UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO TAMARA OŠTIR
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOŠKA FAKULTETA
DIPLOMSKO DELO
TAMARA OŠTIR
2
3
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOŠKA FAKULTETA
Študijski program: Matematika in ra unalništvo
Pickov izrek
DIPLOMSKO DELO
MENTOR: KANDIDATKA:
DR. MARKO RAZPET TAMARA OŠTIR
LJUBLJANA, JUNIJ 2011
4
Povzetek
Osrednji del diplomskega dela je predstavitev Pickovega izreka za
vsak poljuben enostaven mrežni večkotnik. Pickov izrek je dokazan
tudi za enostavne mrežne večkotnike, ki imajo poljubno število ne
dotikajočih se lukenj znotraj večkotnika. Diplomskemu delu je dodan
tako opisan empirični del, ki pove, kako lahko Pickov izrek uvedemo
v osnovno šolo. Predstavljena je možna izvedba učne ure in
ugotovitve, ki so ob tem nastale.
Ključne besede: Pickov izrek, mrežne točke, mrežni večkotnik,
geoplošča, ploščina večkotnika, luknjasti večkotnik, ploščina
luknjastega večkotnika, Pickov izrek v osnovni šoli.
Pick's Theorem
Abstract
The main focus of the graduation thesis is the application of Pick's
Theorem to any simple lattice polygon. Pick's Theorem has also been
proven for simple lattice polygons with any number of non-
contacting holes inside the polygon. Added to the graduation thesis
is an empirical section where the introduction of Pick's Theorem into
primary school is discussed. A possible lesson plan is presented,
together with the findings, which were made in the process.
Keywords: Pick's Theorem, lattice points, lattice polygon, geobord,
area of polygon, polygon with holes, area of polygon with holes,
Pick's theorem in primary school
MSC(2010): 00A35, 97G30
5
Kazalo
1 Uvod ................................................................................................ 7
2 Življenjepis Georga Alexandra Picka ............................................ 9
3 Pickov izrek .................................................................................. 12
3.1 Ploščina mrežnih večkotnikov ............................................... 12
3.2 Pickov izrek za pravokotnik .................................................. 14
3.2.1 Dokaz Pickovega izreka za poljuben mrežni
pravokotnik .................................................................................. 16
3.3 Pickov izrek za pravokotni trikotnik .................................... 16
3.4 Pickov izrek za poljuben trikotnik ........................................ 19
3.4.1 Dokaz 1: ............................................................................. 19
3.4.2 Dokaz 2: ............................................................................. 23
3.5 Pickov izrek za poljuben mrežni večkotnik .......................... 25
3.5.1 Opis poteka dokaza ......................................................... 25
3.5.2 Dokaz za poljuben večkotnik ......................................... 28
3.6 Pickov izrek za večkotnike z luknjami ................................. 30
3.6.1 Posplošen dokaz za večkotnik z luknjami .................... 33
4 Pickov izrek v osnovni šoli ........................................................... 36
4.1 Podrobna učna priprava ........................................................ 36
4.1.1 Pregledna zgradba učne ure .......................................... 37
4.1.2 Razdelava učne ure ......................................................... 40
4.2 Učni list ................................................................................. 55
6
4.3 Analiza učne ure .................................................................... 60
5 Zaključek ...................................................................................... 63
Literatura: .......................................................................................... 65
Slike:
Slika 1: Mrežni večkotniki ................................................................. 12
Slika 2: Mrežni pravokotnik v običajni legi ....................................... 15
Slika 3: Mrežni pravokotni trikotniki v običajni legi ........................ 17
Slika 4: Mrežni trikotnik .................................................................... 19
Slika 5: Mrežni trikotnik z eno vodoravno stranico .......................... 23
Slika 6: Triangulacija večkotnika ...................................................... 26
Slika 7: Mrežni večkotnik................................................................... 27
Slika 8: Večkotniki z luknjami ........................................................... 30
7
1 Uvod
Obstaja metoda za izračun ploščine poljubnega večkotnika na
kvadratni mreži točk, ki se imenuje Pickov izrek. Pickov izrek si
zasluži veliko pozornosti in občudovanja zaradi svoje preprostosti in
elegance. Skoraj prelepo, da bi bilo res, toda izrek določa metodo za
izračun ploščine enostavnih večkotnikov, ki ležijo na mreži točk, s
preprostim štetjem točk. Z malo prakse bi lahko le s pogledom na
večkotnik izračunali ploščino večkotnika v svoji glavi.
Diplomsko delo je razdeljeno na teoretični in empirični del. Pred
glavno razdelitvijo na dva dela, predstavimo življenje matematika
Georga A. Picka in njegovo delo. Življenjepisu, v teoretičnem delu,
sledi dokaz enega njegovih najbolj poznanih del, ki ga imenujemo
Pickov izrek.
Predno začnemo dokazovati splošen primer, postavimo nekaj
domnev v zvezi z Pickovim izrekom, ki ga dokazujemo po korakih.
Pričnemo z dokazom, da Pickov izrek velja za vsak pravokotnik, nato
s pomočjo pravokotnika dokažemo, da izrek velja tudi za vsak
pravokotni trikotnik.
V naslednjem podpoglavju bo sledil dokaz za poljubne trikotnike,
takoj za tem pa za poljubne enostavne večkotnike.
Ker smo se odločili za razširitev Pickovega izreka, bomo v zadnjem
podpoglavju tretjega poglavja preučevali »luknjaste« večkotnike in
dokazali, da tudi v takih večkotnikih lahko določimo ploščino s
preprostim štetjem točk in lukenj.
8
V teoretičnem delu nas bo pri dokazovanju Pickovega izreka
zanimalo tudi:
Kako prešteti mrežne točke na stranicah poljubnega
mrežnega pitagorejskega trikotnika?
Ali lahko vsak enostaven večkotnik razrežem na trikotnike?
Ali v vsakem enostavnem večkotniku, ki ima vsaj štiri oglišča,
obstaja notranja diagonala?
Ko bo dokazovanje Pickovega izreka končano, bo sledila v četrtem
poglavju raziskava, kako je potekala učna ura na temo Pickovega
izreka v osnovni šoli. V osnovni šoli si za predstavitev Pickovega
izreka lahko pomagamo z geoploščo. Geoplošča je lesena ali plastična
tablica s čepki, na katere napnemo gumico. Čepki na geoplošči so
postavljeni tako, da tvorijo celoštevilsko mrežo. Z gumico, ki je napeta na
čepke geoplošče, lahko hitro spreminjamo oblike večkotnikov. Manjša
pomanjkljivost pa je v tem, da mora biti zapis na ločenem listu. Zato,
v višjih razredih, uporabljamo celoštevilske mreže na listih in
geoploščo za enaktivno prezentacijo.
9
2 Življenjepis Georga Alexandra Picka
Georg Pick se je rodil na Dunaju, 10. avgusta 1859, v judovski
družini. Njegova mati je bila Josefa Schleisinger in njegov oče Adolf
Josef Pick. Georg se je izobraževal doma. Do enajstega leta starosti
ga je poučeval njegov oče, nato pa je vstopil v četrti razred
leopoldštadske gimnazije. Po končani gimnaziji je leta 1875 opravil
vse potrebne izpite, ki so mu omogočili vstop na univerzo.
