DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna Francisco Virtuoso 2009/10 (Versão revista em Novembro de 2012)
DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS
Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna
Francisco Virtuoso
2009/10
(Versão revista em Novembro de 2012)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
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INDÍCE
Nota introdutória. .............................................................................................................................................. ii
1. Conceito de estabilidade de equilíbrio .................................................................................................... 1
2. Estabilidade de estruturas constituídas por barras rígidas .................................................................. 3 2.1. Equilíbrio na posição deformada. Trajectória fundamental e trajectória de pós-encurvadura. Carga
crítica 3 2.2. Critérios energéticos ........................................................................................................................... 9 2.3. Análise dos efeitos das imperfeições geométricas iniciais ................................................................ 13
3. Colunas ..................................................................................................................................................... 16 3.1. Introdução ......................................................................................................................................... 16 3.2. Carga crítica de uma coluna ............................................................................................................. 17 3.3. Comprimento de encurvadura ........................................................................................................... 21 3.4. Comprimento de encurvadura de barras em estruturas trianguladas ............................................... 30 3.5. Esbelteza de uma coluna .................................................................................................................. 32 3.6. Curva de dimensionamento de uma coluna ideal ............................................................................. 33 3.7. Esbelteza normalizada ...................................................................................................................... 34 3.8. Efeito das imperfeições geométricas ................................................................................................ 35 3.9. Efeito das tensões residuais ............................................................................................................. 41 3.10. Verificação da segurança de colunas segundo o Eurocódigo 3 ....................................................... 43
4. Vigas-colunas ........................................................................................................................................... 49 4.1. Introdução ......................................................................................................................................... 49 4.2. Análise de vigas-colunas em regime elástico ................................................................................... 50 4.3. Dimensionamento elástico de vigas-colunas .................................................................................... 53 4.4. Verificação da segurança de vigas-colunas segundo o Eurocódigo 3 .............................................. 58
5. Referências ............................................................................................................................................... 62
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Nota introdutória.
Este texto foi elaborado como texto de apoio ao ensino da análise plástica de estruturas
na disciplina de Estruturas Metálicas do MEC (Curso de Mestrado Integrado em
Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico). A primeira versão do texto foi elaborada
durante os anos lectivos de 2007/08 e 2008/09, tendo o texto original sido revisto e
sofrido pequenas alterações nos anos lectivos subsequentes.
Algumas partes deste documento basearam-se em textos escritos em colaboração com o
Prof. António Reis e que serviram de apoio a outras disciplinas da Licenciatura e do
Mestrado em Engenharia Civil.
Embora este texto seja resultado de um esforço individual não posso deixar de agradecer
aos meus amigos e colegas Eduardo Pereira e Luis Guerreiro pelas sugestões que
fizeram e pela colaboração na revisão do texto.
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1. CONCEITO DE ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIO
O conceito de estabilidade de uma estrutura está relacionado com a capacidade de uma
estrutura após atingir uma posição de equilíbrio permanecer ou afastar-se dessa posição
de equilíbrio.
Para ilustrar este conceito considere-se uma esfera que se move sem atrito sobre
superfícies côncavas, convexas e planas conforme se representa na figura 1.1a.
Figura 1.1 – Ilustração de situações de equilíbrio estável, instável e neutro e da correspondente variação da
energia potencial
Em qualquer um dos casos a esfera encontra-se em equilíbrio. No entanto as situações
de equilíbrio não são todas idênticas uma vez que se a esfera for ligeiramente afastada
relativamente à sua posição inicial de equilíbrio vai deslocar-se de forma diferente em
função da curvatura da superfície.
No caso da superfície côncava a esfera após ser afastada da sua posição de equilíbrio
volta para a posição de equilíbrio inicial - diz-se nesta situação que o equilíbrio é estável.
Pelo contrário, no caso da superfície convexa a esfera após ser afastada da sua posição
de equilíbrio vai afastar-se cada vez mais da posição de equilíbrio inicial - diz-se nesta
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situação que o equilíbrio é instável. Finalmente, no caso da superfície plana a esfera
após ser afastada da equilíbrio inicial não vai ter tendência para se afastar nem para se
aproximar da posição de equilíbrio inicial - diz-se neste caso que o equilíbrio é neutro ou
indiferente.
A avaliação do equilíbrio e da sua estabilidade pode ser efectuada através da análise das
variações da energia potencial. No caso da esfera a deslocar-se sobre uma superfície a
energia potencial total coincide com a energia potencial gravítica, tendo-se
V = m g h (1.1)
em que V representa a energia potencial total, m a massa da esfera, g a aceleração da
gravidade e h a posição da esfera relativamente a uma coordenada de referência.
Para as três situações referidas representa-se também a energia potencial em função de
uma coordenada x, que representa o deslocamento horizontal da esfera em relação à
posição de equilíbrio inicial.
O equilíbrio da estrutura corresponde a um ponto de estacionaridade da energia potencial.
Com efeito verifica-se para as três situações que a derivada da energia potencial em
relação ao deslocamento é nula na posição de equilíbrio (x=0), ou seja ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞dV
dx x=0=0, o que
confirma que as posições iniciais da esfera constituem funções de equilíbrio. A análise da
segunda derivada da energia potencial permite avaliar a estabilidade do equilíbrio. No
caso da superfície côncava a segunda derivada da energia potencial é positiva, ou seja a
posição de equilíbrio corresponde a um mínimo daquela energia, estando-se por isso
perante uma situação de equilíbrio estável. Pelo contrário, na situação em que a
superfície é convexa a segunda derivada da energia potencial é negativa, indicando
assim que a posição inicial corresponde a um máximo da energia potencial, ou seja, a
uma posição de equilíbrio instável. Finalmente, no caso da superfície plana a segunda
derivada da energia potencial é nula, não sendo possível classificar o equilíbrio como
estável ou instável, sendo por isso neutro.
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2. ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS CONSTITUÍDAS POR BARRAS RÍGIDAS
2.1. Equilíbrio na posição deformada. Trajectória fundamental e trajectória de pós-encurvadura. Carga crítica
Na análise linear de estruturas admite-se que o equilíbrio se verifica na posição
indeformada da própria estrutura. Quando se analisam problemas de encurvadura, ou de
uma forma mais geral, problemas de estabilidade de estruturas, aquela hipótese deixa de
ser admissível sendo necessário efectuar o equilíbrio na posição deformada da estrutura.
Embora o objectivo final seja estudar os problemas de encurvadura em peças lineares
deformáveis ao longo do seu eixo apresenta-se em seguida, através de alguns exemplos,
a análise dos fenómenos de encurvadura em estruturas constituídas por barras rígidas e
molas associadas às rotações e aos deslocamentos das estruturas. Estes exemplos para
além de servirem para introduzir alguns conceitos fundamentais, como por exemplo o
estabelecimento do equilíbrio na posição deformada, a análise de trajectórias de
equilíbrio e o conceito de carga crítica, permitem a análise do problema recorrendo a
conceitos de matemática muito mais simples do que no caso das barras deformáveis.
Considere-se a coluna, indicada na figura 2.1, constituída por duas barras rígidas de
comprimento L, ligadas por uma rótula e por uma mola com rotação de rigidez k e sujeita
a uma força P aplicada segundo o eixo das barras.
Figura 2.1 – Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola
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A análise linear da estrutura, em que o equilíbrio é efectuado na posição indeformada,
conduz a que os deslocamentos transversais, assim como o momento na mola, sejam
nulos, estando as barras da estrutura sujeitas apenas a um esforço axial de compressão
com o mesmo valor da carga aplicada.
Analise-se agora o equilíbrio da estrutura numa posição deformada genérica,
representada na figura 2.1c, caracterizada pela rotação θ ou pelo deslocamento
transversal u do nó de ligação das barras. Na figura 2.1d representa-se um diagrama de
corpo livre de uma das barras na posição deformada, sendo possível analisar o problema
a partir das seguintes equações:
Equilíbrio (na posição deformada) P u = M (2.1)
Compatibilidade u = L senθ (2.2)
Relação constitutiva M = 2 k θ (2.3)
Neste caso a relação de compatibilidade estabelece a relação entre o deslocamento
transversal a 1/2 vão e a rotação das barras. Tratando-se de um modelo de barras rígidas
a relação constitutiva refere-se apenas aos elementos deformáveis que, neste caso, é
apenas a mola de rotação na ligação entre as barras.
Introduzindo na equação (2.1) os valores de u e M definidos nas equações (2.2) e (2.3)
obtém-se:
2 k θ – P L senθ = 0 (2.4)
Esta equação tem duas soluções
1ª solução θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.5a)
2ª solução θ ≠ 0 ⇒ P = 2 kL
θsenθ (2.5b)
No gráfico apresentado na figura 2.2, em que o eixo das abcissas corresponde à rotação
θ e o eixo das ordenadas à carga aplicada, representam-se as duas soluções obtidas nas
equações 2.5a e 2.5b.
A trajectória para a qual a rotação é nula (θ = 0) e a carga (P) indeterminada, coincidente
portanto com o eixo das ordenadas, designa-se por trajectória fundamental (TF). A
trajectória que corresponde a uma solução equilibrada, mas com rotações θ não nulas,
designa-se por trajectória de pós-encurvadura (TPE).
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Figura 2.2 – Relação carga (P) rotação (θ). Trajectória fundamental (TF) e trajectória de pós-encurvadura
(TPE)
Os problemas em que, como no exemplo analisado, existem duas trajectórias de
equilíbrio designam-se por problemas de instabilidade bifurcacional uma vez que para
cargas crescentes o ponto de cruzamento das duas trajectórias corresponde a uma
bifurcação da trajectória de equilíbrio. O valor de carga para o qual se dá a intersecção
das duas trajectórias designa-se por carga crítica de instabilidade elástica e que, por
simplicidade de apresentação, será neste texto designada apenas por carga crítica.
Para a estrutura em análise tem-se
Pcr = 2 kL (2.6)
valor este que se obtém da equação 2.5b determinando o limite de P quando θ tende
para zero.
No caso de se pretender obter apenas a carga crítica, a equação (2.4) pode ser
linearizada na vizinhança do ponto de bifurcação, ou seja de θ = 0, admitindo que θ é
pequeno, o que permite admitir senθ ≈ θ, obtendo-se
2 k θ – P L θ = 0 ⇒ (2 k – P L) θ = 0 (2.7)
Esta equação tem novamente duas soluções
1ª solução θ = 0 ⇒ P indeterminado (TF) (2.8a)
2ª solução θ ≠ 0 ⇒ P = 2 kL = Pcr (2.8b)
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Saliente-se que esta última solução, obtida da linearização da equação 2.4, corresponde
à tangente à trajectória fundamental no ponto de bifurcação, o que permite determinar a
carga crítica, mas não permitindo definir a trajectória de pós-encurvadura.
Refira-se finalmente que a hipótese de os deslocamentos e rotações serem pequenos
pode ser admitida logo desde o início da análise, obtendo-se para este problema que a
equação 2.2, que representa a equação de compatibilidade, pode ser escrita na forma
u = L θ, o que em conjunto com as equações 2.1 e 2.3 permite obter directamente a
equação 2.7.
Considere-se agora uma outra estrutura, representada na figura 2.3, constituída por uma
barra rígida de comprimento L com um apoio fixo numa extremidade e com um apoio
elástico de rigidez k na outra extremidade.
Figura 2.3 - Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico
À semelhança do exemplo anterior a análise linear da estrutura, efectuando o equilíbrio
na posição indeformada, conduz a deslocamentos transversais e forças nas molas nulos,
ficando a barra sujeita apenas a esforços axiais.
