UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATN FACULTAD DE INGENIERA QUMICAINGENIERA EN BIOTECNOLOGA
DINMICA Y CONTROL DE PROCESOS
DINMICA Y CONTROL DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADORTRABAJO QUE PRESENTAN:
LUIS ALBERTO BARRALES ROJASORLANDO ENRIQUE CASANOVA CARVAJALCARLO ALEJANDRO CAUICH CRDOVA TANA HERNNDEZ BARRUETAMELISSA DIANELA MERCADO RUBIO
CURSO ESCOLARENERO-JUNIO 2015
MRIDA, YUCATN A VIERNES 12 DE JUNIO DE 2015Contenido1. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR42. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO Gp(s)63. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR EN LAZO ABIERTO63.1. ESTABILIDAD DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO73.1.1. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO73.1.2. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO74. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR EN LAZO CERRADO84.1. SENSOR84.2. CIRCUITO DE RETROALIMENTACIN H(s)94.3. DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO114.4. ESTABILIDAD DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO114.3.1. ROUTH-HURWITZ124.3.2. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES124.3.3. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO135. CONTROLADORES145.1. SINTONIZACIN DE CONTROLADORES145.1.1. MTODO DE ZIEGEL-NICHOLS EN LAZO ABIERTO145.2. CONTROL P Y PID156. APLICACIN DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR: EL SISMMETRO167. ANEXOS187.1. MATLAB187.1.1. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO187.1.2. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO187.1.3. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO187.1.4. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO197.1.5. SINTONIZACIN POR EL MTODO DE ZIEGEL-NICHOLS O CURVA DE RESPUESTA197.2. SIMULINK207.2.1. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO207.2.2. CURVAS RESPUESTAS207.2.2. CONTROLADORES P Y PID208. REFERENCIAS20
1. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOREn el presente trabajo se estudiar la dinmica de un sistema masa-resorte-amortiguador que es un tipo de sistema mecnico simple, el cual se rige por la Segunda Ley de Newton. Un mtodo sistemtico para obtener ecuaciones del sistema es el siguiente: 1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema. 2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas que actan sobre ellas en trminos de posiciones de masaUn sistema masa-resorte-amortiguador est compuesto por una masa la cual est unida a un resorte y un amortiguador, este ltimo tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando (representacin de las caractersticas de disipacin o prdida de energa de una estructura real). Adems de la masa se considera la constante del resorte k y B que es el coeficiente de amortiguamiento. El diagrama de cuerpo libre del sistema de presenta en la Figura 1.
Figura 1. Diagrama masa-resorte-amortiguador
El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que la fuerza es, en magnitud, proporcional a la rapidez, es decir donde es la constante de proporcionalidad. Entonces la fuerza que ejerce el amortiguador es
Donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguacin va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces:
Donde es la fuerza del resorte. Si se re-escribe esto como una ecuacin diferencial, queda: (1)La ecuacin (1) modela el movimiento amortiguado de la masa. En este caso, la fuerza de amortiguacin produce una prdida de energa en el sistema. Es de notar que todos los parmetros del modelo (M, k y B) son cantidades positivas.La ecuacin diferencial obtenida (1) es una Ecuacin Diferencial Ordinaria (EDO) pues contiene nicamente derivadas de y respecto del tiempo; adems se clasifica como de segundo orden pues el orden de la mayor derivada es 2, y de primer grado debido a que la potencia del diferencial de mayor grado es 1. En la Tabla 1 se muestran las variables, coeficientes y unidades del Sistema Internacional para un sistema masa-amortiguador-resorte, tambin conocido como sistema mecnico de traslacin.
