Dinamika Konstrukcija

1

DINAMIKA KONSTRUKCIJA

1. Šta je suštinska karakteristika dinamičkih dejstava?

Dinamičko dejstvo se odlikuje promenom intenziteta u toku vremena (opterećenje u f-ji vremena) i pri kojem se uticaj nastalih inercijalnih sila ne može zanemariti. Na odgovor sistema pri dejstvu dinamičkog opterećenja značajnije utiču frekventne karakteristike dinamičkog opterećenja nego intenzitet opterećenja. Dinamička dejstva se odlikuju:

velikim i/ili brzim promenama intenziteta dejstva i malim i/ili velikim inercijalnim silama

promenom intenziteta dejstva i/ili inercijalnim silama koje ugrožavaju nosivost, stabilnost i upotrebljivost konstrukcije

2. Dati karakteristike dinamičkih dejstava na konstrukcije

velike ili brze promene intenziteta dejstva i male inercijalne sile velike inercijalne sile promene intenziteta dejstva i/ili inercijalne sile koje ugrožavaju nosivost, stabilnost i

upotrebljivost konstrukcije

3. Dati objašnjenje i dijagrame za karakteristična dinamička dejstva na konstrukcije

a) periodično promenjiva opterećenja (harmonijska i neharmonijska)

Ako promena može da se opiše nekom trigonometrijskom funkcijom u pitanju su harmonijska periodično promenljiva opterećenja. T – period u kome se ponavlja opterećenje.

b) udarna opterećenja – odlikuju se velikom brzinom nanošenja (promena intenziteta u jako kratkom vremenskom intervalu) i dužim ili kraćim trajanjem

c) impulsna opterećenja

Primer za udarno opterećenje je naglo oslobađanje sopstvene težine usled uklanjanja neke potporne pomoćne konstrukcije (oplata)

Opterećenje i rasterećenje u veoma kratkom vremenskom intervalu, postoji i impulsno opterećenje u serijama (periodično)

2

d) periodična opterećenja

4. Uporedi karakteristike statičkih i dinamičkih dejstava na konstrukcije

Statička dejstva imaju konstantan intenzitet bez pojave inercijlanih sila, a dimamička dejstva imaju velike i brze promene intenziteta i male inercijalne sile Statička dejstva imaju male i spore promene intenziteta i zanemarljive inercijalne sile, a dinamička imaju velike inercijalne sile Statička dejstva imaju promene intenziteta i/ili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost, stabilnost i upotrebljivost konstrukcije, dok promene intenziteta dinamičkih dejstava i inercijalne sile ugrožavaju nosivost, stabilnost i upotrebljivost konstrukcije

5. Navesti elemente dinamičkog modela i kriterijume za formulisanje dinamičkog modela konstrukcija

Elementi dinamičkog modela su: veličina, raspored i povezanost krutosti, veličina, raspored i povezanost masa i veličina, raspored i povezanost prigušenja. U okviru dinamičke analize potrebno je da se formulišu dinamički model konstrukcijskog sistema i modeli dinamičkog dejstva na konstrukcijski sistem Ako je kriterijum klasifikacije način raspodele realne mase sistema, modeli mogu da budu:

modeli sa raspodeljenom masom (raspored masa koji najviše odgovara realnom, postiže se najveća tačnost aproksimacije)

modeli sa koncentrisanom masom (realni model se aproksimira sistemom direktno raspoređenih koncentrisanih masa, njihov raspored i veličina se određuje na osnovu uslova da takav zamenjujuci sistem masa ima približno iste osobine kao i realne mase konstrukcijskog sistema)

kombinovani modeli Kriterijumi Raspored masa treba da bude takav da odgovara realnoj konstrukciji, realna konstrukcija se može aproksimirati raspodeljenom masom ili koncentrisanim masama. Prednost modela sa koncentrisanom masom je lakša numerička manipulacija, ali ovaj model ima za posledicu manju tačnost aproksimacije realnog dinamičkog ponašanja dinamičkog sistema. Model sa raspodeljenom masom daje tačnije rezultate, ali je teži za proračun. Ako podelimo sistem sa koncentrisanim masama na optimalno mali broj konačnih elemenata dobijamo rezultat sa zanemarljivom greškom . Najveći problem u formulisanju dinamičkog modela predstavlja definisanje uticaja prigušenja.

Opterećenje sa složenom frekventnom karakteristikom (najopštiji slučaj dinamičkog opterećenja), ne može se opisati nekom f-jom, definisano je u intervalima, primer – seizmičko dejstvo

3

6. Definisati stepen slobode dinamičkog modela i dati primere (jedna ili više masa) Stepeni slobode dinamičkih modela su nezavisni parametri pomeranja koji određuju položaj masa modela. Broj stepeni slobode je minimalan broj dodatnih veza za sprečavanje pomeranja masa dinamičkog modela, ali ne zavisi od statičkog broja stepeni slobode. Modeli mogu biti:

sa jednim stepenom slobode sa više stepeni slobode

7. Za slučaj konzolnog stuba raspona l sa raspodeljenom masom m formirati dinamički model sa pet stepeni slobode kretanja

4

8. Za slučaj proste grede i konzole štapa raspona l sa raspodeljenom masom m formirati dinamički model sa dva stepena slobode pomeranja

9. Odnos broja stepeni slobode „s“ i broja masa „m“ dinamičkih modela

10. Ukratko objasniti karakteristike slobodnih neprigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja

Slobodnim oscilacijama nazivamo periodično kretanje (ponavljanje u jednakim vremenskim intervalima T) koje se odvija po harmonijskom zakonu sa određenom frekvencijom, pri čemu se odnosi pomeranja dveju proizvoljnih tačaka tokom kretanja ne menjaju.

