-
DINAMIČKO SAVIJANJE OPTIČKI POBUĐIVANE MIKROGREDICE
Dragan M. Todorović Centar za multidisciplinarne studije,
Univerzitet u Beogradu, P. fah 33, 11030 Beograd
Rad po pozivu
Sadržaj – U ovom pregledu dati su rezultati proučavanja
dinamičkih efektata optički pobuđivanih mikrogredica
(jednomaterijalnih i bimaterijalnih). Analizirane su ampli-tude i
faze dinamičkog elastičnog savijanja u funkciji od učestanosti
modulacije optičke pobude. Pored termoela-stičnih i elektronskih
deformacijonih efekata koji imaju glavnog uticaja na dinamiku
mikrogredice, proučavani su i drugi važni efekti, kao što su:
lateralni toplotni fluks, površinsko naprezanje, toplotni i
elektronski gubici, termomehanički šum, odnos signal-šum, itd.
Rezultati ovih istraživanja su značajna za senzore, aktuatore i
rezonatore zasnovane na mikrogredicama, kao i za atomsku i termalnu
mikroskopiju. 1. UVOD 1. 1 Fotoakustična i fototermalna nauka
Fotoakustična (FA) i fototermalna (FT) nauka predstavlja novu
disciplinu čiji rezultati nalaze primenu u najrazličitijim
oblastima: od fizike, hemije, biologije, medicine do različitih
industrijskih primena [1,2], Poslednjih desetak godina, o oviru FA
i FT nauke nalazi radi se na proučavanju poluprovodničkih
materijala i mikro(opto)elektronskih struktura. Posebno se radi na
razvoju nedestruktivnih i nekontaktnih tehnika, pogodnih za primenu
u mikroelktronskoj industriji [3]. Na primer, trenutno jedan od
najsavršenijih uređaja za neposrednu kontrolu i karakterizaciju u
proizvodnji integrisanih kola je izrađen na bazi FT modulacione
refleksione metode [4]. Fotoakustična (FA) i fototermalna (FT)
nauka se kod mikroeletronskih materijala i struktura zasnovana na
fenomenu plazma, toplotnih i elastičnih talasa. Razvijen je niz
novih tehnika generacije i detekcije plazma, toplotnih i elastičnih
talasa i na osnovu toga napravljeni su novi instrumenti za
karakterizaciju materijala. Na primer, na osnovu FT metode
razvijena je posebna mikroskopska tehnika - mikrotermografija.
Mikrotermografija omogućuje da se "vidi" profil materijala bez
njegove destrukcije i ne zahteva kontakt sa materijalom. FA i FT
metode su aktivne metode, kod kojih se materijal pobuđuje
modulisanim energetskim snopom (elektromagnetski talasi, snopovi
čestica) i posmatra se toplotni i/ili elastični odziv (različiti
termodifuzioni i termoelastični procesi). Sve ove metode mogu se,
prema načinu detekcije, klasifikovati kao: FT modulaciona
reflektometrija; FT radiometrija, FT deflektometrija; FT
interferometrija i FA metoda. Već niz godina se u okviru FA i FT
nauke intezivno radi na razvoju novih metoda i uređaja za
karakterizaciju mikro (opto)elektronskih materijala i struktura.
Karakterizacija materijala od koga je napravljena mikrostruktura
kao i
ispitivanje njenih osobina je važan ali veoma složen problem.
Ovakva karakterizacija zahteva nekontaktne i nedestruktivne metode
i tehnike merenja kojima bi se određivale različite fizičke i
strukturne osobine. FA i FT metode su postale moćno sredstvo i u
dijagnosticiranju dinamike fotogenerisanih nosilaca, odnosno plazma
talasa. Posebno je značajna primena FA i FT metoda za istraživanje
različitih termoelastičnih i elektronskih deformacionih efekata u
mikro(nano)strukturama, odnosno senzorima i aktuatorima. 1.2
Mikrogredice za senzore
Mikro(nano)sistemske tehnologije igraju važnu ulogu u
razvoju i proizvodnji minijaturnih senzora, aktuatora,
rezonatora i elektromehaničkih delova. Jedna nova klasa visoko
osetljivih senzora zasniva se na komercijalno dostupnim
mikrogredicama, kao što su one koje se koriste kod atomskih
mikroskopa (the atomic force microscopy - AFM). Masovna i jeftina
proizvodnja mikrogredica unela je revoluciju u oblasti dizajna
pretvarača (senzora, aktuatora, rezonatore). Pored toga, široka
primena atomske mikroskopije dovela je do dodatnog interesa za
mikrogredice kao osnove za različite tipove senzora.
Danas se govori o posebnoj klasi visoko osetljivih senzora
zasnovanih na mikrogredicama. Za razliku od drugih tipova
pretvarača, mikrogredice (konzole) su jednostavne mehaničke
strukture. Senzori na bazi mikrogredica imaju malu zapreminu i
visoku osetljivost. Primena mikrogredica kao senzora zasniva se na
detekciji njenih pomeraja (savijanje). Savijanje mikrogredice može
se precizno meriti optičkim ili električnim tehnikama. Pored toga,
mikrogredice se mogu integrisati sa drugim komponentama, kao što
kapacitivna, piezoelektrična, piezotporna, magnetna kola, itd.
Savijanje mikrogredice se određuje najčešće primenom tehnike
«optičke poluge», koja omogućuje detekcije pomeraja manjih od 10-12
m, a koja su ispod nivoa mehaničkih (termomehaničkih) šumova
mikrogredice. Mikrogredice obezbeđuju različite modove rada
(kontaktni, nekontaktni), visoke rezonantne učestanosti, širok
dinamički opseg i veliku osetljivost. Kada je u pitanju primena
mikrogredica kao senzora i posebno u atomskoj mikroskopiji, one
mogu imati različite karakteristike. Najvažniji karakteristika je
konstanta krutosti kL mikrogredice koja može biti u opsegu 0. 01 -
100 N/m. Mikrogredice sa vrednostima kL ispod 0. 1 N/m se najčešće
koriste za kontaktni mod rada kod atomskih mikroskopa. Mikrogredice
veće krutosti sa kL >1 N/m se koriste za rad u nekontaktnom
dinamičkom modu jer imaju visoke reuzonantne učestanosti i male
amplitude oscilacije od nekoliko nanometara. Ovo obezbeđuje širok
dinamički frekvencijski opseg i značajan porast osetljivosti.
Najčešće se
Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna
2006, tom IV Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006,
Vol. IV
155
-
promenjuju pravougaone i trougaone forme mikrogredica. Tipične
dimenzije ovih mikrogredica za primenu kod atomskih mikroskopa sa
nanorezolucijom su: 20 - 200 µm dužina, 10 - 20 µm širina i 1 – 10
µm debljina i sa rezonantnim učestanostima od 10-100 kHz. . Ove
mikro-gredice najčešće su napravljene od monokristalnog Si i Si3N4.
Važni parametric kod senzora zasnovanih na mikrogredicama su:
• Minimalno detektabilno savijanje (Minimum detectable
deflection). Za mikrogredice sa optičkom detekcijom savijanja,
minimalna detektabilnost savijanja ne zavisi samo od njene
osetljivosti na savijanje, već u mnogo većoj meri od nivoa
šuma.
• Osetljivost (Sensitivity) Primena mikrogredica omogućuje
minijaturizaciju senzora što daje veću osetljivost, ali
minijaturizacija ima za posledicu da šum postaje važan problem,
odnosno glavni ograničavajući faktor.
• Šum (Noise) u mnogim tipovima mikrosenzora je ključni
parametar, koji zavisi kako od same mikrogredice, tako i od uslova
primene.
• Odnos signal – šum je bitna karakteristika svakog detektora,
odnosno senzora.
1. 3 Optički pobuđivane mikrogredice
Poslednjih godina razvijene su različite tehnike za
direktno pobuđivanje mikrogredica, kao što su magnetna
modulacija, piezoelektrična, toplotna, itd. Vibracije mikrogredice
mogu biti izazvane i optičkom pobudom (najčešće modulisanim
laserskim zrakom), odnosno fototermalnom (FT) modulacijom. FT
modulacija i efekti vezani za nju predmet su fotoakustične i
fototermalne nauke. Ratcliff i dr. [5] su pokazali da FT pbuda
mikrogredice daje veoma dobro definisan rezonantni mod vibracija,
dok mehaničko pobuđivanje preko nekog spoljašnjeg aktuatora
generiše čitav spektar sa mnoštvom rezonantnih pikov, posebno kada
mikrogredica vibrira u nekoj tečnosti. Pored toga, FT tehnika
pobude je nekontaktna i praktično isti sistem se koristi i za
pobudu i za detekciju.