Tabla 1. Sistema masa-amortiguador-resorteSMBOLOSVARIABLES Y COEFICIENTESSIU
yDistanciam
MMasaKg
kConstante del resorteKg/s2
BCoeficiente de amortiguamientoKg/s
fFuerzaKgm/s2
aAceleracinm/s2
vVelocidadm/s
2. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO Gp(s)A continuacin se procede a determinar la transformada de La Place de la ecuacin (1) suponiendo que la condicin inicial
Por ltimo se encuentra la funcin de transferencia Gp(s):
Para este trabajo se considerar un sistema con una masa de 1 Kg y las constantes del resorte y del amortiguador de 15 y 8 unidades, respectivamente (Ramrez, 2010). Es decir, la funcin de transferencia Gp(s) queda:
3. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR EN LAZO ABIERTOUna vez que se conoce como se comporta el proceso, se dibuja el diagrama del proceso en lazo abierto y de este modo se determina cmo se comporta el sistema. En la Figura 2 se presenta el diagrama del sistema masa-resorte-amortiguador para un sistema en lazo abierto. Para el sistema propuesto en este trabajo, la entrada del sistema F(s) es la fuerza aplicada a la masa y la salida Y(s) es la distancia que se desplaza la masa por efecto de la fuerza aplicada.
KFigura 2. Diagrama de un sistema masa-resorte-amortiguador en lazo abierto
F(s)Y(s)G(s)
3.1. ESTABILIDAD DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTOLa estabilidad del sistema en lazo abierto se determin mediante el diagrama de polos y ceros de la funcin G(s).3.1.1. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTOTal como se presenta en la Figura 3, el sistema masa-resorte-amortiguador no tiene ceros. Sin embargo presenta dos polos (-5 y -3) ubicados a la izquierda de jw mismos que le confieren estabilidad al sistema.
Figura 3. Polos del sistema masa-resorte-amortiguador en lazo abierto
3.1.2. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTOUna caracterstica de los sistemas estables es que, cuando se aplica una entrada conocida, la respuesta debe tener el mismo comportamiento. Cuando al sistema masa-resorte-amortiguador en lazo abierto que se propone en este trabajo se le introduce una entrada de tipo escaln y rampa, la respuesta del sistema tiene el mismo comportamiento para cada caso, como se observa en la Figura 4.Figura 4. Respuesta temporal de un sistema masa-resorte-amortiguador en lazo abierto
4. SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR EN LAZO CERRADOA continuacin se propone el sistema con lazo cerrado, con la premisa de que el sistema sufrir perturbaciones. Para poder hablar de un sistema en lazo cerrado, es necesario determinar el tipo de sensor que se utilizar y este depende de la variable respuesta del sistema. En este caso la variable respuesta Y(s), que es el desplazamiento de la masa, tiene unidades de distancia (metros) mientras que la variable de entrada F(s), que es la fuerza aplicada al sistema, tiene unidades de fuerza (Newtons). 4.1. SENSORPara poder retroalimentar el sistema con la variable que se va a controlar, Y(s), se utilizar un sensor que mida el desplazamiento con base en el principio de Faraday, de una bobina que se mueve dentro de un campo magntico y que genera un voltaje, como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Diseo constructivo de un sensor para medir desplazamiento. N, S: polos norte y sur de un imn. I: corriente elctrica. Vout: voltaje de salida de la bobina. Y(t): desplazamiento del sistema
El voltaje de salida (Vout) del sensor es proporcional a los siguientes factores:1. La intensidad del campo magntico2. Nmero de espiras de la bobina3. Velocidad a la que la bobina cruza el campo magntico4. Variacin de la distancia entra la bobina y el campo magnticoPara el sensor se mantendrn fijos los primeros tres factores, de modo que el voltaje medido dependa nicamente de la variacin de la distancia entre la bobina y el campo magntico.