Sistem samostalno osciluje, pri tome nije izložen dejstvu spoljašnjeg opterećenja, nema prigušenja. Amplitude su konstante, zavise od početnih parametara pomeranja ya, ua.

5

11. Dati jednačinu slobodnih oscilacija i izraz za svojstvenu frekvenciju slobodnih neprigušenih oscilacija modela sa jednim stepenom slobode pomeranja

12. Ukratko objasniti karakteristike slobodnih prigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja

Slobodne oscilacije – sistem osciluje bez spoljašnjeg dejstva ili poremećaja, prigušenje ne može da se zanemari, harmonijska funckija promene. Prigušenje uvek postoji koliko god da je malo (trenje između čestica unutar meterijala).

6

13. Analizirati izraz za svojstvenu frekvenciju slobodnih priušenih oscilacija modela sa jednim stepenom slobode

14. Ukratko objasniti uzroke prigušenja i način uvođenja u dinamičku analizu konstrukcija

Uzroci prigušenja kod građevinskih konstrukcija mogu da budu: trenje između materijlanih čestica, histerzistno ponašanje materijala, otpor u vezama (spojevi, čvorovi, oslonci, itd.); viskozni otpor sredine, radijacijsko prigušenje i Columbovo trenje.

trenje između materijalnih čestica (ili tzv. unutrašnje trenje materijala) je dominantan oblik prigušenja, ako je ponašanje konstrukcije linearno-elastično

histerzistno ponašanje materijala kao uzrok prigušenja karakteristično je za konstrukcije sa nelinearno-neelastičnim ponašanjem

trenje u vezama, tj. nelinearno ponašanje veza može da bude uzrok prigušenja, čak i ako se konstrukcijski elementi ponašaju linearno-elastično, karakteristično je za montežne konstrukcijske sisteme

viskozni otpor sredine može da ima uticaj na ukupno prigušenje konstrukcijskog sistema, samo ako su izražene viskozne karakteristike sredine u kojoj je sitem ili njegov deo

radijacijsko prigušenje je posledica apsorbovanja mehaničke energije sa konstrukcije u podlogu u koju je oslonjena, zavisi od krutosti konstrukcije, stišljivosti tla i dubine fundiranja, može da ima značajni udeo u ukupnom prigušenju

Columbovo trenje posmatramo kao prigušenje, ne zavisi od pomeranja i brzine oscilovanja, malo je izraženo osim u zoni prslina i pukotina

7

Najveći uticaj na ponašanje konstrukcija za dinamička dejstva ima prigušenje koje potiče od histerzistnog ponašanja materijala, otpor u vezama i trnje između čestica materijala. Najčešći način modeliranja prigušenja jeste aproksimacija realnog prigušenja zamenjujućim linearnim viskoznim prigušenjem (pogodno za numeričko modeliranje). Umesto apsolutne vrednmosti prigušenja sa dimenzijom (sila/brzina) uvodi se „relativno prigušenje“, koje se izražava preko „koeficijenta relativnog prigušenja“ i predstavlja odnos realnog prigušenja i „kritičnog prigušenja“. Za kritično prigušenje je karakteristično da nema oscilatornog kretanja.

15. Ukratko objasniti kako se određuje krutost sistema sa jednim stepenom slobode kretanja

Krutost sistema može se odrediti proračunom pomeranja tačke sistema u kojoj deluje koncentrisani teret, usled dejstva jedinične sile na istom mestu u pravcu oscilovanja mase. Inverzna vrednost određenog pomeranja daje krutost.

16. Dinamički koeficijent. Navesti postupke za njegovo smanjenje kod realnih konstrukcija

Dinamički koeficijent „l“ (prinudnih vibracija) pokazuje koliko su dinamički uticaji veći od

statičkih, tj. koliki je faktor kojim treba pomnožiti dinamičke uticaje u odnosu na statičke da bi se dobili uticaji za dimenzionisanje. On projektuje koliko su puta uticaji dinamičkog i statičkog ugiba usled poremećajne sile Po veći od njegovog statičkog ugiba.

Za statičko opterećenje dimenzionisanje može da se sprovodi prema principu tzv. „strane sigurnosti“ (povećeanje dimenzija poprečnih preseka ili debljine konstrukcijskih elemenata vodi povećeanju krutosti i smanjenju naprezanja). Za dinamičko opterećenje „strana sigurnosti“ nije jednoznačno određena. Povećanje dimenzija dovodi do nesrazmernog povećanja krutosti u odnosu na masu, što uzrokuje povećanje svojstvene frekvencije i eventualno povećanje dinamičkog koeficijenta. Tu se princip „strane sigurnosti“ ostvaruje smanjenjem dinamičkog koeficijenta što se postiže povećanjem ili smanjenjem krutosti, povećanjem ili smanjenjem mase, povećanjem prigušenje, povećanjem trenja između elemenata konstrukcije.

8

17. Od kojih veličina zavisi vrednost dinamičkog koeficijenta u slučaju sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja pod dejstvom harmonijske poremećajne sile?

Zavisi od odnosa frekvencije poremećajne sile i kružne frekvencije η i od koeficijenta

prigušenja z.