FT pobuda ima za posledicu pojavu različitih termoelastičnih
(TE) i elektronskih deformacijonih (ED) efektata koji mogu imati
velikog uticaja na mehanizme vibriranja mikromehaničkih struktura
[6]. TE i ED efekti kod elektronskih i poluprovodnićkih materijala
se zasnivaju na fotogenerisanju i transportu elektrona i šupljina,
odnosno plazma talasa (difuzioni talasi nosilaca). Plazma talasi
generisani usled periodične optičke pobude doprinose, preko
različitih mehanizama, stvaranju periodično promenjljivih
toplotnih i elastičnih polja, drugim rečima do generisanja
toplotnih i elastičnih talasa u uzorku. Teorijska analiza TE i ED
efekata u mikromehaničkim strukturama sastoji se u modelovanju
složenog sistema preko istovremene analize spregnutih plazma,
toplotnih i elastičnih talasnih jednačina [7,8]. U prethodno
publikovanim radovima, Todorović i dr. [9, vidi i druge tamo
navedene reference], teorijski i eksperimentalno su proučavali
uticaj TE i ED efektata na fotoakustični signal, kao i na vibracije
mikromehaničkih struktura [10,11 ,12]. U literaturi postoji mali
broj radova gde je proučavan uticaj TE i ED efekata na vibraciona
svojstva mikrogredica [13, 14]. 2. PLAZMA, TOPLOTNI I ELASTIČNI
TALASI U MIKROGREDICI 2. 1 Opšti teorijski model
Opšta teorijska analiza TE i ED efekata se može dati preko
sistema delimično spregnutih jednačina za plazma, toplotne i
elastične talase u u mikrogredici. Postavlja se sistem spregnutih
jednačina koje povezuju polje gustine fotogenerisanih parova
elektron-šupljina n(r,t) sa temperaturskim poljem T(r,t) i poljem
elastičnih pomeraja u(r,t). Razmatranje spregnutog sistema za ova
polja koja opisuju plazma, toplotne i elastične talase u
poluprovodničkom materijalu mikrogredice, gde svaka vrsta talasa
može da utiče na ostala dva tipa talasa, predstavlja složen
teorijski problem za koji ne postoje analitička rešenja u opštem
obliku. Najčešće se razmatraju nespregnute transportne jednačine,
gde se pretpostavlja, na primer, da na fotogenerisane nosioce u
poluprovodniku ne utiču povratno termoelastične pojave, ili da na
toplotne talase ne utiču povratno elastični ili plazma talasi.
Međutim, nekada se ove sprege moraju uzimati u obzir. Tako na
primer, u slučaju jako dopiranog poluprovodnika ne može se
zanemariti uticaj temperaturskog gradijenta u poluprovodniku na
difuziju nosilaca, odnosno ne može se zanemariti sprega toplotnih i
plazma talasa i tada se razmatra prostiranje tzv termoelektronskih
talasa u poluprovodniku [15]. Posmatrajmo poluprovodnik sa
izotropnim i homogenim optičkim, toplotnim i elastičnim osobimama
koji se pobuđuje laserskim zrakom. Laserska pobuda generiše plazma,
toplotne i elastične talase, koji se prostiru po zapremini uzorka.
Delimično spregnut sistem dinamičkih transportnih jednačina za
plazma, toplotne i elastične talase u poluprovodniku su [7]:
_______________________________________________________________________________
t),,G((nn-t),n(
-t),n( D= t
t),n( oo2E r
-t)r,rrr +
∂∂
+∇∂
∂ττ
oTTT
(1)
t),,Q( t
t),( n-t),(n
t),t
t),T( 2o2 rrur
rr +∂
∂∇++∇=
∂∂
TG
TT KE
DT(D ετ
(2)
),t,()t,(-)t),(( µ) +(λ + t),(µ t
t),(ρ 222
rrrururu nT nT ∇−∇×∇∇∇=∂∂ δβ (3)
_______________________________________________________________________________
156
-
gde je DE koeficijent (ambipolarne) difuzije nosilaca, τ je
vreme života fotogenerisanih nosilaca, EG je energetski procep
poluprovodnika, no je ravnotežna koncentracija nosilaca, DT je
toplotna difuzivnost, µ, λ su Lame elastične konstante, r je
vektor-položaj, t je vreme, ρ je gustina, K je toplotna provodnost
uzorka, To je ravnotežna temperatura, εT je termoelastični faktor
sprege, Q(r,t) je toplotni izvor/ponor, G(r,t) je 'izvor'
fotogenerisanih nosilaca, βT je koeficijent zapreminskog toplotnog
širenja i δn je koeficijent elektronske elastične deformacije u
poluprovodniku. Drugi član sa desne strane u jednačini (2)
karakteriše efekte generacije toplote usled zapreminske
rekombinacije, a treći član opisuje generaciju toplote usled
elastičnih talasa. Treći i četvrti član u elastičnoj jednačini (3)
predstavlja 'izvorni' član i opisuje uticaj plazma i toplotnih
talasa na elastične talase. Pobuda elastičnih talasa u
poluprovodniku izazvana je toplotnim širenjem kristalne rešetke i
promenom deformacionog potencijala pri generaciji parova
elektron-šupljine. U većini praktičnih razmatranja može se
pretpostaviti da na plazma talasa ne utiču efekti temperaturskih
oscilacija i elastične pojave. Tako na primer, uticaj toplotnih
talasa na plazma pojave u poluprovodniku može se zanemariti, ako za
ravnotežnu koncentraciju slobodnih nosilaca no , u slučaju
periodične laserske pobude, važi sledeći uslov [16]:
,min ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ) ( + 1 DD 1,
ET k
D kK » n 2oo
T
E
G
oB2
EBo τωτω (4)
gde je kB je Boltzmanova konstanta, τo je vreme života
ravnotežnih nosilaca ω je učestanost modulacije optičke pobude. Za
tipičan Si uzorak na sobnoj temperaturi, sprega toplotnih i plazma
talasa (termoelektronski talasi) može biti zanemarena kada je
koncentracija ravnotežnih nosilaca no>elT
oT
CcT
ζρα (6)
gde je αT koeficijent linearnog širenja, ζT je izotermski moduo
stišlivosti, cl je longitudinalna brzina i Ce je specifična toplota
pri konstantnoj elastičnoj deformaciji. Ovaj uslov je skoro uvek
ispunjen za slučaj čvrstih tela i ne predstavlja značajnije
ograničenje u primeni teorije. Takođe, može se zanemariti toplota
generisana usled elektronskih deformacionih mehanizama povezanih sa
elektron-fonon
interakcijama. Prema tome, teorijski model se dodatno
pojednostavljuje zanemarujući članove zavisne od elastičnih
deformacija u toplotnoj difuzionoj jednačini. Sistem plazma,
toplotnih i elastičnih talasnih jednačina zahteva i odgovarajuće
granične i početne uslove. Uopšteno, prostorno-vremenska raspodela
gustine fotogenerisanih nosilaca u poluprovodniku može biti data
nelinearnim jednačinama. Sa druge strane, u zapremini materijala
rešenje sistema spregnutih jednačina (2) i (3) pokazuje da postoje
tri vrste talasa. Jedna vrsta su longitudinalni talasi, koji
opisuju podužne elastične pomeraje usled varijacije temperature i
gustine nosilaca. Druga vrsta talasa su transferzalni talasi, koji
se prostiru bez uticaja temperaturskog i plazma polja, zato što
poprečna elastična deformacija ne izaziva širenje/skupljanje
materijala. Treća vrsta talasa su jako prigušeni toplotni talasi
koji su slični longitudinalnim elastičnim talasima [19]. Ako se
zanemari sprega između n(r,t) i T(r,t), jednačine (1) i (2) postaju
obične difuzione jednačine. 2. 2 Fotogeneracija plazma talasa
Teorijsko određivanje raspodele nosilaca u bimaterijanoj
(metal-poluprovodnik) mikrogredici, odnosno u sloju
poluprovodničkog materijala, može biti dato na osnovu zonalnog
transportnog modela. Uopšteno, može se pretpostaviti da na površini
poluprovodnika, odnosno na spoju metal-poluprovodnik, zbog
prisustva različitih nečistoća (defekata) postoje površinska
energetska stanja koja izazivaju krivljenja energetskih zona uz
površinu. U ovoj oblasti dolazi do preraspodele nosilaca, što za
posledicu ima pojavu tzv oblasti prostornog naelektrisanja.
Fotogeneracija i transport nosilaca u oblasti prostornog
naelektrisanja su složene pojave koje se za većinu homogenih
poluprovodnika mogu zanemariti, kada je ovo krivljenje zona manje
od 0. 5 eV. Pored toga, zanemaruju se i pojave zahvata nosilaca na
lokalnim energetskim nivoima u zabranjenoj zoni poluprovodnika.
Pretpostavlja se model bipolarnog poluprovodnika sa efektima
zapreminske i površinske rekombinacije. Pobudna energija E je veća
od širine zabranjene zone EG i apsorbovani fotoni generišu
elektrone. Razlika energija ∆E=(E-EG) se preko brzih neradijativnih
procesa transformiše u toplotu (tzv proces termalizacije nosilaca).