Se o equilíbrio for efectuado na posição deformada, conforme se representa no diagrama
de corpo livre da figura 2.3c, definida em função da rotação θ ou pelo deslocamento
transversal u na extremidade superior da barra, obtêm-se as seguintes equações:
Equilíbrio (na posição deformada) P u = F d (2.9)
Compatibilidade d = L cosθ (2.10)
u = L senθ (2.11)
Relação constitutiva F = k u (2.12)
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Substituindo os valores de d, u e F na equação 2.9 obtém-se
P L senθ = k L2 senθ cosθ ⇒ (k L cosθ - P) L senθ = 0 (2.13)
Esta equação tem duas soluções
Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.14a)
Trajectória de pós-encurvadura(TPE) θ ≠ 0 ⇒ P = k L cosθ (2.14b)
Na figura 2.3d representam-se as duas trajectórias correspondentes às equações 2.14a e
2.14b. A carga crítica corresponde ao valor da carga na intersecção dessas duas
trajectórias, obtendo-se da equação 2.14b para θ = 0
Pcr = k L (2.15)
À semelhança do exemplo anterior a equação 2.13 pode ser linearizada na vizinhança de
θ = 0, podendo admitir-se cosθ ≈ 1 e senθ ≈ 0, obtendo-se
(k L – P) Lθ = 0 (2.16)
Esta equação tem também duas soluções:
Trajectória fundamental θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.17a)
Aproximação da trajectória de pós-encurvadura θ ≠ 0 ⇒ P = kL = Pcr (2.17b)
Como se pode verificar da figura 2.3.e a linearização da equação 2.13 permite obter a
tangente à trajectória de pós-encurvadura na vizinhança de θ = 0, permitindo assim
determinar o valor da carga crítica, mas não a trajectória de pós-encurvadura.
Da mesma forma que no exemplo anterior a hipótese de os deslocamentos e rotações
serem pequenos pode ser admitida logo de início, permitindo reescrever as equações
2.10 e 2.11 (equações de compatibilidade) na forma d = L e u = L θ, respectivamente.
Estas duas equações juntamente com as equações 2.9 e 2.12 permitem obter
directamente a equação 2.16.
Nos dois exemplos apresentados ilustrou-se como é possível obter a trajectória
fundamental, a trajectória de pós-encurvadura e a carga crítica. Mostrou-se ainda que
através da linearização da solução na vizinhança do ponto de bifurcação se pode
determinar a carga crítica e a tangente à trajectória de pós-encurvadura.
Analise-se agora a estabilidade das trajectórias, começando pelas trajectórias
fundamentais. Para cargas inferiores às cargas críticas as trajectórias fundamentais são
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estáveis pois se for introduzida uma pequena perturbação na configuração da estrutura
esta volta à sua configuração original.
Para cargas superiores à carga crítica a trajectória fundamental é instável em ambos os
exemplos; no segundo exemplo não existe mesmo qualquer configuração alternativa à
trajectória fundamental; no primeiro exemplo existem trajectórias de pós-encurvadura
com solução para o mesmo nível de carga, pelo que introduzindo uma pequena
perturbação na configuração da estrutura esta vai mudar da trajectória fundamental para
a trajectória de pós-encurvadura. Neste caso, para o primeiro exemplo, verifica-se que a
trajectória fundamental não é estável para valores de carga superiores à carga crítica.
Analise-se agora de forma qualitativa a estabilidade das trajectórias de pós-encurvadura.
No primeiro exemplo a trajectória de pós-encurvadura é estável uma vez que a
incrementos da rotação θ correspondem aumentos de carga. No segundo exemplo a
trajectória de pós-encurvadura é instável uma vez que a incrementos da rotação θ
correspondem variações negativas de cargas.
Refira-se finalmente que a metodologia apresentada para a determinação das cargas
críticas e as trajectórias de equilíbrio se baseia em efectuar o equilíbrio da estrutura numa
posição deformada adjacente à posição indeformada inicial.
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2.2. Critérios energéticos
Conforme se referiu na introdução deste texto o equilíbrio e a análise de estabilidade de
uma estrutura podem ser determinados através da análise de energia potencial.
Considere-se novamente a estrutura do 1º exemplo analisado anteriormente e que se
reproduz na figura 2.4a.
Figura 2.4 - Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola
Neste caso a energia potencial total V é a soma da energia potencial Ve da força exterior
aplicada com a energia de deformação U da mola que liga as duas barras, ou seja
V = U + Ve (2.18)
A energia de deformação de uma mola de rotação é dada por
U = 12 M α =
12 k α2 (2.19)
em que M, α e K representam o momento, a rotação e a rigidez da mola, respectivamente.
Tomando como referencial a posição indeformada da estrutura a energia potencial das
forças exteriores, Ve, tem o valor simétrico do trabalho, W, realizado por essas forças ao
longo da deformação da estrutura, tendo-se
Ve = – W (2.20)
Para o problema em análise tem-se
U = 12 k (2θ)2 = 2kθ2 (2.21)
Ve = -W = - PΔ = - 2 PL (1 - cosθ) (2.22)
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V = U + Ve = 2kθ2 - 2 PL (1 - cosθ) (2.23)
salientando-se que P é a única força exterior, a qual sofre um deslocamento Δ colinear
com a sua direcção.
As configurações de equilíbrio correspondem a situações de estacionaridade de energia
potencial ou seja
Equilíbrio ⇒ ∂V∂θ
= 0 ⇒ 4 k θ - 2 P L senθ = 0 (2.24)
Note-se que esta equação obtida através de um critério energético é idêntica à equação
2.4, a qual foi obtida através do equilíbrio da estrutura na posição deformada.
A trajectória fundamental e a trajectória de pós-encurvadura correspondem às duas
soluções desta equação, tendo-se:
Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.25)
Trajectória de pós-encurvadura (TPE) P = 2 kL
θsenθ (2.26)
Como seria de esperar estas trajectórias coincidem com as trajectórias determinadas
directamente a partir do equilíbrio da estrutura na posição deformada, permitindo obter o
valor da carga crítica
Pcr = 2 kL (2.27)
Conhecidas as trajectórias de equilíbrio da estrutura pode avaliar-se se são estáveis ou
instáveis. Conforme já se referiu, uma trajectória é estável ou instável consoante a
segunda derivada de energia potencial seja positiva ou negativa. Para a estrutura em
análise tem-se:
∂2V∂θ2 = 4 k - 2 P L cosθ (2.28)
A trajectória fundamental (TF) é definida por θ = 0, pelo que ao longo desta trajectória se
tem
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂2V
∂θ2TF
= 4k - 2PL > 0 se P < Pcr ⇒ TF estável (2.29a)
< 0 se P > Pcr ⇒ TF instável (2.29b)
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permitindo assim concluir que a trajectória fundamental é estável enquanto P < Pcr é
instável se P > Pcr.
Analisando agora a estabilidade do equilíbrio ao longo da trajectória de pós-encurvadura
(TPE), definida por P = 2 kL
θsenθ , tem-se
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂2V
∂θ2TPE
= 4 k ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞1 -
θtgθ > 0 ∀θ ⇒ TPE é estável (2.30)
Conclui-se assim que para este problema a trajectória de pós-encurvadura é sempre
estável.
Considere-se agora o 2º exemplo analisado anteriormente e representado na figura 2.5a)
Figura 2.5 - Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico
Analise-se o equilíbrio e a sua estabilidade de forma semelhante ao efectuado para o 1º
exemplo. Tem-se neste caso
Energia de deformação U = 12 k u2 (2.31)
Energia potencial das forças exteriores Ve = – PΔ (2.32)
Relação de compatibilidade u = L senθ (2.33)
Δ = L (1 - cosθ) (2.34)
Energia potencial total V = U + Ve = 12 k L2 sen2θ - PL (1 - cosθ) (2.35)
As configurações de equilíbrio correspondem a
∂V∂θ
= 0 ⇒ k L2 senθ cosθ - P L senθ = 0 (2.36)
Da solução desta equação obtém-se
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Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.37a)
Trajectória de pós-encurvadura (TPE) P = k L cosθ (2.37b)
Carga crítica Pcr = k L (2.38)
Para a análise da estabilidade de equilíbrio tem-se
∂2V∂θ2 = k L2 cos2θ - k L2 sen2θ - P L cosθ = k L2 (2 cos2θ - 1) - P L cosθ (2.39)
A trajectória fundamental (TF) é definida por θ = 0, pelo que ao longo desta trajectória se
tem
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂2V
∂θ2TF
= kL2 - PL > 0 se P < Pcr ⇒ TF estável (2.40a)
< 0 se P > Pcr ⇒ TF instável (2.40b)
permitindo assim concluir que a trajectória fundamental é estável enquanto P<Pcr e
instável se P>Pcr.
Analisando agora a estabilidade do equilíbrio ao longo da trajectória de pós-encurvadura
(TPE), definida por P = k L cosθ, tem-se
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂2V
∂θ2TPE
= k L2 (cos2θ - 1) < 0 ∀θ ⇒ TPE instável (2.41)
Face aos resultados obtidos conclui-se que a trajectória fundamental é estável enquanto
P < Pcr e instável quando P > Pcr, e que a trajectória de pós-encurvadura é sempre
instável.
Dos dois exemplos apresentados da aplicação dos métodos energéticos, e por
comparação com a primeira abordagem em que se efectuou o equilíbrio na configuração
deformada, pode verificar-se que a utilização dos métodos energéticos permite
determinar as configurações de equilíbrio de uma forma mais sistematizável, embora de
maior dificuldade de interpretação do seu significado físico. Para além disso a aplicação
dos métodos energéticos apresenta como enorme vantagem o facto de permitir avaliar de
uma forma explicita a estabilidade das configurações de equilíbrio através da análise do
sinal da 2ª derivada da energia potencial ao longo das trajectórias de equilíbrio.
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2.3. Análise dos efeitos das imperfeições geométricas iniciais
Na análise dos problemas de encurvadura as imperfeições geométricas podem ter uma
influência significativa, sendo importante saber avaliar a sua influência no comportamento
das estruturas. Apresenta-se de seguida a análise dos efeitos das imperfeições
geométricas iniciais para os dois exemplos com um grau de liberdade apresentados no
§2.2. Realça-se que a análise destes problemas é de tratamento matemático
relativamente simples permitindo extrapolar conclusões, ainda que apenas de forma
qualitativa, para outros tipos de estruturas, nomeadamente para as barras deformáveis.
Na figura 2.6a) representa-se a estrutura do primeiro exemplo anteriormente analisado,
mas considerando-se agora a existência de uma imperfeição geométrica inicial com uma
amplitude definida pelo ângulo θ0.
Figura 2.6 – Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola. Análise
do efeito das imperfeições geométricas iniciais
A determinação das trajectórias de equilíbrio pode ser efectuada através da análise da
energia potencial total, e em particular, dos seus pontos de estacionaridade, tendo-se:
Energia de deformação: U = 12 k (2θ - 2θ0)2 = 2k (θ - θ0)2 (2.42)
Energia potencial das forças exteriores: Ve = – P x Δ (2.43)
Tendo em consideração que a relação de compatibilidade permite escrever que
Δ = 2 L (cosθo - cosθ) obtém-se
Energia potencial total: V = U + Ve = 2k (θ – θ0)2 – 2 P L (cosθ0 - cosθ) (2.44)
Equilíbrio: ∂V∂θ
= 0 ⇒ 4k (θ – θ0) - 2 P L senθ = 0 ⇒ P = 2kL ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞θ
senθ - θ0
senθ (2.45)
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Na figura 2.6c representa-se graficamente esta equação para diferentes valores de θ0,
verificando-se que o valor de θ na intersecção com os eixos das abcissas é o valor da
imperfeição inicial e que as trajectórias são assimptóticas relativamente à trajectória de
pós-encurvadura da estrutura perfeita (sem imperfeições). O facto de as imperfeições
geométricas iniciais serem positivas ou negativas não tem qualquer consequência na
resposta da estrutura a não ser definir desde logo que as deformações da estrutura terão
o mesmo sinal da imperfeição.