18. Dati objašnjenje dinamičkog koeficijenta i nacrtati zakon njegove promene u funkciji od količnika kružne frekvencije poremećajne sile p(t)=po*sin(pt) i kružne frekvencije slobodnih neprigušenih oscilacija p(t)=po*sin(pt) – spoljašnja sila

9

19. Objasniti kada se javljaju maksimalne vrednosti pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode pri prinudnim prigušenim oscilacijama usled harmonijske poremećajne sile

20. Objasniti i nacrtati fizičko značenje elemenata matrice fleksibilnosti dinamičkog modela

Elementi matrtice fleksibilnosti su pomeranja usled jedinične sile, a elementi matrice krutosti su sile usled jediničnih pomeranja.

21. Ukratko opisati elemente frekventne jednačine slobodnih neprigušenih oscilacija sa više stepeni slobode kad je napisan pomoću matrice krutosti

10

22. Ukratko objasniti elemente frekventne jednačine napisane pomoću dinamičke matrice

23. Ukratko objasniti fizičko značenje elemenata matrice reakcija u frekventnoj jednačini

24. Napisati frekventu jednačinu za zadati dinamički sistem

25. Za sistem na slici napisati diferencijalne jednačine kretanja

11

26. Napisati sistem diferencijalnih jednačina svojstvenih oscilacija bez prigušenja i ukratko objasniti kako se dolazi do svojstvenih frekvencija i formi oscilacija primenom konačnih elemenata

27. Dinamički koeficijent – navesti postupke za njegovo smanjenje kod realnih konstrukcija

Dinamički koeficijent zavisi od stepena prigušenja, što znači da je za manje prigušenje on veći i obrnuto (vidi se iz f-je zavisnosti). Ako je potrebno smanjiti dinamički koeficijent onda treba povećati prigušenje. Ono se kod građevinskih konstrukcija javlja usled:

trenja između materijlanih čestica histerzistnog ponašanja materijala otpora u vezama (spojevi, čvorovi, oslonci) viskoznog otpora sredine kulonovog trenja

Potrebno je povećati trenje između elemenata konstrukcije i na taj način amortizovati dinamička dejstva i smanjiti dinamički koeficijent.

28. Objasniti ograničenja primene dinamičkog koeficijenta kod analize prigušenog sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja izloženog dejstvu harmonijske poremećajne sile

29. Koje metode mogu da se koriste za određivanje dinamičkog odgovora konstrukcije izložene dejstvu proizvoljno promenljivog spoljašnjeg dinamičkog opterećenja pri linearnoj analizi?

modalna analiza metoda ekvivalentnog statičkog opterećenja

30. Na koji način može da se uvede prigušenje u analizu sistema sa više stepeni slobode pomeranja?

Uvodi se pomoću matrice prigušenja pri čemu se realno prigušenje predstavlja preko viskoznog prigušenja (Rejlijevo prigušenje).

12

31. Ukratko objasniti kako prigušenje utiče na amplitudu, kružnu frekvenciju i period slobodnih prigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode kretanja

Prigušenje na amplitudu utiče tako što one vremenom opadaju, povećava period slobodnih prigušenih oscilacija i usporava kružnu frekvenciju.

32. Kada se pri slučaju prinudnih prigušenih oscilacija sa harmonijeskom pobudom sistema sa jednim stepenom slobode kretanja dobija maksimalna vrednost diamičkog koeficijenta?

33. Napisati diferencijalnu jednačinu kretanja za sistem sa jednim stepenom slobode pomeranja koji je izložen dejstvu prinudne harmonijske poremećajne sile (Dalamberov princip) i ukratko objasniti rešenje diferencijlane jednačine kretanja

13

34. Napisati diferencijalnu jednačinu kretanja za sistem na skici koji je izložen prinudnom pomeranju osnove u horizontalnom pravcu

35. Objasniti pri kojim uslovima može da dođe do pojave podrhtavanja kod sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja izloženog dejstvu harmonijske poremećajne sile

Ukoliko bi se zanemarilo prigušenje i kada bi vrednost kružne frekvencije poremećajne sile i svojstvene kružne frekvencije prindne sile bile bliske, sistem bi bio u stanu podrhtavanja.

36. Objasniti od čega zavise amplituda, početna faza, kružna frekvencija i period slobodnih harmonijskih oscilacija

Amplituda i počena faza zavise od početnih uslova (početno pomeranje i početna brzina). Kružna frekvencija i period oscilovanja zavise od fizičkih karakteristika sistema (krutost i masa).

37. Ukratko objasniti značenje sledećih pojmova Inercija – svojstvo svih tela da se odupru promeni kretanja Oscilacije – kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima i vrši se uvek po istoj putanji Svojstvena frekvencija oscilovanja – broj punih oscilacija u jednoj sekundi Tehnička frekvencija oscilovanja – broj punih oscilacija u jednom minutu Krutost dinamičkog modela – sila koja je potrebna da deluje na sistem da bi se masa pomerila za jediničnu vrednost u pravcu oscilovanja Sinhrone i sinfazne oscilacije – pretpostavka da su sve frekvencije i fazni uslovi oscilovanja masa jendaki

14

38. Objasniti pojavu rezonancije

39. Ukratko objasniti karakteristike prinudnih prigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode pod dejstvom harmonijske poremećajne sile

Pri maloj vrednosti amplitude prinudne sile mogu da nastanu vrlo velika pomeranja sistema ukoliko su frekvencija prinudne sile i svojstvena kružna frekvencija bliske zbog pojave rezonancije. Prinudne oscilacije se ne amortizuju kroz vreme pri postojanju prigušenja. Frekvencija prinudnih oscilacija je jednaka frekvenciji prinudne sile i ne zavisi od karakteristika sistema, tj. prinudna sila nameće svoju frekvenciju. Pri velikoj vrednosti amplitude prinudne sile mogu da nastanu veoma mala pomeranja sistema Ukoliko je n<w smer pomeranja i sile su isti, ukoliko je n>w smer pomeranja i sile su različiti.

