijven als 1
lineaire combinatie van Xl tIm xm met coefficienten uit GF(p). Met
x1,x
2"",x
m als basisvectoren is Keen vectorruimte van dimensie mover
het lichaam GF(p). We hebben hiermee bewezen:
2.11 Stelling: Het aantal elementen van een eindig lichaam is een macht
van een priemgetal.
We delen hier zonder bewijs mee dat er slechts een lichaam is met p m
elementen. We geven het zoals eerder reeds gezegd is aan met GF(pm). (lets
beter gezegd: twee lichamen met evenveel elementen zijn isomorf.) Voor een
grondige behandeling van Galois lichamen verwijzen we naar: B.L. van der
Waerden, Algebra. We volstaan hier met het vermelden van enige stellingen
(zonder bewijs) en enige voorbeelden.
2.12 Stelling: AIle elementen r 0 van GF(q) zijn machten van een zelfde
element (primitief element), d.w.z. de multiplicatieve
groep van GF(q) is cyclisch (van de orde q-]).
m We geven nu een methode om GF(p ) te construeren. Laat f(x) een polynoom
zijn van de graad m met coefficienten in GF(p) en laat f(x) ~rreducibel_
zijn (f(x) is niet het product van 2 polynomen van lagere graad met coeffi
cienten in GF(p». AIle polynomen met coefficienten in GF(p) vormen een
ring (R,+, ) (notatie: (GF(p)[x],+, ». De veelvouden van f(x) vormen een
ideaal S in R (notatie: S = {fex)}). De restklassenring Rls is op te vatten m-I als de verzameling polynomen Co + ctx + ••• + cm_Ix (0 ~ ci < p) met op-
telling en vermenigvuldiging mod p en mod fex) (notatie: (GF(p)[x] (mod({f(x)D,+, ).
Ais g(x) een element van Rls is en c(x) doorloopt Rls dan doorloopt ook
g(x)c(x) de hele restklassenring daar g(x)cl(x) = g(x)c2 (x) zou impliceren dat
g(x){cl(x) - c2(x)} = r(x)f(x) en dit kan niet als f(x) irreducibel is. Uit
bovenstaande voIgt dat er bij iedere g(x) in Rls een c(x) is zo dat
g(x)c(x) = I, m.a.w. Rls is een lichaam. Dit is het lichaam GF(pm) •
Het volgende voorbeeld illustreert deze methode en tevens stelling 2.12.
We construeren GF(24) door uit te gaan van een primitief element x dat vol
doet aan x4 + X + 1 = 0 (dan is xIS = 1):
10.
0 == (0 0 0 0)
xO = (1 o 0 0)
xl = x = (0 0 0)
x2 = x2 = (0 0 0)
x 3 = x 3 = (0 o 0 1 )
x4 = 1 + x = (l o 0)
x5 = x + x2 (0 0)
x6 == x2 + x 3 (0 0 1 )
x7 + x + x 3 (1 1 0 1 )
x8 = + x2 == (I o 1 0)
x9 = x + x 3 = (0 0 1 )
x lO = 1 + x + x2 = ( I 0)
xlI = x + x2 + x 3 (0 1 )
xl2 = + x + x2 + x 3 (I 1)
x I3 = + x2 + x 3 = (1 0 1)
x14 = + x 3 = (I o 0 1)
De representatie als machten van x geeft de structuur van de multiplicatieve
groep van GF(24) en de representatie als vectoren (4-dimensionale vector
ruimte over GF(2» geeft de structuur van de additieve groep.
We merken nog op dat we analoog aan het bovenstaande een vectorruimte
kunnen maken van de n-tallen (al,a2 , ••• ,a
n) waarbij aIle a i uit een lichaam
K gekozen zijn. Dit heet een n-dimensionale vectorruimte over het lichaamK.
Ala oefening kan men GF(3 3) construeren door bovenstaande constructie uit
te voeren m.b.v. een polynoom x 3 + ax2 + bx + c dat deler is van x I3 + 1.
Als we dan de machten van x schrijven als lineaire combinatie van 1, x en x2
met coefficienten uit GF(3), dan is x26 de kleinste macht die = I is, d.w.z.
we vinden voor de multiplicatieve groep x als voortbrenger (x is primitief
element). ..
•
•
II.
