Dinamica de Sistemas

Excelencia Acadmica

5

PROGRAMACIN GENERAL INTRODUCCIN A LA DINMICA DE SISTEMAS

Autoaprendizaje 3 horas Unidad 1

MODELOS DE SISTEMAS


ANLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIN


DIAGRAMA DE FORRESTER Y MODELOS MATEMTICOS


USO DEL SOFTWARE DE SIMULACIN


RETRASOS EN LOS SISTEMAS


SIGNIFICANCIA Y ANLISIS DE MODELOS DINMICOS


TPICOS AVANZADOS Y DESARROLLO DE CASOS


Excelencia Acadmica

6

Excelencia Acadmica

7

TABLA DE CONTENIDO Presentacin Programa General

UNIDAD TEMTICA N 01:

INTRODUCCIN ALA DINMICA DE SISTEMAS

Qu es un Sistema? Caractersticas de los Sistemas Clasificacin de los Sistemas Qu es un Sistema Dinmico? Como Nace la Dinmica de Sistemas La Dinmica de Sistemas


MODELADO DE SISTEMAS El Desarrollo de Modelos de Sistemas Desarrollo de Diagramas Causales Los Ciclos Causales Descripcin de la Metodologa para Desarrollo de Modelos


ANLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIN

Bucle de Realimentacin Negativa Bucle de Realimentacin Positiva Sistemas Complejos y Estructuras Genricas


Diagrama de Forrester y Modelos Matemticos

Como Iniciar la Construccin de un Diagrama de Forrester Clasificacin de Variables Modelo Matemtico


Uso del Software de Simulacin

Paseando por el Stella Un Ejemplo para Aprender a Manejar Stella Relaciones Analticas

Pag. 3 5 9 9 10 11 13 14 16 21 23 25 27 33 34 38 41 47 47 48 54 59 59

Excelencia Acadmica

8

Simulando con el Software Stella


Retrasos en los Sistemas

Retrasos en la Transmisin de Material Retrasos en la Transmisin de Informacin Reglas para Aplicar Retrasos


Significancia y Anlisis de Modelos Dinmicos

Significancia Anlisis de Sensibilidad del Modelo Dinmico Implantacin de Polticas en el Sistema


Tpicos Avanzados y Desarrollo de Casos

Realimentacin Negativa de Segundo Orden Realimentacin Positiva de Segundo Orden Desarrollo de Casos

60 64 68 75 77 84 86 89 89 91 92 99 99 101 104

Excelencia Acadmica

9

INTRODUCCIN ALA DINMICA DE SISTEMAS

La sistmica con sus diversas metodologas aporta instrumentos para estudiar aquellos problemas que resultan de las interacciones que se producen en el seno de un sistema complejo. La Dinmica de sistemas, constituyndose como la metodologa mas acertada dentro del mundo sistmico, propone el tratamiento de dichas complejidades considerando la causa y el efecto que las enmarca. En esta primera unidad, vamos a recordar algunos conceptos bsicos de la teora de sistemas, y su relacin con la Dinmica de Sistemas, formalizaremos su concepcin y veremos su evolucin en el tiempo.

Al terminar el estudio de la presente unidad, el estudiante: Repasa los conceptos generales de la sistmica Describe las caractersticas y elementos de los sistemas Conoce la historia y precedentes de la Dinmica de Sistemas. Entiende el concepto de Dinmica de Sistemas QU ES UN SISTEMA? Vamos a ver algunas definiciones de lo que es un sistema: L. Von Bertalanffy (1968): "Un sistema es un conjunto de unidades en interrelacin." Ferdinand de Saussure (1931): "Sistema es una totalidad organizada, hecha de elementos solidarios que no pueden ser definidos ms que los unos con relacin a los otros en funcin de su lugar en esa totalidad." IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms: "Sistema es un todo integrado, aunque compuesto de estructuras diversas, interactuantes y especializadas. Cualquier sistema tiene un nmero de objetivos, y los pesos asignados a cada uno de ellos pueden variar ampliamente de un sistema a otro. Un

Excelencia Acadmica

10

sistema ejecuta una funcin imposible de realizar por cualquiera de las partes individuales. La complejidad de la combinacin est implcita." Estndar X3.121970 (ANSI), Estndar 2382/V, VI (ISO) Vocabulary for Information Processing: "Sistema es una coleccin organizada de hombres, mquinas y mtodos necesarios para cumplir un objetivo especfico." Resumiendo y obteniendo aspectos relevantes: La presencia de elementos heterogneos pero interconectados. El concepto de partes formando un todo global. La presencia del exterior influenciando en el sistema. El surgimiento de nuevas propiedades, resultado de las interrelaciones de las

partes. El objetivo comn compartido por todos los elementos participantes en el

sistema.

Figura 1.1. Visin sistmica

CARACTERSTICAS DE LOS SISTEMAS 1. Globalismo.- Dentro del funcionamiento de los sistemas surge un

acontecimiento llamado globalismo, el cual se da cuando un elemento presenta un cambio que inevitablemente repercutir en todos los dems afectando as al sistema. Todo sistema tiene naturaleza orgnica; cualquier estimulo en cualquier unidad del sistema afectar a todas las dems unidades debido a la relacin existente entre ellas.

Excelencia Acadmica

11

2. Entropa.- Predisposicin que tienen los sistemas al deterioro o desintegracin, es decir, a medida que la entropa acrecienta los sistemas se descomponen en estados ms simples. El segundo principio de la termodinmica establece el crecimiento de la entropa, es decir, la mxima probabilidad que los sistemas caigan en la desorganizacin y, finalmente, homogeneizacin con el ambiente. Los sistemas cerrados estn irremediablemente condenados a la desorganizacin. No obstante, hay sistemas que, al menos temporalmente, revierten esta tendencia al aumentar sus estados de organizacin (negentropa, informacin).

3. Homeostasis.- Equilibrio dinmico entre las partes del sistema, esto es, la tendencia de los sistemas a adecuarse al equilibrio de los cambios internos y externos del ambiente. Este concepto est referido con nfasis a los organismos vivos, por lo tanto, sistemas adaptables. Los procesos homeostticos operan ante variaciones de las condiciones del ambiente, corresponden a las compensaciones internas al sistema que sustituyen, bloquean o complementan estos cambios con el objeto de mantener invariable la estructura sistmica, es decir, hacia la conservacin de su forma. La subsistencia de formas dinmicas o trayectorias se denomina homeorrosis (sistemas cibernticos)

4. Equifinalidad.- Se refiere al hecho que un sistema vivo a partir de distintas condiciones iniciales y por distintos caminos llega a un mismo estado final. No importa el proceso que reciba, el resultado es el mismo. El fin se refiere a mantener un estado de equilibrio fluyente. Puede alcanzarse el mismo estado final, la misma meta, partiendo de diferentes condiciones iniciales y siguiendo distintos itinerarios en los procesos orgnicos. El proceso inverso se denomina multifinalidad, es decir, condiciones iniciales similares pueden llevar a estados finales diferentes.

CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS Sistemas naturales: Los sistemas naturales nacen en respuesta a fenmenos

fsicos, qumicos y biolgicos creados por la naturaleza. Son los existentes en el ambiente. Una clula, un ser vivo, la Biosfera o la Tierra entera son ejemplos de sistemas naturales.

Sistemas artificiales: Los sistemas artificiales son aquellos que fueron logrados por la intervencin directa de la mano del hombre. El hombre participa de manera activa en su diseo, manejo, control y ejecucin.

Excelencia Acadmica

12

Sistemas sociales: Integrados por personas cuyo objetivo tiene un fin comn. Considera el contenido y significado de mensajes, la naturaleza y dimensiones del sistema de valores, la trascripcin de imgenes en registros histricos, sutiles simbolizaciones artsticas, msica, poesa y la compleja gama de emociones humanas.

Sistemas hombre-mquina: Emplean equipos u otra clase de objetos, que a veces se desean logren autosuficiencia. Representa una combinacin de uno o ms seres humanos y uno o ms componentes fsicos, que actan recprocamente para efectuar, a partir de unas entradas de energa e informacin determinadas, una produccin o salida deseada.

Sistemas abiertos: Se caracteriza porque su estado original se transforma constantemente por la accin retroalimentadora del ambiente, desde su creacin hasta su declive. Su vida til depende de su adaptabilidad a las exigencias del ambiente (homeostasis). Intercambian materia y energa con el ambiente continuamente.

Sistemas cerrados: Se caracteriza porque no tiene capacidad de cambio por si mismo para adaptarse a los requerimientos del ambiente. Es irreversible y su estado presente y final esta determinado por su estado original. Son efmeros por desgaste (entropa).

Sistemas temporales: Duran cierto periodo de tiempo y posteriormente desaparecen.

Sistemas permanentes: Duran mucho ms que las operaciones que en ellos realiza el ser humano, es decir, el factor tiempo es ms constante.

Sistemas estables: Un sistema se dice estable cuando puede mantenerse en equilibrio a travs del flujo continuo de materiales, energa e informacin. La estabilidad de los sistemas ocurre mientras los mismos pueden mantener su funcionamiento y trabajen de manera efectiva (mantenibilidad).

Sistemas no estables: No siempre es constante y cambia o se ajusta al tiempo y a los recursos.

Sistemas adaptativos: Reaccionan con su ambiente, mejora su funcionamiento, logro y supervivencia.

Sistemas no adaptativos: tienen problemas con su integracin, de tal modo que pueden ser eliminados o bien fracasar.

Sistemas determinsticos: Interactan en forma predecible.

Excelencia Acadmica

13

Sistemas probabilsticos: Presentan incertidumbre. Subsistemas: Sistemas ms pequeos incorporados al sistema original. Supersistemas: Sistemas extremadamente grandes y complejos, que pueden

referirse a una parte del sistema original.

1. En sus propias palabras defina lo que es un sistema. 2. Mencione ejemplos relevantes de cada uno de los tipos de sistemas. QU ES UN SISTEMA DINMICO? Un sistema dinmico es un sistema complejo que presenta un cambio o evolucin de su estado en el tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los lmites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Al especificar los lmites del sistema, en primer lugar, se selecciona a aquellos elementos que contribuyan a establecer las formas de comportamiento, y seguidamente debemos determinar el lugar donde se llevar a cabo el estudio, dejando de lado toda clase de aspectos irrelevantes. En cuanto a la elaboracin de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta que: 1. Un sistema est formado por un conjunto de elementos en interaccin. 2. El comportamiento del sistema se puede modelar a travs de diagramas

causales. 3. Hay varios tipos de variables: variables exgenas (son aquellas que afectan al

sistema sin que ste las provoque) y las variables endgenas (afectan al sistema pero ste s las provoca).