Pick je začel študij na Univerzi na Dunaju leta 1875. Študiral je
matematiko in fiziko, diplomiral pa je leta 1879 in si pridobil
kvalifikacijo za poučevanje obeh predmetov. Leta 1877 je Leo
Königsberger (1837-1921) prevzel katedro za matematiko na
dunajski univerzi. Postal je Pickov mentor. Pick je 16. aprila leta
1880 doktoriral z disertacijo Über eine Klasse abelscher Integrale (O
nekem razredu Abelovi integralov). Emil Weyr (1848-1894) je bil
imenovan za drugega izpraševalca pri obrambi doktorske teze. Weyr
je bil skupaj z Gustavom von Escherichom, doktorskim mentorjem
prof. Josipa Plemlja, soustanovitelj matematične revije Monatshefte f'ür
Mathematik und Physik.
Po oddaji svojega doktorata je bil imenovan za asistenta Ernesta
Macha na Karlovi univerzi v Pragi. Mach se je tja preselil iz Gradca,
kjer je bil profesor matematike, da je leta 1876 v Pragi prevzel
katedro za fiziko. On je, tako kot Pick, študiral na dunajski univerzi.
S časom je Pick postal njegov asistent in obravnavali so ga kot enega
od vodilnih matematikov v Evropi. Tako je Pick, katerega cilj je bil
postati predavatelj v Pragi, za pridobitev te pravice moral napisati
10
habilitacijsko delo. To se mu je posrečilo že leta 1881 s
habilitacijskim delom o integraciji hipereliptičnih diferencialov z
logaritmi.
Razen za študijsko leto 1884-85, ko je delal pri Felixu Kleinu (1849-
1925) na univerzi v Leipzigu, je Pick ostal v Pragi do konca svoje
kariere. Leta 1888 je napredoval v izrednega profesorja matematike,
nato pa je bil leta 1892 imenovan za rednega profesorja na nemški
univerzi v Pragi. Njegovo delo je matematično izredno široko,
obravnaval je številne teme področij, kot so linearna algebra, teorija
invariant, potencialna teorija, funkcionalna analiza in geometrija.
Vendar pa je več kot polovica njegovih del s področja funkcij
kompleksnih spremenljivk, diferencialnih enačb in diferencialne
geometrije. Termini, kot so "Pickove matrike", "Pick-Nevanlinnova
interpolacija" in "Schwarz-Pickova lema" se včasih uporabljajo še
danes. Najbolj pa je poznan Pickov izrek, ki je bil objavljen v Pragi
leta 1899 na osmih straneh v članku Geometrisches zur Zahlenlehre
Sitzungsberichte Lotos. Pick je zapisal izrek o ploščini preprostih
mnogokotnikov. Ko je Pick objavil izrek, mu ni bilo posvečeno veliko
pozornosti, vendar ga je leta 1969 Hugo Dionizy Steinhaus (1807-
1972) vključil v svojo slavno knjigo Mathematical Snapshots. Od
takrat naprej je Pickov izrek pritegnil veliko pozornosti.
V letu 1900/01 je na nemški univerzi v Pragi Pick postal dekan
Filozofske fakultete. Bil je mentor približno 20 študentom pri
njihovih doktoratih, med njimi je najbolj znan Charles Loewner
(1893-1968), ki je doktoriral leta 1917 s svojo tezo na področju
geometrijske funkcijske teorije.
11
Obstaja še ena zanimivost Pickovega življenja, ki si zasluži posebno
pozornost. Leta 1910 je bil postavljen v komisijo nemške univerze v
Pragi, da razmisli o vstopu Einsteina na univerzo. Pick se je zelo
zavzel za Einsteina, ki je bil leta 1911 imenovan za predstojnika
oddelka za matematiko in fiziko na nemški univerzi v Pragi. Na tem
položaju je bil do leta 1913 in v teh letih sta bila dobra prijatelja.
Poleg znanosti ju je združevala tudi glasba.
Ko se je Pick leta 1927 upokojil, je postal zasluženi profesor in se
vrnil na Dunaj, v svoj rojstni kraj. Vendar se je 12. marca leta 1938
vrnil v Prago, ko je bila Avstrija priključena Tretjemu rajhu. Konec
septembra 1938 je vlada v Pragi morala popustiti Nemčiji vse tiste
kraje na Češkem in Moravskem, kjer je 50 odstotkov ali več nemškega
prebivalstva. Češkoslovaški voditelji se niso strinjali, zato so raje
odstopili. Toda tisti, ki so prevzeli vodstvene položaje, so priključili
regije k Nemčiji. Hitlerjeva vojska je Češkoslovaško napadla 14.
marca 1939 in v Pragi postavila svojega človeka za vodenje države.
Pick je bil član češke akademije znanosti in umetnosti, vendar je bil
po zasedbi Prage izključen iz akademije. Nacisti so 24. novembra
1941 ustanovili taborišče Terezin na severnem Češkem. Namenjeno
je bilo starejšim ljudem, privilegiranim in slavnim Židom.
Pick je bil odveden v Terezin 13. julija 1942, tam je tudi umrl dva
tedna pozneje, star 82 let.
12
3 Pickov izrek
3.1 Ploš ina mrežnih ve kotnikov
Pickov izrek se nanaša na geometrijo v ravnini. Na ravnino
postavimo mrežo, sestavljeno iz dveh med seboj pravokotnih
enakomerno razporejenih vzporednih premic, nosilk mreže.
Presečišča se imenujejo mrežne točke, večkotniki, katerih oglišča
ležijo na mrežnih točkah, pa so mrežni večkotniki. Razdaljo med
sosednjima vzporednima nosilkama vzamemo za enoto 1.
S Pickovim izrekom bomo določali ploščine enostavnim večkotnikom.
Večkotnik je enostaven, če nobena njegova stranica ne seka kake
druge izmed stranic danega večkotnika in večkotnik nima lukenj.
Večkotniki na Sliki 1 so vsi enostavni, vendar ne pozabimo, da se
izraz enostaven večkotnik uporablja le v tehničnem pomenu,
enostaven večkotnik ima namreč lahko poljubno mnogo robov.
Slika 1: Mrežni večkotniki
13
Približno ploščino mrežnih večkotnikov dobimo s skupnim številom
njihovih notranjih mrežnih točk na celoštevilski mreži. Tako dobimo
kar precej grob približek. Morda bi dobili nekoliko boljšega, če bi
notranjim mrežnim točkam dodali še polovico vseh mrežnih točk, ki
so na meji večkotnika, saj so na pol zunaj in hkrati znotraj
večkotnika. Predno nadaljujemo, si oglejmo nekaj primerov na Sliki
1.