Considere-se agora o 2º exemplo já analisado, mas introduzindo uma imperfeição inicial
definida pelo ângulo θ0 conforme se representa na figura 2.7.
Figura 2.7- Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico. Análise do efeito
das imperfeições geométricas iniciais
À semelhança do caso anterior podem determinar-se as trajectórias de equilíbrio em
função da imperfeição inicial θ0, tendo-se:
Energia de deformação: U = 12 k (u - u0)2 (2.46)
Energia potencial das forças exteriores: Ve = – P x Δ (2.47)
Relação compatibilidade: u0 = L senθ0 (2.48)
u = L senθ (2.49)
Δ = L (cosθ0 - cosθ) (2.50)
Energia Potencial total: V = U + Ve = 12 kL2 (senθ – senθ0)2 - PL (cosθ0 - cosθ) (2.51)
Equilíbrio:
∂V∂θ
= 0 ⇒ k L2 (senθ – senθ0) cosθ - P L senθ = 0 ⇒ P = k L ( )senθ - senθ01
tgθ (2.52)
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Na figura 2.7c) representam-se as trajectórias correspondentes a esta solução para
diferentes valores de imperfeição geométrica inicial θ0. Da análise das curvas verifica-se
que para P = 0 se tem θ = θ0, que as curvas são inicialmente crescentes com P, atingindo
um valor máximo tanto menor quanto maior o valor absoluto da imperfeição geométrica, e
que quando θ aumenta tendem assimptoticamente para a trajectória de pós-encurvadura.
Da análise comparativa das figuras 2.6c) e 2.7c) verifica-se que a trajectória da estrutura
com imperfeições iniciais tende em ambos os casos assimptoticamente para a trajectória
de pós-encurvadura da estrutura perfeita. No entanto, o facto de esta trajectória ser
estável para a primeira estrutura e instável para a segunda estrutura, traduz-se num
comportamento significativamente diferente quando se consideram as imperfeições
geométricas. No primeiro caso, em que a trajectória de pós-encurvadura da estrutura
perfeita é estável, a consideração das imperfeições geométricas não impede que a
relação carga rotação seja sempre crescente, verificando-se ser possível atingir cargas
superiores à carga crítica. No segundo caso, em que a trajectória de pós-encurvadura da
estrutura perfeita é instável, a consideração do efeito das imperfeições geométricas
conduz a que os valores máximos da carga sejam sempre inferiores ao valor da carga
crítica, sendo o valor da carga máxima tanto menor quanto maior for a amplitude da
imperfeição. Esta conclusão pode ser generalizada para qualquer tipo de estruturas
dizendo-se que quando as trajectórias de pós-encurvadura são estáveis as estruturas são
pouco sensíveis ao efeito das imperfeições iniciais; pelo contrário, quando as trajectórias
de pós-encurvadura são instáveis, as estruturas são muito sensíveis ao efeito das
imperfeições iniciais.
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16
3. COLUNAS
3.1. Introdução
Neste capítulo aborda-se a encurvadura de colunas, desde os problemas de encurvadura
elástica de colunas perfeitas até às curvas de dimensionamento de colunas, e a sua
consideração na regulamentação actual de verificação da segurança de estruturas
metálicas.
No contexto da análise e verificação da segurança de elementos de estruturas metálicas
entende-se por colunas as peças lineares sujeitas apenas a esforços de compressão,
distinguindo-se das vigas – elementos sujeitos apenas a momentos flectores e a esforços
transversos, sendo nulo o esforço axial – e de vigas-colunas – elementos sujeitos
simultaneamente a esforços axiais, momentos flectores e, em geral, esforços transversos.
De uma forma geral adopta-se neste texto a convenção usual de considerar positivos os
esforços axiais de tracção assim como as tensões de tracção. No entanto, e de forma a
facilitar a apresentação, estando-se a abordar problemas de encurvadura, associados a
esforços e tensões de compressão, optou-se em algumas situações por se fazer
referência ao valor absoluto dos esforço ou tensões, deixando-se ao cuidado do leitor a
interpretação do respectivo sinal.
Na análise mais corrente de estruturas as equações de equilíbrio são estabelecidas na
configuração inicial da estrutura, ou seja, na sua configuração indeformada,
designando-se por análises geometricamente lineares. A análise da estabilidade de
estruturas obriga à consideração do equilíbrio na sua posição deformada, designando-se
este tipo de análises por geometricamente não lineares.
Na figura 3.1 ilustra-se a diferença entre uma análise geometricamente linear e uma
análise geometricamente não linear para o caso de uma coluna simplesmente apoiada,
sujeita a uma carga concentrada aplicada na extremidade móvel e com a direcção do
eixo da peça.
No caso da análise geometricamente linear, e uma vez que o equilíbrio é estabelecido na
configuração indeformada, a coluna fica sujeita apenas a esforços axiais sendo nulos os
momentos flectores ao longo do seu eixo.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
17
Figura 3.1 – Coluna simplesmente apoiada sujeita a uma carga axial. Ilustração da diferença entre análises
geometricamente lineares e não lineares
No caso da análise geometricamente não linear o equilíbrio da estrutura é estabelecido
na sua configuração deformada. Assim, e considerando uma situação genérica, admite-
se que a estrutura vai ter deslocamentos perpendiculares ao seu eixo que não são nulos,
conduzindo a que para se garantir o equilíbrio, e como se ilustra na figura 3.1, os
momentos flectores também não sejam nulos.
3.2. Carga crítica de uma coluna
Considere-se a coluna, simplesmente apoiada e sujeita a um esforço axial de
compressão P, representada na figura 3.2.
Admitam-se as seguintes hipóteses:
• o material é elástico linear;
• as secções transversais têm dois eixos de simetria, sendo portanto eixos
principais de inércia, e que a análise se efectua num plano definido pelo eixo da
peça e por um dos eixos principais de inércia da secção;
• desprezam-se as deformações por esforço transverso.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
18
De acordo com uma análise geometricamente linear, também designada por análise de
1ª ordem, a coluna apenas está sujeita a esforços e deformações axiais pelo que os
deslocamentos perpendiculares ao eixo são nulos.
Figura 3.2 - Coluna simplesmente apoiada. Equilíbrio na posição deformada.
Considere-se agora a possibilidade de aqueles deslocamentos serem não nulos, ou seja
w(x) ≠ 0 (figura 3.2b). Do equilíbrio do troço do elemento representado na figura 3.2c
obtém-se
M(x) = P w(x) (3.1)
O raio de curvatura da peça deformada relaciona-se com o deslocamento transversal w(x)
por
1R = -
d2wdx2
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1 -
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞dw
dx2 3/2 ≈ -
d2wdx2 (3.2)
Como se admite que o material tem um comportamento elástico linear o momento flector
M numa secção relaciona-se com o raio de curvatura R por
M = EΙR (3.3)
em que E e Ι representam o módulo de elasticidade do material e o momento de inércia
da secção transversal, respectivamente.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
19
Tendo em consideração as equações 3.2 e 3.3 a relação entre o momento flector e o
deslocamento transversal pode ser dada por
M = -EΙ d2wdx2 (3.4)
pelo que a equação 3.1 pode ser escrita na forma
- EΙ d2wdx2 = P w ⇒
d2wdx2 + k2 w = 0 com k =
PEΙ
(3.5)
A equação 3.5 é uma equação diferencial homogénea que tem como solução
w = A sen(kx) + B cos(kx) (3.6)
sendo as constantes A e B definidas em função das condições de fronteira.
Para o caso da coluna simplesmente apoiada em análise as condições de fronteira são
as correspondentes a impôr que os deslocamentos são nulos nas extremidades do
elemento, ou seja w(0)=0 e w(L)=0. Destas condições obtém-se
w(0) = 0 ⇒ B= 0 ⇒ w(x) = A sen(kx) (3.7)
w(L) = 0 ⇒ A sen(kL) = 0 (3.8)
A primeira condição define a forma dos deslocamentos transversais. A segunda equação
tem duas soluções:
A sen(kL) = 0 ⇒ 1ª solução A = 0 (3.9a)
⇒ 2ª solução A ≠ 0 ⇒ sen(kL) = 0 (3.9b)
No caso da 1ª solução tem-se A=0, pelo que os deslocamentos transversais de coluna
são nulos, ou seja w(x)=0. Para a 2ª solução tem-se A≠0, sendo assim necessário que
sen(kL)=0. Tendo em consideração a periodicidade da função seno tem-se
sen(kL) = 0 ⇒ k L = n π (com n inteiro) (3.10)
A partir da definição de k (k= P/EΙ) obtém-se para cada valor de n um valor da carga, o
qual é designado por carga crítica do modo n, e é dado por
Pcr(n
) = n2π2EΙ
L2 (3.11)
A menor das cargas críticas de uma coluna simplesmente apoiada designa-se por carga
de Euler (PE), sendo dada por
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
20
PE = Pcr(1
) = π2EΙL2 (3.12)
A cada valor de n está também associado um modo de deformação, obtido a partir da
equação 3.7 e designado por modo de encurvadura, o qual é definido por
w(n) = A sennπxL (3.13)
Na figura 3.3 indicam-se as cargas críticas e representam-se os modos de encurvadura
em função de n e a relação entre a carga P e o deslocamento transversal w.
Figura 3.3- Cargas críticas e modos de encurvadura de uma coluna simplesmente apoiada
Para A=0 a relação entre a carga e o deslocamento transversal é coincidente com o eixo
das cargas (ordenadas) e designa-se por trajectória fundamental (TF). Quando a coluna
encurva (A≠0), a relação entre a carga e os deslocamentos transversais, representada a
tracejado na figura 3.3, designa-se por trajectória de pós-encurvadura (TPE) e pode ser
obtida se não se introduzir a aproximação indicada na equação 3.2.
A análise da coluna anteriormente apresentada, e em consequência da simplificação
introduzida na equação 3.2, apenas permite determinar as cargas críticas, não definindo
a trajectória de pós-encurvadura. No entanto para as colunas, e ao contrário do que
acontece com outros elementos estruturais, como por exemplo as placas, ao longo da
trajectória de pós encurvadura os aumentos de carga são muito pequenos, pelo que se
pode adoptar como aproximação que para a carga crítica os deslocamentos aumentam
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
21
indefinidamente. Esta hipótese é ilustrada na figura 3.3, representando-se a trajectória de
pós-encurvadura a tracejado e a aproximação referida a cheio.
3.3. Comprimento de encurvadura
Analisou-se anteriormente o caso de uma coluna simplesmente apoiada. No caso mais
geral de uma coluna com quaisquer condições de apoio nas suas extremidades a
determinação das cargas críticas e dos modos de encurvadura pode ser efectuada a
partir da análise do modelo representado na figura 3.4. Este modelo representa uma
barra genérica de comprimento L com quaisquer condições de fronteira estáticas ou
cinemáticas.
Figura 3.4- Caso geral de uma coluna. Equilíbrio na posição deformada.
Do equilíbrio do troço da coluna representado na figura 3.4b) pode concluir-se que
M(x) - P w(x) = MA + Vx (3.14)
Tendo em consideração a relação entre o momento e os deslocamentos transversais
(equação 3.4), a equação de equilíbrio pode escrever-se na forma
EΙ d2wdx2 + P w = - MA - Vx (3.15)
Derivando esta equação duas vezes em ordem a x obtém-se a seguinte equação
diferencial homogénea com coeficientes constantes
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22
d4wdx4 + k2
d2wdx2 = 0 com k=
PEΙ
(3.16)
Esta equação diferencial tem como solução
w(x) = C1 sen(kx)+ C2 cos(kx) + C3 x + C4 (3.17)
A introdução das condições de fronteira nas extremidades de colunas permite, à
semelhança do caso de coluna simplesmente apoiada, determinar a carga crítica e definir
o modo de encurvadura.