Tipos de sistemas dinmicos Un sistema dinmico se dice discreto si el tiempo se calcula en pequeos lapsos; stos son modelados como relaciones recursivas, tal como se muestra en la

Excelencia Acadmica

14

ecuacin logstica: , donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la

variable que cambia con ste. Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinmico continuo resultante es expresado como una ecuacin diferencial ordinaria; por ejemplo:

, donde x es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante x es normalmente un nmero real, aunque tambin puede ser un vector en Rk. Sistemas lineales y no lineales Se distingue entre sistemas dinmicos lineales y sistemas dinmicos no lineales. En los sistemas lineales, el lado derecho de la ecuacin es una expresin que depende en forma lineal de x, tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es tambin una solucin; esto se conoce como principio de superposicin. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del lgebra lineal y simplifican significativamente el anlisis. Para sistemas lineales continuos, el mtodo de la transformada de Laplace tambin puede ser usado para transformar la ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica. Los sistemas no lineales son mucho ms difciles de analizar y a menudo exhiben un fenmeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles. COMO NACE LA DINMICA DE SISTEMAS Jay Wright Forrester (Fig. 1.2), es considerado el patriarca de la Dinmica de Sistemas, una metodologa derivada de la Teora de Sistemas, especializada en el estudio de toda clase de sistemas complejos, con conceptos aplicados originalmente en ingeniera. La aportacin personal de Forrester incluye la aplicacin a problemas del campo de las ciencias sociales, inicialmente a travs del modelado de organizaciones empresariales. Forrester es tambin el autor de una de las formalizaciones ms empleadas en la formulacin de modelos cibernticos, el llamado diagrama de Forrester.

Excelencia Acadmica

15

Forrester naci en 1918 en Nebraska, EUA, y despus de haber obtenido el ttulo de Ingeniero Elctrico en la Universidad de Nebraska, continu sus estudios en el MIT. Forrester fue un pionero del desarrollo de la informtica, que particip hacia 1950 en la invencin de la memoria de acceso aleatorio RAM y es considerado autor de la primera imagen animada sinttica, la representacin del bote de una pelota usando un osciloscopio. Jay W. Forrester planteaba que el mundo esta lleno de sistemas, la mayora de stos son bastante simples y fcilmente entendibles para el ser humano. No obstante, los problemas sociales son sistemas con una gran cantidad de variables y sumamente complicados.Por esa razn, Forrester plantea el uso de computadores para la simulacin de sistemas reales, mediante la enunciacin de modelos sencillamente traducibles a programas informticos. De esta manera, el ser humano aspira a prever el comportamiento de sistemas complejos como los que se presentan en las sociedades. En su libro "Industrial Dynamics" (considerado el punto de partida de la Dinmica de Sistemas), Forrester pone de manifiesto el hecho de que el actual crecimiento de la poblacin es insostenible por ms de 100 aos. Forrester, junto con otras personalidades fund el Club de Roma, organizacin Internacional cuyo objetivo es la concienciacin de que el actual sistema es insostenible y est prximo al colapso. Forrester estableci un paralelismo entre los sistemas dinmicos (o en evolucin) y los hidrodinmicos, constituido por depsitos, intercomunicados por canales con o sin retardos, variando mediante flujos su nivel, con la concurrencia de fenmenos exgenos. La dinmica de sistemas, permite en estos das ir ms all de los estudios de casos y las teoras descriptivas. La dinmica de sistemas no est restringida a sistemas lineales, pudiendo hacer pleno uso de las caractersticas no-lineales de los sistemas. Combinados con los ordenadores, los modelos de dinmica de sistemas permiten una simulacin eficaz de sistemas complejos. Dicha simulacin representa la nica forma de determinar el comportamiento en los sistemas no-lineales complejos.

Excelencia Acadmica

16

Figura 1.2. Jay W. Forrester

LA DINMICA DE SISTEMAS La Dinmica de Sistemas es una metodologa para la construccin de modelos de simulacin para sistemas complejos, como los estudiados por las ciencias sociales, la economa o la ecologa. La Dinmica de Sistemas aplica mtodos de sistemas duros, bsicamente las ideas de realimentacin y sistema dinmico, junto con la teora de modelos en el espacio de estados y procedimientos de anlisis numrico. Por tanto sera una metodologa ms entre las de sistemas duros. Sin embargo, en su punto de mira estn los problemas no estructurados (blandos), como los que aparecen en los sistemas socioeconmicos. Planteando esto dos tipos de dificultades: Cuantificacin:

En Dinmica de Sistemas se comienza por identificar las variables de inters y las relaciones que ligan entre s a estas variables. A continuacin es imprescindible cuantificar dichas relaciones, lo que en ocasiones plantea dificultades insalvables.

Validacin: Una vez construido el modelo hay que preguntarse si refleja razonablemente la realidad. Esta cuestin puede resolverse por ejemplo en caso de que se

Excelencia Acadmica

17

disponga de informaciones cuantitativas de la evolucin del sistema real en el pasado. Si el modelo es capaz de generar los comportamientos caractersticos del sistema real, entonces obtendremos una cierta confianza en la validez del modelo.

En Dinmica de Sistemas la simulacin permite obtener trayectorias para las variables incluidas en cualquier modelo mediante la aplicacin de tcnicas de integracin numrica. Sin embargo, estas trayectorias nunca se interpretan como predicciones, sino como proyecciones o tendencias. El objeto de los modelos dinmicos es, como ocurre en todas las metodologas de sistemas blandos, llegar a comprender cmo la estructura del sistema es responsable de su comportamiento. Esta comprensin normalmente debe generar un marco favorable para la determinacin de las acciones que puedan mejorar el funcionamiento del sistema o resolver los problemas observados. La ventaja de la Dinmica de Sistemas consiste en que estas acciones pueden ser simuladas a bajo coste, con lo que es posible valorar sus resultados sin necesidad de ponerlas en prctica sobre el sistema real. Lo que distingue a la dinmica de sistemas de otras aproximaciones al estudio de los mismos problemas, es el uso de bucles de realimentacin. La construccin de modelos por la dinmica de sistemas parte de la distincin esencial entre depsitos y flujos. Con estos elementos se edifican modelos que describen sistemas internamente conectados por bucles de realimentacin; sistemas que muestran el carcter no lineal que se suele encontrar en los problemas del mundo real.

1. Cuales son las caractersticas de un Sistema Dinmico. 2. Que relacin encuentra entre la Dinmica de sistemas y las dems metodologas

sistmicas

En esta primera unidad, hemos recordado lo que es un sistema, llegando a la conclusin que en un sistema existen conceptos muy importantes como: la presencia de elementos heterogneos pero interconectados, partes formando un todo global, el exterior influenciando en el sistema, el surgimiento de nuevas propiedades, resultantes de las interrelaciones de las partes y el objetivo comn compartido par todos los elementos participantes en el sistema.

Excelencia Acadmica

18

Tambin vimos las caractersticas, ms relevantes, ligados a los sistemas, como lo es el Globalismo, la Entropa, la Homeostasis y finalmente la Equifinalidad, se detallo su implicancia y presencia en la estructura orgnica de los sistemas, se aprecio su necesidad y la diferencia que implicaban cada uno de ellos. Seguidamente especificamos la clasificacin de los sistemas, esto se dio en base a su tamao, comportamiento, tiempo de vida, naturaleza; tomando en cuenta todo tipo de caractersticas que permitan ofrecer una amplia gama de tipos de sistemas. Finalmente vimos la historia predecesora a la Dinmica de Sistemas, como es que Jay W. Forrester, su fundador, impulso su crecimiento y su formalizacin a travs del tiempo y como el mundo pudo apreciar su valides a travs de las distintas aplicaciones que se desarrollaron. Definimos lo que es la Dinmica de Sistemas, de que trata, cual es la importancia de su estudio e impulso.

Forrester, J. W., Principies of Systems, Wright-AIIen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1968. Roberts, R. B., System Dynamics - An Introduction, Managerial Appiications of System Dynamics, ed. by R. B. Roberts, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978. Forrester, J. W., Industrial Dynamics, Productivity Press, inc., Portland, Oregon, 1961. Direcciones de Internet http://www.catunesco.upc.es/bads/bads.htm http://www.isdefe.es/webisdefe.nsf/0/6878CA75CB854180C12570F90036EDC2?OpenDocument

Excelencia Acadmica

19

La siguiente unidad se encarga de abordar aspectos del modelado de los sistemas, siguiendo las especificaciones que nos ofrece la Dinmica de Sistemas, recuerden que en esta unidad se ha comprendido dicho concepto.

Introduccin ala Dinmica de Sistemas Unidad N 1

Responda las siguientes preguntas: 1. Halle aplicaciones en el mundo real de Dinmica de Sistemas (4 ejemplos) 2. Que relacin existe entre los sistemas complejos y la Dinmica de Sistemas?

Excelencia Acadmica

20

Excelencia Acadmica

21

MODELADO DE SISTEMAS Un aspecto importante del enfoque sistmico es la construccin de modelos. Un modelo es una abstraccin de la realidad que captura aspectos relevantes y funcionales de los sistemas, considerando los suficientes detalles como para poder usarse en la investigacin y la experimentacin en lugar de hacerlo con el sistema real, evidentemente esto implica menor riesgo, tiempo y costo. En la medida que un modelo particular represente acertadamente a un sistema, este modelo puede representar una ayuda muy valiosa para el anlisis de polticas, la toma de decisiones y la resolucin de problemas. En esta segunda unidad incorporamos conceptos y tcnicas que nos ayudaran a modelar diferentes tipos de sistemas, nos valdremos de los diagramas Causales para la representacin de dichos sistemas.

1. Entiende la importancia de planificar, plasmar y desarrollar modelos de sistemas. 2. Valora el uso de diagramas causales para explicar el comportamiento de un

sistema. . 3. Decide el mtodo adecuado a seguir observando el contexto organizacional. EL DESARROLLO DE MODELOS DE SISTEMAS En la ingeniera de sistemas aplicada, se utilizan tres formas complementarias de construir modelos y son: verbal, grfica y matemtica. Los modelos verbales tienden a ser descripciones escritas o expresiones orales del fenmeno en cuestin, de forma evidente, reflejan las ideas implcitas de un modelo mental (Fig. 2.1), y constituyen un medio esencial para mejorarlo. Los modelos grficos estn formados por diagramas que proporcionan un nexo de unin entre los modelos matemticos y verbales, por una parte el autor del modelo y su audiencia, por la otra.