Termalizovani parovi elektron-šupljine, u toku vremena njihovog
života τ, se haotično kreću kroz kristal posle čega se rekombinuju.
Ovi difuzioni procesi se karakterišu koeficijentom ambipolarne
difuzije DE. U toku ovih difuzionih procesa neki nosioci mogu
dospeti na površinu poluprovodničkog uzorka, sa nekom verovatnoćom
da se tamo rekombinuju. Brzine sg na pobuđenoj strani i sb na
suprotnos strani uzorka karakterišu procese površinske
rekombinacije. Modulisani optički zrak, apsorbovan u
poluprovodniku, pobuđuje elektrone iz valentne u provodnu zonu.
Ovaj proces stvaranja parova elektron-šupljina zavisi od
intenziteta apsorbovanog laserskog zraka po deljini uzorka I(z,t),
njegove energije i koeficijenta optičke apsorpcije. Pošto je
optička pobuda uniformna po površini mikrogredice, to se može
pretpostaviti da je lateralna raspodela fotogenerisanih nosilaca
duž širine i dužine mikrogredice homogena. Pored toga,
pretpostavlja se da se nosioci prostiru samo unutar zapremine
mikrogredice, čime se problem raspodele gustine nosilaca svodi na
jednodimenzioni problem (Sl. 1).
157
-
poluprovodnik
0 h 1 + h 2 z
x
gas gas
sg
metal
h 1
I o (ω)
sb ( g ) ( b )
( s )
Sl. 1 Fotogeneracija nosilaca po debljini mikrogredice usled
uniformne optičke pobude. U slučaju periodične laserske pobude,
za prethodno
uvedene uslove, jednačina (1) za raspodelu gustine nosilaca u
poluprovodniku se svodi na običnu difuzionu jednačinu oblika:
( ) ),exp()(, z D E ) R - (1 I = )(zn
L1 -
dzd
Eo22
2
ααωωωω
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (7)
gde je n(z,ω) kompleksna veličina koja definiše amplitudu i fazu
gustine nosilaca, Lω2(ω) = LD2/(1+jωτ), LD = (DEτ)1/2 je difuziona
dužina pobuđenih nosilaca, Io je intenzitet upadnog laserskog
zraka, α je koeficijent optičke apsorpcije, Rs je refleksivnost sa
površine poluprovodnika (ili međupovršine na spoju
metal-poluprovodnik). U daljem tekstu se za sve veličine koje se
odnose na poluprovodnik, radi jednostavnosti, izostavlja indeks 2.
Pored toga, za sve veličine će biti izostavljena i oznaka njihove
zavisnosti od učesetanosti modulacije ω. Opšte rešenje prethodne
difuzione jednačine dato je sledećom relacijom:
,e A + e A + e A = (z)n zLz
-Lz
+α
αωω−− (8)
gde su A+ , A- integracione konstante i Aα partikularni
integral. Da bi se odredile prethodne integracione konstante moraju
se definisati odgovarjući granični uslovi. Ako se pretpostavi da
nema prostiranja plazma talasa izvan poluprovodničkog uzorka, tada
je fluks nosilaca koji dospevaju na njegovu površinu srazmeran
broju rekombinovanih nosilaca. Prema tome, na graničnim površinama
važe sledeći uslovi:
(h)n s = |(z)n dzd D
(0)n s - = |(z)n dzd D
bhzE
gz=0E
=
(9)
gde je h= h1 +h2 ≈h2 debljina poluprovodničkog sloja. Prethodno
dati teorijski model pokazuje da postoje dve
oblasti raspodele fotogenerisanih nosilaca u funkciji od
učestanosti modulacije pobude. Za ωτ « 1 raspodela nosilaca
je nezavisna od učestanosti ω. Difuzija nosilaca u ovom režimu
nema karakteristike plazma talasa, odnosno ima karakteristike
kritično prigušenih talasa. Pored toga, analiza raspodela gustine
nosilaca pokazuje da su i amplitude i faze gustine nosilaca
praktično identične na prednjoj i zadnjoj strani mikrogredice u
posmatranom opsegu učestanosti modulacije, što je i razumljivo
obzirom na njenu malu debljinu. 2.3 Tolotni talasi u mikrogredici
Slićno prethodnom razmatranju prostiranja plazma talasa, odnosno
raspodele gustine nosilaca, i za tolotne talase važe slični uslovi.
Usled simetrije problema, imajući u vidu da je optička pobuda
uniformna po površini mikrogredice, može se pretpostaviti da je
lateralna raspodela temperature duž širine i dužine mikrogredice
homogena. Pored toga, pretpostavlja se da se razmena toplote sa
okolmim gasom (vazduhom) vrši samo kroz prednju i zadnju površinu
mikrogredice, dok se toplotni fluks kroz manje bočne površine
zanemaruje. Na taj način se problem raspodele temperature svodi na
jedno-dimenzioni slučaj (Sl. 1). Jednačina (2) za raspodelu
temperature se svodi na:
t),H(z, t)T(z,t
1 22
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
TDz (10)
U jednačini (10) se moraju odrediti zapreminski toplotni izvori
H(z,t). Kako je prethodno pokazano u poluprovodniku se generišu
nosioci, koji mogu na više načina da izazovu pojavu toplotnih
talasa, odnosno postoji više različitih toplotnih izvora u
zapremini i na površini poluprovodnika. Fotogenerisani nosioci
predaju višak svoje energije ∆E kristalnoj rešetki poluprovodnika.
Ovaj proces termalizacije nosilaca traje vrlo kratko (~10-11s) i
može se modelovati kao brzi toplotni izvor u uzorku, HT(z):
,e EE
KR) - (1I = (z)H zoG
T ααγ −∆ (11)
gde je γG kvantna efikasnost generacije nosilaca (γG ≈ 1).
Fotogenerisani nosioci doprinose toplotnim talasima i preko procesa
rekombinacije u zapremini poluprovodnika. Ovi procesi se opisuju
preko jednog zapreminskog toplotnog izvora HBR(z), koji zavisi od
elektronskih transportnih osobina poluprovodnika:
n(z) K
E = (z)H GRBR
τγ (12)
gde je γR koeficijent zapreminske rekombinacije (γR ≈ 1).
Takođe, usled rekombinacije na površini poluprovodnika generiše se
toplota, a ovi procesi se opisuju površinskim toplotnim izvorima
HiSR (i = g, b), gde indeks g označava izvor na pobuđenoj strani
uzorka, a b izvor na suprotnoj strani.
(h)n E s = H
)(hn E s = H
GbSRb
GgSRg 1 (13)
Imajući u vidu prethodno definisane toplotne izvore u
mikrogredici koji su posledica optičke pobude, periodična
temperaturska raspodela, ф(z), u mikrogredici može biti data kao
suma tri komponente:
158
-
(z) + (z) + (z) = (z) SRBRT φφφφ (14)
gde su фT(z), фBR(z) i фSR(z) termalizaciona, zapreminska i
površinska rekombinaciona komponenta kompleksne temperature. Pošto
je mikrogredica u kontaktu sa gasom (vazduhom), to se toplotni
talasi prostiru i van mikrogredice, tako da se temperaturska
raspodela mora znati i u ostalim delovima prostora [sekcije gas (g)
– mikrogredica (s) – gas (b), Sl. 1]. Periodične komponente
temperaturske raspodele u svakoj sekciji, фi(z), mogu se dobiti
preko rešavanja sistema od tri toplotne difuzione jednačine:
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −s=iz),H -
b g,=i0 = k
dzd
iii2
2
(
,2 φ (15)
gde je ki = (1+j)/µi kompleksni koeficijent prostiranja
toplotnih talasa, koji zavisi od ω i µi je toplotna difuziona
du\ina. U jednačini (15) figuriše opšti izraz za raspodelu gustine
toplote Hs(z), odnosno za toplotni izvor u uzorku. U prethodno
datom sistemu jednačina pretpostavlja se da toplotni izvori postoje
samo u uzorku, odnosno da se pobudno zračenje apsorbuje samo u
uzorku.
Za prethodno dati sistem difuzionih jednačina moraju se
definisati i granični uslovi za neprekidnost temperature i
toplotnog fluksa:
H - |(z)dzd K = |(z)
dzd K
H + |(z)dzd K = |(z)
dzd K
(h) = (h)
(0) = (0)
SRbhzhzbb
SRgz=0z=0gg
b
g
== φφ
φφ
φφ
φφ
(16)
Vidi se da se u prethodnim graničnim uslovima pojavljuju i
površinski toplotni izvori koji opisuju površinsku
rekombinaciju.