Opgave 8. Zij f(x) E GF(5)[x] en a een element van GF(Sn) zo dat f(a) = O.
Bewijs dat ook f(a 5) = O.
Opgave 9. Beschouw de polynomenx2 + alx + a2 met ai = 0, 1 of 2 (i = 1,2).
We rekenen mod 3. Welke van deze polynomen zijn niet in factoren
te ontbinden? Geef de ontbinding in irreducibele factoren van
x8 - 1.
Opgave 10. Er zijn 16 matrices (~ :) met elementen 0 of I. Als we mod 2
rekenen (gewone matrix-optelling en vermenigvuldiging) dan vormen
deze matrices een ring (ga na!). Bewijs dat er in deze ring een
matrix X is met X2 = X + I (hierin is I de eenheidsmatrix).
Bewijs dat 0, I, X en X + I een lichaam met 4 elementen vormen.
Opgave 11. Toon aan dat x2 + 1 in GF(3)[x] irreducibel is. We nemen
(GF(3)[x] (mod({x2 + Il»,+, ) als model van GF(9). Bepaal in dit
geval een primitief element a van GF(9). Toon aan dat in~~H
het polynoom x4 + I product is van twee irreducibele
dat a nul punt is van een van deze polynomen •
12.
Hoofdstuk 3. nse vietkanten.
3.1. Definitie
Een Latijns vietkant van de orde n is een vierkante matrix van de orde n,
waarvan elke rij en elke kolom een permutatie is van n symbolen {1,2, .•• ,~.
Twee Latijnse vierkanten van de orde n zijn orthogonaal, als hun superpositie
elk van de n2 geordende paren (i,j) met i,j E {1,2, ••• ,n} precies eenmaal be
vat. Neem verder n > 2.
Voorbeeld.
2
3
orthogonaal wegens [
11
23
32
22 33J'\ 31 ~~I J 13_~
-----_.
Voorbeeld. Twee aan twee orthogonaal is het drietal
2
3 4
3
3
4
2
4
3
2
3
4
2
2
4
3
3
2
4
4
2
1
3
2
3
4
3
2
4
4
1
3
2 , ... -~-.~-~---------------.... - --
Het volgende Latijnse vierkant echter bezit geen orthogonale collega:
3.2. Het vermoeden van Euler
4~ 2
3
Stelling: Bij elke eindige groep van oneven orde nkan een paar orthogonale
Latijnse vierkanten van de orde n worden geconstrueerd.
Bewijs. Zij G = {al,a
2, ••• ,a
n} een multiplicatieve groep van orde n.
De matrices
[a. a. ] 1. J
en -1
[a. a. ] J 1.
a.,a.EG 1. J
zijn Latijnse vierkanten van de orde n. Inderdaad, in elk der matrices komt
elk der groepselementen in elke rij en in elke kolom eenmaal voor. Uit
•
voIgt echter a. 2 ~
a. ~
n+1
13.
= ak
2 • Verhef in de macht !(n+l) dan
n+1 = ~ ,dus a i = ~ ,
omdat de ne macht van elk groepselementgelijk is aan het eenheidselement
/#.. ~ }jel.I!-~~· Euler formuleerde in 1782 het volgende: VtA/J/2-1.N-'1~ '. 7 (waarom?) •
Vermoeden. Er bestaat geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van
orde n = 2 (mod 4), n > 2.
Dit vermoeden werd in 1900 voor n == 6 bevestigd door Tarry. Voor aIle andere
n werd het echter in 1959 weerlegd door Bose, Shrikhande en Parker, die de
volgende stelling bewezen:
Stelling. Er bestaat een paar orthogonale Latijnse vierkanten van elke
orde n =F 6.
r~f ~ 3.3. Orthogonale Latijnse vierkartten L ~l
A. AL Stelling. Er bestaan ten hoogste n-I twee aan twee orthogonale Latijnse
vierkanten van de orde n ~ 3.
Bewijs~ Stel AI' A2, ••• , At vormen t twee aan twee orthogonale Latijnse
vierkanten van de orde n. Arrangeer de symbolen van elk der Latijnse vier
kanten zo, dat de eerste rij van elke A. bestaat uit de symbolen 1,2, ••• ,n, 1.
in deze volgorde. De (2,1) plaatsen van de t Latijnse vierkanten zij.n alle
verschillend, en bevatten niet het symbool I. Daarom is t S n-l.
m Stelling. Als n = p ~ 3, p priem, dan bestaan er n-l twee aan twee ortho-
gonale Latijnse vierkanten van de orde n.