Excelencia Acadmica

22

Los modelos matemticos son simblicos, ya que para describir un sistema emplean normalmente notaciones matemticas en forma de ecuaciones. A menudo estas ecuaciones matemticas tienen representaciones grficas anlogas. Hay tres caractersticas de los modelos matemticos que los hacen particularmente tiles: son precisos, concisos y manejables. Desafortunadamente, por otra parte, estas caractersticas tan deseables no son en general apreciadas por los polticos, por los gerentes, por aquellos que tienen la batuta de la organizacin, ya que no comprenden la simbologa o las reglas de utilizacin. Idealmente, esta barrera en la comunicacin entre los autores de los modelos y sus usuarios se salva gracias al uso de modelos verbales o grficos.

Figura 2.1 Modelos Mentales

Con el advenimiento de la Era de los Sistemas han aparecido varias tendencias metodolgicas basadas en procedimientos, herramientas y tcnicas diferenciadas. Estas incluyen la programacin lineal, la econometra, el anlisis de entradas y salidas (input-output), la simulacin estocstica y la dinmica de sistemas. Todas estas tendencias existentes para el desarrollo de modelos y tienen en comn varios conceptos relativos a las propiedades de los sistemas del mundo real, el proceso de desarrollo de modelos, el uso del ordenador y el papel de los modelos en el proceso de toma de decisiones. Adems de estos conceptos comunes y generales entre todos los modelos matemticos, cada tendencia metodolgica emplea sus propias y nicas hiptesis bsicas, o paradigmas, las cuales proporcionan una perspectiva

Excelencia Acadmica

23

nica del mundo, desde el punto de vista de una disciplina particular del desarrollo de modelos, influyendo, de este modo, en el contenido y la forma de sus modelos. Las distintas metodologas de sistemas pueden diferenciarse por la forma en que los desarrolladores consideran el concepto de modelos. Se pone de manifiesto tres tendencias. En la primera, se tiene una fe completa en un tipo de modelo matemtico, dentro de cuyas limitaciones tiene que representarse; a programacin lineal y los modelos de entradas y salidas (input-output) son ejemplos de esto. En la segunda, se mantiene que los datos lo son todo; en lugar de desarrollar modelos, los miembros de esta tendencia se limitan a obtener curvas que se ajusten a los datos; la econometra es una metodologa de este tipo. En la tercera tendencia, se busca la realidad a travs de un proceso interactivo entre la experiencia y la informacin, entre la mente y los datos. La dinmica de sistemas forma parte de esta ltima tendencia. Estas tres tendencias del desarrollo de modelos se describen generalmente de la forma siguiente: Orientadas hacia la optimizacin, Casuales y Causales. Se cree que los modelos causales tienen la mxima aplicacin en la ingeniera de sistemas y reciben la atencin central de esta unidad. Con todo esto en mente, y con lo visto en la unidad anterior, definimos un sistema como un conjunto interconectado de elementos cuya estructura determina todas las modalidades del comportamiento dinmico. El comportamiento, se refiere a los valores de las variables del sistema a lo largo del tiempo. La estructura se puede describir como el nmero, la disposicin, la polaridad y el orden de los bucles de realimentacin en el modelo del sistema. DESARROLLO DE DIAGRAMAS CAUSALES La premisa de una metodologa de sistemas, tal como lo es la dinmica de sistemas, es que las tendencias dinmicas persistentes en cualquier sistema complejo surgen a partir de sus estructuras causales, y a partir de los objetivos sociales, progreso tecnolgico, limitaciones econmicas, limites fsicos y presiones polticas, que hacen que la gente se comporte de la manera en que lo hace, y generan de forma acumulada las tendencias dinmicas del sistema total. Por consiguiente, un aspecto esencial del enfoque sistmico para desarrollar modelos es pensar en funcin de

Excelencia Acadmica

24

relaciones causa-efecto. Una herramienta importante para mostrar interacciones causa-efecto entre las variables claves durante el desarrollo del modelo de un sistema dinmico es el diagrama causal. El primer paso para desarrollar un diagrama causal es identificar las variables clave que describen la situacin problema, y registrar la manera de funcionamiento del sistema que est siendo analizado. Estas variables clave, deducidas de un modelo mental o de una descripcin verbal de un sistema, se representan en una hoja de papel. Las relaciones causa-efecto entre pares de variables se representan en la segunda fase por medio de flechas. Por ejemplo, la construccin de departamentos causa el aumento de la cantidad de departamentos y la relacin causal se representa como: CONSTRUCCIONES CANTIDAD DE DEPARTAMENTOS En donde la flecha entre las dos variables puede ser interpretada como causa. A veces estos diagramas con flecha son ms claros si uno se imagina la palabra afecta o influye en vez de causa, como en el ejemplo: BEBER ALCOHOL SALUD En esta expresin causal en donde se describe una relacin entre dos elementos, est implcita la declaracin: mientras que todas las otras cosas sigan siendo iguales. Para mostrar la accin de una variable sobre otra se utiliza una flecha, pero adems es necesario indicar la polaridad. La polaridad indica como el crecimiento o decrecimiento de una variable hace que la otra variable aumente o disminuya. Polaridad positiva La polaridad positiva indica que el cambio en la variable raz hace que la variable resultante vari en el mismo sentido. Es decir que al aumentar la variable causa aumenta la variable efecto y al disminuir la variable causa disminuye la variable efecto.

El aumento o la disminucin de madres adolescentes causan el aumento o disminucin de los nios abandonados en relacin a las madres adolescentes.

Madres adolescentes Nios abandonados

Excelencia Acadmica

25

Polaridad negativa La polaridad negativa indica que el cambio en la variable causa hace que la variable efecto vari en sentido contrario. Es decir que al aumentar la variable causa disminuye la variable efecto y al disminuir la variable causa aumenta la variable efecto.

En el mismo problema de los nios abandonados, la respuesta o acciones del gobierno, a travs de las entidades encargadas, que se dan para luchar contra este problema, relacionado con el nmero de nios abandonados y puede ser representando por la siguiente relacin:

Respuesta del gobierno Nmero de Nios abandonados

Al aumentar o disminuir la respuesta del gobierno disminuye / aumenta el nmero de nios abandonados en direccin contraria. Con este ejemplo no se pretende decir que para solucionar el problema solo el gobierno debe intervenir, lo que se pretende es dar un ejemplo con una de las tantas relaciones, que existen para solucionar este problema.

2.1. 1. Cul es la importancia del modelado en la Dinmica de Sistemas? 2. Mencione 5 ejemplos de causa y efecto en el problema de pobreza en el Per. LOS CICLOS CAUSALES

Las relaciones causales entre las variables a veces se afianzan sobre s mismas y forman bucles de realimentacin. Dentro de un bucle de realimentacin, un cambio en una variable se transmite a travs de la cadena entera de variables que forman el

Excelencia Acadmica

26

bucle, hasta que la causa inicial produce un efecto indirecto sobre s misma. Un aspecto clave del anlisis de un sistema es centrar la atencin sobre los bucles de realimentacin. Roberts [1] se refiere a cuatro niveles jerrquicamente distintos de la estructura del sistema de realimentacin: variable, enlace, bucle de realimentacin y sistema de realimentacin. Una variable es una cantidad que puede cambiar en funcin del tiempo. Puede ser una variable de decisin o una cantidad que se ve afectada por dichas decisiones. Cuando la variable no es afectada por otras variables del sistema, se denomina como exgena o externa al sistema. Una variable que es afectada por las otras variables del sistema se denomina endgena. Un enlace es la conexin causa-efecto entre dos variables ilustrada mediante una flecha en el diagrama causal. Un bucle de realimentacin consiste en dos o ms enlaces conectados de tal modo que, a partir de cualquier variable, se puedan seguir las flechas y volver a la variable inicial. En toda representacin causa-efecto de un bucle de realimentacin estn implcitos los retardos de tiempo desde cada decisin hasta cada una de sus consecuencias, y los retardos en la realimentacin de la informacin de cada consecuencia hasta que influyen sobre la prxima decisin. Para lograr una mayor sencillez, las notaciones relativas a estos retardos de tiempo se omiten en los diagramas causales. Del mismo modo que los enlaces tienen dos direcciones posibles, los bucles de realimentacin poseen tambin dos polaridades posibles, positiva o negativa. En el centro del bucle de realimentacin se encuentra un smbolo que indica su polaridad, un signo positivo si el bucle acta para reforzar los cambios de variables en la misma direccin que el cambio inicial, con lo que se favorece al crecimiento o disminucin continua de las variables del bucle, y un signo menos si el bucle acta para resistirse u oponerse a los cambios de variables, y de este modo produce una tendencia contraria al cambio inicial y contribuye al mantenimiento del equilibrio en el bucle. Una manera sencilla de determinar la polaridad de un bucle de realimentacin es contar el nmero de enlaces negativos: si es par, el bucle es positivo; si es impar, el bucle es negativo. Para evitar ecuaciones simultneas en el modelo matemtico derivado del diagrama causal, dentro del procedimiento del desarrollo del modelo se requiere un tratamiento especial para un bucle de realimentacin. Una tcnica, empleada en dinmica de sistemas, consiste en introducir en todo bucle de realimentacin dos tipos especiales de variables: de niveles y de flujo. Una variable de nivel indica el estado del sistema, y una variable de flujo produce cambios en las variables de nivel a lo largo del tiempo. En el contexto de los diagramas causales, la relacin causal entre una variable de flujo, tal como el ndice de construccin de departamentos

Excelencia Acadmica

27

(departamentos / ao), y una variable de nivel, tal corno el inventario (departamentos), es un flujo fsico que estar representado por una lnea slida. No obstante, la relacin entre la variable de nivel (departamentos) y la variable de tasa de cambio (ndice de construccin) constituye un flujo de informacin, siendo la informacin relativa al estado de la cantidad de departamentos la que influye en el ndice de construccin. Pero la cantidad de departamentos, medido en departamentos por ao, se acumula como entidades fsicas en cantidad de departamentos DESCRIPCIN DE LA METODOLOGA PARA DESARROLLO DE MODELOS La metodologa propuesta, en este texto auto-instructivo, utiliza todas las clases principales empleadas en la dinmica de sistemas, variables de nivel, variables de tasa de cambio (flujo), variables auxiliares y constantes. (Fig. 2.2) La diferencia estriba en que en los diagramas dinmicos de sistemas son innecesarias las formas geomtricas: rectngulos, vlvulas, crculos, etc. Por ejemplo, una variable de nivel siempre est en la punta de una flecha continua, y una variable de flujo siempre est en el origen de una flecha continua. El signo sobre una flecha continua nos indica si la tasa de cambio se aade o se sustrae de una variable de nivel (estado). Mientras que las flechas continuas indican flujos fsicos, las flechas discontinuas en el diagrama causal definen flujos de informacin desde las variables de nivel hasta las tasas de cambio o variables de flujo. Se llama variable auxiliar a cualquier variable intermedia en el camino desde una variable de nivel, o de una entrada exgena, hasta una variable de tasa de cambio. Las entradas exgenas en un diagrama causal se identifican fcilmente porque no tienen flechas que terminen en las mismas, pero tienen una o ms flechas cortadas que salen de ellas, En contraste, las variables auxiliares no forman parte del mismo sistema, sino que indican solamente su rendimiento y, por consiguiente, se identifican siempre porque estn al final de una flecha discontinua, y no tienen flechas que emanen de ellas. Resumamos la convencin de los diagramas causales: Las flechas describen la direccin de la causalidad entre pares de variables; Las lneas (continuas o discontinuas) denotan flujos (fsicos o de informacin) Y los signos nos indican la naturaleza de la relacin (directa o inversa) entre un

par de variables dependientes-independientes.