40. Ukratko objasniti ponašanje prigušenog sistema (malo prigušenje) sa jedim stepenom slobode pomeranja izloženog dejstvu harmonijske poremećajne sile u slučaju jednakosti kružne frekvencije poremećajne sile i svojstvene kružne frekvencije

Potrebno je izbeći rezonanciju pri seizmičkom opterećenju. Rezonancija nastaje kada se poklope svojstvena kružna frekvencija konstrukcije i kružna frekvencija prinudne sile, pri čemu se javljaju maksimalni uticaji i amplituda (pomeranje objekta) koja izaziva rušenje. Prigušenjem se smanjuje sopstvena kružna frekvencija, produžava se period oscilovanja i time se smanjuju seizmičke sile i pomeranje objekta, kao i frekvencija (broj oscilacija) objekta. Prigušenjem oslobađamo konstrukciju efekta rezonancije.

15

41. Ukratko objasniti ponašanje neprigušenog sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja izloženog dejstvu naglo nanete konstantne sile.

Pod slobodnim oscilacijama podrazumeva se slučaj kada sistem samostalno osciluje i pri tome nije izložen dejstvu nekog spoljašnjeg opterećenja, odnosno frekvencija. Ove oscilacije nastaju tako što se dogodi ___ početno pomeranje ___ koji zatim nestaje, a sistem počinje da ___ ravnotežnog položaja. ____ uvek postoje i uvek vrše ___ sistema. U slučajevima kad su vrednosti ___ male (proces amortizacije traje sporo), ili se posmatra relativno kratak vremenski interval, otpori se mogu zanemariti. Pri slobodnim neprigušenim vibracijama na sistem mogu delovati samo: instituciona sila, inercijalna sila i težina. Kod slobodnih neprigušenih oscilacija frekvencija zavisi od fizičkih karakteristika sistema (krutost i masa), a amplituda zavisi od početnih uslova.

42. Ukratko opisati ponašanje sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja izloženog dejstvu impulsa

Dodatak:

16

43. Ukratko objasniti karakteristike slobodnih prigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode kretanja pri nadkritičnom prigušenju

44. Objasniti kada naglo naneta konstantna sila koja deluje na sistem sa jednim stepenom slobode pomeranja bez prigušenja može smatrati da ima statički, a kada dinamički karakter

Od brzine nanošenja sile zavisi da li će ona imati statički ili dinamički karakter u funkciji od brzine nanošenja (porasta) sile. Ako je ta brzina dovoljna mala da pomeranje proporcionalno prati nanošenje sile praktično imamo statičko dejstvo. Statika način nanošenja sile predviđa postepenim porastom od nule pa sve do pune vrednosti uz zanemarivanje pojave inercijalnih sila. Statička i dinamička metoda daju priktično isti rezultat pri postepenom povećanju sile, povećanje brzine nanošenja sile je mala, tj. inercijalne sile su dovoljno male da ne poremete odgovor sistema.

17

45. Ukratko objasniti kako se određuje spektar odgovora za naglo nanetu konstantnu silu. Napomena: razmatrati slučaj sa i bez prigušenja i skicirati oblik spektra odgovora

46. Ukratko objasniti ograničenja primene metode ekvivalentnog statičkog opterećenja po domaćim propisima za određivanje seizmičkih sila

Proračun je na bazi spektralne analize gde se određuje zamenjujuće horizontalno optetrećenje, samo za osnovni ton. Primenjuje se samo za objekte manje spratnosti i važnosti i ne daje dovoljnu tačnost obzirom na statički karakter metode (seizmičke sile su statičkog karaktera).

47. Ukratko objasniti prednosti i nedostatke spektralne teorije Prednosti – jednostavnija i brža metoda od direktne dinamičke analize Nedostatak – nedovoljna tačnost (kod dimenzionisanja) ekstremi se ne javljaju u isto vreme, kod dinamičkog proračuna zahteva superpoziciju

48. Ukratko objasniti pri kojoj pretpostavci je određen dinamički koeficijent za sistem sa jednim stepenom slobode pomeranja koji je izložen dejstvu prinudne poremećajne sile

Deo kretanja opisan opštim integralom homogene diferencijlane jednačine, brzo se amortizuje već posle nekoliko ciklusa oscilovanja, pa preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje određeno drugim delom izraza.

18

49. Ukratko objasniti način dobijanja i primenu spektra odgovora pri proračunu seizmičkih sila

Spektri odgovora se koriste kada je potrebno da se odredi samo ekstremna vrednost uticaja. Ti spektri (obično u obliku dijagrama) daju vezu između odziva modela sa jednim stepenom slobode i dinamičkih parametara modela. Odziv modela može da bude dat po generalisanim pomeranjima, silama, naponima, itd. Na apscisu dijagrama nanosi se frekvencija ili period oscilovanja konstrukcije, a na ordinatu maksimalne vrednosti uticaja za koje je određen taj dijagram. Ako se spektralne krive odrede za više vrednosti prigušenja, dobija se familija spektralnih krivih. Svi spektri su funkcije sopstvenih frekvencija i prigušenja.