Za vse primere naj bo število mrežnih točk v notranjosti
večkotnika in število mrežnih točk na robu večkotnika, dejansko
ploščino večkotnika pa označimo s
Nekoliko težavnejša naloga je določiti dejansko ploščino pri
večkotnikih in , in sicer zaradi njune oblike. Večkotnik lahko
razdelimo na pravokotnik dimenzije in na dva skladna
pravokotna trikotnika z enim krakom dolgim enoti in drugim
krakom dolgim enote. Tako dobimo:
14
Večkotnik je celo grši za izračun ploščine, ampak z nekaj dodajanj
in odvzemanj delov lika dobimo:
Neverjetna je, če pogledamo vseh šest zgornjih primerov, ocena, ki
smo jo dobili s razmislekom , vedno za ena večja od dejanske
ploščine teh večkotnikov.
Potemtakem se zdi, da dobimo natančno ploščino vsakega
enostavnega mrežnega večkotnika na celoštevilski mreži z
naslednjim izrekom:
Pickov izrek
Naj bo število mrežnih točk v notranjosti enostavnega
mrežnega večkotnika in število mrežnih točk na robu
večkotnika Potem je njegova ploščina enaka:
3.2 Pickov izrek za pravokotnik
Namesto da na začetku poskušamo narediti splošni dokaz, da
vidimo, če Pickova formula res velja, najprej poglejmo izrek za
nekatere enostavnejše primere. Najlažje je na celoštevilski mreži
(Pickova formula)
15
pogledati mrežne pravokotnike, ki imajo stranice vzporedne z
nosilkami mreže. Rekli bomo, da so taki mrežni pravokotniki v
običajni legi za razliko od zasukane.
Slika 2: Mrežni pravokotnik v običajni legi
Pravokotnik na Sliki 2, s stranico dolgo enote in stranico
dolgo enot, ima ploščino veliko kvadratnih enot.
Ker želimo dokazati, da Pickova formula velja, moramo prešteti
točke znotraj pravokotnika in točke na robu pravokotnika
. Po prejšnjem obrazcu izračunamo:
Torej vidimo, da za ta pravokotnik Pickova formula velja.
16
3.2.1 Dokaz Pickovega izreka za poljuben mrežni
pravokotnik
Ploščina pravokotnika s stranicami in , je:
Dokazati želimo, da Pickov izrek velja za vsak mrežni pravokotnik v
običajni legi, zato se lotimo štetja in hitro opazimo, da je število točk
znotraj takega pravokotnika enako in število
točk na robu enako Tako za pravokotnik dimenzije
velja:
Dobimo točno to, kar smo želeli pokazati.
3.3 Pickov izrek za pravokotni trikotnik
Pokazali bomo, da Pickova formula velja za mrežne pravokotne
trikotnike v običajni legi, kjer kateti ležita horizontalno in vodoravno
na celoštevilski mreži. Nekaj primerov je prikazanih na Sliki 3.
17
Najlažji način dokaza je, da si pravokotni trikotnik vzamemo kot
polovico pravokotnika, dodati moramo le diagonalo.
Slika 3: Mrežni pravokotni trikotniki v običajni legi
Poglejmo si Pickov izrek za poljuben pravokotni trikotnik v običajni
legi.
Naj bo pravokotni trikotnik s katetama, dolgima in . Ploščina
pravokotnega trikotnika je:
Če želimo preveriti pravilnost Pickove formule, moramo vedeti,
koliko je na celoštevilski mreži notranjih točk in koliko jih leži na
robu pravokotnega trikotnika .
Tako zopet preštejemo in ugotovimo, da dobimo točke, ki so na meji
pravokotnega trikotnika, če dolžini katete , prištejmo dolžino
18
druge katete in število točk na diagonali, kjer so izvzete tiste na
ogliščih trikotnika .
Torej število točk na robu pravokotnega trikotnika je enako:
Več o štetju robnih točk mrežnega pravokotnega trikotnika si lahko
preberemo v [2].
Kot smo že ugotovili, je število notranjih točk na celoštevilski mreži
v pravokotniku enako , temu odštejemo število
točk na diagonali in vse skupaj razpolovimo, saj potrebujemo
število notranjih točk pravokotnega trikotnika, teh je:
Sedaj preverimo ali Pickov izrek velja za vsak pravokotni trikotnik:
Pokazali smo, da Pickov izrek v tem primeru velja.
19
3.4 Pickov izrek za poljuben trikotnik
Ob predpostavki, da Pickov izrek velja v pravokotnikih in
pravokotnih trikotnikih v običajni legi, lahko pokažemo, da velja za
poljubni trikotnik.
V resnici obstaja veliko primerov, ob katerih bi lahko razmislili o
pravilnosti izreka, vendar so vsi bolj ali manj takšni, kot sta
trikotnika na Sliki 4 in na Sliki 5.
3.4.1 Dokaz 1:
Najprej dokažimo Pickov izrek v primeru na Sliki 4.
Slika 4: Mrežni trikotnik
20
Na Sliki 4 je načrtan trikotnik , ki mu očrtamo pravokotnik . Kot
vidimo, dobimo še tri trikotna območja, in sicer pravokotne
trikotnike, ki jih označimo , in .
Denimo, da ima trikotnik natanko notranjih točk in robnih,
trikotnik ima notranjih in robnih točk, trikotnik pa ima
notranjih in število točk, ki ležijo na robu trikotnika .
Pravokotnik , naj ima notranjih in robnih točk. Trikotnik
pa naj ima notranjih in robnih točk.
Vemo, da Pickov izrek velja za pravokotnike in pravokotne
trikotnike, zato lahko zapišemo:
Dokazati želimo sledeče:
Ploščino trikotnika bomo izračunali tako, da od ploščine
pravokotnika odštejemo vsoto ploščin preostalih treh trikotnih
območij:
21
Denimo, da ima pravokotnik stranice dolge in , torej je ploščina
enaka .
Ko preštejemo notranje točke pravokotnika , ugotovimo, da jih je:
Če pa računamo število točk, ki ležijo na meji, dobimo naslednjo
enakost:
oziroma
Sedaj previdno preštejmo še točke, ki ležijo znotraj pravokotnika :
Na koncu potrebujemo v zgoraj navedeni enačbi, saj imamo
dvojno štetje točk v ogliščih trikotnikov in
Vstavimo vrednost , ki smo jo dobili z enačbo , v enačbo
22
Nadomestimo vrednosti za in iz enačbe in v enačbo .
S tem dobimo:
Dobili smo točno to, kar smo želeli dokazati.
23
3.4.2 Dokaz 2:
Podobno dokazujemo v primeru, ki ga prikazuje Slika 5.
Slika 5: Poljubni mrežni trikotnik z eno vodoravno stranico
Najprej zapišemo obrazce za tiste mrežne večkotnike pri katerih vemo,
da Pickov izrek velja:
Zopet želimo, dokazati:
24
Ploščino poljubnega mrežnega trikotnika izračunamo, tako da od
ploščine pravokotnika odštejemo ploščini trikotnikov in .
Sedaj bomo izrazili število notranjih in robnih točk pravokotnika .
Na celoštevilski mreži, kot zgoraj, najprej preštejemo notranje točke:
Odšteti moramo dolžino stranice , ker smo jo dodali, ko smo prišteli
robne točke trikotnika . Prav tako odštejemo še točko, ki smo jo
šteli dvakrat, in sicer na mestu, kjer se z oglišči stikajo vsa tri
trikotna območja.