Excelencia Acadmica

28

Figura 2.2. Representacin de un Diagrama Causal

La metodologa para el desarrollo del curso utiliza el lenguaje de ordenador Stella asociado con la dinmica de sistemas. En terminologa de ecuaciones diferenciales, cualquier variable de nivel se expresa como funcin de las variables de tasa de cambio R1 y el valor previo del nivel:

n

ijii tRdttldttL

1)()()()( . ,,...1 mi (Ec. 2.1)

En donde las Rjs se suponen constantes en el intervalo desde t a t +dt. Las variables de tasa de cambio tienen la forma

)(),(),(),()( tAtAtEtLFtR kjijkij (Ec 2.2) En donde Ek son los impactos de las variables auxiliares en los flujos causales desde la variable i y la entrada exgena k, respectivamente. Puesto que las entradas exgenas son funciones conocidas del tiempo, o constantes, si se conocen los valores iniciales de las variables de nivel, todas las otras variables pueden calcularse a partir de ellas y para dicho intervalo de tiempo. Entonces, a partir de la ecuacin (2.1), se pueden encontrar los nuevos valores de las variables de nivel para el prximo instante de tiempo.

Excelencia Acadmica

29

2.2. 1. Del los ejemplos desarrollados en la actividad 2.1, sobre el tema de pobreza,

intente construir bules de realimentacin (3 ejemplos), asigne a cada relacin la respectiva polaridad.

2. Dado el siguiente diagrama: precio

cambio en el precio

tasa de inflacin

++

+

a)

Realice una descripcin del comportamiento presente en el diagrama, considere la polaridad de las relaciones.

[Richmond] identifica tres calificaciones relativas al pensamiento sistmico: pensamiento sobre sistemas como causa, pensamiento sobre bucles cerrados y pensamiento operativo. Pensamiento sistmico como causa es la nocin de que es til considerar la estructura de un sistema como la causa de los comportamientos exhibidos por los sistemas, en ves de considerar estos comportamientos como resultado de factores externos. Pensamiento sobre bucles cerrados es el siguiente paso en la progresin: si la estructura es la causa del comportamiento, cules son sus caractersticas, cmo se organiza? El pensamiento operativo completa la progresin.

Excelencia Acadmica

30

Roberts, R. B., System Dynamics - An Introduction, Managerial Applications of System Dynamics, ed. by R. B. Roberts, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978. Espejo, R., What is Systems Thinking?, System Dynamics Review, Vol. 10, No. 3, 1994. Richmond, 8. Systems Thinking/Systems Dynamics, System Dynamics Review, Vol. 10, No. 3, 1994. Forrester, J. W, Market Growth as Influenced by Capital Investment, Collected Papers of Jay W. Forrester, Wright-AIlen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1975. Direcciones de Internet http://www.wiphala.net/courses/IS0850/2007-I/index.html http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_sistemas http://dinamicasistemas.utalca.cl/din_sis/DS%20en%20la%20Educaci%F3n.htm

Los bucles cerrados (realimentacin) estn compuestos de inventarios (niveles) y flujos (tasas de cambio), de forma que puedan evitarse las ecuaciones simultneas. Estas aplicaciones del pensamiento sistmico son el tema del siguiente captulo.

Modelado de Sistemas Unidad N 2

Desarrolle los siguientes casos: 1. El siguiente ejemplo es un caso de Control de los Inventarios de un Almacn, el

cual cuenta inicialmente con 100 unidades; el sistema funciona de la siguiente forma:

Excelencia Acadmica

31

Los pedidos son salidas de productos para su venta, estas son supongamos constantes al da en 20 unidades/da. La produccin de cada unidad se da con una razn de produccin diaria del 15%, para lograr mantener un inventario deseado, el sistema tiene un sistema de prevencin, que esta en funcin de lo que se quiere mantener como inventario deseado y lo que se tiene en el almacn como inventario fsico (diferencia entre lo deseado y lo real), El sistema funciona en un tiempo de 30 das a partir del da 0 con la revisin de cada da en la simulacin dinmica. Obtenga las variables relevantes, desarrolle del diagrama causal, y

relaciones, as como el tipo de comportamiento que sigue 2. Observe el siguiente diagrama causal:

Realice una descripcin del comportamiento presente en el diagrama, considere la polaridad de las relaciones.

Excelencia Acadmica

32

Excelencia Acadmica

33

ANLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIN Un sistema de realimentacin es uno o ms ciclos de realimentacin relacionados entre s. El grado del sistema es determinado por aquel ciclo de realimentacin que contengas el nmero mximo de variables de nivel dentro del bucle. El comportamiento de las variables en cada bucle de realimentacin se puede propagar a travs de la conexin, y afectar a otras variables de otros bucles dentro del sistema de realimentacin. Estos sistemas, integrados por muchos bucles de realimentacin conectados entre s, describen problemas complejos de organizacin. Los mtodos analticos formales son difciles de aplicar a medida que la complejidad de la realimentacin aumenta. Esta unidad centra su atencin en el rea de anlisis de sistemas de realimentacin con la presencia de uno o de mltiples bucles. Un modelo es una representacin abreviada de ciertas caractersticas relevantes de un sistema real. Cuando construimos modelos matemticos, dejamos de lado el mundo real para introducimos en un mundo abstracto de conceptos matemticos. Y luego dejamos al computador y a sus tcnicas matemticas que manipule dicho modelo para la obtencin de resultado que luego analizaremos para finalmente, regresar al mundo real con la posible solucin del problema matemtico, que posteriormente se convierte en una solucin til al problema real. Es importante recalcar que el principio y el fin del proceso se sitan en el mundo real. En conformidad con la metodologa propuesta por la Dinmica de Sistemas, es importante comprender la incorporacin de modelos matemticos para resolver problemas. Aun que debemos recordar que la formulacin inicial es conceptual y necesitamos buscar expresiones cuantitativas que representen a nuestras formulaciones verbales. Todo modelo debe tener un objetivo especfico que tiene que indicarse con claridad, desde el principio. Es evidente que el Weltanschau del modelador y el objetivo, influirn en la concepcin de dicho modelo. Sin embargo, al construir modelos bajo la perspectiva de la Dinmica de Sistemas, se busca una nueva percepcin, se trata de comprender las consecuencias de lneas de accin alternativas, y no una previsin relativa al futuro. Mediante esta metodologa se desarrollan modelos matemticos y se dan soluciones analticas, se utiliza la simulacin para llegar a conclusiones fiables acerca del comportamiento, tratando de comprender cada vez ms la estructura de realimentacin subyacente.

Excelencia Acadmica

34

Es bien conocido que ciertos tipos de sistema realimentacin crean ciertos tipos de comportamiento. Entonces, si se conoce el modo de comportamiento de referencia existente (patrn de comportamiento), debera ser posible deducir la estructura del sistema de realimentacin, como el nmero y la estructura de los bucles de realimentacin, su polaridad y orden. En esta unidad se analizar el comportamiento de estructuras bsicas de sistemas de realimentacin usando para ello distintas aplicaciones.

1. Comprende la importancia de analizar los ciclos de realimentacin. 2. Diferencia con claridad un bule de realimentacin positiva con uno negativo. 3. Incorpora complejidad en la elaboracin de los diagramas Causa - Efecto BUCLE DE REALIMENTACIN NEGATIVA El proceso considerado en la Figura 3.1, al que se le asocia un diagrama causa - efecto que puede ser apreciado en la Figura 3.2, es un caso particular de la situacin general de un bucle de realimentacin negativa (Figura 3.3). En esta figura se tiene que el nivel definido por cierta cantidad (el nivel de agua en el ejemplo anterior) viene determinado por la acumulacin del flujo (el flujo de agua) que a su vez es resultado de la discrepancia entre el estado alcanzado y lo deseado, que en la Figura 3.3 se denomina objetivo. Es decir, la discrepancia entre el nivel actual y objetivo (nivel deseado) determina la accin que modificara el estado actual con la finalidad de alcanzar el objetivo deseado (que la discrepancia sea cero).

Figura 3.1: Llenando un vaso de agua

Excelencia Acadmica

35

Figura 3.2 Diagrama causal para el proceso de llenar agua

NIVEL DESEADO

DISCREPANCIA

NIVEL

NIVEL

Excelencia Acadmica

36

Figura 3.3 Diagrama elemental de un ciclo de realimentacin negativa

El diagrama de la Figura 3.3 recibe la denominacin de bucle de realimentacin negativa, y representa un tipo de situacin muy frecuente en el que se trata de decidir acciones para modificar el comportamiento, con el fin de alcanzar un determinado objetivo. Un diagrama de esta naturaleza se puede aplicar tanto al sencillo acto de pintar una casa, detectando mediante la vista la discrepancia entre las posiciones de la mano y de la brocha; otro ejemplo a mencionar se hallara en el proceso de regulacin de la temperatura en una habitacin, en el que la discrepancia entre la temperatura actual y la considerada agradable determina la actuacin de un agente calefactor para corregir esa discrepancia (ver Figura 3.4); y tantos otros procesos de naturaleza semejante. El diagrama de un bucle de realimentacin negativa aporta el esquema bsico de todo comportamiento orientado a un objetivo.

NIVEL

FLUJO DISCREPANCIA

OBJETIVO

Excelencia Acadmica

37

Su ubicuidad fue puesta de manifiesto por Norbert Wiener cuando, en el decenio de los aos 40, sent las bases de la ciberntica.

