DIPLOMSKO DELO - University of Ljubljanapefprints.pef.uni-lj.si/3952/1/Diploma_Vesna_Nemet.pdf · razrešili Zenonov paradoks neskončne deljivosti dolžin in predstavili Oresmejev

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

VESNA NEMET

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKOŠtudijski program: Matematika in fizika

KONCEPT ZAPOREDJA SKOZI ZGODOVINOMATEMATIKE

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:prof. dr. Aleksander Malnič Vesna Nemet

Ljubljana, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Aleksandru Malniču za pomoč in strokovnenasvete pri pisanju diplomskega dela. Prav tako se zahvaljujem svoji družini invsem, ki ste mi kakorkoli pomagali in me spodbujali v času študija.

Prisrčna hvala tudi Srečku in Lini za vso potrpežljivost, pomoč in podporo prinastajanju tega diplomskega dela.

3

Povzetek

Osrednji del diplomskega dela je predstavitev začetkov matematike od starih Egip-čanov in Babiloncev do srednjega veka. Osredotočimo se predvsem na problem kon-vergence in neskončne deljivosti dolžin, ki sta v zgodovini matematike predstavljalavelik problem. Izpostavimo računanje kvadratnih korenov pri starih Babiloncih, odstarogrških matematikov obravnavamo Zenona in njegov paradoks Ahila in želve,iz srednjega veka pa Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste. Zaradi lažjegarazumevanja obravnavanih problemov, uvodu sledi poglavje o zaporedjih in vrstah.Za konec si pogledamo še moderni koncept zaporedij ter konvergence v metričnihprostorih.

Ključne besede:zaporedja, vrste, konvergenca, babilonska matematika, zgodovina matematike, Ze-nonovi paradoksi, Oresmejev dokaz, metrični prostori

Abstract

The main part of this thesis presents the beginnings of mathematics from the periodsof Ancient Egypt and Babylon to the Middle Ages. It mainly focuses on the issueof convergence and infinite divisibility of lengths, which were important problems inthe history of mathematics. It addresses Babylonian square root calculations, Zeno’sparadox of the tortoise and Achilles in Greek mathematics, and Oresme’s proof ofthe divergence of the harmonic series. The introductory part is followed by a chapterdiscussing sequences and series for better understanding of the problems. The finalpart of the thesis touches on the modern concept of sequence and convergence inmetric spaces.

Keywords:sequences, series, convergence, Babylonian mathematics, history of mathematics,Zeno’s Paradoxes, Oresme’s proof, metric spaces

4

Kazalo

1 Uvod 7

2 Številska zaporedja in vrste 8

2.1 Zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Zaporedja skozi zgodovino 17

3.1 Egipt in Mezopotamija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Stari Egipčani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Stari Babilonci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.3 Babilonski približek za√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Grčija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Zenonov paradoks: Ahil in želva . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Srednji vek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste . . . . . . . . . 33

4 Moderni pristop 35

4.1 Metrični prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Poln metrični prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Augustin Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Literatura 40

5

Slike

3.1 Mezopotamija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Tablica Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Babilonska števila do 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Tablica YBC 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Grške številke (vir [8]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Ahil in želva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Razdalja v primerjavi s časom med Ahilom in želvo . . . . . . . . . . 30

6

Poglavje 1

Uvod

V tem diplomskem delu bomo predstavili razvoj pojmovanja zaporedij skozi tisočle-tja, vse od starega Egipta in Mezopotamije do srednjega veka in modernega razume-vanja tega pojma. Koncept zaporedja ima v zgodovini matematike velik pomen. Napojem številskega zaporedja naletimo že pri sistematičnem zapisu števil, zato bomov delu na kratko predstavili egipčanski in babilonski zapis števil ter izpostavili njunorazliko.

Namen tega diplomskega dela ni, da bi predstavili celotno zgodovino matematike,saj je le-ta preobsežna. Naš namen je bralcu podati jasnejšo sliko o razvoju konceptazaporedij, zato se bomo na kratko sprehodili čez zgodnja zgodovinska obdobja inizpostavili nekaj zanimivih primerov, ki so podali pomembne smernice v razvojumatematike. Pokazali bomo, na kakšen način so Babilonci računali zelo natančnepribližke za kvadratne korene, izpostavili grški problem pojmovanja neskončnosti,razrešili Zenonov paradoks neskončne deljivosti dolžin in predstavili Oresmejev do-kaz za divergenco harmonične vrste. Pri tem nas bo zanimala predvsem kovergencazaporedij in neskončnih vrst. Zato uvodu sledi poglavje o zaporedjih in vrstah.

Ker je predmet diplomskega dela bolj zgodovinske narave in ker začnemo na začetkuzgodovinskega razvoja matematike, je umestno predstaviti tudi osnovne definicijearitmetičnega in geometrijskega zaporedja, ki ju omenjamo skozi celotno jedro di-plomskega dela. V zadnjem poglavju pa si bomo pogledali še moderno definicijozaporedja ter konvergence v metričnih prostorih.

7

Poglavje 2

Številska zaporedja in vrste

2.1 Zaporedja

Ohlapno rečeno je zaporedje števen nabor elementov iz kake množice, po navadištevil, kjer je prvi element označen z a1, drugi z a2, tretji z a3 in tako naprej.Posameznim elementom a1, a2, a3, a4, . . . pravimo členi zaporedja, a1 je začetni člen,an pa n-ti ali splošni člen zaporedja. Zaporedje na kratko označimo tudi kot (an)n∈N.

Definicija 2.1. Zaporedje v neprazni množici M je funkcija a : N → M , ki vsakemunaravnemu številu n priredi natanko določen element iz M .

a : n 7→ an.

Zaporedje lahko podamo na več načinov. Lahko ga podamo z eksplicitnim funk-cijskim zapisom an = f(n), včasih tudi z rekurzivno formulo, to je s »pravilom«,s katerim je vsak naslednji člen zaporedja določen iz prejšnjih. Vendar se vsehzaporedij ne da podati na tak način.

Primer 2.2.1. Zaporedje naravnih števil an = n:

1, 2, 3, 4, 5, . . . .

8

2. Zaporedje obratnih vrednosti naravnih števil an = 1n:

1,1

2,1

3,1

4,1

5, . . . .

3. Izmenično ali alternirajoče zaporedje an = (−1)n:

−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . .

4. Konstantno zaporedje 1, to je an = 1:

1, 1, 1, . . . , 1, . . . .

5. Zelo znano je tudi Fibonaccijevo zaporedje, ki ga je italijanski matematik Leo-nardo Fibonacci leta 1202 uporabil za proučevanje populacije zajcev, v katerem jevsak člen od tretjega naprej vsota prejšnjih dveh. Zaporedje podamo z rekurzivnoformulo:

a1 = a2 = 1, an+2 = an + an+1.

Iz tega dobimo člene zaporedja:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . .

Zaradi nadaljnje obravnave nekaterih znamenitih problemov v zgodovini matema-tike, si posebej poglejmo definiciji in nekatere lastnosti aritmetičnega ter geometrij-skega zaporedja.

Definicija 2.3. Zaporedje realnih števil je aritmetično, če je razlika med dvemazaporednima členoma konstantna:

an+1 − an = d.

