1 ĐỊNH LÝ MANNHEIM VÀ ỨNG DỤNG Trần Minh Ngọc Sinh viên K38, khoa Toán-Tin, ĐHSP-TPHCM Tóm tắt Xung quanh điểm Miquel có rất nhiều tính chất đẹp. Định lý Mannheim là một trong số đó. Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu về định lý Mannheim và ứng dụng của nó trong giải toán. I. Phát biểu và chứng minh Định lý Mannheim được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Amedee Mannheim (17/06/1831 - 11/12/1906) [1] có phát biểu như sau: Cho tam giác ABC . Gọi , , DEF lần lượt là các điểm nằm trên , , BC CA AB không trùng với , , ABC ; M là điểm Miquel của , , DEF ứng với tam giác ABC ; , , PQR lần lượt là các điểm nằm trên , , AEF BFD CDE không trùng với M . Khi đó: a. , , , MPQR thẳng hàng , , AP BQ CR đôi một song song. b. , , , MPQR đồng viên , , AP BQ CR đồng quy. Chứng minh a. ( ) Giả sử , , , MPQR thẳng hàng. Do tứ giác , AFMP BMFQ nội tiếp nên FAP FMQ FBQ . Suy ra // AP BQ . Chứng minh tương tự: // AP CR . Do đó , , AP BQ CR đôi một song song . ( ) Giả sử , , AP BQ CR đôi một song song. Khi đó: FAP FBQ . Do tứ giác , AFMP BMFQ nội tiếp nên 180 180 FMP FMQ FAP FBQ . R Q M A B C F E D P
20
Embed
ĐỊNH LÝ MANNHEIM VÀ ỨNG DỤNG M P R Q Tr n Minh … Giải Gọi d A là đường thẳng qua A và vuông góc với MA, định nghĩa tương tự: dd BC,. A 2 là giao
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
ĐỊNH LÝ MANNHEIM VÀ ỨNG DỤNG
Trần Minh Ngọc
Sinh viên K38, khoa Toán-Tin, ĐHSP-TPHCM
Tóm tắt
Xung quanh điểm Miquel có rất nhiều tính chất đẹp. Định lý Mannheim là một trong số đó. Trong bài
viết này, tôi sẽ giới thiệu về định lý Mannheim và ứng dụng của nó trong giải toán.
I. Phát biểu và chứng minh
Định lý Mannheim được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Amedee Mannheim (17/06/1831 -
11/12/1906) [1] có phát biểu như sau:
Cho tam giác ABC . Gọi , ,D E F lần lượt là các điểm nằm trên , ,BC CA AB không trùng với , ,A B C ;
M là điểm Miquel của , ,D E F ứng với tam giác ABC ; , ,P Q R lần lượt là các điểm nằm trên
, ,AEF BFD CDE không trùng với M . Khi đó:
a. , , ,M P Q R thẳng hàng , ,AP BQ CR đôi một song song.
b. , , ,M P Q R đồng viên , ,AP BQ CR đồng quy.
Chứng minh
a.
( ) Giả sử , , ,M P Q R thẳng hàng.
Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên FAP FMQ FBQ . Suy ra / /AP BQ . Chứng minh
tương tự: / /AP CR .
Do đó , ,AP BQ CR đôi một song song .
( ) Giả sử , ,AP BQ CR đôi một song song.
Khi đó: FAP FBQ .
Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên 180 180FMP FMQ FAP FBQ .
R
QM
A
B C
F
E
D
P
2
Suy ra , ,M P Q thẳng hàng . Chứng minh tương tự: , ,M P R thẳng hàng.
Do đó , , ,M P Q R thẳng hàng.
b.
( ) Giả sử , , ,M P Q R đồng viên .
Gọi N là giao điểm của , .AP BQ
Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên APM BFM MQN . Suy ra tứ giác MPNQ nội tiếp.
Mà tứ giác MPQRnội tiếp. Nên ,AP BQ cắt nhau tại N nằm trên MPQR . Chứng minh tương tự:
,AP CRcắt nhau tại một điểm nằm trên MPQR . Do đó , ,AP BQ CR đồng quy tại một điểm nằm
trên .MPQR
( ) Giả sử , ,AP BQ CR đồng quy tại N .
Chứng minh tương tự như trên ta được: tứ giác MPNQ , MPNR nội tiếp. Do đó , , , ,M P Q R N đồng
viên.
Định lý Mannheim cho ta một cách chứng minh các điểm thẳng hàng và các điểm đồng viên. Để thấy rõ
điều đó, ta đến với phần kế tiếp.