Bewijs. Zij GF(n) = {aO == 0, at == 1, a2 , ••• ,an- l } het Galois lichaam van
orde n. Definieer de n-l matrices
(a e
(a e
[a a. + a.], i,j = O,l, ••• ,n-l, e = 1, ••• ,n-I"IES" e 1. J A zijn Latijnse vierkanten, wegens .)
e £
:\ a. + a. = a a. + a.,) ==> (a. == a.,) ! ~ J e~ JJ J
a. + a. = a a. , + a.) ::;::. (a. == a. ,) 1. J e 1. J 1. 1.
V~~r e =F f zijn A en Af orthogonaal omdat uit A~ ~ ) ... 'i ' e
a a. + a. = a a. , + a., , af
ai
+ a. = a a. , + a., voIgt dat e ~ J e 1. J J f 1. J
L3] 4(, _{\I a. =0 a., en a. = a. , • ~ 1. J J
14.
Hoofdstuk 4. Orthogonale matrices.
4. I. Ret Legendre symbool
Ret Galois lichaam GF(q), q = pk, p " 2 priem, bevat, behalve het nul
element 0, nog ~(q-l) kwadraten en ~(q-I) niet-kwadraten. Dit is op twee
manieren in te zien:
? 3 q-l (i) GF(q) \ {o} = {w, w-, w , ••• ,w • I} , w primitief.
(ii) x2 = y2ddan als x = + y in GF(q).
DeL Ret Legendre symbool x(a) van a E: GF(q) '\
is
:-[ ~ als a = 0, ~~J X(a) als a is kwadraat,
-I als a is niet-kwadraat.
Eigenschap I. x(ab) = x(a) X(b).
Bewijs: verifieer, voor a " 0, b " 0 met de primitieve w.
Eigenschap 2. Voor q - I (mod 4) is X(-I) = 1,
voor q - -I (mod 4) is XC-I) = -1. ) ~/L /
Bewijs: zij w primitief in GF(q), dan wf(q-l) = -I.
Eigenschap 3. Ix(a) o. aEGF(q)
Bewijs: er zijn evenveel kwadraten als niet-kwadraten.
Eigenschap 4. I x(a) x(a+b) = -I, voor b " 0. aEGF(q)
Bewijs: Stel a+b=ca. Als a doorloopt GF(q) \ {OJ, dan c doorloopt
GF(q) \ {I}. Inderdaad,
a + b 1
= cal a2
+ b = ca2
, dan (at-a
2)(t-c) = 0,
= a2 , omdat c " 1 wegens b ~ 0. Nu is
L x(a) xCa+b) = a~O
r c,tl
x(c) - I X(c) - X(t) = c
o - 1 "" -1.
•
4.2.
,..
I Lj~ 1.
Paley-matrices "
15.
Stelling. De q x q matrix S • [x(ar-ak)J, waar ar en ak de elementen van
GF(q) doorlopen, voldoet aan
SST = q I-J, Sj = j S = O.
Bewij 8. Elke rij van S bevat een o en q-J elementen + ) . Het inproduct van de rijen r en 8 is wegens eig.4 r X(a -ak) x(as-~) .. -)
k r voor r .; s en q-I voor r = s. Voorts is de 80m van elementen van elke rij
C .,. [ j X (-1)
o
is symmetrisch voor q - 1 (mod 4), scheef voor q - -) (mod 4)
en voldoet aan
T CC .. q I .
Bewijs. Met eigenschap 2 en de vorige stelling.
Voorbeeld. GF(5) .. {a, 1, 2, 3, 4}
met x(a) .. 0, 1, ";1, -1, 1 •
GF(7) .. {Ot 1, 2, 3, 4, 5, 6}
met x(a) = 0, I, ), -1, ), -I, -) •
Daarom zijn de volgendematrices orthogonaal:
0 0
rI -) -] -] 0 -] -1 -1
-1 0 -1 -) -) 0 -) -]
-I -) -) 0 -)
C6 .. -I
\ 0 -] Cs = -1 -1 1 0 -1 -1 1
-1 ! -1 0 -I I 1 -1 0 -I -)
-] \ -1: ] -1 0 -) I -1 -] 0
( -1 \-1 -I ) 0 -)
\l ~ \ '\ ~ (A -0 a -I Ii ~~ 11--.;:" a. -,u.