Periodične promene temperature u u poluprovodniku imaju složenu
zavisnost od učestanosti modulacije pobudnog zračenja. Izloženi
model omogućava da se posebno sračunaju pojedine komponente
raspodele temperature u mikrogredici i na njegovoj granici:
termalizaciona komponenta (T); komponente usled površinske (SR) i
zapreminske rekombinacije (BR). Analiza pokazuje da u oblasti viših
učestanosti, kada difuziona dužina nosilaca postaje veća od
toplotne difuzione dužine (Lω>µ), "elektronske" komponente
(zapreminska i površinska rekombinacija) dominantno određuju
promenu temperature. Sl. 3 pokazuje sraćunate amplitude i faze
periodične temperaturena na prednjoj (pobuđenoj) ф(0) i zadnjoj
ф(h) površini mikrogredice u zavisnosti od učestanosti modulacije
uniformne optičke pobude. Vidi se da su amplitude periodične
temperaturena na prednjoj i zadnjoj površini mikrogredice praktično
identične. Razlika postoji u fazama za učestanosti modulacije
optičke pobude (f > 10 KHz). Ovo znači da, pri nižim
učestanostima modulacije optičke pobude, promena temperature duž
debljine mikrogredice u potpunosti sledi optičku pobudu, odnosno
amplituda i faza temperature na prednjoj i zadnjoj površini
mikroigredice su praktično iste.
100
102
10 4
106
10810
-3
10-2
10-1
100
101
102
103
f [ Hz ]
am
p ф
( 0 ),
ф( h
) [
K ]
Au / Si gredicaL = 200 umb = 20 um h = 0.2 + 2 um
( a )
100
102
10 4
106
108
-100
-80
-60
faza
ф( 0
), ф
( h )
[ o
]
f [ Hz ]
( b )( - ) ф( 0 ), ( - - ) ф( h )
Sl. 3 Amplituda(a) i faza (b) periodične temperature na prednjoj
(pobuđenoj) ф(0) i zadnjoj ф(h) površini mikrogredice u zavisnosti
od učestanosti modulacije uniformne optičke pobude. 3. DINAMIČKO
SAVIJANJE OPTIČKI POBUĐENE
MIKROGREDICE
3. 1 Toplotne i elektronske elastičnične deformacije TE i ED
efekti elektronskih i poluprovodničkih materijala
se zasnivaju na fotogenerisanju elektrona i šupljina, odnosno
plazma talasa. Plazma talasi generisani po dubini uzorka doprinose,
preko različitih mehanizama, stvaranju periodično promenjljivih
toplotnih i elastičnih polja, drugim rečima do generisanja
toplotnih i elastičnih talasa u uzorku. Merenjem ovih pomeraja u
zavisnosti od učestanosti modulacije
159
-
pobudnog optičkog zraka mogu se odrediti različite
karakteristike mikrostrukture. Amplituda i faza elastičnog
savijanja (pomeraj) zavise od niza parametara odnosno efekata, ali
glavni uticaj imaju TE i ED efekti. Periodična fotogeneracija
nosilaca u poluprovodničkom materijalu mikrogredice i procesi
njihovog transporta, termalizacije i rekombinacije (površinska i
zapreminska) izazivaju i pojavu toplote. Periodična toplota može
izazvati različita elastična naprezanja i deformacije. TE
deformacija, εTE(r), je srazmerna temperaturskoj raspodeli, T(r).
)T( = )( TTE ,rr αε (17)
Sa druge strane, kako je to prethodno izneto, fotogenerisana
plazma može direktno da izazove lokalnu elastičnu deformaciju,
odnosno da generiše elastične talase u poluprovodniku. Ova
elektronska elastična deformacija εED(r), menja se linearno sa
gustinom raspodele nosilaca n(r) i data je relacijom:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
pE
31 = d );(n d = )( G
Tnn
ED rrε (18)
gde je dn je koeficijent elektronske elastične deformacije
(predstavlja promenu energetskog preocepa u zavisnosti od pritiska
u poluprovodniku pri konstantnoj temperaturi). Za Si dn ima
negativnu vrednost, tako da su termoelastična i elektronka
deformacija suprotnih znakova; generisani nosioci izazivaju
skupljanje materijala dok toplota generisana nosiocima izaziva
širenje. Prema elastičnoj teoriji, postoji sledeća jednačina stanja
koja povezuje tenzor elastičnog napona sa tenzorom deformacija,
uključujući i termoelastičnu deformaciju εTE, i elektronsku
elastičnu deformaciju εED:
( )
z).y,x, =j (i, , + + = e
, + 1 - e - 1
+ + 1
E =
zzyyxx
ijED
ijTE
ijijY
ij
εεε
δεενν
νν
εν
σ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
2
(19) gde je σii komponenta tenzora normalnog elastičnog napona,
σij je komponenta napona smicanja , v je Puasonov koeficijent, EY
je Jangov moduo elastičnosti, δij je Kronekerova funkcija, εij je
komponenta elastične deformacije i e je zapreminsko širenje.
Elastično savijanje razmatra se kod tanke prizmatične bimaterijalne
mikrogredice učvršćene na jednom i slobodne na drugom kraju, sa
debljinom h = h1 + h2 mnogo manjom od dužine L i širine b. Jedna
strana mikrogredice se pobuđuje intenzitetski-modulisanim homogenim
laserskim zrakom. Za uzorak u obliku tanke prizmatične grede,
pogodno je izabrati pravougaoni koordinatni sistem (x,y,z), sa
osama raspoređenim kao na Sl. 4. Zbog simetrije duž x-ose, a
imajući u vidu da se mikrogredica pobuđuje uniformno optički u
ravni xy, može se problem nalaženja raspodele elastičnih napona i
deformacija (pomeraja) svesti na dvodimenzioni problem. Pod ovim
uslovima postoje samo elastični pomeraji ux(x,z) i uz(x,z), tako da
se odgovarajuće jednačine za elastični napone i deformacije mogu da
pojednostave. Sa druge strane, uzimajući u obzir uslov da je
debljina mikrogredice h, mnogo manja od njene dužine L i širine b
(h
-
gde su ρj i Aj = bhj gustina i poprečni presek Si supstrata (j =
2) i Au sloja (j = 1), i M(x,t) je suma momenata. Moment savijanja
mikrogredice se definiše kao:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂−=∫ ),(),(
),(),,(),(0
txmtxm + x
txw B dztzxzb= txM nT22h
σ
,),,(,),,(,21
1
1
220
11222111 ∫∫
+
∆=∆=+
=hh
hT
h
TTTTT
T dztzxTzmdztzxTzmBmFmFbm αα
,),,(,21
1
22222 ∫
+
∆==hh
hn
nnn dztzxnzmB
mdFbm
( ) ,12
,1
,43
21211j
jj
j
bhI
EFIIFIFB =
−=−+=
ν
gde je iskorišćena prethodna relacija za σ(x,z,t), B je
efektivni krutost na savijanje bimaterijalne mikrogredice, mT , mn
su bimaterijalni TE i ED momenti, Ij je inercijalni moment sloja j
, αT j je koeficijent elastičnog širenja u sloju j, dn2 je
koeficijent elektronske elastične deformacije u Si, mT(x,t) i
mn(x,t) su veličine koje karakterišu TE i ED izvorne članove,
odnosno opisuju toplotne i plazma talase. Jednačina za elastično
savijanje bimaterijalne mikrogredice, odnosno jednačina (3) se
svodi na: ( ) ( ) ,mm
x w
x w B =
tw AA nT2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
+∂∂
−∂∂+
2
2
4
4
2211 ρρ (24)
U ovoj jednačini član na levoj strani predstavlja inercioni
član, a drugi član u ugaonoj zagradi je izvorni član koji
karkteriše generaciju elastičnih talasa usled toplotnih i plazma
talasa u materijalu mikrogredice. Kako je prethodno
pretpostavljeno, toplotni i plazma talasi se prostiru samo duž
debljine, odnosno u pravcu z-ose, dok je raspodela toplote i
gustine nosilaca homogena u ostalim pravcima. Iz ovih uslova
proističe da je moguće izostaviti generacioni član iz prethodne
jednačine. Temperatursko i plazma polje pojavljuju se jedino u
graničnim i početnim uslovima. Za slučaj periodične pobude, sa
ugaonom učestanošću modulacije pobudnog laserskog zraka ω,
jednačina (24) za elastičnno savijanje mikrogredice dobija
jednostavniji oblik: 2221144
4
4
)(0),()( ωρρ
ωωωB
AA = k , = x wk -
x+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ (25)
gde je k(ω) talasni broj. Za niske učestanosti, moguće je
zanemariti dinamički (inercioni) član u jednačini (25), odnosno
uzeti da je k(ω)=0, pa se dobija kvazstatička diferencijalna
jednačina za elastično savijanje tanke mikrogredice. Rešenje
prethodne dinamičke jednačine može imati različite oblike zavisno
od graničnih uslova za pomeraj w(x,ω) i moment M(x,ω) na krajevima
mikrogredice. Za slučaj učvršćenog kraja mikrogredice (x = 0):
,),(0, 00 0 = xxw , = |)w(x x=x =∂
∂ ωω (26)
dok je na drugom kraju (x = L):
,),(0, 33
0 = xxw , = |)M(x LxL=x =∂
∂ ωω (27)
Ne ulazeći u detalje matematičkog postupka, dinamičko elastično
savijanje tanke bimaterijalne gredice w(x,ω), dato je relacijom:
),(),(),( ωωω Gxwxw s= (28)
gde je ws(x,ω) kvazistatičko elastično savijanje: [ ],)()(
2),(
2
ωωω nTs mmxxw −−= (29)
dok je G(ω) bezdimenzioni dinamički frekvencijski faktor. Za
analizu dinamičkih vibracija mikrogredice, datu u ovom radu,
dovoljno je odrediti pomeraj w(L,ω) na njenom slobodnom kraju (x
=L):
),(),(),( ωωω GLwLw s= (30)
( ),2
),(2
nTs mmLLw +−=ω
( )ηηη
ηηω
coshcos1
sinhsin)( 2 +=
2G ,
gde je η(ω) = k(ω)L. Bezdimenzioni dinamički frekvencijski
faktor G(ω) teži 1 za niske modulacione frekvencije, odnosno
dinamičko elastično savijanje mikrogredice, w(L,ω), teži
kvazistatičkom savijanju, ws(L,ω).