9

Z d označimo diferenco oziroma razliko zaporedja. Če enakosti

a2 − a1 = d

a3 − a2 = d

· · · · · ·

an − an−1 = d

seštejemo, lahko splošni člen aritmetičnega zaporedja zapišemo eksplicitno:

an = a1 + (n− 1)d.

Naraščanje oziroma padanje aritmetičnega zaporedja je odvisno od predznaka di-ference. Za d > 0 je zaporedje naraščajoče, za d < 0 padajoče, za d = 0 pa jekonstantno.

Oglejmo si tri zaporedne člene aritmetičnega zaporedja,

an−1 = a1 + (n− 2)d

an = a1 + (n− 1)d

an+1 = a1 + nd.

Takoj sledi:

an−1 + an+1 = 2a1 + 2nd− 2d = 2(a1 + (n− 1)d) = 2an, se pravi:

an =an−1 + an+1

2.

Torej je vsak člen aritmetičnega zaporedja enak aritmetični sredini sosednjih dvehčlenov. Od tod izhaja tudi ime za zaporedje.

Definicija 2.4. Zaporedje realnih števil je geometrijsko, če je kvocient med dvemazaporednima členoma konstanten.

an+1

an= q

Tu seveda predpostavljamo, da je a1 ̸= 0 in q ̸= 0.

S q označimo količnik oziroma kvocient dveh zaporednih členov zaporedja.

10

Če enakostia2a1

= q

a3a2

= q

· · · · · ·anan−1

= q

zmnožimo, dobimo, da je splošni člen geometrijskega zaporedja enak:

an = a1qn−1.

Naraščanje, oziroma padanje geometrijskega zaporedja je odvisno od količnika q(natančneje od tega, ali je

q > 1,

q = 1,

0 < q < 1,

−1 < q < 0,

q = −1,

q < −1)

in predznaka prvega člena a1. V nekaterih primerih ni niti naraščajoče niti padajoče.Če si pogledamo produkt treh zaporednih členov geometrijskega zaporedja,

an = a1qn−1

an−1 = a1qn−2

an+1 = a1qn,

ugotovimo, da je kvadrat vsakega člena an za n ≥ 2, geometrijskega zaporedja enakproduktu sosednjih dveh členov:

an−1an+1 = a21q2n−2 = a2n

a2n = an−1an+1.

Vsak člen an za n ≥ 2, geometrijskega zaporedja je enak geometrijski sredini sose-dnjih dveh členov, (v primeru, ko so členi zaporedja pozitivni). Od tod tudi ime zageometrijsko zaporedje.

11

Definicija 2.5. Zaporedje realnih števil (an)n∈N se imenuje Cauchyjevo, če se odnekega člena dalje vsaka dva razlikujeta za tako malo, kot želimo. Natančneje, čeza vsak ε > 0 obstaja tako naravno število n(ε), da velja

m,n > n(ε) ⇒ |am − an| < ε.

Primer 2.6. Zaporedje decimalnih približkov poljubnega realnega števila x je za-gotovo Cauchyjevo. Vzamemo ε = 10−r in podamo n(ε) = r. Potem se vsaka dvapribližka, ki sta podana na vsaj r decimalnih mest natančno, razlikujeta za manjkot 10−r.

Definicija 2.7. Limita nekega zaporedja (an)n∈N je tako realno število l, da so vvsaki njeni ε-okolici vsi členi zaporedja razen končno mnogih. Natančneje, za vsakε > 0 obstaja tak n(ε), da za vse n > n(ε) velja |an − l| < ε.

Definicija 2.8. Zaporedju, ki ima limito, rečemo konvergentno zaporedje. Limitozaporedja (an)n∈N označimo z:

limn→∞

an.

Za zaporedje (an)n∈N, ki ima limito l, rečemo tudi, da konvergira k l.

Izrek 2.9. Vsako konvergentno zaporedje je Cauchyjevo.

Dokaz. Naj bo (an)n∈N konvergentno zaporedje z limito l.Predpišemo ε > 0. Potem obstaja n( ε

2), da za vse n > n( ε

2) velja

|an − l| < ε

2.

Poglejmo si m,n > n( ε2). Potem je

|an − l| < ε

2in |am − l| < ε

2.

Sledi

|am − l| = |(am − l) + (l − an)| < |am − l|+ |an − l| < ε

2+

ε

2= ε.

Zaporedje je torej Cauchyjevo.

12

Za realna števila velja tudi obrat izreka 2.9, kar pomeni, da so konvergentnazaporedja natanko Cauchyjeva. To je pomembno za samo testiranje, ali dano zapo-redje konvergira ali ne, saj v Cauchyjevem testu samem limita ne nastopa. Če pase omejimo na, recimo, zgolj racionalna števila, obrat izreka 2.9 ne velja. Obsta-jajo namreč zaporedja racionalnih števil, ki konvergirajo k realnemu številu, ki niracionalno.

2.2 Vrste

Ohlapno rečeno je številska vrsta »neskončna vsota« realnih števil.

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . .+ an + · · ·

Ob tem se naravno zastavi vprašanje, ali taka neskončna vrsta sploh obstaja, sešte-jemo lahko namreč le končno mnogo členov. Če jo želimo sešteti, vzamemo zaporedjea1, a2, a3, . . . , an, . . . členov dane vrste in iz njega tvorimo zaporedje

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

. . . . . .

sn = a1 + a2 + . . .+ an

. . . . . . .

Zaporedju s1, s2, s3, . . . , sn, . . . pravimo zaporedje delnih vsot vrste∑∞

n=1 an.

Definicija 2.10. Če zaporedje delnih vsot (sn)n∈N, konvergira k limiti s, pravimo,da vrsta

∑∞n=1 an konvergira. Vsoto vrste definiramo kot limito zaporedja delnih

vsot:∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · = s.

Primer 2.11. Vrstaa+ aq + aq2 + aq3 + · · · ,

13

se imenuje geometrijska vrsta, ker njeni členi tvorijo geometrijsko zaporedje, če se-veda predpostavljamo, da je a ̸= 0 in q ̸= 0. Če je kvocient q ̸= 1, lahko zapišemon-to delno vsoto:

sn = a+ aq + aq2 + aq3 + . . .+ aqn−1

= a(1 + q + q2 + . . .+ qn−1)

= a1− qn

1− q.

• Za |q| < 1, je limn→∞ sn = 11−q

in zato

a+ aq + aq2 + · · · = a

1− q.

• Za |q| > 1, zaporedje qn ne konvergira, torej vrsta a+aq+aq2+ · · · divergira.

• Za q = 1 ali q = −1 pa vrsta a+ aq + aq2 + · · · divergira.

Primer 2.12. Poglejmo si vsoto vrste

∞∑n=1

1

n(n+ 1).

Produkt 1k(k+1)

lahko razdelimo na parcialna ulomka:

1

k(k + 1)=

(k + 1)− k

k(k + 1)=

1

k− 1

k + 1.

Za n-to delno vsoto velja:

sn =1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ . . .+

1

(n− 1)n+

1

n(n+ 1)

= 1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− . . .+

1

n− 1− 1

n+

1

n− 1

n+ 1

= 1− 1

n+ 1.

Vidimo, da jelimn→∞

sn = 1.

Torej vrsta konvergira proti 1 in tudi vsota te vrste je enaka 1.