II. Ứng dụng
Bài toán 1 (Đường tròn Miquel [2]): Cho tam giác ABC và đường thẳng d không qua , ,A B C . Giả
sử d lần lượt cắt , ,BC CA AB tại 1 1 1, ,A B C . Chứng minh rằng: tâm của
1 1 1 1 1 1, , , ,ABC ABC BC A CA B đồng viên.
N
R
M
A
B C
F
E
D
P
Q
3
Giải
Gọi , , ,A B CO O O O lần lượt là tâm của 1 1 1 1 1 1, , , , .ABC ABC BC A CA B
Theo định lý Miquel: 1 1 1 1 1 1, , , ,ABC ABC BC A CA B đồng quy tại .M
Gọi 2A là giao điểm khác A của 1 1,OA AB C . Định nghĩa tương tự: 2 2,B C .
Theo định lý Mannheim: 2 2 2,O, , ,M A B C đồng viên.
Do 2 2 22 2 180 180
AMO A MAA MAO MOA MOA nên
2, , ,
AM O A O đồng
viên. Chứng minh tương tự: 2 2,O, ,O ; ,O, ,B CM B M C O là các bộ điểm đồng viên. Do đó
2 2 2,O, , , , , ,A B CM A B C O O O đồng viên.
Bài toán 2 (Đường tròn Dergiades [3]): Cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên ABC và
, ,BC CA AB . Gọi 2 2 2, ,A B C lần lượt là điểm chính giữa cung , ,BC CA AB chứa M của
, ,MBC MCA MAB . Chứng minh rằng: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.
C2
B2
A2
M
O
OC
OB
OA
A1
A
BC
C1
B1
4
Giải
Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với MA , định nghĩa tương tự: , .B Cd d
2A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 2 2, .B C
Khi đó: 2 2 2, ,A B C lần lượt nằm trên , , .MBC MCA MAB
Do 1A là điểm chính giữa cung BC chứa M của MBC nên 2 1A A là đường phân giác trong của tam
giác 2 2 2A B C .Chứng minh tương tự: 2 1 2 1,B B C C là các đường phân giác trong của tam giác 2 2 2A B C .
Do đó 2 1 2 1 2 1, ,A A B B C C đồng quy . Theo định lý Mannheim: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.
Nhận xét:
1 Gọi 2 2 2, ,A B C lần lượt là điểm chính giữa cung , ,BC CA AB không chứa M của
, ,MBC MCA MAB . Ta cũng có: 1 2 2 2 1 2 2 2 1, , , , , , , , , , ,M A B C M A B C M A B C là các bộ
điểm đồng viên.
2. Đây là mở rộng của đường tròn Fuhrmann [3],[4]. Thật vậy:
Gọi 3A là điểm chính giữa cung BC không chứa A của ABC , định nghĩa tương tự 3 3, .B C
4A là điểm đối xứng của 3A qua BC , định nghĩa tương tự: 4 4, .B C
H là trực tâm tam giác .ABC
Do HBC đối xứng với ABC qua BC nên 4A là điểm chính giữa cung BC chứa H của ( )HBC .
Chứng minh tương tự: 4 4,B C là điểm chính giữa cung ,CA AB chứa H của ,HCA HAB .
Theo bài toán 2: 4 4 4, , ,H A B C đồng viên.
C1
B1
A1
C
B2
A2
C2A
B
M
5
Bài toán 3 (Đường tròn Hagge [4], [5], [6]): Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm M không
nằm trên ABC và , ,BC CA AB . Gọi 1A là giao điểm khác A của ,AM ABC ; 2A là điểm đối
xứng của 1A qua BC , định nghĩa tương tự: 1 2 1 2, , ,B B C C . Chứng minh rằng: 2 2 2, , ,H A B C đồng viên.
Giải
Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với HA , định nghĩa tương tự: , .B Cd d
3A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 3 3,B C .
Khi đó: 3 3 3, ,A B C lần lượt nằm trên , , .HBC HCA HAB
H
B2
C2
A2
B1
C1
A1
CB
A
H
A3
B3C3
B2
C2
A2
B1
C1
A1
C
A
B
M
6
Do HBC đối xứng với ABC qua BC nên 2A nằm trên .HBC
Chứng minh tương tự:2 2,B C lần lượt nằm trên , .HCA HAB
Ta có:
3 2 3 3 3 2 3 2 1 1
3 2 3 3 3 2 3 2 1 1
sin , sin , sin , sin , sin ,.
sin , sin , sin , sin , sin ,
A A A C A A A B CA CB CB CA AB AA
A A A B A A A C BA BC BC BA AC AA
Chứng minh tương tự:
3 2 3 3 1 3 2 3 3 1
3 2 3 3 1 3 2 3 3 1
sin , sin , sin , sin ,; .