Za dimenzionisanje konstrukcije potrebne su ekstremne vrednosti odgovora konstrukcije na dejstvo dinamičkog opterećenja, a ne celokupan vremenski tok odgovora konstrukcije. Zato se formiraju dijagrami iz kojih je moguće jednostavno očitati maksimalne vrednosti odgovora sistema. U sprektrima odgovora nema podataka o tome u kojim trenucima vremena se javljaju maksimalne vrednosti odgovora, a veliki nedostatak je što se spektri odgovora odnose samo na sistem sa jednim stepenom slobode.

50. Ukratko objasniti kako se spektar odgovora određen na sistemu sa jednim stepenom slobode kretanja može primeniti za određivanje seizmičkih sila kod sistema sa više stepeni slobode

Koristi se u kombinaciji sa modalnom analizom. Za svaki ton se odrede seizmičke sile i ukupni odgovor pa se onda radi superponiranje odgovora.

51. Odrediti spektar odgovora za slučaj harmonijske poremećajne sile. Zanemariti prigušenje

Dinamički koeficijent je mera odgovora od harmonijske poremećajne sile i zavisi od w/p.

Odgovor od harmonijske sile je statičko dejstvo puta dinamički koeficijent. Harmonijska sila ima dinamički koeficijent što znači da kako se on menja tako se menjaju i uticaji od harmonijske poremećajne sile. Promena dinamičkog koeficijenta praktično reprezentuje nekakav spektar odgovora za harmonijsku silu koja deluje na sistem sa jednim stepenom slobode.

19

52. Ukratko objasniti upotrebu spektra odgovora kod određivanja ekstremnih vrednosti odgovora sistema sa više stepeni slobode pomeranja

Da bismo odredili maksimalan odgovor konstrukcije sa više stepeni slobode neohodno je prvo odrediti osnovne periode oscilovanja i da za svaki odgovarajući period nađemo vrednost na sprektru odgovora. Upotreba spektra kod sistema sa više stepeni slobode uvek daje približne rezultate ali ipak dovoljno tačne za praktičnu primenu. Spektar odgovora se može primeniti samo sa modalnom analizom. Ograničavamo se na slučaj pobuđivanja k-je samo u jednom pravcu što pojednostavljuje izvođenje ali ne ograničava metodu. Pošto radimo u elastičnom području važi zakon superpozicije i rezultati za pojedine pravce pobuđivanja mogu da se sabiraju.

53. Ukratko objasniti algoritam primene spektra odgovora za određivanje maksimalnih uticaja u konstrukciji

Usvojimo zapis nekog Si(t) poznatog zemoljotresa i do rešenja ubrzanja masa dolazimo numeričkim postupkom. Pošto nas zanimaju maksimalne vrednosti inercijlanih sila očitavamo max. vrednosti ubrzanja tla. Na poseban dijagram nanosimo max vrednosti ubrzanja podeljene sa max vrednošću ubrzanja tla S1 za neko T1. Tako ponovimo za neku novu krutost novo T2 i dobijemo drugo max Amp i tako crtamo krivu K1. Postupak se ponavlja i za neko S2(t) i dobija kriva K2.

54. Koje se dinamičke karakteristike konstrukcije određuju analizom svojstvenih vibracija?

Period oscilovanja, svojstvena frekvencija oscilovanja, periodi i oblici vibracija

55. Na osnovu kojih parametara se može proceniti udeo nekog tona u odgovoru sistema sa više stepeni slobode pomeranja?

Na osnovu efektivne mase i odnosa na ukupnu masu – koeficijent participacije.

56. Objasniti pojavu zemljotresa i suštinu seizmičkih skala Zemljotres – ubrzano pomeranje tla koje izaziva inercijalne sile u konstrukcijama. Vulkanski zemljotresi – posledica promena u zemljinoj kori zbog izražene vulkanske aktivnosti, urvinski zemoljotresi – posledica urušavanja gornjih slojeva tla u zonama iznad šupljina u zemljinoj kori, tektonski zemljotresi – posledica popuštanja veze u kontaktnim zonama blokova zemljine kore (rasedi) Mesta pojave zemljotresa:

hipocentar – mesto nastanka seizm. talasa težište površine raseda (na dubini 5-60km) epicentar – centralna projekcija hipocentra na površinu zemlje

20

Seizmička analiza se sastoji iz proračuna dinamičkih karakteristika konstrukcije, određivanja seizmičkih sila na osnovu mehaničkih osobina konstrukcije objekta i zadatog pomeranja tla, te iz proračuna uticaja u konstrukciji usled dejstva indukovanih seizmičkih sila. Postoji preko 50 skala, a pravljene su u odnosu na neku pojavu koja je posledica zemljotresa, tj. pokazuju u kolikom je stepenu zemljotres uticao na neku pojavu, tako da skale mogu biti prema veličini štete na objektima, prema promenama nastalim u okruženju, prema promeni ponašanja živih bića i sl. Suština skala je da se na osnovu karakteristika zemljotresa, a za određene seizmičke zone mogu racionalno projektovati građevinske konstrukcije u cilju sprečavanja ljudskih žrtava.

57. Objasniti kako tlo na kome se gradi objekat utiče na veličinu ukupnog seizmičkog koeficijenta za horizontalni pravac pri određivanju ukupne seizmičke sile koja se određuje u skladu sa domaćim propisima

S=k*G, k=ko*ks*kd*kp

Kd – koeficijent dinamičnosti koji zavisi od kategorije tla Što je tlo boljeg kvaliteta to i dinamički koeficijent može da ima manju vrednost od 1. (I – 0,5/T, II – 0,7/T, III – 0,9/T), (0,33-1) Ako je koeficijent kategorije tla veći povećava se i vrednost pseudoubrzanja elastičnog spektra odgovora.