102
103
10 4 10 5 10610-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p. e
lastčn
og s
avija
nja
[ nm
]
ED
TE
Sl. 5 Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja Au / Si
mikrogredice: ( -- ) TE savijanje; ( -. - ) ED savijanje;
( - ) TE + ED savijanje. 3. ANALIZA DINAMIČKOG ELASTIČNOG
SAVIJANJA MIKROGREDICE 4. 1 TE i ED savijanje mikrogredice
Prethodno dati teorijski model omogućava sračunavanje elastičnog
savijanja mikrokrogredice i analizu dinamičkih vibracionih
karakteristika, uključujući i TE i ED efekte. Sl. 5
161
-
pokazuje jedan primer sračunatih amplituda elastičnog savijanja
na slobodnom kraju bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice, sa
dimenzijama: debljine Au prevlake h1 = 100 nm i Si supstrata h2 = 2
µm, dužina L = 200 µm i širina b = 20 µm. Elastično savijanje je
sračunato za tipične parametere Si (sloj 2): koeficijent optičke
apsorpcije α2=5x103 cm-1; gustina ρ2=2. 33x10-3 kg/crn3; toplotna
provodnost K2=1. 5 W/(cmK); toplotni kapacitet C2 =695 J/(kgK)
(toplotna difuzivnost DT2= K2/(ρ2C2)=0. 9 cm2/s); koeficijent
toplotnog širenja αT2=3x10-6 1/K; brzina elastičnih talasa v2=5x105
cm/s; koeficijent elektronske deformacije d2=-9x10-25cm3;
koeficijent difuzije fotogenerisanih nosilaca DE2=20 cm2/s; vreme
života nosilaca τ2=5x10 -5 s i brrzina površinske rekombinacije na
prednjoj (optički pobuđenoj) strani sg =1000 cm/s i sb =500 cm/s na
zadnjoj strani uzorka; energetski procep EG=1. 11 eV; energija
pobude E=1. 96 eV. Za Au (sloj 1) uzeti su sledeći parametri:
α1=105 cm-1; gustina ρ1=19. 3x10-3 kg/crn3; toplotna provodnost
K1=3. 46 W/(cmK); toplotni kapacitet C1 =135 J/(kgK) (toplotna
difuzivnost DT1= K1 / (ρ1C1)=2. 6 cm2/s); koeficijent toplotnog
širenja αT1=14. 2x10-6 1/K. Intenzitet optičke pobude (HeNe jaser,
633 nm) je Io =500 mW/cm2.
Sa Sl. 5 se videti da je ED komponenta elastičnog savijanja
mnogo manja od TE komponente u oblasti niskih učestanosti. Sa druge
strane, za visoke učestanosti ED komponenta je istog reda veličine
kao i TE komponenta. 4.2 Jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne
(Au/Si)
mikrogredice Na Sl. 6 uporedo su data ukupna dinamička
elastična
savijanja (TE + ED) za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu
(Au/Si) mikrogredicu. Ukupno elastično savijanje Si mikrogredice je
manje za oko jedan red veličine u odnosu na Au/Si mikrogredicu. Za
oba tipa mikrogredica elastično savijanje se smanjuje sa povećanjem
učestanosti pobude. U oblasti niskih učestanosti (f < 102 Hz),
za oba tipa mikrogredica frekvencijska karakteristika je ravna što
odgovara kvazistatičkim uslovima. 4. 3 Elastično savijanje
mikrogredice: efekat lateralnog toplotnog fluksa U ovom odeljku
biće analiziran uticaj lateralnog toplotnog fluksa na dinamičko TE
i ED savijanje jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne (Au /Si)
mikrogredice. U prethodnom razmatranju dinamičkog savijanja
mikrogredice smatrano je da je u toplotnom pogledu mikrogredica
izolovana od nosača na koji je pričvršćena. Međutim u mnogim
realnim situacijama, imajući u vidu da su mnoge mikrogredice
tehnološki realizovane postupkom nagrizanja Si, one čine
jedinstvenu strukturu sa svojim nosačem koji je od istog
materijala. Na taj način postoji toplotni fluks dQ/dx iz
mikrogredice u njen nosač (Sl. 7). U skladu sa prethodno datim
relacijama za elastično savijanje periodično optički pobuđene
mikrogredice, uključujući i lateralni toplotni fluks, dinamička
jednačina za elastično savijanje je:
,mx
= x wk - x LF2
24
4
4
),()(∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ ωω (31)
102 103 10 4 105 10610-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p el
astič
nog
sav
ijanj
a [
nm ]
Si
Au/Si
Sl. 6 Uporedni prikaz amplituda ukupnog dinamičkog elastičnog
savijanja (TE + ED) za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu (Au /
Si) mikrogred: ( . ) Si; ( * ) Au / Si .
10 2 10
3 10 4 10
5 10 -6
10 -4
10 -2
10 0
10 2
10 4
f [ Hz ]
am
p. e
last
ic b
endi
ng [
nm
] lat. fluks
Sl. 7 Uticaj lateralnog toplotnog fluksa na amplitudu dinamičkog
elastičnog savijanja bimaterijalne (Au / Si) mikrogredice: ( ● )
bez lateralnog toplotnog fluksa; ( * ) sa lateralnim fluksom. gde
je mLF(x,ω) moment savijanja usled lateralnog fluksa. Ostale
veličine su iste kao i u jednačini (25). Rešenje prethodne
jednačine daje elastično savijanje mikrogredice na njenom slobodnom
kraju( x = L), uključujući lateralni toplotni fluks [12]: ),(),(),(
ωωω LF
sLFLF GLwLw = (32)
,),(),(23
4),(
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−= ωωω LmLmLLw nT
sLF
162
-
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
++−−=
ηη
ηηηηη
ηω
coshcos1
sinhsinsinhsin21
83)(
2
4LFG,
,),(,),(
,),(
21
1
1
220
11
2221112
∫∫+
∆=∆=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
hh
hT
h
T
TTTTT
dzzTzmdzzTzm
BmFmF
bLxxm
ωω
ααω
,),(,
21
1
22222 ∫
+
∆==hh
hn
nnn dzznzmB
mdFbm ω
Ovde je potrebno ukazati na razliku između relacija mT(x,t) i
GLF(ω) datih ovde i prethodno datih relacija gde nije uzet u obzir
lateralni toplotni fluks.
Na osnovu ovog modela sračunato je elastično savijanje za
jednomaterijalnu (Au) i bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu
uključujući lateralni toplotni fluks. Na Sl. 7 pokazan je uticaj
lateralnog toplotnog fluksa na amplitudu dinamičkog elastičnog
savijanja bimaterijalne (Au / Si) mikrogredice sa lateralnim
toplotnim fluksom i bez lateralnog fluksa (mikrogredica koja je
izolovan toplotno od svog nosača). Elastično savijanje sračunato je
za iste parameter kao i u odeljku 4. 1. Vidi se da se elastično
savijanje mikrogredice značajno menja u oblasti niskih učestanosti
kao posledica lateralnog toplotnog fluksa.