Preštejemo še robne točke pravokotnika . Teh je natančno
Ko odštejemo robne točke poljubnega trikotnika , potrebujemo
dvakratno dolžino stranice . Odšteti moramo še dve točki, zaradi
dvojnega štetja točk, na ogliščih trikotnika.
Pickova formula nam da ploščino:
25
S tem smo dokazali, da izrek velja tudi za poljuben mrežni trikotnik.
3.5 Pickov izrek za poljuben mrežni ve kotnik
Zdaj vemo, da Pickov izrek velja za vse mrežne trikotnike. Pokazati
pa moramo, da Pickov izrek velja tudi za poljuben enostaven
večkotnik .
3.5.1 Opis poteka dokaza
Kaj bomo storili, je razvidno iz Slike 6. Vsak enostaven mrežni
večkotnik lahko izdelamo s sestavljanjem mrežnih trikotnikov, za
katere pa vemo, da Pickov izrek drži. Več o tem si lahko preberemo v
[4].
26
Slika 6: Triangulacija večkotnika
Pokazali smo že, da za vsak trikotnik na celoštevilski mreži, velja
Pickov izrek. Nato smo pokazali: če Pickov izrek velja za vsak
trikotnik, potem velja za vsak štirikotnik. Iz tega sledi, da Pickov
izrek velja tudi za vsak petkotnik. Skratka naredimo splošni
matematični dokaz z indukcijo.
Dokaz opravimo v dveh korakih:
1. Pokažemo, da Pickov izrek velja na celoštevilski mreži za vsak
trikotnik.
2. Pokažemo: če Pickov izrek na celoštevilski mreži velja za vsak
–kotnik , kjer je , Pickov izrek potem na
celoštevilski mreži velja za vsak n–kotnik.
27
Slika 7: Mrežni večkotnik
Primer z glavno idejo je prikazan na Sliki 7. Imamo 21–kotnik ABC
... V. Vemo da ima vsak enostaven večkotnik, ki ima vsaj tri
stranice, notranjo diagonalo. Dokaz o tem si lahko preberemo v [8].
Kot vidimo na Sliki 7, imamo izbrano diagonalo DS, tako da
večkotnik diagonalno razdelimo na dva manjša večkotnika. V tem
primeru, 8–kotnik ABCDSTUV in 16–kotnik DEFG ... S. Ker smo v
tej fazi dokaza, lahko trdimo, da Pickov izrek velja za vse
večkotnike, ki imajo med 3 in 20 stranic, potem bo to veljalo tudi za
28
8-kotnik in 16–kotnik, ki sta omenjena zgoraj. Pokazali bomo: če
Pickov izrek velja pri večkotnikih in , ki imata skupno stranico,
potem velja tudi za večkotnik , ki je unija teh dveh.
3.5.2 Dokaz za poljuben večkotnik
Večkotnik sestavljata dva večkotnika s skupno stranico.
Predpostavimo, da ima prvi večkotnik na celoštevilski mreži
notranjih in robnih točk. Drugi večkotnik ima notranjih in
robnih točk, večkotnik pa ima na celoštevilski mreži
notranjih in robnih točk. Diagonala prvotnega večkotnika , ki leži
med večkotnikom in večkotnikom , naj šteje točk, zraven sta
všteti tudi obe končni točki.
Ploščino večkotnika dobimo z vsoto ploščin večkotnikov in :
Sledi:
29
Če za večkotnik , ki je unija večkotnika in , vzamemo vse točke
v notranjosti in , dobimo:
,
ker so točke skupnega roba, razen skrajnih dveh, notranje točke
večkotnika .
Podobna obrazložitev velja tudi za robne točke. Večkotnik ima vse
robne točke večkotnika in . Temu moramo odšteti točk, ki so
na diagonali, saj niso robne točke večkotnika . Ker so točke na
diagonali podvojene, odštejemo , prištejemo pa 2 točki, na
krajiščih diagonale, saj sta ti dve točki robni točki večkotnika . Tako
dobimo:
Zato:
30
3.6 Pickov izrek v ve kotnikih z luknjami
Do sedaj smo upoštevali le enostavne večkotnike, kjer se stranice ne
sekajo in večkotniki nimajo lukenj.
Slika 8: Večkotniki z luknjami
Na Sliki 8 pa si oglejmo pet večkotnikov z luknjami. Večkotnik
in imajo eno luknjo, medtem ko imata večkotnika in dve
luknji. Ti primeri so enostavni, da lahko izračunamo ploščine lukenj,
ležečih znotraj večkotnika in ploščine večkotnikov brez lukenj.
31
Zgornja tabela v stolpcu prikazuje izračun dejanskih ploščin v
naslednjem stolpcu pa izračun ploščine večkotnika, ki ga dobimo s
poznanim Pickovim izrekom za večkotnike brez lukenj. Očitno je, da
v primerih, ko je luknja ena, je razlika med dejansko ploščino in
ploščino izračunano s Pickovim izrekom , v primerih, kjer obstajata
dve luknji, se ploščini razlikujta za . Če poskusimo nekaj več
primerov z eno, dvema ali več luknjami, hitro ugotovimo, da dobimo
izračun ploščine »luknjastega« večkotnika po tej formuli, kjer je n
število lukenj:
Ker že poznamo obrazec za izračun ploščine večkotnika, brez lukenj,
ga lahko uporabimo za izpeljavo obrazca za izračun ploščine
večkotnika z luknjami.
Izpeljavo obrazca se bomo lotili tako, da bomo najprej računali
ploščino za večkotnike z eno samo luknjo in izračune razširili na
splošni primer z n luknjami.
Za primer večkotnika z eno samo luknjo moramo dokazati, da je
njegova ploščina:
32
Denimo, da ima zunanji večkotnik ploščino , število notranjih točk
je in je število robnih točk. Ploščina luknje je , število točk, ki
ležijo znotraj luknje, je in število robnih točk je .
Po Pickovem izreku lahko zapišemo:
Ker vemo, da je ploščina večkotnika z eno luknjo enaka razliki
ploščine večkotnika in ploščine luknje, lahko zapišemo:
Če je število notranjih točk in število robnih točk celotnega
večkotnika, ki ga tvorijo luknje, sledi da je
in
Uporabimo ti dve enakosti, da preverimo formulo:
33
Če vstavimo prejšnja izraza, dobimo:
Točno to pa smo želeli dokazati.
3.6.1 Posplošen dokaz za ve kotnik z luknjami
Podoben izračun je mogoče izpeljati za večkotnike s poljubnim
številom lukenj. Kot prej, naj bo ploščina zunanjega večkotnika brez
lukenj , število notranjih točk tega večkotnika je in število
robnih točk je . Označimo še z število nedotikajočih se lukenj v
34
notranjosti večkotnika, ploščino lukenj , število notranjih točk in
skupno število mejnih točk .
Ploščina »luknjastega« večkotnika z notranjimi in robnimi
točkami, je:
Ker veljata enačbi:
sledi,
Pri tem je število notranjih točk »luknjastega« večkotnika enako
saj notranje točke vsake luknje in njen rob nista v notranjosti
»luknjastega« večkotnika.