58. Nabrojati kvantitativne karakteristike vibracija tla pri dejstvu zemljotresa

maksimalno ubrzanje tla maksimalna brzina tla maksimalno pomeranje tla trajanje glavnog dela zemljotresa predominantne metode (frekventni sastav oscilacija) vertikalne oscilacije tla

59. Ukratko objasniti određivanje spektra pseudoubrzanja za jedan akcelogram

21

60. Zašto se kod običnih konstrukcija u zgradarstvu može koristiti spektar preudobrzine i pseudoubrzanja umesto spektra relativnih brzina i aplolutnih ubrzanja?

Pri dejstvu udarnih opterećenja za slučaj običnih vrednosti frekvencija i običnih vrednosti prigušenja, Spv=Sv, Spa=Sa, jako su sličnih vrednosti zbog malog reda prigušenja, imamo sličnost i zbog toga možemo koristiti.

61. Na primerima objasniti principe aseizmičkog projektovanja i građenja

Dispozicija objekta – osnove simetrične i kompaktne, a ne razuđene i nepravilne; izbegavati torziju, koncentrisanje masa na visinama i fleksiona prizemlja, kao i nagle promene krutosti

Izbor materijala – čelik bolje podnosi dinamička pterećenja od betona Geomehanički parametri lokacije objekta – u zavisnosti od vrste tla kao i od seizmičke

zone na lokaciji objekta, treba izabrati najbolji način fundiranja objekta kao i konstrukcijski tip

Seizmički parametri – uzimaju se u obzir kroz koeficijente sigurnosti Značaj i kategorija objekta – veći značaj objekta podrazumeva veće koeficijente

sigurnosti Adekvatna zaštita objekta od dejstva zemoljotresa može se obezbediti aseizmičkim projektovanjem i građenjem objekata. Građevinske konstrukcije moraju biti projektovane i građene da izdrže zemoljotresno dejstvo bez lokalnog ili potpunog rušenja, a po završetku zemljotresa moraju zadržati svoj integritet i imati dovoljan kapacitet preostale nosivosti. Na delovanje vertikalnih seizmičkih sila posebno se proračunavaju konzolne konstrukcije. Opterećenje od vetra i korisno opterećenje kranova ne uzima se u obzir kod seizmičkog proračuna, a težina stalne opreme se uzima u punom iznosu.

22

62. Navesti prednosti i nedostatke metoda za seizmičku analizu konstrukcija

Metoda direktne dinamičke analize – svodi se na rešavanje jednačine dinamičke ravnoteže (primenom MKE ili numeričkim rešavanjem primenom inkrementalnog postupka), prednost – velika tačnost metode (mogućnost primene realnih nelinearnih modela ponašanja i dobijanje istorije promene veličina pomeranja, napona i sila nedostatak – veoma kompleksna metoda

Metoda modalne superpozicije – uticaji u konstrukciji se dobijaju na osnovu statičke analize za seizmičke sile prvih „k“ svojstvenih oblika, a ukupni uticaji se dobijaju kao kombinacija svih oblika (ta kombinacija nije linearna), kompleksna metoda nedostatak – nedovoljna tačnost s obzirom na pretpostavku o linearnom ponašanju i karakter superpozicije

Metoda ekvivalentnog statičkog opterećenja – zasniva se na spektralnoj analizi (određuje se zamenjujuće statičko horizontalno opterećenje) prednost – jednostavna metoda nedostatak – nedovoljna tačnost s obzirom na statički karakter metode

63. Objasniti cilj seizmičke rejonizacije i kakve ona posledice ima na proračun seizmičkih sila

Seizmičkom rejonizacijom delimo određenu teritoriju na delove na kojima očekujemo da bi se mogli desiti zemoljotresi približno istog intenziteta. Tako dobijena karta služi dalje za određivanje intenziteta seizmičkih sila, a sve to preko koeficijenta seizmičkog intenziteta ks. Vrednosti se dobijaju kao prosečne vrednosti zemljotresa na određenoj teritoriji.

64. Šta je modeliranje konstrukcija? Cilj? Kreiranje idealizovane i pojednostavljene reprezentacije ponašanja konstrukcija. Greške i propusti u modeliranju mogu da budu uzrok ozbiljnih problema i teškoća pri projektovanju. Numeričko modeliranje je matematička realizacija izabranog koncepta modeliranja konstrukcije. Cilj numeričkog modeliranja je formulisanje „optimalno“ kompleksnog modela ponašanja konstrukcije: realno potreban kvalitet aproksimacije i usklađenost sa mogućnostima praktične realizacije i primene.

65. Primeri rasporeda masa dinamičkih modela

23

66. Na primerima sa slike odrediti ekvivalentnu krutost

67. Navesti metode koje se koriste za dinamičku analizu sistema sa više stepeni slobode

Metoda sila Metoda deformacija (direktno rešavanje parcijlane DJ) Metoda konačnih elemenata

68. Slobodne neprigušene oscilacije dinamičkog modela sa više stepeni slobode. Diferencijlana jednačina i osobenosti

Svojstveni oblik oscilovanja je definisan svojstvenim vektorom i odgovara svojstvenoj frekvenciji, broj svojstvenih oblika jednak je broju stepeni slobode. U svojstvenom obliku oscilovanja odnosi amplituda masa su konstantni, ali veličine ne znamo. Svojstveni vektori su ortogonalni vektori.