Figura 3.4 Ciclo de realimentacin negativa, en el proceso de regulacin de la

Temperatura Un bucle de realimentacin negativa tiene la notable propiedad de que si, por una accin exterior, se perturba alguno de sus elementos, el sistema, en virtud de su estructura, reacciona tendiendo a anular esa perturbacin. En efecto, consideremos el bucle de la Figura 3.5, en el que los elementos se han representado, de forma general, mediante las letras A, B y C. Supongamos que uno cualquiera de ellos, por ejemplo B, se incrementa. En virtud de las relaciones de influencia, el incremento de B determinar el de C, ya que la polaridad de influencia es positiva. A su vez, el incremento de C determinar el decrecimiento de A, ya que as lo determina el carcter negativo de la polaridad. El decrecimiento de A dar lugar al de B, pues la relacin es positiva. Por tanto, el incremento inicial de B le retorna, a lo largo de la cadena realimentacin, como un decremento; es decir, la propia estructura de realimentacin tiende a anular la perturbacin inicial, lo que era un incremento, generando un decremento. De este modo se comprende que los bucles de realimentacin negativa son bucles equilibradores, que tienden a anular las perturbaciones exteriores. Por ello, los ingenieros que disean sistemas de regulacin automtica los incorporan en sus proyectos como elementos bsicos para conseguir la accin reguladora. El efecto de un bucle de realimentacin negativa es, por tanto, tratar de conseguir que las cosas continen como estn, que no varen. Son bucles que estabilizan los sistemas.

TEMPERATURA EN LA HABITACIN

DISCREPANCIA EFECTO DEL

CALEFACTOR

TEMPERATURA DESEADA

Excelencia Acadmica

38

Figura 3.5 Estructura y Comportamiento de Realimentacin Negativa Ejemplo 3.1: Modelo de control de almacenamiento de agua. Vamos a considerar un depsito como los que pueden ser utilizados en una ciudad pequea. El depsito se llena mediante caeras que provienen de una estacin de bombeo, y a su vez da agua a la ciudad a travs de una red de distribucin. El tanque del depsito tiene un rea de 750 metros cuadrados y una altura de 9 metros, con una capacidad de almacenamiento de 6750 metros cbicos. Se considera que una altura de agua de 7.5 metros es conveniente para el almacenamiento de emergencia y para garantizar una presin adecuada en las redes de distribucin. El depsito est provisto de un sistema automtico de control para regular el flujo de entrada, de forma que la discrepancia entre la altura real y la

B

A C

Excelencia Acadmica

39

deseada estara conectada a una constante de tiempo igual a diez minutos. Se supone que el ritmo de salida es una constante igual a 500 metros cbicos por minuto. Inicialmente el depsito tiene una altura de dos metros. El diagrama causal de la Figura 3.6. muestra que se ha elegido el volumen del tanque, como la variable de nivel con variables de flujo, flujo de entrada y flujo de salida. Mas adelante, en las prximas unidades veremos el planteamiento de las ecuaciones matemticas

Figura 3.6 Diagrama Causal del Modelo de control de almacenamiento de agua

BUCLE DE REALIMENTACIN POSITIVA La otra forma que puede adoptar un bucle de realimentacin es la que se muestra en la Figura 3.7, en la que se tiene un bucle de realimentacin positiva. Se trata de un bucle en el que todas las influencias son positivas (o si las hubiese negativas, tendran que compensarse por pares). En general la Figura 3.7 representa un proceso en el que un estado determina una accin, que a su vez refuerza este estado, y as indefinidamente. En este caso el estado es una poblacin, y la accin son los nacimientos. En tal caso, cuanto mayor sea la poblacin, habr mayores nacimientos, por lo que a su vez mayor ser la poblacin, y as sucesivamente. Se tiene, por tanto, un crecimiento explosivo de la poblacin.

VOLUMEN DEL TANQUE

FLUJO DE SALIDA

FLUJO DE ENTRADA

CONSTANTE

ALTURA

DISCREPANCIA

REA

ALTURA DESEADA

CONSTANTE DE TIEMPO

Excelencia Acadmica

40

Figura 3.7 Ciclo de Realimentacin Positiva: Crecimiento de la Poblacin

En la Figura 3.8 se representa de forma esquemtica, mediante las letras A, B y C, un bucle de esta naturaleza. Con ayuda de este diagrama se puede razonar, de forma general, el comportamiento que deriva de los bucles de realimentacin positiva. Si cualquiera de sus elementos sufre un cambio, ste se propaga, reforzndose, a lo largo del bucle. En efecto, si A crece, entonces, en virtud del signo de la influencia, lo har B, lo que a su vez determinar el crecimiento de C y, de nuevo, el de A. Por lo tanto, la propia estructura del sistema determina que el crecimiento inicial de A vuelva a reforzar a A, inicindose de este modo un proceso sin fin que determinar el crecimiento de A (Figura 3.8). Este efecto se conoce chabacanamente como crculo vicioso o efecto bola de nieve. El cambio se amplifica produciendo ms cambio.

POBLACIN

NACIMIENTOS

B

CA

t

Excelencia Acadmica

41

Figura 3.8 Estructura y Comportamiento de Realimentacin Negativa Se trata, por tanto, de una realimentacin que incrementa las perturbaciones y que, por tanto, desequilibra al sistema. En este sentido se puede decir que su efecto es inverso al del bucle de realimentacin negativa. Si aquella equilibra, esta desequilibra. Antes de terminar con esta presentacin elemental de los bucles de realimentacin positiva y negativa debe quedar bien claro que el comportamiento asociado a estos bucles, sea el comportamiento autorregulador del bucle de realimentacin negativa o el comportamiento exponencial del positivo, son modos de comportamiento que derivan de la estructura del sistema, y no a las partes que lo forman. Recurdense las Figuras 3.5 y 3.8 que nos han suministrado el esquema bsico de estos bucles de realimentacin. Con estas Figuras hemos podido entender el comportamiento correspondiente, prescindiendo de los elementos concretos que representasen A, B y C. En este sentido decimos que los bucles de realimentacin son elementos bsicos para la generacin endgena (desde dentro del propio sistema) del comportamiento. Ejemplo 3.2: El Modelo de Crecimiento de Autopistas Aunque el crecimiento del transporte por autopista es un fenmeno mundial, es de especial inters en los Estados Unidos porque es el resultado lgico de la creacin de un fondo reservado para autopistas, en el que todos los ingresos de las autopistas deben ser utilizados para el mantenimiento y construccin de stas. Considrese la siguiente descripcin verbal del modelo: Las Autopistas, son incrementadas por la Construccin de Autopistas y reducidas por el Abandono de Autopistas. Dicho abandono esta dado por una constante C, pero la Construccin de Autopistas se incrementa cuando aumentan los Ingresos que provienen de las Autopistas y baja cuando aumenta los Costes de Construccin CC. El Ingreso vara directamente con la cantidad de Autopistas, con los Ingresos Generados por Vehculo/Milla y con el Volumen Anual de Trfico. El diagrama causal que corresponde a la descripcin verbal aparece en la Figura 3.9.

Excelencia Acadmica

42

Figura 3.9 Diagrama Causal del Modelo de crecimiento de Autopistas

1. Dado el siguiente caso:

Se maneja la siguiente hiptesis sobre el funcionamiento urbano. La Disponibilidad de Empleos produce una Migracin hacia la ciudad. Los emigrantes que llegan expanden la Poblacin de Empleados de la ciudad. La poblacin absorbe los trabajos disponibles, disminuyendo la Disponibilidad de Empleos. A la larga, la poblacin empleada demanda ms servicios urbanos lo cual facilita un nuevo incremento en el nmero total de Empleos. Ms Empleos incrementan la Disponibilidad de Empleos Construir un diagrama Causa Efecto, asignarle las polaridades a las relaciones y definir que tipo de bule (positivo / negativo).

AUTOPISTAS

CONSTRUCCIN DE AUTOPISTAS

ABANDONO DE AUTOPISTAS

INGRESOS POR AUTOPISTAS

INGRESOS GENERADOS POR VEHICULO/MILLA VOLUMEN

ANUAL DE TRAFICO

COSTE DE CONSTRUCCIN

CONSTANTE

Excelencia Acadmica

43

SISTEMAS COMPLEJOS Y ESTRUCTURAS GENRICAS Los bucles de realimentacin positiva y negativa constituyen los ejemplos ms simples de estructura de un sistema capaces de generar comportamiento de forma autnoma. Sin embargo, en los sistemas usuales no es frecuente que consideren descripciones en la que surja nicamente uno de estos bucles (negativo / positivo). Por el contrario, lo habitual es que nos encontremos con sistemas complejos en los que convivan mltiples bucles de realimentacin, tanto positivos como negativos. En tal caso el comportamiento resultante depender de cules de los bucles sean dominantes en cada momento. El ejemplo ms simple de un sistema con varios bucles de realimentacin es el que se muestra en la Figura 3.10, en el que se tiene una estructura en la que coexiste un bucle de realimentacin positiva con uno negativo. Existen muchos procesos en la realidad a los que es aplicable este diagrama. En este caso se trata de procesos en los que inicialmente se produce un crecimiento (construccin de departamentos); es decir, al principio el bucle de realimentacin positiva es el dominante. Sin embargo, sabemos que todo proceso de crecimiento tarde o temprano debe cesar. No hay un crecimiento indefinido. Este efecto limitador del crecimiento se incorpora mediante un bucle de realimentacin negativa (demolicin de departamentos), como el que se muestra a la derecha de la Figura 3.10. Cuando el estado (cantidad de departamentos) ha alcanzado un considerable nivel de crecimiento, como consecuencia de que el bucle de realimentacin positiva es dominante, se invierte la dominancia de los bucles, de modo que el nuevo bucle dominante es el negativo y se produce la limitacin del crecimiento.

Figura 3.10 Diagrama Causal del Modelo de crecimiento de Autopistas

DEPARTAMENTOS CONSTRUCCIONES + +

+ DEMOLICIONES

+

-

DEPARTAMENTOS DESEADOS

-+

Excelencia Acadmica

44

Al analizar el comportamiento resultante de este tipo de modelos, pareciese combinarse el crecimiento exponencial asociado a un bucle de realimentacin positiva (recurdese la Figura 3.8), con un comportamiento asinttico, el cual corresponde a un bucle de realimentacin negativa (Figura 3.5), en la fase final. En la Figura 3.11 se muestra la combinacin de estos dos modos de comportamiento, que da lugar a la conocida curva de crecimiento sigmoidal. El nmero de procesos a los que se puede aplicar esta estructura de dos bucles es muy amplio y comprende desde el fenmeno poblacional en el mundo (con una fase inicial de crecimiento, con los nacimientos, y una fase final de saturacin y estabilizacin a travs de las muertes) hasta situaciones sociales como la inflacin de un pas que al inicio tiende a crecer exponencialmente y luego mediante la intervencin del gobierno y otros factores logra estabilizarse. La estructura de la Figura 3.10 permite dar una interpretacin estructural del comportamiento que aparece en la Figura 3.11. De este modo vamos viendo cmo es posible asociar estructura y comportamiento, que ya hemos dicho que es el objetivo fundamental de la Dinmica de Sistemas.