\., 1. f/., ~
16.
4.3. Conferentie-matrices / !
Een conferentie-matrix C van orde v is een vierkante matrix van orde v met
diagonaal elementen 0 en overige
C CT
= (v-l) 1.
/ elementen /+
1-1, die voldoet aan
/ !
,I
Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische [scheve] . d d . d l C-matr1x van e or e v 1S at
v :: 2 (mod 4) {
[v • 2 en/v:: 0 (mod 4)] • /
B~eWijs, Voor v :: 2 triviaal. Nee' ~ > 3, normaliseer en permuteer rijen
en kolonnnen zodat de eerste d ierijen zijn
o +
o + I ;;
o I -L- --'-' i-I -
met 1, I I, x, Y ~ u kolonnnen. Uit de inproducten concluderen wij in
het Symme\risch~nZ~et scheve geval respectievelijk:
I+X+~+~U-V-{ I + x + y - u = 0
+ x - + z~ u • 0
I + x /y -z "\ u :: 0
4(X~ = 4y = 4z~ 4u • v - 2 ,
+ x + y + z + u - v - 2
+ x + y - z - U :: 0
-) + x - y + Z - U :: 0
+ X - Y - z + U .. 0
4(x+1) :: 4(y+1) = 4z :: 4 (u+l) ... v.
Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische C-matrix
van de orde v is
v - ) = a2 + b2 , a en b geheel.
k In 4.2 werden speciale C-matrices van de orde v = 1 + p , p ~ 2 priem,
geconstrueerd. zij heten Paley-matrices, naar R.E.A.C. Paley (1933).
Er bestaan ook andere C-matrices, bijv. van de orde v :: 226,.
Het kleinste onopgeloste geval is v :: 46.
4.4. Hadamard matrices
Def. Een Hadamard matrix van de orde n is een vierkante matrix H, waarvan T aIle elementen + 1 zijn en waarvoor geldt H H = n I.
Stelling. Als H bestaat, dan is n - I, n ... 2, n _ 0 (mod 4). n
Bewijs: zie 1.1.
Stelling. Als C een scheve conferentie matrix is, dan is H = C + I n n n n
een Hadamard matrix.
T Bewijs. C = -C, dus
(C+I)(CT+I) = CcT + C + cT + I = (n-I) I + 0 + I - n I.
Stelling. Als Cn een symmetrische conferentie matrix is, dan is
H ... 2n
C + I n n
C - I n n
c - I n n
-C - I n n
een Hadamard matrix van de orde
Bewij s.
r [~C+I)2 + (C-I)2 [C+I C-I
.,. C-I -C-I (C-I) (C+I) - (C+I) (C-I)
[ 2C2
: 21 0 ] [ 2nI ...
2C2 + 21 0
4.5. Kronecker product
2n.
(C+I)(C-I) - (C-I)(C+I)
(C-I)2 + (C+I)2
2:1 ]
] ...
17.
Het Kronecker product A x B van de vierkante matrices A = [a .. ] van orde m, 1J
en B = [bk1J van orde n, is de matrix van orde mn gedefinieerd door:
A x B = •
a B rom
Eigenschappen:
(A x B) x C = A x (B x C),
(A x B)T = AT x BT,
(A x B)(C x D) = (AC) x (BD),
(aA+BB) x (yC+OD) = ayA x C + aoA x D + ayB x C + BoB x D.
18.
Stelling. Als H en H Hadamard matrices zijn, dan isH x H Hadamard matrix m n m n van de orde DDl.
Bewijs.
(H x H )(H x H )T = (H x H )(H T x H T) = m n m n m n m n
(H H T) x (H H T) = mn I x I = mn I mm nn m n mn
•
J 9.
Hoofdstuk 5. Block designs
5.1. Steiner tripel systemen
Zij V een verzameling van v elementen, zeg punten. Een tripel is een deel
verzameling van 3 punten. Bestaat er een collectie tripels zo, d~~~
punten in precies een tripel zit? Dan meet v aan voorwaarden voldoen.