69. Napisati izraze za kružne frekvencije i oblike oscilovanja proste grede za prva tri tona

70. Na primeru proste grede prikazati superpoziciju oblika oscilovanja

24

71. Kružne frekvencije i oblici oscilovanja konzole

72. Objasniti i dati obrasce za proračun seizmičkih sila metodom statički ekvivalentnog opterećenja po našim propisima

Proračun konstrukcija u seimzičkim područjima svode se na ekvivalentni statički proračun, pri čemu se vrednost inercijalnih sila, koje deluju na konstrukciju određuju uz pretpostavku da se sistem linearno ponaša, metodom superpozicije maksimalnih vrednosti inercijalnih sila određenih za pojedine sopstvene oblike. Seizmička sila (inercijlana sila) koja deluje na masu „k“ u i-tom sopstvenom obliku, određuje se po formuli

73. Za sistem na slici napisati diferencijalne j-ne kretanja

74. Ukratko objasiti prednosti i mane multimodalne analize sa spektrima odgovora pri određivanju seizmičkih uticaja

Prednosti: najčešće se koristi, odgovore sistema dobijamo kao kombinaciju odgovora po svojstvenim oblicima (modalna superpozicija), moguće je raditi na sistemu sa jednim stepenom slobode pomeranja i na sistemu sa više stepeni slobode pomeranja. Nedostaci: kompleksna metoda, nedovoljna tačnost s obzirom na pretpostavku i linearnom ponašanju i karakt. superpozicije, ne može da se primeni u okvirima nelinearne analize

25

75. Metoda modalne superpozicije

nejčešće se koristi odgovor sistema dobijamo kao kombinaciju odgovora po svojstvenim oblicima

(modalna superpozicija) seizmičke sile izračunavaju se za prvih „k“ svojstvenih oblika uticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statičke analize za seizmičke sile prvih „k“

svojstvenih obilka ukupni uticaji se dobijaju kao kombinacija svih oblika (kombinacija nije linearna s

obzirom na različite faze amplituda pomeranja i sila za različite svojstvene oblike) kompleksna metoda nedovoljna tačnost s obzirom na pretpostavku o linearnom ponašanju i karakter

superpozicije

76. Metoda ekvivalentnog statičkog opterećenja

zasnovana na spektralnoj analizi određuje se zamenjujuće statičko horizontalno opterećenje uticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmičke sile dobijene na osnovu analize prvog

svojstvenog oblika i drugih dinamičkih parametara konstrukcije, kategorije objekta, intenziteta pretpostavljenog seizmičkog dejstva i karakteristika tla

jednostavna metoda nedovoljan tačnost s obzirom na statički karakter metode,

S=k*G, k=ko*ks*kd*kp

77. Ukratko objasniti od čega zavisi ukupni seizmički koeficijent za horizontalni pravac u metodi ekvivalentnog statičkog opterećenja pri određivanju seizmičkih sila po domaćim propisima

S=k*G, k=ko*ks*kd*kp

ko – koeficijent kategorije objekta, objekti visokogradnje I kategorije od važnosti koji su van seizmičkog područja analiziraju se primenom projektovanja na opterećenje VII stepena sa koeficijentom 1,0, a manje bitni <1,0 ks – koeficijent seizmičkog intenziteta (VII – 0,025, VIII – 0,05, IX – 0,1), zavisi od seizmičke zone i učestalosti zemljotresa

kd – koeficijent dinamičnosti, zavisi od kategorije tla (I – 0,5/T, II – 0,7/T, III – 0,9/T) (0,33-1), što je lošije tlo veći je koeficijent

kp – koeficijent duktiliteta i prigušenja, zavisi od vrste materijala konstrukcije

78. Kojih principa se treba držati pri projektovanju?

rezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statički određenih sistema zidane konstrukcije – mala masa i kompaktnost, kritična nosivost horizontalnih

spojnica, potreba uvođenja vertikalnih i horizontalnih AB serklaža za prijem horizontalnih seizmičkih sila

26

AB konstrukcije – velika masa, srednja čvrstoća, skelenti, panelni i kombinovani sistemi, položaj jezgra i zidova za horizontalno ukrućenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montažnoh sistema, fleksibilne i krute tavanice

čelične konstrukcije – mala masa, velika krutost i čvrstoća, iste karakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerzistno ponašanje i velika duktilnost, mogućnost gubitka stabilnosti i krtog loma na varu

79. Ukratko objasniti kako se formira dinamički model pri seizmičkoj analizi

armiranobetonskih konstrukcija zgrada Kako skeletna konstrukcija zgrada predstavlja složen dinamički model sa kontinualno raspodeljenom masom, u cilju uprošćavanja obično težinu objekta, uključujući i deo korisnog opterećenja, predstavljamo u vidu koncentrisanih masa postavljenihu nivoima tavanica. Da bi se dinamička analiza mogla obaviti potrebno je formirati i statički model konstrukcije. Osnovna pretpostavka koja se usvaja pri analizi je da se tavanice smatraju beskonačno krutim u svojoj ravni i time mogu biti podvrgnute samo ravnom kretanju kao krute ploče. Sa formiranim modelom pristupimo proračunu. U najvećem broju slučajeva se razmatraju horizontalne oscilacije, nema obrtanja masa, a translatorna su pomeranja. Broj stepeni slobode dinamičkog modela je manji od broja stepeni slobode statičkog modela. Elementi dinamičkog modela su: veličina i raspored masa, veličina i raspored prigušenja, veličina i raspored krutosti, raspored čvorova, oslonaca, krutih uglova, štapova i zglobova.