Figura 3.11 Comportamiento Sigmoidal presente en bucles que combinan

ciclos de realimentacin positiva y negativa La estructura que se ha representado en la Figura 3.10 constituye un ejemplo de lo que se conoce como arquetipos sistmicos o patrones estructurales. Se trata de situaciones representativas que aparecen en problemas muy variados, pero que repiten la misma descripcin bsica desde un punto de vista sistmico. Aqu hemos presentado una de las ms sencillas, pero en la literatura se encuentra un gran

P1 P2

Excelencia Acadmica

45

nmero de ellas. Una presentacin ms completa de los arquetipos sistmicos puede verse en el libro de Senge, La quinta disciplina. La Dinmica de Sistemas clsica solo considera algunos patrones bsicos como son los de realimentacin. Ello es debido a que se trabaja con un alto grado de acoplamiento y se prescinde normalmente de la estructura exterior al sistema en estudio. Cuando esto no es as, e interesa analizar la organizacin y su ambiente, entonces ya no es suficiente considerar solo las estructuras de realimentacin. Hay que recurrir a otra estructura, que es la de reaccin-difusin, que permite dar cuenta de cmo se produce la ordenacin espacial en el seno de un sistema.

1. Tomar de referencia la Figura 3.10 y explicar el comportamiento, considerando

las respectivas polaridades. 2. Dado el siguiente caso:

Se tiene dos existencias, gente saludable y gente enferma. La probabilidad de una persona saludable de estar en contacto con una persona enferma es proporcional al nmero total de gente enferma en la poblacin. Por lo tanto, mientras ms gente enferma exista en la poblacin hay mayor oportunidad de estar en contacto con una. Tambin existe una posibilidad de contraer la enfermedad cuando estas en contacto con una persona enferma. Esto es un valor constante. Otro valor que afecta, si una persona se enferma o no, es el nmero total de interacciones o contactos que cualquier persona tiene con otra en la poblacin por unidad de tiempo. El ritmo al cual la gente saludable se enferma se basa en la probabilidad de enfermarse cuando el contacto es efectuado, el nmero de interacciones que cada persona tiene con otros en la poblacin y la probabilidad de que la interaccin sea con una persona enferma. Otro factor que afecta el nmero de personas enfermas y saludables es el ritmo en el cual la gente enferma se recupera de su enfermedad y regresa a las existencias de gente saludable, asumiendo que la enfermedad no proporciona inmunidad permanente. Desarrolle el respectivo diagrama causal.

Excelencia Acadmica

46

Hemos visto los modelos de realimentacin, los cuales emplean dos tipos variables para evitar ecuaciones simultneas: niveles que representan el estado de alguna parte del sistema y los de flujo que definen cunto cambiarn los niveles durante el prximo intervalo de tiempo. Los comportamientos globales pueden ser positivos, lo cual conduce a un crecimiento exponencial o un colapso; o negativos, lo cual en el transcurso del tiempo conduce al equilibrio. Modelar bajo la vista de la Dinmica de Sistemas, involucra un proceso secuencial e iterativo. Todo empieza con una descripcin verbal, que luego es llevada a un diagrama causal, en donde se debe considerar las polaridades para cada una de las relaciones incluidas. El modelo se somete a crtica, se revisa, se critica de nuevo y as sucesivamente, en un proceso iterativo que contina mientras siga siendo til. El uso de grficos, tal como se usan en los diagramas causales facilitan hacer una declaracin conceptual sobre un problema complejo, en la que se identifica su estructura, elementos e interacciones.

Javier Aracil; Introduccin a la Dinmica de Sistemas; Segunda Edicin, Editorial Alianza, Sevilla,Espaa, 1977. Forrester, J. W, Market Growth as Influenced by Capital Investment, Collected Papers of Jay W. Forrester, Wright-AIlen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1975. Direcciones de Internet http://dinamica-sistemas.mty.itesm.mx/

Hemos realizado modelados de forma eminentemente cualitativa. En la prxima unidad, Diagrama de Forrester y Modelos Matemticos, veremos cmo efectivamente se pueden obtener los comportamientos, como expresar nuestros bucles con variables cuantitativas para emplear finalmente modelos matemticos.

Excelencia Acadmica

47

Anlisis de Sistemas de Realimentacin Unidad N 3

Desarrolle el siguiente caso: 1. Este es el enunciado correspondiente a la interaccin, que ocurre en el mar,

entre tiburones y pequeos peces que pertenecen a la dieta de los tiburones. El rea se supone acotada de tal manera que el cruce migratorio no es posible, al menos no tiene ningn efecto mayor. Se asume que los pescadores se abstienen de pescar a los peces (que se alimentan de plancton) por un par de aos entonces se debiera esperar que esta poblacin de peces crezca en tamao. Una vez que haya crecido, los tiburones deberan tener suficiente alimento para sostener una gran poblacin de tiburones. Entonces la poblacin de tiburones debera aumentar, y en un tiempo corto plantear un severo trato a los peces. Eventualmente la poblacin de peces debera disminuir. Una vez que la poblacin de peces haya disminuido en nmero, los tiburones no podrn sostener su gran poblacin y deber disminuir su poblacin. Esto permitir a su vez que la poblacin de peces vuelva al tamao de la poblacin original. Es posible que este proceso contine indefinidamente, en cuyo caso el ecosistema consistir en una poblacin de variacin peridica. Desarrolle el respectivo diagrama causal, defina el tipo de bucles que se presentan en este caso.

Excelencia Acadmica

48

DIAGRAMA DE FORRESTER Y MODELOS MATEMTICOS

En la unidad anterior se ha presentado un lenguaje sistmico que aporta los elementos bsicos para una descripcin esquemtica de un sistema. De acuerdo con esta descripcin, un sistema se reduce a un conjunto de variables o de elementos interrelacionados, los cuales influyen unos sobre otros. Podra asemejarse a un grafo dirigido en donde los nodos representaran las variables y las aristas las relaciones. Se pudo observar el comportamiento asociado a ciertas estructuras. Sabemos que un bucle de realimentacin positiva presenta una tendencia creciente (exponencial); sabemos tambin que un bucle de realimentacin negativa presenta comportamientos equilibrantes. En esta unidad vamos a presentar instrumentos adicionales que nos van a permitir reelaborar los diagramas causales y convertirlos en diagramas de Forrester, seguidamente asociar, a las variables, las ecuaciones matemticas adecuadas que expliquen su comportamiento en forma cuantitativa, para que puedan ser denominados sistemas dinmicos y que finalmente con la ayuda del computador puedan ser programados y simulados, para definir trayectorias en el comportamiento de los sistemas que se estn analizando.

1. Encuentra la correspondencia entre los diagramas causales y los de Forrester. 2. Clasifica de forma adecuada a las variables propuestas en el modelo. 3. Desarrolla ecuaciones matemticas para las variables del sistema analizado. COMO INICIAR LA CONSTRUCCIN DE UN DIAGRAMA DE FORRESTER La estructura de un sistema representado mediante los diagramas causales, tal como se ha presentado en la unidad anterior, puede aparentar tener un comportamiento esencialmente esttico. Ahora cabe preguntarse cmo relacionar dicho modelo a un comportamiento dinmico. A ello vamos a dedicar esta seccin.

Excelencia Acadmica

49

Se ha observado la presencia de los distintos elementos en los nodos del diagrama causal, algunos representan variaciones con respecto al tiempo de otras magnitudes consideradas en ese mismo diagrama. Por ejemplo, en el diagrama de la Figura 3.2 la variable flujo de agua representa la variacin con respecto al tiempo del nivel alcanzado por el chorreado en el vaso. Recordando esa figura se tiene:

FLUJO NIVEL Esta influencia es un caso particular de otra ms general que podemos expresar de la forma:

Xdtdx (Ec. 4.1)

Aqu dx/dt indica la variacin con respecto al tiempo de la magnitud X. Esta expresin representa una relacin redundante: la variacin con respecto al tiempo de X influye en el crecimiento de la propia variable X. Sin embargo, lo que importa por el momento es resaltar la presencia, en el diagrama causal, de variables que representan variaciones con respecto al tiempo de otras. En este sencillo suceso, se basa el que podamos decir que en la estructura est implcito el comportamiento del sistema. La variable X es producto de la acumulacin del cambio contenido en la variable dx/dt. Por tanto, siempre que aparezca una variable como la dx/dt aparecer una X, y entre ambas se establecer una relacin como la dada en la Ec 4.1. Por equivalencia con el ejemplo de la Figura 3.2, la variable X se denomina variable de nivel y la variable dx/dt variable de flujo. En la literatura matemtica a la variable de nivel se la conoce tambin como variable de estado. CLASIFICACIN DE VARIABLES Los anteriores argumentos nos llevan a postular una clasificacin, de las distintas variables que aparecen en un diagrama de Forrester, en tres grupos: variables de nivel o estado, variables de flujo y variables auxiliares. 1. Niveles

Los niveles son conocidos tambin como acumulaciones o variables de estado. Los niveles varan a travs de un perodo de tiempo. Lo niveles cambian en funcin de los flujos o vlvulas y en algunas ocasiones por variables auxiliares

Smbolo

Excelencia Acadmica

50

Representacin Matemtica N(t+dt) =No+dt[(Fe(t)]

2. Flujos Los flujos o vlvula, como tambin se les conoce, son variables que estn conectadas a una tubera y son las que hacen que un nivel aumente o disminuya su valor. Los flujos se utilizan cuando los niveles estn incrementndose (o disminuyendo) en partculas reales o concretas, es decir algo est siendo acumulado en dicho nivel.

Smbolo

Representacin Matemtica Fe(t) =N(t)*K

3. Auxiliares Una variable auxiliar es aquella que realiza clculos auxiliares. Las variables auxiliares se introducen al modelo para dar una mayor claridad de los pasos que se llevan a cabo para hacer los clculos que dan como resultado cambios en las variables de nivel. En muchas ocasiones las variables auxiliares determinan el valor de una variable de flujo y la variable de flujo es la que determina como se comporta una variable de nivel. De vez en cuando, las variables auxiliares llevan a cabo clculos que determinan directamente el comportamiento de un nivel, en estos casos es cuando no tiene mucho sentido la utilizacin de flujos, especialmente cuando cambian los flujos de informacin.