Exemplo 3.1: Considere-se a coluna encastrada-apoiada representada na figura 3.5. Determinar a menor carga
crítica e o respectivo modo de encurvadura.
Figura 3.5 - Coluna encastrada apoiada
Solução:
w(x) = C1 sen(kx)+ C2 cos(kx) + C3 x + C4
dwdx = w'(x) = C1 k cos(kx) - C2 k sen(kx) + C3
d2wdx2 = w''(x) = - C1 k2 sen(kx) - C2 k2 cos(kx)
Condições de fronteira:
w(0) = 0 ⇒ C2 + C4 =0
w'(0) = 0 ⇒ C1 k + C3 =0
w(L) = 0 ⇒ C1 sen(k L) + C2 cos(k L) + C3 L + C4 = 0
M(L) = 0 ⇒ w''(L) = 0 ⇒ -C1 k2 sen(k L) - C2 k2 cos(k L) = 0
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23
A introdução das quatro condições de fronteira conduz a um sistema de equações cuja solução é dada por
C1 [ ](tg(k L) - k L) = 0 C2 = - C1tg(k L)
C3 = -C1 k C4 = C1 tg(k L)
Da análise da solução do sistema de equações pode concluir-se que para satisfazer a primeira equação é
necessário que
C1 [ ](tg(k L) - k L) = 0 ⇒ 1ª solução C1 = 0 Trajectória fundamental
⇒ 2ª solução C1 ≠ 0 ⇒ tg(k L) – k L = 0 ⇒ k L = 4.493... ≈ π0,70 + nπ
Refira-se que a equação [ ](tg(k L) - k L) é uma equação transcendente cuja solução só pode ser obtida numérica
ou graficamente. Esta equação tem várias soluções sendo o valor de k L = π/0,70 a menor das soluções,
correspondendo à menor das cargas críticas.
Tendo em consideração o menor valor obtido para kL e a definição de k obtém-se para o caso da coluna
encastrada-apoiada
Carga crítica Pcr = π2EΙ
(0,70L)2
Modo de encurvadura w(x) = C1 ⎣⎡
⎦⎤sen πx
0,70L - tg π0,70 cos πx
0,70L - πx0,70L + tg π
0,70
O valor obtido para a carga crítica no caso da coluna encastrada-apoiada analisada no
exemplo 3.1 permite introduzir o conceito de comprimento de encurvadura. Com efeito, a
carga crítica da coluna encastrada-apoiada pode ser escrita na forma
Pcr = π2EΙLe
2 com Le = 0,70L (coluna encastrada-apoiada) (3.18)
designando-se o comprimento Le por comprimento de encurvadura. Comparando a
equação 3.18 com a equação 3.12, que define a carga de Euler, pode dizer-se que o
comprimento de encurvadura de uma coluna é o comprimento da coluna simplesmente
apoiada que tem a mesma carga crítica. Na figura 3.6 ilustra-se o conceito de
comprimento de encurvadura para o caso da coluna encastrada apoiada.
Definido o conceito de comprimento de encurvadura pode escrever-se, com toda a
generalidade, que a carga crítica de uma coluna é dada por
Pcr = π2EΙLe
2 (3.19)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
24
Na figura 3.7 representam-se os comprimentos de encurvadura de colunas com diversas
condições de apoio, os quais podem ser determinados adoptando o mesmo
procedimentos que foi apresentado no exemplo 3.1. Note-se que o comprimento de
encurvadura corresponde à distância entre pontos de inflexão do modo de encurvadura.
Figura 3.6 - Comprimento de encurvadura de uma coluna encastrada apoiada
Figura 3.7 - Comprimento de encurvadura de colunas
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
25
Refira-se ainda que, conforme também se ilustra na figura 3.7, para a maior parte das
situações analisadas é possível determinar o comprimento de encurvadura com base em
condições geométricas tendo em conta as características dos apoios nas extremidades
das barras.
Na maior parte das estruturas as condições de fronteira das colunas dependem da rigidez
dos elementos adjacentes, pelo que os valores do comprimento de encurvadura
indicados na figura 3.7 não representam mais do que situações limites da rigidez de
rotação dos apoios, correspondentes a uma rigidez nula (apoios simples) ou uma rigidez
infinita (encastramentos ou encastramentos deslizantes). As situações intermédias
podem ser analisadas a partir dos modelos representados na figura 3.8, distinguindo-se
os casos em que se impede o deslocamento transversal em ambas as extremidades
(figura 3.8a) e os casos em que aquele deslocamento apenas é impedido numa
extremidade (figura 3.8b).
Figura 3.8- Modelos para a determinação do comportamento de encurvadura no caso geral.
O comprimento de encurvadura de uma coluna é função da relação entre a rigidez da
coluna, Kc, e a rigidez dos elementos adjacentes considerada através da rigidez das
molas nas extremidades das barras, K1 e K2, a qual pode ser considerada a partir dos
seguintes parâmetros
η1 = Kc
Kc + K1 η2 =
Kc Kc + K2
(3.20)
Para a determinação destes parâmetros a rigidez da coluna, Kc, corresponde ao valor da
rigidez associado à rotação numa extremidade quando estão impedidos a rotação na
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26
outra extremidade e os deslocamentos transversais em ambas as extremidades, sendo
definida por
Kc = 4EΙcLc
(3.21)
em que Ic e Lc representam respectivamente o momento de inércia e o comprimento da
coluna.
Na figura 3.9 apresentam-se dois ábacos que permitem calcular o comprimento de
encurvadura de uma coluna com base nos modelos representados na figura 3.8 e no
valor dos parâmetros η1 e η2.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
27
Figura 3.9a - Ábaco para a determinação do comprimento de encurvadura de colunas com apoios elásticos
no caso em que os deslocamentos transversais estão impedidos nas duas extremidades.
(valores das curvas - αe; comprimento de encurvadura Le = αe L)
η1
0.500
0.525
0.550
0.575
0.600
0.625
0.650
0.675
0.700
0.750
0.800
0.850
0.900
0.950
1.000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0η1
η2
η2
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28
Figura 3.9b - Ábaco para a determinação do comprimento de encurvadura de colunas com apoios elásticos
no caso em que o deslocamento transversal está impedido apenas numa extremidade.
(valores das curvas - αe; comprimento de encurvadura Le = αe L)
η1
η2
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.40
1.50
1.60
1.80
2.00
2.202.40
2.60
3.004.00
5.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0η1
η2
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
29
Exemplo 3.2: Considerem-se os pórticos representados na figura 3.10. Admitindo apenas a instabilidade no
plano da estrutura pretende determinar-se o comprimento de encurvadura para a situação do pórtico travado
transversalmente (figura 3.10a) e não travado (figura 3.10b).
Dados: E = 210 GPa
Travessa Perfil HEA300 Ιt = 18260 cm4 Lt = 12,00 m
Montantes Perfil HEA400 Ιc = 45070 cm4 Lc = 5,00 m
Figura 3.10a - Pórtico travado transversalmente
Kc = 4EΙcLc
= 75718 kNm
K1 = EΙt
0.5Lt = 6391 kNm η1 = 0,922
K2 = ∞ η2 = 0
Figura 3.9a → α ≈ 0,68 Le = αeLc = 3,40 m
Figura 3.10b - Pórtico não travado transversalmente
Kc = 4EΙcLc
= 75718 kNm
K1 = 3EΙt0.5Lt
= 19173 kNm η1 = 0,798
K2 = ∞ η2 = 0
Figura 3.9b → α ≈ 1,55 Le = αeLc = 7,75 m
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
30
3.4. Comprimento de encurvadura de barras em estruturas trianguladas
De uma forma geral as estruturas trianguladas são calculadas admitindo que os seus nós
funcionam como articulados pelo que os únicos esforços a considerar na verificação da
segurança são esforços axiais. Os esforços podem ser calculados de forma aproximada
recorrendo apenas a equações de equilíbrio ou por aplicação dos métodos de análise de
estruturas.
Em algumas situações a materialização das ligações entre as barras introduz algumas
excentricidades entre os eixos das barras e os nós, as quais dão origem a momentos
flectores que devem também ser tidos em consideração na verificação da segurança das
barras embora não sejam explicitamente obtidos na análise de esforços das estruturas.
Saliente-se que o facto de se calcular uma estrutura triangulada como articulada nos nós
não exige que exista uma rótula nesse nó. Com efeito, a consideração apenas do esforço
axial quando não existe nenhuma rótula nos nós resulta da hipótese de se desprezar a
contribuição da rigidez de flexão das barras quando comparada com a sua rigidez axial.
A determinação do comprimento de encurvadura de uma barra de uma estrutura
triangulada depende das características da própria barra assim como das características
das barras que lhe estão adjacentes. No caso de estruturas trianguladas planas o
comprimento de encurvadura das barras no plano da estrutura é aproximadamente igual
ao comprimento da própria barra L, medido entre nós, como se exemplifica na figura 3.11
para os casos de uma corda comprimida e de uma diagonal de uma estrutura triangulada.
Na realidade a rigidez das barras adjacentes à barra em análise contribui para que o
comprimento de encurvadura da barra seja menor do que o comprimento entre nós. Este
cálculo pode ser efectuado de forma semelhante ao apresentado no §3.3, sendo no
entanto necessário ter em consideração o efeito do esforço axial na rigidez efectiva das
barras, o que introduz alguma complexidade nos cálculos [2,3]. De forma a ter em
consideração o efeito do encastramento elástico nas extremidades das barras alguns
regulamentos permitem que, desde que se verifiquem algumas condições relativas às
características das barras e ligações, se adoptem comprimentos de encurvadura de 0,9L.
Na direcção perpendicular ao plano da estrutura a triangulação deixa de influenciar o
comprimento de encurvadura das barras sendo este comprimento dependente dos
travamentos transversais. Neste contexto entendem-se por travamentos os sistemas
estruturais adicionais que vão impedir ou restringir os deslocamentos de alguns dos nós
na direcção perpendicular ao plano da estrutura.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
31
Figura 3.11 – Estruturas trianguladas. Comprimentos de encurvadura no plano da estrutura
Se os nós da estrutura triangular fossem todos verdadeiramente articulados então todos
esses nós teriam de ser travados na direcção perpendicular ao plano da estrutura. Nos
casos mais correntes as cordas são constituídas por barras contínuas, admitindo-se que,
como se exemplifica na figura 3.12, o seu comprimento de encurvadura é igual à
distância entre travamentos.
Figura 3.12 – Estruturas trianguladas. Comprimentos de encurvadura na perpendicular ao plano da estrutura
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
32
Nalgumas situações adoptam-se estruturas triangulares tridimensionais como a que se
apresenta a título de exemplo na figura 3.13. Nestes casos não existe um comportamento
diferenciado entre a encurvadura das barras no plano ou perpendicularmente ao plano da
estrutura. Com efeito, neste caso, o carácter tridimensional da estrutura permite
assegurar, com as mesmas aproximações já referidas, que o comprimento de
encurvadura das barras será no máximo igual ao seu próprio comprimento.
Figura 3.13 – Estrutura triangulada tridimensional
3.5. Esbelteza de uma coluna
Como se apresentou anteriormente qualquer coluna pode ser analisada através de uma
coluna simplesmente apoiada equivalente com um comprimento igual ao comprimento de
encurvadura Le. Para esta coluna equivalente define-se a carga crítica, designada por
carga de Euler, PE = π2EΙ / Le2 (equação 3.12).
