Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Neuronales Neuronales Neuronales Neuronales Germán Mato Germán Mato Germán Mato Germán Mato Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Centro Atómico Bariloche Centro Atómico Bariloche Centro Atómico Bariloche Centro Atómico Bariloche CNEA y CONICET CNEA y CONICET CNEA y CONICET CNEA y CONICET Escuela “J. A. Balseiro” 2009 Modelado en Neurociencias
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Dinámica de Sistemas Neuronales · Dinámica de Sistemas Neuronales Germán Mato Física Estadística e Interdisciplinaria Centro Atómico Bariloche CNEA y CONICET Escuela “J.
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Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas
NeuronalesNeuronalesNeuronalesNeuronales
Germán MatoGermán MatoGermán MatoGermán Mato
Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria
Centro Atómico BarilocheCentro Atómico BarilocheCentro Atómico BarilocheCentro Atómico Bariloche
CNEA y CONICETCNEA y CONICETCNEA y CONICETCNEA y CONICET
Escuela “J. A. Balseiro” 2009Modelado en Neurociencias
Dinámica Neuronal
• Membrana lipídica
• Bombas iónicas
Dinámica Neuronal
• Desbalance en la concentración de iones
• Diferencia de energía entre el inmterior y el exterior de la membrana:
eVE
Tk
E
Ion
Ion
Bout
in
=∆
∆−=
+
+
exp][
][
Dinámica Neuronal
• Ecuación de Nernst
• Para este valor del potencial el flujoneto de la corriente de iones esnulo.
=
+
+
in
outB
Ion
Ion
e
TkV
][
][ln
Dinámica Neuronal
• Normalmente hay mas de una especie iónica
• Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz:
++++
=outClinKinNa
inCloutKoutNaB
ClPKPNaP
ClPKPNaP
e
TkV
][][][
][][][ln
Dinámica Neuronal
• Corrientes iónicas a través de la membrana
)( ionionion VVgI −=
:ionV Potencial de inversión
:iong Conductancia
Dinámica Neuronal
)( ionionion VVgI −=
Dinámica Neuronal
• Exceso de cargas negativas en el interior de la membrana
•
• Exceso de sodio en el exterior:
• Exceso de potasio en el interior:
mVV 8050 −↔−≈
mVVNa 50≈
mVVK 80−≈
Dinámica Neuronal
Circuito equivalente
Dinámica Neuronal
• Si las conductancias iónicas fueran constantes, el sistema sería lineal y alcanzaría siempre algún estado de equilibrio.
∑ −−=ion
extion IIdt
dVC
• Conductancia iónicas no-lineales
• Los canales son altamente selectivos
Dinámica Neuronal
• Corriente a través de uno de los canales de la membrana
Dinámica Neuronal
• El canal se abre o cierra aleatoriamente
• Controlado por cambios conformacionales del canal
• La probabilidad de apertura depende del potencial de la membrana
Dinámica Neuronal
Dinámica Neuronal
• Ecuación maestra:
1-β
Abierto
β α
1-α
Cerrado
AbiertoAbiertoAbierto PPdt
dPβα −−= )1(
Dinámica Neuronal
• O equivalentemente:
donde:
τAbierto
Equilibrio
AbiertoAbierto PP
dt
dP −=
βατ
βαα
+=
+=
1,Equilibrio
AbiertoP
Dinámica Neuronal
• En principio se necesitan varios cambios conformacionales para abrir un canal.
• La probabilidad total será el producto de las probabilidades.
• Por ejemplo para el canal de potasio del modelo Hodgkin-Huxley se necesitan 4 cambios:
Dinámica Neuronal
• Canal de potasio HH
donde
40 ngg KK =
)(
)(
V
nVn
dt
dn
nτ−
= ∞
Dinámica Neuronal
• Variable de activación
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
n inf(V
)
V (mV)
Dinámica Neuronal
• Canal de sodio HH
hmgg NaNa
30=
)(
)(,
)(
)(
V
hVh
dt
dh
V
mVm
dt
dm
hm ττ−
=−
= ∞∞
Dinámica Neuronal
• Variables de activación e inactivación
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
min
f(V)
V (mV)
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
h inf(V
)
V (mV)
Dinámica Neuronal
• Potencial de acción
Dinámica Neuronal
Propagación potencial
de acción
Dinámica Neuronal
Propagación potencial
de acción
axial aresistenci :
diametro :
),(4
),(),(),(
2
2
R
d
txx
V
R
dtxItxI
t
txVC
ionextion ∂
∂+−−=
∂∂
∑
Dinámica Neuronal
Modelos multi-
compartimentales
Dinámica Neuronal
• Las neuronas son sistemas dinámicos.
• Los estados de reposo corresponden a equilibrios estables.
• Las oscilaciones periódicas son ciclos límites.
• La transición entre un comportamiento y otro involucra una bifurcación.
Dinámica Neuronal
1. Potencial de membrana
2. Variables de excitación (corrientes de sodio)
3. Variables de recuperación(corrientes de potasio)
4. Variables lentas (corrientes de calcio): bursts, adaptación.
Dinámica Neuronal
Dinámica Neuronal
Bifurcaciones saddle-node
Dinámica Neuronal
Bifurcaciones Hopf
Dinámica Neuronal
• La forma de la bifurcación controla:
1. La curva f-I
2. Si los potenciales de acción son todo o nada
3. Si hay rebote post-inhibitorio
4. Cuales son los estímulos óptimospara generar potenciales de acción.
Dinámica Neuronal
• Curvas f-I:
Tipo IModelo WB
Tipo IIModelo HH
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,80
20
40
60
80
100
f (H
z)
Iext
0 10 20 300
20
40
60
80
100
f (H
z)
Iext
Dinámica Neuronal
• Altamente no-lineal
• Coexisten varias escalas de tiempo
• Puntos fijos y estados oscilatorios
Dinámica Neuronal
• Necesitamos aproximaciones.
• Aproximación basada en linealizarla dinámica alrededor del potencial de reposo.
• Modelo Integrate-and-Fire lineal.
Dinámica Neuronal
• Modelo Integrate-and-Fire lineal
• Frecuencia of oscilaciones:
0)(,1)( si
/
==
+−=+tVtV
IVdtdVτ
)/11ln(
11
ITf
−−==τ
Dinámica Neuronal
• Modelo Integrate-and-Fire lineal
• Trayectoria
0.0 0.3 0.6 0.9 1.20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
t
V(t
)
Dinámica Neuronal
• Modelo Integrate-and-Fire lineal
• Curva f-I
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
τf
I
Dinámica Neuronal
• Modelo Integrate-and-Fire lineal
• Es posible calcular analíticamente el potencial post-sináptico generado por una corriente. Por ejemplo si entonces)/exp()( synsynsyn tgtI τ−=
ττττ
−
−−−=∆
syn
syn
syn
ttgtV
)/exp()/exp()(
Dinámica Neuronal
• Stochastic response model
• No hay un umbral “rígido” sino una probabilidad por unidad de tiempo de generar un potencial de acción