4. 4 Elastično savijanje mikrogredice: efekat površinskog
naprezanja Površinski napon je posledica različitih tehnoloških
procesa u postupaka proizvodnje mikromehaničkih struktura. Pored
toga, površinski naponi i deformacije mogu biti posledica i
račličitih procesa sorpcije na površini. Kod mikrogredica ovi
efekti mogu biti vrlo značajni, posebno kod mikrogredica sa posebno
deponovanim površinskim slojevima. Da bi se ispitivali uticaji
efekata površinskog napona na dinamičke vibracije mikrogredice,
površinski napon može biti izražen preko ekvivalentne sile Fs i
momenta Ms koji deluje na slobodnom kraju mikrogredice. Na taj
način problem se prevodi u razmatranje delovanja aksijalne sile
dužinom mikrogredice, slično delovanju sile na oprugu pri njenom
istezanju i skupljanju. Uvodeći i odgovarajući moment, pomoću ovog
modela mogu se proučavati uticaji površinskog napona na
transferzalne vibracije, odnosno vibracije na savijanje
mikrogredice. Koristeći prethodno izloženi model za dinamičko
savijanje mikrogredice [jednačine (25) i (31)], može se dodavanjem
odgovarajućeg člana proširiti model tako da uključuje efekte
površinskog napona. Prema tome, u skladu sa elastičnom teorijom pri
periodičnoj pobudi, dinamička jednačina za savijanje mikrogredice
je:
,),()( 22
42
2
4
4
BsLS,
xm = x wk -
x S-
x=
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂ ωω (33)
gde je s površinski napon (sila po dužini). Ostale veličine su
ranije definisane. U prethodnoj jednačini drugi član na levoj
strani opisuje uticaj površinskog naprezanja na dinamičko savijanje
mikrogredice. Na osnovu prethodno datog teorijskog modela sračunato
je elastično savijanje za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu
(Au/Si) mikrogredicu uključujući i efekte površinskog napona. Na
Sl. 8 pokazane su uporedo amplitude elastičnog savijanja na
slobodnom kraju bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice, sa i bez
efekata površinskog napona (aksijalne sile). Elastično savijanje
sračunato je za tipične parameter Si (sloj 2) i Au filma (sloj 1).
Dimenzije mikrogredice su bile: debljina Au prevlake h1 = 100 nm i
Si supstrata h2 = 2 µm, dužina L = 200 µm i širina b = 20 µm.
Površinski napon (sila po dužini) je s = 5x10-6 N/m. Sa Sl. 8 se
vidi da se amplituda elastičnog savijanja mikrogredice, odnosno
frekvencijska karakteristika vibriranja, značajno menja u
celokupnom opsegu učestanosti kao posledica površinskog napona.
100 102 10 4 10610-8
10-6
10-4
10-2
100
102
104
am
p el
astič
nog
savi
janj
a [
nm
]
f [ Hz ]
Sl. 8 Elastično savijanje bimaterijalne (Au / Si)
mikrogredice: ( ● ) bez efekata površinskog napona (aksijalne
sile); ( * )sa efektima površinskog napona.
5. MIKROGREDICA KAO SENZOR 5. 1 Osetljivost Osetljivost S(ω)
mikrogredice je važna karakteristika za njenu primenu kao senzora
ili aktuatora. Osetljivost se u slučaju optički pobuđene
mikrogredice definiše kao odnos amplitude elastičnog savijanja
⏐w(ω)⏐ i intenziteta modulisane optičke pobude I(ω):
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 2/
,)()(
)(cmW
nmIw
Soωω
ω .
Pod intenzitetom modulisane optičke pobude ovde se podrazumeva
pobudna optička snaga Po(ω) po površini mikrogredice Ao = Lb.
Trebalo bi naglasiti, da se zbog moguće velike refleksije sa
površine mikrogredice (na primer
163
-
sa metalnog filma kod bimaterijalne mikrogredice), apsorbovana
optička snaga P(ω) i snaga upadnog pobudnog snopa Po(ω) mogu bitno
da razlikuju. Obzirom da je savijanje mikrogredice funkcija
učestanosti modulacije optičke pobude to je i osetljivost zavisna
od ove učestanosti.
10 0 10 2 10 4 10610 -6
10 -4
10 -2
10 0
10 2
10 4
f [ Hz ]
Ose
tljiv
ost
[ nm
/ (W
/ cm
2 ) ]
Sl. 9 Osetljivost: ( · ) jednomaterijalne (Si) i
( *) bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice. Sl. 9 pokazuje
osetljivost jednomaterijalne (Si) i bimaterijalne (Au/Si)
mikrogredice. Kod sračunavanja osetljivosti uzet je intenzitet
apsorbovane optičke pobude od I(ω) = 125 mW/cm2 , dok su ostali
korišćeni parametri isti prethodno datim. Amplituda elastičnog
savijanja se odnosi na pomeraj na slobodnom kraju mikrogredice
(suma TE + ED komponenti), gde je ovo savijanje maksimalno. Vidi se
da se sa nekim uobičajenim snagama pobudnog laserskog zračenja
Po(ω) = 5 mW (HeNe laser, 633nm, ), dobijaju pomeraji od 4,5 nm za
bimaterijalnu (Au/Si) mikrogredicu na učestanostima modulacije od
100 Hz. 5. 2 Toplotni i elektronski elastični gubici Postoje više
načina na koje se mehanička i toplotna energija mogu da disipiraju
tokom vibracija optički pobuđene mikrogredice okružene vazduhom.
Ovi gubici su su posebno značajni kod jako tankih
mikrogredica(debljine 50 - 500 nm) [20] i bitno zavise od pritiska.
Usled vikoznih efekata (interakcije molekula vazduha sa materijalom
mikrogredice), dolazi do gubitaka. Mikrogredica koja vibrira može
se modelovati kao mehanički oscilator sa gubicima, gde viskozni
efekti smanjuju Q-faktor (povećavaju mehaničku otpornost, koja
zavisi od pritiska u vazduhu). Q-faktor je važan parameter koji
bitno određuje karakteristike svih naprava zasnovanih na
mikro(nano) mehaničkim oscilatorima. Kod ovih naprava Q-faktor je
tim veći što su manji gubici mehaničke energije. Interesantno je
navesti da se Q-faktor može spoljašnjim dejstvom povećati i za dva
reda veličine primenom metoda koherentnog pojačavanja oscilacija na
rezonantnoj učestanosti (primenom brze povratne sprege) [21].
Eksperimentalna merenja Q-faktora u zavisnosti od pritiska pokazuju
dve oblasti promene [22]. Za male pritiske
(tipično manje od 0,1 Pa) Q-faktor je praktično nezavisan od
pritiska i određen je unutrašnjim trenjem (the internal friction),
dok za veće pritiske Q-faktor opada usled sve značajnijih viskoznih
gubitaka. Pod unutrašnjim trenjem (zapreminsko i površinsko)
podrazumevaju se različiti mehanizmi disipacije energije kao što
su: termoelastični gubici, fonon-fonon rasejanje, migracija
defekata, gubici na spoju mikrogredice sa nosačem, itd. Analiza
uticaja dimenzija mikrogredica na mehanizme gubitaka dali su autori
Jinling i dr. [20]. Oni su našli da:
TE gubici su zanemarljivi za debljine mikrogredica h < 500 nm
i dužine veće od L > 10 µm. Međutim, oni postaju značajni kada
je debljina mikrogredice h > 500 nm i dužina L < 10 µm;
Viskozni gubici u vazduhu su značajni kada mikrogredice rade pri
pritiscima većim od 10-3 mbar. U suprotnom slučaju, pri visokom
vakuumu ( 30 µm, kada je Q-faktor proporcionalan sa debljinom
mikrogredice.
Gubici na spoju sa nosačem imaju presudan uticaj na Q-faktor
mikrogredice kada je L / H < 100;
TE prigušenje je identifikovano kao važan mehanizam
gubitaka kod MEMS (NEMS) naprava [23]. TE prigušenje potiče od
sprege toplotnih i mehaničkih pojava. U razmatranju ovakvih pojava
uzima se Young modul elastičnosti kao kompleksna frekvencijski
zavisna veličina koja uključuje i mehaničke i toplotne
karakteristike materijala. Sa kompleksnim modulom, elastična
deformacija u materijalu nije u fazi sa primenjenim elastičnim
naponom, tako da integral izvršenog rada (gubici energije po jednoj
periodi) je funkcija faznog pomeraja. Odnos imaginarne i realne
komponente elastičnog modula definiše frekvencijski zavisan faktor
dobrote, QTE : ( ) ,1
2
2T
T
oTY
TTE
TEC
Qωτωτ
α+
= (34)
gde je To temperatura okoline; τT je toplotna relaksacija
mikrogredice. Toplotna relaksacija mikrogredice τT, može se
približno odrediti uz pretpostavku da postoje samo temperaturski
gradijent dužinom mikrogredice (slobodan kraj mikrogredice je
toplotno izolovan dok je učvršćeni kraj toplotno provodan). U tom
slučaju je toplotna relaksacija data relacijom [24]:
TT D
L3
2
=τ . (35)
U prethodnim relacijama se za slučaj bimaterijalne mikrogredice
koriste efektivni parametri:
2211
222111
21
222111
21
2211 ,,,hEhE
hEhECK
Dhh
hChCChh
hKhKKYY
YTYTTeff
Teff
effTteffeff +
+==
++
=++
=αααρρ
Kada se mikrogredica uniformno zagreva duž njene dužine
(homogena optička pobuda po celoj površini mikrogredice), dobija se
toplotna relaksacija za jednomaterijalnu (Si)
164
-
mikrogredicu od 0,144 ms, dok za bimaterijalnu (Au/Si) iznosi
0,139 ms. Na osnovu ovih vrednosti dobija se za fator dobrote QTE
na 100 Hz: za jednomaterijalnu (Si) mikrogredicu ≈500, dok je za
bimaterijalnu ≈390. Slična analiza se može sprovesti za elektronske
deformacione gubitke, sa analognim relacijama. Međutim, nivo ovih
gubitaka je znatno manji u odnosu na TE gubitke tako da se mogu
zanemariti. Na Sl. 10 prikazan je sračunat Q-faktor u funkciji
učestanosti modulacije za jednomaterijalnu (Si) i bimaterijalnu
(Au/Si) mikrogredicu. U sračunavanju ove frekvencijske
karakteristike korišćena je formula (34) i frekvencijski faktor
G(ω) dat jednačinom (30).