A avaliação da resistência de uma estrutura pode ser efectuada através da análise das
tensões aplicadas as quais podem ser obtidas dos esforços tendo em consideração as
características das secções transversais. À carga de Euler de uma coluna corresponde
uma tensão σE, designada por tensão de Euler, dada por
σE = PEA =
π2 E ΙA Le
2 (3.22)
Tendo em consideração a definição do raio de giração duma secção
i = ΙA (3.23)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
33
e introduzindo o parâmetro adimenional
λ = Lei (3.24)
a tensão crítica passa a ser dada por
σE = π2 E i2
Le2 =
π2 Eλ2 (3.25)
O parâmetro λ é adimensional, uma vez que resulta do quociente entre dois
comprimentos, e designa-se por esbelteza de coluna, sendo tanto maior quanto maior o
comprimento de encurvadura e tanto menor quanto menor o raio de giração de secção
transversal.
3.6. Curva de dimensionamento de uma coluna ideal
No caso de um material elasto-plástico perfeito a relação tensões deformações é a
indicada na figura 3.14.
Figura 3.14- Relação tensões deformações de um material elasto-plástico perfeito
Se o material for elasto-plástico perfeito a resistência da coluna depende de qual dos
fenómenos ocorre para uma carga menor, a plasticidade do material ou a encurvadura da
coluna. Assim, a curva de dimensionamento de uma coluna ideal é definida pelo menor
dos valores correspondentes à plastificação da secção e à carga crítica, pelo que o
esforço axial resistente NR é dado por
NR = A σm com σm = min (fy; σE) (3.26)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
34
representando σm o valor da tensão média na secção associado ao esforço axial
resistente, fy a tensão de cedência do aço e σE a tensão de Euler.
Com base no valor da tensão de cedência (fy) e da tensão de Euler (σE) pode obter-se a
curva de dimensionamento de uma coluna ideal, representada na figura 3.15, a qual
define o valor da tensão média na secção (σm) associado ao esforço axial resistente em
função da esbelteza λ. Analisando esta curva pode observar-se a esbelteza λ1, que se
designa por esbelteza de referência, é o valor para a qual a tensão crítica é igual à
tensão de cedência, pelo que
π2 Eλ1
2 = fy ⇒ λ1 = π Efy
(3.27)
Figura 3.15 - Curva de dimensionamento de uma coluna ideal
3.7. Esbelteza normalizada
A partir do valor da esbelteza de referência λ1 pode definir-se uma nova esbelteza λ–,
designada por esbelteza normalizada, definida por
λ– = λ
λ1 = Le / iπ E / fy
= fyπ2 E i2
Le2
= fyσE
(3.28)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
35
A esbelteza normalizada apresenta a vantagem de definir se o dimensionamento da
coluna ideal é condicionado pela plastificação da secção (λ–<1) ou pela encurvadura da
coluna (λ–>1). Saliente-se que o valor de λ–=1, correspondente ao dimensionamento
óptimo da coluna ideal, é independente do valor da tensão de cedência e do módulo de
elasticidade do material. Na figura 3.15 representa-se também o eixo das esbeltezas
definido em função de λ–.
Uma vez que a carga crítica da coluna Ncr = AσE e que a resistência plástica da secção é
dada por Npl = Afy, a esbelteza normalizada pode ser escrita em função daqueles dois
esforços, tendo-se
λ– =
fyσE
= NplNcr
(3.29)
Verifica-se assim que a esbelteza normalizada tende para zero quando o valor relativo
entre o esforço normal plástico e a carga crítica diminui. Quando o valor relativo entre o
esforço normal plástico e a carga crítica aumenta a esbelteza normalizada tende para
valores elevados. O valor unitário da esbelteza normalizada corresponde a situações em
que o esforço axial plástico e o crítico são iguais.
3.8. Efeito das imperfeições geométricas
Na análise apresentada anteriormente designou-se a coluna como ideal uma vez que se
admitiu que na ausência de carga o seu eixo é perfeitamente rectilíneo. Nestas condições
só existem deslocamentos transversais quando a carga é igual ou superior à carga crítica.
No entanto, as colunas reais têm sempre imperfeições geométricas pelo que, mesmo na
ausência de carga, o seu eixo não é perfeitamente recto.
Considere-se a coluna representada na figura 3.16, onde wo(x) representa as
imperfeições iniciais para P=0 e w(x) os deslocamentos totais para P>0. Saliente-se que
w(x) representa os deslocamentos totais em relação à corda, ou seja, inclui o valor das
imperfeições geométricas inicias.
Do equilíbrio do troço da coluna representado na figura 3.16, e de forma semelhante ao já
efectuado para a coluna ideal, obtém-se
EΙ d2wdx2 + P w = EΙ
d2wodx2 (3.30)
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36
As imperfeições geométricas podem ser representadas por uma série de Fourier na
forma
wo(x) = ∑m=1
∞ wo.m sen
m π xL (3.31)
em wo.m representa a amplitude da componente com a forma sen m π x
L .
Tendo em consideração esta definição das imperfeições geométricas e as condições de
fronteira da coluna, w(0)=0 e w(L)=0, a solução da equação 3.30 é dada por
w(x) = ∑n=1
∞ wn sen
n π xL (3.32)
Figura 3.16 - Coluna com imperfeições geométricas.
Substituindo-se wo(x) e w(x) dados pelas equações 3.31 e 3.32 na equação diferencial de
equilíbrio (equação 3.30) obtém-se
∑n=1
∞ ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-EΙ ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞n π
L2 + P wn sen
n π xL = ∑
m=1
∞ - EΙ ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞m π
L2 wo.m sen
m π xL (3.33)
pelo que, igualando os coeficientes que afectam cada um dos termos sinusoidais, se
obtém
wm = EΙ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞m π
L2
EΙ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞m π
L2 - P
wo.m m = 1, 2, 3, ..., ∞ (3.34)
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37
Como a carga crítica ideal correspondente ao mésimo modo é dada por Pcr(m
) = m2π2EI
L2 (ver
equação 3.11) a deformada da coluna pode ser escrita na forma
w(x) = ∑m=1
∞
Pcr(m
)
Pcr(m
) - P wo.m sen
m π xL (3.35)
Da análise desta equação pode constatar-se que o termo de ordem m da série que define
w(x) tem a forma do m-ésimo modo de encurvadura. A amplitude de cada termo é igual
ao produto da componente das imperfeições iniciais nesse modo wo.m pelo coeficiente
Pcr(
m)
Pcr(m
) - P (3.36)
O coeficiente definido na equação 3.36 designa-se por coeficiente de amplificação uma
vez que amplifica a amplitude inicial wo.m em função do valor da carga P.
Quando a carga se aproxima da carga crítica mais baixa Pcr(1
)=PE, e dada a relação entre
as cargas críticas correspondentes aos diferentes modos de encurvadura, a amplificação
da componente da imperfeição geométrica no 1º modo é preponderante sobre todas as
outras, pelo que se pode escrever
w(x) ≈ w1 sen π xL (3.37)
em que
w1 = PE
PE - P wo.1 = 1
1 - P/PE wo.1 (3.38)
Na figura 3.17 representa-se esquematicamente a relação entre a carga e o
deslocamento transversal tendo em consideração a componente da imperfeição
geométrica na forma do 1º modo de encurvadura verificando-se que 1
1 - P/PE representa o
coeficiente de amplificação daquela componente.
Quando se consideram as imperfeições geométricas, a coluna fica sujeita a momentos
flectores desde o início do carregamento. Tendo em consideração o equilíbrio de um
troço da barra, ilustrado na figura 3.16, e considerando apenas a componente da
imperfeição geométrica no 1º modo de encurvadura, o momento flector é máximo na
secção de meio vão, sendo dado por
M = P w1 = P PE
PE - P wo.1 = P 1
1 - P/PE wo.1 (3.39)
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38
Figura 3.17 - Influência das imperfeições geométricas na relação carga-deslocamento transversal.
Tem-se assim que a secção de 1/2 vão está sujeita a um esforço axial N, igual à carga
aplicada P, e a um momento flector M, função da carga P e da amplificação da amplitude
da imperfeição inicial 1
1 - P/PEwo.1. Na figura 3.18 representa-se esquematicamente o
diagrama de tensões na secção de 1/2 vão, definindo-se por c o valor absoluto da
distância do centro de gravidade às fibras extremas da secção transversal.
Figura 3.18 – Diagrama de tensões normais na secção de 1/2 vão.
A tensão máxima na secção ocorre na fibra mais comprimida. Tendo em consideração o
resultado apresentado na equação 3.39 o valor absoluto da tensão máxima de
compressão é dado por
σmax = PA +
McΙ
= PA ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1 +
wo.1 ci2
PEPE - P (3.40)
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39
Admitindo como critério de dimensionamento que a rotura se dá quando a tensão máxima
for igual à tensão de cedência, e designando por σm a tensão média nessa situação
(σm=P/A para σmax = fy), obtém-se da equação 3.40
fy = σm ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1 +
wo.1 ci2
σE
σE - σ m (3.41)
Resolvendo esta equação em ordem a σm obtém-se
σ m = 12 ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫[ ]fy + σE (1 + θ) - [ ]fy + σE (1 + θ)
2 -4fyσE com θ =
wo.1 ci2 (3.42)
equação esta conhecia por fórmula de Perry, na qual θ é um parâmetro adimensional
proporcional à amplitude da imperfeição wo.1, A partir de medições das imperfeições em
colunas reais conclui-se que o parâmetro θ pode ser considerado proporcional à
esbelteza da coluna, tendo sido proposto por Robertson que se considerasse θ = 0.003 λ.
Introduzindo este valor do parâmetro θ na equação 3.41 obtém-se uma equação de
dimensionamento, a qual é designada por fórmula de Perry-Robertson. Na figura 3.19
comparam-se as curvas de dimensionamento de uma coluna ideal e de uma coluna em
que se tem em conta o efeito das imperfeições geométricas, salientando-se que as
maiores diferenças se verificam exactamente na zona correspondente ao
dimensionamento "óptimo" (λ–=1; λ= λ 1) de uma coluna ideal.
Figura 3.19 - Curva de dimensionamento. Efeito das imperfeições geométricas.
A curva de dimensionamento representada na figura 3.19 depende do valor da tensão de
cedência fy. Aquela curva pode ter um carácter mais geral se o eixo das ordenadas for
adimensionalisado em relação à tensão de cedência, definindo-se um factor de redução
χ = σmfy
= NNpl
(3.43)
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40
Na figura 3.20 representa-se a curva de dimensionamento de uma coluna definida
através do factor de redução χ, no eixo das ordenadas, em função da esbelteza
normalizada λ–, no eixo das abcissas. Refira-se que o factor de redução χ permite obter o
valor da tensão média σm correspondente à resistência da coluna a partir da sua
resistência máxima associada à tensão de cedência fy.
Tendo em consideração a definição do factor de redução (equação 3.43), da esbelteza
normalizada λ– (equação 3.28) e do parâmetro de imperfeição θ = wo.m c
i2 , a equação 3.41
pode ser escrita na forma
1 = χ + χθ 1/λ
–2
1/λ–2 - χ
(3.44)
cuja solução em relação a χ é
χ = 1
2λ–2
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫[ ]λ
–2 + 1 + θ - [ ]λ
–2 + 1 + θ
2 - 4λ–
2 (3.45)
ou
χ = 1
φ + φ2 - λ–2 (3.46a)
em que
φ = 12 [ ]1 + θ + λ–
2 (3.46b)
A equação 3.46a é equivalente à equação 3.42 e corresponde à curva de
dimensionamento para θ≠0 representada na figura 3.20.
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41
Figura 3.20 - Curva de dimensionamento. Coeficiente de redução χ em função da esbelteza normalizada λ–
.