Sedaj zapišimo tudi število vseh točk, ki ležijo na robu »luknjastega«
večkotnika:
35
Torej je število notranjih in robnih točk »luknjastega« večkotnika
enako:
Izraza vstavimo v formulo za izračun ploščine »luknjastega«
večkotnika:
in dobimo točno to, kar smo želeli dokazati.
36
4 Pickov izrek v osnovni šoli
4.1 Podrobna u na priprava
Izvajalec Tamara Oštir
Mentor Prof. Majda Srna
Datum 7.12.2009
Ura 6. šolska ura
Razred 9. razred – dodatni pouk
Šola OŠ F. S. Finžgarja Lesce
Učni sklop Geometrija
Učni Ploščina večkotnikov
Učna enota Pickov izrek
Specifični učni cilji 1. Cilj: Učenci razumejo izpeljavo Pickovega
izreka
2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s
Pickovim izrekom
3. Cilj: Učenci znajo na mreži točk oblikovati
različne geometrijske oblike z danimi
podatki
4. Cilj: Učenci utrjujejo znanje o določanju
ploščine večkotnikov.
Učni pristop Kognitivni
Učne oblike Frontalna, individualna
Učne metode Metoda razgovora, metoda razlage, metoda
praktičnih del, metoda demonstracije,
Učna sredstva in
pripomočki
Geoplošča, mreža točk-prosojnica, grafoskop
37
4.1.1 Pregledna zgradba u ne ure
VŽIG
Način doseganja Pozdravim učence.
Način
preverjanja
Metode/oblike Frontalno
Čas 1min
Pripomočki
UVOD
Način doseganja Učencem prestavim učno snov in kako bo
potekala učna ura.
Razdelim učne liste.
Način
preverjanja
Ko predstavljam Pickov izrek, učencem hkrati
zastavljam vprašanja, ki se navezujejo na
večkotnike. Predznanje preverim spogovorom.
Metode/oblike Frontalno
Čas 3 min
Pripomočki Geoplošča
RAZLAGA 1. Cilj: Učenci razumejo izpeljavo Pickovega
izreka
4. Cilj: Učenci utrjujejo znanje o določanju
ploščine večkotnikov.
2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s
Pickovim izrekom
Način doseganja Skupaj z učenci preberemo navodila za reševanje
prve naloge.
Najprej rešimo prvi del naloge, kjer razmislimo o
ploščini večkotnika za pravokotnike od A do E.
Ko izpolnimo ta del tabele, razmislimo o
posplošenem obrazcu za pravokotnike od A do E,
kjer ni nobene notranje točke.
Z učenci nadaljujemo z reševanjem drugega dela.
Da ugotovimo splošni obrazec, ki velja za
pravokotnike, z eno, dvema ali več notranjimi
točkami, pomagamo si z obrazcem iz prvega dela
naloge.
38
Preden pričnemo z reševanjem druge naloge z
učenci, razmislimo, zakaj si bomo ogledali
pravokotne trikotnike. Učenci izpolnijo tabelo na
podoben način kot pri prvi nalogi, postopoma
odkrivajo pravilo, ko imajo nič, eno dve tri ali več
notranjih točk, pomagajo si z ugotovitvami iz
prejšnje naloge.
Ko imamo obrazec za izračun ploščine
štirikotnikov in pravokotnih trikotnikov, si lahko
pomagamo pri tretji in četrti nalogi raziskati, da
Pickov izrek velja tudi za poljubne trikotnike in
poljubne večkotnike na mreži točk.
Način
preverjanja
Na tablo zapišem vsako dopolnitev v
razpredelnice.
Učenci lahko tako preverijo, ali so na učnih listih
pravilno izpolnili tabele.
Hodim po razredu in preverjam učenčevo
aktivnost.
Dopolnjujem tabelsko sliko. Učencem ves čas
zastavljam vprašanja in oni izmenično
odgovarjajo.
Metode/oblike Frontalno, individualno
Čas 20 min
Pripomočki Tabla, grafoskop, učni list, prosojnice
PREDAH
Način doseganja Učencem povem, da je odkrivanje Pickovega
izreka končan, lotimo se zadnjih nalog, kjer bomo
uporabili izrek.
Način
preverjanja
Metode/oblike Frontalno
Čas 1 min
Pripomočki UTRJEVANJE 2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s
Pickovim izrekom
3. Cilj: Učenci znajo na mreži točk oblikovati
različne geometrijske oblike z danimi podatki
Način doseganja Ko postopoma odkrijemo Pickov izrek, lahko
rešimo peto nalogo. Učenci individualno
39
premislijo in uporabijo Pickov izrek ter rešijo
nalogo.
Učenci rešijo šesto in sedmo nalogo, ko razumejo
Pickov izrek in ga znajo uporabiti.
Način
preverjanja
Rezultat pete naloge zapišem na tablo.
Na prosojnicah imamo pripravljeno rešitev šeste
in sedme naloge, ki jo reprezentiram preko
grafoskopa. Učenci preverijo svoje rezultate.
Metode/oblike Individualno, frontalno
Čas 9 min
Pripomočki Tabla, grafoskop, prosojnice, učni list
ODKLOP
Način doseganja Od učencev se poslovim in jim zaželim lepo
popoldne.
Način
preverjanja
Metode/oblike Frontalno
Čas 1 min
Pripomočki
40
4.1.2 Razdelava u ne ure
NAMEN/CILJ DEJAVNOST UČITELJA DEJAVNOST
UČENCEV
VŽIG Pozdravim učence.
»Dober dan učenci.«
»Moje ime je Tamara in danes
bomo skupaj predelali nekaj
čisto novega.«
Učenci
pozdravijo nazaj.
»Dober dan.«
UVOD Učencem razložim, katero novo
učno snov bomo predelali.
Najprej se bomo uzrli na končni
cilj, potem pa na vmesne
korake in kako jih bomo
oblikovali.
»Učenci danes si bomo ogledali
Pickov izrek.«
»Je mogoče že kdo slišal zanj?«
»Pickov izrek ni tako poznan,
toda je zelo uporaben, kadar
moramo izračunati ploščino
enostavnega večkotnika, ki leži
na mreži točk.«
Učence na začetku spomnim,
da že znajo računati ploščino
enostavnih večkotnikov.
Učence za osvežitev spomina
vprašam:
»Kakšni so enostavni
večkotniki?«
Učenci pozorno
poslušajo.
»Ne.«
Učenci odgovorijo
na vprašanje.
»Enostavni
večkotniki so
tisti, kjer se
stranice ne
sekajo.«
41
»Tako je.«
»Z uporabo Pickovega izreka
bomo na mreži točk računali
izključno enostavnim
večkotnikom.«
Razložim jim, da bomo v
nadaljevanju ure raziskali
Pickov izrek, ki določa metodo
za izračun ploščine enostavnih
večkotnikov z enostavnim
štetjem točk znotraj večkotnika
in na njegovem robu.
Še enkrat ponovim, kakšni so
enostavni večkotniki in jih
demonstriram na geoplošči. Pokažem, katere so notranje in
katere robne točke mrežnega
večkotnika.