10 2 10 3 104 10 5 10610 0
10 1
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
f [ Hz ]
Q -
fakt
or
Sl. 10 Q - faktor: ( · ) jednomaterijalne (Si) i
( *) bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice 5. 3 Termomehanički šum
kod mikrogredica
Minijaturizaacija mikro(nano) naprava može dovesti do smanjenja
njihovih performansi, što ima svoje fizičko objašnjenje i poznato
je kao ''dimenziona klopka'' (the scaling trap). Jedan od osnovnih
razloga zašto se smanjuju performanse neke naprave sa smanjenjem
njenih dimenzija, je povećanje nivoa šuma.
Postoje dva tipa procesa koji su odgovorni za nivo šuma u
mikro(nano)strukturama [25]: (a) disipativni procesi, (b)
adsorpcijono-desorpcijoni procesi. Disipativni procesi su važni za
generaciju šuma i vezani su za različite procese ireverzbilne
konverzije energije u toplotnu odnosno mehaničku energiju.
Adsorpcijono-desorpcijoni procesi su vezani za interakciju molekula
(atoma, jona) okolnog medija sa porvšinom mikrogredice.
Kod senzora na bazi mikrogredica dominantna pojave koje određuju
granicu šuma su različite toplotne pojave. To je i zato što se
ostali izvori šuma mogu minimizirati, pažljivim dizajniranjem
senzora, do nivoa kada uticaj toplotnog šuma postaje dominantan. Za
senzore na bazi optički pobuđivanih mikrogredica svakako najvažniji
je termomehanički šum [26]. Ova vrsta šuma je posledica spontanih
toplotnih vibracija senzora. Termomehanički šum je specifičnost
senzora na bazi mikrogredica. Obzirom da je mikrogredica
mehanička
naprava (oscillator), termomehanički šum je od suštinske
važnosti pri određivanju performansi.
Mikrogredica akumulira toplotnu (mehaničku) energiju i
neprestano je razmenjuje sa okolinom. Stokastičke vibracije
(slučajno kretanje) su osnov za pojavu termomehaničkog šuma. Nivo
stokastičkih vibracija određen je temperaturom sistema. Ovi
fenomeni se mogu modelovati na različite načine, ali se u prvoj
aproksimaciji sve mikromehaničke strukture mogu modelovati sa
prigušemim mehaničkim oscilatorima. Parametri ovih oscilatora su
njihova efektivna masa, konstanta krutosti i mehanička
otpornost.
101
102
10 3
104
10510
-6
10-4
10-2
100
102
104
mod. frekvencija [ Hz ]
am
p. e
last
. sav
ijanj
a [
nm ]
signal
F - šum
V - šum
Sl. 11 Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja Au / Si
mikrogredice: (-- ) savijanje pri optičkoj pobudi; ( - - ) F –
šum; ( -. - ) V-šum;
Postoji više analitičkih modela koji opisuje
termomehanički šum i disipaciju energije u mikrogredicama,
odnosno mikro i nanomehaničkim rezonatorima. Za frekvencije mnogo
manje od prirodne rezonantne frekvencije ωo sensora, rms amplituda
termomehanićkog šuma (m/√Hz) je
QkBTk
woL
B
ωω42 = (36)
gde kB, Boltzmann konstanta, T je temperatura, kL je efektivna
konstanta krutosti mikrogredice, Bω je širina frekvencijskog opsega
detekcije, Q je faktor dobrote i označava srednju vrednost po
vremenu. Analiza termomehaničkog šuma podrazumeva određivanje
rezonantne frekvencije vibracija mikrogredice ω0 , konstantu
krutosti kL kao i Q-faktora. Da bi se odredio Q-faktor, odnosno
spektar termo-mehaničkog šuma, mora se poznavati egzaktno mehanizam
gubitaka u mikrogredici i usled razmene energije mikrogredice sa
okolinom. Q faktor mikrogredice tipično se menja od 10–20 u
vazduhu, dok je u vakuumu veći od 100. Prethodna relacija za
amplitudu šuma ne zavisi od učestanosti, pa definiše ''statički''
nivo šuma. Međutim, šum je kod mikrogredica funkcija učestanosti i
posebno je izražen u okolini rezonanacija. Spektralna raspodela
šuma nije uniformne, što pokazuju i
165
-
eksperimentalna merenja [27], pa se mora definisati model koji
uključuje i frekvencijsku zavisnost. Jedan model tremomehaničkog
šuma pretpostavlja da su prigušenja viskozne prirode. Pretpostavka
o dominantnom viskoznom prigušenju je tačna za mikrogredice koje se
nalaze u fluidu (vazduhu, vodi) i u tom slučaju se može uzeti da je
sila prigušenja linearno srazmerna brzini mikrogredice. Spektar
šuma je tada dat relacijom [26]:
o
o
o
L
B
Q
QkBTk
wω
ωω
ωω
ω 1
1
14
2
2
2
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (37)
Izraz dat jednačinom (37) svodi se, za frekvencije mnogo manje
od prirodne mehaničke rezonantne frekvencije ωo (ω 10 koje
vibriraju u vazduhu, praktično je primenjljiv model viskoznih
prigušenja, dok je za slučaj L/b < 5 bolje primeniti model
frikcionih gubitaka.
5. 4 Odnos signal - šum Na osnovu prethodnog sračunatog signala
(amplituda i faza elastičnog savijanja periodično optički
pobuđivane mikrogredice) kao i dominantnog nivoa šuma (spektralna
raspodela rms amplituda termomehanićkog šuma) može se odrediti
važna veličina koja karakteriše senzore na bazi mikrogredica, odnos
signal – šum (odnos amplitude dinamičkog pomeraja na slobodnom
kraju mikrogredice pri periodičnoj optičkoj pobudi i pomeraja kada
nema optičke pobude, odnosno usled spontanih vibracija). Na Sl. 12
dat je sračunat odnos signal – šum,
101
102
10 3
104
10510
-1
100
101
102
103
104
105
mod. frekvencija [ Hz ]
odn
os s
igna
l / s
um [
nm
/ ( n
m H
z-1/
2 ) ]
S / N
Sl. 12 Sračunat odnos signal – šum (odnos amplituda dinamičkog
elastičnog savijanja Au / Si mikrogredice
periodično optički pobuđene i amplitude spontanih
termomehaničkih vibracija
ZAKLJUČAK
Proučavanja dinamičkih efektata optički pobuđivanih
mikrogredica (jednomaterijalnih i bimaterijalnih) predstavlja
složen problem koji uključuje mnoge efekte. U ovom preglednom radu
dati su rezultati rada autora na pručavanju niza efekata kao što
su: termoelastični i elektronski deformacijoni efekti koji imaju
glavnog uticaja na dinamiku mikrogredice, zatim lateralni toplotni
fluks, površinsko naprezanje, toplotni i elektronski gubici,
termomehanički šum,odnos signal-šum. Rezultati ovih istraživanja su
značajni za dalji razvoj senzora, aktuatora i rezonatora zasnovanih
na mikrogredicama koji su optički pobuđene i/ili se vrši optička
detekcija njihovog savijanja.