3.9. Efeito das tensões residuais
Devido ao processo de fabrico os perfis ficam sujeitos a tensões residuais. Considere-se
por exemplo o perfil Ι, de aço laminado a quente, representado na figura 3.21.
A distribuição de tensões residuais representada na figura 3.21 é devida à forma como se
dá o arrefecimento após o processo de laminagem. Com efeito, as extremidades dos
banzos e a zona intermédia da alma arrefecem primeiro do que as zonas de ligação da
alma aos banzos, zona esta em que se concentra a maior parte do material e onde a
superfície em contacto com o ar é menor. Assim, quando as zonas de ligação alma-
banzo arrefecem a sua deformação é restringida pela zona já arrefecida, gerando-se
tensões residuais de compressão nas extremidades dos banzos e na zona intermédia
das almas e tensões de tracção nas zonas de ligação alma-banzo.
Figura 3.21 - Diagrama de tensões residuais numa secção de um perfil I, laminado (adaptado de Dowling [5])
Quando se aplica um esforço axial de compressão P a tensão aumenta uniformemente
em toda a secção até que a tensão máxima seja igual à tensão de cedência. Para esta
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42
situação define-se o valor de tensão média σp, a qual representa a tensão limite da
proporcionalidade de secção. Na figura 3.22 ilustra-se o efeito das tensões residuais na
relação entre a tensão média (σ=P/A) e a deformação (ε).
Figura 3.22 - Efeito das tensões residuais na relação tensão média - deformação
Para tensões médias superiores à tensão limite de proporcionalidade (σp) a resistência à
encurvadura é dada apenas pela parte de secção que permanece elástica, cuja área e
momento de inércia se representam por Ae e Ie respectivamente. Assim, a carga crítica de
uma coluna parcialmente plastificada é dada por
Pcr = π2EΙe
L2 = PE Ιe Ι
(3.47)
Em termos de tensão média na secção tem-se
σcr = PcrA = η σE com η =
Ιe Ι
(3.48)
em que η, designado por factor de redução plástica, representa a redução da carga
crítica devido ao efeito das tensões residuais. O factor de redução plástica pode ser
obtido a partir do parâmetro τ, o qual é função da tensão média na secção e representa a
relação entre a área Ae e a área total da secção A
τ = τ(σ) = AeA (3.49)
Este parâmetro pode ser determinado experimentalmente a partir da relação tensão
média-deformação, ou analiticamente, se for conhecido o diagrama de tensões residuais.
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43
Exemplo 3.3: Considere-se a secção I representada na figura 3.23, e admita-se como desprezável a área e a
inércia da alma.
Figura 3.23 - Efeito das tensões residuais nas curvas de dimensionamento
Representando por be a largura da zona do banzo não plastificado tem-se
A = 2btf Ae = 2betf τ = AeA = be
b
Encurvadura em torno de y Encurvadura em torno de z
ηy = Ιy,e
Ιy=
2betf h2
4
2b tf h2
4
= AeA = τ ηz =
Ιz,e
Ιz=
2 be3tf
12
2 b3tf
12
= ( )AeA
3 = τ3
Tendo em consideração que τ≤1, a redução da carga crítica devido ao efeito das tensões residuais é mais
sensível para a encurvadura em torno do eixo z do que para a encurvadura em torno do eixo y.
Na figura 3.23 representam-se esquematicamente as curvas de resistência de uma coluna de secção Ι
reduzida aos seus banzos, e tendo em consideração apenas o efeito das tensões residuais.
3.10. Verificação da segurança de colunas segundo o Eurocódigo 3
De acordo com o Eurocódigo 3 (EC3) a verificação da segurança de colunas à
encurvadura por flexão é efectuada garantindo que
NEdNb.Rd
≤ 1,0 ⇒ NEd ≤ Nb.Rd (3.50)
Em que NEd e Nb.Rd representam os valores de cálculo do esforço axial actuante e
resistente à encurvadura de uma coluna. Para as secções das classes 1 a 3, ou seja,
exceptuando as secções da classe 4, o valor de cálculo do esforço axial resistente à
encurvadura é dado por
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44
Nb.Rd = χ A fyγM1
(3.51)
em que γM1 é o coeficiente parcial de segurança a considerar na verificação aos estados
limites últimos de encurvadura. Como já se referiu o coeficiente χ designa-se por factor
de redução uma vez que define a redução do esforço axial plástico para ter em
consideração a influência da esbelteza, das imperfeições geométricas e das tensões
residuais.
O coeficiente χ é definido em função da esbelteza normalizada (λ–) por cinco curvas (a0, a,
b; c; d), as quais se representam na figura 3.24, cuja forma reflecte a influência das
imperfeições geométricas e das tensões residuais e cuja escolha depende do tipo de
perfil e do eixo de flexão associado ao modo de encurvadura em análise. A esbelteza
normalizada, já definida anteriormente, é dada por
λ– = λ
λ1=
Lei
1λ1
com i = ΙA e λ1 = π
Efy
(3.52)
representando λ a esbelteza, Le o comprimento de encurvadura da coluna, i o raio de
giração da secção transversal e λ1 a esbelteza de referência, a qual é apenas função das
propriedades do material. Tomando o módulo de elasticidade do aço E=210 GPa obtém-
se
λ1 = 93,9ε com ε = 235 fy
(fy em N/mm2) (3.53)
No quadro 3.1 apresentam-se os valores de λ1 correspondentes às diferentes classes de
resistência dos aços referidos no EC3.
O factor de redução χ é definido de acordo com o EC3 por
χ = 1
φ + φ2 - λ–2 com χ ≤ 1,0 (3.54)
em que
φ = 12 [ ]1 + α(λ– -0,2) + λ–
2 (3.55)
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45
Curva a0 a b c d
λ– α = 0,13 α = 0,21 α = 0,34 α = 0,49 α = 0,76
0,2 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,3 0,986 0,977 0,964 0,949 0,923 0,4 0,970 0,953 0,926 0,897 0,850 0,5 0,951 0,924 0,884 0,843 0,779 0,6 0,928 0,890 0,837 0,785 0,710 0,7 0,896 0,848 0,784 0,725 0,643 0,8 0,853 0,796 0,724 0,662 0,580 0,9 0,796 0,734 0,661 0,600 0,521 1,0 0,725 0,666 0,597 0,540 0,467 1,1 0,648 0,596 0,535 0,484 0,419 1,2 0,573 0,530 0,478 0,434 0,376 1,3 0,505 0,470 0,427 0,389 0,339 1,4 0,446 0,418 0,382 0,349 0,306 1,5 0,395 0,372 0,342 0,315 0,277 1,6 0,352 0,333 0,308 0,284 0,251 1,7 0,315 0,299 0,278 0,258 0,229 1,8 0,283 0,270 0,252 0,235 0,209 1,9 0,256 0,245 0,229 0,214 0,192 2,0 0,232 0,223 0,209 0,196 0,177 2,1 0,212 0,204 0,192 0,180 0,163 2,2 0,194 0,187 0,176 0,166 0,151 2,3 0,178 0,172 0,163 0,154 0,140 2,4 0,164 0,159 0,151 0,143 0,130 2,5 0,151 0,147 0,140 0,132 0,121 2,6 0,140 0,136 0,130 0,123 0,113 2,7 0,130 0,127 0,121 0,115 0,106 2,8 0,122 0,118 0,113 0,108 0,100 2,9 0,114 0,111 0,106 0,101 0,094 3,0 0,106 0,104 0,099 0,095 0,088
Figura 3.24 - Curvas de dimensionamento de colunas do EC3 (Gráfico – Figura 6.4 do EC3).
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
46
S235 S275 S355 S420 S460
λ1 93,9 86,8 76,.4 70,2 67,1
Quadro 3.1 – Valores da esbelteza de λ1 em função da classe de resistência do aço
Por comparação destas duas expressões com as equações 3.46a e b verifica-se que a
curva de dimensionamento do EC3 (equação 3.54) coincide com a fórmula de Perry,
bastando para isso ter em consideração que nas curvas de dimensionamento do EC3 o
parâmetro de imperfeição θ = wo
1ci2 é dado por
θ = wo
1ci2 = α(λ– -0,2) (3.56)
Na tabela apresentada na figura 3.24 indicam-se os valores do parâmetro α associados a
cada uma das curvas de dimensionamento. Conhecidos os valores de α e as
características da secção transversal é possível, através da equação 3.56, obter o valor
da amplitude da imperfeição geométrica a 1/2 vão da coluna. Refira-se que este valor
representa uma imperfeição geométrica equivalente ao efeito conjunto da imperfeição
geométrica real da coluna e do efeito das tensões residuais.
A escolha da curva de dimensionamento a utilizar é efectuada de acordo com o indicado
no quadro 3.2, em função do tipo de secção, do eixo de encurvadura e em alguns casos
das dimensões da secção. Na figura 3.24 apresentam-se os valores de χ para as
diferentes curvas. Note-se, por exemplo, que para um perfil IPE em S235, em que a
altura é maior do que 1,2 vezes a largura (h>1,2b), o valor de χ é obtido pela curva a no
caso da encurvadura em torno do eixo y e pela curva b no caso da encurvadura em torno
do eixo z.
O EC3 não impõe limites ao valor das esbeltezas das colunas. No entanto, como o valor
do esforço axial resistente é fortemente reduzido para esbeltezas muito grandes, o limite
da esbelteza de uma coluna acaba por ser imposto indirectamente. Na prática raramente
se utilizam colunas com esbeltezas superiores a 180, excepto no caso de elementos
secundários ou de contraventamento, em que aquele limite pode ser estendido a 250. Em
elementos de travamento que funcionem em geral como tirantes e que estejam
comprimidos apenas quando o vento é a acção variável de base o limite da esbelteza
máxima pode ser estendido a 300. Em termos da esbelteza normalizada (λ–) aqueles
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
47
limites correspondem aproximadamente aos valores indicados no quadro 3.3 sendo
variáveis em função da qualidade do aço.
Quadro 3.2 – Selecção da curva de dimensionamento de colunas à encurvadura por flexão (tabela 6.2 EC3)
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
48
λ– ≤
Tipo de Elementos λ ≤ S235 S275 S355
Elementos comprimidos em geral 180 1,90 2,10 2,30
Elementos secundários ou de contraventamento 250 2,60 2,90 3,20
Elementos de travamento que funcionem como tirantes,
comprimidos apenas sob a acção do vento
300 3,20 3,50 3,80
Quadro 3.3 – Limites das esbeltezas em função do tipo de elementos estruturais e da qualidade do aço
Exemplo 3.4: Considere-se uma coluna com um perfil HEA200 S235 de comprimento total 6,00m
simplesmente apoiada no plano xz e biencastrada no plano xy (considere-se x o eixo da peça e os eixos y e z
da peça coincidentes com os mesmos eixos da secção transversal). Pretende determinar-se qual o valor de
cálculo do esforço resistente à encurvadura da coluna.
HEA 200: A = 5380 mm2; Ιy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Ιz =1340x104 mm4; iz = 49,8 mm
Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = Ley/iy = 72,5
Flexão no plano xy: Lez = 3000 mm; iz = 49,8 mm; λz = Lez/iz = 60,2
S235 → λ1 = 93,9 → λ–
y = 72,5/93,9 = 0,77; curva b → χy = 0,74
λ–
z = 60,2/93,9 = 0,64; curva c → χz = 0,76
χ = min(χy; χz) = 0,74
Nb.Rd = 0,74x5380x 2351,00 = 936x103 N = 936 kN
Exemplo 3.5: Para a coluna do exemplo 3.4 determinar a amplitude da imperfeição geométrica para a
encurvadura em torno do eixo y e em torno do eixo z.