1nderdaad,
elk punt zit met elk van de v-J andere punten in een tripel,
dus zit in 6(v-l) tripels;
totaal zijn er ~ v • I(v-I) • i v(v-t) tripels.
Hieruit voIgt, dat v meet voldoen aan
v = I of 3 (mod 6).
Omgekeerd kan men bewijzen dat deze voorwaarde voldoende is. Zo'n collectie
tripels heet een Steiner tripel systeem, naar Jacob Steiner (1853), en
_lu::.e-f-t:-de-e1-gens-Ghap : KA~ t \8 11.1) Er 'i'ii,jn v puntel.n b = ! v(v-t) tripels,
elk t~p,el bLt k = 3 punten, door elk punt gaan r ... ! (v-J) tripels,
tlkraar ~ten ligt in A = I tripel. I 1 (v, k b, r, A)~- (v, 3, 6 v(v-l), 2 (v-l), I).
~tie ddan ~s v = 1,3 (mod 6).
Voorbeeld I. (v, k, b, r, A) = (7, 3, 7, 3, 1).
Dit is de meetkunde van Fano, zie 1nleiding 1.2, met punt-tripel incidentie
Daarom geldt r,,-~ /.I/A{iJ.A ~uL-t0 V ( ? \., n-s
q -I / A(s,s+J; q) A(s+l,n; q) • A(s,n; q) q-J' I if s+.l Wegens A(s,s+l; q) .. (q -J)/(q-J) voIgt het gestelde. I
I
( ,voorbeeld.
V Voorbeeld. ~ \ Voorbeeld.
Voorbeeld. ".
V(3,2) bevat 7 rechten en 7 vlakken door W.
Elk vlak door e' bevat 3 rechten door 8'.
V(2,q) bevat q+1 rechten door W.
V(3,q) bevat q2+q+l rechten, en
q2+ q + ] vlakken door ~.
V(4,2) bevat 15 reehten, 3 ~l~ en 15 drie-ruimten door d. 4 ..
:z. - '2. J 5' .. -r-._J '2.. - 2
2.
..
..
•
7.2. Block
(Stelling. De V(I,q) en de V(s,q) van V(n,q), < s < n, vormen'de'punten en
\ de blokken van een block design met I (Jt~ ~/f,1 r \ A(J ) k A(1 ) b A( ) i CL&WlJt~~ oil ,1. 11, v = In; q 1'= ,s; q, = s,n; q, ! .g~ -t<..:
v\.t,/i ,~
r - A(s-I. n-I; q). A • A(S~2. 0-2; q). -J I c~i4~. ~)'+ : -t.. \
Dit block design is symmetr1Scb ddan al8 f .. n-I. () 1J.iJJl l()<A 1- r ~) ---'.- -- ------- '~----s-~- - -
Bewijs. Elke V(s,q) bevat evenveel V(I,q), namelijk (q -l)/{q-l).
Voorts liggen twee gegeven recbten door ~ in een aantal A deelruimten V(s,q),
dat onafbankelijk is van die recbten. Inderdaad, zotn V(s,q) is bepaald door
s van de n basisvectoren van V(n,q), waarvan er twee langs de gegeven recbten
kunnen worden gekozen. Er zijn dus s-2 basisvectoren vrij te kiezen uit de
overige n-2 basisvectoren van V(n,q). Daarom is A - A(s-2, n-2: q).
Voorbeeld. De 7 rechten en de 7 vlakken door W van V(3,2) vormen PG(2,2).
Voorbeeld. De 15 rechten en de IS drie-ruimten door Wvan V(4,2) vormen
(v,k,A) = (IS, 7, 3) •
Voorbeeld. De 15 rechten en de 35 vlakken door d van V(4,2) vormen
(v,k,b,r,l) - (J5, 3, 35, 7, J).
7.3. Het projectieve vlak PG(2,q)
Stelling. m PG(2,q), q - p , p priem, met
b s v = q2 + q + I, r. k • q + I, A· I,
bestaat.