»Da si bomo lažje predstavljali,
si poglejmo primer na geoplošči, ki sem jo prinesla s seboj.«
»Ko to končamo se bomo lotimo
zadnjih nalog na učnem listu,
kjer bomo uporabili Pickov
izrek.«
Razdelim učne liste.
RAZLAGA
Pričnem z vodenjem razlage.
1. naloga
Učencem jasno preberem prvo
nalogo.
»Najprej izpolnimo tabelo za
42
1. Cilj: Učenci
razumejo
izpeljavo
Pickovega
izreka
pravokotnike od A do E. Potem
pa bomo razmislili o splošnosti
formule in nadaljevali z
ostalimi pravokotniki.«
Najprej pogledamo pravokotnik
A.
»Njegova ploščina je očitno 1
kvadratna enota.«
Na tabli imam pripravljeno
tabelo, ki jo izpolnjujem, tako
da se učenci lahko ves čas
preverjajo.
»Koliko notranjih točk ima
pravokotnik A?«
»Pravokotnik A nima nobene
notranje točke, zato v stolpec N
zapišemo 0.«
»Koliko pa ima robnih točk?«
Tako izpolnimo stolpce za
notranje in robne točke in
seveda tudi ploščino, ki je pri
vseh primerih očitna.
Ko to izpolnimo se uzremo na
stolpec za splošni obrazec.
»Torej učenci, pri pravokotnikih
je ploščina očitna, toda ali
opazite oziroma prepoznate,
kakšno povezavo z dejansko
ploščino in robnimi točkami?«
»Nobene.«
»Štiri.«
Učenci ugotovijo.
»Dejanska
ploščine je vedno
43
»Super. Kar zapišimo v stolpec,
za splošni obrazec . «
Izpolnimo prvi del tabele, kjer
je število notranjih točk v
pravokotnikih enako 0.
»Sedaj pa si poglejmo še drugi
del prve naloge.«
Postopek je podoben izpolnimo
stolpce, kjer moramo prešteti
notranje in robne točke ter
določiti dejansko ploščino.
»Učenci, ali si pri
pravokotnikih od F do J lahko
pomagamo s prvi delom naloge,
kjer smo že ugotovili posplošen
obrazec? «
»Kaj ste ugotovili? Kakšno
povezavo imajo tokrat preštete
točke in dejanska ploščina?«
za eno manjša od
razpolovljenega
števila robnih
točk.«
»Da.«
»Če prejšnjemu
obrazcu
prištejemo
število notranjih
točk, dobimo
ravno dejansko
ploščino
pravokotnika.«
44
Pogledamo pravokotnik F.
»Pravokotnik F ima eno
notranjo točko in 8 robnih.«
»Torej uporabimo razpolovljeno
število robnih točk, odštejemo
ena in prištejemo notranje
točke, dobimo ploščino 4
kvadratne enote.«
Vse zapišem na tablo.
Za pravokotnike G in J učenci
zapišejo sami.
Sprehodim se po razredu in
preverim kako jim gre.
Na koncu zabeležim rezultate v
tabelo.
Tako sedaj smo končali prvo
nalogo in ugotovili, da za
izračun pravokotnikov na mreži
točk velja naslednji obrazec:
Razložim nadaljnji potek
raziskovanja Pickovega izreka.
2. naloga
»Recimo, da je to Pickov izrek.
Sedaj pa poglejmo, če velja tudi
pri pravokotnih trikotnikih?«
»Zakaj bomo pogledali
pravokotne trikotnike?«
»Pravokotni
trikotnik je
ravno polovica
45
»Tako je, ploščina je zopet
očitna.«
»Natančno preštejte notranje in
robne točke, prav tako pa lahko
zapišete dejanske ploščine
pravokotnih trikotnikov.«
Z učenci najprej izpolnimo tisti
del tabele, kje je število
notranjih točk enako 0.
»Zapišite splošno formulo, ki
velja za pravokotne trikotnike
A1, B1, ..., D1«
Po razredu krožim in
preverjam učenčevo aktivnost
in v primeru kakšnega
vprašanja pomagam.
Izpolnimo še preostali del
tabele, kjer je število notranjih
točk različno od 0 in zapišemo
ploščino.
»Tako dejanske ploščine
imamo, sedaj pa poiščimo
splošno formulo za izračun
ploščine mrežnih pravokotnih
trikotnikov.«
Ko izpolnijo tabelo, se izkaže da
je splošni obrazec za izračun
ploščine enak kot velja za
pravokotnike.
Učenca povabim k tabli, da pod
pravokotnika.«
46
2. Cilj: Učenci
znajo
izračunati
ploščino s
Pickovim
izrekom
4. Cilj:
Učenci
utrjujejo
znanje o
določanju
ploščine
tabelo zapiše splošni obrazec, ki
velja za pravokotne trikotnike
na mreži točk.
3. naloga
Nadaljujemo s tretjo nalogo.
»Dobili smo obrazec, s katerim
lahko izračunamo ploščino na
mreži točk za pravokotne
trikotnike in pravokotnike.«
»Sedaj pa poglejmo, če zapisani
obrazec drži tudi za poljubne
trikotnike.«
Trikotniku T težko določimo
ploščino. Morali si bomo
pomagati. Učence vprašam,
kako.
»Kako bi lahko to pokazali z
ugotovitvami, ki jih že imamo?«
»Torej, kje bi pri poljubnem
trikotniku našli pravokotnike
in pravokotne trikotnike, za
katere vemo da Pickov izek
velja?«
Učenec, ki ga
pokličem, pride
pred tablo in
zapiše obrazec.
»Lahko bi očrtali
trikotnik.«
»Tri trikotna
območja in en
pravokotnik,
dobimo, ko
očrtamo
trikotnik T.«
47
večkotni -
kov.
»Tako je.«
»Kakšna je prva možnost,da
izračunamo ploščino trikotnika
T z uporabo pravokotnika in
pravokotnega trikotnika?«
»Ja. Sedaj označite trikotnik T,
pravokotnik R in trikotna
območja T1, T2 in T3, ki jih
dobite, ko očrtate trikotnik T.«
Preko grafoskopa projiciram
sliko očrtanega trikotnika T.
Zapišem na tablo učenčeve
ugotovitve.
»Kako boste izračunali
posamezne dele?«
»Seštejemo
ploščine
pravokotnih
trikotnikov in
odštejemo od
ploščine
pravokotnika.«
Učenci očrtajo
poljubni
trikotnik in
izračunajo
dejansko
ploščino.
»S Pickovim
izrekom.«
48
2. Cilj: Učenci
znajo
izračunati
ploščino s
Pickovim
izrekom
Učenci izračunajo ploščino
tako, da preštejejo notranje in
robne točke pravokotniku in
trem pravokotnim trikotnikom,
za katere vedo, da Pickov izrek
velja.
Izračun zapišem na tablo.
»Kaj pa drugi način?«
»Kakšna morata biti končna
rezultata?«
Gibljem se med učenci in
opazujem, kako jim gre,
pozorna sem na to, če ima kdo
težave ali kakšno vprašanje.
Učenca pokličem pred tablo, da
zapiše izračun:
Učenec odgovori.