14

Računanje vsot ni lahko, včasih jo je nemogoče določiti, ker ne znamo eksplicitnoizračunati splošnega člena zaporedja delnih vsot. Včasih je dovolj zgolj vedeti, alivsota sploh obstaja, ne da bi poznali njeno vrednost. Tu nam lahko pomaga dejstvo,da je zaporedje konvergentno natanko takrat, ko je Cauchyjevo, kar lahko prenesemona test za konvergenco vrste.

Poglejmo si torej, kdaj je vrsta konvergentna po Cauchyevem kriteriju.

Izrek 2.13 (Cauchyjev kriterij). Vrsta realnih števil

a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak + · · ·

je konvergentna natanko takrat, ko za vsak ε > 0 obstaja tako naravno število n(ε),da za vsak m > n(ε) in za vsako naravno število p velja:

|am+1 + · · ·+ am+p| < ε.

Dokaz. Zaporedje delnih vsot (sn)n∈N, je konvergentno, natanko takrat, ko je Ca-uchyjevo. To je, ko za vsak ε > 0 obstaja tak n(ε), da za m > n(ε) in p ∈ Nvelja

|sm+p − sm| < ε.

Iz enakostism+p − sm = am+1 + · · ·+ am+p

neposredno sledi trditev izreka.

Posledica 2.14. Če je vrsta∑∞

k=1 ak konvergentna, velja

limk→∞

ak = 0.

Dokaz. Dokaz sledi neposredno iz prejšnjega izreka. Za vsak ε > 0 obstaja takonaravno število n(ε) da za vse m in p = 1 velja

|am+1| < ε.

Torej zaporedje (an)n∈N res konvergira k 0.

15

Vrsta, katere členi ne konvergirajo k 0, divergira. Seveda pa konvergenca členovvrste k 0 še ni zadostni pogoj za konvergenco vrste.

Konvergenco vrst ugotavljamo s pomočjo kriterijev za ugotavljanje konvergentnosti.Eden pomembnejših je primerjalni kriterij, ki ga bomo rabili pozneje v poglavju3.3.1, pri Oresmejevem dokazu divergence harmonične vrste. Primerjalni kriterijponavadi uporabljamo takrat, ko neko vrsto primerjamo z že znano vrsto.

Izrek 2.15 (Primerjalni kriterij). Naj bo

c1 + c2 + c3 + · · ·

konvergentna vrsta z nenegativnimi členi. Če so členi vrste

a1 + a2 + a3 + · · ·

taki, da za vsak k ∈ N velja|ak| ≤ ck,

je tudi vrsta∑∞

k=1 ak konvergentna.

Dokaz. Ker je vrsta∑

ck konvergentna, obstaja za vsak ε > 0 tako naravno številon(ε), da za katerikoli n > n(ε) in za vsako naravno število p velja

cn+1 + · · ·+ cn+p < ε.

Za take n in za vse p je torej

|an+1 + · · ·+ an+p| ≤ |an+1|+ · · ·+ |an+p| ≤

≤ cn+1 + · · ·+ cn+p < ε.

Vrsta∑

ak je po Cauchyjevem izreku konvergentna.

Omenimo tudi naslednje: ni potrebno zahtevati, da za vse člene vrste∑

ak velja|ak| < ck; dovolj je, da to velja za vse člene od nekega člena naprej.

16

Poglavje 3

Zaporedja skozi zgodovino

3.1 Egipt in Mezopotamija

Zgodovinski začetki zaporedij segajo v čas starih Egipčanov in Babiloncev, ko so seob bregovih velikih rek, Nila, Evfrata in Tigrisa, razvile novejše in bolj napredneoblike družbe, ki so se načrtno ukvarjale s pridelovanjem hrane, gradnjo nasipov,jezov in namakalnih sistemov ter razvile dokaj izpopolnjeno intenzivno kmetijstvo.Tak način življenja je zahteval administracijo vseh vrst, od pobiranja davkov in de-litve hrane, do merjenja parcel in zapisovanja koledarja. Za vse to pa so potrebovalidobro razvito aritmetiko, geometrijo ter astronomijo in seveda, v prvi vrsti, pisavooziroma znake s katerimi so zapisovali števila in besede.

Lahko bi rekli, da so se prva zaporedja pojavila že z začetkom uporabe prvih številoziroma z uvedbo prvih številskih sistemov - saj že množici naravnih ali pa racional-nih števil predstavljata zaporedji. Vendar je v času začetkov uporabe prvih števil šenesmiselno govoriti o kakršnihkoli zaporedjih - saj je bilo prvo štetje, v času še prednastankom velikih civilizacij, zelo omejeno in je le počasi prihajalo v rabo. Poznaliso le izraze za eden, dva in mnogo ter jih uporabljali predvsem za potrebe takratneobrti in trgovine, ki je temeljila na lončarstvu, tesarstvu in tkalstvu in ni zahtevalaveliko matematične spretnosti. Tako se je tudi pojem števila razvijal zelo počasi.Poleg tega pa tudi nimamo zanesljivejših zgodovinskih virov, iz časov pred Egipčaniin Babilonci, ki bi pričali o naprednejšem razvoju aritmetike in matematike. Zato

17

lahko začetke aritmetike pripišemo šele Egipčanom in Babiloncem, ki so po priča-njih zgodovinskih virov prvi, ki so uporabljali številske sisteme, s katerimi se je dalozapisati veliko večja, v babilonskem šestdesetiškem sistemu, celo zelo velika števila.

Na tem mestu povejmo tudi to, da ko bomo v nadaljevanju govorili o Babiloncih,bomo govorili o različnih narodih, ki so v starem veku naseljevali ozemlje Mezopo-tamije oz. njeno osrednje mesto Babilon.

Slika 3.1: Mezopotamija

Če naštejemo nekatere izmed njih, so to bili Sumerci, Akadijci, Elamiti, Amoriti,Kasiti, Hetiti, Asirci, Aramejci, Medijci in drugi narodi, ki so nam svoja odkritjazapustili na glinastih tablicah [6].

Iz časov starega Egipta in Mezopotamije imamo nekoliko več zgodovinskih virov:na primer najstarejše egipčanske hieroglife s števili, ki izhajajo iz leta 3100 pr.n.št.ter Rhindov in Moskovski papirus. Prvi je iz leta 1650 pr.n.št in vsebuje prepis 200let starejšega teksta. Predstavlja učbenik iz aritmetike in geometrije s 85 problemi.Drugi pa je iz leta 1850 pr.n.št in vsebuje 25 problemov. Ker so Egipčani svoje zapi-ske pisali na papirus, se ti zaradi poplavljajočega Nila večinoma niso ohranili, razentistih, ki so bili shranjeni v suhih puščavskih predelih. Ohranilo pa se je veliko večbabilonskih matematičnih zapisov, ki so bili zapisani na skoraj neuničljive glinaste

18

tablice. Teh so do polovice 19. stoletja odkopali okrog pol milijona, med njimi pa jihokrog 300 vsebuje matematične tabele in zbirke matematičnih problemov. Najboljznani sta: tablica YBC 7289, ki je nastala v obdobju od 1800 do 1600 pr.n.št. inpredstavlja kvadrat z obema diagonalama ter zelo natančno vrednost kvadratnegakorena iz 2. Zapis je seveda v šestdesetiškem sistemu, rezultat pa podaja rešitev napresenetljivih pet decimalk natančno. To tablico si bomo kasneje podrobneje ogle-dali in poskusili razložiti, na kakšen način so Babilonci prišli do takšnega rezultata.Znana je tudi tablica Plimpton 322, ki vsebuje 15 vrstic klinopisno zapisanih številv šestdesetiškem številskem sistemu, ki predstavljajo seznam pitagorejskih trojic.