Smbolo

Representacin Matemtica

N(t+dt)

Excelencia Acadmica

51

PS(t)= PT-PE(t) Si somos capaces de realizar esta clasificacin vamos a poder dar un paso muy significativo en la descripcin del sistema, ms formalmente. Como en muchos casos, un ejemplo nos permitir ilustrar lo que estamos diciendo. Supongamos que tenemos un lago de volumen constante (V), de manera que los flujos de entrada y salida son constantes (I), Supongamos tambin, que el lago ya se encuentra contaminado, de manera que por el flujo de entrada solo fluye agua limpia, y es por el flujo de salida que sale agua contaminada. Vamos a suponer tambin, que la contaminacin est distribuida homogneamente por todo el lago, esto significa que todo punto del lago tiene la misma concentracin de contaminante. Ahora bien, se desea estudiar la evolucin dinmica de la concentracin de contaminante en el lago con las hiptesis anteriores. La descripcin del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cinco enunciados siguientes: E1: cuanto mayor es el flujo de salida del contaminante, menor es la contaminacin; E2: a su vez, cuanto mayor es la contaminacin, mayor es la concentracin (volumen de polucin), E3: cerrando el ciclo, cuanto mayor sea la concentracin, mayor ser la salida del flujo contaminante, E4: por otro lado, el flujo de contaminante que sale del lago ser proporcional al flujo de salida, y el factor de proporcin es justamente la concentracin de polucin; E5: finalmente, cuanto mayor sea el volumen del lago, menor ser la concentracin (volumen de polucin) Estos enunciados, que constituyen la descripcin bsica del proceso, se pueden convertir en relaciones de influencia entre las diferentes variables con las que se puede describir el proceso. Para esto, definamos las siguientes variables, V = volumen del lago (metros cbicos) I = Flujo de entrada y salida del lago (metro cbico por segundo) C(t) = Concentracin {Volumen de polucin en el tiempo t (metro cbico)} FSC(t) = Flujo de Salida del contaminante {C(t) / V(t) = concentracin de polucin (adimensional)} CT = Contaminacin {Volumen del contaminante (metro cbico}

Excelencia Acadmica

52

Entre estas variables, de acuerdo con los anteriores enunciados, se pueden establecer las relaciones de influencia: R1 : FSC - CT R2 : CT + C R3 : C + FSC R4 : I + FSC R5 : V - C Al integrar todas estas relaciones en un solo bloque, logramos obtener el diagrama causal de todo el sistema de contaminacin que se muestra en la Figura 4.1. En este diagrama se pone de manifiesto que el proceso posee una estructura con un bucle de realimentacin negativo. En la unidad anterior hemos considerado estructuras de este tipo. De momento, sin embargo, lo que interesa es resaltar cmo los enunciados bsicos del proceso han conducido a un diagrama de influencias. Estos enunciados bsicos, en un caso real de modelado, corresponderan al conocimiento disponible con relacin al proceso que se trata de modelar, y normalmente ser facilitado por los especialistas en ese tipo de procesos. En la literatura clsica de dinmica de sistemas es frecuente referirse a este conjunto de enunciados como modelo mental de los correspondientes especialistas.

VOLUMEN DEL LAGO

CONTAMINACION

FLUJO DE SALIDA DEL CONTAMINANTE

CONCENTRACION

I -

+

+

+

-

Excelencia Acadmica

53

Figura 4.1 Diagrama Causal del Modelo de contaminacin del lago Atae ahora clasificar los distintos elementos que aparecen en el diagrama de la Figura 4.1 en los tres tipos de variables propuestos: niveles, flujos y auxiliares. Para ello, en primer lugar, deben identificarse las variables de nivel del proceso en cuestin. En este caso es fcil ver que existe una nica variable de nivel que corresponde a la contaminacin CT. La salida del contaminante es una variable de flujo, ya que su significado es precisamente el de la variacin del volumen de contaminacin con respecto al tiempo. Es decir la influencia SALIDA DEL CONTAMINANTE - CONTAMINACIN La forma coincide con la ecuacin 4.1 y por tanto al volumen de contaminacin CT le corresponde el carcter de variable de nivel X y a la salida del contaminante FSC el de flujo dx/dt. Algunos autores proponen realizar un anlisis dimensional para llevar a cabo la identificacin de las variables de nivel y de flujo. En efecto, en la Ecuacin 4.1 tenemos una relacin de influencia en la que el consecuente viene medido en unas ciertas unidades y el antecedente en esas mismas unidades partidas por tiempo. A las variables de nivel y de flujo se asocian unos iconos (grficos) como los que se indican en la Figura 4.2, en la que a una variable de nivel se asocia un rectngulo y a una de flujo un icono que recuerda una vlvula, cuya apertura se regula precisamente mediante el flujo que representa esta variable. Para representar una variable de flujo tambin existe otra notacin que se vio en el momento de la clasificacin.

Figura 4.2 Representacin grfica de las variables de Flujo y nivel en el

diagrama de Forrester Las variables auxiliares se representan mediante crculos. El diagrama que se obtiene a partir de un diagrama de influencias, clasificando sus nodos en variables de nivel, flujo o auxiliares y asociando a esos nodos los iconos correspondientes recibe la denominacin de diagrama de Forrester o diagrama de Flujo. En la Figura 4.3 se tiene el diagrama de Forrester del proceso de contaminacin de un lago. Este diagrama se ha obtenido particularizando los elementos que aparecen

NIVEL

FLUJO

Excelencia Acadmica

54

en el de la Figura 4.1, convirtiendo cada uno de ellos en una variable de estado, de flujo o auxiliar. Ya hemos identificado la variable CT como de nivel y la FSC como de flujo. La restante C es una variable auxiliar, ya que representa un paso intermedio en la determinacin de CT a partir de FSC. Adems, en la Figura 4.3 se indican mediante los smbolos V, y I las constantes que representan al volumen de lago y los flujos de entrada y salida del lago, respectivamente. Por ltimo, en la misma Figura, aparece, en el extremo superior derecho, una nube que representa una fuente, o un sumidero, que no es relevante para la descripcin del sistema. Se podra prescindir de l pero se incluye para dar mayor coherencia al diagrama.

Figura 4.3 Diagrama de Forrester del Modelo de contaminacin del lago

1. Vamos a considerar el proceso de difusin de una infeccin en una poblacin

inicialmente sana. Esta poblacin sufre el efecto de una epidemia, de modo que, mediante una tasa de contagio, la enfermedad se va propagando hasta infectar a toda la poblacin. La descripcin del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes: E1: cuanto ms grande es la tasa de contagio, mayor es la poblacin infectada; E2: a su vez, cuanto mayor es la poblacin infectada ms grande ser la tasa de contagio (la infeccin se difundir a mayor E3: por otra parte, cuanto mayor es la poblacin infectada, menor ser la poblacin an vulnerable; y,

CT FSC

C

I

V

Excelencia Acadmica

55

E4: cuanto mayor sea la poblacin vulnerable a la epidemia, mayor ser la tasa de contagio. A partir de estos enunciados, disear el diagrama causal, el diagrama de Forrester

MODELO MATEMTICO Veamos ahora cmo al diagrama de Forrester se asocian, a su vez, las ecuaciones funcionales del modelo. Usaremos el mismo ejemplo. En primer lugar, consideremos la relacin entre el flujo de salida del contaminante FSC y la contaminacin CT. La evolucin del volumen de la contaminacin viene dada por la expresin

FSCtttCTtCT *)()( Ecuacin 4.2 que indica que la contaminacin CT en el instante de tiempo t se obtiene restando el volumen de contaminacin en el tiempo t - t menos el volumen del contaminante se han producido en el perodo de tiempo entre t y t - t. La ecuacin anterior recibe la denominacin de ecuacin de nivel o de estado, e indica cmo evoluciona la variable de estado CT en funcin del flujo FSC que determina su variacin. Esta ecuacin se puede escribir tambin, empleando notacin diferencial, de forma alternativa:

)(tFSCdt

dCT Ecuacin 4.3 El flujo de salida del contaminante FSC se determina con ayuda de la expresin: FSC ( t ) = C * I {metros cbicos de contaminante por da) Ecuacin 4.4 que establece que el flujo de salida del contaminante se obtiene multiplicando la concentracin (volumen de polucin) C, con el Flujo de entrada y salida del lago (metro cbico por segundo) I. Esta ecuacin es una muestra de lo que se conoce como una ecuacin de flujo. Las ecuaciones de este tipo permiten determinar una variable de flujo a partir de determinados parmetros del modelo (en este caso I), de variables auxiliares (como C). El parmetro I toma un valor constante para cada simulacin del modelo. En el modelo aparece tambin la variable auxiliar contaminante (volumen de polucin) C, que viene dada por: C = CT / V Ecuacin 4.5 es decir, como la divisin entre la contaminacin (volumen del contaminante) CT y el volumen del lago V.

Excelencia Acadmica

56

En la Tabla 1 se rene el conjunto de las ecuaciones (4.2), (4.4) y (4.5) que constituyen una descripcin matemtica del proceso de contaminacin del lago. Cada ecuacin se asocia a la relacin Ri de la descripcin verbal del proceso. R1 FSCtttCTtCT *)()( R3 y R4 FSC ( t ) = C * I R2 y R5 C = CT / V

TABLA 1 - Relaciones que forman la descripcin verbal y ecuaciones del modelo.

Conviene observar que en el modelo adems de la variable de estado CT, el flujo FSC y la variable auxiliar C tambin han aparecido unos parmetros I y V. A los parmetros hay que darles un valor numrico para que el modelo se refiera a una situacin concreta. Ello se hace habitualmente de una de las dos formas siguientes: 1. Bien se atiende al significado concreto de esos parmetros, y se dispone de

informacin numrica suficiente para conocer sus valores. En este caso, se requerira el conocimiento del volumen del lago, que nos dara el parmetro V, y del flujo de salida y de entrada I. Esta informacin ser suministrada por los correspondientes especialistas.

2. O bien, en los casos en los que no se disponga de informacin sobre los valores de los parmetros, pero sin embargo se disponga de datos con relacin a la evolucin de las magnitudes significativas del sistema en un perodo de tiempo determinado, se puede emplear tcnicas de ajuste de los parmetros. Estas tcnicas consisten, esencialmente, en determinar los valores numricos de los parmetros que minimizan algn ndice que mida la discrepancia entre los datos histricos de evolucin del proceso y los generados por el sistema dinmico.