»Preštejemo
notranje in robne
točke trikotnika
T in uporabimo
obrazec:
«
»Enaka.«
49
Torej:
4. naloga
Lotimo se reševanja 4. naloge.
Preberemo navodilo naloge in
učenci razmislijo, kako bi
preverili veljavnost Pickovega
izreka za enostavne večkotnike.
»Kako bi še drugače izračunali
dejansko ploščino poljubnega
večkotnika, če ne bi poznali
Pickovega izreka?«
»Ali kdo vidi, kakšna bi bila
možna razdelitev večkotnika
pri četrti nalogi?«
Učenci razmislijo
in mi odgovorijo.
»Vsak večkotnik
lahko izdelamo s
sestavljanjem
večkotnikov, kjer
vemo, da Pickov
izrek velja.«
»Večkotnik
razdelimo na dva
kvadrata ,
dva pravokotna
trikotnika ki
tvorita kvadrat
, poljubni
trikotnik z
osnovnico in
50
»Pravilno, to je ena možnost,
kako hitro lahko dobimo
velikost notranjega območja
večkotnika.«
»Izračun zapišimo pri prvem
načinu. Razdelitev večkotnik
na dele, za katere Pickov izrek
velja.«
Dopolnim tabelsko sliko.
pravokotni trikotnik s
katetama in :
dva kvadrata :
dva pravokotna trikotnika,
ki tvorita kvadrat
poljubni trikotnik z
osnovnico in višino :
»Kako dobimo ploščino na drugi
način?«
»Tako je. Koliko je notranjih
točk?«
višino ter en
pravokotni
trikotnik, kjer
sta kateti dolgi
in .«
»S štetjem točk
oziroma
Pickovim
izrekom.«
51
»Koliko je robnih točk?«
»Pravilno ste prešteli.«
Zapišem račun in z učenci
izračunamo.
»Ploščina večkotnika je 13
kvadratnih enot.«
»Ste vsi dobili 13 kvadratnih
enot?«
»Notranjih je 7.«
»Robnih je 14.«
»Da.«
PREDAH Učencem namenim minuto
predaha.
Povem jim, da je odkrivanje
Pickovega izreka končano,
lotimo se zadnjih nalog, kjer
bomo uporabili izrek.
UTRJEVANJE
2. Cilj: Učenci
znajo
izračunati
ploščino s
Pickovim
izrekom
Ostale so nam le še tri naloge.
»Gremo kar po vrsti.«
5. naloga
Preberem nalogo.
»Peto nalogo rešimo s Pickovim
izrekom.«
»Prešteli zunanje
52
3. Učenci
znajo na
mreži točk
oblikovati
različne
geometrijsk
e oblike z
danimi
podatki
»Kaj bomo naredili?«
»Tako je. Natančno jih
preštejte, zabeležite in
izračunajte ploščino danega
večkotnika.«
Peto nalogo zapišem na tablo.
»Kolikšna je ploščina?«
»Tako je.«
6. naloga
Rešimo še šesto nalogo.
»Kako bi se jo lotili. Mogoče
predlagate, kaj bi bilo
najbolje?«
in robne točke.«
» kvadratnih
enot.«
»Najbolje bi bilo,
da izračunamo,
kolikšna je
ploščina
večkotnika in
nato oblikujemo
53
»Dobra ideja, poskusite najprej
sami.«
Gibam se med učenci, gledam
kako jim gre oblikovanje
večkotnika z danimi podatki.
Ko učenci večinoma končajo,
jim pokažem tri možne
primere, pripravljene na
prosojnici.
»Pred nami je še zadnja
naloga.«
Gibam se med učenci, gledam,
kako jim gre oblikovanje
večkotnik.«
Učenci
individualno
rešujejo nalogo.
Učenci preberejo
nalogo in
razmislijo.
Rešujejo
individualno.
54
večkotnika s danimi podatki.
»Ali ste rešili nalogo?«
»Torej poglejmo rešitev.«
Rešitev imam pripravljeno na
prosojnici. Uporabim grafoskop.
»Tako učenci, danes ste
spoznali Pickov izrek. Z malo
prakse boste lahko le s
pogledom na večkotnik hitro
izračunali ploščino mrežnih
večkotnikov v svoji glavi.«
»Da.«
ODKLOP Poslovim se od učencev.
»Nasvidenje in lep dan še
naprej.«
»Nasvidenje.«
55
4.2 U ni list
1. Na celoštevilski mreži so podani pravokotniki z dolo enim
številom N notranjih in R robnih to k. Izra unaj njihovo ploš ino,
dopolni tabelo in razmisli o splošnem obrazcu, ki velja za te
primere. Kvadrat A ima za ploš ino 1 kvadratno enoto.
56
2. Na spodnji mreži to k so na rtani pravokotni trikotniki. Enako
kot prej dopolni tabelo, kjer je N število notranjih in R robnih
to k. Izra unaj ploš ino in poskusi zapisati splošni obrazec
tudi za te pravokotne trikotnike.
57
3. Dan je poljuben trikotnik. Raziš i, kako bi izra unal njegovo
ploš ino. Svoje ugotovitve zapiši.
1. NA IN . 2. NA IN
4. Zdaj vemo, da Pickov izrek velja za poljubne trikotnike in
štirikotnike.
a) Kako bi preverili, da Pickov izrek velja tudi za poljubne
enostavne ve kotnike?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
58
b) Izra unaj ploš ino danega ve kotnika na dva na ina.
1. NA IN
2. NA IN
5. Z uporabo Pickovega izreka izra unaj ploš ino spodaj na rtanega
ve kotnika.
59
6. Poiš i ve kotnik, ki ima 2 notranji in 15 robnih to k. Ve kotnik
na rtaj na spodnjo mrežo to k in rezultat preveri.
7. Na mreži to k oblikuj im ve ve kotnikov, ki imajo 2 notranji
to ki in 4 robne to ke. Like poimenuj.
60
4.3 Analiza u ne ure
Učno uro sem izvedla z devetimi razredi. Odločila sem se, da jo
izvedem kot dopolnilni pouk, saj ti učenci lažje izvajajo miselne
procese tudi nad abstraktnimi pojmi.
Učencem sem na začetku ure predstavila končni cilj, nato sem jim na
kratko obrazložila, kako bomo preko reševanja nalog z učnih listov
oblikovali vmesne korake, ki bodo vodili k cilju. Tako so si učenci
lažje prestavljali, kaj bodo raziskovali, glede na to, da so za Pickov
izrek prvič slišali.
Predno pa sem učencem razdelila učne liste, sem ponovila nekaj
pomembnih pojmov, ki jih sicer že poznajo, toda so jih morali
uporabiti pri raziskavi nove učne snovi. Kot motivacijsko sredstvo
sem pri ponavljanju uporabila geoploščo, da smo si na njej ogledali
nekaj mrežnih večkotnikov in spoznali dejstvo, da s štetjem točk
lahko hitro izračunam ploščino, kar pa je učence zelo navdušilo.
Začeli smo z reševanje učnega lista. Pri prvih štirih nalogah smo
raziskovali Pickov izrek.