Slika 3.2: Tablica Plimpton 322

19

3.1.1 Stari Egipčani

Če se vrnemo na egipčansko matematiko, lahko pripomnimo, da je večina matema-tičnih primerov bila zelo preprostih, podanih le z napotki: »Naredi tako in tako,dobiš to.« Največkrat so obsegali enačbe z eno neznanko. Tudi dokazovali niso ni-česar. Zato ne vemo natančno, kako so dobili svoje rezultate in vsi današnji poskusirazlage so še vedno le domneve. Uporabljali so desetiški številski sistem. Števila od1 do 9 so zapisovali z večkratnim ponavljanjem znaka za število 1. Vsako potencoštevila 10 pa so zapisali z novim znakom. Posamezna števila so predstavljali na-slednji znaki: število 1 navpična črta, število 10 volovski jarem, število 100 zvitek,število 1000 lotosov cvet, število 1000 človeški prst, število 100000 žabji paglavec aližaba in število 1000000 človek ali neko božanstvo [6].1 = |, 10 = 2, 100 = 3, 1 000 = 4, 10 000 = 5, 100 000 = 6, 1 000 000 = 7.

Teh znakov je bilo le 7, zato je največje število, ki se ga da zapisati z egipčanskimištevili, število 9 999 999. To je tudi pomanjkljivost egipčanskega zapisa števil. Zazapis večjih števil bi morali vpeljati nove znake za višje potence števila 10.

Značilno za Egipčane pa je tudi računanje s tako imenovanimi egipčanskimi ulomki.To pomeni, da so vse ulomke izrazili kot vsoto ulomkov s števcem 1. Npr. 2/9 =

1/6 + 1/18 ali 2/9 = 1/5 + 1/45. Edina izjema je bil ulomek 2/3, za katerega jeobstajal poseben znak. Računanje z egipčanskimi ulomki ni bilo ravno enostavno,zato so si pri tem pomagali s tabelami, ki so podajale razcep ulomkov oblike 2/n.V Rhindovem papirusu najdemo tabelo razvojev ulomkov oblike 2/n za lihe n vvsoto egipčanskih ulomkov. Tak način računanja z ulomki in zapisovanja števil pavsekakor ni bil primeren za nadaljnji razvoj matematike. Kljub vsemu pa je tovrstnatehnika zahtevala nekaj matematične spretnosti.

Bolj teoretično zanimivi so bili problemi z aritmetičnim zaporedjem. Na primerproblem, kako razdeliti 100 štruc med 5 mož tako, da bodo deleži, ki jih bododobili, v aritmetičnem zaporedju in da bo 1/7 vsote največjih treh deležev enakavsoti najmanjših dveh. Najdemo celo geometrično zaporedje v nalogi o 7 hišah, vvsaki od teh je 7 mačk, vsaka preži na 7 miši itd., kar kaže, da so poznali formuloza vsoto geometričnega zaporedja [7].

20

3.1.2 Stari Babilonci

Glede na zgodovinske vire, kaže, da je bila babilonska matematika na veliko višjiravni kot egipčanska. Že najstarejši teksti s tega območja, iz okoli leta 2100 pr.n.št.,kažejo visoko računsko tehniko. Za razliko od Egipčanov so Babilonci uporabljališestdesetiški številski sistem in števila zapisovali z mestnimi vrednostmi. Za zapisštevil od 1 do 9 so podobno ko Egipčani uporabljali večkratni zapis števila 1. Znakza število 1 po Babilonsko pa je izgledal tako: 𒁹 in števila od 1 do 9 so zapisalina naslednji način:

𒁹 𒈫 𒐈 𒃻 𒐊 𒐋 𒐌 𒐍 𒐎.

Za večkratnike števila 10 so uporabljali večkratni zapis znaka za število 10, ki jeimel obliko: 𒌋. Ostale desetiške večkratnike pa so zapisovali tako:

𒌋 𒌋𒌋 𒌍 𒐏 𒐐.

Preostala števila so zapisali z združitvijo desetic in enic ter dobljeno kombinacijoznakov obravnavali kot en znak. Število 46 = 40 + 6 so na primer dobili tako:

𒐏 + 𒐋 → 𒐏𒐋.

Kot smo že prej omenili, so Babilonci uporabljali zapis z mestnimi vrednostmi, karpomeni, da so namesto da bi, kot Egipčani, označili vsako višjo enoto z novim sim-bolom, uporabili isti simbol in njegovo vrednost nakazali s položajem tega simbola.Na primer babilonski zapis števila 1, ki mu je sledila druga 1, to je, 11 je pomenil1 · 60 + 1 = 61. In zapis števila 563 je pomenil 5 · 602 + 6 · 60 + 3 = 18363. Kotvidimo, to pomeni, da je zapis poljubnega števila v šestdesetiškem sistemu pomenil:

a = an · 60n + · · ·+ a1 · 60 + a0 + a−1 · 60−1 + a−2 · 60−2 + · · · .

Ta sistem se ni bistveno razlikoval od našega mestnega zapisa v desetiškem sistemu,kjer zapis 375 pomeni 3·102+7·10+5. Tak sistem ima bistveno prednost pri množenju

21

in računanju z ulomki ter računanju nasploh. Vendar so Babilonci pri zapisu mestnihvrednosti vseeno imeli težavo, ker niso uporabljali simbola za število nič. Namestoničle so ponavadi pustili kar prazen prostor, kar je vodilo do nesporazumov. Tako jezapis 1 1 lahko pomenil tudi 1 · 602 + 1 = 361. Naslednja pomanjkljivost pa je bila,da niso uporabljali oznake, ki bi bila enakovredna naši decimalni vejici. Kar pomeni,da se ni natančno vedelo, ali zapis 363 morda pomeni tudi 5 · 60 + 6 · 1 + 3 · 60−1 =

306 + 120

. Zato je natančno razlago bilo potrebno določiti iz konteksta. Kakorkoliže, šestdesetiški sistem in sistem mestnih vrednosti sta se ohranila vse do danes, sajprvega uporabljamo pri merjenju časa in kotov, drugega pa pri današnjem načinuzapisa števil.

Zgolj kot zanimivost in za lažje razumevanje naslednjega poglavja, navajam babi-lonska števila do 59.