Opšta teorijska analiza dinamike mikrogredica se može dati preko
sistema jednačina za plazma, toplotne i elastične talase u u
mikrogredici. U ovom pregledu prikazan je sistem jednačina koje
povezuju polje gustine fotogenerisanih parova elektron-šupljina sa
temperaturskim poljem i poljem elastičnih pomeraja. Uz pomoć ovog
modela sračunate su i analizirane amplituda i faza dinamičkog
elastičnog savijanja
166
-
mikrogredice u funkciji od učestanosti modulacije optičke
pobude. Ukupno dinamičko elastično savijanje (suma termoelastičnog
i elektronskog deformacijonog savijanja) jednodimenzione (Si)
mikrogredice je za otprilike jedan red veličine manje od elastičnog
savijanja kod bimaterijalne (Au/Si) mikrogredice. Za oba tipa
mikrogredica elastični pomeraj se smanjuje sa povećanjem
učestanosti modulacije optičke pobude. Za niske učestanosti (f <
102 Hz), oba tipa mikrogredica imaju ravnu frekvencijsku
karakteristiku. Ova frekvencijska karakteristika se bitno menja na
niskim učestanostima ako se pretpostavi da mikrogredica nije
toplotno izolovana u odnosu na svoj nosač (uticaj toplotnog
lateralnog fluksa). Na karakteristike vibriranja mogu bitnog
uticaja imati i efekti površinskog naprezanja. Analiza pokazuje da
ovi efekti mogu drastično da promene frekvencijsku karakteristiku
oba tipa mikrogredica. Na osnovu sračunatog signala (amplituda i
faza elastičnog savijanja periodično optički pobuđivane
mikrogredice) kao i dominantnog nivoa šuma (spektralna raspodela
rms amplituda termomehanićkog šuma) određen je odnos signal –šum.
Amplituda dinamičkog elastičnog savijanja bimaterijalne (Au / Si)
mikrogredice usled periodične optičke pobude je nezavisna od
učestanosti pobude na sasvim niskim učestanostima. Sa porastom
učestanosti, sve do rezonantne učestanosti, amplituda dinamičkog
elastičnog savijanja pokazuje zavisnost ~f- -1/2. Sa druge strane,
analiza šuma pokazuje da na sasvim niskim učestanostima on zavisi
od učestanosti ~f- -1/2, dok na višim učestanostima praktično do
rezonantne učestanosti ne zavisi od f. Ovo je tipično za
termomehanički šum usled frikcionih prigušenja. Sračunati odnos
signal-šum menja se od ~104 na sasvim niskim učestanostima do 2x103
blizu rezonantne učestanosti. Na rezonantnoj učestanosti odnos
signal šum može dostići i 5x104. Na učestanostima iznad osnovnog
vibracijonog moda odnos signal – šum naglo opada i svoj minimum
dostiže na učestanosti antirezonantnog moda.
----------------------------------- Ovaj rad je urađen u okviru
tehnološko-razvojnog projekta Ministarstva za nauku i životnu
sredinu R. Srbije TD. 6154 B. -----------------------------------
REFERENCE [1] D. Almond, P. Patel, Photothermal Science and
Techniques, Chapman&Hall, London, 1996. [2] Semiconductors
and Electronic Materials, Eds. A.
Mandelis and P. Hess, Series: Progress in Photothermal and
Photoacoustic Science and Technology, Opt. Eng. Press, New York,
2000.
[3] A. Mandelis, P. Hess, Eds., Semiconductors and Electronic
Materials, SPIE Opt. Eng. Press, Belingham, Washington, 2000.
[4] Thermal Wave Inc. [5] G. C. Ratcliff, D. A. Erie, R.
Superfine, "Photothermal
oscillation for oscillating mode atomic force microscopy in
solution", Appl. Phys. Lett.,72 (15) 1911 (1998).
[6] D. M. Todorović, “Photothermal elastic bending method”,
Analytical Sciences, 17, s 141-s144 (2001).
[7] D. M. Todorović, “Plasma, thermal and elastic waves in
semiconductor”, Rev. Sci. Instrum., 74 (1), 582-585 (2003).
[8] D. M. Todorović, “Plasmaelastic and thermoelastic waves in
semiconductors”, J. Phys. IV France 125 (2005) 551-555
[9] D. M. Todorovic, P. M. Nikolic, Ch. 9 in Semiconductors and
Electronic Materials (A. Mandelis and P. Hess, Eds., SPIE Opt. Eng
. Press, Belingham, Washington, 2000, p. 273-318.
[10] D. M. Todorović, "Photothermal and electronic elastic
effects in microelectromechanical structures", Rev. Sci. Instrum.,
74 (1), 578-581 (2003).
[11] D. M. Todorović, A. Bojicic, "Photothermal dynamic elastic
bending in microcantilever", J. de Physique IV, 125, 459-463
(2005).
[12] D. M. Todorović, T. Grozdić, Proc. 1st International
Workshop on Nanoscience & Nanotechnology IWON 2005, Belgrade,
Serbia and Montenegro, November 15 - 18, 2005, p. 37.
[13] A. Prak, T. S. J. Lammerink, " Effect of Electronic Strain
on the Optically Induced Micanical Moment in Silicon
Microstructures", J. Appl. Phys., 71(10), 5242 (1992).
[14] T. Gotoh, S. Nonomura, S. Hirata, S. Nitta, "Photothermal
bending spectroscopy:bending effect of film/substrate by thermal
expansion", Progress in Natural Science, Supp. to vol. 6, S-34-37,
(1996).
[15] A. Mandelis, M. Nestoros, C. Christofides,
"Thermoelec-tronic-wave coupling in laser photothermal theory of
semiconductors at elevated temperatures", Opt. Eng., 36(2), 459-468
(1997).
[16] V. A. Sablikov and V. B. Sandomirskii, "Theory of the
effect in semiconductors," Sov. Phys. Semicon., 17(1), 50-53
(1983).
[17] V. Sablikov, Phys. Techniq. Semicon., 21(12), 2177
(1987).
[18] A. D. Kovalenko, Osnovi termouprugosti, Akad. Nauk, USSR,
Kiev, 1970.
[19] J. C. Podstrigacz, Termouprugost tel neodnorodnoi
strukturii, Nauka, Moscow, (1986).
[20] 1. Y. Jinling, O. Takahito, E. Masayoshi, “Energy
Dissipation in Submicrometer Thick Single-Crystal Silicon
Cantilevers”, J. of Microelectromechanical Systems; 11 (6), 775
(2002).
[21] T. R. Albrecht, P. Grütter, D. Horne, and D. Rugar,
“Frequency modulation detection using high-Q cantilevers for
enhanced force microscope sensitivity”, J. Appl. Phys., 69 (2),
668-673, (1991).
[22] K. Yasumura, T. Stowe, E. Chow, T. Pfafman, T. Kenny, B.
Stripe, D. Rugar, "Quality Factors in Micron-and Submicron-Thick
Cantilevers", IEEE J. Micromech. S., 9(1), 117-125 (2000).
[23] A. Duwel, J. Gorman, M. Weinstein, J. Borestein, P. Ward,
“Experimental study of thermoelastic damping in MEMS gyros”,
Sensors and Actuators A, 103, 70-75 (2003).
[24] J. K. Gimzewski, Ch. Gerber, E. Meyer, and R. R.
Schlittler, Chem. Phys. Lett. 217, 589 (1994).
[25] Z. Djurić, Proc. 1st International Workshop on Nanoscience
&Nanotechnology IWON 2005, Belgrade, Nov 15 - 18, 2005, p.
17
167
-
[26] P. Datskos, N. Lavrik, S. Rajic, "Performance of uncooled
microcantilever thermal detectors", Rev. Sci. Instrum., 75(4),
(2004).
[27] D. A. Walters, J. P. Cleveland, N. H. Thomson, P. K.
Hansma,M. Wendman, G. Gurley, V. Elings, " Short cantilevers for
atomic force microscopy", Rev. Sci. Instrum., 67(10), 3583
(1996),.
[28] E. Majorana, Y. Ogawa, " Mechanical thermal noise in
coupled oscillators", Phys. Lett. A, 233 (1997).
[29] D. M. Todorović, T. Grozdić, “Dinamičko savijanje optički
pobuđivane mikrogredice: odnos signal-šum”, 50. ETRAN, Beograd, jun
2006, vol. 4.
Abstract – In this review the results of investigation of the
dynamic effects in optically excited microcantilevers (onematerials
and bimaterials) were done. The amplitude and
phase of the dynamic elastic bending of the microcantilever was
calculated in the function of the frequency of modulation of the
optical excitation. Besides the thermoelastic and electronic
deformation effects which have the main influence on the dynamics
of the microcantilever, the other important effects as the thermal
lateral flux, surface stress, thermal and electronic deformation
losses, thermomechanicl noise, signal-noise ratio were
investigated. The results of these investigations are important for
sensors, actuators and resonators based on the microcantilevers and
for atomic force and thermal microscopy. DYNAMIC BENDING OF THE
OPTICALLY DRIVEN
MICROCANTILEVERS
D. M. Todorović
168
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict >
/JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false
/DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict >
/GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict >
/JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false
/DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict >
/AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org)
/PDFXTrapped /Unknown
/Description >>> setdistillerparams>
setpagedevice