Bewijs. Pas de stelling uit 7.2 toe op V{3,q), namelijk op de
(q3-1)/(q-l) rechten door ~ en de (q3-1)/)q-l) vlakken door ~. Elk vlak door
~ bevat q+1 rechten door ~ en door elk tweetal recbten door ~ gaat een vlak. ------------ ~ ;.(
Bij proJectieve vlakken/is men gewend om, in plaats van over punt en en blok/
ken, te sp~eken over prunten en lijnen. Blijkbaar geldt in PG(2,n) \\ / P ~ Door! elk paar punt en gaat een lijn.
P2. ''E.d paar lijnen heeft een punt gemeen.
P3.~ ijn 4 verschillende punt en waarvan geen drietal op een
/ lijn igt.
projecti~,fe vlakken 1 en zich ook omgekeerd uit deze 3 axioma's opbouwen.
32.
~ Wanneer ui~en prOj~ef vlak een lijn t en de punten van die lijn worden
~ ~weggelaten, d~n bli5ven er over n2 punten en n(n+l) lijnen, die het z.g. \ /
*~ affiene vlak AG){~n) vormen. Twee lijnen heten evenwijdig, wanneer ze in de
oorspronkelijk/PG(2,n) een snijpunt op ~ hebben. De eigenschappen PI, P2, / \
P3 gaan oveY/in de\oekende axioma's van de vlakke meetkunde. / . / \
Voorbeet~: V~~r AG(2,~ zie voorbeeld 2 van 5.1. 7
7.4. Lineaire codes.
Een lineaire (n,k) code over GF(q) is een lineaire deelruimte van dimensie k
van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over GF(q). De codewoorden, dat
zijn de vectoren van de lineaire deelruimte, hebben de volgende eigenschap:
, et verschil van twee codewoorden is weer een codewoord. Daarom worden de
Hamming-afstanden tussen de paren codewoorden bepaald door de Hamming
afstanden van het codewoord ° tot de andere codewoorden.
is een
AIle
de 9
Het gewiqht van een codewoord is het aantal coordinaten f ° van
co /woord.
lak in V(4,3), opgespannen door
(1,0,1,2)
lineaire (4,2) code; n = 4, k = 2, q = 3, z~e Inleiding 1.4.
f Q hebben gewicht 3, dus de onderlinge Hamming-afstanden
zijn 3.
Een lineaire code kan op verschillende manieren worden beschreven:
Een generator matrix G van een lineaire (n,k) code is een k x n matrix,
waarvan de rijen worden gevormd door k basisvectoren van de code. k d' . De q codewoor en z~Jn
~TG, met ~T = (ul, ••• ,uk), ui € GF(q).
Een parity check matrix H van een lineaire (n,k) code is een (n-k) x n
matrix over GF(q) zo, dat de qk codewoorden zijn de vectoren
T x = (xI' ••• ,xn) met Hx = °
..
•
33.
Voorbeeld:
o 2
2 o
duiden aan de generator en de parity check matrix van het vorige voorbeeld.
1nderdaad, er geldt
T GH = 0 •
Door geschikte basiskeuze kan de generator matrix van een lineaire (n,k)
code worden gekozen als voIgt:
G = [I k
NJ , met k x (n-k) matrix N = [no . J lJ
Dan luidt de parity check matrix van die code:
T omdat GH = O. De codewoorden zijn nu eenvoudig op te schrijven, immers kies
k E
i=l x. n ..•
1 1J
opmerking;~""Xk heten de information symbols, xk+1, ••• ,xn heten de
parit)/check SymbOIS· W ~ : ~ ~ ~; I
7.5. Hamming codes oc;?i 110'
Binaire Hamming codes zijn lineaire codes met de volgende parity check m matrix H van afmeting m x (2 - 1). De kolommen van H zijn I Q, verschillend,
en bevatten slechts de elementen 0 en I van GF(2).
Voorbeeld, voor m = 3,
o o
o
1
o o
o 1
o m De lengte van de binaire Hamming code is n = 2 - I, en de dimensie is
k = 2m - I - m. Het minimum gewicht van de codewoorden lOis 3. Inderdaad,
een codevector is een oplossing ! van
Hx = 0
34.
T enelke x = (x1' ••• ,x) ~ 0 heeft tenminste 3 coordinaten ~ 0, omdat elk n -tweetal kolommen van H een som ~ 0 mod 2 heeft. Daarom zijn de Hamming
codes l-error-correcting. Het corrigeren van een fout geschiedt als voIgt.