1 𒁹

2 𒈫

3 𒐈

4 𒃻

5 𒐊

6 𒐋

7 𒐌

8 𒐍

9 𒐎

10 𒌋

11 𒌋𒁹

12 𒌋𒈫

13 𒌋𒐈

14 𒌋𒃻

15 𒌋𒐊

16 𒌋𒐋

17 𒌋𒐌

18 𒌋𒐍

19 𒌋𒐎

20 𒌋𒌋

21 𒌋𒌋𒁹

22 𒌋𒌋𒈫

23 𒌋𒌋𒐈

24 𒌋𒌋𒃻

25 𒌋𒌋𒐊

26 𒌋𒌋𒐋

27 𒌋𒌋𒐌

28 𒌋𒌋𒐍

29 𒌋𒌋𒐎

30 𒌍

31 𒌍𒁹

32 𒌍𒈫

33 𒌍𒐈

34 𒌍𒃻

35 𒌍𒐊

36 𒌍𒐋

37 𒌍𒐌

38 𒌍𒐍

39 𒌍𒐎

40 𒐏

41 𒐏𒁹

42 𒐏𒈫

43 𒐏𒐈

44 𒐏𒃻

45 𒐏𒐊

46 𒐏𒐋

47 𒐏𒐌

48 𒐏𒐍

49 𒐏𒐎

50 𒐐

51 𒐐𒁹

52 𒐐𒈫

53 𒐐𒐈

54 𒐐𒃻

55 𒐐𒐊

56 𒐐𒐋

57 𒐐𒐌

58 𒐐𒐍

59 𒐐𒐎

Slika 3.3: Babilonska števila do 59

Poglavje je povzeto po: [6], [7] in [8].

22

3.1.3 Babilonski približek za√2

Slika 3.4: Tablica YBC 7289

Iz tablice YBC 7289 (slika 3.4) je razvidno, da so Babilonci že okrog leta 1600pr.n.št. poznali zelo dober približek za

√2. Na tablici je narisan kvadrat z obema

diagonalama. Na eni stranici je oznaka 𒌍 kar je Babilonski zapis za število30. To je dolžina stranice kvadrata v nekih enotah. Na diagonali najdemo zapis𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋 , kar v babilonskem šestdesetiškem sistemu predstavlja zelo

natančen približek za√2. In pod diagonalo je zapis 𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊 , ki

predstavlja približek za dolžino diagonale kvadrata s stranico 30 enot. Poglejmo sisedaj zapis teh treh števil v našem desetiškem sistemu. Povejmo še, da bo vejicamed seboj ločevala posamezne številke, podpičje pa celi del števila od njegovegapreostanka, tako kot vejica v današnjem decimalnem zapisu.

𒌍 = 30

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋 = 1; 24, 51, 10 = 1 +24

60+

51

602+

10

603=

30547

21600.= 1, 41421296

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊 = 42; 25, 35 = 42 +25

60+

35

602=

30547

720.= 42, 4263889

Zveza med temi tremi števili je dokaj preprosta. Tretje izmed števil je produkt prvih

23

dveh. Torej predstavljajo zvezo med diagonalo in stranico kvadrata

d = a ·√2.

Nas bo zanimalo predvsem drugo število, torej babilonski približek za√2, ki se

kar na petih decimalnih mestih za decimalno vejico ujema z današnjim približkom.Poglejmo:

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋 .= 1, 41421296

√2

.= 1, 41421356.

Zato bomo poskušali pokazati, na kak način so Babilonci prišli do tako natančnegapribližka za število

√2. O tem obstaja več teorij, vendar si bomo mi pogledali tisto,

ki pripelje do tako natančnega rezultata na zgornji tablici.

Po mnenju Otta Neugebauerja, ki velja za enega najboljših poznavalcev babilon-ske matematike, so Babilonci koren poljubnega pozitivnega števila A računali poiterativni metodi, kjer so najprej približno ocenili vrednost

√A in to vzeli za prvi

približek x1, nato pa po rekurzivni formuli

xn+1 =1

2

(xn +

A

xn

)n = 1, 2, 3, . . . ,

računali vedno boljše približke za√A.

Do rekurzivne formule so prišli s sklepanjem:

če je x1 =√A, je A/x1 = x1,

če je x1 <√A, je A/x1 > x1,

če je x1 >√A, je A/x1 < x1.

Naslednji približek x2 je nekje med x1 in A/x1. Izračunamo kar njuno aritmetičnosredino in tako dobimo nov približek

x2 =1

2

(x1 +

A

x1

).

Nato postopek ponovimo s približkom x2, da dobimo približek x3, in to ponavljamotako dolgo, dokler ne dobimo poljubno natančnega rezultata.

24

Sedaj si poglejmo konkreten primer za izračun približka za√2. Recimo, da so

Babilonci ocenili, da je√2 enak približno 11

2in so to vzeli za x1. Nato pa so po

zgornji rekurzivni formuli računali naslednje približke. Torej:

x1 =3

2= 1; 30, xn+1 =

1

2

(xn +

A

xn

)

x2 =1

2

(x1 +

2

x1

)=

1

2

(3

2+

4

3

)=

17

12= 1; 25

x3 =1

2

(x2 +

2

x2

)=

1

2

(17

12+

24

17

)=

577

408= 1; 24, 51, 10.

Tretji približek pa je že kar znameniti približek s tablice YBC 7289. Z opisanimpostopkom bi babilonski matematiki lahko še nadaljevali, vendar jim je izračunanipribližek za njihove potrebe verjetno povsem zadostoval.

V knjigah zgodovine matematike najdemo tudi domnevo, da so nekatere kvadratnekorene računali tudi z aproksimativno formulo:

(a2 + h)1/2 ≈ a+ 2/a,

vendar po tej poti zagotovo niso dobili tako natančnega rezultata, ki je zapisan natablici YBC 7289.

Razdelek je povzet po: [9] in [8].

25

3.2 Grčija

V zadnjem stoletju drugega tisočletja pred našim štetjem so se v vzhodnem Medite-ranu zgodile velike ekonomske in politične spremembe. Bronasto dobo je nadome-stila železna. S tem pa ni prišlo samo do sprememb v vojskovanju, ampak tudi pripocenitvi orodja in vpeljavi kovanega denarja, ki je spodbudil trgovanje in omogočilvečjo udeležbo navadnih ljudi pri ekonomskih in javnih poslih. Ena izmed novostiv tem obdobju je bila tudi zamenjava babilonske pisave z lahko abecedo. Števila soprav tako zapisovali s črkami. Za razločevanje števil od črk so uporabljali črtico (’)za številom zgoraj, za števila do 999, in črtico (,) pred številom spodaj, za številaod 1 000 naprej [8].

Slika 3.5: Grške številke (vir [8])

Moč Egipta in Mezopotamije se je takrat zelo zmanjšala in v zgodovino so prišla novaljudstva, kot so Hebrejci, Asirci, Feničani in Grki. Rodila se je popolnoma nova vrstacivilizacije, civilizacija Grčije. Zaradi novih geografskih odkritij in širjenja trgovineso mesta ob Sredozemlju, v Mali Aziji, Grčiji in južni Italiji postajala vse bogatejšain pomembnejša. V Grčiji sta to bila Korint in Atene, ob Italijanski obali Krotonin Tarent ter na Siciliji Sirakuze. Dolgo pa je imelo vodilno vlogo mesto Milet, kiga poznamo predvsem po tradicionalnem očetu grške matematike Talesu iz Mileta(∼ 624 − 546 pr.n.št.), ki je v prvi polovici 6. stoletja pred našim štetjem obiskalBabilon in Egipt. Tales je bil miletski trgovec, filozof, matematik in astronom terhkrati prvi, ki je svoje življenje posvetil študiju matematike [6].