Resulta interesante observar que hasta la escritura de las expresiones de la Tabla 4.1, o lo que es lo mismo del diagrama de Forrester, la nica informacin que se ha considerado es de naturaleza cualitativa. La informacin cuantitativa se emplea posteriormente para asignar valores numricos a los parmetros que intervienen en esas expresiones. Con lo visto hasta aqu hemos completado el proceso mediante el cual a partir de un diagrama causal, que representa la descripcin ms elemental que podemos hacer de un sistema, hemos sido capaces de obtener el diagrama de Forrester, clasificando los distintos elementos que aparecen en el diagrama, a partir del cual tenemos un objeto matemtico muy elaborado, que es un sistema dinmico, el cual

Excelencia Acadmica

57

puede ser programado en un computador. Para ello se recurre a lenguajes o entornos informticos de simulacin adecuados. Aunque la programacin de un modelo como el que se tiene en la Tabla 1 puede hacerse en cualquier lenguaje de alto nivel, resulta ms cmodo emplear los que se han sido creados a medida. El que usaremos aqu ser el Stella, ya que es uno de los ms empleados en la ctedra de Dinmica de Sistemas. Con ayuda de este lenguaje, el modelo que estamos viendo se programara como sigue:

Si se comparan las lneas de este programa con las de la Tabla 4.1 se ver que resultan muy fciles de entender. En cada lnea, a la izquierda, aparece un icono que representa el tipo de variable, rectngulo si es nivel, una caera si es flujo y un crculo si es una variable auxiliar. Para indicar los instantes de tiempo se emplea (t). Por cada ecuacin se acompaa un cometario entre llaves {} para especificar su unidad de medida. Con estas indicaciones es fcil leer el programa del modelo. En la actualidad se dispone de entornos de simulacin muy flexibles que permiten construir un modelo de forma grfica, en la pantalla del ordenador, empleando iconos, de modo que, combinando stos, se llega al diagrama de Forrester de forma directa. Estos entornos, una vez construido el diagrama en la pantalla, generan automticamente las ecuaciones. Una vez programado el computador generara las trayectorias del sistema, que muestran la evolucin de las variables correspondientes, especialmente de los niveles (Figura 4.4). Por lo que respecta a nuestro modelo, se observa que la variables de estado CT (volumen de contaminante), ha ido disminuyendo a travs del tiempo en virtud de que el lago ya est contaminado y que la contaminacin fluir por el flujo de salida mostrando un decrecimiento. Ello no debe extraarnos, despus de lo que habamos visto en la unidad anterior. En efecto, vimos all cmo un sistema cuya estructura presenta un bucle de realimentacin positiva, mostraba un comportamiento decreciente (creciente).

Excelencia Acadmica

58

09:59 a.m. Lun, 25 de Ago de 1997CONTAMINACION

Page 10 15 30 45 60

dias1:

1:

1:

0

0

01: C

1

1

11

Figura 4.4 Trayectoria del modelo de contaminacin del lago

El ejemplo que acabamos de ver constituye una muestra sencilla de las posibilidades que posee el lenguaje que estamos presentando. Se trata de un sistema con una variable de nivel y cuyo comportamiento se muestra en la Figura 4.4. En sistemas ms elaborados, con estructuras ms complejas, podemos tener comportamientos con otras pautas. Por ejemplo, si en un mismo bucle de realimentacin hay dos o ms variables de nivel, entonces pueden presentarse fenmenos oscilatorios.

1. Bajo el mismo ejemplo propuesto en la actividad 4.1, formule las ecuaciones para

cada una de las variables que ha propuesto en su modelo.

Como resumen de todo lo anterior, hemos sido capaces de establecer un nexo entre la estructura de un sistema (su diagrama causal) y su comportamiento (las trayectorias que describen las magnitudes asociadas a l) a la que se alude en el ttulo de esta unidad. A ello es a lo que nos referimos cuando decimos que mediante la dinmica de sistemas estamos tratando de relacionar estructura y comportamiento; de modo que en una descripcin como la Tabla 4.1 estn implcitas las dos caras de una misma moneda.

Excelencia Acadmica

59

Wolstenholme, E. F., A Systematic Approach to Model Creation, Modeling For Learning Organizations, ed. by J. Morecroft and J. Steman, Productivity Press, Portland, Oregon, 1994. Drew, D. R., System Dynamics: Modeling and Applications, Virginia Tech, Blacksburg, VA. Direcciones de Internet http://ar.geocities.com/alas_pies/Libro/Libro_Prefacio.PDF www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/Dinamica/powerpoint/diapositiva-sesion1.PPT

Es verdad que se a cumplido con las fases de modelado y propuesta de relaciones analticas de las variables consideradas en el modelo; pero necesitamos llevar este modelo a la fase de simulacin, por ello la siguiente unidad nos permitir conocer el manejo de un software de simulacin (STELLA) para poder realizar pruebas con diferentes valores.

Diagrama de Forrester y modelos matemticos Unidad N 4

En base a los casos presentados en la actividad 3.1, la actividad 3.2 (los dos casos) y la Auto Evaluacin Formativa de la unidad 3. Realice los diagramas de Forrester respectivos, para c/u; proponga tambin las ecuaciones matemticas subyacentes a todas las variables propuestas en cada uno de los modelos.

Excelencia Acadmica

60

USO DEL SOFTWARE DE SIMULACIN

Como hemos podido ver, la Dinmica de Sistemas se basa en un lenguaje formal bastante simple, y en la que inicialmente podemos reconocer tres tipos de elementos: variable de nivel, variable de flujo y variable auxiliar. Es necesario hacer la respectiva clasificacin de variables en el proceso de modelado de un sistema, ya que esto representa un punto importante para iniciar correctamente el proyecto. En seguida debemos identificar las relaciones existentes entre las diferentes variables propuestas, asignarles la respectiva polaridad y definir el tipo de comportamiento que cada bucle presenta, dentro de nuestro modelo; luego, traducir todo esto en un diagrama causal y hacer su correspondiente en un diagrama de Forrester. Una vez obtenido esto, es hora de plantear las ecuaciones que gobiernan a las variables. Concluidos todos esos procesos, plasmaremos nuestro diagrama de Forrester en el software simulador, tambin introduciremos las ecuaciones ya formuladas, de tal manera que sea el programa el encargado de compilar y entregarnos los resultados y trayectorias que sigue el comportamiento del sistema analizado. En esta unidad nos encargaremos de dar a conocer a detalle el manejo del software simulador; se ha elegido al STELLA, en su versin 8.0, ya que presenta una interfaz sencilla y bastante comprensible. STELLA, nos permitir proseguir con la secuencia de la metodologa y obtener resultados que nos dirijan al propsito general de la Dinmica de Sistemas, un soporte a la toma de decisiones.

1. Maneja de forma adecuada el software de simulacin Stella 2. Realiza la simulacin de los casos previamente visto 3. Presenta resultados a travs del programa PASEANDO POR EL STELLA La Figura 5.1, nos presenta la ventana principal del STELLA, como se puede observar, presenta una barra de herramientas, un espacio de trabajo en donde se diagrama el modelo. En la barra de herramientas, fcilmente podemos identificar los

Excelencia Acadmica

61

smbolos correspondientes a las variables de flujo, nivel y auxiliares; adicionalmente se presentan herramientas que apoyan a la edicin y presentacin de resultados, como lo son los grficos, tablas entre otros. La creacin de un proyecto en STELLA, es sencilla, todos los procedimientos son como en cualquier otro programa, vamos a explicar el funcionamiento de STELLA, a travs de un ejemplo, ya que esta ser la forma ms simple y rpida de conocer el potencial que ofrece este software.

Figura 5.1 Ventana principal del STELLA

UN EJEMPLO PARA APRENDER A MANEJAR STELLA Vamos a dar el enunciado del ejemplo que nos permitir conocer las funcionalidades del software. Consideremos el proceso de poblacin de nuestro pas, vamos a considerar solo algunas variables para darle simplicidad al modelo, ya que la intencin es aprender el manejo del aplicativo. Esta poblacin presenta dos flujos,

VARIABLE DE NIVEL

VARIABLE DE FLUJO

VARIABLE AUXILIAR

CONECTOR

DECISIN

GRAFICO

TABLA

Excelencia Acadmica

62

uno de entrada (Nacimientos) y uno de salida (Muertes). La descripcin del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes:

E1: cuantos ms nacimientos existen, mayor es la poblacin; E2: a su vez, cuanto mayor es la poblacin, mayor es la cantidad de nacimientos; E3: por otra parte, cuanto mayor es la cantidad de muertes, menor ser la poblacin; y, E4: cuanto mayor sea la poblacin, mayor ser la cantidad de muertes. A partir de estos enunciados, construiremos en papel el diagrama Causa Efecto, que se muestra en la Figura 5.2.

Figura 5.2 Diagrama Causal del proceso de poblacin

Es momento de clasificar las variables, evidentemente Poblacin ser nuestra variable de nivel, Nacimientos y Muertes sern las variables de flujo. Vamos a dibujar esta relaciones en Stella, comenzaremos por dibujar la variable de nivel Poblacin (Figura 5.3).

Figura 5.3 Dibujando la variable de nivel POBLACIN

POBLACIN NACIMIENTOS ++

+ MUERTES

+

- -

Excelencia Acadmica

63

Ahora bien, vamos a dibujar el flujo de entrada haca la Poblacin. Nos dirigimos a nuestro mouse hacia el icono de la variable de flujo, pinchamos haciendo un clic con el botn izquierdo, arrastramos la figura de manera conveniente, a la altura del lado izquierdo de Poblacin, una vez elegido el sitio desde donde va a empezar a dibujarse la variable de flujo, presionamos el botn izquierdo (sin soltarlo) a la vez que arrastramos la figura dirigindola hacia poblacin (Figura 5.4), y toda vez que la variable de flujo llegue de manera adecuada este avisar con un leve cambio de color gris, en ese momento dejamos de presionar el botn izquierdo y soltamos.

Figura 5.4 Conectando la variable de flujo a la de nivel

La situacin final debera lucir como lo indica la Figura 5.5, toda vez que conectemos las dos variables de flujo al de nivel; la de Nacimientos como flujo de entrada y la de Muertes como flujo de salida (partiendo del nivel).

Figura 5.5 Variables de flujo conectadas a la variable de nivel

Excelencia Aca

Dinamica de Sistemas

Documents