Encurvadura em torno do eixo y
wo,1 = α(λ– -0,2) i2y
zmax = 0,34 x (0,77 – 0,20) x 82,82
95,0 = 14,0 mm = Ley428
Encurvadura em torno do eixo z (representam-se por v os deslocamentos ao longo do eixo y)
vo,1 = α(λ– -0,2) i2z
ymax = 0,49 x (0,64 – 0,20) x 49,82
100,0 = 5,4 mm = Lez556
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
49
4. VIGAS-COLUNAS
4.1. Introdução
Designam-se por vigas-colunas ("beam-columns" na designação anglo-saxónica) as
barras solicitadas simultaneamente por esforços axiais de compressão e por momentos
flectores primários. Designam-se por momentos flectores primários, M1(x), os momentos
ao longo da barra devidos a cargas transversais ao longo do vão ou a momentos
aplicados nas extremidades (ver figura 4.1a). Os deslocamentos associados aos
momentos primários designam-se por deslocamentos primários, w1(x).
Figura 4.1 - Momentos primários, M1(x), e secundários, M2(x). Deslocamentos primários, w1(x),
e secundários, w2(x).
Quando a barra, para além dos momentos nas extremidades e cargas transversais ao
longo do vão, está também sujeita a esforços de compressão, desenvolvem-se
acréscimos de momentos flectores, os quais se designam por momentos secundários
M2(x) (ver figura 4.1b). Estes acréscimos de momentos resultam da excentricidade da
carga aplicada relativamente ao eixo da barra na configuração deformada. Aos
momentos secundários estão associados acréscimos de deslocamentos que se
designam por deslocamentos secundários w2(x).
Note-se que, quando os momentos primários tendem para zero, a viga-coluna reduz-se a
uma coluna à compressão axial. Quando o esforço axial se anula, o problema reduz-se
ao das vigas sujeitas ou não à encurvadura lateral por flexão-torção, dependendo do
travamento lateral das vigas.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
50
Neste capítulo apresenta-se a análise e a verificação da segurança de vigas-colunas sem
ter em consideração a encurvadura lateral por flexão-torção, ou seja, admitindo-se que os
travamentos dos elementos estruturais impedem a sua encurvadura no modo de flexão-
torção.
4.2. Análise de vigas-colunas em regime elástico
Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.1b. Em cada secção a relação entre
o momento flector total M(x) e a curvatura é dada por
M(x) = -EΙ d2wdx2 (4.1)
Por outro lado, o momento total na secção é igual à soma do momento primário M1(x)
com o momento secundário M2(x). Este último é função do esforço axial P e do
deslocamento transversal w(x), tendo-se por equilíbrio
M(x) = M1(x) + P w(x) (4.2)
Substituindo a relação entre o momento e a curvatura na equação de equilíbrio, obtém-se
EΙ d2wdx2 + P w(x) = - M1(x) (4.3)
Note-se que esta equação é muito semelhante à equação 3.30 obtida na análise dos
efeitos da imperfeições geométricas no comportamento de colunas, correspondendo o
efeito dos momentos primários numa viga-coluna ao efeito das imperfeições geométricas
numa coluna.
Tendo em consideração o parâmetro k= P/EΙ, já definido anteriormente, obtém-se
d2wdx2 +k2 w(x) = -
M1(x)EI (4.4)
A solução desta equação diferencial é da forma
w(x) = A sen(kx) + B cos(kx) + f(x) (4.5)
em f(x) é uma função dependente de M1(x) e as constantes A e B são determinadas
impondo as condições de fronteira (w(0)=w(L)=0).
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A introdução das condições de fronteira na solução da equação diferencial conduz a um
resultado para o qual se pode admitir, no caso geral, a seguinte aproximação para o
deslocamento máximo [1,2,5]
wmax ≈ w1.max 1
1 - P/PE (4.6)
em que w1.max representa o deslocamento máximo devido aos momentos primários e PE
representa a carga de Euler da coluna. O factor
11 - P/PE
(4.7)
representa o factor de amplificação dos deslocamentos primários, ou seja tem um
significado semelhante ao factor de amplificação das imperfeições geométricas de uma
coluna apresentado no capítulo referente à estabilidade de colunas.
Admitindo que o deslocamento e o momento primário máximos se verificam na mesma
secção, o momento total máximo é aproximadamente dado por
Mmax ≈ M1.max + P wmax (4.8)
Introduzindo nesta equação a aproximação do deslocamento máximo dada pela equação
(4.6), obtém-se
Mmax ≈ M1.max 1 + ψ P/PE
1 - P/PE com ψ =
PE w1.maxM1.max
- 1 (4.9)
O coeficiente 1 + ψ P/PE
1 - P/PE que afecta o momento primário máximo (M1.max) designa-se por
factor de amplificação dos momentos.
Exemplo 4.1: Considere-se a viga-coluna solicitada apenas por momentos nas extremidades representada na
figura 4.2. Os momentos primários são uniformes ao longo do vão (M1(x)=M1), sendo a flecha máxima devida a
esses momentos dada por
w1.max = M1L2
8EΙ
Tendo em consideração que se trata de uma viga-coluna simplesmente apoiada, a carga crítica é dada por
PE = π2EΙL2
pelo que se tem
ψ = π2
L2 EΙM1
M1L2
8EΙ - 1 = π
2
8 - 1 = 0,233
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Para outros tipos de carregamento a determinação do coeficiente ψ pode ser efectuada
de forma análoga à apresentada no exemplo anterior. Na figura 4.2 apresentam-se os
valores do coeficiente ψ para diferentes tipos de carregamento.
Carga de Euler Solicitação ψ
Simplesmente apoiada
+0,233
PE = π2EIL2
-0,178
+0,028
Biencastrada
-0,180
PE = 4π2EI
L2
+0,200
Figura 4.2 - Valores do coeficiente ψ para diferentes tipos de carregamento e de condições de fronteira.
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53
4.3. Dimensionamento elástico de vigas-colunas
Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.3. Os deslocamentos totais w(x)
resultam da soma dos deslocamentos primários, w1(x), dos deslocamentos secundários,
w2(x), e ainda das imperfeições geométricas inicias do elemento, w0(x).
Conforme foi apresentado anteriormente os deslocamentos secundários resultam da
amplificação quer da imperfeição geométrica inicial quer dos deslocamentos primários
devidos às cargas de vão e aos momentos das extremidades, pelo que os deslocamentos
totais podem ser estimados por
w(x) ≈ w0(x) 1
1 - P/PE + w1(x)
11 - P/PE
(4.10)
ou, admitindo que os máximos de cada uma das parcelas dos deslocamentos ocorrem na
mesma secção,
wmax ≈ w0.max 1
1 - P/PE + w1.max
11 - P/PE
(4.11)
Figura 4.3 – Viga-coluna com imperfeições geométricas inicias
O momento secundário máximo é calculado tendo em consideração os deslocamentos,
sendo dado por
M2.max = P wmax = P w0.max 1
1 - P/PE + P w1.max
11 - P/PE
(4.12)
Admitindo ainda que os máximos dos momentos primário e secundário se verificam na
mesma secção, o momento total máximo é dado por
Mmax ≈ M1.max + M2.max= M1.max + P w0.max 1
1 - P/PE + P w1.max
11 - P/PE
(4.13)
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Admitindo como critério de rotura o inicio da ocorrência da cedência a condição de
dimensionamento corresponde a impôr que a tensão máxima é igual à tensão de
cedência, ou seja no caso de uma secção à flexão composta
σmax = NA+
MWel
= fy (4.14)
em que fy representa a tensão de cedência do material e A e Wel representam a área e o
módulo de flexão elástico da secção transversal, respectivamente. No caso de
vigas-colunas, e tendo em conta a relação entre o momento total, o momento primário e o
esforço axial dada pela equação 4.13, obtém-se
σmax = NA + N w0.max
11 - N/NE
1
Wel + M1.max
1 + ψ N/NE1 - N/NE
1
Wel = fy (4.15)
em que NE=PE.
O termo que afecta M1.max na equação 4.15 corresponde à amplificação do momento
primário definida na equação 4.9. Introduzindo
Nc = A fy (4.16)
Mc = Wel fy (4.17)
representando Nc e Mc o esforço axial de cedência (igual ao esforço axial plástico) e o
momento de cedência, respectivamente, obtém-se
NNc
+ N w0.max
Mc
11 - N/NE
+ M1.max
Mc 1 + ψ N/NE
1 - N/NE = 1 (4.18)
Tendo em consideração a definição da esbelteza normalizada tem-se
λ– = fy
σE ⇒
NNE
= λ–2 NNc
(4.19)
O termo N w0.max
Mc pode ser relacionado com o parâmetro de imperfeição das colunas θ,
definido na equação 3.42, tendo-se
N w0.maxMc
= NNc
A w0.max
Wel =
NNc
A w0.max c
I = NNc
w0.max c
i2 = NNc
θ (4.20)
Substituindo os resultados das equações 4.19 e 4.20 na equação 4.18 obtém-se
NNc
+ NNc
θ 1
1 - λ–2 N/Nc
+ M1.max
Mc 1 + ψ λ–
2 N/Nc
1 - λ–2 N/Nc
= 1 (4.21)
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equação esta que representa a curva de interacção (N,M) no caso de uma viga-coluna.
Na figura 4.4 representam-se as curvas de interacção definidas pela equação 4.21 para
θ=0,34(λ–-0.2), o que corresponde ao parâmetro de imperfeição associado à curva b de
dimensionamento de colunas definida no Eurocódigo 3. As curvas representadas na
figura 4.21 são função do valor de λ–, representando o valor da intersecção das curvas
com o eixo das ordenadas o valor do coeficiente de redução χ associado ao parâmetro
de imperfeição θ considerado. Note-se que, devido aos efeitos geometricamente não
lineares, aquelas curvas de interacção são curvas côncavas. As curvas representadas
são sempre interiores à recta que une os pontos N/Nc=1 e M/Mc=1, a qual representa a
curva de interacção da secção, curva esta que não tem em consideração os efeitos
geometricamente não lineares da coluna.
Figura 4.4 - Curva de interacção para o dimensionamento elástico de vigas-colunas
Exemplo 4.2: Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.5 constituída por uma viga simplesmente
apoiada carregada por uma carga concentrada aplicada a meio vão e por um esforço axial. Considerado apenas o
comportamento da estrutura no plano xz pretende calcular-se o momento flector total e o valor máximo da tensão
normal na secção de meio vão tendo em consideração as imperfeições geométricas iniciais os efeitos
geometricamente não lineares. Admita-se que as imperfeições geométricas têm o valor definido no EC3 para uma
coluna com as mesmas características da estrutura a analisar.