26

V tem času se je v duhu racionalizma razvila moderna matematika, ki je poleg, sta-roegipčanskih in babilonskih odgovorov, na vprašanja »kako?«, prvič začela podajatitudi odgovore na moderno, znanstveno vprašanje »zakaj?«. Pojavili so se namrečprvi dokazi in takšen pristop je dvignil matematiko na bistveno višjo raven. Žalnimamo veliko matematičnih zgodovinskih virov, ki bi pričali o zgodnjem razvojugrške matematike in smo odvisni le od majhnih odlomkov, ki so nam jih posredovalikasnejši matematiki. V večji meri pa so obnovljeni teksti iz 4. stoletja pr.n.št. inpozneje. Tako imamo dober pregled del Evklida, Arhimeda in Apolonija, ki so polegdrugih bili največji antični matematiki.

Pomembno vlogo v grški matematiki so imeli tudi pitagorejci. To o bili študentjepitagorejske šole, ki jo je ustanovil znameniti grški matematik Pitagora. Gojili sovero v moč števil in njihove znanosti so bile predvsem aritmetika, geometrija, glasbater astronomija. Najpomembnejše odkritje pitagorejcev je odkritje iracionalnosti napodlagi nesoizmerljivosti daljic. To odkritje je bilo verjetno posledica zanimanja zageometrijsko sredino a : b = b : c. Geometrijska sredina od 1 in 2, dveh svetihsimbolov, je vodila k proučevanju razmerja med stranico in diagonalo kvadrata. Topa jih je pripeljalo do spoznanja, da se tega razmerja ne da izraziti s »števili«, kiso jih priznavali kot taka, to je s tem, čemur danes pravimo racionalna števila (celaštevila in ulomki). Odkritje iracionalnosti je povzročilo prvo veliko krizo v zgodo-vini matematike, nastopila pa je hkrati z drugo težavo, ki je nastala iz filozofskihrazpravljanj o realnosti spremembe in osnovah tedanjega dojemanja sveta. To je bilpojem neskončnosti. To težavo pripisujemo grškemu filozofu Zenonu iz Eleje (okolileta 450 pr.n.št.), ki je formuliral štiri znane paradokse: Dihotomijo, Ahila in želvo,Puščico in Stadion, ki so temeljili na problemu neskončnosti in so metali dvom nanjihova tedanja pojmovanja neskončno majhnih in neskončno velikih količin. Grki sonamreč verjeli, da je neskončna vsota pozitivnih količin neskončno velika [6]. Zatojim je bilo nepojmljivo, da bi vsota neskončno mnogo členov dajala neko končnovrednost, ali pa, da bi neko izmerljivo razdaljo lahko razdelili na neskončno mnogointervalov. Zenonovi paradoksi so logično zavračali njihovo tedanjo teorijo in sozanimiv predmet razprav še danes. Mi si bomo v nadaljevanju natančneje ogledaliproblem Ahila in želve ter poskušali razrešiti ta paradoks.

Kot zanimivost omenimo še Evdoksa iz Kinda, učenca Platona, čigar ime je povezanos teorijo razmerij, ki jo je Evklid podal v svoji peti knjigi, in tudi s tako imenovano

27

»ekshavcijsko« metodo ali metodo izčrpavanja, ki je omogočila strogo obravnavanjeračunanja površin in prostornin. Zato lahko rečemo, da je bil Evdoks tisti, ki je rešil»krizo« v grški matematiki in čigar stroge formulacije so pomagale določiti smer-nice grške aksiomatike in do precejšnje mere cele grške matematike. [7] Evdoksovateorija razmerij temelji na tem, da je vsaka količina določena, če poznamo njenopozicijo med količinami. To je zelo moderno gledanje (iracionalna števila poznamov kolikor poznamo vsa manjša in vsa večja racionalna števila.) Kar je tudi osnovaza moderno teorijo realnih števil. Evdoksova metoda izčrpavanja pa temelji na tem,da ploščino poljubnega lika ali prostornino poljubnega telesa določimo z aproksi-macijami. Krog na primer aproksimiramo z včrtanimi ali očrtanimi večkotniki. Toje kasneje uporabljal in izpopolnil Arhimed. Če od neke količine odštejemo vsajpol, od ostanka vsaj pol itd., lahko dosežemo, da je po določenem številu korakovostanek poljubno majhen. Manjši od vsake vnaprej predpisane količine [6]. Podobnotemu so pozneje uvedli pojem »geometrijskega atoma«. Domnevali so, da so daljica,ploščina ali prostornina zgrajene iz končnega števila nedeljivih »atomov«. Kar celodanes uporabljamo v matematičnih problemih v teoriji elastičnosti, fiziki ali kemiji.

Poglavje je povzeto po: [7], [6] in [8].

28

3.2.1 Zenonov paradoks: Ahil in želva

V tem razdelku si bomo podrobneje pogledali znan Zenonov paradoks, ki temelji naproblemu neskončnosti.

Ahil in želva se gibljeta v isti smeri po ravni črti. Ahil je hitrejši od želve, zato ji dadoločeno prednost. Da bi Ahil dohitel želvo, mora najprej mimo točke A, s katereje začela teči želva. Ko pride do točke A, je želva že napredovala do točke A1. Ahilželve ne more dohiteti, dokler ne pride do točke A1, a tedaj je želva prišla že do novetočke A2. Ko pride Ahil do A2, je želva že pri A3. In tako se ti koraki nadaljujejo vneskončnost. Tako Ahil ne more želve nikoli dohiteti, saj je pri vsaki novi točki, kijo doseže, želva še vedno korak pred njim. Čeprav je želvina prednost vedno manjša,se ne bo nikoli izničila.

Slika 3.6: Ahil in želva

Tu gre za neskončno korakov, ki se izvršijo v končnem času. Zaradi lažjega raču-nanja privzemimo, da je Ahil dvakrat hitrejši od želve, ki ima pred njim določenoprednost. Ko pride Ahil do mesta, kjer je začela teči želva, je ta že pol poti naprejitd. Vprašanje pa je, ali Ahil želvo sploh kdaj ujame? [6]

Poglejmo si sedaj rešitev te naloge. Če posamezne korake zapišemo v neskončno

29

vsoto, dobimo neskončno geometrijsko vrsto:

∞∑n=0

(12

)n= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · ·

Zanima pa nas: ali je vsota te vrste končna? Vsoto neskončne vrste, v primeru, koje −1 < q < 1, izračunamo po formuli za vsoto neskončne geometrijske vrste.Ker je

q =an+1

an=

1412

=1

2

inlim |an+1

an| = 1

2< 1

vrsta konvergira. Njeno vsoto izračunamo po znani formuli:

∞∑n=0

(12

)n=

a11− q

=1

1− 12

=112

= 2.

Torej je vsota neskončne vrste∑∞

n=0

(12

)n enaka 2 in tam Ahil želvo ujame.

Poglejmo si še grafični prikaz razdalje v primerjavi s časom.

t

y

a

Slika 3.7: Razdalja v primerjavi s časom med Ahilom in želvo

30

Odebeljena premica na grafu predstavlja Ahila, tanka pa želvo. Njuno presečišče jelimitna točka v kateri Ahil želvo ujame. Sedaj izračunajmo to presečišče. Označimopot Ahila z yA in pot želve z yZ . Ker je Ahil dvakrat hitrejši od želve, je naklonAhilove premice KA = 2 in želvine KZ = 1. Torej, če hitrost želve označimo s k, jeKA = 2Kz = 2k. Zanima pa nas čas t. Zapišemo:

yZ = kt+ a

yA = 2kt

Iz pogoja yZ = yA sledi

kt+ a = 2kt

a = kt

t =a

k

Če privzamemo, da je a razdalja recimo enega metra, torej a = 1 dobimo:

t =a

k=

1

1= 1

ter yA = 2kt = 2 · 1 · 1 = 2

yZ = kt+ a = 1 · 1 + 1 = 2

Kar pomeni, da Ahil želvo dohiti na razdalji y = 2, kjer jo tudi ujame. Enak rezultatsmo dobili pri prejšnjem izračunu vsote neskončne geometrijske vrste.