sin , sin , sin , sin ,
B B B A BC BB C C C B CA CC
B B B C BA BB C C C B CB CC
Do đó
3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 1 1
3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 1
sin , sin , sin , sin , sin ,. . .
sin , sin , sin , sin , sin ,
A A A C B B B A C C C B AB AA CA CC
A A A B B B B C C C C B AC AA CB
1
1 1
sin ,. .sin ,
BC BB
CC BA BB
Mà theo định lý Ceva dạng lượng giác:
1 1 1
1 1 1
sin , sin , sin ,. . 1.
sin , sin , sin ,
AB AA CA CC BC BB
AC AA CB CC BA BB
Nên
3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3
3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3
sin , sin , sin ,. . 1.
sin , sin , sin ,
A A A C B B B A C C C B
A A A B B B B C C C C B
Theo định lý Ceva dạng lượng giác: 3 2 3 2 3 2, ,A A B B C C đồng quy.
Theo định lý Mannheim: 2 2 2, , ,H A B C đồng viên.
Nhận xét:
1. Các bạn có thể tham khảo một cách chứng minh khác 3 2 3 2 3 2, ,A A B B C C đồng quy trong [4].
2. Khi M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta được đường tròn Furhmann.
3. Gọi 4A là điểm đối xứng của 1A qua BC , định nghĩa tương tự: 4 4,B C . Ta cũng có: 4 4 4, , ,H A B C
đồng viên. Xung quanh 2 2 2 4 4 4,A B C A B C có nhiều tính chất thú vị. Các bạn có thể tham khảo trong
[4], [5], [6].
3. Bài toán đảo của bài toán 3 cũng đúng. Thật vậy xét đường tròn đi qua H . Gọi
, ,A B C lần lượt là đường tròn đối xứng với qua , ,BC CA AB . Khi đó:
C4
B4
A4
C1
B1
A1
HM
A
B C
7
, ,A B C lần lượt đi qua giao điểm khác , ,A B C của , ,AH BH CH với ABC . Gọi
5 5 5, ,A B C lần lượt là giao điểm khác chúng của , ,A B C với ABC . Giả sử 5 5,AA BB cắt
nhau tại N ; '
5C là giao điểm khác C của ,CN ABC ; '
6 6 6 6, , ,A B C C lần lượt là điểm đối xứng của
'
5 5 5 5, , ,A B C C qua , ,BC CA AB . Khi đó: 6 6 6, ,A B C nằm trên . Theo bài toán 3: '
6 6 6, , ,H A B C
đồng viên, tức là '
6C nằm trên . Suy ra '
5C nằm trên C . Do đó '
5 5C C . Suy ra 5 5 5, ,AA BB CC
đồng quy tại .N
Điểm N được gọi là điểm Anti-Hagge của đường tròn .
Bài toán đảo của bài toán trong nhận xét 2 cũng đúng. Nó được phát biểu và chứng minh tương tự.
Bài toán 4 (Trần Minh Ngọc): Cho tam giác ABC nội tiếp O và điểm M không nằm trên O . Gọi
AO là tâm của MBC , 1A là giao điểm khác M của ,AMO O MBC , định nghĩa tương tự:
1 1, , ,CB CO B O . Chứng minh rằng: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.
Giải
Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1 : Trong mặt phẳng bổ sung các phần tử vô tận, cho tam giác ABC nội tiếp O . Gọi AO là
một đường tròn đi qua ,B C ; 1 1,B C lần lượt là giao điểm khác ,B C của AO với ,AC AB ; D là giao
điểm khác A của ,AO O ; 'A là giao điểm khác D của , ( )AOO D O . Gọi 1A là giao điểm của
1 1,B C BC . Khi đó: 1',AA AA là hai đường đẳng giác của tam giác .ABC
Chứng minh
A6
B6
C6
N
B5
A5
C5
H
A
B C
8
Gọi 2A là giao điểm của 1 1,BB CC ; 3A là giao điểm của 1 2, .AA OA
Do 1AA là đường đối cực của 2A đối với AO nên 1 2AAA O A tại 3A và
2 3 2 2 2 1 2 2 1. . .A A A O A B A B A C A C . Suy ra 3 1 3 1,A ABO A B CO A C nội tiếp. Do đó
3 3 3 2 1 1 1 1
1180 180
2A A A A ABA C BA O CA A BB O CC O BO B CO C BAC
Suy ra 3A nằm trên O . Điều này chứng tỏ rằng 3, ,O D A thẳng hàng. Suy ra
0 0
3 3
1 1' ' 180 ' 180 '
2 2AA A O A AO AOA A OA . Từ đó tam giác 3 'A OA cân tại AO ,
tức là 3 'A AO A O A . Mà 3 'OA OA . Nên 3 'AOO A A . Mặt khác AOO BC . Vì thế 3 '/ /A A BC
hay 3'BA A C là hình thang cân. Suy ra 3'A B A C hay 3'BAA CAA . Do đó 2',AA AA là hai
đường đẳng giác của tam giác .ABC
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng bổ sung các phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên
( )ABC . Gọi 1 1 1, ,A B C lần lượt là hình chiếu của M lên , ,BC CA AB ; 2 2 2, ,A B C lần lượt là giao điểm
khác 1 1 1, ,A B C của 1 1 1A B C với , ,BC CA AB ; 3A là giao điểm của 1 1 2 2,B C B C , định nghĩa tượng tự
3 3,B C . Chứng minh rằng: 3 3 3, ,AA BB CC đôi một song song (đồng quy tại điểm vô tận).