80. Za sistem na skici ukratko uporediti statički i dinamički model

81. Metoda direktne dinamičke analize

27

Rešavanje jednačina dinamičke ravnoteže - primena metode konačnih elemenata – najbolje - numeričko rešavanje primenom inkrementalnog postupka u povezivanju tekuće i

naredne konfiguracije analiziranog sistema konačnih elemenata - umesto rešenja za bilo koji vremenski trenutak „ti“ koji se razlikuje za „Δt“

- promena pomeranja, brzina i ubrzanja u okviru vremenskog intervala „Δt“ unapred se

pretpostavlja - kompleksna metoda - velika tačnost metode – mogućnost primene realnih nelinearnih modela ponašanja i

dobijanje istorije promene veličina pomeranja, napona i sila

82. Ukratko objasniti uticaj intenziteta viskoznog prigušenja na karakteristike slobodnih prigušenih oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja

28

83. Objasniti frekvenciju slobodnih neprigušenih oscilacija modela sa jednim stepenom slobode kretanja

Slobodne neprigušene oscilacije imaju sledeće karakteristike:

- amplituda i početna faza zavise od početnih uslova - kružna frekvencija i period oscilacije ne zavise od početnih uslova i predstavljaju

nepromenljive karakteristike sistema - sistem osciluje bez spoljašnjeg dejstva - mala vrednost prigušenja - harmonijska f-ja promene

84. Ukratko objasniti ortogonalnost glavnih formi oscilovanja Sistem sa n stepeni slobode kretanja ima n svojstvenih frekvencija i njima odgovarajućih glavnih formi oscilovanja, odnosno ima n svojstvenih vrednosti. Ortogonalnost glavnih formi se sastoji u tome da rad spoljašnjih (inercijalnih) sila jedne glavne forme na pomeranjima druge glavne forme bude jednak nuli.

85. Kako se u dinamičku analizu konstrukcija uvodi udarno ili impulsno opterećenje?

86. Nabrojati karakteristike zemljotresa i načine na koje se dejstvo zemljotresa može

uvesti u dinamičku analizu Karakteristike zemoljotresa:

- hipocentar (žarište zemljotresa) - epicentar - dubina žarišta - magnituda zemljotresaoslobođena energija u žarištu - povratni period zemljotresa - intenzitet - seizmogram - akcelerogram

Način uvođenja:

- seizmičke karte (seizmička reonizacija) - izoeista? - amplifikacija maksimalnog ubrzanja tla - spektar odgovora - frekventni sastav zemoljotresa

29

87. Ukratko objasniti primenu modalne analize za određivanje odgovora sistema sa više stepeni slobode pomeranja izloženog dejstvu zemljotresa u vidu akcelerograma

Sistem n diferencijalnih jednačina modalnom analizom transformiše se u n međusobno nezavisnih diferencijalnih jednačina rako da svakom stepenu slobode odgovara po jedna jednačina, a superpozicija rešenja tih jednačina je dinamički odgovor sistema.

88. Ukratko objasniti primenu direktne numeričke integracije za određivanje odgovora sistema sa više stepeni slobode pomeranja izloženog dejstvu zemoljotresa u vidu akcelerograma.

Diferencijalne jednačine se pretvaraju u algebarske, ceo vremenski interval se prebacuje u manje vremenske untervale unutar kojih se pretpostavi promena npr. ubrzanja. Metoda je približna i tačnost je utoliko veća ukoliko su intervali manji.

89. Ukratko objasniti karakteristike modalne superpozicije i derektne integracije kao dve osnovne metode za rešavanje dinamičkog odgovora konstrukcije

Metoda modalne superpozicije Koristi ortogonalnost svojstvenih oblika, zatim razbije sistem od n stepeni na nezavisne jednačine, gde svaka jednačina odgovara nekom tonu vibracija. Uticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statičke analize za seizmičke sile prvih „k“ svojstvenih oblika, a ukupni uticaji se dobijaju kao kombinacija ovih oblika (ta kombinacija nije linearna), kompleksna metoda Direktna integracija Ovde se rešava direktno sistem diferencijlanih jednačina i pretvara ih u sistem algebarskih. Radi sa sistemom od n stepeni slobode, u svakom inkrementu mora da reši sistem algebarskih jednačina. Da bi rezultat bio dovoljno tačan mora se uzeti dovoljno mali vremenski inkrement kojim bi aproksimirali promenu dinamičkog opterećenja. Rešenje je približno a omogućava nam da rešavamo složene probleme, a laka je primena za računare Modalna superpozicija je nešto brža zato što ima manje numeričkih operacija. I jedna i druga metoda daju tačan rezultat u okviru linearne analize.

90. Objansniti kako se matrica mase elemenata u metodi konačnih elemenata svodi na dijagonalnu

Usled zanemarenja matrica se svodi na dijagonalni inercijalno nespregnut sistem.

91. U kojim slučajevima dinamički koeficijent sistema sa jednim stepenom slobode kretanja pri prinudnim prigušenim oscilacijama sa harmonijskom poremećajnom silom daje približno rešenje ekstremne vrednosti odgovora?

U slučajevima kad ( ) početni uslovi, i za najmanje moguće prigušenje dinamičkog koeficijenta će dati ekstremne vrednosti odgovora.