31

3.3 Srednji vek

Obdobje srednjega veka se je pričelo leta 476 z razpadom Zahodnega rimskega ce-sarstva in končalo leta 1492 z odkritjem Amerike. Tisočletno obdobje velja za enotemačnejših obdobij, kjer so poleg stoletne vojne in črne smrti (kuge), ki je zmanj-šala evropsko prebivalstvo za skoraj tretjino [6], nasploh vse stvari nazadovale, mednjimi tudi matematika.

Omenimo lahko enega najbolj nadarjenih matematikov tega časa Leonarda Fibonac-cija iz Pise (1170-1250), čigar znamenito zaporedje, ki ga je uporabil za računanjepopulacije zajcev, smo že omenili. Fibonacci je bil sin mestnega pisarja in bogategatrgovca, ter po nekaterih poročilih konzul Pize. Bil je trgovec in veliko je potovalpo Italiji. To mu je omogočilo, da se je naučil toliko matematike, ki mu je kot tr-govcu in pisarju zelo koristila. Svoja matematična spoznanja je leta 1202 opisal vknjigi Liber abbaci, ki je bila posvečena aritmetiki in algebri ter je več stoletij dobroslužila študentom matematike. V 13. stoletju se drugi matematiki v primerjavi sFibonaccijem zdijo le njegove blede sence [6].

Šele po stotih letih se je v Normandiji rodil največji matematik 14. stoletja. To je bilfrancoski matematik, astronom, filozof in teolog Nicole Oresme (1323-1382). Leta1348 je končal študij teologije v Parizu in na svoja stara leta postal škof. Napisalje pet matematičnih del in prevedel Aristotela. Bil je prvi, ki je uvedel potences pozitivnimi eksponenti in govoril o lomljenih eksponentih. Ukvarjal se je tudi zneskončnimi vrstami. Najbolj znan je njegov dokaz za divergenco harmonične vrste,ki temelji na združevanju 2n zaporednih členov [6]. Dokaz, ki ga najdemo tudi vdanašnjih učbenikih si bomo ogledali v naslednjem poglavju.

Razdelek je povzet po: [15], [13] in [6].

32

3.3.1 Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste

Nicole Oresme je v 14. stoletju v eni izmed svoji razprav podal dokaz o divergenciharmonične vrste. Ta dokaz predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike.Kasneje so podobne dokaze podali tudi Pietro Mengoli, Johann in Jakob Bernoulliv 17. stoletju.

Najprej si na primeru poglejmo, kaj je to harmonična vrsta, nato pa kot dokaz njenedivergence uporabimo Oresmejev dokaz in razložimo njegovo bistvo.

Definicija 3.1. Vrsta

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · =

∞∑n=1

1

n

se imenuje harmonična vrsta, ker njeni členi tvorijo harmonično zaporedje.Vsak člen vrste, od drugega naprej, je harmonična sredina sosednjih dveh [10].Poglejmo:

1

2=

2

1 + 113

,1

3=

2112

+ 114

,1

4=

2113

+ 115

, · · · ,1

an=

211

an−1

+ 11

an+1

.

Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi se imenuje harmonično zaporedje. Vrstapa divergira, sicer počasi, k ∞. Oglejmo si, kako je to dokazal Oresme.

Oresmejev dokaz. Vzamemo harmonično vrsto:

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8+

1

9+ · · ·

in jo primerjamo z vrsto S, ki jo tvorimo na naslednji način:

∞∑n=1

1

n= 1 +

[1

2

]+

[1

3+

1

4

]+

[1

5+

1

6+

1

7+

1

8

]+

[1

9+ · · ·

]+ · · ·

S = 1 +

[1

2

]+

[1

4+

1

4

]+

[1

8+

1

8+

1

8+

1

8

]+

[1

16+ · · ·

]+ · · ·

= 1 +

[1

2

]+

[1

2

]+

[1

2

]+

[1

2

]+ · · ·

33

Členi v vrsti S so konstantni. Vrsta z neničelnimi, konstantnimi členi pa divergira.Ker je harmonična vrsta

∑∞n=1

1

nnad vrsto S, to je,

∑∞n=1

1

n> S > 0, potem tudi

vrsta∑∞

n=1

1

ndivergira.

Ponavadi ta dokaz pišemo v obliki:

1

m+ 1+

1

m+ 2+ · · ·+ 1

m+m> m

1

2m=

1

2,

kar pomeni1

3+

1

4>

1

2, 2 člena

1

5+

1

6+

1

7+

1

8>

1

2, 4 členi

1

9+

1

10+ . . .+

1

16>

1

2, 8 členov

. . .

1

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

2k>

1

2, 2k−1 členov.

Iz tega sledi, da delne vsote harmonične vrste niso navzgor omejene. Vrsta torejdivergira.

34

Poglavje 4

Moderni pristop

4.1 Metrični prostori

Metrični prostor je v matematiki množica (ali »prostor«), v kateri je določena me-trika - to je razdalja med njenimi elementi. Metrični prostor, ki je najbolj podobennašemu intuitivnemu razumevanju stvarnosti, je 3-razsežni evklidski prostor. Ev-klidska metrika tega prostora določa razdaljo med dvema točkama kot »običajno«dolžino daljice, ki ju povezuje [12].

Geometrija prostora je odvisna od izbrane metrike. Z izbiro različnih metrik selahko konstruira zanimive neevklidske geometrije, ki se uporabljajo v splošni teorijirelativnosti [12].

Definicija 4.1. Naj bo M poljubna neprazna množica. Metrika na M je taka realnafunkcija d : M ×M −→ R, za katero velja:

1. d(x, y) ≥ 0 za poljubna x, y ∈ M in d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y;

2. d(x, y) = d(y, x) za poljubna x, y ∈ M ;

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) za poljubne x, y, z ∈ M.

Neprazno množico M skupaj z metriko d imenujemo metrični prostor (M,d).

Prva lastnost reče, da je razdalja nenegativna in strogo definitna, druga, da je si-metrična in tretja lastnost je trikotniška neenakost. Ta pove, da je dolžina ene

35

stranice trikotnika (razdalja med dvema točkama) manjša ali enaka vsoti drugihdveh stranic.

Primer 4.2. Par (R, d), kjer je

d(x, y) = |x− y|

za poljubna x, y ∈ R, je metrični prostor. Tej metriki d rečemo evklidska metrika vR.

Primer 4.3. Par (Rn, d), kjer je

d((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2

za poljubna (x1, · · · , xn) in (y1, · · · , yn) v Rn, je metrični prostor. Tej metriki rečemoevklidska metrika v Rn.

V prvem poglavju smo zaporedje že definirali, kot funkcijo na množici naravnihštevil, z vrednostmi v množici M , to je a : N → M .