4.2. CIRCUITO DE RETROALIMENTACIN H(s) Se determin que, para fines prcticos H(s) tiene un valor de 10 unidades siempre que:1. El sensor genere una salida de 1 V cuando el sistema masa-resorte-amortiguador alcance su mxima elongacin2. La seal de referencia F(s) vare en un rango de 0 a 10 unidades
El sistema masa-resorte-amortiguador con retroalimentacin no unitaria se muestra en la Figura 6. En donde G(s) representa la funcin de transferencia del sistema, es decir, la funcin de transferencia del proceso Gp(s) multiplicado por la ganancia K
F(s)Y(s)G(s)10K+-
Figura 6. Sistema masa-resorte-amortiguador con retroalimentacin no unitaria
La funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema anterior, queda de la forma:
Sustituyendo H(s) por el valor fijado de 10 unidades, la funcin de transferencia en lazo cerrado queda como se indica a continuacin:
4.3. DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO
En la Figura 7 se observa que el diagrama de polos y ceros del sistema en lazo cerrado utilizando dos valores de ganancia (K=1 y K=4). En ambas grficas se observan polos complejos conjugados lo que indica que el sistema es marginalmente estable. Al observar el par de races complejas conjugadas se puede deducir que el sistema es subamortiguado, es decir, que el sistema presentar grandes oscilaciones en la fase transitoria. As mismo, cuando el valor de K aumenta de 1 a 4, la parte imaginaria de la raz tambin aumenta.
Figura 7. Diagrama de polos y ceros del sistema masa-resorte-amortiguador en lazo cerrado. Izquierda K=1. Derecha K=4
4.4. ESTABILIDAD DEL SISTEMA EN LAZO CERRADOAhora que se conoce la funcin de transferencia del sistema en lazo cerrado T(s) se procede a determinar la estabilidad del sistema utilizando el criterio de Routh-Hurwitz y el mtodo del lugar geomtrico de las races.4.3.1. ROUTH-HURWITZEste mtodo utiliza la ecuacin caracterstica del sistema para determinar la estabilidad del mismo. El arreglo para determinar la estabilidad del sistema se presenta a continuacin:
.
Con esto se observa que el sistema es estable cuando la ganancia K es igual o mayor a -1.5 unidades.
4.3.2. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACESEl lugar geomtrico de las races (LGR) es una herramienta que sirve para determinar todas las posibles races de una ecuacin caracterstica de 1 + G(s)H(s) = 0 cuando vara algn parmetro (en principio, la ganancia K de un sistema) y se utiliza para conocer el comportamiento total del sistema de lazo cerrado en rgimen transitorio (Hernndez, 2010).Tal como se observa en la Figura 8, el LG inicia en los polos (-5 y -3) mismos que se ubican sobre el eje real y terminan en el infinito, en este caso, debido a la ausencia de ceros.
Figura 8. Lugar geomtrico de las races del sistema masa-resorte-amortiguador en lazo cerrado
4.3.3. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO CERRADOEn la Figura 9 se observa la respuesta del sistema a una entrada tipo escaln y rampa; para ambos casos, tal como se dedujo del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, el sistema permanece estable en ambos valores de K. K=4
K=1
K=1
K=4
Figura 9. Respuesta del sistema masa-resorte-amortiguador, en lazo cerrado, a una entrada conocida. Arriba: entrada escaln. Abajo: entrada rampa. RespTemporal_K1K4.mdlK=1
5. CONTROLADORES5.1. SINTONIZACIN DE CONTROLADORESCon la premisa de que, efectivamente, el sistema masa-resorte-amortiguador sufrir perturbaciones durante el estado estacionario es importante agregar un controlador. En este trabajo se comparar el controlador Proporcional (P) y el Proporcional-Integral-Derivativo (PID); esto se decidi debido a que una de las aplicaciones del sistema masa-resorte-amortiguador, es en los sismgrafos. No se consider utilizar un controlador PI ya que este no toma en cuenta la velocidad a la que crece el error (cuestin importante cuando se trata de un sismo) y el controlador PD no es capaz de medir el error (intensidad del sismo). Antes de poder agregar el controlador al sistema hay que determinar el valor de los parmetros de cada uno.5.1.1. MTODO DE ZIEGEL-NICHOLS EN LAZO ABIERTOEn este trabajo se utiliz el mtodo de Ziegel-Nichols en lazo abierto para posteriormente calcular los parmetros de los controladores para dos ganancias distintas (K=1 y K=4). En la Figura 10 se muestran las curvas de respuesta al sistema en lazo abierto, a partir de la cual se obtuvieron los valores de miutos, minutos y para una ganancia de 1. Y para una ganancia de 4, se obtuvieron los valores de miutos, minutos y , los cuales sirvieron para calcular los parmetros de los controladores P y PID que se muestran en la Tabla 2.
