DIOFANTO CONOSCEVA IL DIAGRAMMA DI ARGILLA ?

Aldo Bonet Maggio 2014

Aldo Bonet - 1 -

ALDO BONET 1

DIOFANTO CONOSCEVA IL DIAGRAMMA

DI ARGILLA A MODULO QUADRATO ?

Trento – Maggio- 2014

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1. http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/

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A beneficio dei sostenitori del Diagramma di argilla. Diofanto di Alessandria ( Egitto, III sec d.C. circa) nella sua Aritmetica espone anche, alcuni sistemi di 2° grado affini a quelli visti e risolti dalle civiltà mesopotamiche. Propongo, per esemplificare quello del tipo standard: somma – prodotto ( x + y = s; x·y = b). L’enunciato di Diofanto recita così: “ trovare due numeri quando la loro somma e il loro prodotto siano uguali a numeri assegnati “ Il sistema è risolto abilmente da Diofanto e traspare nel suo procedimento di risoluzione l’applicazione inequivocabile dell’arcaico principio mesopotamico: quello della semisomma [ u= (x + y)/2 ] e della semidifferenza [ v= (x - y)/2 ]. Diofanto, risolve il sistema di 2° grado scomponendo i due numeri (o le due incognite) in questo modo: x= u + v ; y= u – v . Ovvero, in due sub-radici, dove, se era nota, l’una (u) bisognava trovare l’altra (v) o viceversa. A questo generico enunciato, Diofanto, pone un limite o condizione volto a ottenere soluzioni razionali positive, il quale, recita: ”E’ necessario tuttavia che il quadrato della semisomma dei numeri, superi il loro prodotto di un numero quadrato, cosa che è d’altronde figurativa “ Tradotto algebricamente, l’enunciato si presenta come segue:

u2 = [(x + y)/2] 2 = x y + v2 Che cosa volesse dire Diofanto con l’ultima frase della condizione posta: “cosa che è d’altronde figurativa” - ἒστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν (1) - ha scatenato una ridda di ipotesi e interpretazioni: chi sostiene che Diofanto abbia voluto fare riferimento ad una costruzione di tipo babilonese e chi invece sostiene che fosse di tipo euclideo, come la proposizione II,6. Noi invece, dopo aver letto gli articoli precedenti sul Diagramma di argilla, sappiamo che Diofanto faceva riferimento alla quarta parte di questa macchina matematica in mattoni:

Diofanto aveva sviluppato un‘algebra “sincopata – simbolica” mascherando così nel calcolo il Diagramma di argilla cui faceva comunque riferimento. Oggi, per noi la cosa è chiara! E sappiamo anche cosa intendesse dire Diofanto con quell’ultima parte della condizione posta. E, detta alla Diofanto: “ ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν “ .

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Secondo il Professor Giovanni Ceschi, insegnate di greco presso l’Istituto Liceo Prati di Trento, che ho interpellato e che ringrazio moltissimo per la sua preziosa disponibilità nonostante i suoi numerosi impegni scolastici, la frase diofantea, meglio se scritta:

“ ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν “ la si può tradurre e inquadrare più correttamente come:

“ Cosa che peraltro è anch’essa figurativa ”.(2) Questa interpretazione del Prof. Giovanni Ceschi, che mi è stata subito fornita grazie alla competenza nel proprio ambito, pur con la riserva (a dimostrazione della sua serietà professionale) di essere direttamente verificata nell’Opera originale ( all’interno quindi, di un contesto più ampio in cui è stata scritta da Diofanto nella sua Aritmetica), già di per se non è assolutamente da trascurare sul piano di un’analisi linguistica oggettiva. Questa migliore traduzione, che reputo affidabile e adeguata, mi porta a pensare che Diofanto, con la sua ultima frase, stesse semplicemente facendo riferimento a qualcosa di analogo che aveva visualizzato e che era da ricollegare a qualcosa di precedente. In altre parole, a mio parere, Diofanto, stava affermando che la condizione da Lui posta era correttamente visualizzabile sullo stesso Diagramma di argilla esattamente come il principio della semisomma e della semidifferenza, preventivamente visualizzato (o raffigurato) proprio come nella figura sopraindicata. ………………………………………………………………………………………………………… 1. Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori, pag 123. 2. Secondo Jöran Friberg: (2007) Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra - World Scientific, pag. 328- 329-330, la frase in questione si può inquadrarla come: “ And this can be shown in a diagram “ ovvero: “E anch’essa può essere visualizzata in un diagramma” . Jöran Friberg propone quindi, tre tipi di diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro e, ognuno, rispettivamente assegnato a ogni problema contenuto nell’Aritmetica di Diofanto: I.27- I.28- I.30. Ebbene, tutti i tre diagrammi proposti, se osservati attentamente, sono tutti riconducibili e pertanto contenuti nell’unico Diagramma di argilla a modulo quadrato, dal quale discendono e che io propongo.

Jöran Friberg: (2007) - Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. pag. 330: Notare che, l’abbreviazione “ sq. “ deriva dalla parola inglese “ square” che significa: “ quadrato” Pertanto, quando vediamo per esempio l’espressione: sq.(a – b) /2, dobbiamo leggerla come: “ il quadrato della semidifferenza” , che tradotto algebricamente : [(a – b) /2] 2 Per comodità di comprensione terrò le espressioni con le dovute abbreviazioni usate da Jöran Friberg , il quale, peraltro, usa per le incognite (o numeri incogniti) le lettere “ a, b “ e per i termini noti: “ m, n, k “ Jöran Friberg, propone tre diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro: Il primo a sinistra, interpreta geometricamente la condizione posta (diorismo ) da Diofanto nel problema Ar. I, 27 della sua Aritmetica. Il diagramma in mezzo (o al centro), per il problema Ar . I, 28 e l’ultimo a destra, per il problema Ar . I, 30.

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Fig. 1. Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, pag. 330 (Figura inserita su gentile concessione dell’autore)

Desidero far vedere, qui di seguito, come gli stessi diagrammi proposti da Jöran Friberg appartengano tutti e tre

all’arcaico e unico Diagramma di argilla mesopotamico a cui Diofanto faceva verosimilmente riferimento.

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DIAGRAMMI DI JÖRAN FRIBERG RICOSTRUITI CON IL DIAGRAMMA DI ARGILLA QUADRATICO.

( Jöran Friberg’s Diagrams reconstructed with the clay square diagram.)

Riprendiamo quello a sinistra della Fig. 13.1.1- Ar. I, 27 e lo interpretiamo con il Diagramma di argilla:

Fig. 2. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: sq. (a+b) /2 = sq. (a-b) /2 + a.b

Riprendiamo quello in mezzo della Fig. 13.1.1- Ar. I, 28 e lo interpretiamo con il Diagramma di argilla:

Fig. 3. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 2(sq.a+ sq.b) = sq. (a+b) + sq. (a-b)

Riprendiamo quello a destra della Fig. 13.1.1- Ar. I, 30 e lo interpretiamo con il Diagramma di argilla:

Fig. 4. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 4.a.b + sq. (a-b) = sq. (a+b)

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L’autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons “Creative Commons, Attribuzione – Non commerciale 2.5 Italia License” ossia, mettere gratuitamente l’articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l’autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell’autore, predilige il cautelativo benestare dall’autore stesso. . Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA – su richiesta dell’autore.

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