Definicija konvergentnega zaporedja v M , oziroma limite, je skoraj prav taka, kotsmo jo povedali v prvem poglavju.

Definicija 4.4. Naj bo (an)n∈N zaporedje točk metričnega prostora M . To zaporedjekonvergira k točki A ∈ M , če za vsako pozitivno število ε obstaja tak n(ε) ∈ N, daza vsako naravno število n ≥ n(ε) velja d(A, an) < ε. Zaporedje, ki konvergira hkaki točki, je konvergentno. Če (an)n∈N konvergira k A, pravimo tudi, da je A limitazaporedja (an)n∈N in zapišemo A = limn→∞ an.

Pogoj, da je d(A, xn) < ε, lahko povemo tudi takole. Označimo z

K(A, ε) = {x ∈ M | d(x,A) < ε}.

To je množica tistih točk iz M, ki so od točke A v metriki d na razdalji, ki je manjšaod ε. Tej množici rečemo odprta krogla s središčem A in polmerom ε.

36

4.1.1 Poln metrični prostor

Definicija 4.5. Zaporedje an : N −→ M v metričnem prostoru (M,d) je Cauchy-jevo, če za vsak ε > 0 obstaja tako naravno število n(ε), da za vsaka m,n ∈ N veljaimplikacija

m,n > n(ε) ⇒ d(am, an) < ε.

Definicija 4.6. Metrični prostor je poln, če je v njem vsako Cauchyjevo zaporedjekonvergentno.

Primer 4.7. Metrični prostor realnih števil (R, d), za d(x, y) = |x− y|, je poln. Taprimer je zelo netrivialen in fundamentalen. Dokaz lahko najdemo v [4].

Poleg tega, da lahko v polnem metričnem prostoru za ugotavljanje konvergenceuporabimo Cauchyjev kriterij, ima poln prostor še celo vrsto drugih lepih lastnosti.Kot primer v zvezi s polnostjo prostora, si oglejmo še Banachovo skrčitveno načelo.

Definicija 4.8. Naj bo M poljuben metrični prostor. Preslikavi f : M → M rečemoskrčitev, če obstaja tako pozitivno število q < 1, ki se imenuje faktor skrčitve, da zapoljuben par x, y ∈ M velja d(f(x), f(y)) ≤ q d(x, y).

Hitro se da videti, da je skrčitev zvezna funkcija. Za zvezno funkcijo pa velja, dakonvergentno zaporedje, preslika v konvergentno zaporedje, (dokaz lahko najdemov [3]), natančneje

f(limxn) = lim f(xn).

Izrek 4.9 (Banachovo skrčitveno načelo). Če je M poln metrični prostor in jef : M → M skrčitev, obstaja natanko ena negibna točka preslikave f , tj. taka točkaa ∈ M , da velja f(a) = a. [5]

Dokaz. Pokažimo, da obstaja kvečjemu ena negibna točka. Recimo, da obstajatadve različni točki x, y ∈ M za kateri velja f(x) = x in f(y) = y. Tedaj nas dejstvo,da je f skrčitev, pripelje do protislovne neenakosti:

d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ q d(x, y) < d(x, y).

37

Pokažimo še, da negibna točka res obstaja. Naj bo x0 ∈ M in (xn)n∈N zapo-redje podano z rekurzivno formulo xn = f(xn−1). Če označimo d(x0, x1) z D,je d(x1, x2) = d(f(x0), f(x1)) ≤ qd(x0, x1) = qD. Podobno pokažemo, da jed(x2, x3) = d(f(x1), f(x2)) ≤ q2D itd. S popolno indukcijo dokažemo, da za vsakonaravno število n velja

d(xn, xn+1) ≤ qnD. (4.1)

Iz trikotniške neenakosti in neenakosti (4.1) dobimo za poljuben par naravnih številm > n oceno

d(xn, xm) ≤m−1∑i=n

d(xi, xi+1) ≤m−1∑i=n

qiD ≤ D

∞∑i=n

qi = Dqn

1− q.

Ta ocena nam pove, da je zaporedje (xn)n∈N Cauchyjevo. Ker je prostor M poln,ima to zaporedje limitno točko. Označimo jo z a. Iz rekurzivne formule in iz dejstva,da je skrčitev zvezna funkcija, sledi

a = limxn+1 = lim f(xn) = f(limxn) = f(a).

Točka a je torej negibna točka skrčitve f .

38

4.2 Augustin Louis Cauchy

Namenimo še nekaj besed velikemu francoskemu matematiku 19. stoletja, AugustinuLouisu Cauchyju (1789 - 1857), ki je bil eden izmed zgodnjih pionirjev matematičneanalize, po katerem so poimenovali največ konceptov, pojmov in izrekov. Cauchy-jeva otroška leta segajo v čas francoske revolucije. Napoleonova doba je Cauchyjuprinesla prve uspehe in službo vojnega inženirja v Cherbourgu. Po vrnitvi v Parizje hitro pritegnil pozornost vodilnih francoskih matematikov.

Bil je izjemno inventiven in je ob Gaussu kmalu veljal za enega največjih živečih ma-tematikov. Napisal je okoli osemsto raziskovalnih člankov in pet učbenikov. Začelje projekt formuliranja in dokazovanja izrekov infinitezimalnega računa v strogemsmislu in zavračal hevristično načelo splošnosti algebre, ki so jo izkoriščali predho-dni avtorji. Postavil je temelje sodobni obravnavi konvergence, razvil kriterije zakonvergenco neskončnih vrst in izdal razlago infinitezimalnega računa na podlagi li-mite funkcije. Pri tem ni bil popolnoma uspešen, ker še ni imel konstrukcije realnihštevil, kar so kasneje razvili Cantor, Dedekind in Weierstrass [11].

39

Literatura

[1] Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart andWinston Inc., 1964.

[2] Apostol, T. M., Mathematical Analysis. 2nd edition. Addison-Wesley PublishingCo., Reading, Massachusetts, 1974.

[3] Vidav, I., Višja matematika 1, DMFA, Ljubljana, 1994.

[4] Vrabec, J., Metrični prostori, DMFA, Ljubljana, 1990.

[5] Cencelj, M., Repovš, D., Topologija, PeF, Ljubljana, 2001.

[6] Hladnik, M., Zgodovina matematike, FMF, Ljubljana 2013. spletni vir.

[7] Struik, D.J. , Kratka zgodovina matematike, DMFA, Ljubljana, 1986.

[8] Razpet, M. , Babilonski zapis števil, študijsko gradivo, UL, PEF, Ljubljana,2015.

[9] Domajnko, V. , Babilonski približek za√2, PRESEK, list za mlade matematike,

fizike, astronome in računalnikarje, DMFA Ljubljana, 1993, spletni vir.

[10] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Harmonična vrsta, Wikimedia FoundationInc., spletni vir.

[11] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Augustin Louis Cauchy, Wikimedia Foun-dation Inc., spletni vir.

[12] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Metrični prostor, Wikimedia FoundationInc., spletni vir.

40

[13] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Nicole Oresme, Wikimedia FoundationInc., spletni vir.

[14] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Leonardo Fibonacci, Wikimedia Founda-tion Inc., spletni vir.

[15] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Srednji vek, Wikimedia Foundation Inc.,spletni vir.

41