Stel X = x + e is het ontvangen woord, afkomstig van een codewoord ~, , d' .. d' ( )T doch met een fout 1n e J-de coor lnaat, e = 0 •• 0 1 0 •• 0 • Dan wordt
door
HX = H~ + H~ = H~ = j-de kolom van H
de plaats van de fout aangeduid, omdat de j-de kolom van H juist de binaire
representatie van het getal j is.
Opmerking.
is de parity check matrix van een lineaire code van lengte 2m en dimensie m * 2 - m - 1, met d ~ 4. Inderdaad, elk drietal kolommen van H heeft som ~ 0
mod 2. Deze lineaire code is dus 2-error-detecting.
Voorbeeld.
is de H van een lineaire (8,4) code met d ~ 4. Deze code, die 24 = 16 code
woorden van lengte 8 bezit, is een Hadamard code volgens 6.4.
Hamming codes over GF(q) zijn lineaire codes met een m x (qm - I)/(q - I)
parity check matrix H. De kolommen van H zijn ~ Q, twee aan twee onafhan
kelijk, en bevatten de elementen van GF(q).
Voorbeeld.
H = [~ ~ ~ ~ 0 0 0 20
1 ~21]-) ~._0 __ 2 __ 0 ______ 2~ _____ ..-/
is de parity check matrix van een lineaire code met 310 codewoorden van
lengte 13, die I-error-correcting is.
..
• •
"
l
1-.I
I Opgave 17. Beschouw aIle polynomen
7 l:
35 •
i a.x met a. = 0, 1 of 2 (i = 0,1, •• ,7) ~ 1 : i=O
en r~ken daarmee mod 3 en mod (x8 - I)
(GF (~)[xJ (mod (fx8 - I}» , +, ».
(d.w.z. beschouw
In deze ring vormen aIle veelvouden van x2 + x + 2 een ideaal S
(ga na!). Beschouw nu de S-dimensionale vectorruimte RS bestaande
uit de vectoren (aO,a1, •• ,a7) met ai = 0,1,2 (i = 0, •• ,7) en op
telling etc. mod 3. Laat VcR gedefinieerd zijn door
7 (a
O,a
1, •• ,a
7) E V : ~ l:
i=O
i a.x E S. 1
Toon aan dat V eenlineaire deelruimte van RS is (dimensie?).
Toon aan dat uit (aO,al
, •• ,a7) E V voIgt dat (a7,aO
,a1
, •• ,a6
) € V
(dit heet een cyclische deelruimte).
Opgave IS. Zij a een primitief element van GF(16). Beschouw de verzameling V
van aIle polynomen C(x) = Co + ctx + •• + c 14x 14 met coefficienten
in GF(2) waarvoor geldt
-Zij V de code bestaande uit
14 V Co + ctx + •• + c 14x E •
Hoeveel information symbols
3-error-correcting code is.
de woorden (cO,c 1' •• ,c 14) waarvoor
Toon aan dat V een lineaire code is.
bevat elk woord? Bewijs dat dit een
36.
Hoofdstuk 8. Toepassirtgen.
8.]. Proefvelden.
Op een vierkant stuk bouwland wil men n soorten graan zaaien, en de oogst
vergelijken. Hiertoe verdeelt men het stuk land in n2 subvierkanten. We ne
men aan dat (misschien) de grond niet overal even vruchtbaar is maar dat de
afhankelijkheid zo is dat E(y .. k
) = gemiddelde oogst per m2 voor het k-de ~J
soort graan gezaaid in i-de rij en j-de kolom = P + ~. + v. + Pk
waarbij 1 J
E ~. = E v. = E Pk
= O. Hierin is p de gemiddelde oogst per m2 • Men wil ~ J
vragen van het type: ttzijn de graansoorten verschillend in kwaliteit",
lIis er werkelijk verschil in vruchtbaarheid voor verschillende rijen resp.
kolommen" enz. beantwoorden. Als men de k-de soort graan zo zaait dat in
iedere rij en iedere kolom een subvierkant met deze soort voorkomt dan is
de gemiddelde oogst over deze proefveldjes p + Pk omdat E ~i = E Vj = O.
D.w.z. de invloed van de plaats is geelimineerd. Om aIle soorten zo te
zaaien moet men van het proefveld een Latijns vierkant maken.