O
A3
A2
A'
A1
B1
C1
D
A
BC
OA
9
Chứng minh
Gọi O là tâm của 1 1 1 .A B C
4A là giao điểm khác 1A của 1,MA O , định nghĩa tương tự 4 4,B C . Khi đó:
2 4 2 4 2 4, , , , , , , ,A A O B B O C C O là các bộ điểm thẳng hàng.
5A là giao điểm của 1 2 1 2, .BC C B
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác 1 2 4 1 2 4BC C C B B , ta được: 5 , ,A O M thẳng hàng. Mà 3 6AA OA
do 5A là cực của 3AA đối với O . Nên 3AA OM . Chứng minh tương tự: 3 3,BB OM CC OM .
Do đó: 3 3 3, ,AA BB CC đôi một song song.
B4 C4
A5
C3
B3
A2
A3C2B2
OC1
B1
A1
A
B C
M
10
Trở lại bài toán:
Ta bổ sung vào mặt phẳng các phần tử vô tận
Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với MA , định nghĩa tương tự: ,B Cd d
2A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 2 2,B C
Khi đó: 2 2 2, ,A B C lần lượt nằm trên , ,MBC MCA MAB
3 3 3, ,A B C lần lượt là giao điểm khác , ,A B C của O với 2 2 2 2 2 2, ,B C C A A B
4A là giao điểm của 3 3,BC B C , định nghĩa tương tự 4 4,B C
Theo bổ đề 1: 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 2 4, , , , ,A A A A B B B B C C C C là các cặp đường đẳng giác của tam giác
ABC . Theo bổ đề 2: 2 4 2 4 2 4, ,A A B B C C đôi một song song . Suy ra 2 1 2 1 2 1, ,A A B B C C đồng quy. Theo
định lý Mannheim: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên
Nhận xét: Bài toán 4 là bài toán nghịch đảo của đường thẳng Turner [7]. Thật vậy:
Xét phép nghịch đảo f cực M phương tích bất kì, với quy ước điểm f T cũng được kí hiệu là T , ta
được:
O là điểm nghịch đảo của M đối với .ABC
AO là điểm đối xứng với M qua BC , 1A là giao điểm của ,AO O BC , định nghĩa tương tự:
1 1, , ,CB CO B O . Khi đó: 1 1 1, ,A B C thẳng hàng.
C4
B4
A4
B3
C3
A3
C2
B2
A2
B1
C1
A1
O
OC
OB
OA
A
B C
M
11
Bài toán 5 (Trần Minh Ngọc): Trong mặt phẳng bổ sung phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm
M không nằm trên ABC . Gọi 1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C lần lượt là cặp điểm nằm trên
, ,MBC MCA MAB sao cho 1 1 1, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng hàng. Chứng minh rằng:
2 2 2, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng hàng 1 2 1 2 1 2, ,A A BC B B CA C C AB thẳng hàng.
Giải
Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:
Bồ đề 3: Trong mặt phẳng bổ sung phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên
ABC . Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của M lên , ,BC CA AB ; 1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C lần
lượt là cặp điểm nằm trên , ,AEF BFD CDE sao cho 1 1 1, ,AA BB CC đồng quy. Khi đó:
2 2 2, ,AA BB CC đồng quy 1 2 1 2 1 2, ,A A EF B B FD C C DE thẳng hàng.
Chứng minh
Gọi 3A là giao điểm 1 2 ,A A EF , định nghĩa tương tự 3 3,B C .