Učencem pri teh nalogah pot ni bila poznana, kar jim je
predstavljalo problem, saj so kmalu ugotovili, da nalog ne morejo
reševati s priklicem iz spomina, ampak z miselnimi postopki. Pri teh
nalogah, predvsem pri prvi, smo porabili veliko časa, saj so morali
razmisliti, kako bi se lotili in obravnavali problem.
61
S tem so učenci samostojno razmišljali v novih situacijah. Sproti sem
jim morala postavljati jasna vprašanja, na katera so se oprli in si
nato našli neka izhodišča in cilje. Tako so z uporabo podanih
preprostih orodij razvili sposobnost najti pravilnost, ki jo je naloga
zahtevala.
Učenci so morali sami poiskali strategijo reševanja. Nekateri učenci
niso imeli nobenega sistema in so le slučajno iskali zakonitosti, ki bi
veljale za vse podane like. Nekateri pa so razvili strategijo. Težila
sem k temu, da je vsak učenec razvil svoj način iskanja. Zato sem jih
skozi prve štiri naloge vodila in delila nasvete ter namige, da se
sistem reševanja in iskanja zakonitosti, katerega so našli, v primeru
neuspeha ali trenutne nezbranosti, ne bi podrl.
Ko smo Pickov izrek raziskali, so ga učenci v naslednjih nalogah
samostojno uporabili in rešili zadnje tri naloge.
Peta naloga je imela zaprto pot, saj so učenci morali izračunati
ploščino večkotnika z uporabo Pickovega izreka, katerega so dobro
spoznali. Način reševanja jim je bil poznan, zato učencem ni
predstavljal nobenega problema.
Zadnji dve nalogi pa sta bili zasnovani tako, da so učenci sami
poiskali strategijo reševanja, ki jih je pripeljala do cilja. Nekateri so
se lotili intuitivno in kar začeli načrtovati, drugi pa so najprej
izračunali ploščino in nato načrtovali, ko so imeli boljšo predstavo,
kako velik približno mora biti lik.
Ugotovila sem, da samo poznavanje Pickovega izreka učencem ne bo
koristil in ga bodo gotovo tudi pozabili, saj ga ne bodo uporabljali.
62
Zagotovo pa jim bo koristil način razmišljanja v različnih aspektih,
razvijali bodo sposobnost načrtovanja, intuicije in kreativnost.
Pickov izrek jim bo prišel prav tudi pri matematičnem tekmovanju
in nadaljnjem šolanju.
63
5 Zaklju ek
V diplomskem delu sem prišla do nekaterih spoznanj in ugotovitev.
Prva, ki bi jo omenila in brez katere ne bi mogla nadaljevati, je ta,
da sem se pri preučevanju Pickovega izreka seznanila z lastnostmi
kvadratne mreže, na kateri so me zanimale predvsem mrežne točke.
Ko sem predstavljala Pickov izrek v osnovni šoli, sem posebej z
učenci ponovila kvadratno mrežo in jim predstavila mrežne točke,
saj so bile učencem nepoznane.
Iz diplomskega dela je jasno razvidno, tudi da se Pickov izrek
uporablja zgolj za enostavne večkotnike, ki ležijo na kvadratni
mreži, njihova oglišča pa le na mrežnih točkah.
Pri preučevanju sem se odločila za razširitev, in sicer sem
obravnavala »luknjaste« večkotnike. Te so sem mi zdeli še posebej
zanimivi. Na prvi pogled gre za enostavno razširitev Pickovega
izreka, zavzema pa vse večkotnike, ki vsebujejo v notranjosti
poljubno število lukenj. Pozornost bi usmerila le na to, da enako kot
pri enostavnih večkotnikih tudi za »luknjaste« velja, da se stranice
večkotnika ne smejo sekati in luknje med seboj nimajo nobene
skupne mrežne točke.
Še vedno bi se dalo poiskati več vprašanj in na njih odgovoriti.
Lahko bi posplošila postopek na like, katerih rob je sklenjena
krivulja ali pa bi raziskala Pickov izrek na trikotni ali šestkotni
mreži. Zanimiva bi bila posplošitev obrazca v tridimenzionalnem
prostoru, torej za računanje prostornine geometrijskih teles.
64
Toda, kot bodoča učiteljica, sem želela, da bi bila vsebina moje
diplomskega dela razumljiva tudi osnovnošolcem in srednješolcem.
S tem namenom sem vsebino predstavila v osnovni šoli, da bi
ugotovila, ali bodo učenci našli zakonitost, ki sem jo v diplomskem
delu raziskovala. Izkazalo se je, da so za Pickov izrek našli
zakonitost. Toda po učni uri, ki sem jo izvedla, sem prišla do sklepa,
da bi jih kakršna koli dodatna razširitev, ki sem jih omenila malo
prej, preveč obremenila. Tudi za »luknjaste« večkotnike se nisem
odločila, da jih obravnavam, saj je bilo premalo časa, da bi vse
temeljito predelali.
Moj cilj je bil, da učenci razumejo Pickov izrek in ga znajo uporabiti
tudi v drugih problemskih situacijah. Zato sem z učenci podrobno
preučila le najenostavnejšo obliko Pickovega izreka.
65
Literatura:
M. Cotič: Matematični problemi in uporaba geoplošče,
Matematika v šoli, let. 10, 2003, str. 152 – 160.
V. Drole: Mrežni Pitagorejski trikotniki, diplomsko delo,
Ljubljana, 2009, str. 50 – 52.
H. Hadwlger, J. M. Wills: Konveksna telesa in mrežne točke v
evklidskem prostoru, Geometriae Dedicata, let. 2, (1973) 2, str.
255 - 260.
[4] B. Lavrič: Triangulacije večkotnikov, Presek, let. 18, 1990/1991,
št. 3, str. 12 – 16.
B. Lavrič: Večkotniki na kvadratni mreži, Presek, let. 32, 2004/05,
št. 2-3, str. 17 – 21.
I. Pucelj: Ploščina mrežnih večkotnikov, Presek, let. 5, 1977/1978,
št. 1, str. 3 – 8
R. Šuman: Prispevki k poučevanju matematike, Založba Rotis,
Maribor, 1996.
M. Goldwasser: Triangulating Simple Polygons,
URL= http://graphics.stanford.edu/courses/cs268-09
winter/notes/handout5.pdf (12.10.2009)
Pick's Theorem,
URL = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml (13.10.2009)
66
Pick's Theorem, Proof,
URL = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick_proof.shtml
(11.10.2009)
Toying With The Geoboard,
URL= http://www.cut-the-knot.org/ctk/geoboard.shtml
(22.10.2009)
Stomachion: Pick's Theorem,
URL=http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion
/Pick.html (11.10.2009)
WolframMathWorld: Pick's Theorem,
URL= http://mathworld.wolfram.com/PicksTheorem.html
(11.11.2009)
Wolfram Demonstration Project: Pick's Theorem,
URL=http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/
(11.10.2009)
J. J. O'Connor in E. F. Robertson: Biografija Georga A. Picka,
URL=http://www-groups.dcs.st and.ac.uk/~history/Biographies/
Pick.html (23.11.2009)
67
Biografija Georga Alexandra Picka,
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Alexander_Pick
(23.11.2009)