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Figura 4.5 – Viga coluna simplesmente apoiada no plano xz e biencastrada no plano xy
Considera-se que o perfil é um HEA 200 S235 com as seguintes propriedades geométricas: A = 5380 mm2; Ιy =
3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wel.y = 389x103 mm3; Ιz =1340x104 mm4; iz = 49,8 mm; Wel.z = 134x103 mm3
Conforme apresentado no exemplo 3.5 a imperfeição geométrica no plano xz definida de acordo com o EC3 é
dada por
wo,1 = 0,0140 m
Os valores máximos do deslocamento primário e do momento flector primários e a carga crítica para a flexão em
torno do eixo yy são dados por
w1.max = PL3
48EΙ = 40x63
48x210x106x36.9x10-6 = 0,0232 m
M1. y.max = PL4 = 40x6
4 = 60,0 kN.m
Pcr.y = π2EΙL
2ey
= π2x210x106x36.9x10-6
6,02 = 2124 kN
Tendo em consideração o esforço axial aplicado, o factor de amplificação é dado por
11 - P/Pcr.y
= 11 - 200/2124 = 1,104
Os valores máximos do momento flector secundário e do momento total, de acordo com as equação 4.12 e 4.13,
respectivamente, são dados por
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M2. y.max = 200x0,0140x1,104 + 200x0,0232x1,104 = 3,1 + 5,1 = 8,2 kN.m
My.max = M1. y.max + M2. y.max = 60,0 + 8,2 = 68,2 kN.m
Com base nos esforços totais na secção de meio e nas características mecânicas da secção transversal obtém-se
o valor máximo da tensão normal
σmax = NA + My.maxWel.y
= 200x103
5380 + 68,2x106
389x103 = 37,1 + 175,3 = 212,4 MPa
Este valor pode também ser obtido por aplicação directa da equação 4.15, obrigando à utilização do coeficiente ψ,
o qual tem de ser calculado (ver equação 4.9) ou obtido de tabelas (ver quadro 4.2). Refira-se que o valor máximo
da tensão normal corresponde a 0,904fy = 0,904x235 e que o factor 0,904 pode também ser obtido por aplicação
directa da equação 4.21, tarefa que se deixa a cargo do leitor.
Exemplo 4.3: Pretende calcular-se o valor máximo da tensão normal na secção de meio vão da viga-coluna
analisada no exemplo 4.3 considerando-se agora o comportamento da estrutura nos planos xz e xy.
O cálculo do momento flector My foi apresentado no exemplo 4.2 mantendo-se válido. Para o cálculo do memento
flector Mz e adoptando o mesmo procedimento tem-se:
vo,1 = 5,4 mm (ver exemplo 3.5)
v1.max = M1. z.max = 0
Pcr.z = πEΙL
2ez
= πx210x106x13,4x10-6
3,02 = 3085 kN
11 - P/Pcr.z
= 11 - 200/3085 = 1,069
Mz.max = M2. z.max = 200x0,0054x1,069 = 1,2 kN.m
Com base nos esforços totais na secção de meio e nas características mecânicas da secção transversal obtém-se
o valor máximo da tensão normal
σmax = NA + My.maxWel.y
+ Mz.maxWel.z
= 200x103
5380 + 68,2x106
389x103 + 1,2x106
134x103 = 37,1 + 175,3 + 9,0 = 221,4 MPa
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4.4. Verificação da segurança de vigas-colunas segundo o Eurocódigo 3
Conforme se referiu na introdução apresenta-se neste capítulo a metodologia para a
verificação da segurança de vigas-colunas sem ter em consideração a encurvadura
lateral por flexão-torção, admitindo-se assim que as rotações de torção estão impedidas.
As curvas para a verificação da segurança apresentadas no EC3 são semelhantes à
equação 4.21, diferindo desta fundamentalmente por três razões:
• A equação 4.21 só é válida em regime elástico, enquanto no EC3 a resistência
de elementos com secções da classe 1 e 2 é definida pela resistência plástica.
• A equação 4.21 foi deduzida com base na hipótese restritiva de que os valores
máximos dos momentos primários e secundários ocorrem na mesma secção
enquanto que a metodologia apresentada no EC3 cobre casos mais gerais em
que aquela hipótese não se verifica.
• No caso geral o elemento comporta-se como uma viga-coluna tendo em conta a
flexão em torno dos dois eixos de flexão da secção transversal.
As curvas do EC3 para o dimensionamento de vigas-colunas apresentam a seguinte
forma
NEd
χyNRk
γM1 + kyy
My.Ed
My.Rd
γM1 + kyz
Mz.Ed
Mz.Rd
γM1 ≤ 1 (4.22a)
NEd
χzNRk
γM1 + kzy
My.Ed
My.Rk
γM1 + kzz
Mz.Ed
Mz.Rk
γM1 ≤ 1 (4.22b)
representando NEd o valor de cálculo do esforço axial actuante e My.Ed e Mz.Ed os valores
máximos absolutos dos momentos de cálculo actuantes ao longo do eixo da barra,
respectivamente, segundo os eixos y e z. Por NRk, My.Rk e Mz.Rk representam-se os
valores de cálculo do esforço axial e dos momentos resistentes. Por χy e χz representam-
se os factores de redução para a resistência encurvadura em torno dos eixo y e z,
respectivamente, e por γM1 o coeficiente parcial de segurança para as verificações dos
estados limites últimos de encurvadura.
As expressões 4.22a e 4.22b foram adoptadas das equações 6.61 e 6.62 do EC3
considerando χLT=1, uma vez que não se considera a encurvadura lateral por
flexão-torção das vigas, e ΔMy.Ed=ΔMz.Ed=0, uma vez que estes valores só não são nulos
para o caso das secções da classe 4, que não são consideradas neste capítulo.
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59
De acordo com o EC3 os coeficientes kyy, kyz, kzy e kzz , referidos genericamente por
coeficientes kij, podem ser calculados por dois métodos alternativos, designados por
método 1 e método 2. Por ser de mais fácil aplicação, em particular nas situações em que
não se considera a encurvadura lateral por flexão-torção das vigas, neste capítulo
considera-se apenas o método 2.
A determinação dos coeficientes kij para o método 2 é apresentada no anexo B do EC3,
reproduzindo-se na figura 4.5 a tabela B1 daquele documento, em que se apresentam as
expressões para o cálculo daqueles coeficientes quando as rotações de torção estão
impedidas. As expressões a utilizar em cada caso dependem do tipo de secção
transversal, secções em Ι ou secções tubulares, e da classe das secções.
As expressões para o cálculo dos coeficientes kij dependem dos factores Cmy e Cmz,
indicados na figura 4.6, e que se designam genericamente por factores de momento
uniforme equivalente, Cm, . Estes factores permitem determinar qual o valor do momento
uniforme ao longo do elemento de modo a que a resistência da viga-coluna seja igual à
do elemento em análise e que, num caso geral, estará sujeita a um diagrama de
momentos variável. Realce-se mais uma vez que os valores de My.Ed e Mz.Ed indicados
nas equações 4.22a e 4.22b se referem sempre aos valores máximos absolutos dos
momentos flectores ao longo de todo o elemento.
Est. Metálicas. Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-coluna – Francisco Virtuoso - 2012
60
Figura 4.5 - Expressões para o cálculo dos coeficientes kij quando as rotações de torção estão impedidas.
(EC3 tabela B1)
Figura 4.6 - Expressões para o cálculo do factor de momento uniforme equivalente Cm. (EC3 tabela B3)
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61
Exemplo 4.4: Considere-se uma viga-coluna representada na figura 4.7 constituída por um perfil HEA200
S235, com um comprimento total de 6,00m, simplesmente apoiada no plano xz, com as rotações de torção e
os deslocamentos no plano xy impedidos e submetida a um esforço axial com um valor de cálculo de 280 kN.
Tendo em consideração a relação entre os momentos nas extremidades pretende determinar-se qual o valor
máximo de M que é possível aplicar garantindo-se a verificação da segurança de acordo com o EC3.
Figura 4.7 – Viga-coluna sujeita a momentos nas extremidades
HEA 200: A = 5380 mm2; Iy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wpl.y = 430x103 mm3.
a) Verificação do estado limite último de resistência das secções
NEd = 280 kN; Npl.Rd = 5380 x 2351,00 x10-3 = 1264 kN; Mpl.y.Rd = Wpl.y
fyγM0
= 430 x103 x 2351,00 x10-6 = 101,1kNm
Interacção N-M: MN.y.Rd = Mpl.y.Rd 1 - n
1 - 0,5a ; n = NEdN pl.Rd
= 2801264 = 0.222; a = Aw
A = 13805380 = 0.26
Mn.y.Rd = 101,1 x 1 - 0,2221 - 0,5x0,26 = 101,1 x 0.89 = 90,0 kN.m
b) Verificação como viga-coluna
Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = Loy/iy = 72,5
S235 → λ1 = 93,9 → λ–
y = 72,5/93,9 = 0,77; curva b → χy = 0,74
NEd
χyNRk
γM1
= 280
0,74x12641,00
= 0,30
ψ = MAMB
=0,5; Cmy = 0,6 + 0,4x0,5 = 0,80; kyy = 0,80 x (1+(0,77 – 0,2) x 0,30) = 0,80 x 1,171 = 0,94
NEd
χyNRk
γM1 + kyy
My.Ed
My.Rk
γM1 + kyz
Mz.Ed
Mz.Rk
γM1 ≤ 1 ⇒ 0,30 + 0,94 x My.Ed
101,1 + 0 ≤ 1 ⇒ My.Ed ≤ 0,74 x 101,1 = 74,8 kN.m
O valor de cálculo do momento resistente do elemento é o menor dos valores correspondentes à resistência
da secção ou do elemento como viga-coluna, tendo-se neste caso
My.Rd = min(MN.y.Rd; My.Ed) = min (90,0; 74,8) = 74,8 kN.m
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Exemplo 4.5: Considere-se a viga-coluna analisada nos exemplos 4.2 e 4.3 para qual se pretende agora
efectuar a verificação da segurança de acordo com o EC3.
HEA 200: A = 5380 mm2; Ιy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wpl.y = 430 x103 mm3; Ιz =1340x104 mm4; iz =
49,8 mm; Wpl.z = 204x103 mm3
Como o momento máximo primário ocorre na secção de meio vão a verificação da segurança da viga coluna
é dominante em relação à verificação da resistência da secção tendo-se:
Verificação como viga-coluna
NRk = 5380x235x10-3 = 1264 kN My.Rk = 430x103235x10-6 = 101,1 kN.m
Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = 72,5; λ1 = 93,9; λ–y = 0,77; curva b → χy = 0,74
Flexão no plano xy: Lez = 3000 mm; iz = 49,8 mm; λz = 60,2; λ1 = 93,9; λ–z = 0,64; curva c → χz = 0,76
NEd
χyNRk
γM1
= 200
0,74x12641,00
= 0,214 NEd
χzNRk
γM1
= 200
0,76x12641,00
= 0,208
Mh = 0; ψ = 0; Cmy = 0,9; kyy = 0,90 x (1+(0,77 – 0,20) x 0,214) = 1,010; kzy = 0,6kyy = 0,606
NEd
χyNRk
γM1 + kyy
My.Ed
My.Rk
γM1 + kyz
Mz.Ed
Mz.Rk
γM1 ≤ 1 ⇒ 0,214 + 1,010 x 75
101,1 + 0 = 0,214 + 0,749 = 0,963 ≤ 1
NEd
χzNRk
γM1 + kzy
My.Ed
My.Rk
γM1 + kzz
Mz.Ed
Mz.Rk
γM1 ≤ 1 ⇒ 0,208 + 0,606 x 75
101,1 + 0 = 0,208 + 0,450 = 0,658 ≤ 1
Como em ambas as equações o valor obtido é menor ou igual a um considera-se verificada a segurança da
viga coluna.
5. REFERÊNCIAS
• [1] - Walker, A. C.; The Buckling of Struts; Chatto & Windus; London, 1985.
• [2] - Reis, A. J.; Estabilidade de Estruturas; Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas; Departamento de Engenharia Civil; IST; Lisboa 1982.
• [3] - Chajes, A.; Principles of Structural Stability Theory; Prentice-Hall, Inc.
• [4] - ICOM; Conception des Structures Metalliques - Partie A: Notions Fondamentals et Dimensionnement des Elements de Constructions Metalliques; Deuxiéme edition; Institut de la Constructiuon Metallique; Lausanne; Mars 1979.
• [5] - Dowling, P. J.; Knowles , P.; Owens, G. W.; Structural Steel Design; The Steel Construction Institute; 1988.
• [6] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. EN 1993-1-1; May 2005.
• [7] - Reis, A. J. - Instabilidade em Elementos de Construção Metálica, IST, Lisboa, 1977.