8.2. Intensiteitsmetingen.
Om de invloed van verschillen in lichtintensiteit op het oog te bestuderen
heeft men proeven gedaan met een televisiescherm waarop n verschillende in
tensiteiten voorkwamen. Het scherm werd verdeeld in n2 vierkantjes. Weer ge
bruikte men een Latijns vierkant. De experimentatoren wilden graag dat ieder
geordend paar verschillende intensiteiten (a,b) eenmaal horizontaal en een
maal verticaal voorkwam. Als oefening kan de lezer proberen een dergelijk
Latijns vierkant te construeren.
8.3. Statistische analyse van buizenfabricage.
Dit voorbeeld is afkomstig van een plaatselijke fabriek waar radiobuizen
worden gemaakt. Er zijn vier bewerkingen, te weten a) maken van de wolfram
draad, b) maken van de spiraal, c) aanbrengen van de AI2
03-laag , d) buizen
fabricage. De productie vertoonde een veel te grote spreiding in de gemid
delde gloeistroom. De 4 afdelingen gaven elkaar de schuld en door middel
van een experiment moest worden uitgemaakt welke van de 4 factoren oorzaak
van het verschijnsel was. I.v.m. tijd en kosten wilde men niet te veel bui
zen testen.
•
..
•
37.
Voor dit soort experimenten is een grieks-latijns vierkant het hulpmiddel.
Beschouw een latijns vierkant van de or de 7 met elementen A, B, C, D, E, F,
G en een met elementen a, b,c,d, e, f, g ZQ dat deze twee orthogonaal
zijn. Op 7 verschillende dagen wordt een partij wolframdraad gemaakt en van
elke partij maakt men op 7 verschillende dagen spiralen. Een steekproef van
15 spiralen uit elke partij geeft een groep van 49 keer 15 spiralen. Deze
plaatst men op het grieks-Iatijns vierkant en weI draad van de i-de dag in
i-de rij, spiraal van j-de dag in j-de kolom. De 7 partijen op een A-plaats
worden op een dag van de Al2
03-laag voorzien en teruggeplaatst etc. Daarna
worden de 7 partijen op een a-plaats op een dag in buizen gemonteerd, etc.
Na 28 dagen heeft men 49 keer 15 buizen en aan elke groep worden dan gloei
stroommetingen gedaan. Deze opzet heeft bereikt dat voor elke fase de pro
ductie van een dag voor iedere andere fase over 7 dagen is verspreid. Het
experiment toonde duidelijk aan dat de spreiding (voor verschillende dagen)
bij de buizenmontage te groot was.
8.4. Kleine experimertten.
Het komt vaak voor dat men enkele factoren wil onderzoeken maar dat door
tijdgebrek of hoge kosten het niet mogelijk is iedere mogelijkheid voor de
eerste factor te'koppelen met iedere mogelijkheid voor de tweede.
We nemen als voorbeeld een opject dat uit 7 verschillende soorten metaal
kan worden gemaakt. Er zijn 7 verschillende processen mogelijk voor de fa
bricage. Het is te duur aIle 49 combinaties te onderzoeken. Hoe nu het ex
periment op te zetten? Voorbeeld 1.2 op bIz. 2 geeft een oplossing. De me
talen nummeren we van 1 tIm 7 en aan ieder productieproces kennen we een
biok toe. We bereiken dat het eindproduct door elk proces 3 keer is gemaakt,
met elk metaal 3 keer is. gemaakt en dat er voor ieder tweetal processen
een metaal is dat met be ide processen is verwerkt. Door middel van varian
tie-analyse bepaalt men daarna wat de beste keuze is.
8.5. Foto's van Mars.
Voor het naar de aarde seinen van de foto's gemaakt door de Mariner Mars
1969 is een zg. (32,6) biorthogonale Reed-Muller code gebruikt. Dit komt
neer op een speciale Hadamard code zoals in 6.4 behandeld. De code ontstaat
uit (: ~) door vijf keer de stelling uit 4.5 toe te passen.
38.
8.6. Conferentietelefortie.
De n directeuren van een concern wensen hun conferenties per telefoon te
houden, zodanig dat elke directeur met elke collega kan spreken en dat de
anderen hun discussies kunnen horen. De constructie van een daarvoor ge