Figura 10. Curvas de respuesta del sistema resorte-masa-amortiguador para K=1 (izquierda) y K=4 (derecha). CurvasResp_K1K4.mdl
Tabla 2. Parmetros para la sintonizacin de controladores P y PIDControladorKpTiTd
K=1P200.8907
PID241.06880.12520.0313
K=4P162.1951
PID194.63410.05000.0125
5.2. CONTROL P Y PIDA continuacin, en la Figura 11 se muestra el diagrama de bloques del sistema masa-resorte-amortiguador cuando se le agrega un controlador de tipo P y PID:
F(s)Y(s)Gs(s)10K+-Gc(s)
F(s)Y(s)Gs(s)10K+-Gc(s)
Figura 11. Diagrama de bloques de un sistema masa-resorte-amortiguador con un controlador P y PID con ganancia K=1
A partir de estos parmetros calculados en Matlab e introducidos en Simulink se gener la respuesta del sistema con un controlador P y PID con ganancia de K=1 y K=4, tal como se observa en la Figura 12.
Figura 12. Respuesta del sistema a una entrada escaln unitario P PID. Arriba: K=1. Abajo: K=4. Controladores_K1.mdl; Controladores_K4.mdl
En este caso se observa que, cuando la ganancia aumenta, el tiempo que el sistema tarda en llegar a la fase estable es ligeramente mayor. Adems, la frecuencia hasta la que llega el sistema cuando se utiliza un controlador P es menor que el PID pero su respuesta es ms lenta.La decisin de escoger uno u otro controlador depender de la aplicacin para la que se necesite. En este caso que se propone utilizarse en un sismmetro, el controlador PID es el ideal ya que tiene una respuesta ms rpida y no es necesario que la frecuencia sobrepase cierto valor lmite.6. APLICACIN DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR: EL SISMMETROElsismgrafoosismmetroes un instrumento para medirterremotoso pequeos temblores provocados por los movimientos de las placas tectnicas.Este aparato, en sus inicios, consista en un pndulo que por su masa permaneca inmvil debido a lainercia, mientras todo a su alrededor se mova; dicho pndulo llevaba un punzn que iba escribiendo sobre un rodillo de papel pautado en tiempo, de modo que al empezar la vibracin se registraba el movimiento en el papel, constituyendo esta representacin grfica el denominado sismograma.Los modernos sismmetros de banda ancha consisten de una pequea masa de prueba confinada por fuerzas elctricas. Cuando la Tierra se mueve, electrnicamente se trata de mantener la masa fija a travs de la retroalimentacin del circuito. La cantidad de fuerza necesaria para conseguir esto es entonces registrada.
Figura 13. Mecanismo de accin de un sismmetro con base en un sistema masa-amortiguador-resorte
7. ANEXOS7.1. MATLAB7.1.1. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO
7.1.2. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO
7.1.3. DETERMINACIN DE POLOS Y CEROS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO
7.1.4. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO
7.1.5. SINTONIZACIN POR EL MTODO DE ZIEGEL-NICHOLS O CURVA DE RESPUESTA
7.2. SIMULINK7.2.1. RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA EN LAZO CERRADORespTemporal_K1K4.mdl7.2.2. CURVAS RESPUESTASCurvasResp_K1K4.mdl7.2.2. CONTROLADORES P Y PIDControladores_K1.mdlControladores_K4.mdl8. REFERENCIASHernndez, R. (2010). Introduccin a los sistemas de control. Mxico: Pearson.Ramrez, A. (2010). Sistema masa-resorte-amortiguador. Obtenido de http://extropynow.weebly.com/uploads/1/6/4/1/16411724/dcontrol_-prctica-3_1_2.pdf
